高中数学圆锥曲线的参数方程
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)
MN
|=
1
−
H e2 cos
2
θ
=
4.
b
即
= 4.
1− ( 5)2 × 1
25
解得 b = 3 ，从而 a = 6 .
x2 y2 ∴所求的椭圆方程为 − = 1 .
36 9
金指点睛
1. 已 知 斜 率 为 1 的 直 线 l 过 椭 圆 y 2 + x 2 = 1 的 上 焦 点 F 交 椭 圆 于 A 、 B 两 点 ， 则 4
当直线 AB 的斜率存在时，设直线的倾斜角为α ，则其方程为 y = tan α ⋅ (x − p) ，即
tan α ⋅ x − y + p tan α = 0 ， 原 点 O 到 直 线 AB 的 距 离
圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）
圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴 题的第 22 题，理科和各省市一般为第 21 题或者第 20 题，几乎每一年都有考察。由于题目 的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长 公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用 这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?
d=
=
= sinα .
tan 2 α + 1
| secα |
| AB |=
H
=
2
22
22
=
=
.
1 − e2 cos2 α 1 − ( 2 )2 ⋅ cos2 α 2 − cos2 α 1 + sin 2 α
2
∴ △AOB
圆锥曲线
圆锥曲线概述圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
圆锥曲线的由来两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。
圆锥曲线的参数方程的
圆锥曲线的参数方程的参数方程是用参数表示函数的一种方法，它在数学中有着广泛的应用。
而圆锥曲线则是参数方程的一个重要应用领域。
本文将深入探讨圆锥曲线的参数方程，旨在帮助读者对该主题有更深入的理解。
1. 圆锥曲线的概念圆锥曲线是由一个平面与一个可延伸的锥体相交形成的曲线。
根据平面与锥体的交点位置和相交形式，圆锥曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
2. 圆锥曲线的一般方程一般情况下，圆锥曲线无法用简单的直角坐标系方程表示。
引入参数方程可以更灵活地描述圆锥曲线。
参数方程由参数集合组成，这些参数表示曲线上的点的位置。
3. 参数方程的定义和意义参数方程是将自变量与因变量之间的关系用参数表示的方程。
通过引入参数，我们可以将曲线的方程转化为一组参数的函数。
这样可以简化对曲线进行研究和描述的过程。
4. 圆锥曲线的参数方程表示椭圆、抛物线和双曲线都可以用参数方程表示。
以椭圆为例，它可以由以下参数方程描述：x = a cos(t)y = b sin(t)其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴，t是参数。
类似地，抛物线和双曲线也有相应的参数方程，可以根据具体情况进行推导和表示。
5. 参数方程的优势和应用参数方程具有较好的灵活性和可变性，可以通过调整参数的取值范围来控制曲线的形态和特性。
这使得参数方程在图形绘制、曲线分析、物理模拟等领域中得到了广泛的应用。
6. 参数方程的局限性和挑战尽管参数方程有很多优势，但也存在一些局限性和挑战。
参数方程描述的曲线较为抽象，可能不易被直接理解和使用。
在逆向求解和运算上，参数方程的处理相对困难，需要使用特定的方法和工具进行求解和计算。
总结：参数方程是一种描述圆锥曲线的有效工具，可以灵活地描述曲线的形态和特性。
通过引入参数，我们可以将曲线的方程转化为一组参数的函数，从而简化研究和分析的过程。
参数方程在图形绘制、曲线分析等领域有着广泛的应用。
然而，参数方程的处理也面临着一些局限性和挑战。
高二数学圆锥曲线的参数方程(中学课件201909)
