离散数学
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是一门研究离散对象及其关系、运算规则的数学学科。
它在计算机科学、信息学等领域中扮演着重要的角色，是这些领域的基础知识之一。
本文将对离散数学的一些重要知识点进行总结。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合以及集合之间的关系。
在集合论中，我们需要了解集合的运算、集合的关系、集合的分割等概念。
集合的运算包括交集、并集、差集和补集等，而集合的关系则包括子集、包含关系等。
此外，集合的分割也是一个重要的概念，它将一个集合划分为不相交的子集。
二、图论图论是离散数学中的重要分支，它研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论的核心概念包括图的表示方法、图的遍历算法、最短路径算法等。
在实际应用中，我们可以利用图论来解决线路规划、网络优化等问题。
三、逻辑与真值表逻辑是离散数学的重要组成部分，它研究的是命题之间的关系，以及命题的真值。
逻辑的核心概念包括命题、谓词、命题逻辑和一阶谓词逻辑等。
命题逻辑研究的是命题之间的关系，通过真值表可以展示命题的真值。
一阶谓词逻辑则考虑了命题中的变量、量词等。
四、组合数学组合数学是研究离散对象组合方式的数学学科。
它包括排列、组合、二项式系数等概念。
排列是指从一组对象中取出一些对象按照一定的顺序排列，而组合则是指从一组对象中取出一些对象作为一个集合。
二项式系数是组合数学中常用的工具，它表示在一组对象中选择出一个子集的方式数目。
五、数论数论是离散数学中研究自然数的性质和关系的学科。
它研究整数、素数、同余关系等。
数论的核心概念包括质数与合数、素数分解、同余关系和模运算等。
数论在加密算法、密码学中有广泛的应用，对于保证数据安全性至关重要。
总结起来，离散数学是一门研究离散对象及其关系、运算规则的数学学科，其中包括集合论、图论、逻辑与真值表、组合数学和数论等重要知识点。
它在计算机科学、信息学等领域中具有重要的应用价值。
离散数学
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12－12|=0 (<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2－y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
2019/3/2
离散数学
9
§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是 自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。 则的逆映射-1为： -1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
2019/3/2 离散数学 4
满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是 单射，但不是满射。
离散数学简介
数理逻辑
非欧几何的产生和集合论的悖论的发现， 说明数学本身还存在许多问题，为了研 究数学系统的无矛盾性问题，产生了证 明论
数理逻辑
证明论（proof theory）
– 证明论是数学家D.希尔伯特于20世纪初期建立的，目的是要
证明公理系统的无矛盾性 – 1931年，K.哥德尔证明：一个包含公理化的算术的系统中不 能证明它自身的无矛盾性。这就是著名的哥德尔不完备性定 理 – 1936年，G.根岑证明了算术公理系统的无矛盾性 – 20世纪60年代以后，证明论不再局限于无矛盾性的证明
数理逻辑
现代数理逻辑可分为
– 命题逻辑演算 – 谓词逻辑演算 – 证明论 – 模型论
– 递归函数论
– 公理化集合论等
数理逻辑
命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中 最成熟的部分，在计算机科学中应用最 为广泛
– 命题逻辑是数理逻辑的最基础部分 – 谓词逻辑在命题逻辑的基础上发展起来
数理逻辑
在数理逻辑的历史上，哥德尔的工作起着承前 启后的作用 他的不完全性定理，把人们引向一种完全不同 的境界 第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式 系统，如果是协调的，那就是不完全的。
欧氏几何
欧氏几何的五条公理是：
– 1、任意两个点可以通过一条直线连接。 – 2、任意线段能无限延伸成一条直线。 – 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作
离散数学是后继课程的基础 离散数学是实际应用的基础工具 计算机科学和离散数学处理问题的方法、思维 方式有相似之处 离散数学可提供所需的思维训练，培养所需的 分析问题和解决问题的能力
简介
离散数学是学习数据结构与算法、数据库、编 译原理、算法设计与分析、计算机网络等课程 的主要基础，对开发大型软件、研究信息安全 和密码学、开展计算机理论研究以及开发新型 计算机都提供了不可缺少的基础知识
