§4.3 高阶微分方程的降阶法
可降阶的高阶微分方程
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【例 2】求方程 2xy′y′′ = 1 + ( y′)2 的通解. 】 的通解.
【 解】 , 因 2xy′y′′ = 1 + ( y′)2 不显含未知函数 y,则令 y′ = p(x) ,
则
p = ± C1 x − 1 y′ = ± C1 x − 1.
y = ± ∫ (C1 x − 1) dx
2 (C1 x − 1) + C 2 =± 3C1
为所求方程的通解. 为所求方程的通解.
3 2
1 2
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3. y′′ = f ( y, y′)型的微分方程 .
方程特点】 【方程特点】右端不显含自变量 x.
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p = ϕ( y, C1 ),则可由
dy = ϕ( y,C1 )用分离变量法即可求出原 dx
方程的通解. 方程的通解.
dy ∫ ϕ ( y,C1 ) = x + C2
教材例5】 【教材例 】 求微分方程
yy′′ − y′ 2 = 0 的通解
d p d p dy dp = =p dx d y dx dy
令 y′ = p(x) , 则 y′′ = dp dx
′ = p( y) , 则 y′′ = p dp 令y dy
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【思考与练习】 思考与练习】
方程 ［ 答 ］令 如何代换求解 ? 或 均可. 均可
一般说, 用前者方便些. 一般说 用前者方便些 有时用后者方便 . 例如, 例如
第四章高阶微分方程
高阶微分方程
本章先从一个实际例子出发， 介绍高阶微分方程的一般形式， 进一步了解可降阶的 微分方程， 重点讲述高阶线性方程的基本理论和常系数线性方程的求解方法。最后给出 高阶方程的一些应用实例。 【例1】 鱼雷追击模型 一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时， 我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1 公里 处。 我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42 公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。 试问敌舰航行多远时将被击中 ？ 〖 解〗 设敌舰初始点在Q0 (1, 0) 处，运动方向为平行y 轴的直线，t 时刻到达Q 点，鱼 雷的初始点在P0 (0, 0)处，沿曲线y = y (x)追击，敌舰的速度v0 = 0.42，则在时刻t ，鱼雷 在点P (x, y )处，此时敌舰在点Q(1, v0 t)，如图4.1。由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰， 而鱼雷的运动方向正好是沿曲线y = y (x) 的切线方向，那么，鱼雷的运动方程为 dy v0 t − y = (4.1) dx 1−x 而鱼雷行使的速度为2v0，分为水平方向运动和垂直方向运动，故满足以下关系式 ( 将(4.1)改写为 v0 t − y = (1 − x) 将(4.3)两边同时对x求导数，得 v0 由(4.2)可得 dt 1 = dx 2v0 将(4.5)代入(4.4)中，得 1+( dy 2 ) dx (4.5) dy d2 y dy dt − = (1 − x) 2 − dx dx dx dx (4.4) dy dx (4.3) dx 2 dy ) + ( )2 = 2v0 dt dt (4.2)
−
t t0
(4.15)
a1 (s)ds
,
t, t0 ∈ [a, b]
(4.16)
【例3】 验证函数xt是方程 出该方程的通解。
第三节 可降阶的高阶微分方程
例5
求方程 yy′′ − y′2 0 的通解 。 ＝
dp 解 令 p = y′ ，则 y′′ = p 。 dy dp yp − p2 = 0 。 于是， 于是，原方程化为 dy dy = 0 ，故此时有解 y = C 。 若 p = 0 ，则 dx dp dy = 。 若 p ≠ 0 ，则原方程化为 p y dy p = 0 对应于 C1 = 0 = p = C1 y 。 两边积分，得 两边积分， dx y = C2 eC1x。 运用分离变量法， 运用分离变量法，得此方程的通解为
2 2
（***）
此处取负号是因为物体运动的方向与y轴的正向相反. 在（***）中令 y=R，就得到物体到达地面时的速度为
2 gR(l − R) v=− l
最后求物体落到地面所需的时间. 由（***）式有
1 1 dy = v = −R 2g − , y l dt
分离变量，得
1 l y dt = − dy. R 2g l − y
1 y′′ = 1 + y ′2 a
取原点 O 到点 A 的距离为定值 a ，即 |OA|= a ,则初始条件为：
y x =0 = a, y′ x =0 = 0.
