福建省泉州七中2014届高三年校质检(一)理科数学试题

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2014年高考理科数学福建卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共21页）数学试卷第2页（共21页）数学试卷第3页（共21页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于（）A .23i --B .23i -+C .23i -D .23i + 2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是（）A .圆柱B .圆锥C .四面体D .三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,312S =,则6a 等于（）A .8B .10C .12D .144.若函数log (0,1)a y x a a =≠＞且的图象如下图所示,则下列函数图象正确的是（）A .B .C .D .5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S 的值等于（） A .18 B .20 C .21D .406.直线l ：1y kx =+与圆O ：221x y +=相交于A ,B 两点,则“1k =”是“OAB △的面积为12”的（）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件7.已知函数21,0,()cos ,0,x x f x x x ⎧+=⎨⎩＞≤则下列结论正确的是（）A .()f x 是偶函数B .()f x 是增函数C .()f x 是周期函数D .()f x 的值域为[1,)-+∞8.在下列向量组中,可以把向量(3,2)=a 表示出来的是（）A .1(0,0)=e ,2(1,2)=eB .1(1,2)=-e ,2(5,2)=-eC .1(3,5)=e ,2(6,10)=eD .1(2,3)=-e ,2(2,3)=-e9.设P ,Q 分别为圆22(6)2x y +-=和椭圆22110xy +=上的点,则P ,Q 两点间的最大距离是（）A.BC.7D.10.用a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1)(1)a b ++的展开式1a b ab +++表示出来,如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A .234555(1)(1)(1)a a a a a b c +++++++B .523455(1)(1)(1)a b b b b b c +++++++C .523455(1)(1)(1)a b b b b b c +++++++D .552345(1)(1)(1)a b c c c c c +++++++第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.若变量x ,y 满足约束条件10,280,0,x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≥则3z x y =+的最小值为________.12.在ABC △中,60A =,4AC =,BC =,则ABC △的面积等于________. 13.要制作一个容器为34m ,高为1m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20 元,侧面造价是每平方米10 元,则该容器的最低总造价是________（单位：元）. 14.如图,在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.15.若集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =,且下列四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是________.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若π02α＜＜,且sin α,求()f α的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共21页）数学试卷第5页（共21页）数学试卷第6页（共21页）17.（本小题满分13分）在平面四边形ABCD 中,1AB BD CD ===,AB BD ⊥,CD BD ⊥.将ABD △沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD ,如图. （Ⅰ）求证：AB CD ⊥；（Ⅱ）若M 为AD 中点,求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（Ⅰ）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50 元,其余3个均为10 元,求：（ⅰ）顾客所获的奖励额为60 元的概率；（ⅱ）顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（Ⅱ）商场对奖励总额的预算是60 000 元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10 元和50 元的两种球组成,或标有面值20 元和40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的两条渐近线分别为1l ：2y x =,2l ：2y x =-.（Ⅰ）求双曲线E 的离心率；（Ⅱ）如图,O 为坐标原点,动直线l 分别交直线1l ,2l 于A ,B 两点（A ,B 分别在第一、四象限）,且OAB △的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在,求出双曲线E 的方程；若不存在,说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ,曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的极值；（Ⅱ）证明：当0x ＞时,2e x x ＜；（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c ＜.21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵12112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求矩阵A ；（Ⅱ）求矩阵1A -的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为2,4,x a t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）,圆C 的参数方程为4cos ,4sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （Ⅰ）求直线l 和圆C 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a .（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若p ,q ,r 是正实数,且满足p q r a ++=,求证：2223p q r ++≥.数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）答案解析2.【答案】A【解析】因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选A.【提示】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状即可. 【考点】三视图还原实物图 3.【答案】C【解析】因为313(31)323321222S a d d ⨯-⨯=+=⨯+=，所以2d =，所以61(61)25212a a d =+-=+⨯=，故选C.【提示】由等差数列的性质和已知可得2a ，进而可得公差，可得6a . 【考点】等差数列的前n 项和【提示】由题意可得3a =，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可. 【考点】对数函数的图像与性质 5.【答案】B【解析】该程序框图为循环结构，由01S n ==，得10213112S n =+==++=，，判断315S =≥不成立，执行第二次循环，23229213S n +=+==+=，，判断915S =≥不成立，执行第三次循环，392320314S n +=+==+=，，判断2015S =≥成立，输出20S =.故选B.【提示】根据程序框图将01S n ==，代入执行第一次运算，不满足则进行第二次循环，以此类推，计算满足条件的S 值，可得答案. 【考点】带有循环结构的程序框图【提示】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 7.【答案】D【解析】由题意，可得函数图象如下：所以()f x 不是偶函数，不是增函数，不是周期函数，其值域为[1,)-+∞.故选D. 【提示】由三角函数和二次函数的性质，将函数图像画出，即可分别对各个选项判断.【考点】函数的奇偶性，单调性，周期性，值域 8.【答案】B【解析】根据12e e αλμ=+，选项A ：(3,2)(00)(1,2)λμ=+,，则322μμ==，，无解，故选项A 不能.选项B ：(3,2)(1,2)(5,2)λμ=-+-，则35222λμλμ=-+=-，，解得，21λμ==，，故选项B 能.选项C ：(3,2)(3,5)(6,10)λμ=+，则3362510λμλμ=+=+，，无解，故选项C 不能.选项D ：(3,2)(2,3)(2,3)λμ=-+-，则322233λμλμ=-=-+，，无解，故选项D 不能. 故选：B.【提示】根据向里的坐标运算，12e e αλμ=+，计算判别即可. 【考点】平面向量的基本定理及其意义【提示】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P ，Q 两点间的最大距离.【考点】椭圆的简单性质，圆的标准方程 10.【答案】A【解析】本题可分三步：第一步，可取0，1，2，3，4，5个红球，有23451a a a a a +++++种取法；第二步，取0或5个篮球，有1＋b 5种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有5(1)c +种取法.所以共有234555()()(111)a a a a a b c +++++++种取法.故选A.【提示】根据“1a b ab +++”表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”数学试卷第10页（共21页）数学试卷第11页（共21页）数学试卷第12页（共21页）则表示把红球和蓝球都取出来，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决.【考点】归纳推理，进行简单的合情推理第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】1【解析】由线性约束条件画出可行域如下图阴影部分所示.由线性目标函数3z x y =+，得3y x z =-+，可知其过)(0,1A 时z 取最小值，故min 3011z ⨯+==.故答案为1.【提示】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值【考点】简单线性规划 1sin 2bc A =⨯【提示】利用三角形中的正弦定理求出角B ，再利用三角形的面积公式求出ABC △的面积【考点】正弦定理 480160xx +=160元.【提示】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a b ，，成本为y ，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求. 【考点】棱柱，棱锥，棱台的侧面积和表面积 14.【答案】22e【解析】根据题意e xy =与ln y x =互为反函数，图象关于y x =对称，所以两个阴影部分的面积相等.联立e y =与e xy =得1x =，所以阴影部分的面积11002(e e )2(e e )|[(2e )()e 01]2x x S dx x =-=-==---⎰，由几何概型可知所求概率为22e .故答案为22e . 【提示】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率【考点】几何概型 15.【答案】6【解析】根据题意可分四种情况：（1）若①正确，则1124a b c d ==≠=，，，，符合条件的有序数组有0个；（2）若②正确，则1124a b c d ≠≠≠=，，，，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；（3）若③正确，则1124a b c d ≠===，，，，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；（4）若④正确，则1124a b c d ≠=≠≠，，，，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2).所以共有6个. 故答案为6.【提示】利用集合的相等关系，结合①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的，即可得出结论. 【考点】集合的相等三、解答题16.【答案】（Ⅰ）1()2f α=（Ⅱ）()f x 的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【解析】（Ⅰ）因为π02α<<，sin α=cos α=所以11()22222f α=+-= 所以()f x 的单调递增区间为π,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .【提示】（Ⅰ）利用同角三角函数关系求得cos α的值，分别代入函数解析式即可求得()f a 的值（Ⅱ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间.【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法 17.【答案】（Ⅰ）∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，AB ⊂平面ABD ，AB BD ⊥，∴AB ⊥平面BCD . 又CD ⊂平面BCD ， ∴AB CD ⊥.（Ⅱ）过点B 在平面BCD 内作BE BD ⊥，如图：由（Ⅰ）知AB ⊥平面BCD∴AB BE AB BD⊥⊥，.为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为),1,00,1,00,0,1()(D A，，则(1,1,0BC=，10,BM⎛= ，(0,1,AD=设平面MBC的法向量(,,)n x y=，则0,0,n BCn BM⎧=⎪⎨=⎪⎩，即MBC的一个法向量1,1()1,n=-，则||6sin,3||||n ADn ADn ADθ===【提示】（Ⅰ）利用面面垂直的性质定理即可得出.（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系.设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式||sin|cos,||||n ADn ADn ADθ==即可得出.【考点】直线与平面所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.【提示】（Ⅰ）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出(60)P X=，(20)P X=，画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望.（Ⅱ）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到(10,10,50,50)，(20,20,20,40)两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决.【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列19.【答案】（Ⅰ）因为双曲线E的渐近线分别为2y x=，2y x=-，所以2ba=，所以2=，故c=，从而双曲线E的离心率ce==4a a|||8OC AB=，因此48a a=，解得12|||y y-得数学试卷第13页（共21页）数学试卷第14页（共21页）数学试卷第15页（共21页）数学试卷第16页（共21页）数学试卷第17页（共21页）数学试卷第18页（共21页）2222m m k --+21kx m y =+-=得，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为1416x y-=. 【提示】（Ⅰ）依题意，可知2ba=，易知c =，从而可求双曲线E 的离心率. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=，设直线l 与x 轴相交于点C ，分l x⊥轴与直线l 不与x 轴垂直讨论，当l x ⊥轴时，易求双曲线E 的方程为221416x y -=，当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y kx m =+，与双曲线E 的方程联立，利用由12|1||82|OAB S OC y y -=△=可证得：双曲线E 的方程为，221416x y -=从而可得答案.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题20.【答案】（Ⅰ）由()e x f x ax =-，得()e xf x a '=-.又(0)11f a '=-=-，得2a =.所以()e 2()e 2x xf x x f x '=-=-，.令()0f x '=，得ln2x =当ln2x <时，()0()f x f x '<，单调递减；当ln2x >时，()0()f x f x '>，单调递增.所以当ln2x =时，()f x 取得极小值，且极小值为ln 2(ln 2)e 2ln 22ln 4()f f x =-=-，无极大值.（Ⅱ）令2()e x g x x =-，则()e 2xg x x '=-.由（Ⅰ）得()()(ln 2)0g x f x f '=≥>，故()g x 在R 上单调递增，又(0)10g =>，因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2e x x <. （Ⅲ）①若1c ≥，则e e x x c ≤.又由（Ⅱ）知，当0x >时，2e x x <. 所以当0x >时，2e x x c <.取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <.②若01c <<，令11k c=>，要使不等式2e x x c <成立，只要2e x kx >成立.而要使2e x kx >成立，则只要2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+成立.令()2ln ln h x x x k =--，则22()1x h x x x-'=-=. 所以当2x >时，()0()h x h x '>，在(2,)+∞内单调递增. 取01616x k =>，所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+.易知ln ln 250k k k k >>>，，.所以0()0h x >.即存在016x c=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2e x x c <.综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2e x x c <.【提示】（Ⅰ）由题意可知点A 的横坐标为0，先求出()f x 的导函数()f x ，则曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为(0)f ，由(0)1f =-可求得a 的值.再利用求极值的步骤求解即可.（Ⅱ）常对此类问题构造新函数2()e x g x x =-，只需()0g x >在0(,)x +∞上恒成立即可，利用导数得到()g x 的单调性，从而得证.（Ⅲ）根据c 的值与1的大小关系分类进行证明.当1c ≥时，可直接根据（Ⅱ）中的结论得证；当01c <<时，证明的关键是找出0x ，先将不等式转化为21e x x c>，利用对数的性质，进一步转化为21ln 2ln ln x x x k c ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，即可构造函数()2ln ln h x x x k =--，然后利用导数研究其单调性，在该函数的增区间内找出一个值x 0，使0()0h x >即可得证.也可结合（Ⅱ）的结论，合理利用2e x x >将2x 中的一个x 赋值，利用不等式的传递性来解决问题. 【考点】导数在最大值，最小值问题中的应用，利用导数研究函数的单调性21.1-的逆矩阵，且1||221130A -=⨯-⨯=≠()0f λ=，得矩阵1A -的特征值为11λ=或23λ=，所以111⎛⎫= ⎪-⎝⎭ξ是矩阵1A -的属于特征值11λ=的一个特征向量，211⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ是矩阵1A -的属于特征值23λ=的一个特征向量.【提示】（Ⅰ）先求得1||A -的值，利用求逆矩阵的公式便可求得A .（Ⅱ）结合1A -的特征多项式，解方程，从而求得1A -的特征值. 【考点】特征向量的定义22.【答案】（Ⅰ）2216x y +=【提示】（Ⅰ）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程.（Ⅱ）求出圆心到直线的距离d ，利用直线和圆的位置关系，得d r ≤，从而求得a 的范围. 【考点】圆的参数方程，直线的参数方程23.【答案】（Ⅰ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知3p q r ++=，又因为p q r ，，是正数，所以22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即2223p q r ++≥.【提示】（Ⅰ）由绝对值不等式||||||a b a b +≥-，当且仅当0ab ≤，取等号.（Ⅱ）利用柯西不等式2222222()()()a b c m n s am bn cs ++++≥++，结合所给式子特点，合理赋值，可证得结果.【考点】二维形式的柯西不等式，绝对值不等式的解法数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。

2014泉州七中校理综一模试卷合卷05.03

泉州七中2014届高三年校质检（一）理综科试卷考试时间：150分钟满分300分命卷人：泉州七中高三理综备课组可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Fe-56第Ⅰ卷选择题1．下列关于生物体相关的叙述正确的是( )A. 无机盐多数以离子态存在，但镁在叶绿素中是以化合态形式存在并起作用B. 糖类不参与细胞识别和免疫调节C.原癌基因或抑癌基因发生多次变异累积可导致癌症,因此癌症可遗传D. 细胞的高度分化改变了物种的遗传信息2.下表列出了实验目的及其观察对象或操作．其中匹配正确的是（）3. 甲、乙两图为真核细胞中发生的部分生理过程示意图，下列有关说法正确的是（）A．真核生物中，DNA和RNA都可以作为遗传物质B．乙过程可以在细胞核、线粒体和叶绿体中进行，但甲过程必须在核糖体中进行C．甲图所示生理过程进行的方向是从左到右，共有四条多肽链正在合成D．甲圈中碱基配对的方式为A-U U—A C-G G-C，乙图中碱基配对的方式为A-T T-U C-G G-C4. PM2．5是指大气中直径小于或等于2.5um的颗粒物，富含大量的有毒、有害物质，易通过肺部进入血液。

