第7章 马尔可夫链与泊松过程
泊松(possion)过程
显然有：
p( i
m j
)
(n)
≥
0
(i, j ∈ S)
∑ p(m) ij
(n)
=
1
j∈S
m = 1时，即为一步转移矩阵。
(i ∈ S)
规定：
p( i
0) j
(n)
= δi j
=
1 0
i= j i≠ j
（二）切普曼－柯尔莫哥洛夫（C－K）方程
定理：对于 m 步转移概率有如下的 C－K 方程：
∑ p (m+r ij
= ∑ P{X (n + m + r) = j X (n + m) = k}P{X (n + m) = k X (n) = i} k∈S
∑ =
p(m) ik(n)Leabharlann p(r) kj(n
+
m)
k∈S
对于齐次马氏链的情形：我们可以写成矩阵的形式即有：
P = P P (m+r)
(m) (r)
中科院研究生院 2008～2009 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
考虑顾客到达一服务台排队等待服务的情况。
若服务台前至少有一顾客等待，则在单位时间周期内，服务员完成一个顾客
的服务后，该顾客立刻离去；若服务台前没有顾客，则服务员空闲。
在一个服务周期内，顾客可以到达，设第 n 个周期到达的顾客数ξn 是一个取 值为非负整数的随机变量，且{ξn , n ≥ 1} 相互独立同分布。在每个周期开始时 系统的状态定义为服务台前等待服务的顾客数。若现在状态为 i ，则下周期的状 态 j 应该为：
中科院研究生院 2008～2009 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
第二章 Markov 过程
泊松过程poisson
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
马尔可夫过程ppt课件
例1 以图1所示模型为例，求解稳态概率。
故障（p）
S（η1）
1-p
F（η2）
1-q
修复（q）
图1 马尔可夫过程的状态转移图 18
设系统处于正常状态的稳态概率为η1和处于故障状 态的稳态概率为η2，则有
12
(1 (1
p)1 q)2
q2 p1
1 2 1
显然，前两个方程是线性相关的，可以删掉一个。解 方程组得：
系统在各状态的稳定概率通常有以下两种解法： 已知瞬态概率，求极限
Ai
lim
t
P{Si (t)}
式中 Si（t）--系统i状态的瞬态概率； Ai--i状态的稳态概率。
16
通常，稳态概率空间的表达式不易求出，该解 法适合于解决一些比较简单系统的稳态状态概率问 题。 同构法
当系统达到稳定状态以后，各种状态将持续转 移，但是每种状态出现的概率基本不变，从而形成 一个稳定的状态空间。求解状态空间方程组，就可 得到系统在各种状态的稳态概率。
马尔可夫过程
神和尧
1
2
马尔可夫过程简介
一类随机过程（数学基础是随机过程理论）。 原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫 于1907年提出。 该过程具有如下特性：在已知目前状态 （现在） 的条件下，它未来的演变 （将来）不依赖于它以往 的演变 ( 过去 ) 。 ④例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过 程 。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程， 如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人 数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。
参数集T=[0, ∞],状态空间E={整数}
（3）时间离散、状态连续的马尔可夫过程——马尔可夫序列。 参数集T= {0,1,2,…},状态空间E= (-∞, +∞)
泊松过程
泊松过程一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。
1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
Poisson过程（Poisson process，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松过程、布瓦松过程、布阿松过程、波以松过程、卜氏过程等），是以法国数学家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。
泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个随机过程N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间内发生的事件的数目的概率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。
所以，如果给定在时间区间之中事件发生的数目，则随机变数呈现泊松分布，其参数为。
更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得•在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。
•在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。
（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。
