组合数学之常系数递归关系
线性常系数递推关系
A B(n 1) r n xn , n0
C Dn r n xn, n0
因此通项表达式为： an C Dn r n ,
其中常数C, D可以利用初始条件来确定。
例如，若已知a0, a1，则 a0 C, a1 (C D)r D a1 r a0.
例1 求解递推关系：
an an-1 12an-2 0, a0 3, a1 26.
类似的，令母函数为G(x)=a0+a1x+a2x2+…，则
xk (ak C1ak1 C2ak2 L Cka0 ) 0 xk1 (ak1 C1ak C2ak1 L Cka1 ) 0
LL
__________ __________ ________ xn(an C1an1 C2an2 L Ckank) 0
L (an ban-1 can-2) xn ...
a0 (a1 ba0)x.
因此有
G(x)
a0 (a1 1 bx
ba0 ) cx 2
x
.
与分母相对应的方程 x2+bx+c=0 称为特征方程，它
的根
b b2 4c
r 1,2
2
称为特征根。
这样G(x)可以表示为：
G(x)
a0 (a1
1 1x 1 2x
1 k x
A1 (1 x)n A2 (2 x)n L Ak (k x)n
n0
n0
n0
( A11n
A2
n 2
L
Ak
n k
)
x
n
,
n0
因此通项表达式为：
an
A11n
A2
n 2
L
Ak
n k
组合数学(第二版)递推关系
递推关系
其次,证明an 是通解.若给定一组初始条件
可以仿照齐次方程通解的证明方法,证得相应于条件式 (3.2.11)的解一定可以表示为式 (3.2.10)的形式.
关于 的求法已经解决,这里的主要问题是求式(3.2.2) 的特解an * .遗憾的是寻求特 解还没有一般通用的方法.然而, 当非齐次线性递推关系的自由项f(n)比较简单时,采用 下面的 待定系数法比较方便.
递推关系 【例 3.4.2】 棋盘染色问题:给一个具有1行n 列的1×n
棋盘(见图3.4.1)的每一个 方块涂以红、蓝二色之一,要求相 邻的两块不能都染成红色,设不同的染法共有an 种,试 求an.
图 3.4.1 1×n 棋盘
递推关系
递推关系
【例3.4.3】 交替子集问题:有限整数集合Sn={1,2,…,n} 的一个子集称为交替的, 如果按上升次序列出其元素时,排列 方式为奇、偶、奇、偶、…….例如{1,4,7,8}和 {3,4,11}都是, 而{2,3,4,5}则不是.令gn表示交替子集的数目(其中包括空集), 证明
且有gn=Fn+2.
递推关系
证 显然,g1=2,对应S1 的交替子集为⌀和{1}.g2=3,对应S2 的交替子集为⌀、 {1}、{1,2}.
将Sn 的所有子集分为两部分: (1)Sn-1={1,2,…,n-1}的所有子集; (2)Sn-1的每一个子集加入元素n 后所得子集. 例如,n=4,S4={1,2,3,4}的所有子集划分为两类,即 (1)⌀、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}; (2){4}、{1,4}、{2,4}、{3,4}、{1,2,4}、{1,3,4}、 {2,3,4}、{1,2,3,4}.
组合数学讲义及答案 3章 递推关系
n k k k r ，求{an}所满足的递推关 k 0
n n n n - 1 n - 2 2 r r ＋…＋ 2 r 2 n 为偶数： a n ＝ n 0 1 2 2
an 3an1 2an2 2a1 1
（二） 分 类 （1） 按常量部分： ① 齐 次 递 推 关 系 ： 指 常 量 ＝ 0 ， 如
Fn Fn1 Fn 2 ；
② 非齐次递推关系，即常量≠0，如 hn 2hn 1 1 。 （2） 按 a i 的运算关系：
结论：对于常系数线性递推关系的定解问题，其解必是唯
一的。 求解方法：首推特征根法。 思想：来源于解常系数线性微分方程，因为两者在结构上 很类似，所以其解的结构和求解的方法也类似。
8／75
《组合数学》
第三章 递推关系
§ 3.2.1
解的性质
1 2 【性质1】 设数列 bn 和 bn
2 2 2 2 2 an an 1 an2 a0 n 0 an 3an1 2an2 2a1 1 0
定义 3.1.1＇ （显式） 对数列 a i i 0，把 an 与其之前 若干项联系起来的等式对所有 n≥k 均成立（k 为某个给定的 自然数） ，称该等式为 a i 的递推关系，记为 a n F a n1 , a n 2 ,, a n k (3.1.1)＇ 例
分两种情况：当 n 为偶数时，令 n＝2m，则
n 1 n 2 ＝ ＝m－1 2 2 m 2m k k an＝ k r k 0 m 1 2m 2m k k m m ＝ ＋ 0 k r ＋ m r k 1 2m m 1 2m k 1 k ＝ 0 ＋ r k k 1 m 1 2m k 1 k m m ＋ k 1 r ＋ m r k 1
组合数学_第5章
an c1an 1 c2 an 2 0 a0 d 0 , a1 d 1
的任一解。 将初值条件代入 an
Kr K r
n 1 1
n 2 2
