三角恒等式证明9种基本技巧
三角关系恒等式
三角关系恒等式一、基本三角函数关系恒等式1. 同角三角函数的基本关系- 平方关系- 根据直角三角形中正弦和余弦的定义（设直角三角形一个锐角为α，对边为a，邻边为b，斜边为c），sinα=(a)/(c)，cosα=(b)/(c)。
- 由勾股定理a^2+b^2=c^2，可得sin^2α+cos^2α =((a)/(c))^2+((b)/(c))^2=frac{a^2+b^2}{c^2} = 1。
- 另外，1+tan^2α=sec^2α，因为tanα=(sinα)/(cosα)，secα=(1)/(cos α)，将tanα代入1 +tan^2α可得1+frac{sin^2α}{cos^2α}=frac{cos^2α+sin^2α}{cos^2α}，根据sin^2α+cos^2α = 1，所以1+tan^2α=sec^2α。
- 同理，1+cot^2α=csc^2α，其中cotα=(cosα)/(sinα)，cscα=(1)/(sin α)。
- 商数关系- tanα=(sinα)/(cosα)（cosα≠0），这是根据正切函数的定义得到的，在直角三角形中，正切是对边与邻边的比值，而正弦是对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值，所以相除得到正切。
- cotα=(cosα)/(sinα)（sinα≠0）2. 诱导公式（角α与±α、π±α、2kπ±α，k∈ Z的关系）- sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα- 从单位圆的角度来看，角α与-α关于x轴对称。
设单位圆上一点P(x,y)对应的角为α，那么角-α对应的点P'(x, - y)。
根据正弦函数y = sinα，sin(-α)=-y =-sin α；余弦函数x=cosα=cos(-α)。
- sin(π-α)=sinα，cos(π - α)=-cosα- 在单位圆中，角α与π-α的终边关于y = x对称。
设角α终边上一点P(x,y)，则角π-α终边上一点P'(-x,y)。
三角函数恒等式证明的基本方法
三角函数恒等式证明的基本方法三角函数恒等式是指对定义域内的任何一个自变量x 都成立的等式；三角函数恒等式的证明问题是指证明给定的三角函数等式对定义域内的任何一个自变量x 都成立的数学问题。
这类问题主要包括：①三角函数等式一边较繁杂，一边较简单；②三角函数等式的两边都较繁杂两种类型。
那么在实际解答三角函数恒等式的证明问题时，到底应该怎样展开思路，它的基本方法如何呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题： 1、证明下列三角函数恒等式：（1）4222sin sin cos cos 1αααα++=； （2）22(cos 1)sin 22cos ααα-+=-；（3）若sin α.cos α＜0,sin α.tan α＜0，=±2tan 2α。
【解析】【知识点】①同角三角函数的基本关系；②二次根式的定义与性质；③分式的定义与性质。
【解题思路】（1）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（2）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（3）对左边运用分式的性质，同角三角函数的基本关系和二次根式的性质，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式。
【详细解答】（1）左边=sin 2α( sin 2α+ cos 2α)+ cos 2α= sin 2α+ cos 2α=1=右边，∴4222sin sin cos cos 1αααα++=；（2）左边= cos 2α-2 cos α+1+sin 2α=2-2 cos α=右边，∴22(cos 1)sin 22cos ααα-+=-；（3） sin α.cos α＜0，sin α.tan α＜0，∴α是第二象限的角，⇒2α是第一象限或第三象限的角，①当2α是第一象限的角时，左边|1sin|2|cos |2αα+-|1sin|2|cos |2αα-=1sin1sin22cos2ααα+-+=2tan 2α；②当2α是第一象限的角时，左边|1sin|2|cos |2αα+-|1sin|2|cos |2αα-=1sin1sin22cos2ααα--+-=-2tan 2α；⇒左边=±2tan 2α=右边，∴若若sin α.cos α＜0，sin α.tan α＜0±2tan 2α。
三角恒等式理解三角恒等式的证明与应用
三角恒等式理解三角恒等式的证明与应用三角恒等式是指在三角函数中，存在一些特定的等式关系。
这些等式在解决三角函数相关问题时经常被使用，因此理解三角恒等式的证明与应用对于学习和应用三角函数非常重要。
本文将对三角恒等式的证明与应用进行详细的探讨。
一、三角恒等式的定义和基本形式三角恒等式是指在三角函数中满足特定关系的等式。
常见的三角恒等式有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数之间的等式关系。
1. 正弦函数与余弦函数的恒等式正弦函数与余弦函数最常见的恒等式是正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1，即sin^2θ + cos^2θ = 1。
2. 正切函数与余切函数的恒等式正切函数与余切函数最常见的恒等式是正切函数与余切函数的倒数的平方等于1，即tan^2θ + 1 = sec^2θ。
3. 正弦函数与余切函数的恒等式正弦函数与余切函数的恒等式是正弦函数与余切函数的倒数之积等于1，即sinθ * cscθ = 1。
二、三角恒等式的证明方法三角恒等式的证明可以通过几何证明、代数证明和三角恒等式的性质来完成。
下面以sin^2θ + cos^2θ = 1为例进行证明。
1. 几何证明对于sin^2θ + cos^2θ = 1，可以通过单位圆的概念来进行几何证明。
假设在单位圆上取点P(x, y)，则此时P点到圆心的距离为1，可以得到x^2 + y^2 = 1。
而根据三角函数的定义，sinθ = y，cosθ = x，代入原等式即可得证。
2. 代数证明代数证明通常采用数学运算的方法来推导等式的成立。
对于sin^2θ + cos^2θ = 1，可以通过将右边的1展开成sin^2θ + cos^2θ的形式来证明。
具体步骤如下：s in^2θ + cos^2θ = (sin^2θ + cos^2θ)(1)= sin^2θ + sin^2θcos^2θ + cos^2θsin^2θ + cos^2θ= sin^2θ(1 + cos^2θ) + cos^2θ(1 + sin^2θ)= sin^2θ + cos^2θ= 1因此，通过代数运算可以证明sin^2θ + cos^2θ = 1。
9种常用三角恒等变换技巧总结
9种常用三角恒等变换技巧总结三角函数是数学中一种重要的函数，它广泛应用于几何、物理、工程等领域。
而在解题过程中，常常需要通过三角恒等变换技巧来简化或转换问题，以便更容易求解或证明。
下面我们将总结一下常用的九种三角恒等变换技巧。
1.正弦和余弦平方和恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这是最基本的三角恒等式，即正弦和余弦的平方和等于1、它在很多场合都会被应用到，例如求解三角方程、证明三角函数的性质等。
2.余弦的二倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)这个公式可以将一个角的余弦值转化为另一个角的余弦值，同时也可以将余弦值转化为正弦值。
它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
3.正弦的二倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)这个公式可以将一个角的正弦值转化为另一个角的正弦值，或者将正弦值转化为余弦值。
它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