离散数学知识汇总
离散数学笔记第一章命题逻辑合取析取定义 1. 否定：当某个命题为真时.其否定为假.当某个命题为假时.其否定为真定义 1. 条件联结词.表示“如果……那么……”形式的语句定义 1. 双条件联结词.表示“当且仅当”形式的语句定义合式公式(1)单个命题变元、命题常元为合式公式.称为原子公式。
(2)若某个字符串 A 是合式公式.则⌝A、(A)也是合式公式。
(3)若 A、B 是合式公式.则 A ∧B、A∨B、A→ B、A↔B 是合式公式。
(4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。
等值式析取范式与合取范式将一个普通公式转换为范式的基本步骤推理定义 设 A 与 C 是两个命题公式. 若 A → C 为永真式、 重言式.则称 C 是 A 的有 效结论.或称 A 可以逻辑推出 C.记为 A => C 。
（用等值演算或真值表）第二章 谓词逻辑、基本概念∀：全称量词 ∃：存在量词一般情况下. 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时. 带 “全称量词”的谓词公式形如"∀x(H(x)→B(x)).即量词的后面为条件式.带“存在量词”的谓词公式形如∃x(H(x)∨WL(x)).即量词的后面为合取式 例题R(x)表示对象 x 是兔子.T(x)表示对象 x 是乌龟. H(x,y)表示 x 比 y 跑得快.L(x,y)表示x 与 y 一样快.则兔子比乌龟跑得快表示为： ∀x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：∃x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))、谓词公式及其解释定义 、 非逻辑符号： 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人类的 H(x))。
定义 、逻辑符号：个体变元、量词(∀∃)、联结词(﹁∨∧→↔)、逗号、括号。
定义 、项的定义：个体常元、变元及其函数式的表达式称为项(item)。
离散数学的概念总结
图论基本概念重要定义：有向图：每条边都是有向边的图。
无向图：每条边都是无向边的图。
混合图：既有有向边又有无向边的图。
自回路：一条边的两端重合。
重数：两顶点间若有几条边，称这些边为平行边，两顶点a,b间平行边的条数成为（a,b）的重数。
多重图：含有平行边的图。
简单图：不含平行边和自回路的图。
注意！一条无向边可以用一对方向相反的有向边代替，因此一个无向图可以用这种方法转化为一个有向图。
定向图：如果对无向图G的每条无向边指定一个方向由此得到的有向图D。
称为的G定向图. 底图：如果把一个有向图的每一条有向边的方向都去掉，得无向图G称为的D底图。
逆图：把一个有向图D的每条边都反向由此得到的图称为D的逆图。
赋权图：每条边都赋上了值。
出度：与顶点相连的边数称为该定点的度数，以该定点为始边的边数为出度。
入度：以该定点为终边的边数为入度。
特殊！度数为零的定点称为孤立点。
度数为一的点为悬挂点。
无向完全图：在阶无向图中如果任何两点都有一条边关连则称此图是无向完全图。
Kn完全有向图：在阶有向图中如果任意两点都有方向相反的有向边相连则称此图为完全有向图。
竟赛图：阶图中如果其底图是无向完全图，则程此有向完全图是竟塞图。
注意！n阶有向完全图的边数为n的平方；无向完全图的边数为n(n-1)/2。
下面介召图两种操作：①删边：删去图中的某一条边但仍保留边的端点。
②删点：删去图中某一点以及与这点相连的所有边。
子图：删去一条边或一点剩下的图。
生成子图：只删边不删点。
主子图：图中删去一点所得的子图称的主子图。
补图：设为阶间单无向图，在中添加一些边后，可使成为阶完全图；由这些添加边和的个顶点构成的图称为的补图。
重要定理：定理5.1.1 设图G是具有n个顶点m条边的有向图，其中点集V={v,v, (v)deg+(vi)=deg-(vi)=m定理5.1.2 设图G是具有n个顶点m条边的无向图，其中点集V={v,v,v, (v)deg(vi)=2m推论在无向图中，度数为积数的顶点个数为偶数。
离散数学(同济大学)
读作“p与q”或“p合取q”。
是自然语言中的“并且”、
p
“既又”、“不但
F
而且”、“虽然但是”
F
、“一面一面”等的逻辑抽象。 T
T
q
pq
F
F
T
F
F
F
T
T
p：王化的成绩很好。
q：王化的品德很好。
p∧q： 王化不但成绩好而且品德好。
1.1 命题和命题联结词
3).析取词 命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p或q”。
p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
p q的逻辑关系为p与q互为充要条件
p
q
pq
例：1.3是有理数当且仅当加拿大位于亚洲。
,
p2
,,
p
的命题公式，
n
