用集合的思想方法解决问题

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集合思想在小学数学教学中的应用

集合思想在小学数学教学中的应用大亚湾区道南小学吴小锋著名的集合论的创始人是德国数学家康托(1845 -1918)。

自康托创立集合论以来，它的概念、思想和方法已经渗透到现代数学的各个分支中，成为现代数学的基础。

集合思想作为现代数学最重要的思想方法之一，早已渗透到各国的小学数学教材之中。

我国小学数学新课程改革，也竭力把集合思想直观地渗透到教材内容中，从而改变了教材的面貌。

小学数学新课标要求：结合有关知识的教学，适当渗透集合、函数等数学思想方法，以加深对基础知识的理解。

集合论本身的无穷魅力，引起许多学者的浓厚兴趣。

集合论与小学数学的教学有着非常微妙的联系，并且在小学数学竞赛领域中得到广泛应用。

本文就小学数学课本中(以义务教育课程标准实验教科书为例)常见的集合思想及其在小学数学竞赛中的应用谈点浅见，主要研究它在小学数学教学中的渗透和应用。

一．集合思想在小学数学教学中的渗透我们把具有某种属性的一些对象的全体看成一个集合。

运用集合的知识去解决有关的问题,这样的思维观点被称为集合的观点。

集合思想在小学数学教学中是这样渗透的。

（1）集合概念在教学中的渗透小学生在学习数学的开始，教材就通过直观形象的韦恩图渗透了集合的概念。

在认识0～10的十一个数字中，每个数字都有一张相应的集合图，也就是告诉学生，一个集合中有几个元素就用“几”来表示。

如《数学》第一册表示“1”的集合图里只有一个元素（一只大象）；表示4的集合图里有4个元素（4朵白云）。

这就很形象地把集合中的元素与基数的概念有机地联系起来。

在教学“0”时，教材通过三个集合里分别有两个茶杯，一个茶杯、没有茶杯来说明空集这一概念。

《数学》第一册的“分类”一节课中，把两个球圈在一起，还把书包、鸡、气球放在一幅图里，让学生试一试能否把同类物体圈在一起。

这部分内容渗透了如何把一些同类的物体组成一个集合的思想。

教学“分数的意义”时，为了突破单位“1”的含义这个难点，教材通过两个实物韦恩图，直观说明把4 个苹果和 6 只熊猫玩具各作一个整体，都可以用自然数 1 来表示，通常把它叫做单位“1”。

高中数学专题学习：第1讲--集合思想及应用

第1讲集合思想及应用一、知识梳理1．元素与集合：把一些能够确定的不同的对象看作一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．常用数集的符号：自然数集N ，正整数集+N 或*N ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ．不含任何元素的集合叫做空集，记为∅．2．集合与元素的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a∉A ． 3．集合表示法列举法：将元素一一列出并用花括号括起来表示集合．描述法：用集合所含元素的特征性质描述集合．{})(x p I x ∈表示集合A 是由集合I 中具有性质)(x p 的所有元素构成的．4．集合的关系子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，我们称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B ，读作A 含于B ．空集是任何一个集合的子集．真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 为集合B 的真子集，记作A B ．集合的相等：如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．集合A 与集合B 是相等的，记作A ＝B ．集合关系与其特征性质之间的关系：设A ＝{})(x p x ，B ＝{})(x q x ．如果A ⊆B ，则)()(x q x p ⇒．如果 )()(x q x p ⇒，则A ⊆B ．5．集合的运算交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作：A ∩B ，读作：A 交B ．并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B ，读作：A 并B ．补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作：∁U A ，读作：A 在U 中的补集．二、方法归纳1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三个特征；对于用描述法给出的集合{})(x p x ，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质)(x p ；在读懂集合的基础上尽可能化简集合，化难为易，化隐为显是常用技巧；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题．2．注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ，则有A ＝∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论．3．数集的运算往往用数轴法．4．用Card （A ）表示有限集A 的元素个数，则由A ⊆B ，可得Card （A ）≤Card （B ）；由A ＝B ，可得Card （A ）＝Card （B ）；Card （∅）＝0．5．容斥原理：Card(A ∪B )=Card(A )＋Card(B )－Card(A ∩B )Card(A ∪B ∪C )=Card(A )＋Card(B )＋Card(C )－Card(A ∩B )－Card(B ∩C )－Card(C ∩A )＋Card(A ∩B ∩C )6．n 个元素的集合所有子集个数为n 2，所有真子集个数为n 2－1．三、典型例题精讲【例1】若集合}4,,2,1{x A =，}1,{2x B =，A ∩B ＝{1，4}，则满足条件的实数x 的值为 ( )A ．4B ．2或－2C ．－2D ．2 解析：根据}1,{2x B =，得42=x ，2±=x ，但}4,,2,1{x A =，由元素的互异性2≠x ．∴2x =-．答案：C【技巧提示】牵涉到集合中的元素，必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性．又例:若3∉{1，a ，2a }，求实数a 的范围．答案：a ≠0，±1，3，±3【例2】已知{}1+==x y y M ，{}1),(22=+=y x y x N ，则集合N M 中元素的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．多个【错解分析】根据M 为直线1+=x y 上的点集，N 为单位圆122=+y x 上的点集，∴N M 中元素的个数是2，选C ．解析：根据{}1+==x y y M ，得R M =，为数集，{}1),(22=+=y x y x N 为单位圆122=+y x 上的点集， ∴=N M ∅．答案：A【技巧提示】用描述法给出的集合一定要先看代表元素，再看代表元素满足的条件．交集是由两个集合的公共元素组成的集合．又例:设集合{}1),(2-==x y y x A ，{}1),(22=+=y x y x B ，则B A 的子集的个数是（）A ．0B ．2C ．4D ．8解析：显然B A ,都是坐标平面内的点集，抛物线12-=x y 与圆122=+y x 有三个交点，即集合B A 有３个元素， ∴ B A 有8个子集．答案：D【例3】若C B A ,,为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有 ( )A ．A ⊆CB ．C ⊆A C ．A ≠CD ．A ＝∅解析：∵A ⊆(A ∪B )，(B ∩C )⊆ C又∵A ∪B ＝B ∩C ，∴A ⊆C ，故选A ．答案：A【技巧提示】理解集合的运算性质是解答本题的关键．A ⊆(A ∪B )，(B ∩C )⊆C 就是交运算和并运算的重要性质．本题也可利用文氏图直接得出结论．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．又例:已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{x | x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是 ( )解析：∵N ＝{0，－1}， M ＝{－1，0，1}，∴N M ⊆U ．答案：B ．【例4】设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3，4}，A ∩B ＝{－3}，求a 、b 、c 的值．解析：∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈A 且－3∈B ，将－3代入方程：x 2＋ax －12＝0中，得a ＝－1，从而A ＝{－3，4}．将－3代入方程x 2＋bx ＋c ＝0，得3b －c ＝9．∵A ∪B ＝{－3，4}，∴A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ．∵A ≠B ，∴B A ，∴B ＝{－3}．∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的判别式△＝b 2－4c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3b －c ＝9 ①b 2－4c ＝0 ② 由①得c ＝3b －9，代入②整理得：(b －6)2＝0，∴b ＝6，c ＝9．故a ＝－1，b ＝6，c ＝9．【技巧提示】由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的，因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义进行思考．【例5】设集合A 、B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x 2}，则A ×B 等于 ( )A ．(2，＋∞)B ．[0,1]∪[2，＋∞)C ．[0,1)∪(2，＋∞)D ．[0,1]∪(2，＋∞)解析：A ＝{x |y ＝2x －x 2}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝2x 2}＝{y |y ≥0}，∴A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2] ，因此A ×B ＝(2，＋∞)，故选A ．答案：A【例6】已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2(3－x )≤2}，集合B ＝{x |5x ＋2≥1}．(1)求A 、B ；(2)求(∁U A )∩B ．解析：(1)由已知得：log 2(3－x )≤log 24，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≤43－x >0，解得－1≤x ＜3，∴A ＝{x |－1≤x ＜3}．由5x ＋2≥1，得(x ＋2)(x －3)≤0，且x ＋2≠0，解得－2＜x ≤3．∴B ＝{x |－2＜x ≤3}．(2)由(1)可得∁U A ＝{x |x ＜－1或x ≥3}，故(∁U A )∩B ＝{x |－2＜x ＜－1或x ＝3}．【技巧提示】本题考查简单的分式不等式和对数不等式求解．又例: 已知全集U ＝R ，集合A ＝{y |－2≤y ≤2}，集合B ＝{y |y ＝2x }，那么集合A ∩(∁U B )等于 () A ．{y |－2≤y ≤0} B ．{y |0≤y ≤2}C ．{y |y ≥－2}D ．{y |y ≤0}解析：由题意易得：B ＝(0，＋∞)，∁R B ＝(－∞，0]，所以A ∩∁R B ＝{y |－2≤y ≤0}．答案：A【例7】已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的值或取值范围．解析：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，∴A ＝{x |2＜x ＜4}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足⎩⎨⎧ a ≤23a ≥4即43≤a ≤2，当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足⎩⎨⎧ 3a ≤2a ≥4即a ∈∅．∴当A ⊆B 时，43≤a ≤2．(2)要满足A ∩B ＝∅，当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∴a ≥4或3a ≤2，∴0＜a ≤23或a ≥4；当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或a ≥43，∴a ＜0时成立，当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅也成立．综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅．(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0且a ＝3时成立，∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}，而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，故所求a 的值为3．【技巧提示】(1)本题为集合在一定约束条件下求参数的问题，涉及集合的运算，其转化途径常通过两个方面：一是分析、简化每个集合；二是利用两集合元素的性质．(2)本题体现了分类讨论的思想，分类的关键点在于比较出a 与3a 的大小，进而将集合B 表示出来．又例:已知集合A ＝{x |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }．(1)若A 是空集，求m 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求m 的值；(3)若A 中含有两个元素，求m 的取值范围．解析：集合A 是方程mx 2－2x ＋3＝0在实数范围内的解集．(1)∵A 是空集，∴方程mx 2－2x ＋3＝0无解．∴△＝4－12m ＜0，即m ＞13．(2)∵A 中只有一个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0只有一解．若m ＝0，方程为－2x ＋3＝0，只有一个解x ＝32；若m ≠0，则△＝0，即4－12m ＝0，m ＝13．∴m ＝0或m ＝13．(3)∵A 中含有两个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两解，满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠0△>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠04－12m >0，∴m ＜13且m ≠0．四、课后训练1．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |mx ＝1}，若Q ⊆P ，则实数m 的数值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0，1或－12．已知U ＝{2，3，4，5，6，7}，M ＝{3，4，5，7}，N ＝{2，4，5，6}，则 ( )A ．M ∩N ＝{4，6}B ．M ∪N ＝UC ．(∁U N )∪M ＝UD ．(∁U M )∩N ＝N3．设I 为全集，S 1，S 2，S 3是I 的三个非空子集，且S 1∪S 2∪S 3＝I ，则下面论断正确的是A ．∁I S 1∩（S 2∪S 3）＝∅B ．S 1⊆（ ∁I S 2∩∁I S 3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3＝∅D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）4．设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝_____5．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为() A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n6．设集合A＝{x|－12＜x＜2}，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝()A．{x|－1≤x＜2} B．{x|－12＜x≤1}C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}7．设全集为U，且2011∈U，与2011∉（A∪B）意义相同的是()A．2011∈A∪B B．2011∉A或2011∉BC．2011∈(∁U A)∩(∁U B)D．2011∈(∁U A)∪(∁U B)8．设P和Q是两个集合，又集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q等于()A．{x|0＜x＜1{ B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x≤2} D．{x|2≤x＜3}。