a 0 K1 K 2 d 0 a1 K1r1 K 2 r2 d1
第五章 递 归 关 系 由r1≠r2知，
| P2x |=|{(i2, i3, …, in)|it+1≠t, t=1, 2, …, n-1}|=D(n-1) 从而dn=D(n-2)+D(n-1)，故知 D(n)=(n-1)(D(n-2)+D(n-1)), n≥3, D(0)=0, D(2)=1
第五章 递 归 关 系 例2（Hanoi塔问题） n个圆盘，从A柱经B柱移到C柱(参见 图1.1)。 要求每次只移一个圆盘； 移动过程始终保持大盘在 下，小盘在上；中途 A 、 B 、 C 柱均可作临时柱，最终移至 C 柱， 则A到C的最少移动次数为
h(n)=2h(n-1)+1
…
A
B
C
图5.1.1 Hano塔示意图
第五章 递 归 关 系 解 设 h(n) 为 问 题 的 解 ， 则 h(1)=1, h(2)=3=2h(1)+1,
h(3)=5=2h(2)+1, …, h(n)=2h(n-1)+1。 又若设利用 C 柱把 A 柱上 n-1 个圆盘移到 B 柱，移动次数为 h(n-1)，则将A柱所剩最大圆盘移到C柱只需移动一次，再将 B上的n-1个圆盘利用A柱移到C柱（已有一个最大圆盘在下面） 共需移动h(n-1)次。 故总的移动次数为h(n)=2h(n-1)+1。
d n n 1 n2 n n 1 n2 x ( x c x c x ) nx c ( n 1 ) x c ( n 2 ) x 0 1 2 1 2 dx
二阶常系数递推关系求解方法
二阶常系数递推关系求解方法一、递推关系的定义与性质在数学中，递推关系是指通过递推公式来描述数列中各项之间的关系。
常系数递推关系是指递推关系中各项的系数都是常数。
设有一个序列 {an}，其中 n 表示序列中的项数。
如果序列满足递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，那么我们称该序列满足一个 k 阶常系数递推关系。
常系数递推关系的性质：1. 齐次性：如果一个递推关系的非齐次项为0，即对于所有的 i，ci = 0，则该递推关系称为齐次线性递推关系。
2. 非齐次性：如果一个递推关系的非齐次项不为0，即存在一些 i，ci ≠ 0，则该递推关系称为非齐次线性递推关系。
3.初值条件：对于一个k阶线性递推关系，需要给出前k项的初值条件才能确定整个序列。
二、求解齐次线性递推关系的通解对于线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，我们可以采用特征根法求解其通解。
1. 假设通解为an = λn ，将其代入递推关系，得到λ^n = c1λ^(n-1)+ c2λ^(n-2) + ... + ck λ^(n-k)2.将等式左边的λ^n移至等式右边，得到λ^n - c1λ^(n-1) - c2λ^(n-2) - ... - ck λ^(n-k) = 03.将该齐次方程转化为特征方程，即λ^k - c1λ^(k-1) - c2λ^(k-2) - ... - ck = 04.解特征方程，得到k个实数或复数根λ1,λ2,...,λk。
5.得到齐次线性递推关系的通解为an = A1λ1^n + A2λ2^n + ... + Akλk^n其中A1,A2,...,Ak为待定系数。
通过给定的初值条件，可以使用线性方程组求解方法来确定待定系数A1,A2,...,Ak。
三、求解非齐次线性递推关系的通解对于非齐次线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k + f(n)，其中 f(n) 为一个关于 n 的函数，我们可以采用常数变易法求解其通解。
组合数学(4)递推递归母函数
ACM 暑期集训 组合数学（4） 递推 递归 母函数1 递推关系序列{a n }=a 0，a 1，…，a n ，…，把 a n 与某些a i (i <n )联系起来的等式叫做关于序列{a n }的递推方程。
当给定递推方程和适当的初值就唯一确定了序列。
递推关系分类： （1）按常量部分：齐次递推关系：指常量＝0，如F(n)=F(n-1)+F(n-2) 非齐次递推关系：指常量≠0，如F(n)=2*F(n-1)+1 （2）按运算关系：线性关系，如上面的两个；非线性关系，如F(n)=F(n-1)*F(n-2)。
（3）按系数：常系数递推关系，如（1）中的两个；变系数递推关系，如D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2)。
（4）按数列的多少一元递推关系，只涉及一个数列，上面的均为一元； 多元递推关系，涉及多个数列，如⎩⎨⎧+=+=----111177n n nn n n a b b b a a Fibonacci 数列为1,1,2,3,5,8,13,.....long long data[100]; data[1]=1; data[2]=1;for(int i=3;i<=50;i++) data[i]=data[i-1]+data[i-2]; while(cin>>n) cout<<data[n]<<endl;例1：直线割平面问题。