）泊松过程是莱维过程（Lévy process）中最有名的过程之一。
时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生-死亡过程的最简单例子。
第7章 马尔可夫过程与泊松过程
第7章 马尔可夫过程与泊松过程7.1 马尔可夫过程1．引例例1：随机游动问题。
质点在一直线上作随机游动，如果某一时刻质点位于点i ，则下一步质点以概率p 向左移动一格达到点1-i ，以概率)1(p -向右移动一格达到点1+i 。
用)(n X 表示时刻n 质点的位置，则)(n X 是一随机过程。
在时刻1+n 质点所处的位置)1(+n X 只与时刻n 质点的位置)(n X 有关，而与n 以前的位置)1(-n X …)2(X 、)1(X 无关。
例2：遗传病问题。
某些疾病常遗传给下一代，但不隔代遗传。
第1+n 代是否有此种疾病只与第n 代是否有此疾病有关，而与n 代以前的健康状况无关。
2．马尔可夫过程描述性概念一般而言，若随机过程在时刻n t 所处的状态)(n t X 为已知的条件下，过程在时刻t （n t t >）所处的状态)(t X 只与过程在时刻n t 的状态)(n t X 有关，而与n t 以前的状态无关，则称此过程为马尔可夫过程。
3．马尔可夫过程分类马尔可夫过程分为四类：（1） 离散马尔可夫链：时间t 取离散值1t ， ,2t ,n t ，可直接记为 ,,2,1n t =。
状态)(n X 取离散值1a ， ,2a ,n a ，可直接记为 ,,2,1n X =。
（2） 连续马尔可夫链：时间t 取离散值1t ， ,2t ,n t ，状态)(n X 取连续值。
（3） 离散马尔可夫过程：时间t 取连续值，状态)(t X 取离散值。
（4） 连续马尔可夫过程：时间t 取连续值，状态)(t X 取连续值。
.4．马尔可夫过程的研究与应用概况在随机过程的研究领域，马尔可夫过程是主要的研究对象，有关的专著、专题无计其数，其原因是马尔可夫过程与众多的应用领域有关联。
5．马尔可夫链（1）定义设时间t 取离散值 ,,2,1n t =，记)(n X X n =，设状态n X 取有限个离散值N X ,2,1=，若{}{}i X j X P i X i X i X j X P n n n n n n =======+--+111111,,称n X 马尔可夫链。
第7章 马尔可夫链与泊松过程
为马氏链在时刻 m处于状态ai条件下, 在时刻 m n
转移到状态a j的转移概率.
说明: 转移概率具有特点
此矩阵的每一行元 素之和等于1.
Pij ( m , m n) 1, i 1,2,. j 1
由转移概率组成的矩阵
P(m, m n)( Pij (m, m n))
状态空间: I={0, 1}.
30
96 次状态转移的情况: 0 0, 8次;
0 1, 18次; 1 0, 18次; 1 1, 52次.
因此, 一步转移概率可用频率近似地表示为: 8 8 p00 P{ X n1 0 | X n 0} , 8 18 26 18 18 p01 P{ X n1 1 | X n 0} , 8 18 26 18 18 p10 P{ X n 1 0 | X n 1} , 18 52 70 52 52 p11 P{ X n 1 1 | X n 1} . 18 52 70
4
2. 马尔可夫过程的定义
具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程. 用分布函数表述马尔可夫过程
设 I : 随机过程 { X (t ), t T } 的状态空间,
如果对时间t的任意n个数值,
tX t2 t n , X n ( T, 恰有 1 (tn )在条件 ti 3 ) ,tix 下的条件分布函数 i P{ X ( tn ) xn | X ( t1 ) x1 , X ( t2 ) x2 ,, X ( tn1 ) xn1 } X (tn )在条件X (tn1 ) xn1下的条件分布函数 5 P{ X ( tn ) xn | X ( tn1 ) xn1 }, xn R
马尔可夫与马尔可夫链
第19讲 马尔可夫过程 与马尔可夫链
一、马尔可夫过程
1. 马尔可夫性
过程（或系统）在时刻t0 所处的状态为已知的条件下，
过程在时刻t>t0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前 所处的状态无关,这种性质称为马尔可夫性或无后效 性．
马尔可夫链。同时开创了对一种无后效性的随机过程——马尔可夫
过程的研究。马尔可夫过程在自然科学、工程技术和公用事
第十一章 马尔可夫链
马尔可夫（Markoff）过程是无后效性的随机过程，现 已成为内容十分丰富，理论相当完整，应用十分广泛的 一门数学分支．由于马尔可夫过程的理论在近代物理、 生物学、分子遗传学、自动控制、管理科学、信息处理 以及数字计算方法等方面都有重要应用．使得现代科学 家及工程技术人员越来越重视马尔可夫过程的理论 及应用研究。本章讨论以下五个问题：
P { X m n a j|X t1 a i1 ,X t2 a i2 ,L ,X tr a ir,X m a i}
P { X m n a j|X m a i} ,
(11.1)
则称{Xn, nT1}为一个马尔可夫链．马尔可夫链也简称为
马氏链．
定义11.3 设{Xn, nT1}为马尔可夫链，其状态为a1, a2,… ．则称条件概率
证 根据条件X(a)=0及随机变量相互独立性可知
X(tn) 与X(tn1) X (t，i),i 1 ,2 ,L,n 1
相互独立.
