2020年复旦附中高三数学学法指导

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上海市复旦附中2009届高三学法指导练习数学一、填空题1、已知集合A={(x, y)|y=sinx, x G(0, 2n)}, B={(x, y)|y= a , awR},则集合ADB 的子集个数最多有___ 个.2、若函数/(x) = 21o gl x的值域是[-1, 1],则函数f-\x)的值域为___________ •2j x 5 2, y < 23、(文)若4 _,则FI标函数z = x + 2y的取值范围是___________ •[x+ y>2[x = cos&(理)将曲线{ •上所冇点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小[y = sin 6^到原來的丄倍后，得到的朋线的焦点坐标为24、在等差数列{%}中，中若％<0, S“为前〃项之和，且57 = 517,则S“为最小吋的〃的值为________ .5 函数/(x) = sin 2x-4sin3xcosx的图彖上相邻二条对称轴Z间的距离是.6、设可和耳是互相垂直的单位向最，且矗=3吕+2爲/ = —3可+4乙，则万・5= ______ .7、若复数Z满足|z + l| + |z —1| = 2，则|z + i —1|的最小值是 _______ .8>在正三棱锥S-ABC屮，D为AB中点，且SQ与BC所成角为45。

，则SD与底面所成角的正弦值为____________ .9、一动圆与两圆(x+4)2+y2=25和(x-4)2+y2=4都外切，则动圆圆心M的轨迹方程是___________ .10、 /(兀)是偶函数，且/(劝在(0, +oo)上是增函数，若XG[|,1]时，不等式f(ax + 1)< /(x-2)恒成立，则实数Q的取值范围是_____________ .11、在三位数中，如果十位数字比个位和百位数字都小，则称这个三位数为凹数，如402, 745等，那么各数位无重复数字的三位凹数共有 ___ 个.12、对于正整数n和m(m<n)定义心! =(n・m)(n・2m)(ii・3m)i(n・km)其中k是满足n>km的最18 I大整数，则电=206! --------------二、选择题13、在4ABC中，里巴口是A>B成立的( )a bA.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必耍条件14、甲命题：平而aw平而卩，平而卩w平而丫，则平而a//平而丫；乙命题：平而a上不共线的三点到平面卩的距离相等，则a//卩•则 ( )A.甲真乙真B.甲真乙假C.甲假乙真D.甲假乙假VA.VB.0 1 xC.(3)求三棱锥M-A.CB 的体积.15、函数y = log a (|x|+l)(a>l)的图象大致是()16、已知e b, cwR,若-•->!,且- + ->-2,则下列结论成立的是()A. a, b, c 同号C. b, c 同号，。

2020届上海市复旦大学附属中学浦东分校2017级高三下学期3月月考数学试卷及解析

2020届上海市复旦大学附属中学浦东分校2017级高三下学期3月月考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一.填空题（本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分）1.已知集合{|2}A x x =≤,5|01x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭,则A B =_________．【答案】1{|}2x x ≤﹣＜【解析】求出集合A 中绝对值不等式的解集确定出集合A ；把集合B 中的不等式转化为两个不等式组,求出不等式组的解集确定出集合B ,然后把求出的两集合的解集表示在数轴上,根据图形即可得到两集合的交集.【详解】解：由集合A 中的不等式2x ≤,解得22x ≤≤﹣, ∴集合22{|}A x x =≤≤﹣；由集合B 中的不等式501x x +≤-, 可化为：5010x x +>⎧⎨-<⎩或5010x x +≤⎧⎨->⎩,,解得：51x ≤﹣＜, ∴集合51{|}B x x =≤﹣＜, 把两集合的解集表示在数轴上,如图所示：根据图形得：{|1}2A B x x ⋂=≤﹣＜. 故答案为：1{|}2x x ≤﹣＜. 2.若函数()y f x =与2x y e +=的图像关于直线y x =对称,则()f x =______.【答案】ln 2(0)x x ->【解析】函数()y f x =与2x y e +=的图像关于直线y x =对称,则()y f x =与2x y e +=互为反函数,求2x y e +=的反函数即可. 【详解】 ()y f x =与2x y e +=互为反函数,由2x y e +=得2ln x y ,ln 2x y∴ ()=ln 2y f x x =-,(0)x >故答案为：ln 2(0)x x -> 求反函数的步骤: (1)从原函数式子中解出x 用y 表示; (2)对换,x y ;(3)标明反函数的定义域. 3.已知角α的终边上一点的坐标为22(sin,cos )33ππ,则角α的最小正值为 . 【答案】【解析】试题分析：由正切函数的定义,又由题设可知点在第四象限,所以.故应填. 4.已知复数2z i=+i 为虚数单位),则z z ⋅=________．【答案】13【解析】化简21232(2)(2)i z i i i +===++-,再计算z z ⋅即可. 【详解】复数21232(2)(2)i z i i i +===++-, ∴123i z -=, ∴1212313393i i z z +⋅=⋅==, 故答案为：13。