在一个无限的平面上有N 条直线，试问这些直线最多能将平面分割成多少区域？F(1) = 2; F(2) = 4; F(3) = 7; F(n)=F(n-1)+n; (n>1)int recurrence(int n) //递推 {f[1]=2;for(i=2;i<=n;i++) f[n]=f[n-1]+n; return f[n]; }int recursion(int n) 递归： {if(n==1) return 2;//递归终止条件 else return recursion(n-1)+n; }更快的方法是求出通项：F(n)=n^(n+1)/2+1例2：HDOJ2050 折线割平面问题在一个无限的平面上有N 条折线，试问这些折线最多能将平面分割成多少区域？F(n)=F(n-1)+4n-3; F(n)=2*n^2-n+1;例3：椭圆割平面问题。
组合数学幻灯片52常系数线性齐次递归关系
(n 3)
这个递归关系就是例4所求解的递归关系。 故由例4的结果可知
an=1+n
c1 pn cos n c2 pn sin n
式中 p 2 2 , tan1( / )
c1 A1 A2 , c2 i( A1 A2 ) 注意，c1和c2是由边界条件决定的常数。
例3 计算n×n行列式
1100 0 0 00000 1110 0 0 00000 0111 0 0 00000 0011 1 0 00000
k
k
ciqin
ci (b1qin1
b2
qn2 i
bk
qnk i
)
i 1
i 1k
k
k
b1
ci
q n1 i
b2
ciqin2 bk
ci qin k
i 1
i 1
i 1
因此(5.15)是递归关系式(5.12)的解。
定义5.5 若an是递归关系式(5.12)的任意
一个解，都存在一组适当的常数c1,c2,…,ck使 得an可以表示为式(5.15)的形式，则称式 (5.15)是递归关系式(5.12)的通解。
解得
c1 (1 5) / 2 5,c2 (1 5) / 2 5
故递归关系式(5.5)的解为
Fn (1 5)n1 (1 5)n1 / (2n1 5)
求解 递归关系
ana0
2an1 1, a1
an2 2an 2, a2 0
3
解：递归关系的
(n 3)
特征方程为 x3-2x2-x+2=0
若q1,q2,…,qk是递归关系式(5.12) 的互不相同的特征根，则
an c1q1n c2q2n ckqkn
组合数学之常系数递归关系
(m,n)
Pk
P2 (0,1) (0,0) P1
(1,0)
图4.2
8
这样建立了从(1,0)点到 这样建立了从(1,0)点到(m,n)点的一条 点到( 路径与从(0,1)到 点且过y=x上点 路径与从(0,1)到(m,n)点且过y=x上点 的路径之间的一一对应关系. 的路径之间的一一对应关系. 利用以上结论, 利用以上结论, 可以用两种方式得到 题目中要求的路径数目N 题目中要求的路径数目N: (1) N=从(0,0)点到(m,n)点的总路径数 (0,0)点到 点到( - 2×从(1,0)点到(m,n)点的路径数 (1,0)点到 点到( N=C(m+n,m)-2C(m+n-1,m-1) =C(m+n, 2C(m+n-1,m =C(m+n=C(m+n-1, m)-C(m+n-1,m-1). C(m+n-1,m
19
对于(4.1)中的 阶齐次递归关系: 对于(4.1)中的r阶齐次递归关系: 中的r H n a1 H n1 a 2 H n 2 a r H n r = 0 我们定义如下的一元 r 次方程: 次方程:
10
例3 音乐会票价为50元一张, 排队买票的 音乐会票价为50元一张 元一张, 顾客中有m位持50元的钞票 位持100 元的钞票, 顾客中有m位持50元的钞票, n位持100 元的钞票. 售票处没有50元的零钱 元的零钱. 元的钞票. 售票处没有50元的零钱. 问 有多少种排队的办法使购票能顺利进 不出现找不出钱的状态, 行, 不出现找不出钱的状态, 假定每位 顾客只买一张票, 而且m 顾客只买一张票, 而且m≥n. 分析: 可以用m+n维 1向量来表示一种 分析: 可以用m+n维0, 1向量来表示一种 排队状态, 令该向量为: 排队状态, 令该向量为: (a1,a2,…, am+n), 其中a =1,2,… m+n. 其中ai=0 或1, i=1,2,…,m+n. ai=0表示第i个顾客持50元的票款; =0表示第 个顾客持50元的票款 表示第i 元的票款; ai=1表示第i个顾客持100元的票款. =1表示第 个顾客持100元的票款 表示第i 元的票款.
组合数学(哈工大 第五章)
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任世军 (哈尔滨工业大学)
组合数学 递推关系
December 22, 2014
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递推关系
. Definition . 设{an } 为一序列， 把该序列中an 和它前面几个ai (0 ≤ i ≤ n) 关联起来的 方程称做一个递推关系（递归关系）。 .
..