4.正切的和差公式：tan(x±y) = (tan(x)±tan(y))/(1∓tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和或差转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和或差。
它在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
5.两角和差公式：sin(x±y) = sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)cos(x±y) = cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)这些公式可以将两个角的正弦值或余弦值的和或差转化为一个角的正弦值或余弦值，或者将一个角的正弦值或余弦值转化为两个角的正弦值或余弦值之和或差。
它们在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
6.正切的和公式：tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和。
9种常用三角恒等变换技巧总结
9种常用三角恒等变换技巧总结三角恒等变换是数学中常用的一种技巧，在解决三角函数相关问题时非常有用。
下面总结了九种常见的三角恒等变换技巧。
1.倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的倍角，从而简化计算。
2.半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的半角，从而简化计算。
3.和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些公式可以用于将两个角度的三角函数变成一个角度的三角函数，从而简化计算。
4.和差化积公式：sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)sinA - sinB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)这些公式可以用于将和或差的三角函数转化为乘积的三角函数，从而简化计算。
5.积化和差公式：sinAcosB = 1/2(sin(A+B) + sin(A-B))cosAsinB = 1/2(sin(A+B) - sin(A-B))cosAcosB = 1/2(cos(A+B) + cos(A-B))sinAsinB = -1/2(cos(A+B) - cos(A-B))这些公式可以用于将乘积的三角函数转化为和或差的三角函数，从而简化计算。
三角恒等式的推导与证明
三角恒等式的推导与证明一、引言三角恒等式是数学中的重要概念，它们是三角函数之间的等式关系。
在数学和物理学等领域，三角恒等式经常被用于简化和推导复杂的数学表达式。
本文将从基本的三角恒等式开始推导，并逐步展示它们的证明过程。
二、基本的三角恒等式1. 正弦恒等式：sin²θ + cos²θ = 1推导过程：由勾股定理可知：sin²θ + cos²θ = 12. 余弦恒等式：1 + tan²θ = sec²θ推导过程：根据定义：tanθ = sinθ/cosθsecθ = 1/cosθ由此推导可得：1 + tan²θ = 1 + (sin²θ/cos²θ) = (cos²θ + sin²θ)/cos²θ = 1/cos²θ = sec²θ3. 正切恒等式：1 + cot²θ = csc²θ推导过程：根据定义：cotθ = cosθ/sinθcscθ = 1/sinθ由此推导可得：1 + cot²θ = 1 + (cos²θ/sin²θ) = (sin²θ + cos²θ)/sin²θ = 1/sin²θ = csc²θ三、倍角三角恒等式1. 正弦恒等式：sin2θ = 2sinθcosθ推导过程：由和差化积公式可得：sin(θ + θ) = sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθ (公式1)2. 余弦恒等式：cos2θ = cos²θ - sin²θ推导过程：由和差化积公式可得：cos(θ + θ) = cosθcosθ - sinθsinθ = cos²θ - sin²θ (公式2)3. 正切恒等式：tan2θ = (2tanθ)/(1-tan²θ)推导过程：由正切的定义可得：tan2θ = tan(θ + θ)= (tanθ + tanθ) / (1 - tanθtanθ) = (2tanθ)/(1-tan²θ) (公式3)四、和差三角恒等式1. 正弦和差恒等式：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ推导过程：由和差化积公式可得：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ (公式4)2. 余弦和差恒等式：cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ推导过程：由和差化积公式可得：cos(α ± β) = cosαcosβ ∓sinαsinβ (公式5)3. 正切和差恒等式：tan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)推导过程：由正切的定义可得：tan(α ± β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ) (公式6)五、证明示例我们以正弦和差恒等式为例进行证明。
三角恒等变换的技巧
三角恒等变换的技巧三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考．技巧一：式的变换-→两式相加减，平方相加减例1已知11cos sin ,sin cos 23αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36αβαβ+-= 化简得，59sin()72βα-=-，即59sin()72αβ-= 【方法评析】式的变换包括：（1）tan(α±β)公式的变用；（2）齐次式；（3） “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方）；（4）两式相加减，平方相加减；（5）一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）．技巧二：角的变换→已知角与未知角的转化例2已知7sin()2425παα-==，求sin α及tan()3πα+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得，故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α，54cos -=α，于是3tan 4α=-故3tan()3πα-++=== 【方法评析】（1）本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到；（2）在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．技巧三：合一变换---辅助角公式例3设关于x的方程sin 0x x a ++=在(0,2)π内有相异二解βσ和.求a 的取值范围.解:∵1sin 2(sin )2sin()23x x x x x π=+=+，∴方程化为sin()32a x π+=-.∵方程sin 0x x a ++=在(0,2)π内有相异二解,∴sin()sin 332x ππ+≠=. 又sin()13x π+≠± (和1±时仅有一解),∴122a a <≠且-,即2a a <≠且∴ a的取值范围是(2,(3,2)--. 【方法评析】要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2)π这一条件. 例4 若cos 2sin αα+=求tan α的值.