2019-2020学年上海市复旦附中高三(上)月考数学试卷(一)(9月份)-学生版+解析版

2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为（用数字作答）． 2．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð ．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是． 5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是．8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为．二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．19．（2016•东城区一模）已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）．（1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立；（3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围（2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系;（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 40 （用数字作答）．【解答】解：设求的项为15(2)r r r T C x +=，今2r =，222235240T C x x ∴==． 2x ∴的系数是402．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð {|02}x x <… ．【解答】解：全集U R =，集合{|2}A x x =<， {|0}{|0}B x x x x =<=…，那么{|02}U AB x x =<…ð．故选：{|02}x x <…．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ( ．【解答】解：函数y ，260x ∴->，解得x <y ∴的定义域是(．故答案为：(．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 y =(0)x …．【解答】解：由1)y x =-…得，x =[0y ∈，)+∞，所以函数1)y x =-…的反函数是y =(0)x …．故答案为：y =(0)x …．5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 1{|2}3x x -<<【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，0a ∴<，且15322ba-+==-，13322ca-=-=， 0b ∴>，0c >，53b c =，23a c =-， ∴不等式20cx bx a ++<，即20b a x xc c ++<，即 252033x x +-<，即 23520x x +-<，求得它的解集为1{|2}3x x -<<，故答案为：1{|2}3x x -<<．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为12或13-或 0 ．【解答】解：2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=且N M ⊆ {3M ∴=-，2} N =∅或{3}-或{2}N =∅时，0a =， {3}N =-时，13a =-，{2}N =时，12a =，故答案为：11,,023-．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 3[2，3] ．【解答】解：22325()34()24f x x x x =--=--，325()24f ∴=-，又(0)4f =-，故由二次函数图象可知：m 的值最小为32；最大为3．m 的取值范围是：332m 剟．故答案3[2，3]8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 [3-，1] 【解答】解：根据题意化简得：22422xa a x x x+++-…对任意(1,)x ∈+∞恒成立，令24()xf x x x x=+-， 222224()4(21)(1)(3)()1()()x x x x x x f x x x x x ---+-∴'=+=-- 令()03f x x '=⇒=或1-（舍负）令()03f x x '>⇒>；令()013f x x '<⇒<<； 3x ∴=时函数()f x 取得最小值且f （3）5=；2225a a ∴++…，化简得：2230a a +-…，即(1)(3)0a a -+…，解得31a -剟．故答案为：[3-，1]．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 {|11x x <<，或6}x > ．【解答】解：由于关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，故有0a >，且1ba-=．故关于x 的不等式2056ax bx x +>--，即10(6)(1)x x x ->-+．用穿根法求得不等式的解集为{|11x x <<，或6}x >，故答案为{|11x x <<，或6}x >．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 (-∞，3)(3-⋃，)+∞【解答】解：由224936x y -=，得22194x y -=，∴y =由00x >⎧，解得3x >；由00x <⎧⎪⎨<⎪⎩，解得3x <-．∴函数()y f x =的定义域为(-∞，3)(3-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，3)(3-⋃，)+∞．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ①②④【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则对于①：x X ∀∈，设,x a bQ =+∈，则x b =+，而b X ，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =；对于②：x X ∀∈，设,,x a ab Q =+∈，令,x m n Q ∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222am a b =-，222bn a b =--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x =+=--120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设x a b Q =+∈，则1(x a b =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =．综上，①②④正确，故答案为①②④．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 5 【解答】解：据题意知，A 的元素个数小于等于1，且A I ⊆，A ∴的可能情况为：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}， I ∴的所有好子集的个数为5．故答案为：5．二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：实数a ，b ，c 满足c b a <<，若“0ac <”，则0a >，“ab ac >”成立，若“ab ac >”，则0a >，但“0ac <”不一定成立，故“0ac <”是“ab ac >”成立的充分不必要条件，故选：A ．14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：若不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，则根据题意需分两种情况：①当240a -=时，即2a =±，若2a =时，原不等式为410x -…，解得14x …，故舍去，若2a =-时，原不等式为10-…，无解，符合题意； ②当240a -≠时，即2a ≠±，22(4)(2)10a x a x -++-…的解集是空集，∴22240(2)4(4)(1)0a a a ⎧-<⎨=+--⨯-<⎩，解得625a -<<，综上得，实数a 的取值范围是[2-，6]5．则当11a -剟时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，故选：B ．15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π【解答】解：圆M 的面积为4π，∴圆M 的半径为2，根据勾股定理可知OM =过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ，60OMN ∴∠=︒，在直角三角形OMN 中，3ON ==，∴圆N ∴圆N 的面积为：7π．故选：A ．16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+【解答】解：依题意，1()f x -=([1,4])x ∈，所以函数121[()](2)y f x f x x --=+=x 满足14124x x ⎧⎨⎩剟剟，即12x 剟，又y x =[1，2]上的增函数，所以函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是[12+，故选：C ．三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．【解答】解：依题意，得2{|20}(A x x x =-->=-∞，1)(2-⋃，)+∞，310(0,3]B x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭…，于是可解得(2A B =，3]．设集合{|20}C x x p =+<，则(,)2px ∈-∞-．由于α是β的充分条件，所以AB C ⊆．则须满足362pp <-⇒<-．所以，实数p 的取值范围是(,6)-∞-．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．【解答】解：（1）依题意，当x R ∈时，2680mx mx m -++…恒成立．当0m =时，x R ∈；当0m ≠时，00m >⎧⎨⎩…即2(6)4(8)0m m m m >⎧⎨--+⎩…．解之得01m <…，故实数m 的取值范围01m 剟．（2）当0m =时，y =当01m <…，ymin y ∴=因此，()1)f m m 剟，易得0888m -剟．()f m ∴的值域为[0，．19．（2016•东城区一模）已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．【解答】证明：（Ⅰ）1AA ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC1AC AA ∴⊥．90BAC ∠=︒，AC AB ∴⊥．又1A A ⊂平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，1A A AB A =，AC ∴⊥平面11A ABB ． 1A B ⊂平面11A ABB ， 1AC A B ∴⊥．（Ⅱ）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz ---，如图所示：则1(0A ，0，1)，B ，1(0,2,)2E ，F ．∴1(3,0,1)A B =-，31(1,)2EF =--． ∴1112cos ,||||A B EF A B EF A B EF 〈〉==．直线EF 与1A B 所成的角为45︒．（Ⅲ）1(0,0,)2G ，(0,2,0)GE =，31()2GF =-．1(0AA =，0，1)．设平面GEF 的法向量为(n x =，y，)z ，则n GE n GF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴2010.2y y z =⎧+-= 令z =(1,0,3)n =．1113cos ,||||n AA n AA n AA ∴<>==1A 在平面EFG 内的射影为H ，1HA A ∴∠为1AA 与平面EFG 所成的角的余角，113cos |cos ,|HA A n AA ∴∠=<>=． 16HA A π∴∠=．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）．（1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立；（3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．【解答】解：（1）221212()24x x k x x +=…，当且仅当122kx x ==时等号成立，故u 的取值范围为2(0,]4k ．（2）解法一（函数法）:2222121212121212121221121212111111()()22x x x x k k x x x x x x x x u x x x x x x x x x x x x u+----=+--=+-=-+=-+ 由204k u <…，又1k …，210k -…， 21()2k f u u u -∴=-+在2(0,]4k 上是增函数所以121211()()x x x x --22222221142222()4424k k k k k u k u k k --=-+-+=-+=-…即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．解法二（不等式证明的作差比较法）: 21212112()()()2k x x x x k---- 21212212211424x x k x x x x x x k =+----+ 212122122114()(2)4x x k x x x x k x x =----+- 2221212122121244()4k x x k x x x x k x x x x ---=--，将2212124()k x x x x -=-代入得： 21212112()()()2k x x x x k---- 2221212212()(44)4x x k x x k k x x ---=212()0x x -…，1k …时22221212444(1)0k x x k k k x x --=--<， ∴2221212212()(44)04x x k x x k k x x ---…，即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．（3）解法一（函数法）:记21212111()()2()k x x u f u x x u---=++=，则222()()24k k f k -=，即求使2()()4k f u f …对2(0,]4k u ∈恒成立的2k 的范围．由（2）知，要使21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立，必有01k <<，因此210k ->，∴函数21()2k f u u u -=++在上递减，在)+∞上递增，要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f …，必有24k …4216160k k +-…，解得208k <…．解法二（不等式证明的作差比较法）:由（2）可知222212*********()(44)112()()()24x x k x x k k x x x x k k x x -------=，要不等式恒成立，必须2212440k x x k --…恒成立即212244k x x k -…恒成立由21204k x x <…得222444k k k-…，即4216160k k +-…，解得208k <…．因此不等式21212112()()()2k x x x x k---…恒成立的2k的范围是208k <… 21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围（2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由【解答】（1）解：由：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭， ()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．可得函数()f x y x =，2()f x y x=在(0,)+∞为增函数， 2()22f x y x ax b x ==++，若1()f x ∈Ω，则02a-…，即0a …2()2f x by x a x x ==++， 22by x'=+，当0b …，0x >时，0y '>，此时2()f x ∈Ω，不符合题意，舍去；当0b <时，令0y '=，解得x ，此时函数在(0,)x ∈+∞有极值点，因此2()f x ∉Ω．综上可得：当0b <时，1()f x ∈Ω且2()f x ∉Ω．（2）证明：由1()f x ∈Ω，若取120x x <<，则12121212()()()f x f x f x x x x x x +<<+．由表格可知：f （a ）d =，f （b ）d =，f （c ）t =，()4f a b c ++=， 0a b c a b c <<<<++，∴4d d t a b c a b c<<<++， 0d ∴<，4a d a b c <++，4b d a b c <++，4at a b c<++，24d t ∴+<，（3）对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，我们先证明()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >，记02()0f x m x => 2()f x y x=是增函数． ∴当0x x >时，022()()0f x f x m x x >=>， 2()f x mx ∴>，∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立矛盾．即()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．∴存在()f x T ∈，()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解．假设存在20x >，使得2()0f x =， 2()f x y x =是增函数．一定存在320x x >>，使322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾． ()0f x ∴=在(0,)+∞上无解．综上，我们得到存在()f x T ∈，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立．∴存在常数0M …，使得存在()f x T ∈，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立．又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x=-在(0,)+∞上是增函数， ()f x T ∴∈，而任取常数0k <，总可以找到一个0n x >，使得n x x >时，有()f x k >．M ∴的最小值为0．。