Example
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任世军 (哈尔滨ember 22, 2014
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递推关系
. . 在一个平面上有一个圆和n 条直线， 这些直线中的每一条在圆内都同其他 的直线相交。如果没有多于三条的直线相交于一点， 试问这些直线将圆分 成多少个不同区域？ . 解: 设这n 条直线将圆分成的区域数为an ， 如果有n − 1 条直线将圆分 成an−1 个区域， 那么再加入第n 条直线与在圆内的其他n − 1 条直线相 交。显然， 这条直线在圆内被分成n 条线段， 而每条线段又将第n 条直线 在圆内经过的区域分成两个区域。这样， 加入第n 条直线后， 圆内就增加 了n 个区域。 而对于n = 0， 显然有a0 = 1， 于是对于每个整数 n， 可以建立 如下带初值的递推关系 a0 = 1, a1 = 2, an = an−1 + n
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数学中的递归关系与递归公式
数学中的递归关系与递归公式数学中的递归关系与递归公式是一种重要的数学工具，被广泛应用于各个领域，包括计算机科学、经济学、物理学等。
本文将就递归关系和递归公式的概念、特点以及应用领域进行探讨。
一、递归关系的概念与特点递归关系是指在定义中依赖自身的关系。
换句话说，当前的值取决于前面的值。
在数学中，递归关系常常用于描述数列、集合以及函数之间的关系。
一个典型的递归关系可以用如下的数列来说明：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
在这个数列中，每一个数都是前两个数的和。
递归关系的特点在于它能够将较大的问题转化为较小的子问题，并通过不断地迭代求解子问题来得到最终的结果。
递归关系有以下几个重要的特点：1. 递归关系需要一个或多个初始条件，也称为基本情况。
在上述例子中，F(1)=1和F(2)=1即为初始条件，没有初始条件的递归关系将无法求解。
2. 递归关系必须能够在每一步中将问题规模缩小。
这保证了问题在经过有限次迭代后能够达到基本情况。
3. 递归关系可能存在多个解，每一个解都是基于不同的初始条件得到的。
4. 递归关系的求解通常通过递归公式来实现。
二、递归公式的概念与求解方法递归公式是一种用于求解递归关系的数学表达式。
它用于将问题的较大实例转化为较小实例的解。
通常情况下，递归公式由递归关系的定义式推导得到。
以斐波那契数列为例，递归关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)中的递归公式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
通过递归公式，我们可以直接计算出数列中任意位置的值，而无需通过逐步迭代求解。
除了直接求解递归关系外，递归公式还可以用于证明数学定理和推导数学结论。
通过递归公式，我们可以建立数学模型，进而解决实际问题。
三、递归关系与递归公式的应用1. 计算机科学中的递归关系与递归公式在计算机科学中，递归关系和递归公式被广泛应用于算法分析和设计中。
(完整word版)组合数学习题解答
第一章：1。
2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同,而且由奇数构成的整数个数。
解:由奇数构成的4位数只能是由1,3，5，7，9这5个数字构成,又要求各位数字都不相同，因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列，所以，所求个数为：P （5,4）=120。
1.4。
10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式？如果其中有两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？ 解:这显然是一组10个人的全排列问题，故共有10！种就坐方式。
如果两个人坐在一起，则可把这两个人捆绑在一起，如是问题就变成9个人的全排列，共有9!种就坐方式.而这两个人相捆绑的方式又有2种（甲在乙的左面或右面）。
故两人坐在一起的方式数共有2＊9！，于是两人不坐在一 起的方式共有 10！— 2＊9！.1.5. 10个人围圆桌而坐,其中两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？ 解:这是一组圆排列问题，10个人围圆就坐共有10!10 种方式。
两人坐在一起的方式数为9!92⨯,故两人不坐在一起的方式数为：9！—2＊8！。
1。
14. 求1到10000中,有多少正数，它的数字之和等于5？又有多少数字之和小于5的整数？ 解：（1）在1到9999中考虑，不是4位数的整数前面补足0, 例如235写成0235,则问题就变为求: x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数，故有F （4,5）=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=515456 （2）分为求：x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解，其个数为F （4，4）=35 x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解，其个数为F(4,3）=20 x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解,其个数为F （4,2)=10 x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解,其个数为F （4，1）=4 x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解，其个数为F （4，0）=1将它们相加即得，F （4，4)+F(4，3）+F （4,2）+F （4，1）+F （4,0）=70。
第五章 递归关系及解法
⑶f(n)= βn g(n),其中g(n)为n的t次多项式, β是导 齐次线性递归关系的m重特征根(m≥0) 这时,(5.3.1)的特解形式为
a n = ( A0 n t + A1n t −1 + ⋯ + At −1n + At ) ⋅ n m β n .
出的
其中 A0 , A1 ,⋯, At −1 , At 为待定常数。
∑m
i =1
t
i
= k,
mi
则递归关系(5.2.1)的通解为
an = ∑∑ cij n j −1qin .
i =1 j =1
t
an = 2an −1 − an − 2 , 例4 求解递归关系 a = 2, a = 3. 2 1
(n ≥ 3)
例5 求解递归关系
an = −an −1 + 3an − 2 + 5an −3 + 2an − 4 , a0 = 1, a1 = 0, a2 = 1, a3 = 2.