解： 方法一：(“1”的运用)将已知式两端平方得方法二：(合一变换)()αϕ+=1tan 2ϕ=， 再由()sin 1αϕ+=-知,()22k k παϕπ+=-∈Z ，所以22k παπϕ=--， 所以sin cos 2tan tan 2tan 222sin cos 2k πϕππϕαπϕϕπϕϕ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=--=== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭方法三：(式的变换)令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得255t =+，故0t =，即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=．方法四：(与单位圆结合)我们可以认为点()cos ,sin M αα在直线2x y +=而点M 又在单位圆221x y +=上，解方程组可得5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而tan 2y x α==．这个解法和用方程组22cos 2sin sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩求解实质上是一致的．方法评析：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知()1sin cos ,0,5βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后一题第一问）”之类的题目,背景是熟悉的,但要解决这个问题还需要学生具有相当的知识迁移能力．有关三角恒等变换的一般解题思路为“五遇六想”，即：遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角.。
三角函数和三角恒等式的解法
三角函数和三角恒等式的解法三角函数是数学中一个重要的概念，与三角恒等式密切相关。
在解决三角函数和三角恒等式的问题时，存在多种解法，下面将介绍一些常用的方法。
一、三角函数的解法1. 角度法三角函数中的角度可以用度数或弧度表示。
角度法是最为常见的解题方法，其中包括：- 利用基本三角函数的表格：通过查表或从记忆中迅速找到角度对应的三角函数值。
- 利用特殊角的值：如30°、45°、60°、90°等，它们的三角函数值通常是已知的，可以直接使用。
2. 直角三角形法直角三角形法适用于已知一个角度以及两边的长度，解题步骤如下：- 给定一个角度及两边的长度。
- 确定该角度对应的直角三角形。
- 利用正弦、余弦、正切等求解。
3. 平面向量法平面向量法适用于已知向量的情况，解题步骤如下：- 将已知向量拆分为坐标形式。
- 利用坐标形式计算向量的模和方向角。
- 通过已知的三角函数关系求解。
二、三角恒等式的解法三角恒等式是包含三角函数的等式，常用的解法有以下几种：1. 代入法代入法是最简单的解题方法，在恒等式中，选择一个或多个特殊角度，将其代入恒等式中计算，验证等式是否成立。
2. 化简法化简法是通过运用三角函数的基本关系、平方公式、和差化积等恒等式，将复杂的三角函数表达式化简成简单明了的形式，从而方便计算和验证恒等式。
3. 倍角、半角、和差角公式法倍角、半角、和差角公式是三角函数中的重要关系，利用这些公式可以将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式。
在解题时，可以通过判断等式中的角度关系，选择合适的公式进行推导和变形。
4. 倒数、倒代入法倒数、倒代入法适用于恒等式中存在三角函数的倒数形式的情况。
通过将恒等式中的倒数形式转化为原函数的倒数形式，然后倒代入，最后得到恒等式的证明。
综上所述，解决三角函数和三角恒等式问题可以采用不同的方法和技巧。
根据具体的题目要求，可以选择适当的解题方法，并运用相关的数学公式和恒等式进行推导和变形，最终得到正确的答案。
三角恒等式证明9种基本技巧
三角恒等式证明9种根本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。
根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。
1．化角观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。
例1求证：tan23x - tan 21x =xx x 2cos cos sin 2+ 思路分析：此题的关键是角度关系：x=23x -21x ，可作以下证明：2．化函数三角函数中有几组重要公式，它们不仅提醒了角间的关系，同时提醒了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同〔如化切为弦等〕的思路，恰中选用公式，这也是证明三角恒等式的一种根本技巧。
例2 设A B A tan )tan(-+AC22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。
思路分析：欲证tan 2C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。
3．化幂应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。
例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：4．化常数将或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。
如1=sin 2α+cos 2α=sec 2α-tan 2α=csc 2α-cot 2α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450=sin900=cos00等等。
如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。
例4 求证αααα22sin cos cos sin 21--=ααtan 1tan 1+-思路分析：将左式分子中“1〞用“sin 2α+cos 2α〞代替，问题便迎刃而解。
三角函数的恒等变换与证明归纳
三角函数的恒等变换与证明归纳三角函数是数学中重要的函数之一，它们在解决几何问题和分析问题中起着重要的作用。
在三角函数的研究中，我们经常会遇到恒等变换与证明归纳的问题，这不仅有助于我们加深对三角函数的理解，也能提高我们的证明能力。
本文将介绍几个常用的三角函数的恒等变换，并通过证明归纳的方法来证明它们的正确性。
首先，让我们来看一下最基本的三角函数的定义。
在一个直角三角形中，正弦、余弦和正切分别定义为：sinθ = 对边/斜边cosθ = 邻边/斜边tanθ = 对边/邻边接下来，我们将介绍三个常用的三角函数的恒等变换。
一、正余弦的平方和恒等变换对于任意角θ，有以下恒等关系：sin²θ + cos²θ = 1这个恒等变换被称为正余弦的平方和恒等变换。
要证明这个恒等关系的正确性，我们可以通过归纳法来证明。
首先，当θ=0时，左边的等式为sin²0 + cos²0 = 0 + 1 = 1，右边的等式为1，两边相等，恒等关系成立。
接下来，假设当θ=k时，恒等关系成立，即sin²k + cos²k = 1。
我们来证明当θ=k+1时，恒等关系也成立。
根据三角函数的定义，我们有sin(k+1) = sink*cos1 + cosk*sin1，cos(k+1) = cosk*cos1 - sink*sin1。