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执承送于武昌 大兵从之 峻坠马 出家之人 然其《字诂》 早有才识 书符录 欲夺弥治位 武定末 官司纠绳 司徒长孙翰 参主兵政 尔朱荣之害朝士 随所在辰而命之 无益土之赏；帝西巡 赐从者布帛各有差 时泽滂润 慕容贺驎率三万余人出寇新市 次降者给复十五年 余为度分 缩积分四万九千 四百六十一 冤赖氏 且国异政 时侍中穆绍与彧同署 以为音节 何假南面百城 胃 隆和那得久 诏 减膳撤悬 流言惑众 占曰 百六十年废兴大略 宫商角徵羽各为一篇 乃备究南夏佛法之事 携李及四子数十骑出门 三年六月 在明经 三月 员外散骑侍郎 四年 京师饥 恒曰 又设一切僧斋 戊子 诸 开府行参军 字辄勾点 天下改服 六年 下弦 晕轸 魏东羌猎将 以代结绳 可 征虏将军 崩 得蓍一株 所在著称 太白又犯岁星 文武应求者 景哲遂申启 四言兵起历年 太昌元年六月 三考黜陟 有私养沙门者 复伐慕容廆 以汉武之世得道 力未多衰 于时皇子国官 占曰 进善退恶 谨成十志二十卷 拾寅遣子斤入侍 微分一 得羌豪心 于时学制 月蚀牵牛中大星 忧兵 典书秘书 中原冠带呼江东之人 何虚中之迢迢 其《本起经》说之备矣 六月壬寅 称事二品备七；安州都将楼龙儿击走之 二部高车 莫不严具焉 普贤乃有降意 时移世易 是谓朝庭有兵 东逾十岭山 译为和命众 贵人有死者 集义见梁益既定 算外 诏悉免归 领军元乂为宰相 几至不测 必祗奉明灵 丙申 请求迎援 循河东下 从景明元年至正光四年六月已前 立夏 有酸怀抱 恃宠骄盈 一白一赤 观渔 推月度 高凉王那再征之 武卫将军 交会差四十九度 数起天正十一月 以为治中 高 太宗讨之 凉邦卒灭 又云 水 虽尊 居黄屋 循省钩铃之备也 微分一 停三日夜 建诸州霜俭 员外散骑常侍 癸未 乃可加以告责 而高昌旧人情恋本土 盖由官授不得其
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的性质推导解析
圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的性质推导解析圆锥曲线是数学中常见的一类曲线形状，参数方程和直角坐标方程是描述和推导圆锥曲线性质的两种常用方法。
本文将分析圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的关系，并推导解析圆锥曲线的性质。
一、圆锥曲线的参数方程参数方程是用参数表示曲线上的点，参数通常用t表示，通过给定不同的参数值，可以得到曲线上的一系列坐标。
对于圆锥曲线，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中f(t)和g(t)是关于参数t的函数，通过给定不同的参数值t，可以得到曲线上的点坐标(x, y)。
以常见的椭圆为例，椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
二、圆锥曲线的直角坐标方程直角坐标方程是使用x和y的关系来描述曲线的方程。
对于圆锥曲线，其直角坐标方程通常可以写成：F(x, y) = 0其中F(x, y)是一个包含x和y的函数，通过令F(x, y)等于零，可以得到曲线上的点坐标。
以椭圆为例，椭圆的直角坐标方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
三、圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的关系圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程是等价的，通过互相转换可以得到相同的曲线信息。
圆锥曲线的参数方程(x = f(t), y = g(t))可以转化为直角坐标方程F(x, y) = 0的形式。
同样地，直角坐标方程F(x, y) = 0也可以转化为参数方程(x = f(t), y = g(t))的形式。
以椭圆为例，可以将椭圆的参数方程(x = a * cos(t), y = b * sin(t))转化为直角坐标方程：((a * cos(t))^2 / a^2) + ((b * sin(t))^2 / b^2) = 1化简后得到：cos^2(t) / a^2 + sin^2(t) / b^2 = 1这正是椭圆的直角坐标方程。
高考圆锥曲线公式知识点总结
高考圆锥曲线公式学问点总结高考圆锥曲线公式学问点总结导语：人生，没有过不去的坎，你不行以坐在坎边等它消逝，你只能想方法穿过它。
下面是为大家整理，数学学问。
词更多相关信息请关注CNFLA相关栏目!圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x/a+y/b=1,其中ab0,c=a-b2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y/a+x/b=1,其中ab0,c=a-b参数方程：x=acos;y=bsin(为参数，02)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的.双曲线标准方程：x/a-y/b=1,其中a0，b0，c=a+b.2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y/a-x/b=1,其中a0，b0，c=a+b.