目前PM 2．5已成为空气污染指数的重要指标。

下列有关PM 2．5的推测不合理．．．的是（）A．PM 2.5进入人体的肺泡中时还没有进入人体的内环境B．PM 2.5可能成为过敏原，其诱发的过敏反应属于免疫异常C．颗粒物中的一些酸性物质进入人体血液将由Na+、NO3-进行缓冲调节以维持血浆PH的稳定D．颗粒物进入呼吸道引起咳嗽属于非条件反射，其中枢不在大脑皮层5. 气体DMS（二甲基硫醚）对人体健康有害。

下图是DMS在海洋中生成的主要过程，下列说法错误．．是（）A．圆石藻、浮游动物、海洋细菌等生物共同构成生物群落B．中间产物X能作为一种化学信息使浮游动物对圆石藻的捕食明显减少，这体现了信息传递能调节种间关系，维持生态系统的稳定C.当圆石藻大量繁殖会诱发病毒侵染其细胞，从而使其数量下降，这体现了生态系统可通过负反馈机制维持自身的相对稳定D.海洋中许多生物能促进DMS氧化分解，最终产生SO42-，从而加快了生态系统的物质循环和能量流动6．化学与生产、生活密切相关。

福建省泉州市2014届普通中学高中毕业班3月质量检查试卷理数 Word版含答案.pdf

泉州市2014届高三3月质检数学试卷（理科）一、本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（） 2．已知集合A={x|x+1＜0}，B={x|3x＞0}，那么集合A∩B（） A．{x|x＜1}B．{x|x＜3} C．{x|1＜x＜3}D．? 3．某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是（） 4．在二项式（2x+3）n的展开式中，若常数项为81，则含x3的项的系数为（） 5．已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q≠1，且a2，a1，a3成等差数列，则其前5项的和S5=（）已知某产品连续4个月的广告费用xi（千元）与销售额yi（万元），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息： ①xi=18，yi=14； ②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系； ③回归直线方程=x+中的=0.8（用最小二乘法求得）．那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为（） 7．已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l?α，且m?β，那么下列命题中不正确的是（） 8．在如图所示的棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，若点P是正方形BCC1B1的中心，则三棱锥PAB1D1的体积等于（） B． C． D． 9．某数学爱好者设计了一个食品商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则商标的边缘轮廓线AOC恰是函数y=tan的图象，边缘轮廓线AEC恰是一段所对的圆心角为的圆弧．若在图中正方形ABCD内随机选取一点P，则点P落在商标区域内的概率等于（） B． C． D． 10．（2014?泉州一模）如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O的“确界角”．已知曲线C：y=（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为（） B． C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卷的相应位置． 11．（4分）（2014?泉州一模）（x2+sinx）dx=_________　． 12．（4分）（2014?泉州一模）若对满足不等式组的任意实数x，y，都有2x+y≥k成立，则实数k的最大值为　_________　． 13．（4分）（2014?泉州一模）已知直线l过双曲线C：3x2y2=9的右顶点，且与双曲线C的一条渐近线平行．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点恰好在直线l上，则p=_________　． 14．（4分）（2014?泉州一模）已知：△AOB中，∠AOB=90°，AO=h，OB=r，如图所示，先将△AOB绕AO所在直线旋转一周得到一个圆锥，再在该圆锥内旋转一个长宽都为，高DD1=1的长方体CDEFC1D1E1F1．若该长方体的顶点C，D，E，F都在圆锥的底面上，且顶点C1，D1，E1，F1都在圆锥的侧面上，则h+r的值至少应为　_________　． 15．（4分）（2014?泉州一模）定义一种向量运算“?”：?=（，是任意的两上向量）．对于同一平面内的向量，，，，给出下列结论： ?=?；λ（）=（λ）（λR）；（+）=?+? ④若是单位向量，则||≤||+1 以上结论一定正确的是　_________　．（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（13分）（2014?泉州一模）某校高三年段共有1000名学生，将其按专业发展取向分成普理、普文、艺体三类，如图是这三类的人数比例示意图．为开展某项调查，采用分层抽样的方法从这1000名学生中抽取一个容量为10的样本．（Ⅰ）试求出样本中各个不同专业取向的人数；（Ⅱ）在样本中随机抽取3人，并用ξ表示这3人中专业取向为艺体的人数．试求随机变量ξ的数学期望和方差． 17．（13分）（2014?泉州一模）已知函数f（x）=2sin?cos2cos2+（ω＞0），其图象与直线y=2的相邻两个公共点之间的距离为2π．（Ⅰ）若x∈[0，π]，试求出函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）△ABC的三个内角A，B，C及其所对的边a，b，c满足条件：f（A）=0，a=2，且b，a，c成等比数列．试求在方向上的抽影n的值． 18．（13分）（2014?泉州一模）已知M（0，），N（0，），G（x，y），直线MG与NG的斜率之积等于．（Ⅰ）求点G的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）过点P（0，3）作一条与轨迹Γ相交的直线l．设交点为A，B．若点A，B均位于y轴的右侧，且=，请求出x轴上满足|QP|=|QB|的点Q的坐标． 19．（13分）（2014?泉州一模）设函数f（x）=xn+ax+b（a，b∈R，n∈N*），函数g（x）=sinx．（Ⅰ）当a=b=n=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=b=1，n=2时，求函数h（x）=g（x）f（x）的最小值；（Ⅲ）当n=4时，已知|f（x）|≤对任意x∈[1，1]恒成立，且关于x的方程f（x）=g（x）有且只有两个实数根x1，x2．试证明：x1+x2＜0． 20．（14分）（2014?泉州一模）几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”．图1所示的“椭圆柱”中，A′B′，AB和O′，O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F1、F2是下底面椭圆的焦点．图2是图1“椭圆柱”的三视图及其尺寸，其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆．（Ⅰ）若M，N分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA′B′B的两侧． ①求证：OM∥平面A′B′N； ②求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值；（Ⅱ）若点N是下底面椭圆上的动点，N′是点N在上底面的投影，且N′F1，N′F2与下底面所成的角分别为α、β，请先直观判断tan（α+β）的取值范围，再尝试证明你所给出的直观判断．本题有21、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题记分．【选修4-2：矩阵与变换】 21．（7分）（2014?泉州一模）在平面直角坐标系xOy中，线性变换σ将点（1，0）变换为（1，0），将点（0，1）变换为（1，2）．（Ⅰ）试写出线性变换σ对应的二阶矩阵A；（Ⅱ）求矩阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量．【选修4-4：坐标系与参数方程】 22．（7分）（2014?泉州一模）平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为x2+y2=4．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l和圆C的交点的极坐标（要求极角θ∈[0，2π））【选修4-5：不等式选讲】 23．（2014?泉州一模）设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x1|+|x+2|≤M的解集．。

福建省泉州市高三数学1月期末质检试题理新人教A版

准考证号_________________________ 姓名_________________________（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2014届普通中学高中毕业班单科质量检查理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =x 为样本平均数；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．已知集合{}(1)(2)0A x x x =--<，{B x x =<<，则A B =（）A ．(-B ．(C ．(D ．)22．若复数1z i =+（其中i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A ．1z i =--B ．1z i =-+C ．2z =D ．z =3．已知向量()()()2,3,1,4,,3k ===a b c ，()+⊥a b c ，则实数k =（） A ．－7 B ．－2 C ．2 D ．74．若点(),x y 在曲线y x =-与2y =-所围成的封闭区域内（包括边界），则2x y -的最大值为（） A ．－6 B ．4 C ．6 D ．85．已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =-，则函数()y f x =的图象的一个对称中心为（）A ．,1)8π（ B ．,1)8π-(C ．,1)4π（ D ．,1)4π-（ 6．下列命题中正确的是（） A ．“1cos 2α=”是“3πα=”的充分不必要条件 B ．函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，则()()0f a f b ⋅< C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件是2*12()n n n a a a n N ++=∈ D ．命题“,20x x R ∀∈>”的否定是“,20x x R ∃∈≤”.7．设,,l m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，下列命题中正确的是（） A ．若l α，m α⊂，则lmB ．若,mn n α⊂，则mαC ．若α不垂直于β，则α内不存在直线垂直于βD ．若αβ⊥，lα，则l β⊥8．已知椭圆221:143x y C +=，双曲线22222:1(,0)x y C m n m n -=>，椭圆1C 的焦点和长轴端点分别是双曲线2C 的顶点和焦点，则双曲线2C 的渐近线必不经过点（）A ．B ．C ．D ． 3)- 9．已知函数()322()(4)f x x b a x a b x =+-+-是奇函数，则(0)f '的最小值是（）A ．－4B ．0C ．1D ．410．已知函数(0)()ln (0)xe xf x xx ⎧≤=⎨>⎩，则函数[()]1y f f x =-的零点个数为（）.A ．1B ．2C ．3D ．4准考证号_________________________ 姓名_________________________（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2014届普通中学高中毕业班单科质量检查理科数学第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置. 11．若()0(21)20tx dx t +=>⎰，则t =_______________.12．已知某零件的三视图及尺寸如图所示，则该零件的体积是____________.13．在平面直角坐标系xOy 中，直线(2)y k x =+与圆224x y +=交于,A B 两点，且2OA OB ⋅=-,则实数k 的值是__________________．14．已知函数()245f x x x =++，若二次函数()y g x =满足：①()y f x =与()y g x =的图象在点(1,10)P 处有公共切线；②()()y f x g x =+是R 上的单调函数.则()g x = .15．“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.在数学的解题中，倘若能恰当地改变分析问题的角度，往往会有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的豁然开朗之感.阅读以下问题及其解答：问题：对任意[1,1]a ∈-，不等式220x ax +-≤恒成立，求实数x 的取值范围.解：令2()(2)f a xa x =+-，则对任意[1,1]a ∈-，不等式220x ax +-≤恒成立只需满足222020x x x x ⎧--≤⎪⎨+-≤⎪⎩，所以11x -≤≤.类比其中所用的方法，可解得关于x 的方程322()0(0)x ax x a a a ---+=<的根为_______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）等差数列{}n a 满足13a =，1210120a a a +++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()*21n n S b n N =-∈，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.17．（本小题满分13分）如图，多面体ABCDEF 中，,,BA BC BE 两两垂直，且ABEF ，CD BE ，2AB BE ==，1BC CD EF ===.（Ⅰ）若点G 在线段AB 上，且3BG GA =，求证：CG 平面ADF ；（Ⅱ）求直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值.18．（本小题满分13分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点()03,M y 到焦点F 的距离等于4.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若过点(4,0)的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，求ABO ∆面积的最小值.19.（本小题满分13分）如图，景点A 在景点B 的正北方向2千米处，景点C 在景点B 的正东方向.（Ⅰ）游客甲沿CA 从景点C 出发行至与景点B P 处, 记=PBC α∠，求sin α的值；（Ⅱ）甲沿CA 从景点C 出发前往景点A ，乙沿AB 从景点A 出发前往景点B ，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为 2千米/小时.若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，3.9≈≈ ）20．（本小题满分14分）已知2()(12)x f x e x mx m =++-，其中m R ∈. （Ⅰ）当1m =时，求函数()y f x =单调递增区间；（Ⅱ）求证：对任意m R ∈，函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线恒过定点；（Ⅲ）是否存在实数m 的值，使得()y f x =在(,)-∞+∞上有最大值或最小值，若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．每个答题框内只能解答1个小题，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换已知矩阵10102M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦. (Ⅰ)求23,M M ，并猜想nM 的表达式；(Ⅱ)试求曲线221x y +=在矩阵1M -变换下所得曲线的方程.（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中,曲线1C 的参数方程为1cos cos x y αα=-⎧⎨=⎩（α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线2C 的方程为sin 2ρθ=.(Ⅰ)求1C 和2C 的普通方程:(Ⅱ)求1C 和2C 公共弦的垂直平分线的极坐标方程.（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲设函数()f x =225x x --+的最小值为m . (Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)解不等式2x x m ++>.保密★启用前泉州市2014届普通中学高中毕业班单科质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．A 10．B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11．1 12．163π+ 13. 14．283x x -++15．123111,22x a x x --=+==三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．解：设数列{}n a 的公差为d .∵1210109103+1202a a a d ⨯+++=⨯⨯=， ∴2d = ………………………………………………………………………………………………3分∴1(1)21n a a n d n =+-=+ ……………………………………………………………………………6分∵()*21n n S b n N =-∈ ……………………………………①当2n ≥时，1121n n S b --=- ………………………………② ①—②得122n n n b b b -=-即12n n b b -= …………………………………………………………………10分当1n =时，1121S b =-，解得11b = ∴数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列 …………………………………………………………12分∴11122n n n b b --=⨯= ……………………………………………………………………………………13分17．解：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE =. ∵AH HF =∴12GHMF …………………………………………………………………………………………2分又∵1,2CDBE BE MF ∴CD GH∴四边形CDHG 是平行四边形 ∴CG DH ………………………………………………………………………………………4分又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面 ∴CG平面A…………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）如图，以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,1)A C D E F(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)DE DA FA =-=--=- ………………………………………………………7分设平面ADF 的一个法向量(,,)n x y z =，则有2020n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简，得32x y z y =⎧⎨=⎩ 令1y =，得(n =……………………………………………………………………………………10分设直线CG与平面A D 所成的角为θ，则有7s i nn D E n D E θ⋅==⋅. ……………………………13分18．解：（Ⅰ）依题意可知342pMF =+=，∴2p =.故抛物线C 的方程为：24y x =. ……………5分（Ⅱ）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为4x =，联立方程组244y xx ⎧=⎨=⎩，解得124,4y y =-=1214162ABC S y y ∆=⨯⨯-=. ………………………………………………………………8分②当直线l 的斜率存在时，设直线:(4)(0)l y k x k =-≠.联立方程组24(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去x 得24160y y k --=124y y k+=，1216y y ⋅=- ………………………………………………………………11分1214162ABC S y y ∆=⨯⨯-===>综合①②可得当直线l 的斜率不存在时，ABC S ∆取得最小值16. ………………………………13分解法2：设直线:4l x ty =+.()11,A x y ，()22,B x y ……………………………………………………7分联立方程组244y xx ty ⎧=⎨=+⎩，消去x 得24160y ty --=124y y t+=，1216y y ⋅=- …………………………………………………………………………10分12142ABC S y y ∆=⨯⨯-===当t =时，ABCS ∆取得最小值16. ……………………………………………………………………13分19.解:（Ⅰ）解法1：在Rt ABC ∆中，2,AB BC ===30C ∠在PBC ∆中，由余弦定理得22+2c o s 30=B C P C B C P C B P-⋅⋅，即212+2=72PC PC -⨯⨯化简，得26+5=0PC PC -，解得=1PC 或5PC =（舍去） …………………………………3分在PBC ∆中，由正弦定理得sin sin 30PC PB α=，即1sin 2α=∴sin 14α=…………………………………………………………………………………………6分解法2：在Rt ABC ∆中，2,AB BC ==，∴=30C ∠在PBC ∆中，由正弦定理得sin30sin 180(30)BP BCα=⎡⎤-+⎣⎦，2=∴3sin(30)=α+ …………………………………………………………………………………3分∵BPC ∠为钝角，且180(30)BPC α∠=-+ ∴303090α<+< ∴ cos(30α+∴sin sin[(30)30]=sin(30)cos30cos(30)sin30αααα=+-+-+1=2214=. …………………………………………………………………6分解法3：过点B 作BD AC ⊥于点D ,则BD =又∵BP = ∴2DP = 记PBD β∠=，则sinββ==………………………………………………………3分∴31sin sin(60)sin 60cos cos60sin2214αβββ=-=-=⨯-=………………6分（Ⅱ）解法1：Rt ABC ∆中，2,4BA BC AC ====设甲出发后的时间为t 小时，则由题意可知04t ≤≤，设甲在线段CA 上的位置为点M ，4AM t =-①当01t ≤≤时，设乙在线段AB 上的位置为点Q ，则2AQ t =在AMQ∆中，由余弦定理得，()()()222242224cos 6071616MQ t t t t t t ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+令3MQ >即29MQ >，得271670t t -+>，解得87t <或87t >∴807t ≤<…………………………………………………………………………………9分②当14t <≤时，乙在景点B 处在ABM ∆中，由余弦定理得，()()22244224cos 60612MB t t t t ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+令3BM >即29BM >，得2630t t -+>，解得3t <t >当14t <≤时，不合题意 ………………………………………………………………………12分综上，当807t -≤<时，甲、乙间的距离大于3米.又80.67-≈，故两人不能通话的时间大约为0.6小时…………………………………………13分解法2：Rt ABC ∆中，2,4BA BC AC ====设甲出发后的时间为t 小时，则由题意可知04t ≤≤，设甲在线段CA 上的位置为点M ，4AM t =-在PBC ∆中，由余弦定理得2222cos30BC PC BC PC BP +-⋅⋅=，即21227PC PC +-⨯=，化简得2650PC PC -+= 解得1PC =或5PC =（舍去）①当14t ≤≤时，乙在景点B 处，甲在线段PA 上，甲乙间的距离3d BP ≤<，此时不合题意；………………………………………………………………………9分②当01t ≤<时，设乙在线段AB 上的位置为点Q ，则2AQ t = 在AMQ∆中，由余弦定理得，()()()222242224cos 6071616MQ t t t t t t ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+令3MQ >即29MQ >，得271670t t -+>，解得87t <或87t >∴807t ≤<…………………………………………………………………………12分综上，当0t ≤<时，甲、乙间的距离大于3米.又0.6≈，故两人不能通话的时间大约为0.6小时 ………………………………………13分20．解：（Ⅰ）当1m =时，2()(1)x f x e x x =+-，2'()(3)x f x e x x =+ 令()0f x >，得03x x ><-或∴函数()y f x =的单调递增区间为(,3),(0,)-∞-+∞ ………………………………………………4分（Ⅱ）解法1：2'()[(2)(1)]x f x e x m x m =+++-(0)1,'(0)f m f m=-=- 函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为(12)(1)(0)y m m x --=-- 即(1)210m x y m -++-=令0m =，则有10x y -+=…………………………………① 令1m =，则有1y =-…………………………………………②由①②，解得21x y =-⎧⎨=-⎩经检验，点(2,1)--满足直线的方程(1)210m x y m -++-=∴函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程(1)210m x y m -++-=经过定点(2,1)--.………………………………………………………………………………………9分解法2：2'()[(2)(1)]xf x e x m x m =+++-(0)1,'(0)12f m f m =-=-∴函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为(12)(1)(0)y m m x --=--即(1)210m x y m -++-=方程(1)210m x y m -++-=可化为(2)(1)0m x x y +--+=当2010x x y +=⎧⎨-+=⎩即21x y =-⎧⎨=-⎩时，对任意m R ∈，(1)210m x y m -++-=恒成立∴函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程(1)210m x y m -++-=经过定点(2,1)--.………………………………………………………………………………………9分（Ⅲ）解法1：2'()[(2)(1)]x f x e x m x m =+++-令2112y x mx m =++-，22(2)(1)y x m x m =+++-2214(12)84m m m m ∆=--=+-，222(2)4(1)8m m m m ∆=+--=+①当20∆≤即80m -≤≤时，2(2)(1)0y x m x m =+++-≥ ∴2'()[(2)(1)]0xf x e x m x m =+++-≥ ∴()y f x =在(,)-∞+∞上单调递增 ∴()y f x =在(,)-∞+∞上不存在最大值和最小值. …………………………………………11分②当20∆>即8m <-或0m >时，设方程2(2)(1)0x m x m +++-=的两根为12,x x'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞'()f x ＋ 0 － 0 ＋ ()f x递增极大值递减极小值递增当x →-∞时，()0f x >，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞∴要使()y f x =在(,)-∞+∞上有最大值或最小值，只需满足2()0f x ≤即10y ≤有解∴2214(12)840m m m m ∆=--=+-≥，解得4m ≤--4m ≥-+综上可得，4m ≤--或4m ≥-+…………………………………………………………14分解法2：2'()[(2)(1)]x f x e x m x m =+++-令2112y x mx m =++-，22(2)(1)y x m x m =+++-2214(12)84m m m m ∆=--=+-，222(2)4(1)8m m m m ∆=+--=+①当20∆≤即80m -≤≤时，2(2)(1)0y x m x m =+++-≥ ∴2'()[(2)(1)]0x f x e x m x m =+++-≥ ∴()y f x =在(,)-∞+∞上单调递增 ∴()y f x =在(,)-∞+∞上不存在最大值和最小值. ……………………………………………11分②当20∆>即8m <-或0m >时，设方程2(2)(1)0x m x m +++-=的两根为12,x x12x x =='(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞'()f x ＋ 0 － 0 ＋ ()f x递增极大值递减极小值递增当x →-∞时，()0f x >，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞ ∴要使()y f x =在(,)-∞+∞上有最大值或最小值，只需满足2()0f x ≤222222222()12[(2)(1)]220f x x mx m x m x m x m m x =++-=+++---=--≤∴(2)2202m m m m -+-⨯-=+≤化简，得2840m m +-≥解得4m ≤--4m ≥-+综上可得，4m ≤--或4m ≥-+ ………………………………………………………14分21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．每个答题框内只能解答1个小题，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）解：(Ⅰ) 2101010111000224M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 32101010111000842M M M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦猜想10102n n M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦……………………………………………………………………………3分(Ⅱ) ∵12M =，∴11002M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 即在矩阵1M -的变换下有2x x y y '=⎧⎨'=⎩，故12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩由221x y +=得221()12x y ''+=,即2214y x ''+= 故曲线221x y +=在矩阵1M -变换下所得曲线的方程为2214y x +=. ……………………………7分（2）解：(Ⅰ)22cos sin 1αα+= ，故1C 的普通方程为(1)122x y -+=.又曲线2C 的方程为2sin ρθ= 故2220x y y +-=. ………………………………………………………………………………………4分(Ⅱ)12C C 和公共弦的垂直平分线即过两圆圆心的直线，由(Ⅰ)得1C 的圆心为（1，0），2C 的圆心为（0，1），故直线方程为1x y +=，即其极坐标方程是cos()4πρθ-=. ………………………………7分（3）解:(Ⅰ)1,(2)()2|2|539,(2)x x f x x x x x +⎧=--+=⎨-+<⎩≥显然,函数()f x 在区间(,2)-∞上单调递减,在区间[2,)+∞上单调递增, 所以函数()f x 的最小值(2) 3.m f == ……………………………………………………………3分(Ⅱ)由(Ⅰ)知3m =,23x x ++≥,当0x ≥时，不等式可化为：223x +>，解得12x >；当20x -<<时，不等式可化为：23x x -++>，无解；当2x ≤-时，不等式可化为：223x -->，解得52x <-；故不等式的解集为5122x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. ……………………………………………………………7分。