A
B
C
例2 “Fibonacci兔子问题”：从某年某月(设为第0 月)开始,把雌雄各一的一对小兔放入养殖场,假定两 个月后长成成年兔,并同时(即第二个月)开始每月产 雌雄各一的一对小兔,新增的小兔也按此规律繁殖, 问第n个月末养殖场共有多少对兔子? 第n月的兔子包括两部分:上月留下的和当月新生的, 而新生的小兔数即为前月末的兔子数,所以 Fn=Fn-1+Fn-2 Fibonacci序列的性质:
(n ≥ 2)
2.特征根有重根 特征根有重根
定理5.2.4 若递归关系(5.2.1)的特征方程(5.2.2)有一 定理 个m重根q，则qn,nqn,…,nm-1qn均为(5.2.1)的解。 定理5.2.5 设q1,q2,…,qt分别为特征方程(5.2.2)的相 定理 异的m1,m2,…,mt重根,且
用矩阵理论求解常系数线性齐次递归关系
Ｓ ｌ ｉ ｇ ｔ ｅ Ｒｅ ｕ ｓｖ ｌｔｏ ｔ ｎ ｔ ｎ ｅ ｃｅ ｔ ｙ Ｍ ａ ｒｘ Ｔｈ ｏ ｙ ｏｖｎ ｈ ｃ ｒ ｉ ｅ Ｒｅａ ｉｎ ｈ Ｃｏ ｓａ ｔＣｏ ｆ ｉｎ ｓｂ ｔｉ ｅ ｒ ｉ
Ｚ Ａ Ｈ ＮＧ Ｙ ａ ｕ ｎ， Ｐ ＮＧ Ｍａ Ｅ ｏ
可逆矩 阵的取法 如 下 ：
、
●
●
☆ 若特征根 Ａ 为单根 ， 则其对应矩阵 中的１ 列， 为其对应的特征向量（ Ａ～， ， ，） ； Ａ～， … Ａ １
☆ 若 特征根 Ａ 为 重根 ， 难证 明其 必然对 不
＿ Ｉ
ｈ ＝ ２ １＋ ｈ ２ ｈ
一
一
—
２ｈ ３ （ ｎ≥ ３ ）
Ａ ： Ｐ 一“ Ｐ一
一
１
｝
、 Ｔ Ｌ＋ － １ ¨ ， ／
☆ 若方程（ ）出现重根．
Ｉ
。 ．
由若当标准形理论 ， 矩阵 Ａ相似于一个若当
形矩阵， 即存在可逆矩阵 ，～ Ｔ＝Ｊ 这里 ． ＴＡ ， ， 为若 当形矩阵．每个 ．是一个若 当块． ，
ｌ
口
Ｏ ０
．
征 方程 为
（， ｋ １≥ ） ７
Ｉ Ｅ —Ａｆ （ ） （ ）一（ 一口Ａ Ａ ＝ 一１ 一１ Ａ １
一
ｏ Ｏ ０ Ａ
其中 口 ， ， 口 是常数 ， ． 口 …， 口 ≠０ 将上述递归关系
用矩 阵形式 表示为 厂 ，
（ ｏ ｅｅｏ Ｍａｈ＆ Ｐ ｙｉ ， ｎｉｇＵ ｉｅｓｙｏ Ｉｆｒ ｔ ｎＳ ｅ ｃ Ｃ ｌｇ ｆ ｔ ｌ ｈ ｓ ｓ Ｎａｊｎ ｎｖ ｒｉ ｆ ｎｏｍａ ｏ ｄ ｎｅ＆ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ， ｎｉｇ２ ０４ Ｃ ｈａ ｃ ｔ ｉ ｅｈ ｏｏ ｙ Ｎａｊｎ １０４， ｈ ｌ）
数学中的递归关系与递推公式
在数学中，递归关系与递推公式是两个常常使用的概念。
它们用于描述数列、函数或者其他数学对象之间的关系，并且在数学问题的解决中起到了重要的作用。
在本文中，我们将详细讲述递归关系和递推公式的概念、性质以及应用。
首先，我们来看递归关系。
递归关系通常用于定义一个数列或者函数，它通过将问题分解为更小的子问题来进行定义。
具体来说，一个递归关系由两部分组成：初始条件和递归步骤。
初始条件是一个或一组已知的数值，用于开始递归过程。
递归步骤则描述了如何从已知的值推导出后续的值。
递归过程在每一步都会使用之前的值来计算新的值，直到得到所需的结果为止。
举一个简单的例子来说明递归关系。
考虑斐波那契数列，它定义如下：第一个数字为0，第二个数字为1，从第三个数字开始，每个数字都是前两个数字的和。
用递归关系来定义斐波那契数列可以写成：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥2）。
我们可以看出，这个递归关系将问题分解为计算前面两个数字的和，这样就可以得到后续的数字。
递归关系的另一个重要应用是在数学归纳法的证明中。
数学归纳法是一种证明思想，用于证明一般情况下的命题。
它主要分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤是证明命题在某个特定情况下成立，而归纳步骤则是假设命题在某个情况下成立，然后通过递归关系证明在下一个情况下也成立。
递归关系在归纳步骤中起到了至关重要的作用，它提供了从一个情况到下一个情况的连接。
与递归关系相对应的是递推公式。
递推公式是一种通过前面的值计算出后续的值的公式。
它不需要进行递归的计算，而是直接使用已知的值进行计算。
递推公式在解决一些数学问题时具有很大的便利性，因为它们可以快速得到所需的结果。
递推公式与递归关系有着密切的联系。
事实上，递推公式可以从递归关系中推导出来，而递归关系也可以通过递推公式来表示。
它们在描述数学对象之间的关系时起到了互补的作用。
最后，我们来看一些常见的应用。
递归关系和递推公式广泛应用于数列、函数、动态规划等数学问题的解决中。
组合数学32常系数线性齐次递推关系
3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同 例 解递归 解 递推推关系an＝an-1－an-2 (＊) (＊)的特征方程为x2－x＋1＝0 (＊)的特征根x1 , x2 (＊)的通解
3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同
STEP 01
STEP 02
把a1＝1, a2＝0代入通解得
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递归关系式
递归关系式引言递归关系式是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
递归关系式是描述一个数列或函数的定义式中，通过引用其自身来定义的。
它能够将一个问题分解为更小的子问题，从而简化复杂的计算过程。
本文将深入探讨递归关系式的概念、性质以及在数学和计算机科学中的应用。
什么是递归关系式递归关系式是一种特殊的数学关系式，它通过引用自身来定义。
递归关系式通常用于定义数列或函数，其中每一项或每一个值都依赖于前面的项或值。
递归关系式的定义可以分为两部分：基础情况和递推关系。
基础情况是递归关系式中的边界条件，它指定了递归的终止条件。
在递归计算中，当满足基础情况时，递归将停止。
递推关系是递归关系式中的递推公式，它描述了如何通过已知的项或值计算下一个项或值。
递推关系将问题分解为更小的子问题，并利用已知的解来计算新的解。