故初值问题为
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
令 y ′ = p,
y′′ = p′ 代入上方程，得
dx = a 1 + p2 dp
1 2 p′ = 1+ p . a
x ln( p + 1 + p ) = + C1 a
高阶方程的降阶法和幂级数解法
y c1e
x
( 2)
1 dt t
c1t
x
( 4)
c1t
x
( 3)
c1 2 t c2 2
c1 3 c1 4 c2 2 t c 2 t c3 x t t c3t c4 24 2 6
5 3 2
9
t c2 t c3 t c4 t c5 x c1
7
2014-2-21
常微分方程-重庆科技学院-李可人
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
特别，对于二阶方程
F (t , x, x) 0
x y,
x y
F (t , y, y) 0
y (t, c1 )
x (t , c1 )
2014-2-21 常微分方程-重庆科技学院-李可人
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
2)不显含自变量
t 的方程
(4.59)
可降低一阶
( n) F ( x, x ,, x ) 0
方法
x y d d dy dx dy x ( x) y y dt dt dx dt dx
y xk y an2 x xk y 2 xk
a1
x
(n)
x
( n1)
(n)
xk y
( n1)
y xk y nxk
2014-2-21
( n 1)
n(n 1) (n) ( n2) xk y xk y 16 2
xk
( n2)
高数可降阶的高阶微分方程
高数可降阶的高阶微分方程
高数中可降阶的高阶微分方程，是指可以通过变量代换或其他方法将高阶微分方程转化为更低阶的微分方程的方程。
以二阶线性非齐次微分方程为例，可以通过提取其中的齐次解，得到其对应的齐次方程，之后再运用待定系数法求出非齐次方程的特解，将齐次解与特解相加即可得到方程的通解。
例如，对于形如 $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$ 的二阶线性非齐次微分方程，我们可以先求出其对应的齐次方程
$y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 的通解 $y_c(x)$，然后通过待定系数法求出非齐次方程的一个特解 $y_p(x)$，通解就可以表示为
$y(x)=y_c(x)+y_p(x)$ 的形式。
这样，原方程就被降阶为了一阶微分方程。
类似的，对于其他类型的高阶微分方程，也可以通过一些变量代换或其他方法将其降阶为更低阶的微分方程，方程的解法也可以根据具体情况采用待定系数法、变量分离、变换变量等方法进行求解。
可降阶的高阶微分方程
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
第四章 高阶微分方程 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt
5/8/2021
第四章
10
x1
t 2 , 0,
1 t 0 0t 1
注 仅对函数而言 线性相关时W(t)≡0的
逆定理一般不成立。
例 函数
和
x1
t 2 , 0,
x2
0,
t
2
,
1 t 0 0t 1
1 t 0 0t 1
在区间-1≤t≤1上有W[x1(t),x2(t)]≡0 ,但却线性无 关。
证 5/8/2021 用反证法证。
第四章
12
(续)定理4 齐次线性微分方程的线性 无关解的伏朗斯基行列式恒不为零
dn x dtn
a1(t)
dn1 x d t n1
an1 (t )
d d
x t
an
(t ) x
0
证 用反证法证。设有t0 (a≤t0≤b) 使得W(t0)=0，则t = t0时 的 (6)、(7)组成的n个齐次线性代数方程组有非零解 c1 ,c2 ,…,cn。 根椐叠加原理，函数 x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) 是方程(2)的解，
第四章
13
定理5 齐次线性方程(2)的基本 解组必存在且其伏朗斯基行列式 恒不为零。
证 根据定理1，线性 方程(2)的满足初值 条件:
的解x1(t),x2(t),…,xn(t)必 存在，且有
x1
(t0
)
1,
x1'
(t0
)
0,
x2
(t0
)
0,
x2'
(t0
)
1,
xn
(t0
)
0,
xn'
可降阶的高阶方程
可降阶的高阶方程
求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。
下面我们以二阶方程为例来学习三种可以降阶的方程。
1.右端仅含x的方程：y"=f(x)
对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为一阶方程
，
再次积分，即可求出方程得通解。
例题：求方程y"=cosx的通解。
解答：一次积分得：
二次积分即得到方程得通解：
2.右端不显含y的方程：y"=f(x,y')
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是新的未知函数，x仍是自变量，于是，代入原方程得：
这就是一个一阶方程，然后即可由我们前面学的方法进行求解了。
例题：求方程的通解。
解答：令y'=p.，代入方程，得
分离变量后，得
积分，得
.即
再积分，即得原方程的通解：
.
