高中数学 函数与方程思想

函数与方程思想数学思想是数学活动的指导思想，是数学活动的一般概括。

它是从整体和思维的更高层次上指导考生有效地认识数学本质，运用数学知识发现、完善数学知识结构，探寻解题的方向和途径。

通过概括、比较上升为数学能力，并通过数学思想的运用，培养学生初步的科学方法论，提高思维素质，增强思维能力。

数学思想的教学使中学数学教学进一步走向现代化。

第一轮复习中，数学思想尚处于隐含、渗透的阶段。

第二轮复习有必要明确地突出其重要作用，使考生清楚地认识到只有在数学思想的指导下的解题活动，才是科学的解题活动，才具有很强的能动作用和创造作用。

从高考的实际出发，本书只强调现行热点的函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想。

函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分枝。

函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来一股很强的创新能力。

因此，越来越成为数学高考的长考不衰的热点。

函数思想在高考中的应用主要是函数的概念。

性质及图像的应用，包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。

方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程、不等式或它们的混合组，通过解方程（组）、不等式（组）或其混合组使问题获解。

包括待定系数法，换无法、转换法和构造方程法四个方面。

函数思想与方程思想的联系十分密切。

解方程f (x )＝0就是求函数y ＝f (x )当函数值为零时自变量x 的值；求综合方程f (x )=g (x )的根或根的个数就是求函数y ＝f (x )与y =g (x )的图像的交点或交点个数；合参数的方程f (x , y , t )=0和参数方程更是具有函数因素，属能随参数的变化而变化的动态方程。

它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线。

正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。

1．显化函数关系在方程、不等式、最值、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而使用函数知识或函数方法使问题获解．例题1．在数列{a n }中，a 1＝15，以后各项由 a n +1＝a n －32，求数列{a n }的前n 项和的最大值．分析：由题设易知数列{a n }为等差数列，其通项的一个充要条件形式就是 n 的一次函数，a n = An ＋B ，(A 、B ∈R ）欲求前n 项和S n 的最大值只需利用a n 的单调性转化为a n ＞o ，a n +1＜0即可获解．解：∵ a n +1=a n －32, ∴ d =a n －1－a n =－32, ∵ a 1=15, ∴ a n =15－32(n －1),由⎩⎨⎧<>+001n n a a ,即⎪⎩⎪⎨⎧<->--032150)1(3215n n ,解得245＜n ＜247（n ∈ N ）,即n ＝23．故数列｛a n ｝的前23项的和最大．点拨解疑：数列是定义在自然数集N 上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n 项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成n 的函数．在解等差数列、等比数列问题中，有意识地凸现其函数关系、从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅常能获得简便优秀的解法，且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平． 2．转换函数关系在函数性态、曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中逆求参数的取值范围，按照原有的函数关系很难奏效时，灵活转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其它变元的函数关系，切人问题本质，从而使原问题获解．例题2．已知函数f (x )=1421lg2+-⋅++a aaxx, 其中为常数，若当x ∈(－∞, 1］时,f (x )有意义，求实数a 的取值范围．