给p1 , p2 ,, pn一组确定的取值，称为对A的一组赋值或解释。 若指定的一组值使A的真值为1，则称其为A的成真赋值，否则
称为成假赋值。
1.2 命题公式及其赋值
定义4.将公式A在其全部赋值下的真值情况列成表， 称为A的真值表。
真值表的构造步骤： （1）若公式F共有（ n n 1)个变元，则真值表第一行写出
1.2 命题公式及其赋值
例（1）p q q r (2)r q p q p
(3) p q)
(4)r p (5) p r
同时约定：（1）最外层的括号可以省去。 （2）不影响运算次序的括号也可以省去。
1.2 命题公式及其赋值
数学中的离散数学理论
数学中的离散数学理论离散数学理论是数学中一门相对较新的分支，它主要研究数学结构和算法的离散化。
离散数学理论是现代信息科学和计算机科学中的核心学科，是计算机程序设计和计算机科学中不可或缺的一部分。
离散数学理论包括很多基本概念，例如图形理论、集合理论、函数理论、逻辑、代数理论等等。
这些概念不仅被应用于计算机科学和信息科学中，而且在各种各样的应用程序中都有广泛的应用。
例如，图形理论将结构的整体看作是一组点（节点）和这些点之间的线（边）的集合，这些边连接不同的顶点。
在图形理论中，有两种图形，一种是有向图，另一种是无向图。
有向图中每一条边连接两个顶点并指向其中的一个；而无向图中每一条边都连接两个顶点并没有指向性。
图形不仅能表示数据，而且还能表示图形的性质，从而最终可以被应用于极为广泛的应用程序中。
与图形理论相似，集合理论将其视为一组元素的集合，有多种运算符可以用于比较两个集合。
最基本的运算符是交并运算符，它们用于比较两个集合中是否包含共同元素。
此外，还有差分运算符，它用于比较两个集合中仅包含其中一个集合的元素。
函数理论是研究函数及其性质的一个分支。
它是在函数的定义范围内研究函数的一个基本概念，函数是一个将一组数字映射到另一组数字的关系。
在函数理论中，有两个非常相关的概念，一个是定义域（函数的输入），另一个是值域（函数的输出）。
在函数的定义域中有一组数字，或者称为输入，经过函数映射得到的输出可以再进入另一个函数，或者是一个特定的算法中，从而构成了连锁反应。
函数理论可以为开发算法和编写程序提供基本规则。
逻辑是关于推理和推导的学科，它是数学中的一种基本分支。
逻辑的主要研究内容是人类思维中的推理和证明，它是建立数学、自然科学以及社会科学中合理推论的基础。
在逻辑中，有两种主要的命题逻辑和谓词逻辑，它们被用于定义推理中的不同命题形式。
代数理论是关于代数对象或代数系统的研究。
在代数学中，对象可以是数字、符号、以及其他数学结构。
离散数学总复习-知识点
离散数学总复习第1章命题逻辑一、命题的判断例：1、仁者无敌！2、x+y<23、如果雪是红的，那么地球是月亮的卫星。
4、我正在说谎。
二、命题符号化例：1、蓝色和黄色可以调成绿色。
2、付明和杨进都是运动员。
3、刘易斯是百米游泳冠军或百米跨栏冠军。
4、李飞现在在宿舍或在图书馆。
5、只要天不下雨，我就步行上学校。
6、只有天不下雨，我才步行上学校。
7、并非只要你努力了，就一定成功。
三、主范式1、会等值演算；2、主合取和主析取范式的相互转换。
例：求命题公式P∨Q的主析取范式和主合取范式。
3、根据主范式进行方案的选择例1：某科研所要从3名科研骨干A,B,C中挑选1-2名出国进修，由于工作需要，选派需同时满足条件：（1）若A去，则C同去；（2）只有C不去，B才去；（3）只要C不去，则A或B就可以去。
问有哪些选派方案？例2：甲、乙、丙、丁四人有且仅有两个人参加比赛，下列四个条件均要满足：（1）甲和乙有且只有一人参加；（2）丙参加，则丁必参加；（3）乙和丁至多有一人参加；（4）丁不参加，甲也不会参加。
问哪两个人参加了比赛？四、简单的推理例1：如果明天天气好我们就去爬长城。
明天天气好。
所以我们去爬长城。
例3：课后习题16第2章谓词逻辑一、谓词逻辑中的命题符号化例：1、所有运动员都是强壮的2、并非每个实数都是有理数3、有些实数是有理数二、量词的辖域，约束变元换名、自由变元代替例：1、∀x(P(x)∨∃yR(x,y))→Q(x)2、∀x(P(x,z)∨∃yR(x,y))→Q(x)中量词的辖域，重名情况，改名等三、命题逻辑永真式的任何代换实例必是谓词逻辑的永真式。
同样，命题逻辑永假式的任何代换实例必是谓词逻辑的永假式。
例：1、(∀xP(x)→∃xQ(x))↔(⌝∀xP(x)∨∃xQ(x))2、(∀xP(x)→∃xQ(x))∧(∃xQ(x))→∀zR(z)))→(∀xP(x) →∀zR(z))1-2是永真式（重言式）3、⌝(∀xF(x) ∃yG(y)) ∧ ∃yG(y) 永假式（矛盾式）四、消量词例：个体域D={1,2}，对∀x∀y(P(x)→Q(y))消量词五、简单的前束范式会判断即可。
离散数学的应用
离散数学在其他学科及现实生活中的应用一、离散数学概论离散数学是现代数学的一个重要分支，也是计算机专业课程体系中地位极为重要的专业基础课之一。
它以研究离散量的结构及相互关系为主要目标，充分描述了计算机科学离散性的特点。
该课程是数据结构、操作系统、计算机网络、算法设计与分析、软件工程、人工智能、形式语言、编译原理等计算机本科阶段核心课程的基础，也是组合数学、遗传算法、数据挖掘等计算机硕士研究生阶段相关课程的重要基础。