将这两个式子代入到恒等关系左边，得到：sin²(k+1) + cos²(k+1)= (sink*cos1 + cosk*sin1)² + (cosk*cos1 - sink*sin1)²= (sinkcos1)² + 2sinkcos1*cosk*sin1 + (cosksin1)² + (coskcos1)² -2sinkcos1*cosksin1 + (sinksin1)²利用恒等关系sin²k + cos²k = 1，我们可以简化上述等式：= sin²k*cos²1 + cos²k*sin²1 + cos²k*cos²1 - 2sin1*cos1*sin1*cosk -2sin1*cos1*sin1*cosk + sin²k*sin²1= sin²k*(cos²1 + sin²1) + cos²k*(cos²1 + sin²1)= sin²k + cos²k= 1因此，根据证明归纳的方法，我们证明了正余弦的平方和恒等变换的正确性。
三角恒等式证明9种基本技巧
三角恒等式证明9种基本技巧1. 使用三角函数的定义。
三角函数的定义是三角恒等式证明中最基本的工具之一、例如，根据正弦函数的定义：sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)，可以证明一些常见的三角恒等式。
3. 使用欧拉公式。
欧拉公式表示了指数函数和三角函数之间的关系，即e^(ix) = cos(x) + isin(x)。
利用欧拉公式，可以将复杂的三角函数表达式化简为简单的指数函数，从而证明三角恒等式。
4.使用三角函数的性质。
三角函数具有很多重要的性质，如周期性、奇偶性、反函数等。
利用这些性质，可以对三角恒等式进行转换和化简。
5.使用三角函数的和差公式。
三角函数的和差公式是三角恒等式证明中常用的工具。
利用和差公式，可以将一个三角函数表达式转化为一个或多个不同的三角函数表达式，从而证明三角恒等式。
6.使用多角恒等式。
多角恒等式是一类涉及多个角度的三角恒等式。
通过将多角恒等式转化为较简单的三角恒等式，可以推导出更复杂的三角恒等式。
7.使用三角恒等式链。
三角恒等式链是一组相关的三角恒等式，它们可以逐步推导出一个最终的三角恒等式。
通过使用这些相关的恒等式，可以证明更复杂的三角恒等式。
8.使用变量替换和代换。
在证明三角恒等式时，可以通过引入新的变量或进行代换来简化问题。
通过适当选择变量或代换，可以将原始的三角恒等式转化为更简单和易于证明的形式。
9.使用数学归纳法。
数学归纳法是一种常用的证明方法，适用于证明一类具有递归结构的命题。
在三角恒等式证明中，可以利用数学归纳法来逐步证明恒等式的不同情况，从而得到最终的结果。
以上是证明三角恒等式的9种基本技巧。
在实际应用中，根据具体的问题和需要，可以选择其中一种或多种方法来进行证明。
需要注意的是，在进行三角恒等式证明时，要仔细分析题目，选择合适的方法，并严格按照证明的逻辑进行推导，以确保证明的正确性。
三角恒等变换技巧
三角恒等变换技巧三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来；由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具〞．而且由于三角公式众多．方法灵活多变，假设能熟练地掌握三角恒等变换，不但能增强对三角公式的记忆，加深对诸多公式内在联系的理解，而且对开展学生的逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有裨益 · 一、 切割化弦“切割化弦〞就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径．其实质是〞‘归一〞思想． 【例1】证明：ααααααααcot tan cos sin 2cot cos tan sin 22+=++证明：左边ααααααααcos sin 2sin cos cos cos sin sin22+⋅+⋅= ααααααααααααcos sin 1cos sin )cos (sin cos sin cos cos sin 2sin 2224224=+=++=右边ααααααααααcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+= ∴左边～右边．原等式得证．点评“切割化弦〞是将正切、余切、正割、余割函数均用正弦、余弦函数表示，这是一种常用的、有效的解题方法．当涉及多种名称的函数时，常用此法减少函数的种类． 【例2】θ同时满足b a b a b a 2sec cos 2cos sec 22=-=-θθθθ和，且b a ,均不为零，试求“b a ,〞b 的关系．解：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-②① b a b a b a 2sec cos 2cos sec 22θθθθ显然0cos ≠θ，由①×θ2cos +②×θcos 得： 0cos 2cos 22=+θθb a ，即0cos =+b a θ又0≠a ，∴ab-=θcos 代入①得a a b b a 2223=+0)(222=-⇔b a ∴22b a =点评 本例是化弦在解有关问题时的具体运用，其中正割与余弦、余割与正弦之间的倒数关系是化弦的通径． 【例3】化简)10tan 31(50sin 00+解：原式=000000010cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin +⋅=+ 110cos 80sin 10cos 10cos 40sin 210cos )1030sin(250sin 000000000===+⋅=点评 这里除用到化切为弦外，其他化异角函数为同角函数等也是常用技巧． 二、 角的拆变在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角的相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为ββα-+)(；α2可变为)()(βαβα-++；βα-2可变为αβα+-)(；α可视为2α的倍角；)45(0α±可视为)290(0α+的半角等等．【例4】〔2005年全国卷〕设α为第四象限角，假设513sin 3sin =αα，那么=α2tan _______. 解： 513tan 1tan 3tan 2tan tan 2tan sin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin sin 3sin 22=+-=-+=-+=αααααααααααααααα ∴91tan 2=α 又∵α为第四象限角 ∴31tan -=α∴43tan 1tan 22tan 2-=-=ααα 点评这里将α3写成αα+2，将α写成αα-2是解题的切人点．根据三角表达式的结构特征，寻求它与三角公式间的相互关系是解题的关键．【例5】锐角α、β满足)cos(2csc sin βααβ+=，2πβα≠+，求βtan 的最大值及β的值。
三角恒等变换
综合练习题
● 题目：求证 sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ 解析：利用三角函数的加法公式，将左边展开，与右边进行比 较，得出结论。
● 解析：利用三角函数的加法公式，将左边展开，与右边进行比较，得出结论。
● 题目：已知 cos(α + β) = 1/3，cos(α - β) = 2/3，求 tanαtanβ 的值 解析：利用三角函数的加法公式和减法 公式，将已知条件代入，解出 tanαtanβ 的值。
公式形式：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny 公式证明：利用三角函数的和差化积公式证明 应用场景：在三角函数图像变换、求解三角函数方程等问题中广泛应用 注意事项：使用时需要注意x、y的取值范围，避免出现错误的结果
三角恒等变换的 技巧和方法
代数恒等变换方法
代数恒等变换的定义和性质
交流电分析：在交流电 的分析中，三角恒等变 换用于计算交流电的相 位和幅度，以及进行电 路分析。
振动分析：三角恒等变 换用于描述简谐振动的 合成与分解，以及分析 复杂振动的模式。
光学应用：在光学中， 三角恒等变换用于描述 光的干涉和衍射现象， 以及分析光学仪器的性 能。
三角恒等变换在实际问题中的应用
三角函数在解析几何中的应用，例如求解极坐标方程、圆和椭圆的参数方程等。
三角函数在求解微分方程中的应用，例如求解振动问题、波动问题等。 三角恒等变换在信号处理中的应用，例如傅里叶变换、拉普拉斯变换等。 三角恒等变换在复数运算中的应用，例如求解复数方程、进行复数运算等。