【2014泉州市5月质检】福建省泉州市2014届高三5月质量检测数学理Word版含答案

泉州市2014届高中毕业班5月质量检测数学（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设全集为R，函数f（x）=lg（x﹣1）的定义域为M，则∁R M为（）A．（0，1）B．（0，1] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）2．已知角α的终边经过点P（m，4），且cosα=﹣，则m等于（）A．﹣B．﹣3 C．D． 33．已知=（1，2），=（3，n），若∥，则n等于（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 64．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．+πB．3（+π）C．3（+）D．+．．A． i≥4？B． i＜4？C． i≥3？D． i＜3？7．下列说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＜0”B．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题C．“x=﹣1”是“x2﹣2x﹣3=0”的必要不充分条件D．“0＜a＜1”是“函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在R上为减函数”的充要条件8．若不等式组所表示的平面区域被直线y﹣1=k（x﹣5）分为面积相等的两部分，则．9．双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一个焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定（）A．相交B．相切C．相离D．以上情况都有可能10．若函数y=f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f （x）是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是（）①y=2x+1；②y=log2x；③y=2x+1；④y=sin（x+）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分11．（4分）（2014•泉州模拟）复数z=（其中i为虚数单位）的共轭复数等于_________．12．（4分）（2014•泉州模拟）已知（3﹣）n的展开式中第三项为常数项，则展开式中个项系数的和为_________．13．（4分）（2014•泉州模拟）已知在等差数列{a n}中，a1=10，其公差d＜0，且a1，2a2+2，5a3成等比数列，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a15|=_________．14．（4分）（2014•泉州模拟）如图，矩形ABCD的面积为3，以矩形的中心O为顶点作两条抛物线，分别过点A、B和点C、D，若在矩形ABCD中随机撒入300颗豆子，则落在阴影部分内的豆子大约是_________．15．（4分）（2014•泉州模拟）如图，已知点G是△ABC的重心（即三角形各边中线的交点），过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，若=x，=y，则+=3，由平面图形类比到空间图形，设任一经过三棱锥P﹣ABC的重心G（即各个面的重心与该面所对顶点连线的交点）的平面分别与三条侧棱交于A1、B1、C1，且=x，=y，=z，则有++=_________．三、解答题：共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（13分）（2014•泉州模拟）已知某射击队员每次射击击中目标靶的环数都在6环以上（含6环），据统计数据绘制得到的频率分布条形图如图所示，其中a，b，c依次构成公差为0.1的等差数列，若视频率为概率，且该队员每次射击相互独立，试解答下列问题：（Ⅰ）求a，b，c的值，并求该队员射击一次，击中目标靶的环数ξ的分布列和数学期望Eξ；（Ⅱ）若该射击队员在10次的射击中，击中9环以上（含9环）的次数为k的概率为P（X=k），试探究：当k为何值时，P（X=k）取得最大值？17．（13分）（2014•泉州模拟）已知m=（1，﹣），n=（sin2x，cos2x），定义函数f（x）=m•n．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）已知△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，f（）=0．（i）若acosB+bcosA=csinC，求角B的大小；（ii）记g（λ）=|+|，若||=||=3，试求g（λ）的最小值．18．（13分）（2014•泉州模拟）椭圆G的中心为原点O，A（4，0）为椭圆G的一个长轴端点，F为椭圆的左焦点，直线l经过点E（2，0），与椭圆G交于B、C两点，当直线l垂直x轴时，|BC|=6．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若AC∥BF，求直线l的方程．19．（13分）（2014•泉州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，PA⊥AB，点E、F分别是棱AD、BC的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥PD；（Ⅱ）若AB=AP，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）若△PAD的面积为1，在四棱锥P﹣ABCD内部，放入一个半径为R的球O，且球心O在截面PEF中，试探究R的最大值，并说明理由．20．（14分）（2014•泉州模拟）已知函数f（x）=ln|x+1|﹣ax2．（Ⅰ）若a=且函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若a=0，求证f（x）≤|x+1|﹣1；（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象在原点O处的切线为l，试探究：是否存在实数a，使得函数y=f（x）的图象上存在点在直线l的上方？若存在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由．本题有三小题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）（2014•泉州模拟）已知是矩阵A=的一个特征向量．（Ⅰ）求m的值和向量相应的特征值；（Ⅱ）若矩阵B=，求矩阵B﹣1A．【选修4-4：坐标系与参数方】22．（7分）（2014•泉州模拟）直线l1：θ=（ρ∈R）与直线l2：（t为参数）的交点为A，曲线C：（其中α为参数）．（Ⅰ）求直线l1与直线l2的交点A的极坐标；（Ⅱ）求曲线C过点A的切线l的极坐标方程．【选修4-5：不等式选讲】23．（2014•泉州模拟）已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值．泉州市2014届普通中学高中毕业班质量检测理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A 9. B 10．C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分. 11、i -； 12、16； 13、65； 14、200； 15、4.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．本小题主要考查组合数公式、概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）依题意，得0.6a b c ++=，即0.10.20.6a a a ++++=，解得0.1a =，…2分所以0.2,0.3b c ==.………………3分故该队员射击一次，击中目标靶的环数ξ的分布列为:60.170.280.390.36100.048.04E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………6分（Ⅱ）记事件A ：“该队员进行一次射击，击中9环”，事件B ：“该队员进行一次射击，击中10环”，则事件“该队员进行一次射击，击中9环以上（包括9环）”为A B +.………7分因为A 与B 互斥，且()0.36,()0.04P A P B ==，所以()()()0.4P A B P A P B +=+=. …………8分所以，该射击队员在10次的射击中，击中9环以上（含9环）的次数为k 的概率1010()0.40.6(0,1,2,,10)kk k P X k C k -==⨯⨯=. ………………10分当1k ≥,*k ∈N 时，101011101100.40.6()2(11)(1)0.40.63kk k k k k C P X k k P X k C k----+⨯⨯=-===-⨯⨯. 令()1(1)P X k P X k =>=-，解得225k <. ………………12分所以当14k ≤≤时，(1)()P X k P X k =-<=；当510k ≤≤时，(1)()P X k P X k =->=.综上，可知当4k =时，()P X k =取得最大值.………………13分17．本小题主要考查平面向量、三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等．满分13分．解：（Ⅰ）()sin 222sin(2)3f x x x x π=⋅==-m n ， ………………2分由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z .……3分所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .………………4分（Ⅱ）由()02Af =，得2sin()03A π-=，因为0A π<<，所以3A π=.…………5分（ⅰ）由正弦定理，知cos cos sin a B b A c C +=可化为2sin cos sin cos sin A B B A C +=，……6分故2sin()sin A B C +=，………………7分又因为A B C π+=-，所以2sin()sin C C π-=即2sin sin C C =，因为sin 0C ≠，所以sin 1C =，又由于0C π<<，所以2C π=，………………8分所以()6B AC ππ=-+=.………………9分（ⅱ）AB AC λ+2222cos AB AB AC A AC λλ==+⋅+，…10分又3AB AC ==，3A π=，所以AB AC λ+2(1AB ===，12分故当12λ=-时，()g AB AC λλ=+的值取得最小值………………13分另解：记AB AC AP λ+=，则P 是过B 且与AC 平行的直线l 上的动点，()||g AP λ=，…………12分所以()g λ的最小值即点A 到直线l …………13分 18．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）因为(4,0)A 为椭圆G 的一个长轴端点，所以可设椭圆G 的方程为222116x y b +=，………………1分因为当直线l 垂直x 轴时，6BC =，所以椭圆G 过点(2,3)，……2分所以249116b+=，解得212b =. ………………3分故所求椭圆的方程为2211612x y +=.………………4分（Ⅱ）方法1：设直线l 的方程为2x my =+，联立方程组2223448x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，得22(34)12360m y my ++-=，……5分设1122(,),(,)B x y C x y ，则1221234,mm y y +=-+……① 1223634y m y ⋅=-+.……② …………6分又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ,………………7分故2112(4)(2)0x y x y --+=,即2112(2)(4)0my y my y --+=,即122y y =-.………③ …………9分由①②③得22212183434m m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭++，所以245m =.…………11分当245m =时，0∆>，所以m =，…………12分所以直线l的方程为2x y =+,即5100x --=或5100x +-=.…………13分方法2：①当直线l 的斜率不存在时，AC 与BF 不平行；………………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2),3448.y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=，…………6分设1122(,),(,)B x y C x y ，则12221634x k x k =++，…………①2221164834x k k x -=+⋅…………② …………7分又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ， ………………8分故2112(4)(2)0x y x y --+=，即2112(4)(2)(2)(2)0k x x k x x ---+-=，即1226x x +=…………③ …………9分由①③得2122228183481834k x k k x k ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，代入②得2222228188181648343434k k k k k k -+-=+++………………11分化简，得254k =，当254k =时，0∆>，故k =，…………12分所以直线l的方程为5100x --=或5100x +-=.……13分19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分13分. 解：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，又PA AB ⊥ ，PA AD A =，∴AB ⊥平面PAD ，…………2分又PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥………………3分（Ⅱ）点E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点,连结PE ，EF ，则,PE AD EFAB ⊥，又由（Ⅰ）知AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，又,AD PE ⊂平面PAD ，∴,EF AD EF PE ⊥⊥，………………4分如图，以点E 为坐标原点，分别以,,AD EF EP 所在直线为为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.由题设可知： PA PD AB AD ===，故不妨设2AB =，则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(0,2,0),A D B C F P --(1,2,PB =，(1,2,PC =-，………………5分AB ⊥平面PAD ， ∴平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)AB =，…………6分设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，,PB PC ⊥⊥n n ，∴00PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即2020x y x y ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得020x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令2z =，得y =∴平面PBC的一个法向量为2)=n .………………7分设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为θ,则cos cos ,7AB AB AB θ⋅=<>====n n n∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为7……………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）已证得PE EF ⊥，则截面PEF ∆为直角三角形.111,22PEF PAD S EF EP AD EP S ∆∆=⋅=⋅== 2.EF EP ∴⋅=………………9分设PEF ∆的内切圆半径为,r 则1()12PEF S PE EF FP r ∆=++⋅=2r PE EF PF ∴==++≤=1,==………………10分∴当且仅当EF EP =时，PEF ∆有最大内切圆，其半径 1.r =此时EF EP ==2.PF =………………11分12PAB PCD S S PA AB ∆∆==⋅==11222PBC S BC PF ∆=⋅==1PAD S ∆=，2 2.ABCD S AD EF =⋅==设PEF ∆的内切圆圆心O 到侧面PAB 、侧面PCD 的距离为d ，则1111()3333P ABCD PAD PBC ABCD PAB PCD ABCD V r S S S d S d S EP S -∆∆∆∆∆=⋅+++⋅+⋅=⋅，即()2PAD PBC ABCD PAB ABCD r S S S d S EP S ∆∆∆∆⋅+++⋅=⋅，所以(1)12++=解得1.d r =>=………………12分 ∴在四棱锥P ABCD -的内部放入球心O 在截面PEF 中的球，其最大半径R 是1,该最大半径的球只能与四棱锥P ABCD -的三个面相切. ………13分20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）当23a =且1x >-时，22()ln(1)3f x x x =+-，214443(23)(21)'()133(1)3(1)x x x x f x x x x x --++-=-==-+++，…………2分令'()0f x >，因为1x >-，所以(23)(21)0x x +-<，解得112x -<<，所以函数()f x 的递增区间为1(1,)2-.