广西南宁市2019-2020学年高三第一次适应性测试数学(理)试题
广西南宁三中2019届高考适应性月考卷(三)理数-答案
h(x)
2ln x x2
x
1 x
e(x 0)
，则
h(x)
2
4 ln
x x3
x3
x
，可知
t(x)
2
4 ln
x
x3
x
在
(0，
)
上为减函数，又
t(1)
0
，所以当
x 1 时， t(x) 0 ；当 0 x 1时， t(x) 0 ，所以当 x 1 时， h(x) 0 ；当 0 x 1时，
20．（本小题满分 12 分）
bc 3，
解：（1）依题意，得
ab
2，
a2 b2 c2，
…………………………………………（3 分）
c 3，
解得
a
2，
b 1，
…………………………………………………………（4 分）
故椭圆
C
的方程为
x2 4
y2
1．
………………………………………………（5 分）
∵
sin
2
π 12
0，
|
|
π 2
，
∴
π 6
，
……………………………………………………………………（2 分）
∴
f
(x)
sin
2x
π 6
．
……………………………………………………（4 分）
又由
2kπ
π 2
≤
2x
π 6
≤
2kπ
π 2
，
k
Z
，∴
kπ
π 3
≤
x
≤
kπ
π 6
，
k
Z
广西南宁市2019届高三第一次适应性测试理数试题
广西南宁市2019届高三第一次适应性测试理数试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 已知集合2{|20}A x x =->，{|0}B x x =>，则A B =（ ）A．(0 B ．(2)(0)-∞-+∞，， C．)+∞D．((0)-∞+∞，，2.复数13i i -=+ （ ） A ．931010i - B ．131010i + C ．931010i + D ．131010i - 3. 以下关于双曲线M ：228x y -=的判断正确的是（ ）A ．M 的离心率为2B ．M 的实轴长为2C.M 的焦距为16 D ．M 的渐近线方程为y x =±4.若角α的终边经过点(1-， ，则tan()3πα+= （ ） A． B．-5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（ ）A ．51296π-B ．296 C.51224π- D ．5126.设x ，y 满足约束条件330280440x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≤≥，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8 C.3 D ．47.执行如图所示的程序框图，若输入的11k =，则输出的S =（ ）A．12 B．13 C.15 D．188.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC△三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S=若2sin24sina C A=，2-+=-，则用“三斜求积公式”求得的S=（）(sin sin)()(27)sina C B cb a AA B9.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于100的产品为优质产品.现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值（都在区间[90110]，，，内），将这些数据分成4组：[9095)，，[95100)，，得到如下两个频率分布直方图：，，[105110][100105)已知这2种配方生产的产品利润y（单位：百元）与其质量指标值t的关系式均为19509510011001052105t t y t t -<⎧⎪<⎪=⎨<⎪⎪⎩，，≤，≤，≥. 若以上面数据的频率作为概率，分别从用A 配方和B 配方生产的产品中随机抽取一件，且抽取的这2 件产品相互独立，则抽得的这两件产品利润之和为0 的概率为（ ）A ．0.125B ．0.195 C.0.215 D ．0.23510. 设38a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c << C.b a c << D ．b c a <<11. 将函数sin 2cos2y x x =+的图象向左平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度后得到()f x 的图象，若()f x 在5()4ππ，上单调递减，则ϕ的取值范围为（ ）A ．3()88ππ，B ．()42ππ， C.3[]88ππ， D ．[)42ππ， 12.过圆P ：221(1)4x y ++= 的圆心P 的直线与抛物线C ：23y x = 相交于A ，B 两点，且3PB PA =，则点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为（ ）A ．116B ．2 C.136 D ．73二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=2，S 5=12，则a 6等于 ． 14．（x +）（2x ﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．15．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 、Q 分别是边AB 、BC 边上的动点，且，则的最小值为 ．16．定义域为R 的偶函数f （x ）满足对∀x ∈R ，有f （x +2）=f （x ）﹣f （1），且当x ∈[2，3]时，f （x ）=﹣2x 2+12x ﹣18，若函数y=f （x ）﹣log a （|x |+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．如图，在四边形ABCD 中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．（Ⅰ）求sin ∠ABD 的值；（Ⅱ）求△BCD 的面积．18．为了解某商场旅游鞋的日销售情况，现抽取部分顾客购鞋的尺码，将所得数据绘成如图所示频率分布直方图，已知图中从左到右前三组的频率之比为1：2：3，第二组的频数为10．（1）用频率估计概率，求尺码落在区间（37.5，43.5]概率约是多少？（2）从尺码落在区间（37.5，39.5]（43.5，45.5]顾客中任意选取两人，记在区间（43.5，45.5]的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（1）求证：AB⊥PC；（2）求侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值．20．已知圆C：（x+1）2+y2=20，点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB 的垂直平分线与线段AC交于点P．（I）求动点P的轨迹C1的方程；（Ⅱ）设，N为抛物线C2：y=x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线C l于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）e x（a为实数）．（1）当a=4时，求函数y=g（x）在x=0处的切线方程；（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）如果关于x的方程g（x）=2e x f（x）在区间[，e]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式]23．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．广西南宁市2019届高三第一次适应性测试理数试题参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1-5:DADBC 6-10:ACDBA 11、12：CC二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=2，S5=12，则a6等于3．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的求和公式和已知条件可得公差d的方程，解方程可得d，由通项公式可得a6的值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，S5=12，∴S5=5a1+d=10+10d=12，解得d=，∴a6=2+5×=3，故答案为：3．14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40．【考点】二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值来，然后再由规律求出常数项【解答】解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40故答案为4015．已知正方形ABCD的边长为2，点P、Q分别是边AB、BC边上的动点，且，则的最小值为3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立坐标系，如图所示根据，可得=0，求得x=y．化简为（x﹣1）2+3，利用二次函数的性质求得它的最小值．【解答】解：如图，分别以AB、AD所在的直线为x、y轴，建立坐标系，如图所示：则A（0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D （0，2），设点P（x，0）、Q（2，y），x、y∈[0，2]，∴=（x，﹣2），=（2，y）．由，可得=2x﹣2y=0，即x=y．∴=（x﹣2，﹣2）•（x﹣2，﹣y）=（x﹣2）2+2y=x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3≥3，则的最小值为3，故答案为：3．16．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【考点】抽象函数及其应用；函数的零点．【分析】令x=﹣1，求出f（1），可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，画出图形，根据函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，即log a3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．（Ⅰ）求sin∠ABD的值；（Ⅱ）求△BCD的面积．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）由余弦定理求得BD，再由正弦定理求得sin∠ABD的值；（Ⅱ）由余弦定理求得cosC，进而求得sinC，最后根据三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（Ⅰ）已知A=60°，由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=7，解得，由正弦定理，，所以=．（Ⅱ）在△BCD中，BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，所以7=4+4﹣2×2×2cosC，，因为C∈（0，π），所以，所以，△BCD的面积．18．为了解某商场旅游鞋的日销售情况，现抽取部分顾客购鞋的尺码，将所得数据绘成如图所示频率分布直方图，已知图中从左到右前三组的频率之比为1：2：3，第二组的频数为10．（1）用频率估计概率，求尺码落在区间（37.5，43.5]概率约是多少？（2）从尺码落在区间（37.5，39.5]（43.5，45.5]顾客中任意选取两人，记在区间（43.5，45.5]的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）通过频率分布直方图第四组第五组的频率．再由频率之比和互斥事件的和事件的概率等于概率之和求解即可．（2）设抽取的顾客人数为n，求出n．尺码落在区间（43.5，45.5]的人数为3人，得到X可能取到的值，然后求出概率，得到期望．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图第四组第五组的频率分别为0.175，0.075．再由频率之比和互斥事件的和事件的概率等于概率之和：P=0.25+0.375+0.175=0.8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）设抽取的顾客人数为n，则由已知可得n=40．尺码落在区间（43.5，45.5]的人数为3人，所以可知X可能取到的值为0，1，2．又尺码落在区间（37.5，39.5]的人数为10人，所以：P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以X的数学期望EX=﹣﹣﹣﹣19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（1）求证：AB⊥PC；（2）求侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取AB的中点O，连结PO，CO，AC，推导出PO⊥AB，CO⊥AB，从而AB⊥平面PCO，由此能证明AB⊥PC．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AB的中点O，连结PO，CO，AC，∵△APB为等腰三角形，∴PO⊥AB，又∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴△ABC是等边三角形，∴CO⊥AB，又OC∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，又PC⊂平面PCO，∴AB⊥PC．解：（2）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=，∴OP==1，OC==，∴PC2=OP2+OC2，∴OP⊥OC，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），C（，0，0），P（0，0，1），D（），=（），=（0，﹣1，1），=（，﹣1），设=（x，y，z）是平面BPC的一个法向量，则，取x=1，得=（1，），设平面DPC的一个法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，），∴cos＜＞===，∴侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值为．20．已知圆C：（x+1）2+y2=20，点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB 的垂直平分线与线段AC交于点P．