3.右端不显含x的方程：y"=f(y,y')
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是自变量y的函数，有
代入原方程，得
这是关于p的一阶方程，我们可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。
例题：求方程的通解
解答：令代入原方程得：
它相当于两个方程：
由第一个方程解得：y=C;
第二个方程可用分离变量法解得
p=C
y
1
从而
由此再分离变量，解得：
这就是原方程的通解（解y=C包含在这个解中）。
可降阶高阶微分方程
n阶线性非奇次方程
y ( n ) + P1 ( x ) y ( n 1) + P2 ( x ) y ( n 2 ) + + Pn ( x ) y = 0
n阶线性奇次方程 下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构.
一. 二阶线性奇次方程解的结构 一般形式: y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0, 显然, y = 0 是(2)的解. 讨论非平凡解: 定理1. 如果 y1 ( x), y2 ( x) 是(2)的两个解,则 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) 也是(2)的解,其中 C1 ,C2 为任意常数. 证明: 由于 y1 ( x), y2 ( x)是(2)的两个解, 所以
∴C2 = 1
y = x3 + 3x + 1
三. y′′ = f ( y, y′) 型方程 如果方程不显含 x, dp = f ( y, p) 方程变为: p dy 解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解: 令 y′ = p , 则 y′′ =
dp dp dy dp = =p , dx dy dx dy
二. y′′ = f ( x, y′) 型方程 如果二阶方程不显含 y, 令 y′ = p ,则 y′′ = 方程变为: p′ = f ( x, p ) 解出这个一阶方程的通解: p = ( x, C1 ) 则原方程的通解为: 例:
dp = p′ dx
y = ∫ ( x, C1 ) dx + C2
的特解,则 y1 ( x) + y2 ( x) 是方程
y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) ( 4)
可降阶的高阶微分方程
2 y c ( 1 x ) p c1 (1 x ) 1
2
y x0 3 得 c1 3
y 3(1 x 2 ) y x 3 3 x c2
由 y x 0 1 c2 1 故 y x 3x 1
3
例6 解方程 y 1 ( y )2 . 看成类型二的特例
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
F0 2 t 3 x (t ) 2m 3T
二、 y f ( x , y ) 型
特点： 右端不显含未知函数 y 解法： 降阶 令ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y p y p
回代 y p 得
代入原方程得
dp f ( x , p) dx
若已求得其通解为 p ( x , c1 )
2 d P dP 2 2 y P P ( ) , , 2 dy dy
代入原方程得到新函数 P ( y )的 ( n 1)阶方程 ,
dy 求得其解为 P ( y ) ( y, C1 , , C n1 ) , dx
原方程通解为
dy x Cn ( y , C1 , , C n1 )
可降阶的高阶微分方程
前面介绍了几种标准类型的一阶方程及其求 解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相当 有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用 降阶法求解，一般都没有初等解法， 本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同 特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的 方程来求解。
§4 可降阶的高阶微分方程
f ( x , z ,, z
( n k 1 )
).
求得 z ,
将 y ( k ) z 连续积分 k次, 可得通解.