…………4分（Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x =+，不等式()11f x x ≤+-即ln 1110x x +-++≤， …………5分令1t x =+，则0t >，此时不等式ln 1110x x +-++≤等价于不等式ln 10(0)t t t -+≤>. 令()ln 1t t t ϕ=-+，则11'()1tt t tϕ-=-=. …………7分令'()0t ϕ=，得1t =.(),'()t t ϕϕ随t 的变化情况如下表由表可知，当0t >时，()(1)0t ϕϕ≤=即ln 10t t -+≤.所以()11f x x ≤+-成立. …………9分（Ⅲ）当1x >-时，2()ln(1)f x x ax =+-，1'()21f x ax x =-+，所以直线l 的斜率'(0)1k f ==，又(0)0f =，所以直线l 的方程为y x =.令2()ln 1g x x ax x =+--，则命题“函数()y f x =的图象上存在点在直线l 的上方”可等价转化为命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，使得()0g x >.”……10分当1x >-时，2()ln(1)g x x ax x =+--,1'()211g x ax x =--+，当1x <-时，2()ln(1)g x x ax x =----,1'()211g x ax x =--+，所以，对(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，都有212(1)2(21)2'()11ax x ax a xa g x x x -++--+==++. ……11分令'()0g x =，解得0x =或212a x a+=-.①当0a >时，211a +-<-，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：又因为(1)ln ,(0)0224g a g a a a--=+-=，所以，为使命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，使得()0g x >.”成立，只需111(1)ln 0224g a a a a --=+->. 令12t a =，则111(1)ln 222g t t a t--=+-，令11()ln (0)22h t t t t t =-+>，因为2111'()022h t t t =++>，所以()h t 在(0,)+∞上为增函数，又注意到(1)0h =，所以当且仅当112t a =>，即102a <<时，()0h t >，故关于a 的不等式11ln024a a a +->的解集为102a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；…………13分 ②当0a ≤时，因为存在1x e =--使得2(1)2(1)0g e e a e --=+-+>恒成立，所以，总存在点(1,e --21(1))a e -+在直线l 的上方. 综合①②，可知a 的取值范围为12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. …………14分 21．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换解：(Ⅰ)由题意，可知存在实数(0)λλ≠，使得10200k k m λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………1分即0k kmk λ=⎧⎨=⎩， ………2分又因为0k ≠，所以10m λ=⎧⎨=⎩， ………3分所以0m =，特征向量0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭相应的特征值为1. …………4分(Ⅱ)因为1=-B ，所以11223--⎛⎫=⎪-⎝⎭B ， …………6分故1121014230226---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A . …………7分（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)将12,l l 的方程化为普通方程，得1:l y x =，2l ：220x y -+=，2分联立方程组220y xx y =⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以A 的坐标为(2,2)，………3分故点A 的极坐标)4π. …………4分（Ⅱ）将曲线C 的方程化为普通方程得228x y +=，…………5分所以曲线C 是圆心为(0,0)O ，半径为A (2,2)在曲线C 上.因为1OA k =，所以曲线C 过点A 的切线l 的斜率1l k =-，所以l 的方程为40x y +-=，……6分故l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=. …………7分（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）由已知得()2max326t t m m +--≤-………………1分因为323(2)5t t t t +--≤+--=（当且仅当2t ≥时取等号）………3分所以265m m -≥，解得15m ≤≤，所以实数m 的取值范围是1 5.m ≤≤………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知5λ=，所以3455x y z ++=.由柯西不等式，可得()()()222222234534525x y zx y z ++++≥++=, …5分所以22212x y z ++≥，当且仅当345x y z ==即321,,1052x y z ===时等号成立. ………6分故222x y z ++的最小值为1.2………………7分。

2014年高考真题——理科数学(福建卷) 解析版Word版含解析(小题部分).

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S得值等于（）DC.40.18A.20B.216.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（） A.()x f 是偶函数 B. ()x f 是增函数 C.()x f 是周期函数 D.()x f 的值域为[)+∞-,18.在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（）A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e eC.)10,6(),5,3(21==e eD.)3,2(),3,2(21-=-=e e9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（）A.25B.246+C.27+D. 2610.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. ()()()555432111c b a a a a a +++++++B. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ C. ()()()554325111c b b b b b a +++++++D.()()()543255111c c c c c b a +++++++二.填空题11.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________.【答案】1【解析】试题分析：依题意如图可得目标函数过点A 时截距最大.即min 1z =.考点：线性规划.12.在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==,则ABC ∆的面积等于_________.13.要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）.14.如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.。

数学文卷·2014届建省泉州市普通中学高中毕业班单科质量检查(2014.01)

泉州市2014届普通中学高中毕业班单科质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．C 2．A 3．C 4．B 5．A 6．D 7．C 8．D 9．C 10．D 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.13 14．7515．48+ 16．()28f x x x c =-++(c 为任意实数)（填写其中一种情况即可）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解析：（Ⅰ）根据频数分布表，成绩在[)120,130，[)130,140，[]140,150中共有100人，成绩在[)120,130的有60人， …………2分故用分层抽样的方法所抽取的5人中，成绩在[)120,130的人数为6053100⨯=. …5分（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的5人中，成绩在[)120,130的有3名同学，记为1,23a a a ，成绩在[)130,140和[]140,150的各有1名同学，分别记为b 和c ， …………6分则从（Ⅰ）中抽出的5人中，任取2人的所有情况为{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121311232233,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a c a a a b a c a b a c b c ，共有10个基本事件， …………9分记事件[)[){}120,130130,1401A =成绩在和中各有人，该事件包含的基本事件为{}{}{}123,,,,,a b a b a b ，共有3个，…10分故3()10P A =. …………12分 18．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等. 满分12分. 解析:（Ⅰ）依题意可知233,9a a ==.设等差数列{}n b 的公差为d ，Q 1243,b a b a ==，∴143,9b b ==， …………1分又Q 413b b d =+，∴2d =， …………3分∴1(1)21n b b n d n =+-=+. …………5分（Ⅱ）数列{}n a 的一个通项公式为13n n a -=， …………7分∴()1321n n n a b n -+=++，∴()()2113333521n n S n -=+++++++++⎡⎤⎣⎦L L23122n n n -=++. …………12分19．本小题主要考查三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等．. 满分12分. 解析：（Ⅰ）()22cos1cos 2xf x x ==+， 2()(sin cos )12sin cos 1sin 2222x x x xg x x =+=+=+，…3分Q ()1cos()1sin 22f x x x ππ-=+-=+，∴()2f x g x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,命题得证.…5分（Ⅱ）函数()()()h x f x g x =-cos sin x x =-2(cos )22x x =-)4x π=+ ， ………7分∵[]0,x π∈, ∴ 5444x πππ≤+≤，当44x πππ≤+≤ ，即304x π≤≤ 时，()h x 递减；当544x πππ≤+≤ ，即34x ππ≤≤ 时，()h x 递增.∴函数()h x 的单调递减区间为30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增区间为3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. …10分根据函数()h x 的单调性，可知当34x π=时函数()h x 取到最小值. ……12分 20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分. 解析：（Ⅰ）连结AC BD 、， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥.……1分∵ PD ABCD ⊥平面，又AC ABCD ⊂平面，∴AC PD ⊥，……2分又∵PD BD D =I ， ∴AC PBD ⊥平面.…4分 ∵PB PBD ⊂平面, ∴AC PB ⊥ ． ……………5分（Ⅱ）如图连结,,OE BE DE ，∵//PA BDE 平面，PA ⊂PAC 平面，PAC 平面BDE OE ⋂=平面，∴//PA OE .∵O 为AC 的中点，∴E 为PC 的中点. ……………7分取DC 的中点H ，连结EH ，则//EH PD ，又∵PD ABCD ⊥平面，CA∴EH ⊥ABCD 平面，即EH 是四面体E BDC -的高． ………8分根据斜二测画法的规则及题设已知条件可以得到：在11D O C '∆中，01145D O C '∠=，111D C O C '==由余弦定理可以解得：11O D '=或13O D '=.又因为11O D O C ''<，所以11O D '=． ……………9分从而，可以得到菱形ABCD 的对角线4DB =，而OC =12BDC S BD OC ∆=⋅⋅=……………10分∵四面体E BDC -的体积为13⋅EH ⋅BDC S ∆=，求得94EH =，故侧棱PD 的长是9.2…………12分21．本小题主要考查圆锥曲线、直线与圆锥曲线、合情推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．解析：（Ⅰ）因为点M 到点()1,0F 和直线1-=x 的距离相等，由抛物线定义，可知曲线C 是抛物线，其中()1,0F 是焦点，所以曲线C 的方程为x y 42=. ……………3分（Ⅱ）根据图形可以直观判断，直线1l ，2l 的斜率存在且不等于0，故不妨设1l 的方程为()1y k x =-()0k ≠，()111,P x y ，()222,P x y ，由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得()2222240k x k x k -++=， ∴ 212224k x x k ++=，121x x =. ……………5分因为曲线C 与1l 交于点1P ,2P 且1l 过焦点()1,0F ，所以12122PP x x =++ 22242k k +=+2244k k +=. ……………7分同理可得21221441k Q Q k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭244k =+， ……………8分所以2221212111144444k PP Q Q k k +=+=++. ……………9分（Ⅲ）若1l ，2l 是过椭圆22:143x y Γ+=的焦点且相互垂直的两条直线，其中椭圆Γ与1l 交于点1P ,2P ,与2l 交于点1Q ,2Q ，则121211712PP Q Q +=. ……………12分 (注：只说明121211PP Q Q +为定值或给出错误的定值扣1分 .)22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解:（Ⅰ）因为()1f x a x'=-， ………1分又因为函数()f x 在点()()1,1A f 处的切线斜率为2，所以()12f '=，解得1a =-. ……………3分（Ⅱ）因为()1,A a -，()11f a '=-，所以切线l 的方程为：()11y a x =--. ……………4分令()()()11g x f x a x =---⎡⎤⎣⎦ln 1(0)x x x =-+>，则()11g x x '=-1xx-=，由0x >得，当()0,1x ∈时()0g x '>,当()1,x ∈+∞时()0g x '<，…6分所以函数()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，……7分从而，当1x =时，()g x 取得最大值()10g =，所以()0g x ≤即()()11f x a x ≤--，从而证得函数()f x 的图象恒在其切线l 的下方（切点除外）；……9分（Ⅲ）解法一：因为()1,A a -，()000,ln Q x x ax -，所以QA k 000ln 1x ax a x -+=-00ln 1x a x =--， …10分所以当01x >时，0ln 21x a x -<-，即()()00ln 210x a x -+-<恒成立. ……11分令()()()()ln 211h x x a x x =-+->，则()()12h x a x'=-+. 因为1x >，所以101x<<. （ⅰ）当2a ≤-时，20a +≤，此时()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞单调递增，有()()10h x h >=，不满足题意；（ⅱ）当21a -<<-时，021a <+<，∴当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0h x '>，当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭时，()0h x '<，所以至少存在11,2s a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，使得()()10h s h >=,不满足题意；（ⅲ）当1a ≥-时，21a +≥，此时()0h x '<，∴()h x 在()1,+∞单调递减，()()10h x h <=,满足题意. 综上可得：1a ≥-.……………14分解法二：因为()1,A a -，()000,ln Q x x ax -，所以QA k 000ln 1x ax a x -+=-00ln 1x a x =--， …10分所以,当01x >时，00ln 21x a x -<-，即00ln 21x a x +>-对01x >恒成立.…11分令()()()ln 11h x x x x =-->，则()11h x x'=-. ∵()10xh x x-'=<,∴()h x 在()1,+∞单调递减， ∴()()10h x h <=，即ln 1x x <-，ln 11xx <-(1x >). …12分注意到当1x →时，()0h x →，ln 1x x →-，ln 11xx →-，…13分所以21a +≥，即1a ≥-. ……………14分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(福建卷,小题解析)