递归关系式的性质递归关系式具有以下几个重要的性质：1.递归性：递归关系式是通过引用自身来定义的，因此它具有递归性质。
递归性使得递归关系式能够将一个问题分解为更小的子问题，从而简化计算过程。
2.重叠性：递归关系式中的子问题通常会出现重叠。
这意味着在计算过程中，同一个子问题可能会被多次计算。
为了避免重复计算，可以使用记忆化技术或动态规划来提高计算效率。
3.结构性：递归关系式通常具有明显的结构性质。
通过观察递归关系式的结构，可以找到问题的规律，进而设计出高效的计算方法。
递归关系式的应用递归关系式在数学和计算机科学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递归关系式。
它的定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n > 1)斐波那契数列中的每一项都是前两项的和。
通过递归关系式，可以计算出任意项的值。
斐波那契数列在数学、计算机科学和自然科学中都有广泛的应用，如金融分析、生物学建模等。
阶乘函数阶乘函数是另一个常见的递归关系式。
组合数学 33常系数线性非齐次递推关系重点
当S是相伴的线性齐次递推关系的特征方程的 m(m≥0)重根时，存在一个下述形式的特解：
an＝nm(ptnt＋pt-1nt-1＋…＋p1n＋p0)Sn 其中p1,p2,…,pt为待定系数。
3.3.2 举例
例3.3.1 解递归 a n a n 1 n
a 1 1
()
解(1)相伴齐次递推关系an＝an-1 (☆)
(☆)的特征方程x－1＝0
(☆)的特征根
x＝1
(☆)的通解an＝a×1n＝a(a为任意常数)
3.3.1 非其次递推关系
定理3.3.1
若an＝x(n)为递推关系
(3.3.1)相伴的齐次递推关系(3.3.2)的通 解， an＝y(n)为递推关系(3.3.1)的一个
特解，则an＝x(n) ＋y(n)为递推关系
(3.3.1)的通解。
3.3.1 非其次递推关系
定理3.3.2 设常系数线性非齐次递推关
的解
3.3.2 举例
例3.3.3 解递归 a n 3a n1 3 2 n 4n
a 1 1
()
解(1)相伴齐次递推关系an＝3an-1 (☆)
(☆)的特征方程x－3＝0
(☆)的特征根
x＝3
(☆)的通解an＝a×3n(a为任意常数)
3.3.2 举例
(2)分别求an＝3an-1＋3×2n (◇)
3.3.2 举例
组合数学中几个典型递归关系的讨论-毕业论
目录1引言 (1)2组合数学 (1)3递归关系 (2)3.1 递归思想 (2)3.2 递归关系 (2)4 FIBONACCI数列 (3)4.1问题的提出 (3)4.2问题的分析 (3)4.3问题的解答 (4)4.4 递归算法 (4)4.5 一类广义Fibonacci数列递归关系 (5)5 HANOI塔问题 (8)5.1问题的提出 (8)5.2问题的分析 (8)5.3问题的解答 (8)5.4 递归算法 (9)5.5 基于递归关系下Hanoi塔问题的推广 (10)6平面分割问题 (11)6.1问题的提出 (11)6.2问题的分析 (11)6.3问题的解答 (12)7结束语 (12)参考文献 (13)致谢 (14)组合数学中几个典型递归关系的讨论Xxxxxx系本xxxxx班xxxxxx指导教师：xxxxxxx摘要：本文对几个典型的递归关系进行了分析研究，分别为Fibonacci 数列、Hanoi塔问题、平面分割问题。
通过对问题的提出、分析、解答，从而求解出递归关系，并且对前两个问题有推广及总结，以发散性思维对Fibonacci 数列、Hanoi塔问题的一般化问题进行了研究推理，并得到其递归关系。
关键词：递归，Fibonacci数列，Hanoi塔问题，平面分割问题。
Discussion on Several Typical Recursion Relations inCombinatorial MathematicsJxxxxxxClass xxxxx, Mathematics DepartmentTutor: xxxxxxxxxAbstract: This paper mainly studies several typical recursion relations respectively, they are the Fibonacci Sequence. Hanoi Tower and Planar Segmentation Problem. The paper aims to find out the recursion relations and have a generalization and summary on the first twoproblems for them by proposing, analyzing and handling problems, then study and inference the general problems of Fibonacci Sequence and Hanoi T ower with divergent thinking, and work out the recursion relations finally.Key words: recursion, Fibonacci sequence, Hanoi tower, planar segmentation problem.1引言递归关系是数学与计算机科学的一个重要研究对象，特别是在算法分析中有着广泛的应用。
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满足要求的路径一定不会经过(0,1)点 满足要求的路径一定不会经过(0,1)点. 可以建立一个新坐标系: 原点在( 可以建立一个新坐标系: 原点在(-1,0), 这样我们原来( 这样我们原来(m,n)点在新坐标系里面 的坐标就成了( +1,n 自然m+1>n 的坐标就成了(m+1,n), 自然m+1>n. 从新坐标系原点出发到达( +1,n 从新坐标系原点出发到达(m+1,n)点的 路径, 如果所经过的点( 满足a 路径, 如果所经过的点(a,b)满足a>b, 则 (1,0)点后的路径正好是满足条件的路 (1,0)点后的路径正好是满足条件的路 (图4.3) 径. (图4.3) 所以只需求出(0,0)到 +1,n 不经过y=x 所以只需求出(0,0)到(m+1,n)不经过y=x 上点的路径数. 上点的路径数.