2019-2020学年上海市复旦附中高三(上)月考数学试卷(一)(9月份)-学生版+解析版

2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为（用数字作答）． 2．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð ．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是． 5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是．8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为．二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．19．（2016•东城区一模）已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）．（1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立；（3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围（2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系;（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 40 （用数字作答）．【解答】解：设求的项为15(2)r r r T C x +=，今2r =，222235240T C x x ∴==． 2x ∴的系数是402．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð {|02}x x <… ．【解答】解：全集U R =，集合{|2}A x x =<， {|0}{|0}B x x x x =<=…，那么{|02}U AB x x =<…ð．故选：{|02}x x <…．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ( ．【解答】解：函数y ，260x ∴->，解得x <y ∴的定义域是(．故答案为：(．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 y =(0)x …．【解答】解：由1)y x =-…得，x =[0y ∈，)+∞，所以函数1)y x =-…的反函数是y =(0)x …．故答案为：y =(0)x …．5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 1{|2}3x x -<<【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，0a ∴<，且15322ba-+==-，13322ca-=-=， 0b ∴>，0c >，53b c =，23a c =-， ∴不等式20cx bx a ++<，即20b a x xc c ++<，即 252033x x +-<，即 23520x x +-<，求得它的解集为1{|2}3x x -<<，故答案为：1{|2}3x x -<<．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为12或13-或 0 ．【解答】解：2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=且N M ⊆ {3M ∴=-，2} N =∅或{3}-或{2}N =∅时，0a =， {3}N =-时，13a =-，{2}N =时，12a =，故答案为：11,,023-．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 3[2，3] ．【解答】解：22325()34()24f x x x x =--=--，325()24f ∴=-，又(0)4f =-，故由二次函数图象可知：m 的值最小为32；最大为3．m 的取值范围是：332m 剟．故答案3[2，3]8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 [3-，1] 【解答】解：根据题意化简得：22422xa a x x x+++-…对任意(1,)x ∈+∞恒成立，令24()xf x x x x=+-， 222224()4(21)(1)(3)()1()()x x x x x x f x x x x x ---+-∴'=+=-- 令()03f x x '=⇒=或1-（舍负）令()03f x x '>⇒>；令()013f x x '<⇒<<； 3x ∴=时函数()f x 取得最小值且f （3）5=；2225a a ∴++…，化简得：2230a a +-…，即(1)(3)0a a -+…，解得31a -剟．故答案为：[3-，1]．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 {|11x x <<，或6}x > ．【解答】解：由于关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，故有0a >，且1ba-=．故关于x 的不等式2056ax bx x +>--，即10(6)(1)x x x ->-+．用穿根法求得不等式的解集为{|11x x <<，或6}x >，故答案为{|11x x <<，或6}x >．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 (-∞，3)(3-⋃，)+∞【解答】解：由224936x y -=，得22194x y -=，∴y =由00x >⎧，解得3x >；由00x <⎧⎪⎨<⎪⎩，解得3x <-．∴函数()y f x =的定义域为(-∞，3)(3-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，3)(3-⋃，)+∞．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ①②④【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则对于①：x X ∀∈，设,x a bQ =+∈，则x b =+，而b X ，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =；对于②：x X ∀∈，设,,x a ab Q =+∈，令,x m n Q ∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222am a b =-，222bn a b =--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x =+=--120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设x a b Q =+∈，则1(x a b =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =．综上，①②④正确，故答案为①②④．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 5 【解答】解：据题意知，A 的元素个数小于等于1，且A I ⊆，A ∴的可能情况为：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}， I ∴的所有好子集的个数为5．故答案为：5．二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：实数a ，b ，c 满足c b a <<，若“0ac <”，则0a >，“ab ac >”成立，若“ab ac >”，则0a >，但“0ac <”不一定成立，故“0ac <”是“ab ac >”成立的充分不必要条件，故选：A ．14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：若不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，则根据题意需分两种情况：①当240a -=时，即2a =±，若2a =时，原不等式为410x -…，解得14x …，故舍去，若2a =-时，原不等式为10-…，无解，符合题意； ②当240a -≠时，即2a ≠±，22(4)(2)10a x a x -++-…的解集是空集，∴22240(2)4(4)(1)0a a a ⎧-<⎨=+--⨯-<⎩，解得625a -<<，综上得，实数a 的取值范围是[2-，6]5．则当11a -剟时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，故选：B ．15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π【解答】解：圆M 的面积为4π，∴圆M 的半径为2，根据勾股定理可知OM =过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ，60OMN ∴∠=︒，在直角三角形OMN 中，3ON ==，∴圆N ∴圆N 的面积为：7π．故选：A ．16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+【解答】解：依题意，1()f x -=([1,4])x ∈，所以函数121[()](2)y f x f x x --=+=x 满足14124x x ⎧⎨⎩剟剟，即12x 剟，又y x =[1，2]上的增函数，所以函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是[12+，故选：C ．