海洋生态系统非线性动力学研究

时满足条件。 将各参数默认值代入模型及平衡点坐标，e 取 0.05， 令 （f h）=ln（0.990 7-1.8519h） 条件（3）变为：
即：0<h<0.154 4
（4）
52
海洋技术
第 28 卷
由 因此在满足条件
0<h<0.1544 时，d1>0 成立。 下面判断 d1d2-d3 的情况：
（5）
平衡点 E2 不存在零或纯虚根的特征根，附近不发生分岔。对 于平衡点 E1，当 h=0.172 2 时特征值 λ3=0，因此当 h=0.172 2 时系统发生分岔。由于系统只有两个平衡点，且两个平衡点 有不同的稳定域，当捕捞强度 h 逐渐增大时，经过分叉点 h= 0.172 2 后，系统由 E1 稳定 E2 不稳定的状态向 E2 稳定 E1 不 稳定的状态过渡，因此可以判断该系统的分岔类型为跨临界 分岔。 2.3 数值模拟
第1期
王洪礼等：海洋生态系统非线性动力学研究
53
图 2 N，P，Z 的时间历程图和系统相图（h=0.01,e=0.05）
图 3 N，P，Z 的时间历程图和系统相图（h=0.1,e=0.05）
图 4 N，P，Z 的时间历程图和系统相图（h=0.5,e=0.05）
54
海洋技术
第 28 卷
由图分析可得： 当 h 取 0.001，0.01，和 0.1 时，满足平衡点 E2 的稳定条 件，由对应的相图和时间历程图可看出当 h 取上述三个值时 系统是稳定的，证明本文对 E2 附近系统的稳定条件的判断 是正确的。当 h 取 0.5 时，满足 E1 的稳定性条件，而图 4 也证 明了 h=0.5 时系统处于稳态，也验证了对于 E1 稳定性理论推 导。由数值模拟的情况来看，当 h 由 0.001 增大到 0.5 时，系 统经历了两个平衡点附近稳态的转换，证明当 h 在 0.1 和 0.5 之间某个点取值时系统发生了跨临界分岔，上节得出的 h=0.172 2 的分叉条件与数值模拟结果符合。
1995，21 (5)：619—626． [4] 冯剑丰. 渤海赤潮生态系统动力学与预测研究[D]. 天津：天津大学，2005. [5] 叶宗泽，杨万禄. 常微分方程组与运动稳定性理论[M]. 天津：天津大学出版社，1985，78—91. [6] 王洪礼. 分岔与混沌理论及应用[M]. 天津：天津大学出版社，2004，36—46.
表 1 参数意义及其取值范围[3~4]
符号 a kN Rm
γ λZ εP εZ
意义 浮游植物的生长率 吸收营养盐的半饱和参数 食植鱼类的最大摄食率 食植鱼类的营养转化率 食植鱼类摄食的半饱和系数
藻类的死亡率 食植鱼类死亡率
默认取值 0.2 0.05 0.6 0.9
0.035 0.005 0.005
（1）
3 结论
本文建立了新的海洋生态经济系统动力学模型，对其进 行了稳定性和分岔分析，并作了数值模拟。
现讨论模型的现实意义。通过以捕捞强度为参数的数值 模拟，我们可以看出，当捕捞强度在一定范围时，它对系统稳 定性的扰动很小，系统处于稳态，系统内三种成分是共存的， 证明适度的捕捞不会对生态系统造成危害，并且起到了对食 物链高层生物数量的控制作用，有益于系统的可持续发展。 但当捕捞强度很大时，如当 h=0.5 时，由图 4 可以看出食植 鱼类的数量为零，说明由于捕捞强度过大导致食植鱼类种群 消失，严重损害了海洋生态经济系统的可持续发展。
有重要意义。 建立了新的海洋生态经济系统动力学模型，研究了模型的稳定性和分岔现象，揭示了该系统的非线性
动力学特性。
关键词：海洋生态经济系统；非线性；稳定性；分岔
中图分类号： X82
文献标识码： A
文 章 编 号 ：1003-2029（2009）01-0050-05
1 引言
自从上世纪 90 年代以来，海洋生态方面的研究日趋活 跃，海洋生态系统动力学模型的研究成为本领域内的一个重 要方向。本文通过参阅国内外大量相关学术资料，建立了新 的海洋生态经济系统动力学模型，并运用非线性动力学理论 分析了此模型。
为验证前面关于平衡点附近稳定性和分岔的理论分析 结果，现对系统作数值模拟。
各参数采用表 1 中的默认值，e 取 0.05，可以算出初始条 件(N,P,Z)=(0.4,0.4,0.05)。
选取捕捞强度 h 作为分岔参数对系统进行研究，分别让 h 取不同的值进行分析：
如下图所示：
图 1 N，P，Z 的时间历程图和系统相图（h=0.001,e=0.05）
因为此式包含超越函数且极为复杂，对 d1d2-d3>0 无法 解出具体的表达式，因此下面借助于数值的方法对其稳定性 和分岔情况进行探讨。
综上所述，平衡点 E2 在满足条件
（6） 时是稳定的。
由分岔理论[6]可知，当至少有一个特征根为零或纯虚根 时系统发生分岔，由于特征方程中常数项 ABD>0 成立，因此
式中：N 为营养盐浓度；P 为浮游植物浓度；Z 为食植鱼 类浓度；a 为浮游植物生长率；kN 为吸收营养盐的半饱和参
2.2 系统稳定性及分岔分析 根据模型方程的基本特征，注意到食物链模型中各元素
的物理意义及在实际发生过程中相互影响、耦合。我们考虑 运用 Lyapunov 运动稳定性理论[5]来判断变量各状态的稳定 性。
本文的研究，为海洋渔业中确定适当的捕捞强度提供了 理论依据，有利于海洋经济的可持续发展，具有一定的现实 意义。
参考文献：