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对于(4.1)中的 阶齐次递归关系: 对于(4.1)中的r阶齐次递归关系: 中的r H n a1 H n1 a 2 H n 2 a r H n r = 0 我们定义如下的一元 r 次方程: 次方程:
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这样的向量有m 这样的向量有m个0元素, n个1元素, 共 元素, 元素, C(m+n, 有C(m+n, m)个. 可以建立(m+n) 0,1向量与从 向量与从(0,0)点到 可以建立(m+n)维0,1向量与从(0,0)点到 点路径间一一对应: (0,0)点出 达(m,n)点路径间一一对应: 从(0,0)点出 =0沿 轴方向走一个单位, 发, 第i步: 若ai=0沿x轴方向走一个单位, =1沿 轴方向走一个单位, 若ai=1沿y轴方向走一个单位, i=1,…,m+n. =1,…,m+n. 要保证顾客能顺利地买到票相当于要 必须满足x 求路径上各点( 求路径上各点(x,y)必须满足x≥y.
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我们的问题相当于求从(0,0)点到 我们的问题相当于求从(0,0)点到(m,n) 点到( 点的路径中, 不穿越过y=x线上点的路 点的路径中, 不穿越过y=x线上点的路 径数(可以经过), 径数(可以经过), 即需求出路径上各点 (x,y)满足条件 x≥y的路径数. 的路径数. 这个问题与例 的问题不一样, 这个问题与例2的问题不一样, 那里不 允许经过y=x上点 现在可以经过, 上点. 允许经过y=x上点. 现在可以经过, 但不 许穿过y=x这条直线是的点 这条直线是的点. 许穿过y=x这条直线是的点. 但是我们可以把这个问题转化为例 但是我们可以把这个问题转化为例2中 的情况来加以解决. 的情况来加以解决. 实际上相当于进行 一个坐标变换. 一个坐标变换.
(m,n)
(0,1) (0,0) (1,0)
图4.2
4
问题也可以提为: 求从( 问题也可以提为: 求从(0,1)点到(m,n)点 点到(m,n)点 并且所经过的点( 均满足条件a 并且所经过的点(a,b)均满足条件a<b的 路径数. 路径数. 由于m 显然从( 点到( 由于m<n, 显然从(1,0)点到(m,n)点的每 一条路径, 必然穿过y=x上的点 上的点. 一条路径, 必然穿过y=x上的点. 的路径可以分成两类: 从(0,0)到(m,n)的路径可以分成两类: 第一类: 经过( 第一类: 经过(1,0)点. 这类路径至少要穿 过一次y=x上的点 上的点. 过一次y=x上的点. 第二类: 经过( 第二类: 经过(0,1)点. 这类路径可以分成 两部分. 两部分.
《组合数学》 组合数学》
第四讲
常系数递归关系
1
第四讲: 第四讲: 常系数递归关系
I. 路径问题选讲 II. 常系数齐次递归关系 常系数齐次 齐次递归关系 (1) 特征值为不同的实数 (2) 特征值均为实数但是有重根 (3) 特征值有复根* 特征值有复根* III. 常系数非齐次递归关系* III. 常系数非齐次递归关系* 非齐次递归关系
2
I. 与路径有关的问题
例1 设某地的街道把城市分割成矩形方格, 每 设某地的街道把城市分割成矩形方格, 个方格称为块. 某甲从家里出发上班, 个方格称为块. 某甲从家里出发上班, 向东 要走m 向北要走n 要走m块, 向北要走n块. 问某甲上班的路径 有多少种? 有多少种? (m,n) 某甲上班路径数等于 从原点到 (m, n)点的 总径数: 总路径数:
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例3 音乐会票价为50元一张, 排队买票的 音乐会票价为50元一张 元一张, 顾客中有m位持50元的钞票 位持100 元的钞票, 顾客中有m位持50元的钞票, n位持100 元的钞票. 售票处没有50元的零钱 元的零钱. 元的钞票. 售票处没有50元的零钱. 问 有多少种排队的办法使购票能顺利进 不出现找不出钱的状态, 行, 不出现找不出钱的状态, 假定每位 顾客只买一张票, 而且m 顾客只买一张票, 而且m≥n. 分析: 可以用m+n维 1向量来表示一种 分析: 可以用m+n维0, 1向量来表示一种 排队状态, 令该向量为: 排队状态, 令该向量为: (a1,a2,…, am+n), 其中a =1,2,… m+n. 其中ai=0 或1, i=1,2,…,m+n. ai=0表示第i个顾客持50元的票款; =0表示第 个顾客持50元的票款 表示第i 元的票款; ai=1表示第i个顾客持100元的票款. =1表示第 个顾客持100元的票款 表示第i 元的票款.