三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．【解答】解：依题意，得2{|20}(A x x x =-->=-∞，1)(2-⋃，)+∞，310(0,3]B x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭…，于是可解得(2A B =，3]．设集合{|20}C x x p =+<，则(,)2px ∈-∞-．由于α是β的充分条件，所以AB C ⊆．则须满足362pp <-⇒<-．所以，实数p 的取值范围是(,6)-∞-．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．【解答】解：（1）依题意，当x R ∈时，2680mx mx m -++…恒成立．当0m =时，x R ∈；当0m ≠时，00m >⎧⎨⎩…即2(6)4(8)0m m m m >⎧⎨--+⎩…．解之得01m <…，故实数m 的取值范围01m 剟．（2）当0m =时，y =当01m <…，ymin y ∴=因此，()1)f m m 剟，易得0888m -剟．()f m ∴的值域为[0，．19．（2016•东城区一模）已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．【解答】证明：（Ⅰ）1AA ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC1AC AA ∴⊥．90BAC ∠=︒，AC AB ∴⊥．又1A A ⊂平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，1A A AB A =，AC ∴⊥平面11A ABB ． 1A B ⊂平面11A ABB ， 1AC A B ∴⊥．（Ⅱ）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz ---，如图所示：则1(0A ，0，1)，B ，1(0,2,)2E ，F ．∴1(3,0,1)A B =-，31(1,)2EF =--． ∴1112cos ,||||A B EF A B EF A B EF 〈〉==．直线EF 与1A B 所成的角为45︒．（Ⅲ）1(0,0,)2G ，(0,2,0)GE =，31()2GF =-．1(0AA =，0，1)．设平面GEF 的法向量为(n x =，y，)z ，则n GE n GF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴2010.2y y z =⎧+-= 令z =(1,0,3)n =．1113cos ,||||n AA n AA n AA ∴<>==1A 在平面EFG 内的射影为H ，1HA A ∴∠为1AA 与平面EFG 所成的角的余角，113cos |cos ,|HA A n AA ∴∠=<>=． 16HA A π∴∠=．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）．（1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立；（3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．【解答】解：（1）221212()24x x k x x +=…，当且仅当122kx x ==时等号成立，故u 的取值范围为2(0,]4k ．（2）解法一（函数法）:2222121212121212121221121212111111()()22x x x x k k x x x x x x x x u x x x x x x x x x x x x u+----=+--=+-=-+=-+ 由204k u <…，又1k …，210k -…， 21()2k f u u u -∴=-+在2(0,]4k 上是增函数所以121211()()x x x x --22222221142222()4424k k k k k u k u k k --=-+-+=-+=-…即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．解法二（不等式证明的作差比较法）: 21212112()()()2k x x x x k---- 21212212211424x x k x x x x x x k =+----+ 212122122114()(2)4x x k x x x x k x x =----+- 2221212122121244()4k x x k x x x x k x x x x ---=--，将2212124()k x x x x -=-代入得： 21212112()()()2k x x x x k---- 2221212212()(44)4x x k x x k k x x ---=212()0x x -…，1k …时22221212444(1)0k x x k k k x x --=--<， ∴2221212212()(44)04x x k x x k k x x ---…，即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．（3）解法一（函数法）:记21212111()()2()k x x u f u x x u---=++=，则222()()24k k f k -=，即求使2()()4k f u f …对2(0,]4k u ∈恒成立的2k 的范围．由（2）知，要使21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立，必有01k <<，因此210k ->，∴函数21()2k f u u u -=++在上递减，在)+∞上递增，要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f …，必有24k …4216160k k +-…，解得208k <…．解法二（不等式证明的作差比较法）:由（2）可知222212*********()(44)112()()()24x x k x x k k x x x x k k x x -------=，要不等式恒成立，必须2212440k x x k --…恒成立即212244k x x k -…恒成立由21204k x x <…得222444k k k-…，即4216160k k +-…，解得208k <…．因此不等式21212112()()()2k x x x x k---…恒成立的2k的范围是208k <… 21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围（2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由【解答】（1）解：由：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭， ()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．可得函数()f x y x =，2()f x y x=在(0,)+∞为增函数， 2()22f x y x ax b x ==++，若1()f x ∈Ω，则02a-…，即0a …2()2f x by x a x x ==++， 22by x'=+，当0b …，0x >时，0y '>，此时2()f x ∈Ω，不符合题意，舍去；当0b <时，令0y '=，解得x ，此时函数在(0,)x ∈+∞有极值点，因此2()f x ∉Ω．综上可得：当0b <时，1()f x ∈Ω且2()f x ∉Ω．（2）证明：由1()f x ∈Ω，若取120x x <<，则12121212()()()f x f x f x x x x x x +<<+．由表格可知：f （a ）d =，f （b ）d =，f （c ）t =，()4f a b c ++=， 0a b c a b c <<<<++，∴4d d t a b c a b c<<<++， 0d ∴<，4a d a b c <++，4b d a b c <++，4at a b c<++，24d t ∴+<，（3）对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，我们先证明()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >，记02()0f x m x => 2()f x y x=是增函数． ∴当0x x >时，022()()0f x f x m x x >=>， 2()f x mx ∴>，∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立矛盾．即()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．∴存在()f x T ∈，()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解．假设存在20x >，使得2()0f x =， 2()f x y x =是增函数．一定存在320x x >>，使322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾． ()0f x ∴=在(0,)+∞上无解．综上，我们得到存在()f x T ∈，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立．∴存在常数0M …，使得存在()f x T ∈，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立．又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x=-在(0,)+∞上是增函数， ()f x T ∴∈，而任取常数0k <，总可以找到一个0n x >，使得n x x >时，有()f x k >．M ∴的最小值为0．。