数学思想之集合思想在小学数学教学中的渗透.

数学思想之“集合思想”在小学数学教学中的渗透王艳日本数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。

”小学数学思想方法是对知识有本质的认识，从方法论的角度来研究小学数学中分析问题、思考问题的方法。

在小学数学教学中，教给学生数学知识的同时，要重视挖掘知识发生、形成和发展运用过程中所蕴藏的数学思想方法，不失时机地渗透数学思想方法，指导学生运用数学思想方法科学的思考问题，培养学生探索规律、解决问题的能力，从而促进学生数学素质的提高。

集合思想作为现代数学最重要的思想方法之一，早已渗透至各国的基础数学教育中，同时也是当前新一轮基础教育改革的关于数学的指导性思想之一。

本文就以集合思想为重点，探究这一数学思想方法在小学数学教学中如何渗透，如何运用集合思想来解决数学问题。

一、集合思想的内涵和历史：把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法,继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。

集合思想是由德国数学家康托在19世纪创立的，它成为现代数学的基础。

二、集合思想如何在小学数学教学中逐步渗透：集合是现代数学基本概念之一。

在小学数学教学中运用集合思想去分析问题，有利于学生加深对数学知识的理解和掌握。

教师适当讲授一些集合论的基本知识，加深学生对某些数学知识的理解，这对提高数学教学质量都是十分重要的。

但是，集合论毕竟是一门较为抽象的数学理论，如在小学阶段过多地讲授抽象的概念，势必对教学带来很大困难。

我国现行小学数学教材中采取“渗透”的方法，命题本身既体现了集合思想，又避免了教师过多地去讲，这对提高学生认识客观世界事物之间的基本数量关系，发展他们的认识能力、思维能力，都具有十分重要的现实意义。

例如：教材在认数前就出现了反映日常生活中一些常见事物的集合。

小学数学中常见的数学思想方法有哪些？

小学数学中常见的数学思想方法有哪些？答;1、集合思想。

集合思想对数学的影响巨大，很多的数学分支都需要用集合语言表达。

①教学中要注重集合概念的渗透。

例如，认识“2”的教学中，例举多个两个物体，这多个两个物体的所在类的代表就是“2”。

又如六头猪和六只狗等所在类的代表就是“6”。

这里的2、6就是集合的基数。

”②教学中要注重集合关系的渗透。

如：一一对应关系，包含关系等。

③教学中要注重集合运算的渗透。

如：加法运算其实就是并集，减法运算的结果就是差集。

2、数形结合思想。

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

数与形之间的联系即称为数形结合，或形数结合。

数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

即“以形助数”或“以数解形”。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用一般可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系。