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教材第 教材第3版p.53给出的结果是错误的. 53给出的结果是错误的 给出的结果是错误的. 只要对于m 只要对于m=3, n=2的情况简单验证一 下就可以发现书中的结果不对. 下就可以发现书中的结果不对. 习题" 构成的字符串中, 习题"由n个0和n个1构成的字符串中, 在任意前k个字符串中, 在任意前k个字符串中,0的个数不少 的个数的字符串有多少? 于 1 的个数的字符串有多少 ? " 与买 票问题相同. 票问题相同. 路径问题很典型, 希望大家能掌握. 路径问题很典型, 希望大家能掌握.
9
(2) N=从(0,1)点到(m,n)点的路径数 (0,1)点到 点到( - 从(1,0)点到(m,n)点的路径数 (1,0)点到 点到( N=C(m+nN=C(m+n-1, m)-C(m+n-1,m-1). C(m+n-1,m
m + n 1 m + n 1 N = m 1 m 1 1 = ( m + n 1)! m! ( n 1)! ( m 1)! n! ( m + n 1)! (n m ) = m! n!
7
(m,n)
Pk
P2 (0,1) (0,0) P1
(1,0)
图4.2
8
这样建立了从(1,0)点到 这样建立了从(1,0)点到(m,n)点的一条 点到( 路径与从(0,1)到 点且过y=x上点 路径与从(0,1)到(m,n)点且过y=x上点 的路径之间的一一对应关系. 的路径之间的一一对应关系. 利用以上结论, 利用以上结论, 可以用两种方式得到 题目中要求的路径数目N 题目中要求的路径数目N: (1) N=从(0,0)点到(m,n)点的总路径数 (0,0)点到 点到( - 2×从(1,0)点到(m,n)点的路径数 (1,0)点到 点到( N=C(m+n,m)-2C(m+n-1,m-1) =C(m+n, 2C(m+n-1,m =C(m+n=C(m+n-1, m)-C(m+n-1,m-1). C(m+n-1,m
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(m,n) (m+1,n)
(0,1) (-1,0) (0,0) (1,0)
图4.3
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这样变换之后, +1相当于 这样变换之后, m+1相当于例2中的n, 相当于例 中的n 则相当于其中的m 而n则相当于其中的m. 由此我们知道 所要求的路径数目N如下: 所要求的路径数目N如下:
N = C (m + n + 1 1, n) C (m + n + 1 1, n 1) = C (m + n, n) C (m + n, n 1) = C (m + n, m) C (m + n, n 1) (m + n)! (m + n)! = m! n! (m + 1)!(n 1)! mn+1 (m + n)! = (m + 1)! n!
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II. 常系数齐次线性递归关系 常系数齐次 齐次线性递归关系
常系数线性递归关系有齐次 常系数线性递归关系有齐次和非齐次 齐次和 两种. 是一个递归数列. 两种. 设Hn是一个递归数列. 常系数齐次递归关系: 常系数齐次递归关系:
Hn a1Hn1 a2 Hn2 ar Hnr = 0 (4.1)
C ( m + n, m ) = C ( m + n, n).
(0,0)
图4.1
3
例2 从(0,0)点到达(m,n)点, 其中m<n. 要求中 点到达( 其中m<n. 间所经过的路径上的点( 恒满足a 间所经过的路径上的点 (a,b)恒满足a<b, 问 有多少不同的路径? 有多少不同的路径? 解 与 例 1 不同 , 现 不同, 在要求路径不经 在要求路径 不经 y=x上的点 上的点. 过y=x上的点. 这 点第1 样, 从(0,0)点第1 步必须到( 步必须到(0,1)点, 而不允许到( 而不允许到 ( 1 , 0 ) 点.
5
第一部分: 不经过y=x上任何的点 第一部分: 不经过y=x上任何的点. 这正 上任何的点. 是题目中要求的路径. 是题目中要求的路径. 第二部分: 至少经过一次y=x上的点 上的点. 第二部分: 至少经过一次y=x上的点. 下面我们说明: 第一类路径数目正好 下面我们说明: 第一类路径数目正好 等于第二类中第二部分的路径数目 第二类中第二部分的路径数目. 等于第二类中第二部分的路径数目. 这可以通过建立起从(1,0)到 这可以通过建立起从(1,0)到(m,n)点的 路径与从(0,1)到 点但经过y=x线上 路径与从(0,1)到(m,n)点但经过y=x线上 点的路径间之间一一对应关系来加以 证明. 证明.