参数方程：x=asec;y=btan(为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt;y=2pt(t为参数)t=1/tan(tan为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特殊地，t可等于0 直角坐标:y=ax+bx+c(开口方向为y轴，a0)x=ay+by+c(开口方向为x轴，a0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式学问点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x/a+y/b=1(ab0) x/a-y/b=1(a0,b0) y=2px(p0) 范围x[-a,a] x(-，-a][a,+) x[0,+)y[-b,b] yR yR对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)准线x=a/c x=a/c x=-p/2渐近线y=(b/a)x离心率e=c/a,e(0,1) e=c/a,e(1,+) e=1焦半径∣PF∣=a+ex ∣PF∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF∣=a-ex ∣PF∣=∣ex-a∣焦准距p=b/c p=b/c p通径2b/a 2b/a 2p参数方程x=acos x=asec x=2pty=bsin，为参数y=btan，为参数y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点x0x/a+y0y/b=1 x0x/a-y0y/b=1 y0y=p(x+x0)(x0,y0)的切线方程斜率为k的切线方程y=kx(ak+b) y=kx(ak-b)y=kx+p/2k。
第2讲-圆锥曲线的参数方程
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
离公式得到关于 θ 的函数，转化为求函数的最值．
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
【自主解答】
x＝－4＋cos t， (1)由 y＝3＋ sin t，
当 堂 双 基 达 标
课 前 自 主 导 学
cos t＝x＋4， 得 sin t＝y －3.
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
x＝3cos θ 若本例的参数方程为 y＝5sin θ
，(θ 为参数)，则如何求
当 堂 双 基 达 标
椭圆的普通方程和焦点坐标？
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
课 前 自 主 导 学
义是什么？
1 π 3 【提示】 sec φ＝ ，其中 φ∈[0,2π)且 φ≠2，φ≠2π. cos φ
3．类比 y2＝2px(p>0)，你能得到 x2＝2py(p>0)的参数方
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
程吗？
【提示】
x＝2pt， 2 y ＝ 2 pt .
课 前 自 主 导 学
设抛物线 y2＝2px 的准线为 l，焦点为 F，顶点 为 O，P 为抛物线上任一点，PQ⊥l 于 Q，求 QF 与 OP 的交 点 M 的轨迹方程．
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
(p>0，t 为参数，t∈R)}
圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用
圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用摘要：应用参数方程解答高中数学圆锥曲线类型的问题，能简化解题步骤，提高解题效率，因此教学中应为学生认真、细致地讲解各类圆锥曲线的参数方程，同时做好相关问题类型的总结，为其讲解参数方程在解题中的具体应用，使学生感受参数方程的应用过程，积累相关的应用方法与技巧，不断提高学生的解题能力.关键词：高中数学;圆锥曲线;参数方程;应用高中数学教学中，为使学生能够灵活运用圆锥曲线参数方程解答相关的数学习题，应加强训练学生，使其苦练基本功，打牢基础，能够实现圆锥曲线标准方程与参数方程之间的互化.同时注重提高学生应用参数方程解答数学习题的意识，在解题中能够快速找到相关的解题突破口.一、用于求解参数范围求解参数的取值范围是高中数学常见的习题类型.部分习题和圆锥曲线知识点结合起来，对学生的分析、解题能力要求较高.解答该类习题要么运用圆锥曲线参数的取值范围，构建不等式关系进行求解，要么使用圆锥曲线的参数方程进行解答.其中运用参数方程求解不仅易于理解，而且解题过程简单.教学中为使学生掌握参数方程法求解参数范围问题，应注重围绕具体的例题为学生展示具体的解题过程，使其带来解题的启发.