数学建模队员的选拔

数学建模队员的选拔

摘要：一年一度的全国大学生数学建模竞赛是高等院校的重要赛事。由于竞赛场地、经费等原因，不是所有想参加竞赛的人都能被录用。为了能够选拔出真正优秀的同学代表学校参加全国竞赛，数学建模教练组需要投入大量的精力，但是每年在参赛的时候还是有很多不如意之处：有的学生言过其实，有的队员之间合作不默契，影响了数学建模的成绩。数学建模需要学生具有较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力、较强的语言表达能力和写作能力、良好的团队合作精神，同时还要求思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性。数学建模培训课程的签到记录；数学建模的笔试成绩，上机操作，学生个人简介，面试，老师和学生的推荐等，通过这种方式选拔出队员。

一、问题的提出与分析

给出各个同学的部分信息：

提出问题一：

根据所了解的数学建模知识，选拔数学建模队员要考察学生的哪些情况？哪些素质是数学建模的关键素质，如何进行考察？

问题分析：

根据所了解的数学建模知识，在选拔数学建模队员时应考察学生的数学基础以及必要的数学建模的知识、良好的编程能力以及熟练地使用数学软件的能力、较强的语言表述能力和写作能力、良好的团队合作精神。同时还要求队员思维敏捷、不怕苦不怕累、对数学模型有较好的悟性。

数学和思维敏捷是建模的关键，组队时，我们应该优先考虑有这方面才能的人。数学以及数学建模的知识可以通过学生的数学建模笔试成绩和数学竞赛获奖情况来考察，而思维敏捷能力主要通过对问题的反应来估量

提出问题二：

根据表中信息，建立建模队员选拔的数学模型，从中选出9位同学，并组成

3个队，使得这三个队具有良好的知识机构。

问题分析：

该问题就是在15名学生中剔除6名实力最弱的。由题意可知，该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，我们主要利用层次分析法，分别算出各指标对选择队员的权重，以及各队员对各指标的权重，然后综合考察每个队员的权重进行排名，最后剔除排名落后的六名学生。

提出问题三：

有的指导老师在对学生机试的时候发现一个计算机编程高手，然后直接录用，不再考察其它情况，这种做法是否可取。

问题分析：

我们在前一问的基础上进行假设，假设计算机是队员选拔的关键因素，设置添加了一名计算机高手S16。与其他队员综合排名作比较。通过结果确定直接录取而不考虑其他方面的做法是否可取。

二、基本假设

1、假设参赛队员的外部环境相同，竞赛中不考虑其它的随机因素。在正式比赛对过程中队员都能正常的发挥自己的水平。

2、假设竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件,且认为表中测量的数据都是客观公正的。

3、假设笔试成绩，思维敏捷度，知识面宽广，听课次数，以及其它情况这5项对学生数学建模综合能力的影响占主要地位，且影响程度是依次递减的。

4、假设在组队后各队的发挥是相互独立对，不受其他组的影响。

5、假设组队后的整体水平由该队每项的最佳队员的指标表征。

三、符号说明

四、模型建立及求解

问题二求解

1、参赛队员的选取

由每个学生的基本条件表可知，该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题。为了从15名队员中选出9名参赛者，我们主要利用层次分析法，分别算出各指标对选择队员的权重，以及各队员对各指标的权重，然后综合考察每个队员的权重进行排名。

根据题目给出的七项指标，我们首先将各指标量化，为了区分各项条件

中的档次差异，确定量化原则如下：

笔试成绩按照满分10分计；思维敏捷、知识面的A、B、C、D等级分别按4分、3分、2分、1分计算；听课次数按一次1分计；其他情况如考过程序员，建模选修课、学过MATLAB的各加1分，过计算机三级的加2分；班级排名情况及机试成绩由于统计的不是很全，所以不好进行量化，因此这项指标可以不用考虑。

表（１）15名学生量化分数表

运用层次分析法：

将从15名学生中选拔9名优秀队员看作一个目标，作为目标层O。将刻画队员的5个指标作为准则层C。将15名学生作为方案层P。

如图（1）：

由题目已知及假设可得，准则层的五项指标依次递减，并认为相邻两项的差距不大，且都假设是相等的，这里都认为相差为1，于是两两对比得如下比较矩阵：

1 2 3 4 5 1/2 1 2 3 4

A = 1/3 1/2 1 2 3

1/4 1/3 1/2 1 2 1/5 1/4 1/3 1/2 1

这里我们用和法来计算，以下为步骤：

①将A 的每一列向量归一化得1

/(1,2,...,);n

ij ij ij i a a j n ω===∑

②将ij ω按行求和得1

(1,2,...,);n

i ij

j i n ωω

==

=∑

③将i ω归一化得1

/,n

i i i

i ωωω==∑ 1

12(,,...,)T

n ωωω=ω

为近似特征向

量；

④计算最大特征值1

m ax 1

()1n

i

i i

n

λω==

∑

A ω；

由以上公式计算可得最大特征值max 5.0683λ≈。

特征向量[]1

0.4162 0.2618 0.1611 0.0986 0.0624T

=ω

根据一致性指标公式m ax (1)1

n

C I n λ-=

- 可得：一致性指标 011)71(.0CI = 随机一致性指标可根据表（2）查得：12(1).100RI =。

根据公式得到随机一致性比率：(1)(1)0.01530.1(1)

CI CR RI =

=<，我们认为成

对比较矩阵A 具有满意的一致性，所以通过一致性检验。

我们也可以用MATLAB 编程计算得到（见附录程序）。

根据问题的条件和模型的假设，对每个人各项条件的量化指标能够充分反映出每个人的综合实力。

由此可以分别构造P 层对准则层K C 的比较矩阵： ()

,()k i j N N b ⨯=K B 其中， ()

()

,()(,1,2,...,5)k k i i j

k j

T b

i j T

=

= 。

显然，所有的 (1,2,...,5)k =k B 均为一致阵。 由一致阵的性质可知：k B 的最大特征值()

m ax k N λ=，2

0k

C R =，

其任一列向量都是()

m ax k λ的特征向量。将其归一化可得P

对k C 的权重向量。

记作()()()12(,,...,)k k k T

N ωωω=k ω (1,2,.k =， 记 2

(1)

(2)

(5)

5(,,...,)N ω

ω

ω

⨯=ω

为P 层对C 层的权重，

且一致性比率指标为5

()

2

(2)0k C R C R

==∑，表（3）为P C -层的特征向量：