0-1背包问题研究及算法策略比较分析

数学与物理科学学院

《算法分析与设计》课程考查论文

题目0-1背包问题研究及算法策略比较分析

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完成日期2011/5/24

背包问题是一个在运筹学领域里常见的典型NP-C难题，也是算法设计分析中的经典问题，对该问题的求解方法的研究无论是在理论上,还是在实践中都具有重要意义。对这个问题的求解已经研究出了不少的经典方法，对该问题的探索和应用研究一直在进行。在先进理论指导下，求解0-1背包问题具有科学、高效、经济、灵活、方便等显著特点。

那么要解决背包问题，首要的前提就是设计出好的算法，想求得背包问题的解，就要先设计出算法,本文采用回溯法对背包问题、0-1背包问题及简单0-1背包问题进行算法设计和时间复杂度分析，给出具体算法设计和实现过程。并以具体实例详细描述不同方法求解问题解时算法基本思想，然后就解决0-1背包问题对这四种算法进行详细的比较，总结这种方法实现的优缺点并得出结论。如何将背包问题应用于实际问题中，有针对性地设计适合求解实际0-1背包问题的算法，并很好地解决实际问题，是计算机工作者不断思索、研究的一个领域。

摘要 (2)

一、绪论 (4)

1.1问题的研究及意义 (4)

1.20-1背包问题的算法研究与分析 (4)

1.3课题的主要研究内容 (4)

二、0-1背包问题在动态规划中的实现 (5)

2.1动态规划的基本原理与分析 (5)

2.20-1背包问题的实现 (5)

三、0-1背包问题在分枝-限界法中的实现 (7)

3.1分枝-限界法的基本原理与分析 (7)

3.20-1背包问题的实现 (7)

四、0-1背包问题在遗传算法中的实现 (9)

4.1遗传算法的基本原理与分析 (9)

4.20-1背包问题的实现 (10)

五、0-1背包问题在回溯法中的实现 (11)

5.1回溯法的基本原理与分析 (11)

5.20-1背包问题的实现 (11)

5.30-1背包问题在回溯法中的算法描述 (12)

5.4算法效率 (14)

5.5运行结果 (15)

六、四种算法的比较与分析 (15)

七、附录 (17)

一、绪论

1.1问题的研究及意义

0-1背包问题是计算机科学中的一个非常经典的优化问题。它的主要思路是假定某人拥有大量物品，重量各不同。通过秘密地选择一部分物品并将它们放到背包中来加密消息。背包中的物品中重量是公开的，所有可能选择的物品也是公开的，但背包中的物品是保密的。附加一定的限制条件，给出重量，而要列出可能的物品，在计算上是不可实现的。背包问题是熟知的不可计算问题，背包体制以其加密，解密速度快而其人注目。但是，大多数一次背包体制均被破译了，因此现在很少有人使用它。围绕这个问题的求解方法很多，比如贪婪算法、动态规划、分枝限界、回溯法、遗传算法等等。其中回溯法是常见的一种求解方法。

多年来，背包问题吸引了许多理论和实际工作者对此问题作深入的研究，在理论上，尽管背包问题的结构简单，但它却具有组合爆炸的性质，在实际应用中，许多工业问题都可以用背包问题来描述求解，如资金运算、货舱装载、存储分配等都是其典型的应用例子。如何将背包问题应用于实际问题中，并很好地解决实际问题，是计算机工作者不断思索、研究的一个领域。

1.2 0-1背包问题的算法研究与分析

0-1背包问题的算法研究主要是通过算法设计与分析知识，设计解决相关问题的尽可能高效的算法并程序实现，而且能够分析算法的复杂性，通过实验进一步领会各种算法设计技术的基本原理，掌握算法设计和分析方法，提高算法设计与分析的应用能力。0-1背包是一类很典型的优化问题,研究它有很重要的实际意义，这不仅是由于它结构简洁，可以作为子问题为研究更复杂的问题奠定理论基础，有很高的理论研究价值，而且由于它是许多实际工程应用问题的种通用化描述，在很多实际问题当中有着非常广泛的应用背景，例如项目决策等。他是最基本的背包问题，即对一个物体要么选用，要么就抛弃，不能将一个物体再继续细分的情况。它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，在经济管理、资源分配、投资决策、装载设计等领域有着重要的应用价值。在计算理论中属于NP-C 完全问题，其计算复杂度，传统上采用动态规划来求解。背包问题就是在资源有限的条件下，追求总的最大收益的资源有效分配问题。

1.3课题的主要研究内容

问题的一般描述是：旅行者背包登山，背包的最大承重为M ，现有n 个物品可供选择装入背包，第i 个物品莺量为wi ，价值为pi ，假定物品i 的一部分xi(0≤xi ≤1)放人背包，获得价值为xipi ，由于背包最大承重为M ，要求装入物品总质量不过超过M ，问旅行者应该如何选择物品装入背包，使得装入物品的价值总和达到最大值。

背包问题的数学描述如下：要求找到一个n 元向量(x1，x2…xn)，在满足约

束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤∑10i i i x M w x 情况下，使得目标函数p x i

i ∑max ，其中，1≤i ≤n ；M>0；wi>0；pi>0。满足约束条件的任何向量都是一个可行解，而使得目标函数达到最大的那个可行解则为最优解[1]。

给定n 种物品和1个背包。物品i 的重量是wi ，其价值为pi ，背包的容量为M 。问应如何装入背包中的物品，使得装人背包中物品的总价值最大？在选

择装人背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包、不装入背包。不能将物品i 装人背包多次，也不能只装入部分的物品i 。该问题称为0-1背包问题。

0-1背包问题的符号化表示是，给定M>0， w i >0， pi >0，1≤i ≤n ，要求找到一个n 元0-1向量向量(x1，x2…xn)， X i =0 或1 , 1≤i ≤n, 使得 M w x i i ≤∑ ，而且p x i i ∑达到最大[2]。

二、0-1背包问题在动态规划中的实现

2.1 动态规划的基本原理与分析

动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。它把已知问题分为很多子问题，按顺序求解子问题，在每一种情况下，列出各种情况的局部解，按条件从中选取那些最有可能产生最佳的结果舍弃其余。前一子问题为后面子问题提供信息，而减少计算量，最后一个子问题的解即为问题解。采用此方法求解0-1背包问题的主要步骤如下：

①分析最优解的结构：最有子结构性质；

②建立递归方程；

③计算最优值；

④构造最优解[4]。

2.2 0-1背包问题的实现

① 最优子结构性质

0-1背包问题具有最优子结构性质。设(y1，y2…yn)是所给0-1背包问题的一个最优解，则(y2，y3…yn)是下面相应子问题的一个最优解：

∑=n i k k

k x v max

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑=n k i x j x w k n i k k k },1,0{

因若不然，设(z2，z3…zn)是上述问题的一个最优解，而(y2，y3…yn)不是它的最优解，由此可见>

∑=n i 2∑=n i i i y v 2

,且∑=+n

i i i z w 2w1y1≤c 。因此 >

+∑=n i i i z v 2 v1y1∑=n i i i y v 1