三角恒等变换的 注意事项和易错 点
● 解析：利用三角函数的加法公式和减法公式，将已知条件代入，解出 tanαtanβ 的值。
三角恒等式的证明与推理
三角恒等式的证明与推理三角恒等式在数学中起着重要的作用，其证明和推理过程可以帮助我们理解三角函数的性质和相互关系。
本文将从基本恒等式出发，逐步推导和证明一些常见的三角恒等式，以帮助读者更好地理解它们的意义和用途。
一、基本恒等式基本恒等式是三角恒等式的基础，需要牢记。
它们包括：1. 正弦的平方加余弦的平方等于1：sin^2x + cos^2x = 12. 正切等于正弦除以余弦：tanx = sinx / cosx3. 余切等于余弦除以正弦：cotx = cosx / sinx二、常用恒等式常用恒等式是在基本恒等式的基础上推导而来，具有更广泛的应用。
下面列举几个常用的恒等式：1. 反余弦的恒等式：arccosx = π/2 - arcsinx2. 反正切的恒等式：arctanx = π/2 - arctan(1/x)3. 弦切恒等式：secx = 1 / cosx4. 余弦割恒等式：cscx = 1 / sinx三、三角恒等式的证明三角恒等式的证明过程通常基于基本恒等式和常用恒等式，采用代数推导和几何解析等方法。
接下来，我们以某个三角恒等式为例进行证明：以三角恒等式 sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny 为例，我们可以通过以下证明过程验证它的正确性：首先，利用基本恒等式 sin(a+b) = sina*cosb + cosa*sinb，将 x+y 替换为 a，x 替换为 b，得到 sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny。
因此，三角恒等式 sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny 得到证明。
类似地，我们可以通过代数推导和几何解析等方法来证明其他的三角恒等式，以帮助我们更好地理解它们的推导和应用。
四、三角恒等式的推理三角恒等式的推理是通过已知的恒等式推导出新的等式。
这要求我们熟悉各个三角函数的定义和性质，并善于利用已知的恒等式进行推理。
例如，假设已知sinx = cos(π/2 - x)，我们可以通过以下推理得到新的等式：将 x 替换为 x+y，得到sin(x+y) = cos[π/2 - (x+y)]。
三角恒等变换的类型和技巧
ʏ岳立红三角恒等变换是三角运算㊁化简㊁求值及证明过程中必不可少的手段,理解和掌握基本的三角恒等变换技巧并能灵活运用是提高解决三角问题能力的必要条件㊂下面谈谈三角恒等变换的基本类型和技巧㊂一㊁角的变换在三角的化简㊁求值及证明过程中,条件与结论中往往出现比较多的相异角,此时可根据角之间的和差倍半关系及互余㊁互补关系,寻找已知角与待求角之间的关系,整体使用三角公式求解㊂例1 已知π4<α<3π4,0<β<π4,c o s π4-α =35,s i n 3π4+β=513,求s i n (α+β)的值㊂解:寻求关系α+β=3π4+βπ4-απ2,利用诱导公式及两角差公式求解㊂由已知可得-π2<π4-α<0,所以s i n π4-α=-45㊂因为3π4<3π4+β<π,所以c o s 3π4+β=-1213㊂所以s i n (α+β)=-c o s 3π4+β - π4-α =-c o s 3π4+β ㊃c o s π4-α -s i n 3π4+β ㊃s i nπ4-α =1213ˑ35-513ˑ-45 =5665㊂评注:一般情况下角的变换有三类:和差变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)-(α-β),α-β=(α-γ)-(β-γ)等;倍半变换,如α与2α,α2与α4等;互余与互补变换,如π3+α与π6-α,2π3+α与π3+α等㊂二㊁常值代换在三角求值过程中,有时可打破常规,用式子代替常数,特别是 1 的代换,常常能出奇制胜,事半功倍㊂例2 已知t a n α+π4=2,求12s i n αc o s α+c o s 2α的值㊂解:由已知可得t a n α的值,考虑到弦化切,利用c o s 2α+s i n 2α代换分子中的1求解㊂由已知得1+t a n α1-t a n α=2,所以t a n α=13㊂原式=c o s 2α+s i n 2α2c o s αs i n α+c o s 2α=1+t a n 2α2t a n α+1=1+1322ˑ13+1=23㊂评注:通常情况下,常值代换可分为两类:公式类,如1=c o s 2α+s i n 2α=s e c 2α-t a n 2α=c s c 2α-c o t 2α等;特殊值类,如22=s i n 45ʎ=c o s 45ʎ,1=t a n 45ʎ=c o t 45ʎ等㊂三㊁降次或升次变换一般地,如果三角式子中出现较高次数或根式时,可借助降次或升次进行变换㊂例3 化简:c o s 8α-s i n 8α+14s i n2α㊃s i n 4α-12+1212+c o s 8α2,αɪ-π2,0㊂解:利用降次,统一角求解㊂原式=(s i n 4α+c o s 4α)(c o s 4α-s i n 4α)+14s i n 2αs i n 4α-12+12c o s 4α=[(c o s 2α+s i n 2α)2-2c o s 2αs i n 2α]㊃(c o s 2α+s i n 2α)㊃(c o s 2α-s i n 2α)+14s i n2αs i n4α-c o s 2α=7知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1-12s i n 22αco s 2α+14s i n2α㊃2s i n2α㊃c o s 2α-c o s 2α=c o s 2α-12s i n 22αc o s 2α+12s i n 22αc o s 2α-c o s 2α=0㊂评注:升降次的方法一般有两类:利用倍角㊁半角公式,如c o s 2α=1+c o s 2α2,s i n 2α=1-c o s 2α2,c o s αs i n α=12s i n 2α及平方关系式;利用乘法公式及因式分解,如c o s 8αʃs i n 8α,c o s 6αʃs i n 6α,c o s 4αʃs i n 4α等㊂四㊁结构变换在三角求值㊁化简及证明过程中,常需要对所给的条件及结论进行适当的结构调整,从而使条件便于运用或结论更容易求出㊂例4 已知s i n α+s i n β+s i n γ=0,c o s α+c o s β+c o s γ=0,求c o s (α-β)的值㊂解:对条件式子的结构进行适当变形,产生结论式子所需要的结构,以便于求解㊂由已知得s i n α+s i n β=-s i n γ,c o s α+c o s β=-c o s γ,两式两边分别平方再相加得2+2(c o s αc o s β+s i n αs i n β)=1,所以c o s (α-β)=-12㊂评注:三角函数式结构变化的典型方法有:利用s i n θʃc o s θ与s i n θc o s θ的转化关系;利用辅助角公式,即a s i n θ+b c o s θ=a 2+b 2si n (θ+φ),其中φ由t a n φ=ba确定;利用万能公式;利用三角函数的积化和差与和差化积等㊂五㊁公式的变形应用在三角函数的求值㊁化简及证明过程中,有时使用公式的变形形式,往往会产生事半功倍的效果㊂例5 求(1+t a n 21ʎ)(1+t a n 20ʎ)(1+t a n 25ʎ)(1+t a n 24ʎ)的值㊂解:注意到21ʎ+24ʎ=20ʎ+25ʎ=45ʎ,故可两两组合求解㊂(1+t a n21ʎ)(1+t a n24ʎ)=t a n21ʎ+t a n 24ʎ+t a n21ʎt a n24ʎ+1,由t a n45ʎ=t a n (21ʎ+24ʎ)=t a n 21ʎ+t a n 24ʎ1-t a n 21ʎt a n 24ʎ=1,可得1-t a n21ʎt a n24ʎ=t a n21ʎ+t a n24ʎ,即t a n 21ʎ+t a n24ʎt a n21ʎ+t a n24ʎ=1,所以(1+t a n21ʎ)(1+t a n24ʎ)=2㊂同理可得,(1+t a n20ʎ)(1+t a n25ʎ)=2㊂故(1+t a n 21ʎ)(1+t a n20ʎ)(1+t a n25ʎ)(1+t a n 24ʎ)=4㊂评注:三角公式的典型变形形式有:t a n (α+β)=t a n α+t a n β+t a n (α+β)t a n α㊃t a n β,c o s α=s i n 2α2s i n α,2s i n 2α=1-c o s2α,2c o s 2α=1+c o s 2α等㊂六㊁消元变换消元法是基本的数学方法之一,在三角变换中常常使用它消去某一个角或某一个三角函数,从而使问题得到简化㊂例6 设α,β,γ满足0<α<β<γ<2π,若对任意x ɪR ,c o s (x +α)+c o s (x +β)+c o s (x +γ)=0恒成立,则γ-β=()㊂A .2π3 B .4π3C .2π3或4π3D .