分析：参数a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其它变元(x )的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”．解：14212+-⋅++a a axx>0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43>0, ∴ 1+2x +4x ·a >0,a >)2141(xx+-,当x ∈(－∞, 1]时, y =x41与y =x21都是减函数，∴ y =)2141(xx+-在(－∞, 1]上是增函数，)2141(xx+-max =－43,∴ a >－43, 故a 的取值范围是(－43, +∞).点拨解疑：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数y =)2141(xx+-的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a 的取值范围．此法也叫主元法． 3．构造函数关系在数学各分支形形色色的数学问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论、通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造某些函数关系，利用函数思想和方法使原问题获解，是函数思想解题的更高层次的体现，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移． 例题3．a 为何值时，不等式a 2＋2a －sin 2x －2a cos x ＞2对任意实数x 都成立． 分析：由例2易想到分离变量a 和x ，转化为a 的二次函数的最值解决，但实际解题中却无法直接从原不等式中分离出参数a ，深入审题知思维屏障产生于sin 2x 与cos x 的不和谐性．以此为突破口，利用整体思想、换元、将原不等式先转换为cos x 的二次不等式，再利用新构造的函数关系求解．略解：令 t =cos x ，则sin 2x ＝1－t 2，t ∈[－1, 1],不等式化为 t 2－2at ＋a 2＋2a －3＞0在 t ∈[－1, 1]上恒成立，设f (t )= t 2－2at ＋a 2＋2a －3=(t －a ）)2＋2a －3．当a ≤－1时，f (t )min ＝f (－1)= a 2＋4a －2；当－1＜a ＜1且时，f (t )min ＝f (a )＝2a －3；当a ≥1时，f (t )min =f (1)=a 2－2．原问题等价于当t ∈[－1，1]时f (t )min ＞0．即所求的a 值为下列不等式组的解． (1)⎩⎨⎧>-+-≤02412a a a 或 (2)⎩⎨⎧>-<<-03211a a 或(3) ⎩⎨⎧>->0212a a ,依次解得a ＜－2－6或a ≠0或a ＞2，故所求a 的取值范围是a ＜－2－6或a >2.点拨解疑：① 不等式恒成立问题的基本解法是转化为函数最值问题，利用函数性质解决，但本题无法分离参数，不能转化为例2中的较简单情形，只好对含参数a 的二次函数最值依对称轴位置分情况讨论，利用函数性质： f (t )＞0，对t ∈[－1, 1]恒成立等价于f (t )min ＞0，t ∈[－1，1], 使问题解决．② 在解题中综合使用了函数思想，数形结合思想，分类讨论思想和化归思想及换元法，对思维品质要求较高．例题4．如图，已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在平面，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离． 分析：距离的概念常由最小值定义，故可设法将点B 到平面的距离通过构造函数关系，建立一个二次函数关系式，转化为二次函数的最值解决．解：连接EC 、AC 、BD 、EF 、FG ，分别交AC 于H 、O ，连CH ．因ABCD 为正方形．故BD ⊥AC ，由已知易得BD 与平面GEF 内的直线GH 是异面直线，由此可将点B 到平面GEF 的距离转化为两异面直线BD 、GH 的距离，建立两异面直线上任意两点距离的一个二次函数关系式．在GH 上任取一点K ，作KL ⊥AC ，垂足为L ，连结KO ，设KL ＝x ，利用Rt △KLH ∽Rt △GCH ，可得LO 2=2)2223(-x ,∴ KO 2=x 2+2)2223(-x =2)116(211-x +114,(其中0≤x ≤2)，所以KO 的最小值为11112，即点B 到平面EFC 的距离．点拨解疑：函数最值法求距离是函数思想应用较高层次，解题的关键是在于选取变元构造恰当的二次函数，应注意积累有关技巧。