2014年高考真题——理科数学〔福建卷〕解析版小题局部一.选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于〔〕.23A i --.23B i -+.23C i -.23D i +2.某空间几何体的正视图是三角形，如此该几何体不可能是〔〕.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，假设132,12a S ==，如此6a =( ).8A .10B .12C .14D4.假设函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，如此如下函数图像正确的答案是〔〕5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于〔〕.18A .20B .21C .40D6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，如此"1"k =是“OAB ∆的面积为12〞的〔〕 .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7.函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 如此如下结论正确的答案是〔〕 A.()x f 是偶函数 B. ()x f 是增函数 C.()x f 是周期函数 D.()x f 的值域为[)+∞-,18.在如下向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是〔〕A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e eC.)10,6(),5,3(21==e eD.)3,2(),3,2(21-=-=e e9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，如此Q P ,两点间的最大距离是〔〕A.25B.246+C.27+D. 2610.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理与乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出假设干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1〞表示一个球都不取、“a 〞表示取出一个红球，面“ab 〞用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，如下各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出假设干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. ()()()555432111c b a a a a a +++++++B. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ C. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c c c b a +++++++二.填空题11.假设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 如此y x z +=3的最小值为________.【答案】1【解析】试题分析：依题意如图可得目标函数过点A 时截距最大.即min 1z =.考点：线性规划.12.在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==,如此ABC ∆的面积等于_________.13.要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，如此该容器的最低总造价是_______〔单位：元〕.14.如图，在边长为e 〔e 为自然对数的底数〕的正方形中随机撒一粒黄豆，如此他落到阴影局部的概率为______.15.假设集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且如下四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，如此符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.。

【2014泉州市5月质检】福建地区泉州市2014届高三5月质量检测数学理高清扫描版含规范标准答案

泉州市2014届普通中学高中毕业班质量检测理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A 9. B 10．C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分. 11、i -； 12、16； 13、65； 14、200； 15、4.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．本小题主要考查组合数公式、概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）依题意，得0.6a b c ++=，即0.10.20.6a a a ++++=，解得0.1a =，…2分所以0.2,0.3b c ==.………………3分故该队员射击一次，击中目标靶的环数ξ的分布列为:60.170.280.390.36100.048.04E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………6分（Ⅱ）记事件A ：“该队员进行一次射击，击中9环”，事件B ：“该队员进行一次射击，击中10环”，则事件“该队员进行一次射击，击中9环以上（包括9环）”为A B +.………7分因为A 与B 互斥，且()0.36,()0.04P A P B ==，所以()()()0.4P A B P A P B +=+=. …………8分所以，该射击队员在10次的射击中，击中9环以上（含9环）的次数为k 的概率1010()0.40.6(0,1,2,,10)kk k P X k C k -==⨯⨯=L . ………………10分当1k ≥,*k ∈N 时，101011101100.40.6()2(11)(1)0.40.63kk k k k k C P X k k P X k C k----+⨯⨯=-===-⨯⨯. 令()1(1)P X k P X k =>=-，解得225k <. ………………12分所以当14k ≤≤时，(1)()P X k P X k =-<=；当510k ≤≤时，(1)()P X k P X k =->=.综上，可知当4k =时，()P X k =取得最大值.………………13分17．本小题主要考查平面向量、三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等．满分13分．解：（Ⅰ）()sin 222sin(2)3f x x x x π=⋅==-m n ， ………………2分由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z .……3分所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .………………4分（Ⅱ）由()02Af =，得2sin()03A π-=，因为0A π<<，所以3A π=.…………5分（ⅰ）由正弦定理，知cos cos sin a B b A c C +=可化为2sin cos sin cos sin A B B A C +=，……6分故2sin()sin A B C +=，………………7分又因为A B C π+=-，所以2sin()sin C C π-=即2sin sin C C =，因为sin 0C ≠，所以sin 1C =，又由于0C π<<，所以2C π=，………………8分所以()6B AC ππ=-+=.………………9分（ⅱ）AB AC λ+u u u r u u u r==10分又3AB AC ==u u u r u u u r ，3A π=，所以AB AC λ+u u u r u u u r===12分故当12λ=-时，()g AB AC λλ=+u u u r uu u r ………………13分另解：记AB AC AP λ+=u u u r u u u r u u u r，则P 是过B 且与AC 平行的直线l 上的动点，()||g AP λ=，…………12分所以()g λ的最小值即点A 到直线l …………13分 18．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）因为(4,0)A 为椭圆G 的一个长轴端点，所以可设椭圆G 的方程为222116x y b+=，………………1分因为当直线l 垂直x 轴时，6BC =，所以椭圆G 过点(2,3)，……2分所以249116b+=，解得212b =. ………………3分故所求椭圆的方程为2211612x y +=.………………4分（Ⅱ）方法1：设直线l 的方程为2x my =+，联立方程组2223448x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，得22(34)12360m y my ++-=，……5分设1122(,),(,)B x y C x y ，则1221234,mm y y +=-+……① 1223634y m y ⋅=-+.……② …………6分又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+u u u r u u u r，且AC BF P ,………………7分故2112(4)(2)0x y x y --+=,即2112(2)(4)0my y my y --+=,即122y y =-.………③ …………9分由①②③得22212183434m m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭++，所以245m =.…………11分当245m =时，0∆>，所以m =，…………12分所以直线l的方程为25x y =±+,即5100x --=或5100x +-=.…………13分方法2：①当直线l 的斜率不存在时，AC 与BF 不平行；………………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2),3448.y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=，…………6分设1122(,),(,)B x y C x y ，则12221634x k x k =++，…………① 2221164834x k k x -=+⋅…………② …………7分又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+u u u r u u u r，且AC BF P ， ………………8分故2112(4)(2)0x y x y --+=，即2112(4)(2)(2)(2)0k x x k x x ---+-=，即1226x x +=…………③ …………9分由①③得2122228183481834k x k k x k ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，代入②得2222228188181648343434k k k k k k-+-=+++………………11分化简，得254k =，当254k =时，0∆>，故2k =±，…………12分所以直线l的方程为5100x --=或5100x +-=.……13分19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分13分. 解：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，又PA AB ⊥Q ，PA AD A =I ，∴AB ⊥平面PAD ，…………2分又Q PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥………………3分（Ⅱ）Q 点E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点,连结PE ，EF ，则,PE AD EF AB ⊥P ，又由（Ⅰ）知AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，又,AD PE ⊂平面PAD ，∴,EF AD EF PE ⊥⊥，………………4分如图，以点E 为坐标原点，分别以,,AD EF EP 所在直线为为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.由题设可知： PA PD AB AD ===，故不妨设2AB =，则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(0,2,0),A D B C F P --(1,2,PB =u u u r，(1,2,PC =-u u u r，………………5分Q AB ⊥平面PAD ， ∴平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)AB =u u u r，…………6分设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，,PB PC ⊥⊥n n u u u r u u u rQ ，∴00PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u ru u u r，即2020x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得020x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令2z =，得y =∴平面PBC的一个法向量为2)=n .………………7分设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为θ,则cos cos ,7AB AB AB θ⋅=<>====n n nu u u ru u u r u u u r∴平面PAD 与平面PBC所成锐二面角的余弦值为7……………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）已证得PE EF ⊥，则截面PEF ∆为直角三角形.111,22PEF PAD S EF EP AD EP S ∆∆=⋅=⋅== 2.EF EP ∴⋅=………………9分设PEF ∆的内切圆半径为,r 则1()12PEF S PE EF FP r ∆=++⋅=2r PE EF PF ∴==++≤=1,==………………10分∴当且仅当EF EP =时，PEF ∆有最大内切圆，其半径 1.r =此时EF EP ==2.PF =………………11分12PAB PCD S S PA AB ∆∆==⋅==11222PBC S BC PF ∆=⋅==1PAD S ∆=，2 2.ABCD S AD EF =⋅==设PEF ∆的内切圆圆心O 到侧面PAB 、侧面PCD 的距离为d ，则1111()3333P ABCD PAD PBC ABCD PAB PCD ABCD V r S S S d S d S EP S -∆∆∆∆∆=⋅+++⋅+⋅=⋅，即()2PAD PBC ABCD PAB ABCD r S S S d S EP S ∆∆∆∆⋅+++⋅=⋅，所以(1)12+=解得1.d r =>=………………12分 ∴在四棱锥P ABCD -的内部放入球心O 在截面PEF 中的球，其最大半径R 是1,该最大半径的球只能与四棱锥P ABCD -的三个面相切. ………13分20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）当23a =且1x >-时，22()ln(1)3f x x x =+-，214443(23)(21)'()133(1)3(1)x x x x f x x x x x --++-=-==-+++，…………2分令'()0f x >，因为1x >-，所以(23)(21)0x x +-<，解得112x -<<，所以函数()f x 的递增区间为1(1,)2-.…………4分（Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x =+，不等式()11f x x ≤+-即ln 1110x x +-++≤， …………5分令1t x =+，则0t >，此时不等式ln 1110x x +-++≤等价于不等式ln 10(0)t t t -+≤>. 令()ln 1t t t ϕ=-+，则11'()1tt t tϕ-=-=. …………7分令'()0t ϕ=，得1t =.(),'()t t ϕϕ随t 的变化情况如下表由表可知，当0t >时，()(1)0t ϕϕ≤=即ln 10t t -+≤.所以()11f x x ≤+-成立. …………9分（Ⅲ）当1x >-时，2()ln(1)f x x ax =+-，1'()21f x ax x =-+，所以直线l 的斜率'(0)1k f ==，又(0)0f =，所以直线l 的方程为y x =.令2()ln 1g x x ax x =+--，则命题“函数()y f x =的图象上存在点在直线l 的上方”可等价转化为命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞U ，使得()0g x >.”……10分当1x >-时，2()ln(1)g x x ax x =+--,1'()211g x ax x =--+，当1x <-时，2()ln(1)g x x ax x =----,1'()211g x ax x =--+，所以，对(,1)(1,)x ∈-∞--+∞U ，都有212(1)2(21)2'()11ax x ax a xa g x x x -++--+==++. ……11分令'()0g x =，解得0x =或212a x a+=-.①当0a >时，211a +-<-，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：又因为(1)ln ,(0)0224g a g a a a--=+-=，所以，为使命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞U ，使得()0g x >.”成立，只需111(1)ln 0224g a a a a --=+->. 令12t a =，则111(1)ln 222g t t a t--=+-，令11()ln (0)22h t t t t t =-+>，因为2111'()022h t t t =++>，所以()h t 在(0,)+∞上为增函数，又注意到(1)0h =，所以当且仅当112t a =>，即102a <<时，()0h t >，故关于a 的不等式11ln024a a a +->的解集为102a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；…………13分 ②当0a ≤时，因为存在1x e =--使得2(1)2(1)0g e e a e --=+-+>恒成立，所以，总存在点(1,e --21(1))a e -+在直线l 的上方. 综合①②，可知a 的取值范围为12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. …………14分 21．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换解：(Ⅰ)由题意，可知存在实数(0)λλ≠，使得10200k k m λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………1分即0k kmk λ=⎧⎨=⎩， ………2分又因为0k ≠，所以10m λ=⎧⎨=⎩， ………3分所以0m =，特征向量0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭相应的特征值为1. …………4分(Ⅱ)因为1=-B ，所以11223--⎛⎫=⎪-⎝⎭B ， …………6分故1121014230226---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A . …………7分（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)将12,l l 的方程化为普通方程，得1:l y x =，2l ：220x y -+=，2分联立方程组220y xx y =⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以A 的坐标为(2,2)，………3分故点A 的极坐标)4π. …………4分（Ⅱ）将曲线C 的方程化为普通方程得228x y +=，…………5分所以曲线C 是圆心为(0,0)O ，半径为A (2,2)在曲线C 上.因为1OA k =，所以曲线C 过点A 的切线l 的斜率1l k =-，所以l 的方程为40x y +-=，……6分故l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=. …………7分（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）由已知得()2max326t t m m +--≤-………………1分因为323(2)5t t t t +--≤+--=（当且仅当2t ≥时取等号）………3分所以265m m -≥，解得15m ≤≤，所以实数m 的取值范围是1 5.m ≤≤………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知5λ=，所以3455x y z ++=.由柯西不等式，可得()()()222222234534525x y zx y z ++++≥++=, …5分所以22212x y z ++≥，当且仅当345x y z ==即321,,1052x y z ===时等号成立. ………6分故222x y z ++的最小值为1.2………………7分。