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程引言高阶微分方程是微积分中的一个重要概念，通常包含二阶及以上的导数。
然而，在某些情况下，我们可能希望将高阶微分方程降阶为一阶微分方程，这样可以更方便地求解和分析。
本文将讨论可降阶的高阶微分方程及其相关概念。
一阶可降阶微分方程一阶可降阶微分方程是指可以通过某种变换将其降为一阶微分方程的高阶微分方程。
例如，考虑一个二阶微分方程：d2y dx2+a(x)dydx+b(x)y=f(x)通过引入新的变量P(x)=dydx，我们可以将上述二阶微分方程转化为一个一阶可降阶微分方程：dPdx+a(x)P+b(x)y=f(x)这样，我们就成功地将高阶微分方程降为了一阶微分方程。
降阶方法降阶高阶微分方程的一般方法是引入新的变量，并通过适当选择这些变量的方式将其转化为一阶微分方程。
下面介绍几种常用的降阶方法。
1. 变量代换法变量代换法是一种常见的降阶方法，通过引入新的变量将高阶微分方程转化为一阶微分方程。
例如，对于一个三阶微分方程：d3y dx3+a(x)d2ydx2+b(x)dydx+c(x)y=f(x)我们可以引入新的变量P(x)=d 2ydx2和Q(x)=dydx，从而将该三阶微分方程转化为一个一阶微分方程：dPdx+a(x)P+b(x)Q+c(x)y=f(x)dQdx+b(x)P+c(x)Q=02. 微分幺正变换法微分幺正变换法是一种通过选择适当的变换矩阵将高阶微分方程转化为一阶微分方程的方法。
具体而言，通过选择一个幺正变换矩阵U(x)，我们可以将一个n阶微分方程转化为一个一阶微分方程：d dx [y1y2⋮y n]=U(x)[f1f2⋮f n]其中y i表示原始高阶微分方程的解，f i表示相应的一阶微分方程的解。
3. 特解代换法特解代换法是一种通过引入特解来降低高阶微分方程的阶数的方法。
具体而言，我们假设高阶微分方程的一个特解形式，并代入原方程求解。
将得到的特解代入原方程，我们可以得到一个低阶微分方程。
§4.3-高阶微分方程的降阶法
F (t, y, y', , y(nk) ) 0 (4.58)
若能求得(4.58)的通解 y (t, c1, , cnk ) 即 x(k) (t, c1, , cnk )
对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解
x (t, c1, , cn ), 这里c1, , cn为任常数
解题步骤:
第一步:
令y x',并y为新的未知函数, x为新的
自变量,原方程化为
G(x,
y,
dy , dx
,
d (n1) y dx(n1) )
0
第二步: 求以上方程的通解
y
(x, c1,
,
cn
）
1
第三步:
解方程
dx dt
(x, c1,
, cn1）
即得原方程的通解
例2
求方程x
d2x dt 2
( dx)2 dt
dx d(y
dy ) dx
dx
dx
dx dt
y( dy)2 dx
y2
d2y dx2
,
用数学归纳法易得:
x ( k )可用y,
dy dx
,
,
d (k 1) y dx(k 1)
(k
n)来表示
将这些表达式代入(4.49)可得:
G(x,
y,
dy dx
,
,
d (n1) y dx(n1)
)
0
它比原方程降低一阶
选择=结果
汇报结束 谢谢观看！ 欢迎提出您的宝贵意见！
即
x1 y'' 2[x1'' p(t)x1]y' 0
高阶微分方程的降阶和幂级数解法
目 录
• 高阶微分方程的降阶 • 幂级数解法 • 高阶微分方程的特解 • 高阶微分方程的通解
01
CATALOGUE
高阶微分方程的降阶
降阶方法一：变量代换法
总结词
通过引入新的变量来简化微分方程的形式，从而降低其阶数。
详细描述
这种方法通常用于将高阶微分方程转化为更容易处理的低阶微分方程或常微分方程。通过选择适当的变量代换， 可以将高阶微分方程转化为较低阶数的形式，从而简化求解过程。
降阶方法二：常数变易法
总结词
通过将微分方程中的常数项视为未知函数，从而减少微分方程的阶数。
详细描述
常数变易法是一种常用的降阶方法，适用于某些特定类型的高阶微分方程。通过将常数项视为未知函 数，并将其代入原方程，可以将其转化为较低阶数的微分方程，从而简化求解过程。
降阶方法三：线性组合法
总结词
通过对方程进行线性组合，将其转化为 较低阶数的微分方程。
验证解的正确性
通过将求得的解代入原微分方程进行验证，确保解的 正确性和有效性。
幂级数解法的应用实例
二阶常系数线性齐次微分 方程
对于形如y''+py'+qy=0的二阶常系数线性 齐次微分方程，可以通过幂级数解法求解其 通解。
非齐次项为多项式的高阶微 分方程
对于非齐次项为多项式的高阶微分方程，可以通过 将多项式转化为幂级数的形式，再利用比较系数法 求解。
VS
详细描述
线性组合法是一种常用的降阶方法，适用 于某些特定类型的高阶微分方程。通过对 方程进行线性组合，可以将其转化为较低 阶数的微分方程，从而简化求解过程。这 种方法通常需要对原方程进行适当的变形 和整理，以便进行线性组合。
常微分方程(王高雄)第三版 4.3ppt课件
.