上海民办兰生复旦中学2020年高三数学文下学期期末试题含解析

上海民办兰生复旦中学2020年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．参考答案：A不等式组对应的平面区域是由三条直线,和围成的三角形，三角形的三顶点坐标分别为、、．由题意可知在点或线段上取最大值，在点或线段上取最小值，于是有或或，解得：，故选A．2. 函数y=f（x）的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式f（x）＜f（﹣x）+2x的解集为（）A．B．C．D．参考答案：考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：根据图象得知是奇函数，据此将“不等式f（x）＜f（﹣x）+2x”转化为“f（x）＜x”，再令y=f（x），y=x，利用图象求解．解答：解：如图所示：函数是奇函数∴不等式f（x）＜f（﹣x）+2x可转化为：f（x）＜x，令y=f（x），y=x如图所示：故选A．点评：本题主要考查利用函数图象的相对位置关系来解不等式，关键是转化为特定的基本函数，能画其图象．3. 已知命题p:若，则；命题q:m、n是直线，为平面，若//,，则m//n.下列命题为真命题的是A．B．C．D．参考答案：B对于命题，将两边平方，可得到，故命题为真命题.对于命题，直线，但是有可能是异面直线，故命题为假命题，为真命题.所以为真命题，故选B.4. （5分）（2015?陕西一模）已知函数f（x）=πx和函数g（x）=sin4x，若f（x）的反函数为h （x），则h（x）与g（x）两图象交点的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 0参考答案：【考点】：反函数．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：求出函数f（x）的反函数为h（x），然后画图求得h（x）与g（x）两图象交点的个数．解：由y=f（x）=πx，得x=logπy，x，y互换得：y=logπx，即h（x）=logπx．又g（x）=sin4x，如图，由图可知，h（x）与g（x）两图象交点的个数为3．故选：C．【点评】：本题考查了反函数，考查了函数零点个数的判断，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5. 已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（）．A．B．C．D．参考答案：C∵是奇函数，∴，令，，令，，∴，∴，令，∴，令，∴，∵，∴，同理可得，，∴，故选6. 已知集合,,则（）A． B． C． D．参考答案：B略7. 的A．充分不必要条件。