离散数学的主要内容包括集合论、数理逻辑、代数结构和图论四部分。
数理逻辑与代数结构的研究思想和研究方法在计算机科学中的许多研究领域得到了广泛的应用，解决了大量的计算机科学问题。
数理逻辑是研究推理的学科，在人工智能、程序理论和数据库理论等的研究中有重要的应用。
代数结构是关于运算或计算规则的学问，在计算机科学中，代数方法被广泛应用于许多分支学科，如可计算性与计算复杂性、形式语言与自动机、密码学、网络与通信理论、程序理论和形式语义学等。
集合论和图论在计算机科学中也有广泛的应用，他们为数据结构和算法分析奠定了数学基础，也为许多问题从算法角度如何加以解决提供了进行抽象和描述的一些重要方法。
离散数学不仅是计算机技术迅猛发展的支撑学科，更是提高学生逻辑思维能力、创造性思维能力以及形式化表述能力的动力源，为他们今后处理离散信息，从事计算机应用、信息管理和计算机科研打下扎实的数学基础。
中国科学院也已成立了离散数学研究中心，并得到国家的重点资助。
二、应用2.1离散数学在计算机学科中的应用计算机学科主要脱胎发源于数学学科，离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。
由于计算机科学的迅速发展，与其有关的领域中，提出了许多有关离散量的理论问题，需要用某些数学的工具做出描述和深化。
离散数学把计算机科学中所涉及到的研究离散量的数学综合在一起，进行较系统的、全面的论述，为研究计算机科学的相关问题提供了有力的工具。
离散数学
一阶逻辑等值式与置换规则
设A, B是两个谓词公式, 如果AB是永真式, 则称A 与B等值, 记作AB, 并称AB是等值式 设A0是含命题 基本等值式 变项 p1, p2, …, 第一组 命题逻辑中16组基本等值式的代换实例 pn的命题公式， 例如，xF(x)xF(x), A1, A2, …, An xF(x)yG(y) xF(x)yG(y) 等 是n个谓词公式， 第二组 用Ai (1in) 处 (1) 消去量词等值式 处代替A0中的 设D ={a1, a2, … , an} pi，所得公式A ① xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) 称为A0的代换 ② xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) 实例. 27
9
在ｎ个变元的简单合取式中，若每个变元及其否定 并不同时存在，且二者之一出现一次且仅出现一 次，则称此简单合取式为极小项。 在ｎ个变元的基本析取式中，若每个变元与其否定， 并不同时存在，且二者之一出现一次且仅出现一 次，则称这种基本析取为极大项。
用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制 表示. 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的 十进制表示. 主析取范式——由极小项构成的析取范式 主合取范式——由极大项构成的合取范式
13
求公式 A=(pq)r的主析取范式和主合取范式 解 (pq)r (pq)r （析取范式） ①
(pq) (pq)(rr) (pqr)(pqr) m6m7 ② r (pp)(qq)r (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1m3m5m7 ③
19
ห้องสมุดไป่ตู้
推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC ∴BD
(12) 合取引入规则 A B ∴AC 直接证明法 附加前提证明法 归谬法 (反证法)
离散数学知识点整理
离散数学一、逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：A、V、一、f「。
记住“p仅当q”意思是“如果p,则q"，即p-。
记住“q除非p”意思是“」p-q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
构造真1.2语句翻译系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。
1.3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
证逻辑等价是通过p推导出q,证永真式是通过p推导出T。
(p—r)A(q-r) = (pVq)-r(p—q)V(p-r) = p—(qVr)(p—r)V(q-r) = (pAq)-r双条件命题等价式pf = (pfq) A (qfp)pf = -pfqpf Q (pAq) V(-pA-q)「(pf) = pfq1.4量词谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如V x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举，那么V xP(x)就等价于P(x1)AP(x2)...A P(xn)。