因此对任意的 x1,x2,，,x有n1
P { X ( t n ) x n | X ( t 1 ) x 1 , X ( t 2 ) x 2 , L , X ( t n 1 ) x n 1 ) P { X ( t n ) X ( t n 1 ) x n x n 1 | X ( t 1 ) x 1 , L , X ( t n 1 ) x n 1 } P { X ( tn ) X ( tn 1 ) x n x n 1 } ,
马尔可夫链的定义及例子
3、转移概率
定义 i, j S, 称 P Xn1 j Xn i
的一步转移概率。
pij n 为n时刻
若i, j S, pij n pij ，即pij与n无关，称转移概率
具有平稳性.此时称{Xn,n≥0}为齐次（或时齐的）马尔 可夫链。记P=(pij)，称P为{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵.
0
j!
j 0,1, i
pi0公式略有不同，它是服务台由有i个顾客转为空闲的
概率，即第n个顾客来到时刻到第n+1个顾客来到时刻之
间系统服务完的顾客数≥i+1。
pi0 P X n1 0 X n i P(Yn i 1) P(Yn k) k i1
et (t)k dG t ,
0 P{Yn
j Tn1 x}dG x
( x) j exdG x, j 0,1, 2,
0 j!
因此， {Xn，n≥1}是马尔可夫链。其转移概率为
P0 j P( X n1 j X n 0) P(Yn j X n 0)
P(Yn
P( X n1 in1 X n in )
所以{Xn,n≥0}是马尔可夫链，且
pij P( X n1 j X n i) P( f i,Yn1 j) P( f i,Y1 j)
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
一步转移概率矩阵
0.5009
0.0458 0.2559 0.1388 0.2134
0.0466 0.0988 0.36584 0.14264
马尔可夫链——精选推荐
21021210分布马尔可夫过程及其概率1§马尔可夫过程的定义、1211111121.简称马氏链可夫链，马尔可夫过程称为马尔时间和状态都是离散的课稿南京邮电大学孔告化讲22110}|{),(i m j n m i j a X a X P n m m P ===++记马氏链的转移概率、221021210.),(的转移概率转移到状态在时刻条件下，处于状态为马氏链在时刻称j i i j a n m a m n m m P ++课稿南京邮电大学孔告化讲.))(()(步转移概率矩阵为称n n P n P i j =⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==M ML M M L L L M L M M L L L L )()()()()()()()()())(()(212222111211n P n P n P n P n P n P n P n P n P n P n P N N N N N N i j LLN a a a 21MM N a a a 21矩阵齐次马氏链的转移概率、3Ia a n P j i i j ∈≥,0)()1(Ia n P i j i j ∈=∑∞=1)()2(1课稿南京邮电大学孔告化讲111⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==M M L M M L L L M L M M L L L L N N N N N N p p p p p p p p p P P 212222111211)1(L L N a a a 21M M N a a a 211课稿南京邮电大学孔告化讲这一点上。
或移动到就以概率，则下一时刻或现在位于点的概率停在原处；如果一格，或以的概率向左或向右移动则下一时刻各以现在位于点是：如果发生游动。
游动的规则等时刻秒秒、仅在上作随机游动，并且仅在如图所示直线的点集设一醉汉一维随机游动例题)4(21)5(13/13/1),51(21}5,4,3,2,1{)(:Q i i Q I Q <<=L 12345过程，是一随机则的位置，时表示时刻若以},2,1,0,{L =n X Q n X n n 而且当时，等以后的行为只与有关，而与质点以前是如何到是完全无关的，所以，它是一个马氏链，且为齐次马氏链。
第6章-马尔可夫过程和泊松过程V2
p ( n ) P ( s , n )p ( s )