（I）求动点P的轨迹C1的方程；（Ⅱ）设，N为抛物线C2：y=x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线C l于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知可得动点P的轨迹C1是一个椭圆，其中，2c=2，由此能求出动点P的轨迹C1的方程．（Ⅱ）设N（t，t2），则PQ的方程为y=2tx﹣t2，联立方程组，得：（4+20t2）x2﹣20t3x+5t4﹣20=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式，结合已知条件能求出三角形面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，点P满足∴动点P的轨迹C1是一个椭圆，其中，2c=2…∴动点P的轨迹C1的方程为．…（Ⅱ）设N（t，t2），则PQ的方程为：y﹣t2=2t（x﹣t），整理，得y=2tx﹣t2，联立方程组，消去y整理得：（4+20t2）x2﹣20t3x+5t4﹣20=0，…有，而，点M到PQ的高为，…由代入化简得：即；当且仅当t2=10时，S△MPQ可取最大值．当直线的斜率不存在时，x=t，S△MPQ=．∴S△MPQ最大值．…21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）e x（a为实数）．（1）当a=4时，求函数y=g（x）在x=0处的切线方程；（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）如果关于x的方程g（x）=2e x f（x）在区间[，e]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）把a=4代入函数g（x）的解析式，求出导数，得到g（0）和g′（0），由直线方程的点斜式得切线方程；（2）利用导数求出函数f（x）在[t，t+2]上的单调区间，求出极值和区间端点值，比较大小后得到f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2e x f（x），分离变量a，然后构造函数，由导数求出其在[，e]上的最大值和最小值，则实数a的取值范围可求．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，g（x）=（﹣x2+4x﹣3）e x，g（0）=﹣3．g′（x）=（﹣x2+2x+1）e x，故切线的斜率为g′（0）=1，∴切线方程为：y+3=x﹣0，即y=x﹣3；）﹣0 +f（x）单调递减极小值（最小值）单调递增①当时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，∴f（x）min=f（t）=tlnt；②当时，在区间上f（x）为减函数，在区间上f（x）为增函数，∴；（Ⅲ）由g（x）=2e x f（x），可得：2xlnx=﹣x2+ax﹣3，，令，．1﹣0h（x）单调递减极小值（最小值）单调递增∵，h（1）=4，h（e）=，．∴关于x的方程g（x）=2e x f（x）在区间[，e]上有两个不等实根，则．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．[选修4-5：不等式]23．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）（x﹣2）=3，即可求m的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b+c=3，再由三元柯西不等式即可得证．【解答】（Ⅰ）解：因为|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）（x﹣2）=3当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，所以f（x）的最小值等于3，即m=3（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a+b+c=3，又a，b，c是正实数，所以（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=9，所以a2+b2+c2≥3。
广西南宁2019高三第一次适应性测试-数学(理)
广西南宁2019高三第一次适应性测试-数学（理）数 学 试 题〔理〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一 并交回。
第I 卷本卷须知1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清晰，并贴好条形码。
请认真核对条形码上的准考证号、姓名和科目。
2、每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3、第I 卷，共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
【一】选择题 1、设复数3,2iZ Z Z i+=-+为的共轭复数，那么Z 为〔 〕A 、1+iB 、2+iC 、2-iD 、-1+i 2、函数2log (1)(1)a y x x =++>-的反函数为 〔 〕A 、2(2)x y a x -=-> B 、21()x y a x R -=-∈C 、21(2)x y ax +=-> D 、21()x y a x R +=-∈A 、2x y +=B 、2x y +>C 、222x y +>D 、1xy > 4、等比数列{}n a 中，2380a a +=，那么62S s = 〔〕A 、-10B 、10C 、20D 、215、设函数()2cos(2)4f x x π=-，将()y f x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位，使得到的图像关于原点对称，那么ϕ的最小值为 〔〕A 、8π B 、38π C 、4π D 、34π 6、在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱 AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上一点，且A 1G (01)λλ=≤≤， 那么点G 到平面D 1EF 的距离为〔〕ABC D 7、从6个运动员中选出4人参加4×100米的接力赛，假如甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方法的种数为 〔〕 A 、360 B 、240 C 、180 D 、120 8、函数()xf x eax -=+存在与直线20x y -=平行的切线，那么实数a 的取值范围是〔〕A 、(],2-∞B 、(),2-∞C 、(2,)+∞D 、[)2,+∞9、函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称，假设函数()(01)f x x =<≤，那么( 5.5)f -〔〕A 、2B 、1.5C 、D 、 1.5-10、F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，假设||||3AF BF +=，那么线段AB 的中点到y 轴的距离为 〔〕A 、34B 、1C 、74D 、5411、正三棱锥A —BCD 内接于球O ，侧棱长为2，那么球O 的表面积为〔〕A 、643πB 、323πC 、163πD 、83π 12、,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，那么||c 的最大值是 〔〕AB 、2C 、1D 、2第II 卷【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。
广西南宁市2019-2020学年高三毕业班第一次适应性测试数学(文)试题(word无答案)
广西南宁市2019-2020学年高三毕业班第一次适应性测试数学（文）试题一、单选题(★) 1 . 已知集合，则=（）A．B．C．D．(★★) 2 . 设，其中是实数，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 3 . 已知，，则的值为A．B．C．D．(★) 4 . PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国 PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5日均值在35 μg/ m 3以下空气质量为一级，在35 μg/ m 3～75 μg/ m 3之间空气质量为二级，在75 μg/ m 3以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日 PM2.5日均值（单位：μg/ m 3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）A．这10天中，12月5日的空气质量超标B．这10天中有5天空气质量为二级C．从5日到10日，PM2.5日均值逐渐降低D．这10天的PM2.5日均值的中位数是47(★) 5 . 若实数，满足，则的最小值为A．1B．2C．4D．10(★) 6 . 已知圆与直线相切，则圆的半径为A．B．2C．D．4(★★) 7 . 已知双曲线1（ a＞0， b＞0）的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为 A，且• 0，若 a 1，则 F 2的坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（2，0）D．（1，0）(★★) 8 . 如图，正方体 ABCD﹣ A 1 B 1 C 1 D 1中， E， F分别为 A 1 B 1， CD的中点，则异面直线 D 1 E与 A 1 F所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．(★★) 9 . 已知为正实数，若函数的极小值为0，则的值为A．B．1C．D．2(★★) 10 . 已知抛物线的焦点为，准线为，与轴的交点为，点在抛物线上，过点作，垂足为．若，则A．8B．7C．6D．5(★★) 11 . 已知函数的一个零点是，则当取最小值时，函数的一个单调递减区间是A．，B．，C．，D．，(★★) 12 . 已知定义域为 R的奇函数的导函数为，当时，.若，则的大小关系为（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 在平面上，是方向相反的单位向量，若向量满足，则的值____________．(★) 14 . 设 a， b， c分别为三角形 ABC的内角 A， B， C的对边，已知三角形 ABC的面积等于，则内角 A的大小为____________．(★) 15 . 已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．(★★) 16 . 关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数 x， y组成的实数对（ x， y）；若将（ x， y）看作一个点，再统计点（ x， y）在圆 x 2+ y 2＝1外的个数 m；最后再根据统计数 m来估计π的值，假如统计结果是 m＝52，那么可以估计π的近似值为_______.（用分数表示）三、解答题(★) 17 . 水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如下表：产量（单位：斤）[840，860）[860，880）[880,900）[900,920）[920,940）播种方式直播48183931散播919223218约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低” （1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？产量高产量低合计直播散播合计附：P（K2≥k0）0.100.0100.001k0 2.706 6.63510.828(★★) 18 . 已知数列{ a n}满足，．（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前 n项和．(★★) 19 . 如图所示，在四棱柱中，侧棱平面，底面是直角梯形，，，．（1）证明：平面；（2）若四棱锥的体积为，求四棱柱的侧面积．(★★) 20 . 已知函数．（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性．(★★)21 . 已知椭圆的离心率，为椭圆的右焦点，，为椭圆的上、下顶点，且的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆交于，两点，证明：在第一象限内存在定点，使得当直线与直线的斜率均存在时，其斜率之和是与无关的常数，并求出所有满足条件的定点的坐标．(★★) 22 . 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点，以坐标原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点 N为射线 OM上的点，满足| ，记点 N的轨迹为曲线 C．（1）①设动点，记是直线的向上方向的单位方向向量，且，以 t为参数求直线的参数方程②求曲线 C的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线与曲线 C交于 P， Q两点，求的值(★★) 23 . 己知函数（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为，若是正实数，且，求证.。
南宁市2019-2020学年高考数学达标测试试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥ B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ C ．若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥ D ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥2．单位正方体ABCD-1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．03．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．604．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．42C ．2D ．235．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e = A ．13B ．3 C ．12D ．2 7．函数tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38．下列不等式正确的是（ ） A ．3sin130sin 40log 4>> B ．tan 226ln 0.4tan 48<< C ．()cos 20sin 65lg11-<<D ．5tan 410sin 80log 2>>9．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C处，由C向西开26百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5︒的方向上，则A、B两座岛屿间的距离为（）A．3 B．32C．4 D．4210．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm），则该几何体的表面积为( )A．15π2cm B．21π2cmC．24π2cm D．33π2cm11．已知n S是等差数列{}n a的前n项和，125 2a a+=，234+=a a，则10S=（）A．85 B．852C．35 D．35212．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．2223S S，且B．2223S S，且C．2223S S，且D．2223S S，且二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西南宁市2019届高三第一次适应性测试数学(文)试卷(含解析)
