极限的运算法则

∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
解 Q lim( x 2 + 2 x − 3) = 0,
x →1
确定型 商的法则不能用
又 Q lim(4 x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
x2 + 2x − 3 0 ∴ lim = = 0. x →1 4x − 1 3
由无穷小与无穷大的关系,得 由无穷小与无穷大的关系 得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
∴ ( 2)成立.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( x ) A A + α A Bα − Aβ − = Q B α − A β → 0. − = g ( x ) B B + β B B( B + β )
又 Q β → 0, B ≠ 0, ∃ δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,
1 1 B β < , ∴ B+β ≥ B − β > B − B = B 2 2 2
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
o
x
o
x
y = max{ f ( x), g ( x)} y = min{ f ( x ), g ( x )} f ( x) + g ( x)+ | f ( x) − g ( x) | f ( x) + g ( x)− | f ( x) − g ( x) | = = 2 2 f ( x) f ( x) ≥ g ( x) g ( x) f ( x) ≥ g ( x) = = g ( x) f ( x) < g ( x) f ( x) f ( x) < g ( x)
x x 例如 y = cot , y = u, u = cotv, v = . 2 2
2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次 初等函数
四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示的函数 称为初等函数 的函数,称为初等函数. 一个式子表示的函数 称为初等函数
e x , 例1 设 f ( x ) = x, 求 f [ϕ( x )].
sin x sin a = lim x →a >0 x a
2. 分段函数在分界点可先求左右极限，再求极限， 分段函数在分界点可先求左右极限，再求极限， 注意符号，如绝对值，开方等； 注意符号，如绝对值，开方等；
| x| 1 − cos x 1 x lim , lim , lim e , lim x sin x →0 x x →0 x →∞ x →0 x x
或 x ≥ 0, ϕ( x ) = x 2 − 1 < 1,
x < −1;
0 ≤ x < 2;
2 0 当ϕ( x ) ≥ 1时,
或 x < 0, ϕ( x ) = x + 2 ≥ 1, 或 x ≥ 0, ϕ( x ) = x 2 − 1 ≥ 1,
综上所述
− 1 ≤ x < 0;
x ≥ 2;
x < −1 e x+2 , x + 2, − 1 ≤ x < 0 f [ϕ ( x )] = 2 . x −1 e , 0≤ x < 2 x 2 − 1, x≥ 2
在自变量的不同变化范围中, 在自变量的不同变化范围中 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. 式子来表示的函数 称为分段函数 称为分段函数
例如,
2 x − 1, f ( x) = 2 x − 1,
y = x2 − 1
x>0 x≤0
y = 2x − 1
复合函数 初等函数
1.复合函数 复合函数
1 2 1 2 < 2 , 有界， ∴ B( B + β ) > B , 故 有界， B( B + β ) B 2
∴ ( 3)成立.