6.1.3切普曼-柯尔莫哥洛夫 方程 C-K方程
pij ( s , n ) pik ( s , r ) pkj ( r , n )
k 1 N
也可写成矩阵形式 ， 即P(s,n)=P(s,r)P(r,n)
13
6.1.3切普曼-柯尔莫哥洛夫 方程 C-K方程
26
反射壁
0 1 2 状态转移图和状 态转移矩阵一一 P n, n 1 0 对应 0 0
1 0 12 0 0
0 120
27
状态概率的计算
p(1) PT (1)p(1)
0 0 12 0 1 0 0 0 1 2 0
P( X n 1 j X 0 i0 , X 1 i1 ,, X n 1 in 1 , X n i ) P( X n 1 j X n i )
注意：在教科书中，一般约定状态空间为I={a1,a2,a3,a4等}; 为了简约表示，也可用i1表示状态，而不是ai1。
pij ( s , n ) 证明：
P{ X n a j | X s a i }
P{ X n a j , X s ai } P{ X s ai }
n
N
因为事件Xr=ak， k=1,2,构成一划分。 （全概率公式）
P{ X s ai } N P{ X a , X a , X a } n j r k s i P{ X r ak , X s ai } P{ X r ak , X s ai } P{ X s ai } k 1
第六章
马尔可夫过程与泊松过程
主要内容
马尔科夫链_马尔可夫过程
马尔科夫链_马尔可夫过程一、引言1、马尔科夫链的数学背景马尔可夫链，因安德烈?马尔可夫（A.A.Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
马尔可夫链是随机变量X_1,X_2,X_3...的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而X_n的值则是在时间n的状态。
如果X_{n+1}对于过去状态的条件概率分布仅是X_n的一个函数，则PX_{n+1}=x|X_0, X_1, X_2, \ldots, X_n = PX_{n+1}=x|X_n. 这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
2、马尔科夫链的典型应用①马尔科夫链在股指期货投资中的应用马尔科夫链转移矩阵的有效状态以近时点动量策略原时点反转策略为主,有效抓住了上涨和下跌的中期和初期.从而准确的抓住了日内股指波动. ②马尔科夫链在天气预报中的应用通过对马尔科夫链理论和切普曼-柯尔莫哥洛夫方程方程的探讨,,结合天气情况不确定等诸多特点,构想了天气情况预报的马尔科夫链预测模型,给出了马尔科夫链的初始概率和多重转移概率的计算方法,根据此算法可以预报短期天气情况,同时扩展到对未来天气情况趋势的预测。
③马尔科夫链在环境预测中的应用鉴于目前环境质量预测在理论方法和实践上的缺乏，把马尔科夫链引入环境质量的预测中，将各种污染物的浓度变化过程视作马尔科夫过程，通过预测各种污染物的污染负荷系数来推知其浓度值/④马尔科夫链在桥梁状态预测中的研究与应用马尔科夫链以矩阵的形式来表达桥梁状况,通过求解状态转移矩阵,进一步预测桥梁未来数年内的基本状况。
综合考虑了桥梁检修的影响,给出了桥梁检修后不同状态的状态转移矩阵,为进一步引入实际数据做了充分的准备。
3、相关文献《程序设计实践》作者 Brian W.Kernighan程序设计实践并不是只是写代码。
第13讲_马尔科夫过程与泊松过程1
⎢⎣0 0 0 0
⎡1
⎢⎢q+rp
P(2) = P2 (1) =⎢ q2
⎢ ⎢
0
⎢⎣ 0
0 r2 + pq
2rq q2 0
0 2pr r2 +2pq 2qr 0
0 p2 2pr r2 + pq 0
所求概率为 p45 (2) + p41(2)
0⎤
0
⎥ ⎥
0⎥
p
⎥ ⎥
1 ⎥⎦
0⎤
0
⎥ ⎥
p2 ⎥
p+rp⎥⎥
i= j
r c− j−1)d0 =
q p
)a
−
(
q p
)c
⎟⎟⎠⎞
i= j
r j − rc 1− r d0
⎝⎛⎜⎜1
−
(
q p
)c
⎟⎟⎠⎞
21
11
马尔可夫链
当 r =1时
u0 − uc = 1 = cd0
而 u j = (c − j)d0
因此
uj
=
c
− c
j
故
ua
=
c
− c
a
=
b c
综上
当
p
≠
q 时，甲先输光的概率为
2
马尔可夫过程
马尔可夫过程的分类
X (t)
t
离散
连续
离散 连续
马尔可夫链 马尔可夫序列