无法确定解:三个变量满足同一个关系,依据目标意识和特殊化处理,构建方程寻求切入求解㊂令x =-α得c o s (γ-α)=-1-c o s (β-α),令x =-β得c o s (γ-β)=-1-c o s (β-α),所以c o s (γ-α)=c o s (γ-β)㊂令x =-γ得c o s (γ-β)+c o s (γ-α)=-1,所以c o s (γ-α)=-12㊂因为0<α<β<γ<2π,所以γ-α=2π3或4π3,γ-β=4π3或2π3㊂注意到0<α<β<γ<2π,所以γ-α=4π3,γ-β=2π3㊂故γ-β=2π3㊂应选A ㊂评注:对任意实数x 恒成立的等式,实质是关于x 的方程有无数解的问题,可利用特殊赋值㊁降元构建方程组求解,但要注意隐含条件的挖掘和应用㊂作者单位:甘肃省兰州市第三十四中学(责任编辑 郭正华)8知识结构与拓展 高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
三角恒等式角度变换与证明
三角恒等式角度变换与证明三角恒等式是三角函数中非常重要的概念，它们在数学和物理学等领域中的应用非常广泛。
在本文中，我们将重点讨论三角恒等式中涉及到的角度变换和证明方法。
一、同角三角函数之间的恒等式在讨论角度变换之前，首先我们需要了解同角三角函数之间的恒等式。
同角三角函数是指由同一个角所对应的三角函数，比如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
同角三角函数之间的恒等式可以帮助我们将一个三角函数转化为另一个三角函数，从而简化计算或证明过程。
最常用的同角三角函数恒等式有如下几个：1. 正弦函数与余弦函数的关系：sin²x + cos²x = 1。
这个恒等式可以通过勾股定理来证明。
2. 正切函数与正弦函数、余弦函数的关系：tanx = sinx/cosx。
这个恒等式可以通过定义推导出来。
3. 余切函数与正弦函数、余弦函数的关系：cotx = cosx/sinx。
这个恒等式可以通过定义推导出来。
二、角度变换与三角恒等式的应用角度变换是指通过一些变换方法将一个角度转化为另一个角度。
在三角恒等式的证明中，角度变换是一个常用的方法。
1. 倍角公式：利用倍角公式，我们可以将一个角的三角函数表达式转化为另一个角的三角函数表达式。
倍角公式有以下几种形式： - sin2x = 2sinxcosx- cos2x = cos²x - sin²x = 1 - 2sin²x = 2cos²x - 1- tan2x = (2tanx)/(1-tan²x)- cot2x = (cot²x-1)/(2cotx)2. 半角公式：利用半角公式，我们可以将一个角的三角函数表达式转化为另一个角的三角函数表达式。
半角公式有以下几种形式： - sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2]- cos(x/2) = ±√[(1+cosx)/2]- tan(x/2) = ±√[(1-cosx)/(1+cosx)]3. 和差公式：利用和差公式，我们可以将两个角的三角函数表达式结合起来，从而简化计算或者证明。
三角函数恒等式证明的基本方法
三角函数恒等式证明的基本方法三角函数恒等式是指对定义域内的任何一个自变量x 都成立的等式；三角函数恒等式的证明问题是指证明给定的三角函数等式对定义域内的任何一个自变量x 都成立的数学问题。
这类问题主要包括：①三角函数等式一边较繁杂，一边较简单；②三角函数等式的两边都较繁杂两种类型。
那么在实际解答三角函数恒等式的证明问题时，到底应该怎样展开思路，它的基本方法如何呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题： 1、证明下列三角函数恒等式：（1）4222sin sin cos cos 1αααα++=； （2）22(cos 1)sin 22cos ααα-+=-；（3）若sin α.cos α＜0,sin α.tan α＜0=±2tan 2α。
【解析】【知识点】①同角三角函数的基本关系；②二次根式的定义与性质；③分式的定义与性质。
【解题思路】（1）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（2）对左边运用同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式；（3）对左边运用分式的性质，同角三角函数的基本关系和二次根式的性质，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式。
【详细解答】（1）Q 左边=sin 2α( sin 2α+ cos 2α)+ cos 2α= sin 2α+ cos 2α=1=右边，∴4222sin sin cos cos 1αααα++=；（2）Q 左边= cos2α-2 cos α+1+ sin 2α=2-2 cos α=右边，∴22(cos 1)sin 22cos ααα-+=-；（3）Q sin α.cos α＜0，sin α.tan α＜0，∴α是第二象限的角，⇒2α是第一象限或第三象限的角，①当2α是第一象限的角时，左边|1sin|2|cos |2αα+-|1sin|2|cos |2αα-=1sin1sin22cos2ααα+-+=2tan 2α；②当2α是第一象限的角时，左边=|1sin|2|cos |2αα+-|1sin|2|cos |2αα-=1sin1sin22cos2ααα--+-=-2tan 2α；⇒左边=±2tan 2α=右边，∴若若sin α.cos α＜0，sin α.tan α＜0=±2tan 2α。
三角恒等式证明
三角恒等式证明三角恒等式是指在三角函数中存在一些特殊关系的等式。
我们可以通过几何方法或代数方法来证明这些恒等式。
首先，我将使用几何方法来证明三角恒等式中的一个例子：正弦定理（Sine Rule）。
正弦定理表达了一个三角形中的边与对应角度的关系。
假设我们有一个三角形ABC，其中角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。
那么正弦定理可以用以下等式表示：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c要证明这个三角恒等式，我们可以使用三角形ABC和以A为中心的圆的关系。
首先，我们可以绘制一个以A为中心，半径为a的圆。
然后，我们将该圆的弧与边BC相交，其中交点为D。
现在，我们可以观察到角A和角B都对应于弧BD，因此可以得出sin(A) = BD / a另外，角B和角C都对应于弧CD，因此可以得出sin(B) = CD / b由于三角形ABC是一个平面图形，所以角A、角B和角C的和必然等于180度。
