广西南宁市2019-2020学年高三第一次适应性测试数学(理)试题

广西南宁市2019-2020学年高三第一次适应性测试

数学（理）试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 已知集合，则=（）A．B．C．D．

2. 设，其中是实数，则在复平面内所对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3. 若实数满足，则的最小值为（）

A．2 B．4 C．5 D．10

4. 已知，，则的值为（）

A．B．C．D．

5. 是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35以下空气质量为一级，在35～75之间空气质量为二级，在75以上空气质量为超标. 如图是某

市2019年12月1日到10日日均值（单位：）的统计数据. 若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级

的恰好抽取了2天的概率为（）

A．B．C．D．

6. 设a为正实数，函数，若，则a的取值范围是（）

A．B．C．D．

7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为

的直线与双曲线在第一象限的交点为A.线段的中点为D，若

，则此双曲线的离心率为（）

A．

D．

B．C．

8. 如图，四棱锥中，平面，，，

，，，M是BC中点，N是线段SA上的点，设MN 与平面SAD所成角为，则的最大值为（）

A．B．C．D．

9. 过曲线外一点作该曲线的切线，则在y轴上的截距为

（）

A．B．C．D．

10. 已知抛物线的焦点为F，准线为，与x轴的交点为P，点A在

抛物线C上，过点A作，垂足为，若，则四边形的面积为（）

A．8 B．10 C．14 D．28

11. 已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，.

若，则的大小关系为（）A．B．C．D．

12. 已知函数的一个零点是，当

时函数取最大值，则当取最小值时，函数在上的最

大值为（）

D．0

A．

B．C．

二、填空题

13. 在平面上，，是方向相反的单位向量，若向量满足

，则的值为______.

14. 设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边，已知三角形ABC的面积等于，则内角A的大小为____________．

15. 已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．

16. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y 组成的实数对

，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m；最后再根据计数m来估计π的值．假设统计结果是，那么可以估计的近似值为____________．（用分数表示）

三、解答题

17. 水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采

产量（单位：斤）播种方式[840，

860）

[860，

880）

[880,900）[900,920）[920,940）

直播 4 8 18 39 31

散播9 19 22 32 18

约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”

（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？

产量高产量低合计

直播

散播

合计

P（K2≥k

）0.10 0.010 0.001

k

2.706 6.635 10.828

18. 已知数列{a n}满足，．

（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

19. 如图所示，在四棱柱中，侧棱平面，底面

是直角梯形，，，．

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值．

20. 已知椭圆C：（0＜b＜2）的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过中心O的弦．

（1）求面积的最大值；

（2）动直线与椭圆交于A，B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．

21. 已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）已知函数的两个极值点，若，①证明：；②证明：．

22. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点，以坐标原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足| ，记点N 的轨迹为曲线C．

（1）①设动点，记是直线的向上方向的单位方向向量，且，以t为参数求直线的参数方程

②求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程；

（2）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值

23. 已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）记函数的最小值为，若是正实数，且，求证.