离散马尔可夫 连续马尔可夫
过程
过程
3
2
马尔可夫链
马尔可夫链的定义
设随机过程 X (n) 的状态空间为 I = {a1, a2,…}
若满足
马尔可夫链精品PPT课件
例2.1 (一维随机游动)
12345
设一随机游动的质点, 在如右上图所示的
直线点集I={1,2,3,4,5}作随机游动,并且仅仅在1秒,2秒
…等时刻发生游动.游动的概率规则是:如果Q现在位于点
i(1＜i＜5), 则下一时刻各以1/3的概率向左或向右移动
一格,或以1/3的概率留在原处; 如果Q现在位于点1(或5)
式.
利用积事件的概率及上述定义知: P{X0=i0,X1=i1,…,Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…, Xn-1=in-1} =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1} =… =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1|Xn-2=in-2}…P{X1=i1| X0=i0}P{X0=i0}.
即马尔可夫链的统计特性完全由条件概率
P{Xn+1=in+1|Xn=in} 所决定. 如何确定这个条件概率,是马尔可夫链理论和应
用中的重要问题之一.
2.转移概率 条件概率P{Xn+1=j|Xn=i}的直观含义是:系统在时刻n处
于状态i的条件下,在时刻n+1系统处于状态j的概率.这相 当于随机游动的质点在时刻n处于状态i的条件下,下一步 转移到状态j的概率.
pij(n)为pij. 下面只讨论齐次马尔可夫链,并将齐次两字省略.
设I=P{为1,一2,步转移概率pij所组成的矩阵,状态空间
…},则 P=
p11 p12 … p1n … p21 p22 … p2n … … … … ……
pi1 pi2 … pin … …… … … …
《随机信号分析》马尔可夫过程和泊松过程
马尔可夫过程与泊松过程
不可约：只有整个状态空间一个闭集的马尔可夫链， 这时所有状态都是相通的。 定理：如果在Pn中仅保留同类中各状态间的转移概 率，而其它所有行和列的元素都删去，则剩下的矩 阵仍满足
Pik 1 i C
所有kC
主讲教师:罗鹏飞教授
马尔可夫过程与泊松过程
举例：设有三个状态(0,1,2)的马尔可夫链，它的 一步转移概率矩阵为
N
p j (n) 1
j 1
状态转移概率 Pij (s, n) P{X n a j X s ai }
状态转移矩阵
P11(s, n) P12 (s, n) P1N (s, n)
P(s,
n)
P21 (s,
n)
P22 (s, n) P2N (s, n)
PN1(s, n) PN 2 (s, n) PNN (s, n)
平稳链状态概率的计算
对于平稳链： PT(1)p(1)=p(1) p(2)=PT(1)p(1)
在方程 PT(1)p(1)=p(1) 中取N-1个方程
p1+p2+...+pN=1
主讲教师:罗鹏飞教授
马尔可夫过程与泊松过程
计算举例----反射壁 PT (1)p(1) p(1)
p2 2
p1
0 1 0 0 0
自状态i出发，在时刻n首次到达状态j的概率
很显然， fij (1) Px1 j | x0 i Pij
一步转移概率
fij () Pxn j;对一切n 1| x0 i
自i出发，永远也不能到达状态j的概率。
主讲教师:罗鹏飞教授
马尔可夫过程与泊松过程
定义：
fij
fij (n)
7马尔可夫链
n 1
f ii( n )
f ii 1
n 1
f ii( n ) f ii 1
fij(n)
n 1
nfii( n) i
n 1
nfii( n) i
（3）可达关系与互通关系
[定义] （1）若存在 n > 0, 使得 pij(n) > 0 ，则称自状态 i 可达状态 j ，
{ p j (n)} { p j (n) , j I }
绝对概率向量：
PT (n) p1 (n), p2 (n), , (n 0)
初始概率向量：
PT (0) p1 , p2 ,
绝对概率 pj(n) 的性质
[定理] 设 { Xn , n T } 为马尔可夫链，则对于任意整数 n 1 和 j I ，绝对概率 pj (n) 具有下列性质：
(n n 0, 0 l < n 和 i , j I ，n 步转移概率 pij ) 具有下 列性质：
( ( ( (1) pijn ) pikl ) pkjnl ) kI
(n ) ij
C-K方程