同理，3 xP(x)就等价于 P(x1)VP(x2)...VP(xn)。
两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如V x(P(x)AQ(x))和(V xP(x)) A (V xQ(x))。
量词表达式的否定：「V xP(x) Q 3 x-P(x),「3 xP(x) Q V x-P(x)。
1.5量词嵌套我们采用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。
1.6推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证不代命题和量化命题的组合使用。
二、集合、函数、序列、与矩阵2.1集合£说的是元素与集合的关系，^说的是集合与集合的关系。
什么叫离散数学
什么叫离散数学
什么叫“离散”？离散，就是和连续相反的。
随便拿⼀堆东西，如⼤到宇宙，⼩到粒⼦团，若其整体中的元素是独⽴的，分开的，则叫“离散”。
计算机是不能处理连续信息的，这是由计算机的本质：0和1，决定的。
正因为这样，如果要借助计算机来处理连续的东西，其中有⼀个必须的步骤：离散化。
“离散数学”是什么？它是⼀门研究离散物质的规律的学科，是数学的⼀个分⽀。
近代数学，尤其是计算数学，在解决实际问题的时候，对于连续问题往往只能推论出“是否有解”，进⼀步可能会求出“解的形式”。
⽽实际的需求，却⾮要得到⼀个结果不可。
因此，在数学建模时，我们通常会⽤⼀个离散的模型去逼近这个连续的问题，最终⽤计算机进⾏⼤量运算来得到⼀个近似值。
不要以为我上⾯说的距离我们很远，⽐如我们常⽤的求根号（你敢说实际中不需要求根号？），就是通过迭代法取近似值。
离散数学推理规则公式
离散数学推理规则公式
离散数学的推理规则包括以下几种：
1. 前提引入规则（P规则）：可以在证明的任何时候引入前提。
2. 结论引入规则（T规则）：在证明的任何时候，已证明的结论都可以作为后续证明的前提。
3. 置换规则：在证明的任何时候，命题公式中的任何子命题公式都可以用与之等价的命题公式置换。
4. 假言推理规则（P∧ (P→Q) ⇒ Q）。
5. 附加规则（P ⇒ P∨Q）。
6. 化简规则（P∧ Q ⇒ P）。
7. 拒收式规则（¬Q∧(P→Q) ⇒ ¬P）。
8. 假言三段论规则((P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R）。
9. 析取三段论规则（¬P∧(P∨Q) ⇒ Q）。
10. 构造性二难规则((P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S) ⇒ (S∨R))。
以上内容仅供参考，建议查阅离散数学书籍或咨询数学领域专业人士获取更多专业信息。
离散数学的概念
康 在 托 尔 用 表 示 自 然 数 这 个 良 序 集 的 自 然 顺 序 ， 而 把 写 w w
这 种 自 信 与 质 然 当 ” 。
它 德 金 表 示
在 1877 年
事
在 彻 当 时 ， 他 的 理 论 ， 尤 其 是 上 面 说 到 的 “实 无 穷 理 论 ” ， 头
学
w
康托尔（Cantor）
在一大群数学家的不懈努力下，消除悖论的努力成为了集合论发展的巨大 推动力，比如说外延公理、空集公理、分离公理、幂集公理、并集公理、 选择公理和无穷公理共七个公理的集合论体系，这个就是策墨罗所提出的 ZF系统的理论基础。 但是我们也应该清楚，其实严格来讲，罗素悖论不是被剔除了，只不过是 被避开了。虽然集合论公理化运动是假定了数学运用的逻辑本身不成问题 ，但数学家们对于这一前提陆续提出了不同的观点，并形成了关于数学基 础的三大学派，即：以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉 主义和以希尔伯特为代表的形式主义。 在集合论上出现的歧见也懂很多个侧面推动了数理逻辑的发展，现代数理 逻辑的四大分支——公理化集合论，证明论，模型论，递归论的提出，也 都源于20世纪早期关于离散数学基础问题的探讨。 在这些坚实的基础上，集合论，甚至推广到整个离散数学，都在发现悖论跟 解决悖论中曲折前进。 END MADE BY 王渝鑫 2008.10.09
果然出事了
1902年，罗素提出了著名的“理发师悖论”： 一位乡村理发师，宣称他不给村子里任何自己刮脸的人刮脸，但给所有 不自己刮脸的人刮脸。人们问：“那您自己给不给自己刮脸？”理发师 无言以对。的确如果理发师自己刮脸，那么违背了他自己原则的前半部 分，但如果他不自己刮脸，那么按照原则的后一部分，他又必须给自己 刮脸，理发师则陷入深深地矛盾中不能自圆其说。
数学中的离散数学
数学中的离散数学数学是一门广泛应用于各个领域的学科，其中离散数学作为数学的一个重要分支，在现代科技发展中起着重要的作用。
本文将介绍离散数学的概念、应用以及与其他数学领域的关系。
一、离散数学的概念及特点离散数学是研究离散结构的一门数学学科，主要研究离散对象以及离散对象之间的关系。
与连续数学不同，离散数学研究的是不可无限细分的对象，如离散点、离散函数等。