1
一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式: F(t,x,x',,x(n))0
1 不显含未知函数x,
或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是
F (t,x (k ),x (k 1 ), ,x (n )) 0 (4 .5)7
若令 x(k) y,则可把方 y的 程 nk化 阶为 方程
y,
则方程化为
dy1 y 0
dt t
这是一阶方程,其通解为 yct,
即有
d 4x dt 4 ct ,
对上式积分4次, 得原方程的通解为
x c 1 t5 c 2 t3 c 3 t2 c 4 t c 5 ,
.
4
2 不显含自变量t的方程,
一般形式:
F (x,x', ,x(n))0 , (4 .5)9
此时 y以 x'作为新的,而 未x把 知 作函 为数 新的 ,
代入(4.69)得
x'' x1y'' 2x1 'y' x1 ''y
x 1 y '' [ 2 x 1 ' p ( t ) x 1 ] y ' [ x 1 '' p ( t ) x 1 ' q ( t ) x 1 ] y 0
即
x1y''[2x1 ' p(t)x1]y' 0
.
9
引入新的未知函数 z y ' , x1 y'' [2x1' p(t)x1]y' 0
显 然 xi 0 ,i1 ,2 ,L,k,令xxky,则 x' xky' xk' y
高阶方程的降阶技巧
高阶方程的降阶技巧高阶方程的降阶技巧目 录一．高阶方程的引入及定义 (1)二．几类常见的可降阶的高阶微分方程…………………………………………2 （一）()y f x ''=型的微分方程………………………………………2 （二）(,)y f x y '''= 型的微分方程 (3)（三）(,)y f y y '''=型的微分方程 (4)（四）二阶方程的幂级数解 (5)三．其他情况的高阶微分方程 (7)四．总结 (12)参考文献 (12)高阶方程的降阶技巧摘要:对于高阶方程的解法问题，降阶是普遍的求解方法，利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程的求解问题。
对于不同高阶微分方程给出了相应的降阶方法。
关键词:线性微分方程，降阶，非零特解1一．高阶方程的引入及定义所谓阶,就是导数(或微分)的最高阶数.函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成了代数方程，通过求解代数方程解出未知函数.同样，如果知道自变量，未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程. 而高阶微分方程,即阶数大于二或者等于二的方程.一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。
因为一般来说，低阶微分方程的求解会比求高阶的微分方程方便些。
特别地，对于二阶（变系数）齐次线性微分方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用降阶法求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解，对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。
因此，问题的关键就在于寻找齐次线性微分方程的一个非零特解。
一些相关定义如果方程(,,,,)0n n dyd yF x y dxdx= （1）的左端为y 及,,n n dyd ydxdx的一次有理整式。
高阶微分方程的降阶和幂级数解法课件
示例问题
考虑一个具有特定边界条件的高 阶微分方程。
操作步骤
按照降阶方法的步骤，将高阶微 分方程逐步转化为低阶方程。
结果和评估
通过降阶方法得到的解是否满足 原始微分方程和边界条件。