推论1 推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则
lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面. 常数因子可以提到极限记号外面 推论2 推论2
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 y
1 当x > 0 y = sgn x = 0 当x = 0 − 1 当x < 0
o -1
x
x = sgn x ⋅ x
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 表示不超过 4 3 2 1 o
y
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
设 y = u, u = 1 − x 2 ,
定义: 定义
y = 1 − x2
设函数 y = f (u) 的定义域 D f , 而函数
u = ϕ( x ) 的值域为 Z ϕ , 若 D f ∩ Z ϕ ≠ ∅ , 则称
复合函数. 函数 y = f [ϕ( x )]为 x 的复合函数
x ←自变量 , u ← 中间变量 , y ← 因变量 ,
2
|x| | x| | x| lim = 1, lim = −1, lim 不存在； + − x →0 x →0 x →0 x x x
1 − cos 2 x sin x 1 − cos 2 x 1 − cos 2 x 不存在 lim = lim = 1, lim− = −1, lim x →0 x →0 x →0 + x →0 x x x x
解
x3 − 1 f ( x) = 2 的定义域为R, 确定型. x − 3x + 5
3
x −1 23 − 1 7 x→2 = x→2 2 ∴ lim 2 = . = x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
x→2
lim x 3 − lim 1
极限四则运算
小结: 小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + L + a n , 则有
x → +∞
lim e = +∞, lim e = 0, lim e 不存在
x x x x → −∞ x →∞
1 lim x sin ，在0的任何邻域都不是定义域，不能求极限。 x→0 x
3. 主要求不定型的极限
sin x lim =1 x →0 x 1 x lim(1 + x) = e, lim(1 + ) = e x →0 x →∞ x
x<1 x + 2, , ϕ( x ) = 2 x≥1 x − 1,
x<0 , x≥0
解
e ϕ ( x ) , ϕ( x ) < 1 f [ϕ( x )] = ϕ( x ), ϕ( x ) ≥ 1
10 当ϕ( x ) < 1时,
或 x < 0, ϕ( x ) = x + 2 < 1,
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + L + a n
x → x0
n
x → x0
= a 0 x 0 + a1 x 0
n −1
+ L + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = f ( x 0 ). = x → x0 lim Q ( x ) Q( x0 )
x → x0 x → x0
lim P ( x )
若Q ( x 0 ) = 0, 则商的法则不能应用 .
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去无穷小因子法 消去无穷小因子法) 消去无穷小因子法
2x3 + 3x2 + 5 例4 求 lim . 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1
∞ 解 x → ∞ 时 , 分子 , 分母的极限都是无穷大 (. 型 ) ∞
先用x 先用 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限 .
(a > 0, a ≠ 1)
y = ln x
y = loga x
(1,0 )
•
(a > 1)
y = log 1 x
a
4.三角函数 三角函数
欧拉公式：e = cos x + i sin x − ix e = cos x − i sin x
ix
正弦函数 y = sin x
e +e cos x = 2
ix
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 = lim x →∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
注意: 不是任何两个函数都可以复合成一个复 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的; 合函数的
u = 2 + x 2 ; y ≠ arcsin(2 + x2 ) 例如 y = arcsin u,
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成. 合构成
阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y = D( x ) = 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取最值函数
y = max{ f ( x ), g ( x )}
y
f ( x)
g( x )
y = min{ f ( x ), g ( x )}
y
f ( x)
g( x )
− ix
e −e ; sin x = 2i
ix
− ix
y = sin x
余弦函数 y = cos x
y = cos x
正切函数 y = tan x
y = tan x
余切函数 y = cot x
y = cot x
正割函数 y = sec x
y = sec x
余割函数
y = csc x
y = csc x
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型 ) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
六、基本初等函数
1.幂函数 y = x µ
y
y = x2
1
(1,1)
(µ是常数 )
y= x
y= x
o
1 y= x
1
x
2.指数函数 y = a 指数函数
1 x y=( ) a
x
(a > 0, a ≠ 1)
y = ex
y = ax
(a > 1)
•
( 0 ,1)
3.对数函数 y = log a x 对数函数
1 x
0 ∞ 基本类型： 和 1 0
0 0 0⋅∞ ⇒ → 1 0 ∞
∞±∞
1 x
∞ ∞
0
0
∞
0
注意： 注意：要分清不定型的类型
lim(1 + x)
x →1
1 x
lim(1 + x)
x →0
lim (1 + x)
x →∞
1 x
确定型
1
∞
∞
0
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)] = [lim f ( x)] .
n n
区分确定型、 区分确定型、不定型
1. 初等函数在定义域内部 极限 函数值（确定型）； 极限=函数值 确定型）； 函数值（
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 )
sin x sin a lim = x→a ≠ 0 x a
5.反三角函数 反三角函数
反正弦函数 y = arcsin x
y = arcsin x
反余弦函数 y = arccos x
y = arccos x
反正切函数 y = arctan x
y = arctan x
反余切函数 y = arccot x
y =arccot x
幂函数,指数函数 对数函数 幂函数 指数函数,对数函数 三角函数和反 指数函数 对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数 基本初等函数. 三角函数统称为基本初等函数