离散数学的主要特点有以下几点：1. 离散性：离散数学研究的对象是离散的，即以个别分离的元素为基础，而非连续统一的整体。
2. 非连续性：离散数学中的对象之间没有连续的无限细分，而是被分割成一系列离散的元素。
3. 可数性：离散数学中的对象是可数的，即可通过自然数对其进行编号和计数。
离散数学作为一门基础学科，广泛应用于计算机科学、信息技术、电子通信等领域，为这些领域的发展提供了理论基础和方法论。
二、离散数学的应用领域1. 图论：图论是离散数学中的一个重要分支，研究以节点和边为基础的离散结构。
图论广泛应用于计算机网络、社交网络、物流运输等领域，用于解决网络布局、路径规划、数据传输等问题。
2. 概率论：离散概率论是研究离散事件的发生概率及其规律的数学学科，广泛应用于统计分析、风险评估、游戏策略等领域。
3. 组合数学：组合数学研究的是离散对象的排列组合和性质，广泛应用于密码学、编码理论、排课问题等领域。
4. 数论：数论是研究整数性质及其相关性质的学科，也属于离散数学的范畴。
数论在加密算法、密码学、计算机安全等领域有着重要的应用。
5. 离散优化：离散优化是研究在给定约束下如何寻找最优解的一门学科。
离散优化广泛应用于物流规划、任务调度、资源分配等实际问题中。
三、离散数学与其他数学领域的关系离散数学与其他数学领域有着密切的联系和相互补充的关系。
离散数学通过对离散对象的研究和分析，为其他数学领域提供了理论支持和方法论。
在应用方面，离散数学与连续数学相互配合，共同应用于科学工程领域的建模和问题求解。
离散数学1_3
对偶与范式
从上节可看到命题公式的最小联结 词组为{┒,∨}或{┒,∧} ，但实际上为了 使用方便，命题公式常常同时包含 {┒,∨,∧} 。我们认为这样的公式∨与 ∧ 存在对偶规律。 定义1-7、1 在给定的命题公式中，将联 结词∨ 换成∧ ，将∧ 换成∨ ，若有特殊 变元F和T亦相互取代，所得公式A*称为 A的对偶式。
四、或非（P↓ Q）
运算法则： P T T F F Q T F T F
P↓ Q
F F F T
BACK
最小联结词组
指可表示出其它所有联结词的最小联结 词集合。如： {┒，∨}，{┒， ∧} ，{↑} ，{↓} 都可构成最 小联结词组。
例：写出P ∨Q分别用{┒， ∧} ，{↑} ， {↓} 表示的等价式。
注：任何一个命题公式，求它的合取范式或 析取范式，可以通过下面三个步骤进行：
（1）将公式中的联结词化归成∧， ∨ 及┒ 。
（2）利用德· 摩根律将否定符号┒直接到各个命 题变元之前。 （3）利用分配律、结合律将公式归约为合取范 式或析取范式。 例题3 求 ( P (Q R)) S 的合取范式。 例题4 求 (P Q) 的析取范式。 ( P Q)
其他联结词
一、异或（不可兼析取） 定义：两个命题P和Q的异或是一个复 合命题，记作P⊽Q，异或也称为不可兼析取。 当且仅当P、Q不同时为T时， P ⊽ Q为T， 其他情况下的真值都是F。 即：相异为T，相同为F。 注意：或（∨）与异或（ ）区别,可举例说 明如下： 他是100米或200米冠军。(可兼析取∨) 他是7点或8点离开的。(不可兼析取∨)
( P Q) ( P Q) (( P Q) ( P Q)) ((P Q) ( P Q)) (P Q P Q) ((P Q) (P Q)) (P Q P Q) ( P P) (Q P) ( P Q) (Q Q)
第三章 离散数学
数学归纳法还有另一种形式，为了证明一个命题对于所有的自 然数n都是真的，我们只要证明： ⑴ (归纳基础)当n＝n0时，p(n0)真(可用任意方法证明） ⑵若n0≤n＜k时，p(n)真，则n=k时，这个命题也真， 即p(k)真。
例2. 证明每一整数n≥2可以写成素数的乘积。 证明： ⑴ (归纳基础) n=2时，因为2是素数，所以 结论成立。 ⑵ (归纳步骤) 对于任意的n∈N且n＞2 设n＜k时，结论成立(即n＝2，3，...，k－1时， n能写成素数的乘积) n=k时：①若k是素数，结论成立。 ②若k不是素数，那么n＝k＝i·j，(2≤i，j＜k) 于是根据归纳假设，i，j均能写成素数的乘积。 即i=q1q2...qt，j=p1p2...pr，其中qm,pS均为素(m=1,2,...t;s=1,2,...r) ∴n=q1q2....qtp1p2....pr，即n也能写成素数的乘积。 因此，对任意的n∈N，n≥2，结论成立。
(二)不可数集
不是所有的无限集都是可数的 定理3-23：集合R1＝{x |0＜x＜1}是不可数集。 定义3-12：如果有从R1(0,1)到集合A的双射函数，那么＃A＝ §1。 例4：[0，1]的基数为§1。 解：定义A＝{1/2,1/3,1/4,....,1/n,....} 做f:(0,1) f(1/2)=0 [0,1] f(1/3)=1 f(1/n)=1/(n-2)
有g·f(a')=g(f(a'))=g(b ')=a '=IA(a ') 所以g·f=IA，即g是f的左逆函数。
⑵设f是满函数，要证f有右逆函数，即构造一个g:B 使f·g=IB，则g为f的右逆函数。
证明：因为f是A
A
B的满射，所以对∀ b∈B， ∃a∈A使得f(a)=b。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