( (2) pijn) pik1 pk1k2 pkn1 j k 1I kn1I
马尔可夫链的统计特性由以下条件概率所决定：
P{X n1 in1 X n in }
转移概率
[定义] 称条件概率
pij (n) P{X n1 j X n i}
为马尔可夫链 { Xn , n T } 在时刻 n 的一步转移概率， 其中 i , j I ，简称为转移概率。
一步转移概率矩阵：
p P q q p
马尔可夫过程(新)
C
B A
.10
.20
.20 Each year 20% of the residents of B move to A
.30
and 30% of the residents of B move to C
C
B A
.10
.20
.20 Each year .20 20% of the residents of C move to A
目录马尔可夫链的基本概念马尔可夫链的数学描述马尔可夫链中状态的分类状态转移概率的渐进性和平稳分布非常返状态的分析典型的马尔可夫链马尔可夫链的数学描述在研究马尔可夫链的过程中我们需要从物理问题中提取出其数学模型然后用数学语言描述其特征进而用数学工具解决问题
马尔可夫链
马尔可夫性（无后效性）
实际中有一类很广泛的随机过程，其特点体现在过程中各个 时刻的随机变量有一定的相依（非独立）关系。具体地说就 是：过去只影响现在，而不影响将来。这种随机过程叫做马 尔可夫过程。
马尔可夫链的基本概念
说明：
马尔可夫链具有无后效性。
表述二：X (tm ) xm 在已知tm时过程所处状态的条 件下，时刻tm以后过程将到达状态的情况与时刻 以前过程所处状态无关。
这个称为过程的无后效性或马尔可夫性。
马尔可夫链的基本概念
马尔可夫链的性质1：
马尔可夫链的有限维概率密度可以用 转移概率来表示.
马尔可夫链的数学描述
马尔可夫链的一步转移概率性质：
马尔可夫链的一步转移概率具有非负性
和归一化特性. , Pij (k ) 0
P (k ) 1 .
ij j
Example
A, B and C are three towns. Each year: 10% of the residents of A move to B 30% of the residents of A move to C 20% of the residents of B move to A 30% of the residents of B move to C 20% of the residents of C move to A 20% of the residents of C move to B No one dies. No one is born.
马尔科夫过程
P{Xn1 j | Xn in}
(i 1,2, , N)
则称 {X n} 为马尔可夫链（简称马氏链）。
2、马尔可夫链的转移概率及性质
（一）
k 1 时，有
pij (1) pij (m, m 1) pij
称为一步转移概率。由所有一步转移概率 pij 构成的矩阵
f X (xn | xn1, , xnk ) f X (xn | xn1 )
证：因为
f X (xn , xn1 , , xnk ) f X (xnk | xnk1 ) f X (xn1 | xn ) f X (xn )
同理
f X (xn1 , xn2 , , xnk ) f X (xnk | xnk1 ) f X (xn2 | xn1 ) f X (xn1 )
可达具有传递性，即若 i r , r j ,则 i j
定义（相通或互达定义）：若自状态 i 可达状态 j，同时自状态 j
也可达状态 i，则称状态 i 和状态 j 相通，记为 i j
是齐次的。 5、 如果一个马尔可夫序列是齐次的，并且所有的随机变量 X n
具有相同的概率密度，则称该马尔可夫序列是平稳的。
6、 对于 n r s, 马尔可夫序列的转移概率满足
f X (xn | xs ) f X (xn |xr ) f X (xr | xs )dxr
此式就是有名的切普曼—柯尔莫哥洛夫方程（C-K方程）。
p1N (n) p2N (n)
pNN (n)
（1）
0 pij (n) 1
（2）
为了数学处理便利，通常规定
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N
pij (n) 1
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称为马氏链的转移概率矩阵. 它是随机矩阵.