我们可以将这一关系表示为A +B +C = 180°进一步推导可得C = 180° - A - Bsin(C) = sin(180° - A - B)根据三角函数的性质得sin(C) = sin(A + B)再根据三角函数的和角公式得sin(C) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)由于我们已经得出sin(A) / a = sin(B) / b所以可以得出sin(A) = (a / b)sin(B)将以上的等式代入sin(C)中，得到sin(C) = (a / b)cos(B)sin(B) + cos(A)sin(B)简化后得sin(C) = (a / b)(cos(B)sin(B) + cos(A)sin(B))再次简化得sin(C) = (a / b)(sin(B)cos(B) + sin(B)cos(A))由于sin(A) + sin(B) = sin(A + B)，所以可以得出sin(C) = (a / b)sin(A + B)根据之前的推导，sin(C)也可以表示为sin(C) = BD / c将以上的等式代入得到BD / c = (a / b)sin(A + B)再次简化得到BD / c = (a / b)sin(C)由于BD = c × sin(C)，所以可以得出sin(C) = (a / b)sin(C)化简后得到1 = (a / b)这就是我们要证明的正弦定理。
三角方程与恒等式解题技巧总结
三角方程与恒等式解题技巧总结三角方程和恒等式的解题是数学中的重要内容，也是解决实际问题和理论研究中的关键步骤。
本文将总结一些常见的三角方程和恒等式解题技巧，并提供具体的求解思路和步骤。
一、三角方程的解题技巧三角方程是指带有三角函数（如正弦函数、余弦函数、正切函数等）的方程。
解三角方程的关键是利用三角函数的性质和常见的三角恒等式来进行化简和变形。
1. 单一三角函数的方程:当方程仅包含一个三角函数时，可以尝试利用函数的周期性质来化简。
例如，对于sin x = a，可利用正弦函数的周期性将其变形为sin (x± 2πn) = a，其中n为整数。
2. 两个三角函数的方程：当方程中存在两个三角函数的乘积或两个三角函数的和或差时，可以尝试使用三角函数的恒等式来将其转化为单一三角函数的方程。
例如，sin x cos x = a，可利用双角公式sin 2x = 2sin x cos x将其变形为sin 2x = 2a。
3. 三角函数的平方方程：对于sin^2 x = a^2，可利用平方根的性质得到sin x = ±a，然后再利用单一三角函数的方程求解。
同样地，对于cos^2 x = a^2或tan^2 x =a^2，也可以采用类似的方法。
4. 三角函数的倒数方程：例如，sin x = 1/cos x，可以变形为sin x cos x = 1，进而利用三角函数的乘积公式sin 2x = 2sin x cos x进行求解。
二、恒等式的解题技巧恒等式是指对于任意给定的变量范围，恒等式始终成立的等式关系。
解恒等式的关键是运用三角函数的特性和恒等式的基本性质进行变形和推导。
1. 基本恒等式：sin^2 x + cos^2 x = 1，tan x = sin x / cos x，cot x = cos x / sin x等是三角函数的基本恒等式，常用于恒等式的化简和变形过程。
2. 双角恒等式：双角恒等式可以将一个三角函数的求解问题转化为一个或多个三角函数的求解问题。
三角恒等式与证明方法
三角恒等式是数学中常见的一类等式，它们涉及三角函数的关系。
三角恒等式不仅可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，还可以用于证明一些数学问题。
在本文中，我将介绍一些常见的三角恒等式及其证明方法。
首先，我们来看一个最基础的三角恒等式，即正弦函数与余弦函数的平方和等于1的恒等式，即sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
这个等式可以通过勾股定理得到。
假设有一个半径为1的单位圆，以圆心为原点，一个角度为x的点A(x, y)位于圆上。
根据正弦函数和余弦函数的定义，我们可以得到sin(x) = y和cos(x) = x。
根据勾股定理，点A(x, y)到原点的距离就是1，即x^2 + y^2 = 1。
由于sin(x) = y和cos(x) = x，所以我们就得到了sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
接下来，我们来看一个与上面的恒等式相关的三角恒等式，即正切函数的平方加1等于分母为正弦函数的平方的恒等式，即tan^2(x) + 1 = sec^2(x)。
我们可以通过正弦函数和余弦函数的关系来证明这个恒等式。
由于sin(x) =1/csc(x)，cos(x) = 1/sec(x)，tan(x) = sin(x)/cos(x)，我们可以得到tan(x)^2 + 1 = (sin(x)/cos(x))^2 + 1 = (1/csc(x))^2 + 1 =1/(sin(x))^2 + 1/ = (sin(x))^(-2) + (cos(x))^(-2) =(1/(sin(x))^2)(sin(x))^2 + (1/(cos(x))^2)(cos(x))^2 =(sin(x)/sin(x))^2 + (cos(x)/cos(x))^2 = 1 + 1 = 2。
除了上面这两个基础的三角恒等式，还有一些其他常见的恒等式。
例如，正弦函数与余弦函数的乘积等于正切函数的恒等式，即sin(x)*cos(x) = tan(x)。
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三角恒等式证明9种基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。
根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。
1．化角观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。
例1求证：tan23x - tan 21x =xx x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -21x ，可作以下证明：2．化函数三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。
例2 设AB A tan )tan(-+A C22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。
思路分析：欲证tan 2C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。
3．化幂应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。
例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。
如1=sin 2α+cos 2α=sec 2α-tan 2α=csc 2α-cot 2α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450=sin900=cos00等等。
如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。
例4 求证αααα22sin cos cos sin 21--=ααtan 1tan 1+-思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2α+cos 2α”代替，问题便迎刃而解。
5．化参数用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。
例5 已知acos 2α+bsin 2α=mcos 2β，asin 2α+bcos 2α=nsin 2β，mtan 2α=ntan 2β(β≠n π) 求证：(a+b)(m+n)=2mn 6．化比一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。
用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。
例6 已知(1+λcos α)(1-λcos β)=1-λ2(λ≠0，1)。