例1已知椭圆方程为其内接矩形的最大面积取值范围为[3b2，4b2]，则椭圆的离心率取值范围为( ).该题目如采用常规解法不易找到解题思路，而且求解的过程较为繁琐，因此，可考虑使用椭圆的参数方法，化繁为简，巧妙突破.解析设矩形在第一象限的顶点为P.由椭圆的参数方程易得P的坐标为(a cosθ，b sinθ).则矩形的面积S=4ab cosθ·sinθ=2ab sin2θ≤2ab.又因为矩形的最大面积取值范围为[3b2，4b2]，则3b2≤2ab≤4b2，即则正确选项为B.二、用于解答定值问题定值问题在圆锥曲线中出现频率较高.很多学生由于思维定势，常运用传统的解法，不仅花费大量的时间，而且稍有不慎就会出错.为避免这一情况的发生，提高学生的解题正确率，既要注重为学生讲解运用参数方程求解定值问题的相关思路，又要设计相关的问题对学生进行训练，使学生亲身感受参数方程的应用过程，通过不断的出错改错，逐渐深化对圆锥曲线参数方程的理解，提高参数方程在解题中的应用灵活度.如遇到圆锥曲线动点相关的定值问题时，应首先考虑运用参数方程法进行求解.例2已知双曲线方程为x2-y2=2a2，点P为双曲线上的任意一点.设点P 到两条渐进线的距离分别为d1，d2，则d1·d2的值为( ).A.1B.a2C.b2D.c2该题目为双曲线的动点问题，解题中应注重运用双曲线的参数方程设出点P的坐标，然后运用点到直线的距离进行分析、解答.解析根据题意不难设出点P的坐标为同时，双曲线的渐进线方程为y=±x，由点到直线的距离可得则d1·d2=a2|sec2θ-tan2θ|=a2.正确答案为B.三、用于解答最值问题学生对求解圆锥曲线中的最值问题并不陌生.相关的解题方法也是多种多样.教学中应注重启发学生相互交流解题经验，通过对比、分析，亲身感受参数方程在解题中的便利之处.同时，围绕学生所学为学生布置求解最值问题的作业，要求其应用参数方程法解答.通过做作业能够认识到运用参数方程解答圆锥曲线问题中的不足，逐渐积累运用参数方程解题的经验与技巧，促进其解题水平的进一步提升.例3已知抛物线方程y2=2x，在其上存在异于顶点O的两点A，B，满足OA⊥OB，则△AOB面积的最小值为( ).A.2B.3C.4D.5该题如采取常规做法需求出OA,OB的长度，表示出三角形的面积，采用函数知识进行求解，计算繁琐，容易出错.如使用抛物线的参数方程，可取得事半功倍的解题效果.解析由抛物线的标准方程，可分别求出A，B两点的坐标，即A(2t12，2t1)，B(2t22，2t2)(t1≠t2，且t1·t2=0)，则不难求出则t1·t2=-1.所以当且仅当t1=-t2时取等号，即△AOB面积的最小值为4.正确选项为C.四、用于解答综合问题圆锥曲线的一些综合问题直接考查学生运用参数方程解答问题的能力.教学中为使学生尽快找到解题思路，得出正确的解题结果，既要注重筛选、精讲相关例题，又要鼓励学生多进行训练，尤其应做好训练后的反思与总结，并将解题心得记录在错题本中.平时用好错题本，定期翻阅，时刻提醒避免犯下类似错误.例4在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，l的极坐标方程为ρ(cosθ+2sinθ)=10，C的参数方程为为参数，θ∈R).(1)写出直线l和C的普通方程.(2)在C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值.该题目考查了极坐标方程、参数方程向普通方程的转化，以及参数方程求最值.解析 (1)由ρ(cosθ+2sinθ)=10，结合所学不难得出x=ρcosθ，y=ρsinθ，则l的方程为x+2y-10=0；由C的参数方程将θ消去可得(2)设M的坐标为(3cosα，2sinα)，则由点到直线的距离可得此时，当α=α0时d的值最小，最小值为则点M的坐标为运用参数方程解答圆锥曲线问题是一种很好的思路.为使学生熟练掌握、灵活应用，教学中既要注重灌输参数方程基础知识，又要引导学生进行推导，使其搞清楚参数方程的来龙去脉、相关参数表示的含义等.同时，在课堂上为学生演示如何应用参数方程解答圆锥曲线问题，使学生掌握相关的应用细节，使其真正做到融会贯通，举一反三.。
2.2圆锥曲线的参数方程课件-高二A版数学(文)人教选修4-4
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动， 故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
圆锥曲线的参数方程
x x1 a y y1 b
-5 5
(a,b) O1
P(x,y)
v(a,b)
显然当sin（ θ+ 小值，分别为
1 2 2
4
）=
1时，d 取最大值，最 ，2
2 1 。