福建省泉州市高三数学1月期末质检试题理(扫描版)新人教A版

福建省泉州市2014届高三1月期末质检数学理试题扫描版新人教A版2014届泉州市普通高中毕业班单科质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．D 7．C 8．C 9 .A 10．B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11、1； 12、163π+； 13、 14、283x x -++；15、1231,x a x x =+==三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等. 满分13分.解：设数列{}n a 的公差为d . ∵1210109103+1202a a a d ⨯+++=⨯⨯=， ∴2d =, …………………………………………………………………3分∴1(1)21n a a n d n =+-=+. …………………………………………5分∵()*21n n S b n N =-∈ ,……………………………………① 当2n ≥时，1121n n S b --=-, ………………………………②①—②得122n n n b b b -=-即12n n b b -=, ……………………………………9分当1n =时，1121S b =-，解得11b =,…………10分∴数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列, …………………11分∴11122n n n b b --=⨯=. ……………………………………13分17．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等.满分13分.解：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE =.∵AH HF =,∴ 12GHMF . ……………………………………………………2分又∵1,2CD BE BE MF ,∴CD GH , ∴四边形CDHG 是平行四边形,CG DH . ………………………………4分又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面,∴CG 平面ADF . ………………6分（Ⅱ）如图，以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,则(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,1)A C D E F .(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)DE DA FA =-=--=-.…8分设平面ADF 的一个法向量(,,)n x y z =，则有2020n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简得32x y z y =⎧⎨=⎩, 令1y =，得(3,1,2)n =.……………10分设直线CG 与平面ADF 所成的角为θ，则有7sin n DEn DE θ⋅==⋅. ……13分18．本小题主要考查抛物线的定义、标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）依题意可知342p MF =+=，∴2p =. …………4分故抛物线C 的方程为：24y x =. ………………………5分（Ⅱ）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y .①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为4x =，联立方程组244y x x ⎧=⎨=⎩，解得124,4y y =-=, ∴1214162ABC S y y ∆=⨯⨯-=. ………………………………7分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线:(4)(0)l y k x k =-≠.联立方程组24(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去x 得24160y y k --=, ∴124y y k+=，1216y y ⋅=-. ………………………………………10分12142ABC S y y ∆=⨯⨯-=16==>. ……………12分综合①②可得,当直线l 的斜率不存在时，ABC S ∆取得最小值16.……13分解法2：设直线:4l x ty =+,()11,A x y ，()22,B x y .…………………7分联立方程组244y x x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x 得24160y ty --=,∴124y y t +=，1216y y ⋅=- .…………………10分12142ABC S y y ∆=⨯⨯-===当0t =时， ABC S ∆取得最小值16. …………………………13分19．本小题主要考查三角函数、解三角形等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查应用意识．满分13分.解:（Ⅰ）解法1：在Rt ABC ∆中，2,AB BC ===30C ∠.在PBC ∆中，BP =由余弦定理得222+2cos30=BC PC BC PC BP -⋅⋅，即212+2PC PC -⨯, 化简，得26+5=0PC PC -，解得=1PC 或5PC =（舍去）. ………4分在PBC ∆中，由正弦定理得sin sin 30PC PB α=，即1sin 2α=∴sin α……………………………………………………6分解法2：在Rt ABC ∆中，2,AB BC ===30C ∠.在PBC ∆中，BP =由正弦定理得sin30sin 180(30)BP BC α=⎡⎤-+⎣⎦2=∴3sin(30)=α+ ………………………………………4分∵BPC ∠为钝角，且180(30)BPC α∠=-+,∴303090α<+<,从而 cos(30α+，∴sin sin[(30)30]=sin(30)cos30cos(30)sin30αααα=+-+-+12=. ………………………………………6分解法3：在Rt ABC ∆中，2,AB BC ==过点B 作BD AC ⊥于点D ,则BD ==60DBC ∠.∵BP =∴2DP =.记PBD β∠=，则sinββ==. …………………………4分∴31sin sin(60)sin 60cos cos60sin2αβββ=-=-=⨯= …………………6分（Ⅱ）解法1：Rt ABC ∆中，2,4BA BC AC ====,=60BAC ∠.用t （小时）表示两人出发后的时间，则由题意可知04t ≤≤.设出发t 小时时甲在线段CA 上的位置为点M ，则4AM t =-.①当01t ≤≤时，设出发t 小时时乙在线段AB 上的位置为点Q ，则2AQ t =.在AMQ ∆中，由余弦定理得，()()()222242224cos 6071616MQ t t t t t t ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+,令3MQ >即29MQ >，得271670t t -+>，解得t <t >，∴0t ≤<. ……………………………………………………9分 ②当14t <≤时，乙在景点B 处.在ABM ∆中，由余弦定理得，()()22244224cos 60612MB t t t t ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+.令3BM >即29BM >，得2630t t -+>，解得3t <t >均不符合14t <≤的要求. ………12分综上，当0t ≤<3米.0.6≈，故两人用对讲机联络不上的时间大约为0.6小时.………………13分解法2：Rt ABC ∆中，2,4BA BC AC ====,=60BAC ∠.用t （小时）表示两人出发后的时间，则由题意可知04t ≤≤.设出发t 小时时甲在线段CA 上的位置为点M ，则4AM t =-.在PBC ∆中，由余弦定理得2222cos30BC PC BC PC BP +-⋅⋅=，即21227PC PC +-⨯=，化简得2650PC PC -+=, 解得1PC =或5PC =（舍去）.①当14t ≤≤时，乙在景点B 处，甲在线段PA 上，甲乙间的距离3d BP ≤，两人可以联络得上，此时不合题意；………9分②当01t ≤<时，设出发t 小时时乙在线段AB 上的位置为点Q ，则2AQ t =.在AMQ ∆中，由余弦定理得，()()()222242224cos 6071616MQ t t t t t t ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+,令3MQ >即29MQ >，得271670t t -+>，解得t <t >,∴0t ≤<. …………………………………12分综上，当0t ≤<时，甲、乙间的距离大于3米.0.6≈，故两人用对讲机联络不上的时间大约为0.6小时.………………13分 20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）当1m =时，2()(1)x f x e x x =+-，2'()(3)x f x e x x =+.……1分令()0f x >，解得03x x ><-或,∴函数()y f x =的单调递增区间为(,3)-∞-和(0,)+∞. …………………4分（Ⅱ）2'()[(2)(1)]x f x e x m x m =+++-,∵(0)12,'(0)1f m f m =-=-,∴ 函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为:(12)(1)(0)y m m x --=--,即(1)210m x y m -++-=. …6分方法1：令0m =，得10x y -+=；…………………………………①令1m =，得1y =-.…………………………………………②由①②，解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩…7分经检验，对任意m ∈R ,2,1x y =-⎧⎨=-⎩恒满足方程(1)210m x y m -++-=， …8分∴对任意m ∈R ，函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线恒过定点(2,1)--.…9分方法2：方程(1)210m x y m -++-=可化为(2)(1)0m x x y +--+=，当2010x x y +=⎧⎨-+=⎩即21x y =-⎧⎨=-⎩时，对任意m R ∈，(1)210m x y m -++-=恒成立， ∴对任意m ∈R ，函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线恒过定点(2,1)--.…9分（Ⅲ）2'()[(2)(1)]x f x e x m x m =+++-，令2(2)(1)y x m x m =+++-，221(2)4(1)8m m m m ∆=+--=+.①当10∆≤即80m -≤≤时，恒有2(2)(1)0y x m x m =+++-≥，∴2'()[(2)(1)]0x f x e x m x m =+++-≥，函数()y f x =在(,)-∞+∞上单调递增，∴函数()y f x =在(,)-∞+∞上既不存在最大值，也不存在最小值. ……10分②当0∆>即8m <-或0m >时，设方程2(2)(1)0x m x m +++-=的两实根为12,x x ，且12x x <.'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：由于当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 不存在最大值. …11分∵x →-∞时，()0f x >，且根据指数函数与二次函数的增长差异可判断()0f x →，∴当且仅当2()0f x ≤即222120y x mx m =++-≤时，函数()y f x =在(,)-∞+∞上才有最小值. …12分∵222(2)(1)0x m x m +++-=，∴当且仅当220x m +≥时，函数()y f x =在(,)-∞+∞上有最小值.又∵2x = ∴220x m +≥即2840m m +-≥，解得4m ≤--4m ≥-+综上可得，对于4m ≤--4m ≥-+函数()y f x =在(,)-∞+∞上存在最大值或最小值. …………………………14分21．（1）选修4—2:矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的运算等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想.满分7分解：(Ⅰ) 2101010111000224M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,……1分 32101010111000842M M M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，……2分猜想10102n n M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦. ……………………………………………3分 (Ⅱ) ∵12M =，∴11002M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, …………5分即在矩阵1M -所对应的变换作用下，有,2x x y y '=⎧⎨'=⎩，故,1.2x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 由221x y +=得221()12x y ''+=,即2214y x ''+=.本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.满分7分.解：(Ⅰ)22cos sin 1αα+= ，∴曲线1C 的普通方程为(1)122x y -+=.………1分∵曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，且0ρ=也满足题意，……2分∴曲线2C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=，∴曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=. ……………………………………3分 (Ⅱ)曲线12C C 和都是圆，两圆公共弦AB 的垂直平分线即过两圆圆心的直线.由(Ⅰ)得曲线1C 的圆心为（1，0），曲线2C 的圆心为（0，1），所以，线段AB 的垂直平分线的直角坐标方程为1x y +=，……5分其极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=，……6分化简得cos()42πρθ-=（或sin()42πρθ+=）.………7分 21（3）选修4—5：不等式选讲本小题主要考查绝对值的含义、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想.满分7分.解:(Ⅰ)∵1,(2),()2|2|539,(2).x x f x x x x x +⎧=--+=⎨-+<⎩≥ ……1分 ∴函数()f x 在区间(,2)-∞上单调递减,在区间[2,)+∞上单调递增, ……2分∵函数()f x 是连续函数（或讲：图象连续），∴函数()f x 的最小值(2) 3.m f == ……………………………3分(Ⅱ)由(Ⅰ)知3m =,原不等式为23x x ++>.当0x ≥时，不等式可化为：223x +>，解得12x >；当20x -<<时，不等式可化为：23x x -++>，无解；当2x ≤-时，不等式可化为：223x -->，解得52x <-. …………6分故不等式的解集为5122x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. ………………………7分[另解：也可通过考察函数2y x x =++的图象（转化为分段函数）与直线3y =的关系，得出不等式的解.参照参考答案类似给分.]。

2014福建省泉州市高三5月高考模拟理科数学试题及答案

泉州市2014届普通中学高中毕业班质量检测理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A 9. B 10．C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11、i -； 12、16； 13、65； 14、200； 15、4.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查组合数公式、概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）依题意，得0.6a b c ++=，即0.10.20.6a a a ++++=，解得0.1a =，…2分所以0.2,0.3b c ==.………………3分故该队员射击一次，击中目标靶的环数ξ的分布列为:60.170.280.390.36100.048.04E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………6分（Ⅱ）记事件A ：“该队员进行一次射击，击中9环”，事件B ：“该队员进行一次射击，击中10环”，则事件“该队员进行一次射击，击中9环以上（包括9环）”为A B +.………7分因为A 与B 互斥，且()0.36,()0.04P A P B ==，所以()()()0.4P A B P A P B +=+=. …………8分所以，该射击队员在10次的射击中，击中9环以上（含9环）的次数为k 的概率1010()0.40.6(0,1,2,,10)k k k P X k C k -==⨯⨯=. ………………10分当1k ≥,*k ∈N 时，101011101100.40.6()2(11)(1)0.40.63k k k k k k C P X k k P X k C k ----+⨯⨯=-===-⨯⨯. 令()1(1)P X k P X k =>=-，解得225k <. ………………12分所以当14k ≤≤时，(1)()P X k P X k =-<=；当510k ≤≤时，(1)()P X k P X k =->=.综上，可知当4k =时，()P X k =取得最大值.………………13分17．本小题主要考查平面向量、三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等．满分13分．解：（Ⅰ）()sin 222sin(2)3f x x x x π=⋅=-=-m n ， ………………2分由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z .……3分所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .………………4分（Ⅱ）由()02A f =，得2sin()03A π-=，因为0A π<<，所以3A π=.…………5分（ⅰ）由正弦定理，知cos cos sin a B b A c C +=可化为2sin cos sin cos sin A B B A C +=，……6分故2sin()sin A B C +=，………………7分又因为A B C π+=-，所以2sin()sin C C π-=即2sin sin C C =，因为sin 0C ≠，所以sin 1C =，又由于0C π<<，所以2C π=，………………8分所以()6B A C ππ=-+=.………………9分（ⅱ）AB AC λ+2222cos AB AB AC A AC λλ==+⋅+，…10分又3AB AC ==，3A π=，所以AB AC λ+2(1AB ==12分故当12λ=-时，()g AB AC λλ=+的值取得最小值………………13分另解：记AB AC AP λ+=，则P 是过B 且与AC 平行的直线l 上的动点，()||g AP λ=，…………12分所以()g λ的最小值即点A 到直线l …………13分 18．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）因为(4,0)A 为椭圆G 的一个长轴端点，所以可设椭圆G 的方程为222116x y b+=，………………1分因为当直线l 垂直x 轴时，6BC =，所以椭圆G 过点(2,3)，……2分所以249116b+=，解得212b =. ………………3分故所求椭圆的方程为2211612x y +=.………………4分（Ⅱ）方法1：设直线l 的方程为2x my =+，联立方程组2223448x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，得22(34)12360m y my ++-=，……5分设1122(,),(,)B x y C x y ，则1221234,m m y y +=-+……①1223634y m y ⋅=-+.……② …………6分又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ,………………7分故2112(4)(2)0x y x y --+=,即2112(2)(4)0my y my y --+=,即122y y =-.………③ …………9分由①②③得22212183434m m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭++，所以245m =.…………11分当245m =时，0∆>，所以m =，…………12分所以直线l的方程为2x y =+,即5100x --=或5100x +-=.…………13分方法2：①当直线l 的斜率不存在时，AC 与BF 不平行；………………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2),3448.y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=，…………6分设1122(,),(,)B x y C x y ，则12221634x k x k=++，…………① 2221164834x k k x -=+⋅…………② …………7分又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ， ………………8分故2112(4)(2)0x y x y --+=，即2112(4)(2)(2)(2)0k x x k x x ---+-=，即1226x x +=…………③ …………9分由①③得2122228183481834k x k k x k ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，代入②得2222228188181648343434k k k k k k-+-=+++………………11分化简，得254k =，当254k =时，0∆>，故k =，…………12分所以直线l的方程为5100x --=或5100x +-=.……13分19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分13分.解：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，又PA AB ⊥ ，PA AD A =，∴AB ⊥平面PAD ，…………2分又PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥………………3分（Ⅱ）点E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点,连结PE ，EF ，则,PE AD EFAB ⊥，又由（Ⅰ）知AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，又,AD PE ⊂平面PAD ，∴,EF AD EF PE ⊥⊥，………………4分如图，以点E 为坐标原点，分别以,,AD EF EP 所在直线为为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.由题设可知： PA PD AB AD ===，故不妨设2AB =，则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(0,2,0),A D B C F P --(1,2,PB =，(1,2,PC =-，………………5分AB ⊥平面PAD ， ∴平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)AB =，…………6分设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，,PB PC ⊥⊥n n ，∴00PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即2020x y x y ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得020x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令2z =，得y =∴平面PBC的一个法向量为=n .………………7分设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为θ,则cos cos ,7AB AB AB θ⋅=<>====n n n∴平面PAD 与平面PBC ……………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）已证得PE EF ⊥，则截面PEF ∆为直角三角形.111,22PEF PAD S EF EP AD EP S ∆∆=⋅=⋅== 2.EF EP ∴⋅=………………9分设PEF ∆的内切圆半径为,r 则1()12PEF S PE EF FP r ∆=++⋅=2r PE EF PF ∴==++≤=1,==………………10分∴当且仅当EF EP =时，PEF ∆有最大内切圆，其半径 1.r =此时EF EP = 2.PF =………………11分12PAB PCD S S PA AB ∆∆==⋅=11222PBC S BC PF ∆=⋅==1PAD S ∆=，2 2.ABCD S AD EF =⋅==设PEF ∆的内切圆圆心O 到侧面PAB 、侧面PCD 的距离为d ，则1111()3333P ABCD PAD PBC ABCD PAB PCD ABCD V r S S S d S d S EP S -∆∆∆∆∆=⋅+++⋅+⋅=⋅，即()2PAD PBC ABCD PAB ABCD r S S S d S EP S ∆∆∆∆⋅+++⋅=⋅，所以(1)12+=解得1.d r =>=………………12分 ∴在四棱锥P ABCD -的内部放入球心O 在截面PEF 中的球，其最大半径R 是1,该最大半径的球只能与四棱锥P ABCD -的三个面相切. ………13分20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）当23a =且1x >-时，22()ln(1)3f x x x =+-，214443(23)(21)'()133(1)3(1)x x x x f x x x x x --++-=-==-+++，…………2分令'()0f x >，因为1x >-，所以(23)(21)0x x +-<，解得112x -<<，所以函数()f x 的递增区间为1(1,)2-.…………4分（Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x =+，不等式()11f x x ≤+-即ln 1110x x +-++≤， …………5分令1t x =+，则0t >，此时不等式ln 1110x x +-++≤等价于不等式ln 10(0)t t t -+≤>. 令()ln 1t t t ϕ=-+，则11'()1tt t tϕ-=-=. …………7分令'()0t ϕ=，得1t =.(),'()t t ϕϕ随t 的变化情况如下表由表可知，当0t >时，()(1)0t ϕϕ≤=即ln 10t t -+≤.所以()11f x x ≤+-成立. …………9分（Ⅲ）当1x >-时，2()ln(1)f x x ax =+-，1'()21f x ax x =-+，所以直线l 的斜率'(0)1k f ==，又(0)0f =，所以直线l 的方程为y x =.令2()ln 1g x x ax x =+--，则命题“函数()y f x =的图象上存在点在直线l 的上方”可等价转化为命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，使得()0g x >.”……10分当1x >-时，2()ln(1)g x x ax x =+--,1'()211g x ax x =--+，当1x <-时，2()ln(1)g x x ax x =----,1'()211g x ax x =--+，所以，对(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，都有212(1)2(21)2'()11ax x ax a xa g x x x -++--+==++. ……11分令'()0g x =，解得0x =或212a x a+=-.①当0a >时，211a +-<-，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：又因为(1)ln ,(0)0224g a g a a a--=+-=，所以，为使命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，使得()0g x >.”成立，只需111(1)ln 0224g a a a a --=+->. 令12t a =，则111(1)ln 222g t t a t--=+-，令11()ln (0)22h t t t t t =-+>，因为2111'()022h t t t =++>，所以()h t 在(0,)+∞上为增函数，又注意到(1)0h =，所以当且仅当112t a =>，即102a <<时，()0h t >，故关于a 的不等式11ln024a a a +->的解集为102a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；…………13分 ②当0a ≤时，因为存在1x e =--使得2(1)2(1)0g e e a e --=+-+>恒成立，所以，总存在点(1,e --21(1))a e -+在直线l 的上方. 综合①②，可知a 的取值范围为12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. …………14分 21．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换解：(Ⅰ)由题意，可知存在实数(0)λλ≠，使得10200k k m λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………1分即0k kmk λ=⎧⎨=⎩， ………2分又因为0k ≠，所以10m λ=⎧⎨=⎩， ………3分所以0m =，特征向量0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭相应的特征值为1. …………4分(Ⅱ)因为1=-B ，所以11223--⎛⎫=⎪-⎝⎭B ， …………6分故1121014230226---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A . …………7分（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)将12,l l 的方程化为普通方程，得1:l y x =，2l ：220x y -+=，2分联立方程组220y x x y =⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以A 的坐标为(2,2)，………3分故点A 的极坐标)4π. …………4分（Ⅱ）将曲线C 的方程化为普通方程得228x y +=，…………5分所以曲线C 是圆心为(0,0)O ，半径为A (2,2)在曲线C 上.因为1OA k =，所以曲线C 过点A 的切线l 的斜率1l k =-，所以l 的方程为40x y +-=，……6分故l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=. …………7分（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）由已知得()2max326t t m m +--≤-………………1分因为323(2)5t t t t +--≤+--=（当且仅当2t ≥时取等号）………3分所以265m m -≥，解得15m ≤≤，所以实数m 的取值范围是1 5.m ≤≤………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知5λ=，所以3455x y z ++=.由柯西不等式，可得()()()222222234534525x y zx y z ++++≥++=, …5分所以22212x y z ++≥，当且仅当345x y z ==即321,,1052x y z ===时等号成立. ………6分故222x y z ++的最小值为1.2………………7分。