2020高三数学第一轮复习指南

2020高三数学第一轮复习指南导言本文档旨在为高三学生提供一份数学第一轮复的指南。

我们将介绍一些简单的策略和方法，以帮助学生高效复数学知识，同时避免法律复杂性的问题。

目标- 确保独立决策：在复过程中，学生应独立思考和解决问题，不依赖他人的帮助。

- 发挥优势：每个学生都有自己的优势领域，应根据自身情况选择合适的复策略，并充分发挥自己的优势。

- 简单策略：复过程中应选择简单的策略和方法，避免涉及法律复杂性的内容。

- 不引用不可确认的内容：在复中，不要引用任何无法确认真实性的内容，以免造成混淆和误导。

复建议以下是一些数学复的建议，供学生参考：1. 制定计划在开始复之前，制定一个详细的复计划。

将复内容分解成小的模块，安排每天的复任务，并设定合理的时间限制。

2. 掌握基础知识数学的复建立在扎实的基础知识之上。

回顾和巩固基本的数学概念和公式，掌握基础的计算技巧。

3. 做题强化通过大量的练题来巩固知识。

选择一些经典的题目和典型的例题进行练，并逐步提高难度。

可以使用课本中的题、模拟试卷或在线资源等。

4. 合理利用资源利用各种资源来辅助复，如教辅资料、网上视频教程、同学讨论等。

但要注意，不要过度依赖这些资源，要保持独立思考和解决问题的能力。

5. 多次复将复内容分成几个阶段，每个阶段进行一次全面的复。

逐渐加深对知识点的理解和记忆，形成扎实的知识体系。

6. 错题总结对做错的题目进行仔细分析和总结。

找出错误的原因，理清解题思路，以避免类似错误的再次发生。

7. 高效复在复过程中，保持专注和高效率。

创造一个安静、整洁的研究环境，避免干扰和分散注意力的因素。

8. 考前冲刺在考试前的最后阶段，进行集中复和冲刺。

重点复重要的知识点和常考题型，做一些模拟试卷来检验复效果。

结论本文档提供了一份针对高三学生的数学第一轮复指南。

希望学生们能根据自身情况制定合理的复计划，利用简单的策略和方法来高效复数学知识。

祝愿每位学生都能取得优异的成绩！。

上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷 (含答案解析)

上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 设x ∈R ，则“x 2<1”是“lgx <0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 定义在R 上的函数f(x)的反函数为f −1(x)且对于任意x ∈R ，都有f(−x)+f(x)=3，则f −1(x −1)+f −1(4−x)=( )A. 0B. −2C. 2D. 2x −43. 如果双曲线x 2m−y 2n=1(m >0,n >0)的渐近线方程渐近线为y =±12x ，则双曲线的离心率为( )A. 54B. 32C. √54 D. √524. 已知函数f(x)满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x +y)+f(x −y)(x,y ∈R)，则f(10)=( )A. 14B. 4C. −14D. −4二、填空题（本大题共12小题，共52.0分） 5. 计算n →∞lim(1−n n+1)的结果是______．6. 复数z =ai 1+2i (a <0)，其中i 为虚数单位，|z|=√5，则a 的值为______ ．7. 已知向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(−2,4)，且(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则实数x =______8. 集合A ={0,1，2，3}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =______．9. (x 2−2x +1)4的展开式中x 7的系数是______ ．10. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 对应的边分别为a ，b ，c ，若∠A =2π3，a =2，b =2√33，则∠B 等于_______．11. 若圆锥底面圆的半径为3，体积为12π，则该圆锥的侧面积是________。