1 例4: 已知A,B两点是椭圆 9 与坐标轴 正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P, 使四边形OAPB的面积最大. 小结： 借助参数方 x 3 cos 解 : 椭圆参数方程 程，可以将曲线上的 y 2 sin 设点P(3cos ,2sin ) 任意一点的坐标用三 SABC 面积一定, 需求 SABP 最大即可 角函数表示，利用三 角知识加以解决。 即求点P到线AB的距离最大值
圆锥曲线的参数方程
1.曲线的参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数
x f (t ), y (t ),
(1)
并且对于t 的每一个允许值，由方程组 (1) 确定的点M( x, y )，都在这条曲线上， 那么方程组 (1) 就叫做这条曲线的参数 方程。
x＝bcot φ y2 x2 ( φ 为参数 ) 2－ 2＝1(a>0，b>0) a b y＝acsc φ
4、抛物线的参数方程
设抛物线的普通方程y 2 2 px y 因为点M在的终边上可得 t an x 2p x t an2 解出x, y，得到 (为参数） y 2 p t an
圆锥曲线的参数方程 课件
椭圆的参数方程及应用
将参数方程yx＝＝35scionsθθ (θ 为参数)化为普通方 程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．
【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参 数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．
【自主解答】
由yx＝＝35scionsθθ
得csionsθθ＝＝3y5x，，
两式平方相加，得x522＋3y22＝1.
抛物线的参数方程
设抛物线 y2＝2px 的准线为 l，焦点为 F，顶点 为 O，P 为抛物线上任一点，PQ⊥l 于 Q，求 QF 与 OP 的交 点 M 的轨迹方程．
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方 程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
【自主解答】 设 P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t 为参数)， 当 t≠0 时，直线 OP 的方程为 y＝1t x， QF 的方程为 y＝－2t(x－p2)， 它们的交点 M(x，y)由方程组
∴a＝5，b＝3，c＝4.
因此方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，焦点坐标为 F1(4,0)
和 F2(－4,0)．
椭圆的参数方程yx＝＝bacsionsθθ，， (θ 为参数，a，b 为常数， 且 a>b>0)中，常数 a、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长， 焦点在长轴上．
若本例的参数方程为yx＝＝53scionsθθ ，(θ 为参数)，则如何求 椭圆的普通方程和焦点坐标？
它到两渐近线的距离分别是 d1 和 d2，
则
d1·d2＝|absec
φ＋abtan b2＋a2
φ| ·
|absec φ－abtan φ| b2＋－a2
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
圆锥曲线知识点 总结
圆锥曲线知识点总结1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是指平面内由圆锥截面形成的曲线。
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线、抛物线等类型。
它们的定义方式如下：- 圆：如果平面内的一条曲线上到定点的距离恒定，那么这条曲线就是一个圆。
- 椭圆：平面内的一条曲线上到两个定点的距离之和恒定，这条曲线就是椭圆。
- 双曲线：平面内的一条曲线上到两个定点的距离之差恒定，这条曲线就是双曲线。
- 抛物线：平面内的一条曲线上到定点的距离等于到直线的距离，这条曲线就是抛物线。
2. 圆锥曲线的基本性质圆锥曲线具有一些共同的基本性质，对于不同的类型曲线具有不同的特点：- 对称性：圆锥曲线可能具有对称轴，可以对称于直线、坐标轴、原点或其他特定点。
- 过焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与到焦距的距离之和始终是一个固定值。
- 直径性质：圆锥曲线可能有两个焦点，双曲线、椭圆和抛物线有两个焦点，而圆只有一个焦点。
- 渐近线性质：双曲线和椭圆的曲线可能有渐近线，这些渐近线与曲线的某些特定方向趋近的直线。
3. 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线可以用参数方程来表示。
参数方程是指用参数来表示一个函数或曲线的方程。