福建省2014届高三普通高中毕业班4月质检数学理试题版含答案

调函数．
其中正确的命题是
．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应分 13 分 )
已知函数 f x
3 sin x cos x cos2 x m 的图象过点（ 5 ，0）.
22
2
6
（ I）求实数 m 的值以及函数 f x 的单调递增区间；
2014 年福建省普通高中毕业班质量检查
理科数学
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的 .
1．下列函数中，值域为 (0, ) 的函数是 A ． f (x) 2x B． f (x) x C． f (x) lg x
D ． f ( x) x2
2．执行右图所示的程序框图．若输入的 n 的值为 3，则输出的 k 的值为
A． 2 B． 3
C． 4
D． 5
3．“ a 1”是“关于 x 的方程 x2 2x a 0 有实数根”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正
n n 3,n N 边形内的概率为 pn ，下列
19. (本小题满分 13 分 )
如图，设 P 是圆 O : x2 y2 2 上的点，过 P 作直线 l 垂直 x 轴于点 Q ， M 为 l 上一点，且
PQ 2 MQ ，当点 P 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）某同学研究发现：若把三角板的直角顶点放置在圆
（ II）设 y
f x 的图象与 x 轴、 y 轴及直线 x t （ 0 t

福建省泉州市2014届高三数学1月期末质检试题理新人教A版

某某号_________________________ 姓名_________________________〔在此卷上答题无效〕保密★启用前泉州市2014届普通中学高中毕业班单科质量检查理科数学本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕，第2卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，总分为150分.考试时间120分钟.须知事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、某某号填写在答题卡上.2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域〔黑色线框〕内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性〔签字〕笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =x 为样本平均数；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；球的外表积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径. 第1卷〔选择题共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题意要求的.1．集合{}(1)(2)0A x x x =--<，{B x x =<，如此A B =〔〕A ．(-B ．(C ．(D ．)2 2．假设复数1z i =+〔其中i 为虚数单位〕，z 为z 的共轭复数，如此如下结论正确的答案是〔〕A ．1z i =--B ．1z i =-+C ．D ．z =3．向量()()()2,3,1,4,,3k ===a b c ，()+⊥a b c ，如此实数k =〔〕A ．－7B ．－2C ．2D ．74．假设点(),x y 在曲线y x =-与2y =-所围成的封闭区域内〔包括边界〕，如此2x y -的最大值为〔〕A ．－6B ．4C ．6D ．85．函数2()2sin cos 2cos f x x x x =-，如此函数()y f x =的图象的一个对称中心为〔〕A ．,1)8π（ B ．,1)8π-( C ．,1)4π（ D ．,1)4π-（ 6．如下命题中正确的答案是〔〕A ．“1cos 2α=〞是“3πα=〞的充分不必要条件 B ．函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，如此()()0f a f b ⋅<C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件是2*12()n n n a a a n N ++=∈D ．命题“,20x x R ∀∈>〞的否认是“,20x x R ∃∈≤〞.7．设,,l m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，如下命题中正确的答案是〔〕A ．假设l α，m α⊂，如此l mB ．假设,m n n α⊂，如此m αC ．假设α不垂直于β，如此α内不存在直线垂直于βD ．假设αβ⊥，l α，如此l β⊥8．椭圆221:143x y C +=，双曲线22222:1(,0)x y C m n m n-=>，椭圆1C 的焦点和长轴端点分别是双曲线2C 的顶点和焦点，如此双曲线2C 的渐近线必不经过点〔〕A ．B ．C ．D ．3)-9．函数()322()(4)f x x b a x a b x =+-+-是奇函数，如此(0)f '的最小值是〔〕A ．－4B ．0C ．1D ．410．函数(0)()ln (0)xe xf x xx ⎧≤=⎨>⎩，如此函数[()]1y f f x =-的零点个数为〔〕. A ．1B ．2C ．3D ．4某某号_________________________ 姓名_________________________〔在此卷上答题无效〕保密★启用前泉州市2014届普通中学高中毕业班单科质量检查理科数学第2卷〔非选择题共100分〕须知事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.二、填空题：本大题共5小题，每一小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.11．假设()0(21)20tx dx t +=>⎰，如此t =_______________. 12．某零件的三视图与尺寸如下列图，如此该零件的体积是____________.13．在平面直角坐标系xOy 中，直线(2)y k x =+与圆交于,A B 两点，且2OA OB ⋅=-,如此实数k 的值是__________________．14．函数()245f x x x =++，假设二次函数()y g x =满足：①()y f x =与()y g x =的图象在点(1,10)P 处有公共切线；②()()y f x g x =+是R 上的单调函数.如此()g x =.15．“横看成岭侧成峰，远近上下各不同.〞同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.在数学的解题中，倘假设能恰当地改变分析问题的角度，往往会有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村〞的豁然开朗之感.阅读以下问题与其解答：问题：对任意[1,1]a ∈-，不等式220x ax +-≤恒成立，求实数x 的取值范围.解：令2()(2)f a xa x =+-，如此对任意[1,1]a ∈-，不等式220x ax +-≤恒成立只需满足222020x x x x ⎧--≤⎪⎨+-≤⎪⎩，所以11x -≤≤. 类比其中所用的方法，可解得关于x 的方程322()0(0)x ax x a a a ---+=<的根为_______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．〔本小题总分为13分〕等差数列{}n a 满足13a =，1210120a a a +++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()*21n n S b n N =-∈，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.17．〔本小题总分为13分〕如图，多面体ABCDEF 中，,,BA BC BE 两两垂直，且AB EF ，CD BE ，2AB BE ==，1BC CD EF ===.〔Ⅰ〕假设点G 在线段AB 上，且3BG GA =，求证：CG平面ADF ；〔Ⅱ〕求直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值.18．〔本小题总分为13分〕抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点()03,M y 到焦点F 的距离等于4.〔Ⅰ〕求抛物线C 的方程；〔Ⅱ〕假设过点(4,0)的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，求ABO ∆面积的最小值.19.〔本小题总分为13分〕如图，景点A 在景点B 的正北方向2千米处，景点C 在景点B 的正东方向.〔Ⅰ〕游客甲沿CA 从景点C 出发行至与景点B 千米的点P 处, 记=PBC α∠，求sin α的值；〔Ⅱ〕甲沿CA 从景点C 出发前往景点A ，乙沿AB 从景点A 出发前往景点B ，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时.假设甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？〔准确到0.13.9≈≈〕20．〔本小题总分为14分〕2()(12)x f x e x mx m =++-，其中m R ∈.〔Ⅰ〕当1m =时，求函数()y f x =单调递增区间；〔Ⅱ〕求证：对任意m R ∈，函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线恒过定点；〔Ⅲ〕是否存在实数的值，使得()y f x =在(,)-∞+∞上有最大值或最小值，假设存在，求出实数的取值范围；假设不存在，请说明理由.21．此题有〔1〕、〔2〕、〔3〕三个选答题，每一小题7分，请考生任选2个小题作答，总分为14分．每个答题框内只能解答1个小题，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．〔1〕〔本小题总分为7分〕选修4—2:矩阵与变换矩阵10102M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦.(Ⅰ)求23,M M ，并猜测n M 的表达式；(Ⅱ)试求曲线221x y +=在矩阵1M -变换下所得曲线的方程.〔2〕〔本小题总分为7分〕选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中,曲线1C 的参数方程为1cos cos x y αα=-⎧⎨=⎩〔α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线2C 的方程为sin 2ρθ=.(Ⅰ)求1C 和2C 的普通方程:(Ⅱ)求1C 和2C 公共弦的垂直平分线的极坐标方程.〔3〕〔本小题总分为7分〕选修4—5：不等式选讲设函数()f x =225x x --+的最小值为.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)解不等式2x x m ++>.保密★启用前泉州市2014届普通中学高中毕业班单科质量检查理科数学试题参考解答与评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细如此．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继局部的给分，但不得超过该局部正确解答应给分数的一半；如果后继局部的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查根底知识和根本运算．每一小题5分，总分为50分．1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．A 10．B二、填空题：本大题考查根底知识和根本运算．每一小题4分，总分为20分.11．112．163π+ 13. 3-或314．283x x -++15．123111,22x a x x -+-=+== 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．解：设数列{}n a 的公差为d . ∵1210109103+1202a a a d ⨯+++=⨯⨯=， ∴2d =………………………………………………………………………………………………3分∴1(1)21n a a n d n =+-=+……………………………………………………………………………6分∵()*21n n S b n N =-∈……………………………………①当2n ≥时，1121n n S b --=-………………………………②①—②得122n n n b b b -=-即12n n b b -=…………………………………………………………………10分当1n =时，1121S b =-，解得11b =∴数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列 …………………………………………………………12分∴11122n n n b b --=⨯=……………………………………………………………………………………13分17．解：〔Ⅰ〕分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，如此有,AG GM MF BE =.∵AH HF = ∴12GH MF …………………………………………………………………………………………2分又∵1,2CDBE BE MF ∴CD GH∴四边形CDHG 是平行四边形∴CGDH (4)分又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面∴CG 平面ADF …………………………………………………………………………………6分〔Ⅱ〕如图，以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.如此(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,1)A C D E F(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)DE DA FA =-=--=-………………………………………………………7分设平面ADF 的一个法向量(,,)n x y z =，如此有2020n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简，得32x y z y =⎧⎨=⎩ 令1y =，得(3,1,2)n =……………………………………………………………………………………10分设直线CG 与平面ADF 所成的角为θ，如此有7sin 7n DE n DE θ⋅==⋅. ……………………………13分 18．解：〔Ⅰ〕依题意可知342p MF =+=，∴2p =.故抛物线C 的方程为：24y x =.……………5分〔Ⅱ〕解法1：设()11,A x y ，()22,B x y①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为4x =，联立方程组244y x x ⎧=⎨=⎩，解得124,4y y =-=1214162ABC S y y ∆=⨯⨯-=. ………………………………………………………………8分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线:(4)(0)l y k x k =-≠.联立方程组24(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去x 得24160y y k --= 124y y k +=，1216y y ⋅=-………………………………………………………………11分综合①②可得当直线l 的斜率不存在时，ABC S ∆取得最小值16. ………………………………13分解法2：设直线:4l x ty =+.()11,A x y ，()22,B x y ……………………………………………………7分联立方程组244y x x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x 得24160y ty --=124y y t+=，1216y y ⋅=-…………………………………………………………………………10分当0t =时， ABC S ∆取得最小值16. ……………………………………………………………………13分19.解:〔Ⅰ〕解法1：在Rt ABC ∆中，2,AB BC ===30C ∠在PBC ∆中，由余弦定理得222+2cos30=BC PC BC PC BP -⋅⋅，即212+2=72PC PC -⨯⨯化简，得26+5=0PC PC -，解得=1PC 或5PC =〔舍去〕 …………………………………3分在PBC ∆中，由正弦定理得sin sin 30PC PBα=，即∴sin α=…………………………………………………………………………………………6分解法2：在Rt ABC ∆中，2,AB BC ===30C ∠在PBC ∆中，由正弦定理得sin 30sin 180(30)BP BCα=⎡⎤-+⎣⎦，即1sin(30)2α=+ ∴3sin(30)=7α+…………3分∵BPC ∠为钝角，且180(30)BPC α∠=-+ ∴303090α<+< ∴ 2cos(30)=7α+∴sin sin[(30)30]=sin(30)cos30cos(30)sin 30αααα=+-+-+1=2214=.…………………………………………………………………6分解法3：过点B 作BD AC ⊥于点D ,如此BD =又∵BP =2DP =记PBD β∠=，如此sinββ==………………………………………………………3分∴………………6分〔Ⅱ〕解法1：Rt ABC ∆中，2,4BA BC AC ====设甲出发后的时间为t 小时，如此由题意可知04t ≤≤，设甲在线段CA 上的位置为点M ，4AM t =-①当01t ≤≤时，设乙在线段AB 上的位置为点Q ，如此2AQ t =在AMQ∆中，由余弦定理得，()()()222242224cos6071616MQ t t t t t t ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+令3MQ >即29MQ >，得271670t t -+>，解得87t <或87t >∴0t ≤<………9分②当14t <≤时，乙在景点B 处在ABM∆中，由余弦定理得，()()22244224cos60612MB t t t t ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+令3BM >即29BM >，得2630t t -+>，解得3t <或t >当14t <≤时，不合题意 ………………………………………………………………………12分综上，当807t ≤<时，甲、乙间的距离大于3米.又0.6≈，故两人不能通话的时间大约为0.6小时…………………………………………13分解法2：Rt ABC ∆中，2,4BA BC AC ===设甲出发后的时间为t 小时，如此由题意可知04t ≤≤，设甲在线段CA 上的位置为点M ，4AM t =-在PBC ∆中，由余弦定理得2222cos30BC PC BC PC BP +-⋅⋅=，即21227PC PC +-⨯=，化简得2650PC PC -+= 解得1PC =或5PC =〔舍去〕①当14t ≤≤时，乙在景点B 处，甲在线段PA 上，甲乙间的距离3d BP ≤<，此时不合题意；………………………………………………………………………9分 ②当01t ≤<时，设乙在线段AB 上的位置为点Q ，如此2AQ t = 在AMQ∆中，由余弦定理得，()()()222242224cos6071616MQ t t t t t t ︒=-+-⨯⨯-⨯=-+令3MQ >即29MQ >，得271670t t -+>，解得t <t >∴0t ≤<…12分综上，当807t ≤<时，甲、乙间的距离大于3米.又80.67-≈，故两人不能通话的时间大约为0.6小时 ………………………………………13分20．解：〔Ⅰ〕当1m =时，2()(1)xf x e x x =+-，2'()(3)xf x e x x =+ 令()0f x >，得03x x ><-或 ∴函数()y f x =的单调递增区间为(,3),(0,)-∞-+∞………………………………………………4分〔Ⅱ〕解法1：2'()[(2)(1)]xf x e x m x m =+++-(0)1,'(0)12f m f m =-=-函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为(12)(1)(0)y m m x --=-- 即(1)210m x y m -++-=令0m =，如此有10x y -+=…………………………………① 令1m =，如此有1y =-…………………………………………②由①②，解得21x y =-⎧⎨=-⎩经检验，点(2,1)--满足直线的方程(1)210m x y m -++-=∴函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程(1)210m x y m -++-=经过定点(2,1)--.………………………………………………………………………………………9分解法2：2'()[(2)(1)]xf x e x m x m =+++-(0)1,'(0)12f m f m =-=-∴函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为(12)(1)(0)y m m x --=--即(1)210m x y m -++-=方程(1)210m x y m -++-=可化为(2)(1)0m x x y +--+=当2010x x y +=⎧⎨-+=⎩即21x y =-⎧⎨=-⎩时，对任意m R ∈，(1)210m x y m -++-=恒成立∴函数()y f x =的图象在点(0,(0))f 处的切线方程(1)210m x y m -++-=经过定点(2,1)--.………………………………………………………………………………………9分〔Ⅲ〕解法1：2'()[(2)(1)]x f x e x m x m =+++-令2112y x mx m =++-，22(2)(1)y x m x m =+++-2214(12)84m m m m ∆=--=+-，222(2)4(1)8m m m m ∆=+--=+①当20∆≤即80m -≤≤时，2(2)(1)0y x m x m =+++-≥ ∴2'()[(2)(1)]0xf x e x m x m =+++-≥ ∴()y f x =在(,)-∞+∞上单调递增 ∴()y f x =在(,)-∞+∞上不存在最大值和最小值.…………………………………………11分②当20∆>即8m <-或0m >时，设方程2(2)(1)0x m x m +++-=的两根为12,x x'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表： x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞'()f x ＋ 0 － 0 ＋ ()f x递增极大值递减极小值递增当x →-∞时，()0f x >，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞∴要使()y f x =在(,)-∞+∞上有最大值或最小值，只需满足2()0f x ≤即10y ≤有解∴2214(12)840m m m m ∆=--=+-≥，解得4m ≤--或4m ≥-+综上可得，4m ≤--或4m ≥-+14分解法2：2'()[(2)(1)]x f x e x m x m =+++-令2112y x mx m =++-，22(2)(1)y x m x m =+++-2214(12)84m m m m ∆=--=+-，222(2)4(1)8m m m m ∆=+--=+①当20∆≤即80m -≤≤时，2(2)(1)0y x m x m =+++-≥ ∴2'()[(2)(1)]0xf x e x m x m =+++-≥ ∴()y f x =在(,)-∞+∞上单调递增 ∴()y f x =在(,)-∞+∞上不存在最大值和最小值.……………………………………………11分②当20∆>即8m <-或0m >时，设方程2(2)(1)0x m x m +++-=的两根为12,x x12(2)(2)22m m x x -+--++=='(),()f x f x 随x 的变化情况如下表： x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞'()f x ＋ 0 － 0 ＋ ()f x递增极大值递减极小值递增当x →-∞时，()0f x >，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞ ∴要使()y f x =在(,)-∞+∞上有最大值或最小值，只需满足2()0f x ≤222222222()12[(2)(1)]220f x x mx m x m x m x m m x =++-=+++---=--≤∴(2)2202m m m m -++-⨯-=+≤ 化简，得2840m m +-≥解得4m ≤--4m ≥-+综上可得，4m ≤--或4m ≥-+14分21．此题有〔1〕、〔2〕、〔3〕三个选答题，每一小题7分，请考生任选2个小题作答，总分为14分．每个答题框内只能解答1个小题，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．〔1〕解：(Ⅰ) 2101010111000224M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦32101010111000842M M M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦猜测10102n n M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦……………………………………………………………………………3分(Ⅱ) ∵12M =，∴11002M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 即在矩阵1M -的变换下有2x x y y '=⎧⎨'=⎩，故12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩由221x y +=得221()12x y ''+=,即2214y x ''+= 故曲线221x y +=在矩阵1M -变换下所得曲线的方程为2214y x +=.……………………………7分〔2〕解：(Ⅰ)22cos sin 1αα+=，故1C 的普通方程为(1)122x y -+=.又曲线2C 的方程为2sin ρθ= 故2220x y y +-=.………………………………………………………………………………………4分(Ⅱ)12C C 和公共弦的垂直平分线即过两圆圆心的直线，由(Ⅰ)得1C 的圆心为〔1，0〕，2C 的圆心为〔0，1〕，故直线方程为1x y +=，即其极坐标方程是cos()42πρθ-=.………………………………7分〔3〕解:(Ⅰ)1,(2)()2|2|539,(2)x x f x x x x x +⎧=--+=⎨-+<⎩≥显然,函数()f x 在区间(,2)-∞上单调递减,在区间[2,)+∞上单调递增, 所以函数()f x 的最小值(2) 3.m f ==……………………………………………………………3分(Ⅱ)由(Ⅰ)知3m =,23x x ++≥,当0x ≥时，不等式可化为：223x +>，解得12x >；当20x -<<时，不等式可化为：23x x -++>，无解；当2x ≤-时，不等式可化为：223x -->，解得52x <-；故不等式的解集为5122x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. ……………………………………………………………7分。