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决很多数学问题。

①利用数与形的对应来理解数学概念。

例如：认识分数的教学。

②利用数与形的对应解应用题。

例如：画线段图解应用题。

③坐标思想。

用方程表示图形，沟通数形之间的关系。

在教学中要培养学生积极主动地利用数形结合的思想解决问题。

3、函数思想。

函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。

函数的思想方法就是提取问题的数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系，并利用函数的性质研究、解决问题的一种数学思想方法。

在小学阶段学习的对应关系，正、反比例关系中就蕴藏中基本的函数思想。

4、变换与转化思想。

变换与转化思想是中小学数学中最重要的数学思想，充分重视这种数学思想方法在解题中的应用，不但可使问题化繁为简、化难为易，而且还可以提高学生的思维品质，培养学生的创新能力。

2023年人教版数学三年级上册集合公开课教案(优选3篇)

人教版数学三年级上册集合公开课教案（优选３篇）〖人教版数学三年级上册集合公开课教案第【1】篇〗数学广角集合教学目标：1、在具体情境中使学生感受集合的思想，感知集合图的产生过程。

2、能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题，同时使学生在解决问题的过程中进一步体会集合的思想，进而形成策略。

3、渗透多种方法解决重叠问题的意识，培养学生善于观察、勤于思考的学习习惯。

教学重点：让学生感知集合的思想，并能初步用集合的思想解决简单的实际问题。

教学难点：对重叠部分的理解。

教学准备：课件教学过程：一、开门见山，引入新课1.导入：课间，同学们都喜欢什么样的运动？看，三（1）班选拔了一部分喜欢运动的同学参加学校的运动会（出示例1），那么我们能算出参加这两项比赛共有多少人吗？二、组织活动，探究新知1、同学们，你们都做了哪些运动？2、老师调查其中一个小组的体育爱好情况：第三小组喜欢踢毽子的有哪些同学？（假设7人）喜欢跳绳的有哪些同学？（假设8人）有没有两样都喜欢的？（假设3人）３、老师在讲台的两边分别画了两个圈：左边黄色的圈表示喜欢踢毽子的，右边红色的圈表示喜欢跳绳的。

４、现在请第三小组踢毽子的同学到左边黄色的圈内集合；请喜欢跳绳的同学到右边红色的圈内集合。

我们看看他们怎么站？５、问题出在哪儿呢？谁有好的建议以指导他们站到他们该站的位置？６、接下来请大家拿出纸和笔，想一想，画一画，写一写，怎样能使别人一看就知道喜欢踢毽子的有哪些同学，喜欢跳绳的有哪些同学，两样都喜欢的有哪些同学？同时还方便我们数人数？７、谁愿意展示一下你的想法？（适时肯定学生合理的想法。

）在100多年前，英国有一位名叫韦恩的逻辑学家，用一个图很方便地解决了我们今天遇到的这个问题。

让老师来展示给大家看。

８、这种图是韦恩最早发明的，所以就以他的名字命名，叫韦恩图。

利用韦恩图，既能表示重复的部分，又能方便统计总数。

接下来，如果要用算式表示喜欢踢毽子和跳绳的一共有多少人，又该是怎样的呢？９、刚才同学们交流了很多算法，你觉得哪种比较容易理解。

数学思想方法在集合问题中的应用

一
个总体的阐述，然后配以典型的例题辅以说明，旨
在引导考生尽快领会如何应用所介绍的方法解题，相信新一届高三的同学们阅读后会有不少的收获．
一Hale Waihona Puke （１年考苏设合Ａ｛，ｌ－２１高江卷）集＝）０（ｙ￣
≤ — ） ≤ｍ，，ＹＥＲ，曰｛ｙ１￣＋ ≤２２＋｝＝，）ｍ＜ｘｙｍ＋２
数学有数
数学思想方法在集合问题中的应用
■黄伟军张勇平
集合是每年高考必考的知识点．若以选择题或者
填空题的形式出现，主要有两种考查倾向，一是考查集合的基本概念，二是一些基本运算问题：当然也不排除出解答题的可能．集合常与其他知识（函数、如方程、不等式等）进行交汇命题。考查中学数学的一些数学思想方法．在解答集合这部分内容中的数学问题时。倘能积极挖掘问题中隐含的数学思想方法．能使复杂的问题变得条理清楚，脉络分明，起到化难为易、
具体化．从而快速找到解题的途径．在每年的高考
中，利用数形结合法解答客观题（包括填空与选择题）的频率是相当高的，希望同学们应注意和重视数
形结合法解题．
好地把握如何利用数学思想方法解题，本文总结了集合中比较常考的思想方法，并对每一种思想方法先作
理、公式、法则等，利用直接法来解答的题目是相当
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多的，希望同学在复习备考时应注意把基础部分的ｊ

《数学广角 —— 集合》精品教案

《数学广角——集合》
一、教学目标
1.理解集合的概念，能用集合的思想解决实际问题。

2.掌握集合的表示方法，会进行集合的运算。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学重难点
1.重点：理解集合的概念，掌握集合的表示和运算方法。