幂级数解法的示例和具体操作步骤
通过实际示例和具体操作步骤，我们将演示如何使用幂级数解法求解复杂的高阶微分方程。通过这些示例，你 将掌握幂级数解法的应用技巧。
Hale Waihona Puke 步骤幂级数解法的基本步骤包括 确定幂级数的形式、求解级 数展开系数、验证解的收敛 性。
优劣评价
幂级数解法在某些情况下可 以得到精确解，但对于某些 特定问题可能需要考虑级数 截断误差。
降阶方法的示例和具体操作步骤
通过一些具体的示例和操作步骤，我们将展示降阶方法在实际问题中的应用。这些示例将帮助你了解如何正确 使用降阶方法解决复杂的高阶微分方程。
1
原理
通过引入新的变量和代换，将高阶微分方程转化为一系列低阶方程。
2
应用
降阶方法可用于解决各种工程和科学领域中的复杂微分方程问题。
高阶微分方程的幂级数解法
幂级数解法是一种通过幂级数展开法求解高阶微分方程的技术。通过将未知函数表示为幂级数的形式，将微分 方程转化为求解级数展开系数的问题。
基本概念
幂级数是一种无穷级数的形 式，由常数项和幂次递增的 项组成。
高阶微分方程的降阶和幂 级数解法课件
本课件介绍了高阶微分方程的降阶方法和幂级数解法。将详细探讨降阶方法 的原理和应用，以及幂级数解法的基本概念和步骤。
高阶微分方程的降阶方法
降阶方法是一种将高阶微分方程转化为低阶微分方程的技术。它的原理是通过引入新的变量和适 当的代换，将高阶微分方程简化为一系列较低阶的微分方程。
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程高阶微分方程是指方程中包含高于一阶导数的项。
在某些情况下，我们可以将高阶微分方程转化为可降阶的形式，从而更容易地求解。
首先，我们来看一个简单的例子：$$y'' + 2y' + y = e^x$$这是一个二阶齐次线性微分方程，它的特征方程为：$$r^2 + 2r + 1 = 0$$解得$r=-1$（重根），因此通解为：$$y_h(x) = (c_1+c_2 x)e^{-x}$$现在考虑非齐次方程右侧的$e^x$项。
我们可以猜测一个特解形式为$y_p(x) = Ae^x$，代入原方程得到：$$Ae^x + 2Ae^x + Ae^x = e^x$$解得$A=\frac{1}{4}$，因此特解为：$$y_p(x) = \frac{1}{4}e^x$$于是原方程的通解为：$$y(x) = (c_1+c_2 x)e^{-x} + \frac{1}{4}e^x$$现在我们来看如何将高阶微分方程转化为可降阶的形式。
考虑以下三阶线性非齐次微分方程：$$y'''(t) + a_2 y''(t) + a_1 y'(t) + a_0 y(t) = f(t)$$我们可以猜测一个特解形式为$y_p(t) = A t^n e^{rt}$，其中$n$是一个整数，$r$是$f(t)$的特征根。
代入原方程得到：$$A n(n-1)(n-2)t^{n-3}e^{rt} + a_2 A n(n-1)t^{n-2}e^{rt} + a_1 A n t^{n-1}e^{rt} + a_0 A t^n e^{rt} = f(t)$$整理得：$$A \left(n^3+(a_2+2n)a_1+n(a_2a_0-a_1^2)\right)t^{n-3}e^{rt} = f(t)$$由于$n$和$r$已经确定，因此我们可以将上式看作一个常数乘以$t^{n-3}$和$e^{rt}$的乘积。
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令y = x , 并y为新的未知函数, x为新的
'
自变量, 原方程化为 dy d ( n −1) y G ( x, y, , L , ( n −1) ) = 0 dx dx
第二步: 求以上方程的通解
y = ϕ ( x, c1 , L , cn −1）
第三步: 解方程
dx = ϕ ( x, c1 , L , cn −1） dt
这里c1 , c2是任常数.