2019届高三毕业班第一次适应性测试数学（文科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2. 请将各题答案填写在答题卡上。
3. 本试卷主要考试内容：高考全部范围。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式得集合B，再利用集合的并集和补集定义直接求解即可.【详解】因为，，所以，故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.2.已知复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算得，进而可得共轭复数，从而得解.【详解】因为，所以，对应点的坐标为.故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.3.在等比数列中，若，，则（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】 由得公比，进而可得首项.【详解】因为，所以，从而.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列的基本量运算，属于基础题. 4.已知，，则（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 由两角差的正弦得，进而有，结合角的范围可得解.【详解】因为，所以由，得.故选：D【点睛】本题主要考查了两角差的正弦展开及同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于基础题. 5.如图所示，长方体的棱和的中点分别为，，，，，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A.B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作，垂足为，连接，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），进而根据边长求解即可.【详解】作，垂足为，连接，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），且，因为，，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，属于基础题.6.已知直线：与圆：相交于，两点，若，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得圆心到直线的距离，再结合弦长为6，利用垂径定理可求得半径.【详解】圆：可化为，设圆心到直线的距离为，则，又，根据，所以圆的标准方程为.故选：A【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式，垂径定理的应用，属于基础题.7.已知，分别是函数图象上相邻的最高点和最低点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两个最值得横坐标的距离可得周期，进而得，把的坐标代入方程，可得，从而得解.【详解】因为，所以，把的坐标代入方程，得，因为，所以，.故选：D【点睛】已知函数的图象求参数的方法：可由观察图象得到，进而得到的值．求的值的方法有两种，一是“代点”法，即通过代入图象中的已知点的坐标并根据的取值范围求解；另一种方法是“五点法”，即将作为一个整体，通过观察图象得到对应正弦函数图象中“五点”中的第几点，然后得到等式求解．考查识图、用图的能力．8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，使得最后退出循环时，即可得解.【详解】时，；时，；时，；时，退出循环.此时，，解得.故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确结论，属于基础题.9.已知实数，满足，则目标函数的最小值为（）A. -24B. -22C. -17D. -7【答案】B【解析】【分析】作出不等式的可行域，平移直线，纵截距最大时z有最小值，数形结合即可得解.【详解】画出可行域，如图所示，平移直线，纵截距最大时z有最小值.，解得当直线过点时，取得最小值-22.故选：B【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.10.已知四棱锥，平面，，，，，.若四面体的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设的中点为，的中点为，可知点为四面体外接球的球心，进而根据垂直关系利用边长求解即可.【详解】因为，所以，，，四点共圆，.由，得，所以.设的中点为，的中点为，因为平面，所以平面.易知点为四面体外接球的球心，所以，.故选：C【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．11.已知抛物线的焦点为，准线为，直线交抛物线于，两点，过点作准线的垂线，垂足为，若等边三角形的面积为，则的面积为（）A. B. C. 16 D.【答案】B【解析】【分析】由为等边三角形，得，边长为，结合条件中的面积可得，进而由直线与抛物线联立可得交点坐标，利用面积公式求解即可.【详解】因为为等边三角形，所以，边长为，由，得，抛物线方程为，联立，得，所以，所以，.故.故选：B【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，利用了抛物线的定义研究抛物线上的点到焦点的距离，考查了数形结合和计算能力，属于中档题.12.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由比较，的大小，利用中间量比较,，从而得解.【详解】∵，，∴.∵，∴，∴.又，∴，即.故选：D【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较大小，解题的关键是找到合适的中间量进行比较大小，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.在正方形中，为线段的中点，若，则_______．【答案】【解析】【分析】由即可得解.【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的加法运算和线性运算，属于基础题.14.已知数列的前项和为，若，，，则___．【答案】26【解析】【分析】根据条件可知数列为等差数列，先求数列的公差，进而利用求和公式求和即可.【详解】因为，所以数列为等差数列，设公差为，则，所以.故答案为：26.【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及求和公式的应用，属于基础题.15.不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，则摸到同色球的概率为______．【答案】【解析】【分析】基本事件总数n10，摸到同色球包含的基本事件个数m4，由此能求出摸到同色球的概率．【详解】不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，基本事件总数n10，摸到同色球包含的基本事件个数m4，∴摸到同色球的概率p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知函数的图象是以点为中心的中心对称图形，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则__________．【答案】【解析】【分析】由中心对称得，可解得，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解. 【详解】由，得，解得，所以.又，所以.因为，，，由，得，即.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的值.【答案】(1) ；（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理直接求解可得，进而可得；（2）由正弦定理角化边可得，再利用面积公式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，从而.（2）因为，所以，即.因为的面积为，所以，即，所以，解得.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题.18.某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者，并对其年龄（在10岁到69岁之间）进行了调查，统计情况如下表所示.已知，，三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列.（1）求的值；（2）若将年龄在内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”.现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据人数和为100及人数的等比关系列方程组求解即可；（2）在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为，，，有2人是消费潜力军，分别记为，，利用列举法及古典概型的公式求解即可.【详解】（1）由题意得，解得，.（2）由题意可知，在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为，，，有2人是消费潜力军，分别记为，.记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件.从这5人中抽取2人所有可能情况为，，，，，，，，，，共10种.符合事件的有，，，，，，，共7种.故所求概率为.【点睛】本题主要考查了统计的简单应用，考查了古典概型的求解，属于基础题.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为线段的中点，为线段上的一点.（1）证明：平面平面.（2）若交于点，，，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由得平面，进而可得证；（2）先计算，再由得，从而可得体积.【详解】（1）证明：因为，为线段的中点，所以.又，，所以为等边三角形，.因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：因为，，所以，，同理可证，所以平面.因为是的中位线，所以，又，所以.设点到底面的距离为，由，得，所以.【点睛】本题主要考查了线面垂直、面面垂直的证明，考查了三棱锥体积的求解，属于基础题.20.设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知点，过的直线交曲线于两点，交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）设点，，由条件的线段比例可得，，代入圆的方程中即可得解；（2）设直线的方程为，与椭圆联立得得，设，，由，结合韦达定理代入求解即可.【详解】（1）设点，，因为，点在直线上，所以，.①因为点在圆：上运动，所以.②将①式代入②式，得曲线的方程为.（2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，令，得的坐标为.由，得.设，，则有，.③记直线，，的斜率分别为，，，从而，，.因为直线的方程为，所以，，所以.④把③代入④，得.又，所以，故直线，，的斜率成等差数列.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学思想，考查了计算能力，属于中档题.21.已知函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1),分和两种情况讨论单调性即可；(2)法一：将不等式变形为，构造函数，证明即可；法二：将不等式变形为，分别设，求导证明即可.【详解】(1) ，当时，，函数的单调增区间为，无减区间；当时，，当，，单增区间为上增，单调减区间为上递减。
2020届广西南宁市高三一模摸底数学(理科)试题(带答案解析)
三、解答题
17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间 之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中 ,s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（1）求样本平均数的大小；
7．A
【解析】
【分析】
先由函数解析式可得函数 为奇函数，再结合奇函数图像的性质逐一检验即可得解.
【详解】
解：由已知可得函数 的定义域为 ，且 ，则函数 为奇函数，则函数 的图象应该关于原点对称，排除C和D，当 时， ，排除B，故A正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题.
故选：A
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．B
【解析】
【分析】
根据 求出 再根据 也在直线 上，求出b的值，即得解.
【详解】
因为 ，所以
所以 ，
又 也在直线 上，
所以 ，
解得
所以 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.
18．如图，在三棱柱 中， 平面ABC.
（1）证明：平面 平面
（2）求二面角 的余弦值.
19． 分别为 的内角 的对边.已知 .Fra bibliotek（1）若 ，求 ；
（2）已知 ，当 的面积取得最大值时，求 的周长.