离散数学当前位置： 离散数学在线教程 首页 学习空间 课程教学离散数学绪论集合论初步关系与映射代数系统基础无限集重言式布尔代数及应用群论基础半群图论基本概念图的矩阵表示Euler,Hamilton图通路，回路，连通性命题及连接词命题公式基本逻辑等价式离散试卷习题讲解离散问题（集合论初步）离散问题（函数，无限集）离散问题（二元关系）离散问题（代数系统）离散问题（图论）指导老师：李志林离散数学绪论1．计算机科学与离散数学计算机科学是与计算机软件硬件有关的各学科的总称,特点是离散性,离散数学是研究离散量的结构及其相互间关系的一门学科。
【实例1】布尔代数({0,1},+,*,~)在电子科学和数理逻辑中可得到具体解释。
【实例2】计算机中鼓轮的设计用到图论知识。
2．离散数学的特征（1）研究离散量（2）重视能行性的研究3．离散数学的内容集合论初步第一节集合理论基础1．集合的概念一般认为，集合是一些确定的对象的全体，对象称为元素，若a是集合A的元素，则记为a ∈A集合的表示方法：（1）列举法：列举出元素。
（2）描述法：把元素的共同性质描述出来。
（3）谓次表示法：{x|P(x)}（借助一些逻辑记号）.常见的集合：（1）空集：{ }或（2）单元素集合：只含一个元素（3）全集：所考虑的对象的全体（4）常用记号：N, Z, Q, R等2．集合的关系【DEF1】若集合A, B的元素相同，则称A, B是相等的，记为A=B，否则A和B是不相等的，记为A≠B【DEF2】若a∈A一定有a∈B，则称A是B的子集，记为，若，但是A≠B，则称A是B的真子集，记为.3．集合的运算【DEF1】集合A与B的交集A∩B={x|x∈A或x∈B}【DEF2】并集A∪B={ x|x∈A和x∈B}【DEF3】A, B是分离的，若A∩B=【DEF4】集合A对B的差A-B={ x|x∈A和x B }【DEF5】集合A的补集为全集E与A的差，记为A’【DEF6】集合A与B的对称差A⊕B=（A-B）∪（B-A）集合的运算律如下：（1）交换律A∩B=B∩A，A∪B=B∪A（2）结合律（A∩B）∩C=A∩（B∩C）（3）分配律A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）（4）等幂律A∩A=A，A∪A=A（5）零一律A∩E=A，A∪=A，A∩=，A∪E=E（6）互补律A∩A’ =，A∪A’ =E，A’’=A（7）DeMorgan律（A∩B）’= A’∪B’（8）吸收律A∪（A∩B）=A，A∩（A∪B）=A运算律的特点：（1）对称性（2）对偶性第二节幂集， n元有序组，Descartes积1．幂集【DEF1】由A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记为P（A）或【DEF2】集合A中元素的个数称为A的基数，记为 |A|【TH1】 A是有限集，则||=【证明】设 |A|=n，则||=.【TH2】（包含排除原理）A1, …, A n是有限集，则|A1∪…∪A n|=【证明】数学归纳法。
【思考】（1）有一个班级50个学生，第一次考试有23人得优，第二次考试有20人得优，两次均未得优有15人，问多少人两次均得优？（1）求{a}幂集的幂集。
（2）求1到250间能被2, 3, 5, 7中任一个整除的整数个数。
2．n元有序组【DEF1】按一定次序排列的两个客体a, b组成的序列称为序偶，记为（a, b）.【DEF2】若a1=b1，a2=b2，则（a1, a2）=（a2, b2）【DEF3】按一定次序排列的n个客体a1, a2, …, a n组成的序列称为n元有序组，记为（a1，a2，…, a n）【DEF4】若a i=b（i=1, 2, …, n)，则i（a, a2, …, a n）=（b1, b2, …, b n）13． Descartes积【DEF1】集合A, B的Descartes积（又称为叉积）为A×B={（a, b）|a∈A, b∈B}，A称为前集，B称为后集。
【DEF2】集合A, A2, …, A n的Descartes积为1×…×A n={(a1, a2, …, a n）|a i∈A i}A1【注记】（1）A×B≠B×A；（2）A×A记为A2.【思考】（1）A={0, 1}，B={1, 2}，求A2×B, A×P(A)（2）判断下列各式是否正确：①（A∩B）×（C∩D）=（A×C）∩（B×D）②（A-B）×（C-D）=（A×C) -（B×D)关系与映射第一节关系的概念1.1 关系的定义【DEF1】A×B的子集R称为A到B的一个关系。
当（a, b）∈R时，称a与b有关系R，记为aRb.R的定义域为D（R）={a|存在b使得（a, b）∈R}，R的值域为C（R）={b|存在a使aRb} .A到A的关系R称为A上的关系。
A上的关系R={(a, a)|a∈A }称为A上的恒等关系。
【DEF2】A1×A2×…×A n的子集R称为由A1, A2, … , A n确定的n元关系。
1.2 关系的表示一、关系图（1）A到B的关系图采用一般的映射图。
（2）A上的关系图是图论中的有向图。