4．建立函数关系 对于实际问题，在正确过好事理关，文理关，明白题意后，根据题目的要求，选择相应的函数关系建立数学模型，利用函数的性质解决问题，是函数思想应用的一个热点，也是高考的热点．例题5．某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字形地域，计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四旁四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为每平方米80元．（1）设总造价为S 元，AD 长为x 米，试建立S 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时S 最小，并求出这个最小值．分析：细心审读题意，由平面几何知识，找出图形总面积的关系式，进而由三类不同的的建筑要求，不同的造价得出三类不同地域上的建筑费用，从而得出总造价S 关于x 的函数式，此即（1）的目标函数式，再根据目标函数S (x )的结构特征，选择常用的方法求其最值。

解：（1）设DQ =y 米，∵ AD =x 米, 则x 2+4xy =200, ∴ y =xx42002-, 由题意S =4200x 2+210·4xy +80·2y 2=38000+4000x 2+2400000x.(2) ∵ x >0 ∴ S ≥38000+281016⨯=118000，当且仅当4000x 2=2400000x，即x 4＝100（米）时取等号．故当x ＝10米时，总造价最小，最小值为118000元．点拨解疑：① 若直接由x 建立目标函数S (x )较困难时，可考虑增设变元，沟通关系，实现联系后，再消去增设的变元，得到题目所需S 关于x 函数式．此法叫参数法，基本步骤是：先引参，建立S 关于x 、y 的关系式S (x , y )．再消参，整理得目标函数S (x )．它可以在应用题的建模过程中化解难点，缩短建模过程． ② 求目标函数的最值的常用方法中，分式型函数y =ax ＋xb （a ．b 为正数）适宜用重要不等式法，即平均值不等式法． 5．待定系数法把题目中待定的未知数（或参数）和已知数的等量关系揭示出来，建立方程（组）求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．例题6．是否存在常数 a ，b ，c ，使得等式1·22+2·32+3·42+……+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c )对于一切自然数n 都成立？并证明你的结论．分析：本例属存在型探索题，但也是待定系数法的典型题目，问题要求含三个待定常数a ，b ，c 的等式对一切自然数都成立，易联想到用赋值法、此等式必然对a ，b ，c 所取的任何具体的自然数的值都成立．令n =1，2，3，建立a ，b ，c 的三元方程组，转化为方程组是否有解，问题便不难解决了．略解：假设存在a ，b ，c ，使题设的等式成立，令n =1，2，3，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614,解得⎪⎩⎪⎨⎧===10113c b a , 下面用数学归纳法证明（略：读者自行完成）点拨解疑：待定系数法的实质就是方程思想的应用，由于待定系数法是数学的一大基本方法，因而赋予方程思想的应用以广阔空间，高中数学中比比皆是，诸如已知函数式及某特殊函数值，求待定系数或底数或指数的值，已知数列的类型及某特殊项或前n 项和的值，求通项公式或前n 项和公式中的待定系数，已知曲线方程的类型，由某些已知数求方程中待定系数的值等等． 6．转换方程形式把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，有关方程的解的定理（如韦达定理，判别式、实根分布的充要条件）使原问题获解，是方程思想应用的又一个方面．例题7．设二次函数f (x )＝ax 2十bx 十c （a ＞ 0），方程f (x )－x =0的两个根满足0<x 1<x 2<a1,（1）当x ∈(0，x 1）时，证明：x <f (x )<x 1；（2）设函数f (x )的图像关于直线x =x 0对称，证明x 0＜21x .分析：本例是有一定难度的代数推理题，审题中要细心分清函数f (x )与方程f (x )－x ＝0是两个不同的条件，x =x 0是函数f (x )的对称轴，x 1，x 2则是方程f (x )－x =0的根，它们之间的联系通过a ，b ，c 隐蔽地给出，因而充分利用二次函数的性质，引进辅助函数g (x )＝f (x )－x ，凸现已知条件的联系，是解题的关键．证明：（1）令g (x )=f (x )－x ，因为x 1，x 2是方程f (x )－x =0的根，所以不妨设 g (x )=a (x －x 1)(x －x 2), 当x ∈(0, a 1)时，由于x 1＜x 2，∴ (x －x 1)(x －x 2)>0, 又a ＞0, ∴ g (x )=a (x －x 1)(x －x 2)＞0，即x ＜f (x ),而x 1－f (x )=x 1－x +x －f (x )=x 1－x －g (x )=x 1－x －a (x －x 1)(x －x 2)= (x 1－x )[1+a (x －x 2)],又∵ 0<x <x 1<x 2<a1, ∴ x 1－x >0, 1+a (x －x 2)=ax +1－ax 2>1－ax 2>0,得x 1－f (x )>0, ∴ f (x )＜x 1即x <f (x )＜x 1; （2）由题意知 x 0=－ab 2, ∵ x 1，x 2是方程f (x )－x =0的根，即 x 1，x 2是方程ax 2＋(b －1)x ＋2=0的根．∴ x 1+x 2=ab 1--,∴ x 0=－ab 2=ax x a 21)(21-+=21x 1+21(x 2－a1),∵ x 2<a1, ∴ x 0<21x .点拨解疑：① 本题为1997年理科24题，由于缺乏用方程思想解题的意识和能力，不会转换方程形式，沟通与二次函数的联系，加之题中涉及字母多达6个（x ，x 1，x 2，a ，b ，c ）不会处理．当年平均得分仅为1分，难度系数为0.09、说明方程思想对解题能力提高很重要．② 从二次方程根的研究应注意从代数形式与几何意义两方面进行，并相互联系，促进深化．代数形式上应全面考虑根的判别式面，根与系数的关系（韦达定理）与求根公式．几何意义上应全面考查抛物线的顶点、张口方向，对称轴，单调区间及实根分布的充要条件．③ 超越方程（对数方程等）的解的情况研究适宜于转换为二次方程的实根分布解决．7．