2、马尔可夫链的一般特性 状态概率：
概率分布列：
p j (n) P{xn a j }
p(n) p1 (n) p2 (n) pN (n)
T
转移概率：
转移矩阵：
pij (m, n) P{xn a j xm ai }
P 11 ( m, n) P(m, n) PN 1 (m, n) P 1 N ( m, n) PNN (m, n)
时的数据 (共作97次观察) . 用1表示正常状态, 用0
表示不正常状态, 所得的数据序列如下:
1110010011111110011110111111001111111110001101101 111011011010111101110111101111110011011111100111
分析
设 X n 为第 n ( n 1, 2,,97 ) 个时段的计算机状态 ,
i 1
12
N
3. 平稳性
当转移概率 Pij ( m , m n) 只与 i , j 及时间间距 n
有关时, 称转移概率具有齐次性. 同时也称此链是齐次的或时齐的.
此时, 记 Pij ( m , m n) Pij ( n),
Pij (n) P{ X m n a j | X m ai }.
P(n) P .
n
结论 马氏链的n步转移概率是一步转移概率的 n 次 方,链的有限维分布可由初始分布和一步转移概率 完全确定.
28
定理7.2 齐次马氏链满足
(n 1) (n) P (0) P
n1
29
例
某计算机房的一台计算机经常出故障,研究者
每隔15分钟观察一次计算机运行状态,收集了24小
或写成
Ftn |t1tn1 ( xn , tn | x1 , x2 ,, xn1; t1 , t2 ,, tn1 ) Ftn |tn1 ( xn , t n | xn1 , t n1 ),
这时称过程 { X ( t ), t T }具马尔可夫性或无后效 性.
并称此过程为马尔可夫过程.
一步转移概率
pij P{ X n1 j | X n i }
1 , j i 1, i , i 1, 1 i 5 3 1, i 1, j 2 或 i 5, j 4 0, j i 2.
22
一 步 转 移 概 率 矩 阵
1 2 3 4 5 1 0 1 0 0 0 2 1 / 3 1 / 3 1 / 3 0 0 P 3 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 4 0 0 1 / 3 1 / 3 1 / 3 5 0 0 1 0 0
件的和事件. 如下图所示:
ak ai
aj
o
m
mu
mu v n
t
25
证明
先固定 ak I和s T1 ,
pij (m, n) P{xn a j xm ai }
N
P{xn a j , xm ai } P xm ai
P{xn a j , xr ak , xm ai } P{xr ak , xm ai } P{xr ak , xm ai } P xm ai k 1
称为马氏链的n步转移概率
P ( n) ( Pij ( n))为n步转移概率矩阵 .
13
特别的, 当 n=1 时,
一步转移概率 pij Pij (1) P ( X m1 a j | X m ai }. 一步转移概率矩阵
Xm 的 状 态
a1 a2 ai
a1 p11 p 21 p i1
1 2 游动的概率规则
3
4
5
如果Q现在位于点 i (1< i <5),则下一时刻各以 1/3的概率向左或向右移动一格, 或以1/3的概率留
在原处;
19
5 1 2 4 3 如果Q现在位于1(或5)这点上, 则下一时刻就 以概率1移动到2(或4)这一点上.
1和5这两点称为反射壁.
上面这种游动称为带有两个反射壁的随机游动. 模拟方法:产生均匀分布的随机数序列132322 11122…,其中1表示左移;2表示不动;3表示右移.