二、关系矩阵设A={a1, a2, … , a m }，B={b1, b2, … , b n }，z则A到B的关系R的矩阵为第二节关系的运算2.1 关系的补、并、交关系是集合，故可以进行集合的运算，设R、S是集合A到B的关系，则R′=A×B - R，R∪S={(a, b)|(aRb)∨(aSb)}.2.1.1 复合关系【DEF1】R是A到B的关系，S是B到C的关系，则R与S的复合关系为={(a, c)|a∈A, c∈C，有b∈B使aRb, bSc}【TH1】复合运算满足结合律。
【DEF2】R是A上的关系，则R的幂为【TH2】.2.3 关系的逆【DEF1】设R是A到B的关系，则B到A的关系R~={(y, x)|(x, y) ∈R }称为R的逆关系。
【TH1】第三节关系的性质本节讨论A上的二元关系的性质。
【DEF1】R是上的关系，对每个a均有aRa，则R称为自反关系（reflexive）.【DEF2】若对每个a均有，则R是反自反的。
【DEF3】若（a, b）∈R→（b, a）∈R，则R称为对称的（Symmetric）.【DEF4】若xRy且yRx→x=y，则R称为反对称的（Antisymmetric）.【DEF5】若xRy, yRz→xRz，则R称为传递的。
【注记】可以从关系图，关系矩阵判断关系的性质R是自反的←→关系图中每点有环←→关系矩阵d的主对角元均为1R对称←→关系图中边成对出现←→关系矩阵是对称阵。
【思考】（1）判断A上的空关系Ф，全关系A×A，恒等关系I的性质。
（2）设A={1,2,3,4}，写出关系R，使得R不是自反的，也不是反自反的。
第四节关系的闭包【DEF1】 R 是A 上的关系，若有另一个关系R’ 使得（1）R’ 是自反的（对称的，传递的），（2）R’ 包含R ，（3）对任一个自反关系（对称关系，传递关系）R’’ ，若R’’ 包含R ，则R’’ 包含R’ ，那么R’ 称为R 的自反闭包（对称闭包，传递闭包），记为r （R ）（s （R ）, t （R ））.【TH1】 设R 是A 上的关系，则r （R ）=R ∪I ，I 是A 上的恒等关系。
【TH2】 s （R ）=R ∪R ~【TH3】【TH4】 设|A |=n ，则【注记】闭包运算可以转化为矩阵运算。
【思考】 （1）A={1，2，3}，R={（1，2），（2，3），（3，1）}，求r （R ），s（R ），t （R ）.（2）N 上的关系为R={（0,1）, (1, 2), …, (n , n+1),…} 求r （R ），s （R ），t （R ）.第五节 次序关系5.1 偏序关系【DEF1】 设A 是一个集合，R 是A 上的关系，R 是自反的，反对称的，传递的，则R 称为A 上的偏序(半序)（1）偏序R 常记为≤，A 是R 的偏序集，记为(A , ≤)【注记】（1）偏序关系的实质在于建立A 的元素之间的可比结构。
（2）偏序关系可用Hasse 图（一种下行图）表示。
【DEF2】 （A ，≤)是偏序集，对任意a, b ∈A ，必有aRb （a ≤b ）或bRa （b ≥a ），则≤称为全序。
【DEF3】 设（A ，≤) 是偏序集，B 是A 的子集（1）若B 中元素X 0比B 中任何元素都要“大”（“小”），则X 0称为B 的最大元（最小元）（2）若B 中没有比X 0更大(更小)的元素，则X 0称为B 的极大元（极小元）.（3）集合A中比B中元素都大（小）的元素，称为集合B的上界（下界）.（4）B的最大的下界称为下确界，记为GLB（B），B的最小的上界称为上确界，记为LUB （B）【注记-】（1）最大元最多一个，极大元可能有多个。
（2）最大元必是极大元，反之不然。
（3）最大元必是上确界，反之不然.（4）最大元，极大元等均可从Hasse图中看出来。
【思考】集合A={1，2，3，4，6，8，12，24}，A上关系R={（x, y）|x,y∈A且x|y}，且B= {4，6，12}的最大元，最小元，极大元，极小元，上下确界。
5.2 拟序【DEF1】若A上的关系R是反自反的，传递的，则R称为A上的拟序，记为 <【TH1】若R是A上的拟序，则R是反对称的。
【注记】（1）偏序是拟序地扩充，拟序是偏序的缩减。
（2）偏序，拟序均称为次序。
第六节相容关系【DEF1】R是A上关系，R是自反的，对称的，则R称为A上的相容关系。
【例1】设集合A={cat, teacher, cold, desk, knife, by}，R={(x, y)|x, y∈A，且x, y有相同的字母}，则R是相容的。
【DEF2】设A≠Ф，S={S1, S2, …, S n}，S i是A的非空子集，且S1∪S2∪…∪S n=A，则S称为A的覆盖，若又有S i∩S j=Ф（i≠j），则称为A的划分。
【例2】写出A={1, 2, 3}的所有划分。
【DEF3】R是A上的相容关系，C r是A的子集，C r中任意的两个相容，若A-C r中没有元素与C r中所有元素相容，则C r称为A的极大相容类。
【例3】求例1中的极大相容类。
【DEF4】A的极大相容类的集合称为A的完全覆盖。
【TH1】 {A1，…, A n}是A的一个覆盖，则R=A1×A1∪…∪A n×A n是A上的相容关系。
【TH2】A上的相容关系R与完全覆盖是一一对应的。