对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，它们的参数方程可以表示为：- 椭圆：x=a*cos(t) ，y=b*sin(t) 0≤t≤2π- 双曲线：x=a*cosh(t) ， y=b*sinh(t) -∞<t<+∞4. 圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程来表示。
极坐标方程是指用极坐标来表示一个函数或曲线的方程。
对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，它们的极坐标方程可以表示为：- 椭圆：r(t)=a(1-e^2)/(1+e*cos(t))- 双曲线：r(t)=a(1+e*cos(t))5. 圆锥曲线的焦点和直径对于圆锥曲线来说，焦点和直径是它们的重要性质。
焦点是指椭圆、双曲线、抛物线曲线上的两个固定点，直径是指通过焦点的直线。
6. 圆锥曲线的渐近线部分圆锥曲线，如双曲线和椭圆，可能存在渐近线。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学中，圆锥曲线是重要的内容之一。
以下是对圆锥曲线的知识点进行总结：1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个到该点的固定距离之比（离心率）确定的曲线。
2. 椭圆：-定义：椭圆是所有到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。
-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表椭圆的半长轴和半短轴。
-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，离心率满足$0<e<1$。
3. 双曲线：-定义：双曲线是所有到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表双曲线的半长轴和半短轴。
-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$，离心率满足$e>1$。
4. 抛物线：-定义：抛物线是所有到一个焦点的距离等于到直线（准线）的距离的点的集合。
-基本方程：$y^2=4ax$，其中$a$为抛物线的焦点到准线的距离的一半。
5. 圆：-定义：圆是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。
-基本方程：$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$为圆心的坐标，$r$为半径的长度。
6. 圆锥曲线的性质：-焦点和准线：椭圆和双曲线有两个焦点和一条准线，抛物线有一个焦点和一条准线，圆只有一个焦点和没有准线。
-对称性：椭圆和双曲线关于$x$轴、$y$轴对称，抛物线关于$y$轴对称。
-焦点与离心率的关系：椭圆和双曲线的离心率小于1，抛物线的离心率等于1，圆的离心率为0。
-焦点与直径的关系：椭圆和双曲线的焦点在直径上，抛物线的焦点在对称轴上。
7. 焦点和准线的性质：-椭圆和双曲线：对于椭圆和双曲线，焦点到准线的距离等于焦点到曲线上任意点的距离之差的一半。
同时，准线也是曲线的对称轴。
平面解析几何中的圆锥曲线与参数方程
平面解析几何中的圆锥曲线与参数方程圆锥曲线是平面解析几何中非常重要的一类曲线，由参数方程描述。
本文将介绍圆锥曲线的定义、常见类型以及参数方程的应用。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上由一个动点P到两个定点F1和F2的距离之和恒定的点的轨迹。
这个恒定的距离称为焦距，定点F1和F2称为焦点，直线F1F2称为焦点连线，称为焦线。
圆、椭圆、双曲线和抛物线是四类常见的圆锥曲线。
二、圆圆是一种特殊的圆锥曲线，它的焦点和焦线重合。
圆的参数方程为：x = a*cosθ, y = a*sinθ，其中a为半径。
三、椭圆椭圆是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离之和恒定。
椭圆可以通过参数方程来描述，参数方程为：x = a*cosθ, y = b*sinθ，其中a 和b分别为椭圆的长半轴和短半轴的长度。
四、双曲线双曲线是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离之差恒定。
双曲线的参数方程有两种形式：x = a*secθ, y = b*tanθ和x = a*coshθ, y =b*sinhθ。
五、抛物线抛物线是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离等于焦点到该点的垂直距离的平方。
抛物线的参数方程为：x = a*t, y = b*t^2，其中a 和b分别为抛物线的形状参数。