20．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
广西南宁市2022届高三第一次适应性考试数学(理)试题 (2)
一、单选题二、多选题1.已知函数，则的图象上关于坐标原点对称的点共有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2.A．B．C．D．3. 已知为等差数列且，，为其前项的和，则（ ）A ．142B ．143C ．144D ．1454. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知，分别是双曲线的左､右焦点，P 是C 的渐近线上一点且位于第一象限，，若圆与直线PF 1相交，则C 的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．6.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于、两点，若，则的内切圆半径为（ ）A．B．C．D ．27. 已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 如果函数在区间上单调递减，那么的最大值为（ ）A ．16B ．18C ．25D ．309. 在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ）A．的方程为B．的离心率为C．的渐近线与圆相切D ．满足的直线有2条10. 已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，点，且，则（ ）A ．直线的方程为B ．直线的方程为C．D．11. 2021年8月8日，第32届夏季奥林匹克运动会闭幕，中国代表团共夺得38枚金牌、32枚银牌、18枚铜牌．下表是本届奥运会夺得金牌数前10名的代表团获得的金牌数、银牌数、铜牌数和奖牌总数，则对这10个代表团来说，以下结论中正确的是（ ）排名代表团金牌数银牌数铜牌数奖牌总数1美国3941331132中国38321888广西南宁市2022届高三第一次适应性考试数学（理）试题 (2)广西南宁市2022届高三第一次适应性考试数学（理）试题 (2)三、填空题四、解答题3日本271417584英国222122655俄罗斯奥委会202823716澳大利亚17722467荷兰101214368法国101211339德国1011163710意大利10102040A ．金牌数的众数是10B ．银牌数的中位数是12C ．铜牌数的平均数是19D ．奖牌总数的极差是8012.已知函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，的图象关于轴对称，若的相邻两条对称轴的距离是，则下列说法正确的是（ ）A．B．的最小正周期为C ．在上的单调增区间是，D．的图象关于点中心对称13.已知函数用列表法表示如下表，则______0122114.设是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间上单调递减，且满足，，则不等式组的解集为______．15.二项展开式第六项的系数为_________.16. 已知复数满足，求复数z17. 生产实践中工人生产零件长度的总体密度曲线是正态分布曲线．甲、乙2名工人生产零件长度的总体密度曲线分别是，，其中．(1)判断甲、乙2名工人生产水平的高低，并说明理由；(2)现从甲乙2名工人生产的零件中分别抽取3件，2件．变量X 表示这5件零件中长度小于标准长度（平均值的估计值）的件数，写出X 的分布列，并求．18.如图，在几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面，平面，，.（1）当长为多少时，平面平面？（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.19. 如图，已知椭圆与轴的一个交点为，离心率为，，为左、右焦点，M，N为粗圆上的两动点，且．(1)求椭圆的方程；(2)设，的斜率分别为，，求的值；(3)求△面积的最大值．20. 已知函数，(1)讨论的单调区间;(2)证明:.21. 已知函数的导函数的两个零点为和0．(1)求的单调区间；(2)若的极小值为，求在区间上的最大值．。
广西南宁三中2019届高考适应性月考卷(一)理数-答案
执行判断语句， 24 5 ，可以跳出循环，输出 x 的值为 4，故选 D．
8．如图
1
所示，球的半径
OB
2
，
O1B
1 2
BD
1 2
AB2 AD2
2 ，∴ OO1 2 ，∴ O1O2 2 2 ，∴正四棱柱的体积
V Sh 4 2 2 8 2 ，故选 B．
图1
9．∵ a1 ， a3 ， a5 成等差数列，∴ 2a3 a1 a5 ，即 2a1q2 a1 a1 q4 ，∴ q4 2q2 1 0 ，
可得
sin
A
sin
B
sin
B
sin
A
π 3
sin
B
1 2
sin
A
3 2
cos
A
，
化简得 sin Asin B 3 cos Asin B ， ∵ A，B (0，π) ， sin B 0 ，
…………………………………………（3 分）
则 tan A 3 ，
…………………………………………………………（5 分）
．
图2
14．由等比数列的性质可知，数列 S2 ，S4 S2 ，S6 S4 ，S8 S6 是等比数列，即数列 2，S4 S2 ，
8， S8 S6 是等比数列，因此 S8 2 4 8 16 30 ．
15．由
a a a
1 0， 0， 1 6a
2
≥
a，
得
1 2
≤
a
1
．
16．（1）如图 3，延长 EF，FE，分别交 DC，DA 的延长线于点 H，
由韦达定理得 x1 x2 8 ， x1x2 4m ，
……………………………………（6 分）
2020年南宁市数学高考一模试题(含答案)
解析：B 【解析】 试题分析：集合
，故选 B. 考点：集合的交集运算.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】 先由三视图还原出原几何体，再进行计算 【详解】 由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底 为 4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3，则该棱柱的体积为
12．已知 P 为双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0) 上一点， F1 ，F2 为双曲线 C 的左、右
焦点，若 PF1 F1F2 ，且直线 PF2 与以 C 的实轴为直径的圆相切，则 C 的渐近线方程为
（）
A． y 4 x 3
二、填空题
B． y 3 x 4
C． y 3 x 5
17．已知直线 ： 轴交于 两点.则
与圆 _________.
交于 两点，过 分别作 的垂线与
18．已知 OA 1 ， OB 3 ， OA • OB 0 ，点 C 在 AOB 内，且 AOC 30 ，设
OC
mOA
nOB
，
(m,
n
R)
，则
m n
__________．
19．已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，| a |=2，| b |=1，则| a +2 b |= ______ .
2
2
6
3
4
2
6
3
6
162
.
故选 B.
. 【点睛】
本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体
积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有
专题05 等比数列-2021年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ．16 B ．8 C ．4 D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，联立等比数列的通项公式和前n 项和公式构成方程组，可以知其三求其二，属于基础题．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【答案】（1）()12n n a -=-或12n n a -= ．（2）6m =．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．专题05 等比数列故1(2)n n a -=-或12n n a -=．（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21nn S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-．故选A ． 【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【命题意图】1．熟练掌握等比数列的通项公式、前n 项和公式．2．掌握与等比数列有关的数列求和的常见方法.3.了解等比数列与指数函数的关系．【命题规律】从近三年高考情况来看，本讲是高考的考查热点，主要考查等比数列的基本运算和性质，等比数列的通项公式和前n 项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题． 【答题模板】求数列的通项、求和问题时，第一步：根据题意求通项．注意等比数列通项形如指数函数的形式． 第二步：利用函数性质研究数列的性质，例如周期、单调性等． 第三步：利用函嫩、数列的交汇性质来综合求解问题．第四步：查看关键点、易错点及解题规范，例如错位相减去的计算量较大，注意检验． 【方法总结】1．等比数列的判定与证明常用方法如下： （1）定义法．1n n a a +=q （q 为常数且q ≠0）或-1n n aa =q （q 为常数且q ≠0，n ≥2）⇔{a n }为等比数列；（3）通项公式法．a n =a 1q n –1（其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *）⇔{a n }为等比数列；（4）前n 项和公式法．若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n =–aq n +a （a ≠0，q ≠0，q ≠1），则数列{a n }是公比为q 的等比数列．由a n+1=qa n ，q ≠0，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0．2．等比数列的基本运算方法：（1）通项法：等比数列由首项a 1和公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a 1和q 进行．（2）对于等比数列的相关问题，一般给出两个条件就可以通过列方程（组）求出a 1，q ．如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，q ，n ，S n 的“知三求二”问题． 例如：①若已知n ，a n ，S n ，先验证q=1是否成立，若q ≠1，可以通过列方程组-111,(1-),1-n n n n a a q a q S q ⎧=⎪⎨=⎪⎩求出关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．（3）对称设元法：一般地，若连续奇数个项成等比数列，则可设该数列为…，xq，x ，xq ，…；若连续偶数个项成等比数列，则可设该数列为…，3x q ，x q，xq ，xq 3，…（注意：此时公比q 2>0，并不适合所有情况）．这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便． 3．错位相减法1．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在等比数列{}n a 中，若23a =，524a =-，则1a =A ．23 B ．23- C ．32-D ．32【答案】C【解析】因为3528a q a ==-，所以2q =-，从而132a =-．故选C ． 【名师点睛】本题考查了等比数列的基本量运算，属于基础题．2．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在等比数列{}n a 中，若22a =，554a =-，则1a =A ．23 B ．23- C ．32-D ．32【答案】B 【解析】因为35227a q a ==-，所以3q =-，从而2123a a q ==-．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查了等比数列的基本量运算，属于基础题．3．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=．则满足123123......n n a a a a a a a a ++++>的最大正整数n 的值为A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】∵正项等比数列{}n a 中，512a =，()26753a a a q q +=+=，∴26q q +=． ∵0q >，解得，2q =或3q =-（舍），∴1132a =，∵()1231122132 (1232)n nn a a a a --++++==-，∴()1221123232n n nn -->⨯． 整理得，()1152n n n ⎛⎫>--⎪⎝⎭，∴112n <≤， 经检验12n =满足题意，故选C ．【名师点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质等知识的简单综合应用，属于中档试题．4．【四川省巴中市2019届高三零诊考试数学】记n S 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2=2，S 3=–6．则{a n }的通项公式为A ．(2)nn a =-B ．2nn a =- C ．(3)nn a =-D ．3nn a =-【答案】A【解析】根据题意，设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，又由22S =，36S =-，则有()()1211216a q a q q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩，解得12a =-，2q =-，则()2nn a =-，故选A ． 【名师点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，属于简单题．5．【四川省南充市高三2019届第二次高考适应性考试高三数学】已知等比数列{}n a 中的各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则101189a a a a +=+ A．1+B．1C．3+D．3-【答案】C【解析】因为等比数列{a n }中的各项都是正数，设公比为q ，得q >0， 且1321,,22a a a 成等差数列，可得3122a a a =+，即a 1q 2＝a 1+2a 1q ， 因为10a ≠，得q 2–2q –1＝0，解得q ＝q ＝1则101189a a a a +=+()28989q a a a a +=+q 2＝，故选C ． 【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且13a ，312a ，22a 成等差数列，则64a a = A ．1 B ．3 C ．6 D ．9【答案】D【解析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q >0） 由题意可得2312a ⨯＝13a +22a ，即q 2–2q –3＝0， 解得q ＝–1（舍去），或q ＝3， 故64a a =q 2＝9．故选D ． 【名师点睛】本题考查等差中项的应用和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属于基础题．7．