2014福建省普通高中毕业班质量检查(理科数学)试卷及答案

1．A ； 2．B ； 3．A ； 4．A ；5．A ；6．D ；7．C ；8．D ；9．C ；10．A ． 11．1+i ； 12．20； 13．8； 14．2nn +； 15．①． 16．解法一：（I ）()2cos cos 222x x x f x m =++11cos 22x x m =+++ 1sin 62x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭． ……………………3分因为()f x 的图象过点（56π，0），所以51sin 0662m ππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，解得12m =-. ………5分所以()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由22262k x k πππ-+π≤+≤+π，得22233k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z . 故()f x 的单调递增区间是22,233k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ……………7分（Ⅱ）由（I ）得，()1cos 2f x x x =+.所以01cos 2t S x x dx ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎰ ……………9分01sin 22t x =-+11sint 0sin 022⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 32t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． ……………12分所以()sin 32S t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（203t π<<）. ……………13分解法二：(Ⅰ)因为函数()f x 的图象过点（56π，0），所以506f ⎛⎫π= ⎪⎝⎭.又25555cos cos 6121212f m ⎛⎫π=ππ+π+ ⎪⎝⎭5151cos 6262m =π+π++1122m m =++=+. ………………3分所以102m +=，解得12m =-. ………………5分以下同解法一.（II ）由（I ）得()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以0sin 6tS x dx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ ……………9分 0cos 6t x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭cos 6t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ………………12分所以()cos 6S t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭（203t π<<）. ………………13分17．本题主要考查频率分布直方图、样本平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）依题意可知，该地区吸烟者人数占总人数的18． ……………..2分所以抽取的3个人中至少1人吸烟的概率为0033171()()88p C =-……………..5分169512=． ……………..6分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，吸烟者烟草消费支出的平均数为0.150.10.250.30.350.30.450.10.550.10.650.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.36=（万元）． ……………..8分又该地区吸烟者人数为11008⨯万， ……………..10分所以该地区年均烟草消费税为41100100.40.36180008⨯⨯⨯⨯=（万元）．……………..12分又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为18800万元，它超过了当地烟草消费税，所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．……………..13分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．解：（I ）取AB 中点O ，连接OM ，OC.∵M 为A 1B 1中点，∴MO ∥A 1A ，又A 1A ⊥平面ABC ，∴MO ⊥平面ABC ，∴MO ⊥AB …………….2分 ∵△ABC 为正三角形，∴AB ⊥CO 又MO ∩CO=O ，∴AB ⊥平面OMC 又∵MC ⊂平面OMC ∴AB ⊥MC ……………5分（II ）以O 为原点，以OB ，OC ，M O 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．如图.依题意(0,0,0),(2,0,0),(2,0,0),O A B C M -． …………….6分设)(0P t t ≤≤，则(0,23,26),(4,0,0),(0,2)MC AB OP t =-==．………….7分要使直线MC ⊥平面ABP ，只要0,0.MC OP MC AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩即20-=，解得t =…………….8分 ∴P 的坐标为．∴当P 为线段1CC 的中点时，MC ⊥平面ABP ．…………….10分（Ⅲ）取线段AC 的中点D，则(1D -，易知DB ⊥平面11A ACC ，故(3,DB =为平面PAC 的一个法向量．……….11分又由（II）知MC =-为平面PAB 的一个法向量． …………….12分设二面角B AP C --的平面角为α，则3cos 6MC DB MC DBα⨯===． ∴二面角B AP C -- ． …………….13分 19．本小题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分．解：（Ⅰ）设M (,)x y ，P (,)p p x y ，因为PQ 垂直x 轴于点Q ，M 为直线l 上一点，且2PQ MQ =，所以p x x =，p y =，…………….2分因为点P 在圆22:2O x y +=上，所以222p p x y +=即22)2x +=，整理得2212x y +=．故曲线Γ的方程为2212x y +=．…………….4分（Ⅱ）设三角板的直角顶点放置在圆O 的圆周上的点(,)N a b 处，则222a b +=，又设三角板的另一条直角边所在直线为l '．（ⅰ）当1a =时，直线NF x ⊥轴，:1l y '=±，显然l '与曲线Γ有且只有一个公共点．……………5分（ⅱ）当1a ≠时，则1NF b k a =-. 若0b =时，则直线l '：x =l '与曲线有且只有一个公共点；………6分若0b ≠时，则直线l '的斜率1ak b-=，所以()1:a l y b x a b -'-=-，即12a ay x b b--=+ ，……………7分由221,212,x y a a y x b b ⎧+=⎪⎪⎨--⎪=+⎪⎩得()()2222212112102a a a a x x b b b ⎡⎤⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++⋅+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即()()()()2222221412220b a x a a x a b ⎡⎤⎡⎤+-+--⋅+--=⎣⎦⎣⎦．（*）又222b a =-， ……………8分所以方程（*）可化为()()()()2222412410a x a a x a -+--⋅+-=，所以()()()()22241216210a a a a ∆=-----=⎡⎤⎣⎦， ……………9分所以直线l '与曲线Γ有且只有一个公共点．综上述，该同学的结论正确。

福建省泉州七中2014届高三年校质检(一)理科数学

准考证号________________姓名________________（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州七中2014届高三年校质检（一）理科数学命卷人：彭耿铃审核：高三备课组参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x的标准差：s =x 为样本平均数；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．独立性检验临界值表第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD. 34,p p2.如图所示的程序框图，若输出的S 是30，则①可以为（）A ．2?n ≤B ．3?n ≤C ．4?n ≤D ．5?n ≤3．若变量y x ,满足约束条件2010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则实数2z x y =+ ()A.有最小值，有最大值B. 有最小值，无最大值C.无最小值，有最大值 D .无最小值，无最大值 4．为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了60名高中生，A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B. 有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 5.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则1012333log log log a a a +++=（）()2第题A. 12B. 10C. 31og 5+D. 32og 5+6.已知()24f x x x =++-的最小值为n ，则2()n x x-的展开式中常数项为（）A. 160-B. 20- C . 20 D. 1607.已知正方体1111ABCD A B C D -中，线段11B A ，11B C 上（不包括端点）各有一点P ，Q ，且11B P B Q =，下列说法中，不正确的是（）A. A 、C 、P 、Q 四点共面；B. 直线PQ 与平面11BCC B 所成的角为定值；C.32PAC ππ<∠<； D.设二面角P AC B --的大小为θ，则tan θ8.已知点()1,0A ,若曲线Γ上存在四个点B ,C ,D ,E ,使得ABC ∆和ADE ∆都是正三角形，则称曲线Γ为“黄金曲线”，给定下列四条曲线：①2430x y +=；②2214x y +=；③2212x y +=；④2213x y -=。