2.难点：运用集合思想解决实际问题。

三、教学方法
讲授法、演示法、讨论法。

四、教学过程
1.导入
1.展示一些生活中的分类问题，如参加不同兴趣小组的学生人数统计，
引出集合的概念。

2.提问学生如何对事物进行分类。

2.认识集合
1.讲解集合的定义和特点，如确定性、互异性、无序性。

2.通过具体例子，让学生理解集合的概念。

3.集合的表示方法
1.介绍集合的常用表示方法，如列举法、描述法。

2.举例说明如何用不同方法表示集合。

4.集合的运算
1.讲解集合的并集、交集和补集的概念和运算方法。

2.通过实例演示，让学生掌握集合的运算。

5.解决实际问题
1.出示一些实际问题，让学生运用集合的思想进行解决。

6.巩固练习
1.安排一些练习题，巩固集合的表示和运算方法，提高解决问题的能
力。

7.总结
1.总结集合的概念、表示方法和运算规则，强调集合思想在实际问题
中的应用。

2.布置作业：完成课后练习，找生活中的集合问题。

高考数学专题复习对集合的理解及集合思想应用的问题试题

卜人入州八九几市潮王学校高考数学专题复习对集合的理解及集合思想应用的问题高考要求集合是高中数学的根本知识，为历年必考内容之一，主要考察对集合根本概念的认识和理解，以及作为工具，考察集合语言和集合思想的运用本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用重难点归纳1解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描绘法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题2注意空集∅的特殊性，在解题中，假设未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,那么有A =∅或者A≠∅两种可能，此时应分类讨论典型题例示范讲解例1设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论此题主要考察考生对集合及其符号的分析转化才能，即能从集合符号上分辨出所考察的知识点，进而解决问题知识依托解决此题的闪光点是将条件(A ∪B )∩C =∅转化为A ∩C =∅且B ∩C =∅，这样难度就降低了错解分析此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其本质内涵，因此可能感觉无从下手技巧与方法由集合A 与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进展限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ,进而可得值解∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅∵⎩⎨⎧+=+=bkx y x y 12∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0 ∵A ∩C =∅∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1①∵⎩⎨⎧+==+-+b kx y y x x 052242∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0∴k 2－2k +8b －19<0,从而8b <20,即b <25②由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得 ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅例2向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生实在掌握此题主要强化学生的这种才能知识依托解答此题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来错解分析此题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索技巧与方法画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联络解赞成A 的人数为50×53=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合BB 都不赞成的学生人数为3x+1,赞设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,那么对A 、成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x依题意(30－x )+(33－x )+x +(3x+1)=50,解得x =21 所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人例3集合A ={(x ,y )|x 2+mx －y +2=0},B ={(x ,y )|x －y +1=0,且0≤x ≤2},假设A ∩B ≠∅,务实数m 的取值范围解由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+)20(01022x y x y mx x 得x 2+(m －1)x +1=0①∵A ∩B ≠∅∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解首先，由Δ=(m －1)2－4≥0,得m ≥3或者m ≤－1,当m ≥3时，由x 1+x 2=－(m －1)＜0及x 1x 2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求当m ≤－1时，由x 1+x 2=－(m －1)>0及x 1x 2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内故所求m 的取值范围是m ≤－1学生稳固练习1集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =42k ππ+,k ∈Z },那么() A M =NB M NC M ND M ∩N =∅2集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,假设A ∪B =A ，那么()A －3≤m ≤4B －3<m <4C 2<m <4D 2<m ≤43集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },假设A 中元素至多有1个，那么a 的取值范围是_________4x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|bya x -=1,a >0,b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________ 5集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B∅和A ∩C =∅同时成立6{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,nS n )|n ∈N *},B ={(x ,y )|41x2－y 2=1,x ,y ∈R }试问以下结论是否正确，假设正确，请给予证明；假设不正确，请举例说明(1)假设以集合A 中的元素作为点的坐标，那么这些点都在同一条直线上； (2)A ∩B 至多有一个元素； (3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅7集合A ={z ||z －2|≤2,z ∈C },集合B ={w |w =21zi +b ,b ∈R },当A ∩B =B 时，求b 的值 8设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }(1)求证A ⊆B ;(2)假设A ={－1，3}，求B参考答案1解析对M 将k 分成两类k =2n 或者k =2n +1(n ∈Z ),M ={x |x =n π+4π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或者k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),N ={x |x =n π+2π,n ∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π+45π,n ∈Z }答案C2解析∵A ∪B =A ，∴B ⊆A,又B ≠∅,∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤--≥+12171221m m m m 即2＜m ≤4 答案D3a =0或者a ≥89 4解析由A ∩B 只有1个交点知，圆x 2+y 2=1与直线b y a x -=1相切，那么1=22b a ab +,即ab =22b a + 答案ab =22b a +5解log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3}由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =∅，∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，而A ∩B∅,即A ∩B ≠∅,∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或者a =－2当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =∅不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A ∩C =∅，A ∩B∅，∴a =－26解(1)正确在等差数列{a n }中，S n =2)(1n a a n +,那么21=n S n (a 1+a n ),这说明点(a n ,nS n 〕的坐标适宜方程y 21=(x +a 1),于是点(a n ,nS n )均在直线y =21x +21a 1上(2)正确设(x ,y )∈A ∩B ,那么(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1412121221y x a x y 的解，由方程组消去y 得2a 1x +a 12=－4(*)，当a 1=0时，方程(*)无解，此时A ∩B =∅；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解x =12124a a --,此时，方程组也只有一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=1211214424a a y a a y ,故上述方程组至多有一解 ∴A ∩B 至多有一个元素(3〕不正确取a 1=1,d =1,对一切的x ∈N *,有a n =a 1+(n －1)d =n >0,nS n>0,这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0假设A ∩B ≠∅,那么据(2〕的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0〕,而x 0=5224121-=--a a ＜0,y 0=43201=+x a ＜0,这样的(x 0,y 0〕∉A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1时A ∩B =∅，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅是不正确的7解由w =21zi +b 得z =ib w 22-, ∵z ∈A ,∴|z －2|≤2,代入得|ibw 22-－2|≤2,化简得|w －(b +i )|≤1 ∴集合A 、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A 表示以点(2，0〕为圆心，半径为2的圆面，集合B 表示以点(b ,1)为圆心，半径为1的圆面又A ∩B =B ，即B ⊆A ，∴两圆内含因此22)01()2(-+-b ≤2－1,即(b －2)2≤0，∴b =28(1)证明设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0)即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ⊆B(2)证明∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },∴方程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得∴f (x )=x 2－x －3于是集合B 的元素是方程f ［f (x )］=x , 也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*)的根将方程(*)变形，得(x 2－x －3)2－x 2=0解得x =1,3,3,－3故B ={－3，－1，3，3}课前后备注。

生活中的集合思想

生活中的集合思想把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法,继而把一定程度抽象了的思维对象放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。

集合思想在小学中就有体现，在生活中是否有一定的用途呢？我们来寻找寻找吧。

一个关于数学的脑筋急转弯：2对父子4却只给了他们三副餐具，为什么？可能有些人就想不明白了。

其实，只有我、爸爸和爷爷三个人，重复了爸爸这个人，当然只需要三副餐具。

这个脑筋急转弯已经体现出集合思想在生活中的应用。

集合思想方便了人们的统计。

一个班有48人。

班主任在班会上问：“谁做完了数学作业？”这时有42人举手。

又问：“谁做完了语文作业？”这时有37人举手。

最后又问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

请问：这个班语文、数学作业都做完的有几人？因为完成语文作业的学生内的两部分表示人数和就是完成语文作业的人数（37人），所以语文作业的学生外、完成数学作业的学生内的那部分表示的人数为48-37=11（人），者是完成了数学作业但没有完成语文作业的人数。

因此，语文、数学两种作业都完成了的人数是42-11=31人。

在商场中，集合思想在处处影响着商场的运作。

例如：昨天进货5种，几天进货5种，问一共进几种货。

这个答案是多种多样的，同时这也分析了商场的运作情况。

这种商品要么是热销，速速购进；要么就是此商品价格低，销量不错。

如果设定有三种重复进货，那么我们就可以清晰地知道一共进7种货。

在各种劳动生产中，各种产品都不可避免，或多或少的出现损坏的情况。

例如在农产中，如此之多的合格农产品，数上三天三夜都可能数不过来。

但我们照样能够利用集合思想来完成合格农产品的统计。

例如：有10亩地，每亩可种上4000颗稻谷种子，每颗种子可收获10个谷子。

不合格共有2000颗。

请问合格的有多少颗？总共的稻谷=10400010=400000（颗）爸爷合格？共40万颗合格的稻谷=总共的稻谷—不合格的稻谷=400000—2000=39800（颗）这对于产业的科学分析、改进、生产水平起着一定至关重要的作用。

【精选】人教版三年级上册数学第九单元《数学广角——集合》优秀教案

【精选】人教版三年级上册数学第九单元《数学广角——集合》优秀教案本单元教材第一次安排了简单的集合思想的教学。

集合思想是数学中最基本的思想，虽然学生在计数和计算的学习中，已经接触过集合思想，但学生在低年级接触的集合思想更多是一一对应的思想，对于两个集合间的运算，尤其是交集的体会并不多。