【四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟考试数学】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ．若639S S =，562S =，则1a =A ．3 BCD ．2【答案】D【解析】等比数列{a n }中，若S 6＝9S 3，则q ≠±1， 若S 6＝9S 3，则()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得q 3＝8，则q ＝2，又由S 5＝62，则有S 5＝()5111a q q--＝31a 1＝62，解得a 1＝2，故选D ．【名师点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，属于基础题．8．【四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学】等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a =a ，()76,a a =b ，且4⋅=a b ，则2122210log log log a a a ++⋯+=A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+【答案】C【解析】()45,a a =a ，()76,a a =b ，且4⋅=a b ，∴47a a +56a a ＝4， 由等比数列的性质可得：110a a ＝…＝47a a ＝56a a ＝2，【名师点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】B【解析】n =1时，a 1=S 1=2a +1．对于上式n =1时也成立， ∴2a +1=a ，解得a =–1．故选B ．【名师点睛】本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．【河南省新乡市2019届高三第三次模拟测试数学】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55S =，1030S =，则15S =A ．90B ．125C ．155D ．180【答案】C【解析】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 所以51051510,,S S S S S --成等比数列，因为5105,30S S ==，所以105151025,255125S S S S -=-=⨯=， 故1512530155.S =+=故选C ．【名师点睛】本题考查了等比数列的性质，若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题．11．【甘肃、青海、宁夏2019届高三上学期期末联考数学】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122a a -=，236a a -=，则4S =A ．–60B ．–40C ．20D ．40【答案】B【解析】设等比数列的公比为q ， 由12232,6a a a a -=-=，可得1121126a a q a q a q -=⎧⎨-=⎩，解得131q a =⎧⎨=-⎩， 故()441134013S -⨯-==--，故选B ．【名师点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 12．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】在等比数列{}n a 中，131a a +=，5791120a a a a +++=，则1a =A ．16B ．13C ．2D ．4【答案】B【解析】因为()45713a a a a q +=+＝q 4，()891113a a a a q +=+，所以q 8+q 4＝20，所以q 4＝4或q 4＝–5（舍），所以q 2＝2，13a a +211a a q =+=13a ＝1，所以1a 13=． 故选B ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查等比数列的性质，要求熟练掌握等比数列的性质的应用，比较基础．13．【湖南省益阳市桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试数学】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S = A ．10 B ．7 C ．8 D ．4【答案】C【解析】由题意得13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，38S ∴=，故选C ． 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题．14．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试数学】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为A ．1B ．1或12C．2D．2±【答案】C【解析】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+，故234q =，因为{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以q =C ． 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q m n p q ∈+=+N ，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S --为等比数列（0n S ≠）且公比为nq ．15．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模）数学】已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为A ．1B ．12-C ．1或12-D ．112-或【答案】C【解析】等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =， 若1q =，37a =，33721S =⨯=，符合题意；若1q ≠，则()213171211a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解得12q =-，即公比q 的值为1或12-，故选C ．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知三求二”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程．16．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学】已知等比数列{}n a 的公比12q =-，该数列前9项的乘积为1，则1a = A ．8 B ．16C ．32D ．64【答案】B11 【解析】由已知1291a a a =，又2192837465a a a a a a a a a ====，所以951a =，即51a =，所以41112a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，116a =，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及等比数列的基本量计算，熟记等比数列的性质与通项公式即可，属于常考题型．17．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学】已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则8T =A ．1024B ．2048C ．4096D ．8192【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得761a =，故61a =，即511a q =． 又2121512a a a q ==，所以91512q =，故12q =，所以36312832424096a T T a q ⎛⎫===== ⎪⎝⎭．故选C ． 【点睛】本题考查等比数列的性质、等比数列的通项公式，考查计算化简的能力，属中档题．。
广西南宁2019高三第一次适应性测试-数学(理)
广西南宁市2019高三第一次适应性测试-数学(理)数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷本卷须知1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清晰，并贴好条形码。
请认真核对条形码上的准考证号、姓名和科目。
2、每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3、第I 卷，共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
一、选择题1.设全集U R =，集合{}{}0,7235A x x B x x =>=-<+<，则()U C A B ⋃=( ) {}.01A x x << {}.01B x x x ≤≥或 {}.3C x x ≤- {}.3D x x >- 答案C2.已知复数1,Z Z 满足111,4Z i Z Z =--=，则复数Z 在复平面内对应点的坐标为( ).(2,2)A -- .(2,2)B - .(2,2)C .(2,2)D -答案A3.在等比数列{}n a 中，若252,54a a ==-，则1a =（ ）2.3A 2.3B -3.2C - 3.2D 答案B4.已知9090,tan sin 76cos 46cos 76sin 46αα-<<=-o o o o o o,则sin α=（ ）A .B - .CD 答案D5.如图所示，长方体1111ABCD A B C D -的棱AB 和11A D 的中点分别为,,6E F AB = 18,7AD AA ==，则异面直线EF 与1AA 所成角的正切值为（ ）7.5A 5.7B .74C .74D 答案B6.已知直线:34150l x y --=与圆222:2450(0)C x y x y r r +--+-=>相交于,A B 两点，若6AB =，则圆C 的标准方程为（ ） 22.(1)(2)25A x x -+-= 22.(1)(2)36B x x -+-=22.(1)(2)16C x x -+-= 22.(1)(2)49D x x -+-=答案A7.已知(,1),(,1)1212P Q ππ-分别是函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><图象上相邻的最高点和最低点，则ωϕ=（ ）.2A π .2B π- 3.4C π- 3.4D π 答案D8.元朝注明数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携手游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了湖中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示。
2020届广西南宁市一模数学(理科)试卷及答案
2020年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|10}A x x =->，{|12}B x x =- ，则(A B = )A ．(1,)+∞B ．[1-，)+∞C ．[1-，1]D ．[1-，2]2．（5分）设(1)1i x yi -=+，其中x ，y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）若实数x ，y 满足110220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则2z x y =+的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．104．（5分）已知(0,)απ∈，3cos()65πα+=，则sin α的值为()A ．43310-B ．33410-C ．710D ．2355．（5分） 2.5PM 是空气质量的一个重要指标，我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在3335/~75/g m g m μμ之间空气质量为二级，在375/g m μ以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日2.5PM 日均值（单位：3/)g m μ的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为()A ．310B ．35C ．25D ．1306．（5分）设a 为正实数，函数322()32f x x ax a =-+，若(,2)x a a ∀∈，()0f x <，则a 的取值范围是()A ．[1，)+∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．2(0,)37．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为3的直线与双曲线在第一象限的交点为A ．线段1F A 的中点为D ，若210F D F A =，则此双曲线的离心率为()A ．3B ．32C ．312+D ．31+8．（5分）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，SD CD =，AB AD =，2CD AD =，M 是BC 中点，N 是线段SA 上的点，设MN 与平面SAD 所成角为α，则sin α的最大值为()A 35B 33C 25D 239．（5分）过曲线x y e x =-外一点(,)e e -作该曲线的切线l ，则l 在y 轴上的截距为()A ．ee -B ．2e e +-C ．1e e +-D ．2e e +10．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的焦点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA l '⊥，垂足为A '，若3cos 5FAA '∠=，则四边形AA PF '的面积为()A ．8B ．10C ．14D ．2811．（5分）已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()xf x f x '>．若22(log 3)log 3f a -=-，44(log 6)log 6f b =，(sin )8sin 8f c ππ=，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a<<12．（5分）已知函数()2cos()1(0f x x ωϕω=+->，||)ϕπ<的一个零点是4x π=，当3x π=时函数()f x 取最大值，则当ω取最小值时，函数()f x 在[,1212ππ-上的最大值为()A ．2-B ．2C ．32-D ．0本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在平面上，1e 、2e 是方向相反的单位向量，若向量b 满足12()()b e b e -⊥- ，则||b的值．14．（5分）设a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知三角形ABC 的面积等于222)b c a +-，则内角A 的大小为．15．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为．16．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x ，y 组成的实数对(,)x y ，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据计数m 来估计π的值．