[1] 陈长胜. 海洋生态系统动力学与模型[M]. 北京：高等教育出版社，2003，189—210. [2] 王洪礼，冯剑丰. 赤潮生态动力学与预测[M]. 天津：天津大学出版社，2006，87—90. [3] C Solidoro，C Dejak，D Franco et al. A model for macroalgae and phytoplankton growth in the Venice lagoon [J]．Environment International，
数；e 为污染强度；Rm 为食植鱼类的最大摄食率；λZ 为食植鱼 类摄食半饱和系数；εP 为浮游植物死亡率；εZ 为食植鱼类死 亡率；γ 为食植鱼类的营养转化率；h 为人类对食植鱼类的捕 捞率。
模型中浮游动物对浮游植物的摄食采用 Ivlev 公式[2]：
参数 h 是本文着重讨论的分岔参数。并且其它各参数的 默认取值如表 1 所示：
51
解方程（2）得模型方程的平衡点：
主体都存在的情况，其 Jacobin 矩阵为：
其中，
（2）
其中：
为研究上述两个平衡点的稳定性，经坐标平移，得模型 方程（1）线性部分的 Jacobin 矩阵 J 为：
求出 E2 的特征方程为： 其中：
下面分别考虑两种定常状态的稳定性：
（1）对于
E1=（
εPkN a-εP
在条件（3）下，由于表 1 中的参数的默认取值都大于零， 可知 A，B，D 均大于零，因此 d3>0 成立。
而 也
成立 若使
其中：
显而易见，λ1 和 λ2 是小于零的，因此平衡点 E1 的稳定条 件为：
对照表 1，带入各参数数值，e 取 0.05，可推出当 h>0.172 2
时 E1 是稳定的。 （2）对于平衡点 E2=（N*,P*,Z*），也就是食物链中的三种
Research on the Dynamics Mechanism of System of Marine Eco-economy
WANG Hong-li，DONG Zhan-zhuo
(School of Mechanics Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)
Abstract：The construction and analysis of the nonlinear dynamics mechanism model of marine eco-economy is meaningful to the de velopment of our country’s marine eco-economy, even to the development of our country’s society economy. A new model of system of marine eco-economic is built and the model’s stabilization is analyzed. With one parameter changing continually, a bifurcation is observed. Through analyzing the parameters, we can find the dynamic properties of the nonlinear dynamical model. Key words: system of marine eco-economy; nonlinear dynamics; stabilization; bifurcation
，εeP
，0），其物理意义对应于系统的
一个初始状态，食植鱼类的浓度为零，此时的 Jacobin 矩阵
为：
为保证 E2 有实际意义，必须使 推出
（3）
由稳定性理论，定常状态的稳定性取决于所对应的 Ja－
cobin 矩阵的特征值。
对应于
E1=（
εPkN a-εP
，εeP
，0）,其三个特征值分别为：
根据劳茨－霍尔维茨判据，E2 稳定需要 d1>0，d2>0，d3>0， 且 d1d2>d3。
首先求所建模型方程的平衡点，令方程（1）的左端为零， 即：
收 稿 日 期 ：2008-09-22 基 金 项 目 ：国家自然科学基金资助项目（10772132）；博士点基金资
助项目（20070056063） 作者简介: 王洪礼（1945-），女，河北沧县人，天津大学教授，博生导
师。
（2）
第1期
王洪礼等：海洋生态系统非线性动力学研究
2 主要内容
2.1 模型介绍 考虑营养盐、自养浮游植物和食植鱼类相互作用关系，
并添加人为经济因素对该体系的影响，建立了三者的新模 型。
参考 NPZ 模型[1]，将浮游动物换为食植鱼类；在营养盐 方程中，忽略浮游植物和食植鱼类的死亡以及食植鱼类取食 浮游植物过程中非同化的浮游植物部分向营养盐的转化，加 入外界污染对其的影响；在食植鱼类方程中加入捕捞项，建 立模型如下：
第 28 卷 第 1 期 2009 年 3 月
海洋技术 OCEA海N T洋ECH技NO术LOGY
Vol.28，No.1 Mar，2第00298 卷
海洋生态系统非线性动力学研究
王洪礼，董占琢
（天津大学机械工程学院，天津 300072）
摘 要：海洋生态经济系统非线性动力学模型的建立及分析，对Baidu Nhomakorabea国海洋生态经济发展乃至社会经济的发展都具