学生在早期学习数学时就已经开始运用集合的思想方法，如：分类的思想与方法。

一年级时接触过这样的题目：“有一列小朋友，从前数明明排第5，从后数明明排第3，这一列有几人？”对于“重复的人数要减去”，学生是有经验的，能够列式解答。

集合这一数学思想的引入为培养学生的逻辑思维能力提供了良好的素材。

在今后的学习经常运用到如：三角形的分类、各种四边形的关系等，都是让学生在体会运用上解决实际问题，为今后的学习奠定基础。

)第1课时集合【教学导航】教材第104～105页的内容。

【教学目标】1．在具体情境中，使学生感受集合的思想，感知集合圈的产生过程。

2．能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题，同时使学生在解决问题的过程中，进一步体会集合的思想，进而形成策略。

3．渗透多种方法解决重叠问题的意识，培养学生善于观察、勤于思考的学习习惯。

【重难点】重点：让学生感知集合的思想，并能初步用集合的思想解决简单的实际问题。

难点：理解重叠部分的含义。

【教学准备】课件。

【教学设计】【情境导入】师：老师先给大家出一道脑筋急转弯：两位妈妈和两位女儿一同去看电影(每人都得买一张票)，可是她们只买了3张票，便顺利地进了电影院。

这是为什么？学生活动：学生猜测各种可能性，踊跃地发表自己的意见。

师：大家的猜测都有自己的道理，但答案到底是什么呢？暂时不公布答案，我想通过下面的活动，大家一定能自己找到答案的。

【探究新知】1．想一想。

师：学校准备从每个班中选几名热爱运动的学生参加体育训练，为下学期的校运动会做准备。

下面是三(1)班参加跳绳、踢毽比赛的学生名单。

(课件出示：教材第104页表格)师：数一数，参加跳绳的有几位同学？参加踢毽的有几位同学？生：参加跳绳的有9人；参加踢毽的有8人。

人教版数学三年级上册集合教学反思(精选3篇)

人教版数学三年级上册集合教学反思（精选３篇）〖人教版数学三年级上册集合教学反思第【1】篇〗在进行对“集合”这一节的内容进行教学时，我从学生学习的实际情况出发，根据教学目标，课前调查分析以及课堂教学现象的深入分析进行了反思。

教学目标：1、使学生借助具体内容，初步体会集合的数学思想方法。

2、运用集合的思想方法解决一些简单的数学问题或实际问题。

3、使学生在学习活动中获得成功的体验，提高学生学习数学的兴趣。

由于学生在一年级学习数学时，就已经在运用集合的思想方法了，如学生在学习数数时，把3顶帽子、2朵花、4棵树用一条封闭的曲线圈起来表示……因此，在教学“数学广角”例1的知识时，就充分调动学生已有经验，借助学生熟悉的题材，渗透集合的有关思想方法，帮助学生理解并掌握利用直观图的方式解决问题。

一、联系生活实际，体现教学的层次性。

首先通过例题展现完整的集合图，分别画出参加语文小组、数学小组的集合圈，再体现交集的意义即有三个同学既参加语文组又参加数学组，帮助学生借助直观理解数量关系，体会用集合思想解决问题的策略。

在练习时，通过让学生填不完整的集合图、自己尝试画图分析等，体现“给出元素——只给图填元素——没有图抽象思考”的学习层次，引导学生由直观过渡到抽象，进一步理解集合思想。

在学习资源的选材上，也从贴近学生的生活实际入手，如到商店进货、学生参加课外兴趣小组，水果店卖水果等，让学生充分体会到数学与生活的密切关系，感受到生活中处处有数学。

在教学方法上，引导学生借助直观图，在教师的指导下自主探索，独立思考，合作交流，采用多种有效的教学方式帮助学生主动参与到学习中来，成为学习的主人，从而提高学生解决问题的意识与能力。

二、借助多媒体优化教学效果。

这节课中教师利用简单的动画演示，形象地体现出集合思想的实质——交集的意义，突破了教学难点，促进学生的思维更加活跃。

三、教师要善于引导，善于围绕教学目标提问，自始自终关注学生，特别是学困生，更要给予更多的帮助。

人教版数学三年级上册集合说课稿(精选3篇)

人教版数学三年级上册集合说课稿（精选３篇）〖人教版数学三年级上册集合说课稿第【1】篇〗说教学目标：1.让学生经历韦恩图的产生过程，能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。

2.培养学生善于观察、善于思考的学习习惯。

使学生感受到数学在现实生活中的广泛应用，尝试用数学的方法解决实际生活中的问题，体验解决问题策略的多样性。

说教学重点：让学生感知集合的思想，并利用集合的思想方法解决简单的实际问题。

说教学难点：学生对重叠部分的理解。

说教学准备：多媒体课件、姓名卡片等。

说教学过程：（一）创设情境，引出新知1.出示信息。

出示教科书例1，只出示统计表，不出示问题。

让学生说一说从中获得了哪些信息。

2.提出问题，激发“冲突”让学生自由提出想要解决的问题，重点关注“参加这两项比赛的共有多少人”这个问题，让学生解答。

关注不同的答案，抓住“冲突”，激发学生探究的欲望。

（二）自主探究，学习新知1.独立思考表达方式，经历知识形成过程。

师：大家对这个问题产生了不同的意见。

你能不能借助图、表或其他方式，让其他人清楚地看出结果呢？学生独立思考，并尝试解决。

2.汇报交流，初步感知集合概念。

（1）小组交流，互相介绍自己的作品。

（2）选择有代表性的方案全班交流。

请每幅作品的创作者上台介绍自己的思考过程，注意追问“如何表示出两项比赛都参加的学生”，体会两个集合中的公共元素构成的交集。

预设1：把参加两项比赛的学生姓名分别列出，把相同的名字连起，就找到两项比赛都参加的学生了，有3人。

这样参加跳绳比赛的9人，加上参加踢毽比赛的8人，再去掉3个重复的，应该是14人。

预设2：先写出所有参加跳绳比赛同学的姓名，再写参加踢毽比赛的。

如果与前面的相同就不重复写了，连线就能表示了。

一共写出了14个不同的姓名，说明参加比赛的有14人。

从姓名上如果引出两条线，就说明他两项比赛都参加了。

预设3：把参加两项比赛学生的姓名分别放到两个长方形里，再把两项比赛都参加的学生的名字移到一边，两个长方形里都有这三个名字，把这两个长方形的这部分重叠起来，名字只出一次就可以了。

小学数学常用的16种解题思想方法

数学|小学数学常用的16种思想方法数学基础打得好，对将来的升学也有较大帮助。

但是数学的学习比较抽象，小学生在学习过程中会碰到一些“拦路虎”，掌握一些方法，这些就都不怕了。

1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。

如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。

2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。

假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。

在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。

4、符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。

如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。

如定律、公式、等。

5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。

如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。

类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。

6、转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。

如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。

7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。

如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。

2024年人教版数学三年级上册集合教案与反思推荐3篇

人教版数学三年级上册集合教案与反思推荐３篇〖人教版数学三年级上册集合教案与反思第【1】篇〗第9单元数学广角——集合第1课时集合【教学内容】教材第104页例1。

【教学目标】1.在具体情境中感受集合思想，掌握填写集合圈的方法。

2.会借助直观图，利用集合思想解决简单的实际问题。

【教学重难点】重点：运用集合思想解决简单的实际问题。

难点：会读取集合圈中的信息，理解“重复部分”。

【教学过程】一、开门见山，引入新课1.导入：课间，同学们都喜欢什么样的运动？看，三（1）班选拔了一部分喜欢运动的同学参加学校的运动会（出示例1），那么我们能算出参加这两项比赛共有多少人吗？2.猜一猜：你认为有多少人？（可以有不同的结果）3.同学们猜出了多少种结果，那么到底谁猜得对？（1）有人数了数跳绳9人，踢毽8人，共有17人，你同意吗？说说你的想法。