求证：tan22α=λλ-+11tan 22β 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将λ分离出来，以结论中λλ-+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。
观察等式左右结构上的差异，立足于统一结构形式也是三角恒等式的一种技巧。
例7设A+B+C=π，求证：sinA+sinB+sinC=4cos2A cos 2B cos 2C 思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。
8．化拆项这一类恒等式可与数学求和结合起来，常拆项相消法。
例8 求cosx+cos2x+…+cosnx=2sin 2sin 21cosx x nx n +思路分析：左边同乘以sin 2x,去括号，积化和差可得9.数学归纳法与自然数有关的命题，还可以用数学归纳法解决。
上述例题可用数学归纳法证明。
三角恒等式的证明【考点回顾】1．三角公式在恒等变形中的应用；2．常规恒等变形方法、定义法、分析法、综合法、比较法、切割化弦等方法. 例1．求证：.0)60tan(tan )60tan(tan )60tan()60tan(3=-+++-++οοοοA A A A A A例2．求证：.)1cos(cos cos 3cos 2cos cos 1αααααα+-=+++++n n n Λ例3．求证：.cos sin 1)sin (cos 2cos 1sin sin 1cos αααααααα++-=+-+【基础训练】1． 求证：(sin α+tan α)(cos α+cot α)=(1+sin α)(1+cos α).2． 求证：(1－tan α)=(cos 2α-cot α)(sec 2α+1tan α).3． 求证：.1sin 1sin 2sin 3sin 22οοοο-=4． 求证：tan13x －tan8x －tan5x = tan13x tan8x tan5x .【拓展练习】1．条件甲：3sin αcos(α+β)=sin(2α+β)，条件乙：tan(α+β)=2tan α，则甲是乙的 （ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件2．2tan2cotcos 42ααα-等于（ ）A ．ααcos sin 21⋅ B ．sin2α C ．－sin2α D ．α2sin 1613．已知α、β均为锐角，且则),sin(21sin βαα+=α、β的大小关系是 （ ）A ．α>βB ．α<βC ．α≤βD ．α与β的大小不确定4．求证：).3tan 5(tan 44cos 2cos 3tan 5tan x x xx xx -=⋅+5．求证：(cscA+cotA)(1－sinA)－(secA+tanA)(1-cosA)=(cscA －secA)[2－(1－cosA)(1－sinA)].6．求证：.cos sin 1tan sec 1tan sec 1xxx x x x +=-+++7．求证：.4sin 4cos 32cos 224cot 2cot cot αααααα++=++8．求证：.2sin 4sin 412cos sin cos 88a αααα-=--9．求证：.2cot 22cot 212tan 214tan 412tan 21tan 1111αααααα-=++++----n n n n Λ10．求证：（1）.22cos2cos2)1cos(3cos 2cos cos 21αααααα+=-++++n n C C C nn n n n n Λ（2）.22sin 2cos2)1sin(3sin 2sin sin 31αααααα+=+++++n n C C C nn n n n n Λ11．在矩形ABCD 中，P 为时间线BD 上一点，AP ⊥BD ，PE ⊥BC ，PF ⊥DC.求证：.1)()(3232=-BDPF BO PE三角恒等式证明答案 ：1.右式=x x 13)2123sin(2-=xx x x 1321sin 23cos 21cos 23sin -= tan 23x - tan 21x 。
2. ∵ sin 2C=C C 22tan 1tan + ，sin 2A=AA 22tan 1tan + ∴ A C 22sin sin =)tan 1(tan )tan 1(tan 2222C A A C ++ 由已知可得A C 22sin sin =1-AB A tan )tan(-=)tan tan 1(tan )tan 1(tan 2B A A A B ++，∴ )tan tan 1(tan )tan 1(tan 2B A A A B ++=)tan 1(tan )tan 1(tan 2222C A A C ++ ∴C C 22tan 1tan +=B A A B tan tan 1tan tan + 即tan 2C = tanA ·tanB 命题成立。
3. 思路分析：应用降幂公式，从右证到左： 右边=8(22cos 1α-)2=2(1-2cos2α+cos 22α)= 2(1-2cos2α+24cos 1α-)=cos4α-4cos2α+3=左边。
4. 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2α+cos 2α”代替，问题便迎刃而解。
左边=)sin )(cos sin (cos )cos (sin 2αααααα+--=ααααsin cos )cos (sin +--=ααtan 1tan 1+-=右边5. 思路分析：消去参数，当m=0时，由mtan 2α=ntan 2β得n=0，显然成立。
当m ≠0时，只须消去α、β即可。
由acos 2α+bsin 2α=mcos 2β，asin 2α+bcos 2α=nsin 2β得αααα2222sin cos cos sin b a b a ++=m n tan 2β，再由mtan 2α=ntan 2β得αααα2222sin cos cos sin b a b a ++=tan 2α即可得αα22tan tan b a b a ++=tan 2α，解得tan 2α=1，所以sin 2α=cos 2α=21。
求得cos 2β=m b a 2+，sin 2β=n b a 2+，又由cos 2β+sin 2β=1不得。
∴m b a 2++nb a 2+=1 ， 即 (a+b)(m+n)=2mn6. 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将λ分离出来，以结论中λλ-+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。
由已知得1+λcos α-λcos β-λ2cos αcos β=1-λ2, λ2(cos αcos β-1)= λ(cos α-cos β)，∴ λ=1cos cos cos cos --βαβα 依合分比定理得λλ-+11=βαβαβαβαcos cos 1cos cos 1cos cos cos cos +---+-=)1)(cos cos 1()1)(cos cos 1(-+--βααβ=2sin 2cos 42sin 2cos 42222βααβ=tan22αcot 22β ∴ tan 22α=λλ-+11tan 22β7. 思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。
∵ A+B+C=π ∴ sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) ∴左边=2sin2B A +cos 2BA -+ sin(A+B)=2sin2B A +(cos 2B A -+cos 2B A +)=2sin 2B A +2cos 2A cos 2B=4 cos2A cos 2B cos 2C8. 思路分析：左边同乘以sin2x,去括号，积化和差可得 左边=21[(sin 23x -sin 2x )+(sin 25x -sin 23x )+…+(sin 2)12(x n +-sin 2)12(x n -)] =21(sin 2)12(x n +- sin 2x )=cos 2)1(x n +sin 2nx。