假设统计结果是68m =，那么可以估计π的近似值为．（用分数表示）三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如表：产量（单位：[840，860)[860，880)[880，900)[900，920)[920，940)斤）播种方式直播48183931散播919223218约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？产量高产量低合计直播散播合计附22():()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k 0.100.0100.0010k 2.7066.63510.82818．（12分）已知数列{}n a 满足14a =，11232n n n a a ++=+⨯．（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设164n n n n b a a +⨯=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D =中，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，1224AB AD AA ===．（1）证明：1A D ⊥平面11ABC D ；（2）若1DC =，求二面角11B BC A --的正弦值．20．（12分）已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的离心率为12，F 为椭圆的右焦点，PQ 为过椭圆中心O 的弦．（1）求PQF ∆面积的最大值；（2）动直线与椭圆交于A 、B 两点，证明：在第一象限内存在定点M ，使得当直线AM 与直线BM 的斜率均存在时，其斜率之和是与t 无关的常数，并求出所有满足条件的定点M 的坐标．21．（12分）已知函数2()8()f x x x alnx a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()f x 的两个极值点1x ，212(x x x <，1)x ≠，若1m ，①证明：102x <<；②证明：21111(2)(43)1alnx m x x x >-+--．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30︒，且经过点(2,1)A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足||||12OM ON = ，记点N 的轨迹为曲线C ．（1）①设动点1P l ∈，记e是直线1l 的向上方向的单位方向向量，且AP te = ，以t 为参数求直线1l 的参数方程；②求曲线C 的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11||||AP AQ +的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||1|f x x x =++-．（1）求不等式()8f x x+的解集；（2）记函数()y f x=的最小值为k，若a，b，c是正实数，且33112ka kb kc++=，求证239 a b c++ ．2020年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|10}A x x =->，{|12}B x x =- ，则(A B = )A ．(1,)+∞B ．[1-，)+∞C ．[1-，1]D ．[1-，2]【解答】解：{|1}A x x => ，{|12}B x x =- ，[1A B ∴=- ，)+∞．故选：B ．2．（5分）设(1)1i x yi -=+，其中x ，y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1)1i x yi -=+，即1x xi yi -=+，则1x =，1y =-．x yi ∴+在复平面内所对应的点的坐标为：(1,1)-，位于第四象限．故选：D ．3．（5分）若实数x ，y 满足110220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则2z x y =+的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．10【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由2t x y =+得：2y x t =-+，由图象得：2y x t =-+过(1,2)时，t 最小，4t =最小值，故选：C ．4．（5分）已知(0,)απ∈，3cos()65πα+=，则sin α的值为()A ．43310-B ．33410-C ．710D ．235【解答】解：(0,)απ∈ ，3cos()65πα+=，4sin()65πα∴+=，4313433sin sin[()]66522510ππαα-∴=+-=⨯-⨯=．故选：A ．5．（5分） 2.5PM 是空气质量的一个重要指标，我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在3335/~75/g m g m μμ之间空气质量为二级，在375/g m μ以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日2.5PM 日均值（单位：3/)g m μ的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为()A ．310B ．35C ．25D ．130【解答】解：由某市2019年12月1日到10日 2.5PM 日均值（单位：3/)g m μ的统计数据折线图得：这10天中空气质量为一级的天数为4天，从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，基本事件总数310120n C ==，空气质量为一级的恰好抽取了2天包含的基本事件个数126436m C C ==，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率36312010m p n ===．故选：A ．6．（5分）设a 为正实数，函数322()32f x x ax a =-+，若(,2)x a a ∀∈，()0f x <，则a 的取值范围是()A ．[1，)+∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．2(0,3【解答】解：因为2()363(2)f x x ax x x a '=-=-，因为2a x a <<时，()0f x '<，故()f x 在(,2)a a 上单调递减，因为(,2)x a a ∀∈，()0f x <，所以f （a ）32220a a =-+ ，故1a ．故选：A ．7．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线在第一象限的交点为A ．线段1F A 的中点为D ，若210F D F A =，则此双曲线的离心率为()A B ．32C D 1+l ，其倾斜角为60︒，过2F 且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，线段1F A 的中点为D ，若210F D F A =，△12PF F 是等腰三角形，即有212||||2PF F F c ==，则有(2cos60,2sin 60)P c c c +︒︒，即为(2)P c ，代入双曲线方程双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，即有2222431c c a b -=，由离心率公式ce a =，222b c a =-，即有2223411e e e -=-，化简可得424810e e -+=，解得：212e =±，由1e >，解得132e +=．故选：C ．8．（5分）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，SD CD =，AB AD =，2CD AD =，M 是BC 中点，N 是线段SA 上的点，设MN 与平面SAD 所成角为α，则sin α的最大值为()A ．357B ．337C ．257D ．237【解答】解：如图所示，作ME AD ⊥，垂足为E ，SD ⊥ 平面ABCD ，SD ⊂平面SAD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD ，又AD CD ⊥，CD ∴⊥平面SAD ．//ME CD ，ME ∴⊥平面SAD ．连接NE ，则MNE ∠是MN 与平面SAD 所成角为α，作EF SA ⊥，连接MF ，此时MFE ∠取得最大值．不妨设AB ，则4CD =，可得2432ME +==，22sin 1524EF AE SAD =∠==+．则2235sin 72()35EMFMα==+．故选：A ．9．（5分）过曲线x y e x =-外一点(,)e e -作该曲线的切线l ，则l 在y 轴上的截距为()A ．ee -B ．2e e +-C ．1e e +-D ．2e e +【解答】解：设切线l 在曲线x y e x =-上的切点为0(x ，0)y ，由x y e x =-，得1x y e '=-，则切线l 的斜率00|1x x x k y e ='==-，∴切线l 的方程为000(1)()x y y e x x -=--，l 为曲线x y e x =-外一点(,)e e -的切线方程，∴000x y e x =-①，000(1)()x e y e e x --=--②，∴由①②，得01x e =+，10(1)e y e e +=-+，l ∴在y 轴上的截距0200(1)()x e y e x e ++--=-．故选：B ．10．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的焦点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA l '⊥，垂足为A '，若3cos 5FAA '∠=，则四边形AA PF '的面积为()A ．8B ．10C ．14D ．28【解答】解：由条件得，2p =，过点F 作FF AA '⊥'，垂足为F '．设||3AF x '=，3cos 5FAA ∠'=，||5AF x ∴=，||4F F x '=．由抛物线定义可得：||||5AF AA x ='=．则||||5322A F PF x x x p ''==-===，解得1x =．则||33AF x '==，||||55AF AA x ='==，||44F F x '==．∴四边形AA PF '的面积(||||)||(25)41422PF AA PA S +''+⨯=== ．故选：C．11．（5分）已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()xf x f x '>．若22(log 3)log 3f a -=-，44(log 6)log 6f b =，(sin )8sin 8f c ππ=，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a<<【解答】解：令()()(0)f x g x x x=≠，由于()f x 为R 上的奇函数，所以()()(0)f x g x x x=≠为定义域上的偶函数，又当0x >时，()()xf x f x '>，所以，当0x >时，2()()()0xf x f x g x x '-'=>，所以，偶函数()g x 在(0,)+∞上单调递增；又4420sin1log 6log 9log 38π<<<<=，所以4422(sin (log 6)(log 9)(log 3)(log 3)8g g g g g π<<==-，即c b a <<，故选：C ．12．（5分）已知函数()2cos()1(0f x x ωϕω=+->，||)ϕπ<的一个零点是4x π=，当3x π=时函数()f x 取最大值，则当ω取最小值时，函数()f x 在[,1212ππ-上的最大值为()A ．2-B ．2C ．32-D ．0【解答】解：()2cos()1044f πωπϕ=+-= ，1cos()42ωπϕ∴+=，∴243k ωππϕπ+=±，k Z ∈，①(2cos()1133f πωπϕ=+-= ，cos()13ωπϕ∴+=，∴23m ωπϕπ+=，m Z ∈，②由①②可得4863k m πϕππ=-±，由于||ϕπ<，可取1k =，1m =，解得210(33ππϕ=舍去），则62m ω=-，m Z ∈，可得正数ω的最小值为4，即有2()2cos(413f x x π=+-，由[,]1212x ππ∈-，可得24[33x ππ+∈，]π，可得()f x 在[,1212ππ-上递减，则()f x 的最大值为1()2cos 12101232f ππ-=-=⨯-=，故选：D ．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在平面上，1e 、2e 是方向相反的单位向量，若向量b 满足12()()b e b e -⊥-，则||b的值1．【解答】解： 1e 、2e是方向相反的单位向量，向量b 满足12()()b e b e -⊥-，12()()b e b e ∴--21212()b b e e e e =-++210b =-=，||1b ∴=．故答案为：1．14．（5分）设a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知三角形ABC 的面积等于222()4b c a +-，则内角A 的大小为13π．【解答】解：因为2221()2cos sin 442S b c a bc A bc A =+-==，sin A A =即tan A =，故13A π=．故答案为：13π15．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为203．【解答】解：由三视图还原出原几何体如图所示，该几何体是边长为2的正方体截去三棱锥F BGE -，则该几何体的体积为311202222323V V V =-=-⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥．故答案为：203．16．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x ，y 组成的实数对(,)x y ，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据计数m 来估计π的值．假设统计结果是68m =，那么可以估计π的近似值为4715．（用分数表示）【解答】解：由题意，240对都小于l 的正实数对(,)x y ，对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足221x y +<且x ，y 都小于1，1x y +>，面积为142π-，因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数68m =，所以68124042π=-，所以4715π=．故答案为：4715．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如表：产量（单位：斤）播种方式[840，860)[860，880)[880，900)[900，920)[920，940)直播48183931散播919223218约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？产量高产量低合计直播散播合计附22():()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k 0.100.0100.0010k 2.7066.63510.828【解答】解：（1）估计100块直播农田的平均产量为8500.048700.088900.189100.399300.31907⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（斤)；（2）22⨯列联表：产量高产量低合计直播7030100散播5050100合计1208020022200(70505030)8.333 6.63510010012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．