（2）有人说参加比赛的人数没有17人，你同意吗？说说你的想法。

（没有17人，是因为有人重复报了两项比赛。

）4.那到底有多少人？为了解决这个问题，怎样表示能清楚地看出来呢？（引导：把重复的人连线或打记号等。

）可在表格上直接连线，能最清楚地看出有3人重复报了。

5.为了更清楚地让我们看出哪些人只报了一项，哪些人两项都报了，你有什么好办法？（适当引出画集合图的方法。

出示课题：集合）6.你能把人名填到集合图中吗？（1）小组协作完成。

（2）把人名不要了，换了人数你会填吗？（独立完成）（3）观察集合圈图，要算出参加比赛的总人数怎样列式？为什么？（小组交流讨论，全班反馈）（4）反馈：9+8-3=14（人）①说算理。

②适当追问：为什么要减3？7.回顾算理，整理思路：通过对例1的分析解答，有什么要与同学们交流的？关键要注意什么？（减去重复的）8.巩固练习。

（1）教材第105页做一做第1题。

①独立填写。

②重点观察重复处。

（2）做一做第2题。

①独立填写。

②反馈思路。

二、拓展深化，巩固提高1.练习二十三第1题。

数学思想方法在集合问题中的应用

数学思想方法在集合问题中的应用作者：黄伟军张勇平来源：《广东教育·高中》2011年第09期集合是每年高考必考的知识点，若以选择题或者填空题的形式出现，主要有两种考查倾向，一是考查集合的基本概念，二是一些基本运算问题；当然也不排除出解答题的可能，集合常与其他知识（如函数、方程、不等式等）进行交汇命题，考查中学数学的一些数学思想方法.在解答集合这部分内容中的数学问题时，倘能积极挖掘问题中隐含的数学思想方法，能使复杂的问题变得条理清楚，脉络分明，起到化难为易、化繁为简、事半功倍的作用. 为帮助2012届的考生更好地把握如何利用数学思想方法解题，本文总结了集合中比较常考的思想方法，并对每一种思想方法先作一个总体的阐述，然后配以典型的例题辅以说明，旨在引导考生尽快领会如何应用所介绍的方法解题，相信新一届高三的同学们阅读后会有不少的收获.一、利用直接法解题直接法就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而解题的一种方法.例1（2011年高考天津卷）已知集合A={x∈R|x+3+x-4≤9}，B={x∈R|x=4t+-6，t∈（0，+∞）}，则集合A∩B=.分析要解答本题，首先就要理解两个集合所表达的意义，集合里的一些符号及集合的运算法则.解析因为t>0，所以4t+≥4，所以B={x∈R|x≥-2}；由绝对值的几何意义可得：A={x∈R|-4≤x≤5}，所以A∩B={x|-2≤x≤5}.点拨运用直接法在解答客观题时需要扎实的数学基础，即必须熟练掌握课本上的基本概念、基本定理、公式、法则等，利用直接法来解答的题目是相当多的，希望同学们在复习备考时应注意把基础部分的把握落到实处.二、利用数形结合法解题数形结合是指根据问题的数量和相关图形间的关系，认识问题的数学特征，求得问题解决的一种数学思想，应用数形结合思想解答集合部分问题的关键是由问题的数量关系作出或构造其几何图形，或由已知图形分析其数量特征,使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而快速找到解题的途径. 在每年的高考中，利用数形结合法解答客观题（包括填空与选择题）的频率是相当高的，希望同学们应注意和重视数形结合法解题.例2 （2011年高考江苏卷）设集合A={（x，y）|≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B=，则实数m的取值范围是.分析本题综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公式、两条直线位置关系、解不等式，这道集合问题比较抽象，是一道难题，根据题目的意思，我们不妨借助利用数形结合法解答解析当m≤0时，集合A是以（2，0）为圆心，以m为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，∵+m=（１－）m+>0，因为A∩B≠，此时无解；当m>0时，集合A是以（2，0）为圆心，以和m为半径的圆环区域，集合B是在两条平行线之间的带状区域，必有≥m，≤m，∴≤m≤+1. 又因为≤m2，∴≤m≤+1.点评有的集合问题比较抽象，解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图像，采用数形结合方法，往往可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解例3已知集合A={（x，y）|x2+（y-1）2=1}，B={（x，y）|x+y+a≥0}，若A∩B=A，求实数a的取值范围.分析 A，B均为点集，A是一个圆上的点组成的集合，B是一个平面区域组成的集合，A∩B=A说明圆在平面区域内，据此我们考虑数形结合思想方法来解题.解析A∩B=A?圳AB，所以圆x2+（y-1）2=1总在平面区域x+y+a≥0内，如右图所示，当x=y=0时，x+y+a≥0中的a≥0，所以直线y=-x-a的截距小于零，在坐标系中作出平面区域和圆，当直线y=-x-a在图中的位置且向左下方平移时，均满足条件，故只需求出临界状态下的截距.由直线y=-x-a与圆x2+（y-1）2=1相切，得=1，解得a=-1或a=--1（舍去）. 所以实数a的取值范围是a≥-1.点评本题可以用代数法求解，但是过程复杂，运算量大，根据题目的特征，我们利用数形结合思想，快速解答了本题. 通过本例题可以看出，通过挖掘问题的几何意义，构造出问题的几何模型，以形助数，用数形结合法既可借助直观获得简捷解法，又可避免因对限制条件考虑不周造成的失误，还有利于沟通数学各个分支.三、利用特殊与一般的思想方法解题对于某个一般性的问题，如果一时难于解决，那么可以先解决它的特殊情况，即将研究对象的全体变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解决，这就是特殊化思想.从特殊情况出发，推出一般情况的结论的思想方法在数学解题中是随处可见的，特殊情况比较容易猜想出结论.例4 （2011年高考广东卷）设S是整数集Z的非空子集，如果a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且a，b，c∈T，有abc∈T；x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A． T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B． T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C． T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D. T，V中每一个关于乘法都是封闭的分析这是一道以集合知识为背景的开放性定义型问题，近两年来广东的高考都考了类似的题，从评卷的情况来看，此题失分大，失分的主要原因是题目字母多，比较抽象，考生不适应这类新定义（运算）问题的解答，解此类问题的关键是理解并且掌握题目给出的新定义与（新运算），思路是利用特殊与一般化地思想方法构造出满足题目条件的特殊的集合，这样就降低了题目的难度，有助于同学们正确理解题意.解析取T={x|x∈（-∞，1]，且x∈Z}，V={x|x∈[2，+∞），且x∈Z}，可得T关于乘法不封闭，V关于乘法封闭；又取T={奇数}，V={偶数}，可得T与V关于乘法均封闭，故排除B，C，D，选A.例5 （2011年高考浙江卷）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1），记集合S={x| f（x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R）}，若S，T 分别为集合S，T的个数，则下列结论不能成立的是（）A. S＝１且 T＝0B. S＝１且 T＝1C. S＝２且 T＝２D. S＝２且 T＝３分析这道高考题同样是字母符号多，要理解的概念多，初看难于下手，倘若我们给字母赋予特殊值，则题目就变成简单容易理解了，使题目快速获得解答.解析若a=b=c=0，则f（x）=x3=0，得到S=1，g（x）=1，g（x）=0无解，因此 T＝0，即选项A有可能成立；若a=1，f（x）=x（x2+bx+c），又满足b2-4c点评从上述两道高考题的解答来看，凡是遇到抽象晦涩难懂的集合题目时我们都可尝试利用特殊与一遍的思想方法解题，命题对一般情况成立，对特殊情况也成立；对特殊情况不成立，对一般情况肯定不成立，选取特殊时也要注意选取恰当的集合,否则容易出错.四、利用分类讨论思想方法解题当面临的数学问题有多种情形加以说明，不能一概而论或不能用一种方法或同一的形式加以解决时，我们必须把面临的对象划分为几类，分别加以解决，这就是分类讨论思想方法.例6 设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：AiAj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，i、j=0，1，2，3则满足关系式（xx）A2=A0的x的个数为（）A. 1B. 2C.3D. 4解析 Aj表示由被4除的余数i（i=0，1，2，3）组成的集合，若x=A0，则xx=A0A0=A0，A0A2=A2≠A0；若x=A1，则xx=A1A1=A2，A2A2=A0，继续验证x=A3，A2分别与x=A1，A0情况相同，选B.点评应用分类讨论思想方法解答问题时要做到能根据解题需要确定讨论对象及讨论的范围，把讨论对象进行合理的分类，做到不重复、不遗漏，对每一类分别进行讨论，最后将各类的结论归纳、化简，得出结论.五、利用转化与化归思想解题在解集合问题时，当一种集合的表达式不好入手时，可将其先转化为另一种形式. 如将A∩B=B或A∪B=A转化为BA，将（UA）∪（UB）转化为U（A∩B），将（UA）∩（UB）转化为U（A∪B）等，转化与化归思想在解答集合部分的题目的作用是相当大的，在解题中有意识地利用转化与化归思想解题有助于提高解题的能力和速度.例7 已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|mx-1=0}，若A∪B=A，求实数m的值.分析由A∪B=A转化为BA，我们就容易理解题意了.解析 A={x|x2-3x+2=0}={1，２}.因为A∪B=A，所以BA.当B＝时，m=0，满足题意.当B≠时，若x=1，则有m=1，满足题意.若x=2，则有m=，满足题意.综上所述实数m的值为0，1，.点评本题的这种解法充分体现了将问题进行等价转化的重要性. 很多同学在解题时由于不会等价转化，从而忽视对空集的讨论，导致漏解.六、利用补集思想方法解题补集思想是解答数学问题中的一种重要的思想方法，补集思想是“正难则反”的发散性思维的运用，是逆向思维的一种表现方式，从正面尝试解答某个问题遇到障碍时，补集思想往往会成为解题的有效手段，其基本步骤是：从其反面来考虑，先求其补集，再次求补集即为所求集合.例8 已知集合P={x|4≤x≤5，x∈R}，Q={x|k+1≤x≤2k-1，x∈R}，求当P∩Q≠Q时，实数k 的取值范围.分析P∩Q≠Q的情况比较复杂，若正面求解，需要一一列举出来分别讨论，然后再求并集，运算量相当大，并且不容易考虑周全,注意到“≠”比较特殊单纯，从问题的反面去思考探究，就容易得到正面结论，这就是补集思想在解题的灵活运用.解析若P∩Q=Q时，即QP，当Q=时，k+1>2k-1，解得k当Q≠时，k+1≥4,2k-1≤5,k+1≤2k-1,解得k=3.所以当k故当k≥2且k≠3时P∩Q≠Q.例9 设全集U={2，４，２m2-3m-3}，集合A={2，m2-m+2}，UA={-1}，求m的值.分析初看这道题不容易下手，通过挖掘题目中的条件，可得UA∪A=U，所以m2-m+2只能等于4，或者-1一定在集合U中但不在集合A中，则问题迎刃而解了.但是要注意检验.解析因为UA={-1}，所以-1∈U，得2m2-3m-3=-1，得2m2-3m-２=０，解得m＝２或m ＝-.把m＝-代入集合Ａ，得到Ａ={２，}，m＝-不合题意，舍去；把m＝２代入集合Ａ，得到Ａ={２，４}，合题意. 所以m＝２.点评解答上述两道题的关键是充分利用了集合中的补集思想和基本性质，在解答与补集有关的命题时，要注意的是（1）补集中的元素一定是全集中的元素，但是全集中的元素不一定是补集中的元素，也就是说补集是全集的子集.（2）根据条件确定集合中的参数的值时，列方程是关键，解出参数后要验证，否则易出错.（作者单位：广东省五华县五华中学）责任编校徐国坚“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。