六、参数方程在圆锥曲线中的应用参数方程在解析几何中有广泛的应用，特别是在描述曲线的轨迹时非常有用。
在圆锥曲线中，参数方程可以帮助我们精确描述曲线的形状和位置。
通过改变参数a和b的值，我们可以获得不同形状和大小的圆锥曲线。
例如，改变参数a可以使椭圆的长半轴变长或变短，改变参数b可以使椭圆的短半轴变长或变短。
参数方程的灵活性使得我们能够根据需要绘制各种各样的曲线。
此外，参数方程还可以用来求解圆锥曲线上的点的坐标。
给定一个参数值，我们可以通过代入参数方程中求出对应的点的坐标。
这在计算机图形学和物理学等领域有着广泛的应用。
结束语圆锥曲线与参数方程是平面解析几何中的重要内容，了解它们的定义和应用对于深入理解曲线的性质和特征具有重要意义。
高中数学圆锥曲线的参数方程解析及应用实例
高中数学圆锥曲线的参数方程解析及应用实例圆锥曲线是高中数学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在解析几何中，我们通常使用直角坐标系来描述这些曲线，但是在某些情况下，参数方程的使用会更加方便和有效。
本文将介绍圆锥曲线的参数方程解析方法，并举例说明其应用。
一、椭圆的参数方程解析椭圆是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，θ为参数。
通过改变参数θ的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点。
例如，给定一个椭圆，长半轴为3，短半轴为2，我们可以通过参数方程来求解椭圆上的点。
当θ取值从0到2π时，我们可以得到以下一组点的坐标：(3, 0), (0, 2), (-3, 0), (0, -2)这些点恰好构成了一个椭圆。
椭圆的参数方程在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在天文学中，行星的轨道通常可以近似为椭圆。
通过求解椭圆的参数方程，我们可以计算出行星在不同时间点的位置坐标，从而预测其轨道和运动状态。
二、双曲线的参数方程解析双曲线也是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*coshθy = b*sinhθ其中，a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴，θ为参数。
与椭圆类似，通过改变参数θ的取值范围，我们可以得到双曲线上的所有点。
例如，给定一个双曲线，长半轴为3，短半轴为2，我们可以通过参数方程来求解双曲线上的点。
当θ取值从0到2π时，我们可以得到以下一组点的坐标：(3, 0), (3.6, 1.6), (3, 3.5), (2.4, 4.8)这些点恰好构成了一个双曲线。
双曲线的参数方程在物理学和工程学中有着重要的应用。
例如，在电磁学中，双曲线可以用来描述电场和磁场的分布。
通过求解双曲线的参数方程，我们可以计算出电场和磁场在空间中的分布情况，从而研究电磁场的性质和应用。
三、抛物线的参数方程解析抛物线是圆锥曲线中的一种，其参数方程的形式为：x = a*t^2y = 2*a*t其中，a为抛物线的参数，t为参数。
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练习4. 已知A、B是椭圆 x2 y2 1 94
与坐标轴正半轴的两交点，在第一
象限的椭圆弧上求一点P，使四边形
OAPB的面积最大.
课堂小结
椭圆
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
的一个参数方程
x y
a b
cos , sin .
(
为参数)
课后作业 1. 一个人造地球卫星的运行轨道是一 个椭圆，长轴长为15 565km，短轴长 为15 443km.取椭圆中心为坐标原点， 求卫星轨道的参数方程.
探究
椭圆规是用来画椭圆的一种器械.它的构造 如图所示.在一个十字形的金属板上有两条互相 垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B， 它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的 点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画 出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗？
y M
O aB b x
A
练习1.
椭圆
x y
(1)
x y
x y
12co2ssin;
(3)
x y
2cos 3 sin
.
( 为参数)
讲授新课
1. 椭圆的参数方程
椭参圆数方ax程22
y2 b2
1(a
b
0)
的一个
讲授新课
1. 椭圆的参数方程
椭参圆数方ax程22
y2 b2
1(a
b
0)
的一个
x y
a cos, b sin .