∴有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关．18．（12分）已知数列{}n a 满足14a =，11232n n n a a ++=+⨯．（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设164nn n n b a a +⨯=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解答】（1）证明：依题意，由11232n n n a a ++=+⨯，两边同时乘以112n +，可得11322n n n n a a ++=+，即11322n nn n a a ++-=，114222a ==，∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，3为公差的等差数列，∴23(1)312nna n n =+-=-，(31)2n n a n ∴=- ，*n N ∈．（2）解：由（1），可知116464311(31)2(32)2(31)(32)3132n n n n n n n b a a n n n n n n ++⨯⨯====--+-+-+ ，故12n n T b b b =++⋯+11111125583132n n =-+-+⋯+--+11232n =-+32(32)nn =+．19．（12分）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D =中，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，1224AB AD AA ===．（1）证明：1A D ⊥平面11ABC D ；（2）若1DC =，求二面角11B BC A --的正弦值．【解答】解：（1）证明：侧棱1AA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，故1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，又12AD AA ==，所以平行四边形11ADD A 为正方形，所以11AD A D ⊥，又1AB AD A = ，所以1A D ⊥平面11ABC D ；（2）以D 为原点，以AD ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(2A ，0，0)，1(0C ，1，2)，(2B ，4，0)，1(2B ，4，2)，1(0,0,2)BB = ，1(2,3,2)BC =-- ，(0,4,0)BA =-，设平面11BB C 的法向量为(,,)m x y z =，由11202320m BB z m BC x y z ⎧==⎪⎨=--+=⎪⎩ ，得(3,2,0)m =- ，设平面1ABC 的法向量为(,,)n a b c =，由1402320n BA b n BC a b c ⎧=-=⎪⎨=--+=⎪⎩ ，得(1,0,1)n = ，由cos ,m n <>== 故二面角11B BC A --．20．（12分）已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的离心率为12，F 为椭圆的右焦点，PQ 为过椭圆中心O 的弦．（1）求PQF ∆面积的最大值；（2）动直线与椭圆交于A 、B 两点，证明：在第一象限内存在定点M ，使得当直线AM 与直线BM 的斜率均存在时，其斜率之和是与t 无关的常数，并求出所有满足条件的定点M 的坐标．【解答】解（1）由椭圆方程知2a =，又因为离心率为12，所以1c =，b =，所以椭圆方程为：22143x y +=．由于直线PQ 过原点，所以122||2PQF POF p S S c y ∆∆==⨯⨯⨯，则PQF ∆（2）设1(A x ，11)2x t +，2(B x ，21)2x t +，联立直线l 与椭圆得2230x tx t ++-=，且12x x t +=-，2123x x t =-，设(,)M m n ，直线AM 与直线BM 的斜率之和是：12212212113()()()()()23222()()3MA MB m x t m x n x t m x n m t mn k k m x m x t mn m ---+----+-+==--++-，当32n m =，23mn =，时斜率和为定值0，解得132m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，或132m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故满足所有条件的定点P 为3(1,2，或3(1,2--．21．（12分）已知函数2()8()f x x x alnx a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()f x 的两个极值点1x ，212(x x x <，1)x ≠，若1m ，①证明：102x <<；②证明：21111(2)(43)1alnx m x x x >-+--．【解答】解：（1）2()8()f x x x alnx a R =-+∈ 的定义域为(0,)+∞，228()28a x x a f x x x x-+∴'=-+=，当2(8)426480a a --⨯=- ，即8a 时，()0f x ' ，函数()f x 的在区间(0,)+∞单调递增；当2(8)426480a a --⨯=->，即8a <时，分两类讨论：方程2280x x a -+=的两根为1,28242x ==±，1︒若0a，120x =，220x =，故2(0,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 在区间2(0,)x 上单调递减，2(x x ∈，)+∞时，()0f x '>，()f x 在区间2(x ，)+∞上单调递增；2︒若08a <<，同理可得，()f x 在区间1(x ，2)x 上单调递减，在区间1(0,)x ，2(x ，)+∞上单调递增；综上所述，当0a 时，()f x 在区间2(0,)x 上单调递减，在区间2(x ，)+∞上单调递增；当08a <<时，()f x 在区间1(x ，2)x 上单调递减，在区间1(0,)x ，2(x ，)+∞上单调递增；当8a 时，函数()f x 的在区间(0,)+∞单调递增；（2）证明：①当函数()f x 在(0,)+∞内有两个极值点1x ，212()x x x <且11x ≠时，则2280x x a -+=在(0,)+∞上有两个不等正根．0a ∴>且2(8)426480a a --⨯=->，08a ∴<<．124x x ∴+=，122ax x =，120x x <<，214x x ∴=-，121122(4)a x x x x ==-，可得102x <<．②要证明21111(2)(43)1alnx m x x x >-+--成立，即证1111112(4)(2)(4)(1)1x x lnx m x x x ->--+-成立，由于2140x x =->，即证11112(2)(1)1x lnx m x x >-+-成立，也就是证11112(2)(1)01x lnx m x x --+>-．即证2111112(2)(1)[2]01x m x lnx x x --+>-，由于101x <<时，11201x x >-，112x <<时，11201x x <-，故令2(2)(1)()2(02)m x h x lnx x x--=+<<，则22(2)2(2)()(02)m x x m h x x x -++-'=<<，令2(2)2(2)0m x x m -++-=，则△244(2)m =--，由于1m ，故21m -- ，2(2)1m - ，所以△0 ，()0h x ∴' ，∴在(0,2)内函数()h x 为减函数，且h （1）0=，可得：01x <<时，()0h x >．12x <<时，()0h x <．∴2111112(2)(1)[2]01x m x lnx x x --+>-成立，即11112(2)(1)01x lnx m x x --+>-成立，证毕．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30︒，且经过点(2,1)A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足||||12OM ON = ，记点N 的轨迹为曲线C ．（1）①设动点1P l ∈，记e 是直线1l 的向上方向的单位方向向量，且AP te = ，以t 为参数求直线1l 的参数方程；②求曲线C 的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11||||AP AQ +的值．【解答】解：（1）①直线1l 的倾斜角为30︒，且经过点(2,1)A．转换为直角坐标方程为12)3y x -=-．由于动点1P l ∈，记e 是直线1l 的向上方向的单位方向向量，且AP te = ，故以t 为参数求直线1l的参数方程为：22(112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）．②由于直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，所以cos 3M ρθ= ，整理得3cos M ρθ=，点N 为射线OM 上的点，满足||||12OM ON = ，即12M N ρρ= ，所以cos 124cos 3N θρθ=⨯=，整理得224x y x +=，即22(2)4x y -+=．（2）把直线1l的参数方程为：22112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入224x y x +=，得到：230t t +-=，所以121t t +=-，123t t =-．故：12121212||1111||||||||||t t AP AQ t t t t -+=+===．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||1|f x x x =++-．（1）求不等式()8f x x + 的解集；（2）记函数()y f x =的最小值为k ，若a ，b ，c 是正实数，且33112ka kb kc ++=，求证239a b c ++ ．【解答】解：（1）：21,2()3,2121,1x x f x x x x ---⎧⎪=-<<⎨⎪+⎩，则()8f x x + 可得2182x x x --+⎧⎨-⎩ 或3821x x +⎧⎨-<<⎩ 或2181x x x ++⎧⎨⎩，解得3x - 或∅或7x ，故不等式的解集为(-∞，3][7- ，)+∞；证明：（2）由（1）可得函数的最小值为3，即3k =，∴111123a b c++=，211123(23)()(111)923a b c a b c a b c∴++=++++++= ，当且仅当23a b c ==时等号成立.。
2024届广西南宁市三中高三第一次适应性考试数学试题及答案
邕衡金卷·南宁市第三中学（五象校区）2024届高三第一次适应性考试数 学本试卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、学校、班级和准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答非选择题时，将答案写在答题卡相应位置上，在试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合22{|280}{|log 1}A x Z x x B x x =∈−−=>，，≤则A B = （ ） A ．{}24， B ．{}14， C ．{}34，D ．{}234，，2．若(12i)43i z +=+，则z =（ ） A ．2i −B ．2i +C ．2i −+D ．2i −−3．2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加。
主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A 、B 两个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（ ） A ．15 B ．30C ．25D ．164．已知函数()log (3)log (1)f x x x a a =−++(01)a <<，若()f x 的最小值为-2，则a =（ ）A ．1 B ．C ．1 D ．6．已知直线:0l x y m ++=和圆C ：2240x y y ++=相交于M ，N 两点，当CMN Δ的面积最大时，m =（ ） A ．0m =或2m = B ．4m =−或4m = C ．0m =或4m =D ．0m =或4m =−7．在数列{}n a 中，11a =．若命题p ：1122n n n n a a +++=+，命题q ：{}2n n a −是等比数列，则p 是q 的（ ）条件. A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.2sin 2x =()()()2f x y f x f y −=是奇函数()20230f ++=.15．已知圆台轴截面的面积为6，轴截面有一个角为120°，则该圆台的侧面积为___________.16．已知直线与抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，抛物线的焦点为F ，且20OA OB ⋅=,OD AB ⊥于点D ，点D 的坐标为()2,1−，则AF BF +=__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在ABC Δ中，3a =，2b c −=，1cos 2B =−.（1）求b ，c 的值；（2）求sin()B C +的值.18.（本小题满分12分）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT 所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT 中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； （2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.19.（本小题满分12分）已知双曲线22221x y C a b−=：()0,0a b >>经过点(−，其渐近线方程为y =.（1）求双曲线C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与双曲线C 相交于A ，B 两点，P 能否是线段AB 的中点？请说明理由.20.（本小题满分12分）如图，三棱台ABC DEF −，H 在AC 边上，平面ACFD ⊥平面ABC ，60ACD ∠= ，2CH =，4CD =，BC =BH BC ⊥.（1）证明：EF BD ⊥；（2）若12DF AC =，DEF Δ面积为16，求CF 与平面ABD 所成角的正弦值．21.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*122().n n a S n N +=+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项m d ，k d ，p d （其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．22.（本小题满分12分）已知函数()()()21ln 112f x x a x a x a =−+−+∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，求证：()()21e 12ln 2xf x x x x ≤−+−．