构造方程法分析题目中的未知量，根据条件布列关于未知数的方程（组），使原问题得到解决，叫构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面．例题8．已知tan αtan β=3，tan2βα-=2，求cos(α+β).分析：由题设的表面信息，企图由三角函数的恒等变形得到目标，将徒劳无功，极其艰难．因为欲求cos(α+β)，必须先求cos α，cos β，sin α，sin β四个中间变量的值，然而题设仅有两个方程，欲挖掘隐含，联立求解，将非常费力，转换思维角度，欲求cos(α+β)．先求cos αcos β=x ，sin αsin β＝y 这两个未知数的值，转换为建立关于x ，y 的方程组，由 tana αtan β=3即xy ＝3得到一个方程，再由tan2βα-=2设法演化出含x ，y 的方程，问题便迎刃而解．解：∵ tan2βα-=2, ∴ cos(α－β)=)2(tan1)2(tan122βαβα-+--=－53,设cos αcos β=x ，sin αsin β＝y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+353)c o s (x yy x βα,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=309203y x ，∴ cos(α+β)=x －y =103.点拨解疑：① 本例是用方程思想解三角问题的范例，② 若题目条件分散，联系隐蔽，难于发掘或解题过程十分繁难，应主动应用基本数学思想方法，灵活转换思维角度，寻求优秀解法． 例题9．已知x ∈[21, 2], 求函数y ＝xx 25-的最小值．分析：函数问题方程解．对函数形态的研究，常常因函数与方程的密切联系，转化为方程问题，应用方程思想解决．本例即可转化为方程在[21, 2]有解的充要条件来解答．略解；原函数变形为y 2x 2－5x ＋2＝0，x ∈[21, 2]有解的充要条件为：(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⋅><0)2()21(225212522f f yy 或或 (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥-=∆≤≤0)2(0)21(08252252122f f y y或,不等式组(1) 无解；解不等式组(2)得2≤y ≤425,∴ y min =2, 此时x =21或x =2.点拨解疑：① 本例体现了函数与方程思想的相互转化，相互补充，提供了构造方程（或函数）解题的又一途径，扩展了解题思维的空间．② 本例应用方程思想解决时，易误为方程有两个实根，而从判别式考虑，未注意到是在区间[21, 2]上有实根，必须用区间上的根的原理解决，审题时应注意两类情况的区别，不可混为一谈． 8．建立方程模型数学应用题的数学模型为方程，或必须使用待定系数法确定某些字母的值时，应建立相应的方程（组），把问题转化为方程求解．例题10．某车间生产某种产品，固定成本2万元，每生产 1件产品成本增加 100元．根据经验，当年产量少于400件时，总收益R (成本与总利润的和，单位：元)是年产量Q (单位：件)的二次函数，当年产量不少于400件时，R 是Q分析：题面信息易知, 该题为求分段函数的最值，且两段上的函数模型已经给出．因而，解题的关键是确定各段上函数解析式的系数（字母）的值，应使用待定系数法（即方程思想）．审题中还需弄清“收益”、“成本”、“利润”等概念以及它们之间的关系，扫清语言障碍，过好事理关、文理关，特别注意：总利润=总收益一总成本．解：当Q ＜400时，设R =f (Q )=aQ 2＋bQ ＋c ，由给定数据，得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 35035011375020020080000505023750222,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=050021c b a , 故R =f (Q )=－21Q 2+500Q ,当Q ≥400时, 设Q =dQ +e , 由给定数据，得⎩⎨⎧+=+=ed e d 65013250050012500, 解得d =50,e =100000, 故R =50Q +100000, ∴R =f (Q )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<+-400100000504000500212Q Q Q QQ ,设总利润为y 元，则y =R －100Q －20000=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<-+-4008000050400020000400212Q Q Q Q Q ,当Q ＜400时，y 是增函数，所以y <60000，当Q ≥400时，y 是减函数，所以y ≤－50×400＋80000＝60000，故每年生产400件时产品利润最大，最大利润为60000元．点拨解疑：① 应用方程模型解应用题是一种基本题型．审题时务必审清题意，过好事理关，读懂符号语言、图形、表格与专业用语，过好文理关． ② 解完后，应根据实际问题反思，评价解的合理性． 9．函数思想与方程思想的联用在解综合题中，解决一个问题常常不止需要一种数学思想，而是两种数学思想方法的联用．例如函数思想与方程思想的联用．它们间的相互转换一步步使问题获得解决，转换的途径为函数十方程十函数，或方程十函数一方程．例题11．若抛物线 y ＝－x 2十mx －1和两端点 A (0, 3)，B (3, 0)的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围． 分析：先由方程思想将曲线的交点问题转化的方程的解的问题再由方程有解转化为二次函数的实根分布问题，再通过解不等式（组）得到所求范围．解：线段AB 的方程为33y x +=1 (0≤x ≤3)代入y ＝－x 2十mx －1得x 2－(m +1)x +4=0, (0≤x ≤3), 原命题等价于f (x )= x 2－(m +1)x +4在[0, 3]上有两个不等的实数根，故应有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++-=>=<+<>-+=∆04)1(39)3(04)0(3210016)1(2m f f m m , 解得3<m ≤310, 故m 的取值范围是(3,310].基本练习题1．若数列中{a n }中，a 1=15, 以后各项由a n +1=a n －32确定，则{a n }的前 项之和最大。