31
例
设任意相继的两天中 , 雨天转晴天的概率为
1 3 , 晴天转雨天的概率为 1 2 , 任一天晴或雨是互 为逆事件. 以 0 表示晴天状态,以1 表示雨天状态, X n 表示第n 天状态 ( 0 或 1 ) . 试写出马氏链{ X n , n 1 } 的一步转移概率矩阵 . 又已知5月1日为晴 天 , 问5月3日为晴天, 5月5日为雨天的概率各等 于多少? 为逆事件且雨天转 解 由于任一天晴或雨是互
p161 (7.13)
11
或:
(3)
p j (n) pij (m, n) pi (m)
i 1
N
N
p j (n) p X n a j , X m ai
i 1
p X n a j / X m ai p X m ai
i 1
N
pij (m, n) pi (m)
10
性质: (1)
p ( n) 1
j 1 j
N
(2)
p (m, n) P{x
j 1 ij jBiblioteka 1NNNn
a j xm ai } 1
(3)
p j (n) pij (m, n) pi (m)
i 1
(4)
p(n) PT (m, n)p(m)
p(n) p(m)P(m, n)
P (1) X m 1的状态 a2 a j p12 p1 j p22 p1 j pi 2 pij
P (1) 记为P
14
15
16
17
18
例 一维随机游动 一随机游动的质点 在如图所示直线的点集
I {1,2,3,4,5}上作随机游动, 并且仅仅在1秒、 2秒 等时刻发生游动 .
为马氏链在时刻 m处于状态ai条件下, 在时刻 m n
转移到状态a j的转移概率.
说明: 转移概率具有特点
此矩阵的每一行元 素之和等于1.
Pij ( m , m n) 1, i 1,2,. j 1
由转移概率组成的矩阵
P(m, m n)( Pij (m, m n))
有
P{X mn a j | X t1 ai1 , X t2 ai2 , , X tr air , X m ai }
P{ X m n a j | X m ai }, 其中 ai I .
8
2. 转移概率
称条件概率 Pij (m, m n) P{ X m n a j | X m ai }
时间连续，状态连续。
王梓坤院士
7
研究时间和状态都是离散的随机序列
{ X n X ( n), n 0,1, 2,},
状态空间为 I (a1 , a2 ,}, ai R .
1. 用分布律描述马尔可夫性
对任意的正整数 n, r 和 0 t1 t2 tr m;
t i , m , n m Ti ,
说明: 改变游动的概率规则, 就可得到不同方式的
随机游动和相应的马氏链. 如果把点 1 改为吸收壁, 相应链的转移概率矩阵只须把P 中第1行改为 (1,0,0,0,0).
23
定理7.1（切普曼-科尔莫戈罗夫方程：C-K方程）： 马尔可夫链的转移概率矩阵满足
pij (m, n) pik (m, r ) pkj (r , n)，n r m
1
2
3
4
5
20
理论分析: 以X n表示时刻n时Q的位置.
则{ X n , n 0,1,2,}是一随机过程 .
状态空间就是I.
且当X n i , i I为已知时, X n1所处的状态分布只与 X n i有关,
而与时刻 n 以前所处的状态无关. 所以它是一个马氏链, 且是齐次的.
21
3. 马尔可夫链的定义
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔 可夫链, 简记为 { X n X ( n), n 0,1,2,}.
6
马尔可夫过程分类： 1.马尔可夫链 时间离散，状态离散； 2.离散马尔可夫过程 时间连续，状态离散； 3.马尔可夫序列 时间离散，状态连续；
马尔可夫
4.连续马尔可夫过程
k 1
N
说明 C-K 方程基于下列事实:
“从时刻 m 所处的状态 ai 出发 , 经时段 n m 转移到状态 a j , X (n) a j” .
24
这一事件可分解成:
“从 X (m) ai 出发, 先经时段u 转移到中间状态
ak ( k 1, 2), 在从 ak 经时段 v 转移到状态 a j”等事
状态空间: I={0, 1}.
30
96 次状态转移的情况: 0 0, 8次;
0 1, 18次; 1 0, 18次; 1 1, 52次.
因此, 一步转移概率可用频率近似地表示为: 8 8 p00 P{ X n1 0 | X n 0} , 8 18 26 18 18 p01 P{ X n1 1 | X n 0} , 8 18 26 18 18 p10 P{ X n 1 0 | X n 1} , 18 52 70 52 52 p11 P{ X n 1 1 | X n 1} . 18 52 70
4
2. 马尔可夫过程的定义