练
P182
1（2）（3 ）
习
即得原方程的通解
d 2 x dx 2 例2 求方程x 2 − ( ) = 0的通解. dt dt dx 解 = y, 并以x作为新的自变量 , 令 dt dy xy − y 2 = 0 则方程化为 dx dy y = , 从而可得 y = 0, 及 dx x 这两方程的全部解是 y = c1 x, dx 再代回原来变量得到 = c1 x, dt c1t 所以得原方程的通解为 x = c2 e ,
'
若令x
(k )
= y, 则可把方程化为y的n − k阶方程
( n −k )
对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解
x = ψ (t , c1 , L , cn ), 这里c1 , L , cn为任常数
F (t , x ( k ) , x ( k +1) , L , x ( n ) ) = 0
高阶微分方程的降阶法 §4.3 高阶微分方程的降阶法
一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式 阶微分方程的一般形式: 阶微分方程的一般形式 1 不显含未知函数 不显含未知函数x,
或更一般不显含未知函数及其直到k 1(k>1)阶导数的方程是 或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是
用数学归纳法易得:
dy d y x 可用y, , L , ( k −1) (k ≤ n)来表示 dx dx
(k )
( k −1)
将这些表达式代入(4.49)可得:
dy d ( n −1) y G ( x, y, , L , ( n −1) ) = 0 dx dx
它比原方程降低一阶
解题步骤: 解题步骤 第一步:
解题步骤: 解题步骤
(4.57)
令x ( k ) = y, 则方程化为 第一步:
F (t , y, y ' , L , y ( n −k ) ) = 0
第二步: 即 求以上方程的通解
y = ϕ (t , c1 , L , cn − k )
x
(k )
= ϕ (t , c1 , L , cn − k )
1 − ∫ p (t ) dt dt , c1 = 0, c2 =1,得(4.69)的一个解: x2 = x1 ∫ 2 e x1 因它与x1之比不等于常数, 故x1 , x2线性无关
因此(4.70)为(4.69)的通解.
这里c1 , c2是任常数.
例3 已知 x = sin t 是方程 t 试求方程的通解 解
3 已知齐线性方程的非零特解 进行降阶 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x = x1 ≠ 0是二阶齐线性方程
d 2x dx + p (t ) + q (t ) x = 0, 2 dt dt
的非零解 令
(4.69)
x = x1 y
则
x = x1 y + x y
' ' ' 1
x = x1 y + 2 x y + x y
对上式积分4次, 得原方程的通解为
x = c1t 5 + c2t 3 + c3t 2 + c4t + c5 ,
2 不显含自变量 的方程 不显含自变量t的方程 的方程, 一般形式: 一般形式
F ( x,
(4.59)
此时以y = x '作为新的未知函数, 而把x作为新的自变量,
引入新的未知函数 z = y ,
'
方程变为
dz x1 + 2[ x1'' + p (t ) x1 ]z = 0 dt c − ∫ p ( t ) dt , 是一阶线性方程,解之得 z = 2 e x1 因而 1 − ∫ p ( t ) dt x = x1[c1 + c2 ∫ 2 e dt ], (4.70) x1
d 2x 2 dx + + x = 0的解， 2 dt t dt
2 sin t 这里 p (t ) = , x1 = t t 2 2 − ∫ dt sin t t 由(4.70)得 x = [c1 + c2 ∫ 2 e t dt ] t sin t sin t t2 1 = [c1 + c2 ∫ 2 2 dt ] t sin t t 1 sin t = [c1 − c2 cot t ] = [c1 sin t − c2 cos t ] t t
F (t , x, x , L , x ) = 0
' (n)
F (t , x ( k ) , x ( k +1) , L , x ( n ) ) = 0 （ ≤ k ≤ n） (4.57) 1
)=0 (4.58) 若能求得(4.58)的通解 y = ϕ (t , c1 , L , cn − k ) (k ) 即 x = ϕ (t , c1 , L , cn − k ) F (t , y, y , L , y
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x = ψ (t , c1 , L , cn ), 这里c1 , L , cn为任常数
d 5x 1 d 4x = 0的通解. 例1 求方程 5 − 4 dt t dt d 4x 解 令 = y, 则方程化为 4 dt dy 1 − y=0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y = ct , 4 d x 即有 = ct , 4 dt
dx 因为 = y, dt 2 d x dy dy dy dx = = = y , 2 dt dt dx dt dx dy d ( y ) dx d 3x d d 2x d dy dx = = (y ) = dt 3 dt dt 2 dt dx dt dx d2y dy 2 = y( ) + y 2 2 , dx dx
'' '' ' 1 ' '' 1
代入(4.69)得
x1 y + 2[ x + p (t ) x1 ] y + [ x + p (t ) x + q (t ) x1 ] y = 0
'' '' 1 ' '' 1 ' 1
即
x1 y + 2[ x + p (t ) x1 ] y = 0
'' '' 1 '
'' x1 y'' + 2[x1 + p(t)x1]y' = 0