小学数学学习的九个思想方法

一、集合的思想方法把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。

集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。

在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。

如用圆圈图（韦恩图）向学生直观的渗透集合概念。

让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。

利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。

二、对应的思想方法对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。

小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。

如人教版一年级上册教材中，分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。

三、数形结合的思想方法数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。

“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。

它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。

例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。

我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。

四、函数的思想方法恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。

有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。

”我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。

三年级下册《数学广角——集合》教案

三年级下册《数学广角——集合》教案三年级下册数学广角——集合问题教材分析：本单元是逻辑思维训练的起始课，要求学生能根据提供的信息，借助集合圈进行判断、推理，得出结论。

教材通过一些生动有趣的简单事例，初步培养学生借助几何直观思考问题的意识。

教学目标：1、使学生感知集合图的产生过程。

2、能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。

3、培养学生善于观察、勤于思考的研究惯。

教学重点：让学生感知集合的思想，并能初步用集合的思想解决简单的实际问题。

教学难点：对重叠部分的理解。

教学准备：课件、呼啦圈2个、磁性圆片教学过程：一、创设探究情境，引领学生初步感知。

1、创设情境，激发兴趣。

脑筋急转弯：两位爸爸和两位儿子一同去海洋世界（每人都得买一张票），可是他们只买了3张票，便顺利地进去了。

学生猜测各种可能性，发表自己的高见。

2、设置悬念，引人入胜。

师：“答案到底是什么呢？暂时老师还不想告诉你们，我想通过下面的活动，大家一定能自己找到答案的。

”二、创设实践情境，引领学生深入理解。

一）报名参加数学比赛：四宫数独和六宫数独1、师：三年级一班有3名学生报名参加了四宫数独，4名学生报名参加了六宫数独。

2、出示参加四宫、六宫数独比赛的学生名单，数一数参赛人数。

3、请参赛的同学上台，让我们一起数一数，解决矛盾问题。

4、小组讨论，想到方法的同学上台进行调整，把重复参赛的同学放在两圈的交叉位置，并说一说各个组的名单。

5、老师提出问题：除了语言和动作，你们能想到用什么方法来表示一个集合，让我们能清楚地看出每个人的情况，并且知道集合中有多少人吗？学生小组合作画出集合图或XXX 来表示。