邕衡金卷·南宁市第三中学（五象校区）2024届高三第一次适应性考试参考答案数学1.C【解析】{}}.4,3{}4,3,2,1,0,1,2{,2|=∴--=>=B A A x x B2.B【解析】由(12i)43i z +=+得2i z =-，则2i z =+.3.B【解析】.3022252215=+A C A C 共有30种不同的安排方案种数.4．C【解析】由3010x x ->⎧⎨+>⎩得13x -<<，22()log (23)log [(1)4]a a f x x x x =-++=--+(01)a <<，又20(1)44x <--+≤，因为01a <<，所以2log [(1)4]log 4a a x --+≥，所以min ()log 42a f x ==-，则12142a -==.6.C【解析】圆C ：2240x y y++=的圆心为()0,2-，半径2r =，当CMN ∆的面积最大时，CM CN ⊥，又CM CN =，所以圆心C 到直线l =0m =或4m =.，侧棱也平行，所以没有水的部分一定是棱柱，故A正确；都为所在棱的中点，设水面到底面的的距离222：在翻滚、转动容器的过程中，若有水的部分为三棱锥，则当平面ABC作为底面，AA1114 32ABCAA ab⋅=⨯⨯⨯=则水的体积与直三棱柱外接球体积之15.π34【详解】如图，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD ，作CD AE ⊥，设，，l AD h O O R DO r AO ====2112,,()()()6222221=+=+=⨯+=h R r h R r O O CD AB S ABCD ①，，，所以，又︒=∠︒=∠︒=∠3090120DAE BAE DAB 在DAERt ∆中，2330cos ===︒l h AD AE ②，由①②可得：()34=+l R r ，所以圆台的侧面积为().34ππ=+l R r16.229【详解】如图，21,,210201=∴-=⋅∴⊥-=---=AB OD AB OD k k k AB OD k ， ，因为点()1,2-D 在直线AB 上，所以()221:+=-x y l AB 即52+=x y ，联立⎩⎨⎧=+=py x x y 2522得：01042=--p px x ，设()()2211,,,y x B y x A ，由韦达定理得⎩⎨⎧-==+px x px x 1042121，所以()()20251022,,,,22212121212211=+-=⋅+=+=⋅==p px p x x x y y x x OB OA y x OB y x OA ，故21=p ，所以⎩⎨⎧-==+522121x x x x ，根据抛物线的定义，准线为41-=y ，所以().22922122152524141212121=++=++++=+++=+x x x x y y BF AF17.解：（1）3a = ，2b c -=，1cos 2B =-.∴由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-219(2)23(2)()2b b =+--⨯⨯-⨯-，7b ∴=，25c b ∴=-=；分（2）在ABC ∆中，1cos 2B =- ，sin B ∴=，由正弦定理有：sin sin a b A B=，3sin 2sin 7a B A b ∴===sin()sin()sin 14B C A A π∴+=-==分18.（1）设事件A 表示抽出的2个球中有红球”，事件B 表示“两个球都是红球”，.........1分则5222C 9()1C 10P A =-=，...................................................................................2分5223C 3()C 10P AB ==，............................................................................................3分故()()()31109310P AB P B A P A ===...............................................................................5分（2）设事件C 表示“从乙箱中抽球”,则事件C 表示“从甲箱中抽球”，事件D 表示“抽到红球”()3162==C P ,()3264==C P ，........................................................................6分()54|=C D P ,()53|=C D P .............................................................................7分()()()DC P CD P D P +=..............................................................................8分()()()()C D P C P C D P C P ||+=..........................................................9分32151053325431==⨯+⨯=.....................................................................10分()()()()52325431||=⨯==D P C D P C P D C P .............................................................12分19.（1）由题意知：()()1622222=--b a ，2=ab，...............................................4分解得1=a ，2=b ，所以双曲线的方程为1222=-y x 。
广西南宁2019届毕业班第一次适应测试数学(理科)
2019届毕业班第一次适应测试数学（理科)考生注意：1.本试卷第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分,共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部范围 4.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U R =,集合{}0A x x =>,{}7235B x x =-<+<,则()U C AB = A. {}01x x << B. {0x x ≤或}1x ≥ C. {}3x x ≤- D. {}3x x >-2.已知复数1z ,z 满足11z i =--,14z z =,则复数z 在复平面内对应点的坐标为A. ()2,2--B. ()2,2-C. ()2,2D. ()2,2-3.在等比数列{}n a 中,若22a =,554a =-,则1a = A. 23 B. 23- C. 32- D. 324.已知()90,90α∈-,tan sin 76cos 46cos76sin 46α=-,则sin α=A. B. C. D. 5.如图1,长方体111A B C D A B C D -的棱AB 和11A D 的中点分别为E ,F ,6AB =,8AD =,17AA =,则异面直线EF 与1AA 所成角的正切值为 A.75B. 57C. 74D. 746.已知直线:34150l x y --=与圆()222:24500C x y x y r r +--+-=>相交于,A B 两点,若6AB =,则圆C 的标准方程为A. ()()221225x y -+-=B. ()()221236x y -+-=C. ()()221216x y -+-=D. ()()221249x y -+-=7.已知,112P π⎛⎫ ⎪⎝⎭,5,112Q π⎛⎫- ⎪⎝⎭分别是函数()()sin 0,2f x x πωϕϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭ 图象上相邻的最高点和最低点,则ωϕ= A. 2π B. 2π- C. 34π- D. 34π8.元朝注明数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒？”用程序框图表达如图2所示,若将 “没了壶中酒”改为“剩余原壶中13的酒量”,即输出值是输入值的13, 则输入的x = A.35 B. 911C. 2123D. 4547 9.某技术学院安排5个班到3个工厂实习,每个班去一个工厂,每个 工厂至少安排一个班,则不同的安排方法共有A. 60种B. 90种C. 150种D. 240种10.已知球的半径为4,球面被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦长为若球心到这两个平面的距离相等,则这两个圆的半径之和为A. 6B. 8C. 10D. 1211.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ,准线为l ,直线2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭交抛物线于,A B 两点,过点A 作准线l 的垂线,垂足为E ,若等边三角形AFE 的面积为,则BEF ∆的面积为A. B. C. 16 D.12.已知函数()()1,0,3,0x e x f x a R x ax x -⎧>⎪=∈⎨⎪+≤⎩,若方程()()20f f x -=恰有5个不同的根,则a 的取值范围是A. (),0-∞B. ()0,+∞C. ()0,1D. ()1,+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.在正方形ABCD 中,E 为线段AD 的中点,若EC AD AB λμ=+,则λμ+= .14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若211n n n n a a a a +++-=-,12a =,38a =,则4S = .15.已知函数()111f x x a x =++-+的图象是以点()1,1--为中心的中心对称图形,()2bx g x e ax bx =++,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与曲线()y g x =在点()()0,0g 处的切线互相垂直,则a b += .16.用0与1两个数字随机填入如图3所示的5个格子里,每个格子填一个数字,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总是1的个数不少于0的个数,则这样填法的概率为 .三、解答题：共70分。
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广西南宁市2019-2020学年高三第一次适应性测试
数学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，则=（）A．B．C．D．
2. 设，其中是实数，则在复平面内所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3. 若实数满足，则的最小值为（）
A．2 B．4 C．5 D．10
4. 已知，，则的值为（）
A．B．C．D．
5. 是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35以下空气质量为一级，在35～75之间空气质量为二级，在75以上空气质量为超标. 如图是某
市2019年12月1日到10日日均值（单位：）的统计数据. 若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级
的恰好抽取了2天的概率为（）
A．B．C．D．
6. 设a为正实数，函数，若，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为
的直线与双曲线在第一象限的交点为A.线段的中点为D，若
，则此双曲线的离心率为（）
A．
D．
B．C．
8. 如图，四棱锥中，平面，，，
，，，M是BC中点，N是线段SA上的点，设MN 与平面SAD所成角为，则的最大值为（）
A．B．C．D．
9. 过曲线外一点作该曲线的切线，则在y轴上的截距为
（）
A．B．C．D．
10. 已知抛物线的焦点为F，准线为，与x轴的交点为P，点A在
抛物线C上，过点A作，垂足为，若，则四边形的面积为（）
A．8 B．10 C．14 D．28
11. 已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，.
若，则的大小关系为（）A．B．C．D．
12. 已知函数的一个零点是，当
时函数取最大值，则当取最小值时，函数在上的最
大值为（）
D．0
A．
B．C．
二、填空题
13. 在平面上，，是方向相反的单位向量，若向量满足
，则的值为______.
14. 设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边，已知三角形ABC的面积等于，则内角A的大小为____________．
15. 已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．
16. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y 组成的实数对
，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m；最后再根据计数m来估计π的值．假设统计结果是，那么可以估计的近似值为____________．（用分数表示）
三、解答题
17. 水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采
产量（单位：斤）播种方式[840，
860）
[860，
880）
[880,900）[900,920）[920,940）
直播 4 8 18 39 31
散播9 19 22 32 18
约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”
（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？
产量高产量低合计
直播
散播
合计
P（K2≥k
）0.10 0.010 0.001
k
2.706 6.635 10.828
18. 已知数列{a n}满足，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19. 如图所示，在四棱柱中，侧棱平面，底面
是直角梯形，，，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
20. 已知椭圆C：（0＜b＜2）的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过中心O的弦．
（1）求面积的最大值；
（2）动直线与椭圆交于A，B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．
21. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知函数的两个极值点，若，①证明：；②证明：．
22. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点，以坐标原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足| ，记点N 的轨迹为曲线C．
（1）①设动点，记是直线的向上方向的单位方向向量，且，以t为参数求直线的参数方程
②求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值
23. 已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）记函数的最小值为，若是正实数，且，求证.。