12. 首项和公比均为12的等比数列{a n }，S n 是它的前n 项和，则n →∞limS n =______．13. 在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为____;乙、丙两人都选物理的概率是____． 14. 比较大小：(1)a 2+b 2_______2ab(a,b ∈R)；(2)ab +ba_________2(ab>0)．15.已知函数f(x)=2sin(x+π3),x∈(0,π3)，则f(x)的值域为__________．16.函数f(x)=2sin(2x+π6)−1在x∈[π12,π2]上的值域为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n，T n=b1+b2+⋯+b n，求T n．18.已知函数f(x)=2sin (x+π3)⋅cosx．(1)若0≤x≤π2，求函数f(x)的值域；(2)设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A为锐角，且b=2，a=√7，f(A)=√32，求cos(A−B)的值．19.随着人们生活水平的逐步提高，保健品市场正在逐步扩大．某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年度进行一系列的促销活动，经过市场调查和测算，保健品的年销量(k为常数)，如果不搞促销活动，保健品的年x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3−x=kt+1销量只有1万件．已知2019年生产保健品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件保健品需再投入32万元的生产费用．每件保健品的售价为其生产成本的150％与平均每件促销费用的一半之和，且当年生产的保健品正好能销完．(1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t的函数；(2)该企业2019年的促销费用投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润=销售收入−生产成本−促销费用，生产成本=固定费用+生产费用)20.已知函数f(x)=x，若数列{a n}(n∈N∗)满足：a1=1，a n+1=f(a n)x+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{c n}满足：c n=2n，求数列{c n}的前n项的和S n．a n21.设实数a∈R，函数f(x)=a−2是R上的奇函数．2x+1(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)当x∈(−1,1)时，求满足不等式f(1−m)+f(1−m2)<0的实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．先分别求解”x2<1”、“lgx<0”中x的取值范围，再根据必要条件、充分条件、充要条件定义判断即可．解：∵x2<1，即−1<x<1，lgx<0，即0<x<1，∴由0<x<1推出−1<x<1，而由−1<x<1推不出0<x<1，∴“x2<1”是“lgx<0”的必要不充分条件．故选B．2.答案：A解析：本题考查反函数的运算性质，属于基础题，利用反函数的运算性质即可得出．解：∵在R上的函数f(x)的反函数为f−1(x)，且对于任意x∈R，都有f(−x)+f(x)=3，∴f−1(3)=−x+x=0，则f(f−1(x−1)+f−1(4−x))=x−1+4−x=3，∴f−1(x−1)+f−1(4−x)=0．故选A．3.答案：D解析：解：∵双曲线方程为x2m −y2n=1(m>0,n>0)∴a2=m，b2=n，得a=√m，b=√n因此双曲线的渐近线方程y=±ba x，即y=±√nmx∴√n m =12，得m =4n ，所以c =√a 2+b 2=√5n 双曲线的离心率e =c a=√5n m=√5n 4n=√52故选：D ．根据双曲线方程得a =√m ，b =√n.结合双曲线的渐近线方程，得a =2b ，即m =4n ，再利用离心率的计算公式即可算出该双曲线的离心率．本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．4.答案：C解析：令y =1，则4f(x)f(1)=f(x +1)+f(x −1)，所以f(x)=f(x +1)+f(x −1)，所以f(x +1)=f(x +2)+f(x)，所以f(x +2)+f(x −1)=0，即f(x)+f(x +3)=0，所以f(10)=−f(7)=f(4)=−f(1)=−145.答案：0解析：解：n →∞lim(1−nn+1)=n →∞lim(1−11+1n)=1−11−0=0．故答案为：0．利用数列的极限的运算法则求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．6.答案：−5解析：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：复数z =ai1+2i =ai(1−2i)(1+2i)(1−2i)=ai+2a 5，∵|z|=√5，∴√(2a5)2+(a 5)2=√5，化为：a 2=25，(a <0)．解得a =−5．故答案为：−5．7.答案：112解析：解：a⃗−b⃗ =(3,x−4)；∵(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ；∴(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =−6+4(x−4)=0；∴x=11．2故答案为：11．2可求出a⃗−b⃗ =(3,x−4)，根据(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ 即可得出(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量坐标的减法和数量积的运算，向量垂直的充要条件．8.答案：{0,1，2}解析：解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={0,1，2}．故答案为：{0,1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：−8解析：解：(x2−2x+1)4=(x−1)8的展开式的通项公式为T r+1=C8r⋅(−1)r⋅x8−r，令8−r=7，求得r=1，可得展开式中x7的系数是−8，故答案为：−8．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于07，求得r的值，即可求得展开式中的x7的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．10.答案：π6解析：本题主要考查正弦定理的应用.直接利用正弦定理求解sin B ，进而得到角B 的大小．解：在三角形ABC 中，由正弦定理得asinA =bsinB ，即2√32=2√33sinB，解得sinB =12，因为b <a ，则B =π6，故答案为π6．11.答案：15π解析：本题主要考查圆锥侧面积，解答本题的关键是求出圆锥的母线长l =√r 2+ℎ2=√32+42=5，然后再求它的侧面积．解：设圆锥的高为h ，底面半径为r ， ∵圆锥底面圆的半径为3，体积为12π，，即ℎ=4，∴圆锥的母线长l =√r 2+ℎ2=√32+42=5， ∴圆锥的侧面积，故答案为15π．12.答案：1解析：解：根据题意，等比数列{a n }的首项和公比均为12，则其前n 项和S n =12[1−(12)n ]1−12=1−(12)n ，则n →∞limS n =1；故答案为：1．。

上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期数学11月份综合练习09(简答)

复旦附中高三数学综合练习092019.11一. 填空题1. 1和4的等比中项为2. 函数1()3x f x -=（0x <）的反函数是1()f x -=3. 已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，若角θ的终边落在第三象限内，且3cos()25πθ+=，则cos2θ= 4. 如图为某几何体的三视图，则其侧面积为 2cm5. 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =中任取两个数，欲使取到的一个数大于k ，另一个数小于k （其中k A ∈）的概率是25，则k = 6. 方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为7. 已知集合[1,2]A =，2{|40}B x x ax =-+≥，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 8. 设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ，若对任何*n ∈N ，都有23n n S S <，则q 的取值范围是9. 已知α、β均为锐角，且sin cos()sin ααββ+=，则tan α的最大值是 10. 函数()sin f x x ω=（0ω>）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、i A 、p A ，使得△k i p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2020ω=11. 已知函数2()|1||1|f x x x a x =+-++有两个不同的零点，则a 的取值范围是12. 设定义域为(0,)+∞的递增函数()f x 满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有6()f x x>-，且6(())5f f x x+=，则(10)f =二. 选择题13. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线则下列命题一定正确的是（）A. l 与1l 、2l 都不相交B. l 与1l 、2l 都相交C. l 至多与1l 、2l 中的一条相交D. l 至少与1l 、2l 中的一条相交 14. 设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则20191222019222a a a ++⋅⋅⋅+的值为（） A. 2 B. 0 C. 1- D. 115. 已知{}n a 的前n 项和为n S ，则“2n S an bn c =++（0a ≠，*n ∈N ）”是“{}n a 是等差数列”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 设()f x 是定义域为R 的奇函数，()g x 是定义域为R 的偶函数，a 、b 是非零常数，若函数()()af x bg x +的值域为[1,3)，则函数()()af x bg x -的值域为（）A. (3,1]--B. [1,3)C. 与a 、b 的取值有关D. 以上都不对三. 解答题17. 如图所示，已知长方体1111ABCD A B C D -的棱长2AB =，1BC =，12AA =，求：（1）异面直线1BC 与1CD 所成角的大小；（2）点B 到平面1ACD 的距离.18. 已知数列{}n a 和{}n b ，对任何正整数m ，记1122()||||||m m S m a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-. （1）若21n a n =-，2n b n =-，求(1)S ，(3)S ；（2）若12n n a -=，213n b n =-，求()S m 关于m 的表达式.19. 已知函数()f x 、()g x 满足关系式()()()2g x f x f x π=⋅+.（1）设()cos sin f x x x =+，求()g x 的解析式；（2）当()|sin |cos f x x x =+时，存在12,x x ∈R ，对任意x ∈R ，12()()()g x g x g x ≤≤ 恒成立，求12||x x -的最小值.20. 已知函数2()f x x ax b =++（,a b ∈R ）.（1）若不等式()0f x ≤的解集为[1,3]，求实数a 和b 的值；（2）若对任意[1,1]a ∈-，都存在[2,3]x ∈-，使得()0f x >成立，求实数b 的范围；（3）已知集合{|()0}A x f x =≤，5{|(())}4B x f f x =≤，若A B =≠∅，求实数a 的取值范围.21. 对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期，已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4f T π=.（1）证明：()sin3xh x x =+是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a b <，证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =；（3）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上有解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.参考答案一. 填空题1. 2±2. 31log 1(0)3x x +<<3.7254. 4π5. 4或76. 27. (,4]-∞8. (0,1]9. 10. 40392π11. (3--- 12. 125二. 选择题13. D 14. C 15. D 16. A三. 解答题 17.（1）；（218.（1）(1)0S =，(3)9S =；（2）当4m ≤，2393()212m m m S m -=-+；当5m ≥，2393()2772mm m S m -=-+.19.（1）()cos2g x x =；（2）34π.20.（1）5a =-，4b =；（2）(6,)-+∞；（3）∵A B =≠∅，∴05(())()()04f f x f x f x ≤⇒≤≤，即55(0)44f b =⇒=， ∴()0a f x -≤≤与()0f x ≤解集相同，∴254a a --≤且250a ∆=-≥，即a ∈21.（1）解：()6h x π是以为余弦周期的余弦周期函数（2）证明：()()()()()()[]0,f a c f b f a c f b c f x c a b f x R ⎫≤≤⇒-⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⇒-⎬⎪⎭在上必有解定义域值域都为()()[](),,,,c f a f b x a b f x c ∈∈=⎡⎤⎣⎦00故对于任意必存在使得（3）略。