老师与学生一起画出集合图，并介绍集合图的概念和XXX的命名来源。

6、老师让学生介绍集合图中各个圈的意义。

7、老师提问：三（1）班一共有多少人参加比赛？学生小组讨论并汇报各自的算式。

算法多样化。

8、老师提出问题：如果三（2）班也有学生参加比赛，他们班可能会有多少人参加比赛？学生小组讨论并完成表格，列出算式和规律。

集合思想在小学数学教学的应用

摘要：集合思想是重要的数学思想方法，自始至终贯穿于小学数学知识体系之中，教师若能充分掌握，灵活运用于教学之中，不仅能提高自身的教学能力，还能帮助学生牢固的掌握数学知识以及解题技巧，培养学生的数学素养。

任何两个事物都会有差异，所以要找准切入点，加以概括，把事物之间的共性找出来，然后再把这些具有共性的因子看作“集合”。

集合思想在小学数学教学中的使用策略主要有：1、结合集合思想方法，挖掘教材教学内容执教；2、结合集合思想方法，注重学生个体特点执教；3、结合集合思想方法，应用于知识拓展教学。

关键词：小学；数学；集合思想在小学数学教学中，有些教师自身对知识没有宏观的把握，或者缺乏对知识整体性的思考，常常将每个章节看作一个独立的知识体系，未能将各个知识点前后联结起来，以至于整个教学过程也缺乏系统性，不利于学生对知识体系的整体建构。

集合思想是重要的数学思想方法，自始至终贯穿于小学数学知识体系之中，教师只要提炼得当，应用于教学之中，不但可以把相关的数学知识点进行有效的衔接和融合，提高自身的教学能力；同时还有利于学生牢固的掌握数学基础知识和解题技巧，提高学生编织知识网的能力，增强学生数学素养的培养。

一、集合思想的概念内涵集合思想由德国数学家康托创立，是指把相类的事物看作一个整体加以理解和应用。

在这个整体当中，任何两个事物都会有差异，所以要找准切入点，加以概括，把事物之间的共性找出来，然后再把这些具有共性的因子看作“集合”。

集合思想是反映事物和事物之间联系的一种思想方法。

集合思想方法包含了概括原则、外延原则和对应原则三个原则。

在认数教学中，教师要结合各种集合图，可以是选用书本上的，也可以是选用一些生活中常见的事物自己画。

同时还可以反过来给学生一个数字，让学生画集合图，这样既可以让学生开动脑筋发挥自己的想象，也可以让学生更了解集合中的元素与基数概念的联系。

在日常教学中，教师还要让学生理解一些用来描述集合的常用术语，如“一些”、“一堆”、“一组”、“一群”等。

巧用数学集合思想解决自由组合概率问题论文

巧用数学集合思想解决自由组合的概率问题摘要：自由组合规律是现代生物遗传学三大基本定律之一。

我们在解决自由组合的概率计算问题时，一定要首先深刻理解它是建立在分离规律的基础之上，即当具有两对（或更多对）相对性状的亲本进行杂交，在子一代产生配子时，在等位基因分离的同时，非同源染色体上的基因表现为自由组合。

其实质是非等位基因自由组合,即一对染色体上的等位基因与另一对染色体上的等位基因的分离或组合是彼此间互不干扰的，各自独立地分配到配子中去。

关键词：自由组合规律；集合；数学；概率；数学教学中图分类号：g633.6 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2011）12-050-01有关自由组合的概率计算，高中学生普遍感到很难，我们不妨借鉴数学的集合，巧解其概率计算。

下面以一道2008年广东高考题为例说明。

下图为甲病（a-a）和乙病（b-b）的遗传系谱图，其中乙病为伴性遗传病，请回答下列问题：（1）甲病属于，乙病属于。

a．常染色体显性遗传病b．常染色体隐性遗传病c．伴y染色体遗传病d．伴x染色体隐性遗传病e．伴y染色体遗传病（2）ⅱ-5为纯合体的概率是，ⅱ-6的基因型为，ⅲ-13的致病基因来自于。

（3）假如ⅲ-10和ⅲ-13结婚，生育的孩子患甲病的概率是，患乙病的概率是，不病的概率是。

答案：（1）ad（2）1/4aaxby8 （3）2/3 1/8 7/24对于自由组合的概率计算，常规的解题思路如下：①后代完全正常的概率：甲正常×乙正常②只患甲病的概率：甲患病×乙正常③只患乙病的概率：乙患病×甲正常④只患一种病的概率：只患甲病+只患乙病=甲患病×乙正常＋乙患病×甲正常⑤两病兼患的概率：甲患病×乙患病⑥患病的概率：（只患甲病+只患乙病＋两病兼患）或（1-正常的概率）（1）牢牢把握住：两种遗传病分开考虑符合分离规律。

第一问：ⅱ-3、ⅱ-4有甲病而生出正常的ⅱ-9、ⅱ-11（有中生无），可以判断出，aa×aa，才有可能出现aa的情况，甲病是常染色体显性遗传病。

新课标人教版小学数学三年级上册《集合》优质课公开课教案

新课标人教版小学数学三年级上册《集合》优质课公开课教案《集合》教案教学目标一、知识与技能１.结合具体情境中，使学生感受集合的思想，感知集合圈的产生过程。

２.能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。

二、过程与方法１．使学生在解决问题的过程中，进一步体会集合的思想，进而形成策略。

２.在探索研究过程中，进一步加深对重叠部分的理解。

三、情感态度和价值观１.渗透多种方法解决重叠问题的意识，培养学生善于观察、勤于思考的研究习惯。

教学重点：让学生感知集合的思想，并能初步用集合的思想解决简单的实际问题。

教学难点对重叠部分的理解。

教学方法动手操作、合作探究、验证归纳等方法。

课前准备多媒体课件。

课时安排1课时教学过程一、导入新课师：老师先给大家出一道脑筋急转弯：两位妈妈和两位女儿一同去看电影（每人都得买一张票），可是她们只买了3张票，便顺利地进了电影院。

这是为什么？学生活动：学生猜测各种可能性，你一言我一语地发表自己的高见。

师：大家的猜测都有自己的道理，但答案到底是什么呢？暂时老师还不想告诉你们，我想通过下面的活动，大家一定能自己找到答案的。

二、新课研究１.讲授例1.1方法一。

师：黉舍准备从每个班中选几名热爱运动的学生参加体育训练，为下学期的校运动会做准备。

上面是三（1）班参加跳绳、踢毽竞赛的学生名单。

（出示第104页表格）师:数一数，参加跳绳的有几位同学？参加踢毽的有几位同学？生：参加跳绳的有9人，参加踢毽的有8人。

师：那么，参加体育训练的一共有几位同学？你会计算吗？学生可能回答；一共有17人，9+8=17（人）。

可是，参加这两项活动的没有17人呀。

我发现有的人两项活动都参加了。

应该是一共有14人参加了，算式是9+8=14（人）。

……师：到底怎么回事呢？为什么有人说一共是14人呢？为什么要减去3呢？生：因为有3个人反复了。

生：因为这3个人及参加了跳绳，又参加了踢毽。

生：因为跳绳的9人里面有这3个人，踢毽的8人里面也有这3个人，所以计算的时候就不能是9+8=17（人），还应该减去3人，所以是9+8-3=14（人）。

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