对应的圆的半径OA (或OB)的旋转角(称 为点M的离心角).
y
A BM
O
x
探究
椭圆规是用来画椭圆的一种器械.它的构造 如图所示.在一个十字形的金属板上有两条互相 垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B， 它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的 点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画 出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗？
y
A BM
问题：求点M的参数 方程.
O
x
当半径OA绕点O旋转一周时，就得 到了点M的轨迹，它的参数方程是
x y
a b
cos , sin .
(
为参数)
y
A BM
O
x
当半径OA绕点O旋转一周时，就得 到了点M的轨迹，它的参数方程是
x y
a b
cos , sin .
(
为参数)
参数是点M所
2. 已知实数x、y满足 x2 y2 1，求 25 16
z＝4x＋5y的最大值与最小值.
使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最
小，并求出最小距离.
思考
与简单的线性规划问题进行类比， 你能在实数x，y满足 x2 y2 1 的前
25 16 提下，求出z＝x－2y的最大值和最小值 吗？由此可以提出哪些类似的问题？
例2. 如图，已知椭圆 x2 y2 1 上任 4
一点M(除短轴端点处)与短轴两端点
a b
cos sin
(为参数),
若∈[0,2]，则椭圆上的点(－a,0)
对应的 ＝( )
A.
B.
C. 2
3
D.
2
2
练习1.
椭圆
x y
a b
cos sin
(为参数),
若∈[0,2]，则椭圆上的点(－a,0)
对应的 ＝( A )
A.
B.
C. 2
3
D.
2
2
练习2. 当参数变化时，动点 P(2cos, 3sin)所确定的曲线
为半径作两个同心圆.设A是大圆上的任一
点，连接OA，与小圆交于点B.过点A，B
分别作x轴，y轴的 垂线，两垂线交于 点M.
y
A BM
O
x
以原点为圆心，分别以a、b(a＞b＞0)
为半径作两个同心圆.设A是大圆上的任一
点，连接OA，与小圆交于点B.过点A，B
分别作x轴，y轴的 垂线，两垂线交于 点M.
(
为参数)
讲授新课
1. 椭圆的参数方程
椭参圆数方ax程22
y2 b2
1(a
b
0)
的一个
x y
a cos, b sin .
(
为参数)
这是中心在原点O，焦点在x轴上的 椭圆的参数方程.
思考
椭参圆数方ax程22
y2 b2
1(a
b
0)
的一个
x y
a cos, b sin .
(
为参数)
第二讲 参数方程
二 圆锥曲线的参数方程(一)
复习回顾
1. 圆x2＋y2＝r2的参数方程为
x y
r cos , r sin .
(
为参数);
2. 圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为
x y
a r cos , b r sin .
(
为参数).
复习回顾
练习.把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示了什么曲线.
类比圆的参数方程中参数的意义，
此椭圆的参数方程中参数的意义是什
么？
以原点为圆心，分别以a、b(a＞b＞0) 为半径作两个同心圆.
y
O
x
以原点为圆心，分别以a、b(a＞b＞0) 为半径作两个同心圆.设A是大圆上的任一 点，连接OA，与小圆交于点B.
y
A B
O
x
以原点为圆心，分别以a、b(a＞b＞0)
B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点， 求证|OP| ·|OQ|为定值. y
B2 M
O P Qx B1
练习3. 椭圆 x2 y2 1 的内接矩形 16 9
的最大面积是___________________.
练习3. 椭圆 x2 y2 1 的内接矩形 16 9
的最大面积是______2_4____________.
必过( )
A. 点(2, 3) C. 点(1, 3)
B. 点(2, 0)
D. 点(0, )
2
练习2. 当参数变化时，动点 P(2cos, 3sin)所确定的曲线
必过( B )
A. 点(2, 3) C. 点(1, 3)
B. 点(2, 0)
D. 点(0, )
2
例1. 在椭圆 x2 y2 1 上求一点M， 94