2020年上海复旦实验中学高三数学文下学期期末试题含解析

2020年上海复旦实验中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线的焦点坐标为（）Ａ．（１，０）Ｂ．（２，０）Ｃ．（）Ｄ．（）参考答案：D2. 已知集合则（A）{} （B） {} （C） {} （D） {}参考答案：A3. 偶函数f(x)满足f (x-1)= f (x+1),且在x0,1时，f (x)=1-x，则关于x的方程f (x)=()x，在x0,3上解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D4. 如图2，正三棱柱的主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为( )A．B． C．D．16参考答案：A由主视图可知，三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为，所以侧视图的面积为，选A.5. 有四个关于三角函数的命题：或；；；.其中真命题是（）A． B． C． D．参考答案：D6. （5分）设函数f（x）=2x+﹣1（x＜0），则f（x）（）A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数参考答案：A【考点】：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】：利用基本不等式求最值时，一定要注意满足的条件，不是正数提出负号后再用基本不等式．解：∵x＜0，∴，当且仅当即x=取等号故选项为A．【点评】：利用基本不等式求最值，注意“一正”“二定”“三相等”要同时满足．7. 复数=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i参考答案：C，选C.8. 设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（?U B）=( ) A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解：?R B={1，5，6}；∴A∩（?R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．9. 某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．B．C．D．1参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据已知中的正视图和侧视图，可得当底面面面最大值，底面为正方形，求出几何体体积的最大值，可得结论．【解答】解：当底面面面最大值，底面为正方形，此时V=×1×1×2=，1＞，故该几何体的体积不可能是1，故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．据此可求出原几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C ．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系中，过定点的直线与曲线交于点，则．参考答案：4因为相当于对函数的图象进行向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，所以曲线的图象关于点成中心对称，可知是线段的中点，故．12. 给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.对于三次函数，有如下真命题：任何一个三次函数都有唯一的“拐点”，且该“拐点”就是的对称中心.给定函数，请你根据上面结论，计算.参考答案：2015考点：导数的运算，函数的性质13. 函数的定义域为D ，若对任意的、，当时，都有，则称函数在D 上为“非减函数”．设函数在上为“非减函数”，且满足以下三个条件：（1）；（2）；（3）,则、．参考答案：1,略14. 在平面直角坐标系中，点P 是不等式组所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x+y=0上的任意一点，O 为坐标原点，则的最小值为________．参考答案：15. 若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为.参考答案：16. 已知函数，若与的图象有三个不同交点，则实数的取值范围是_______________________ 参考答案：17.二项式的展开式中常数项等于．参考答案：答案：-20三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年上海市复旦中学高三数学理模拟试题含解析

2020年上海市复旦中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为，满足，且，则不等式（e为自然对数的底数）的解集为（）A．(－1,+∞) B．(0,+∞) C. (1,+∞) D．(－∞,0)参考答案：B2. 庆“元旦”的文艺晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排往前两位，节目乙不能安排在第一位，节目丙必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有A．36种； B．42种；C．48种； D．54种参考答案：B略3. 等差数列{a n}中，a1=1，a7=﹣23，若数列{}的前n项和为﹣，则n=( )A．14 B．15 C．16 D．18参考答案：A考点：数列递推式；数列的求和．专题：转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，利用通项公式可得a n=5﹣4n．可得=，即可得出．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a7=﹣23，∴﹣23=1+6d，解得d=﹣4．∴a n=1﹣4（n﹣1）=5﹣4n．∴==，∴数列{}的前n项和=+…+=，令=﹣，则n=14．故选：A．点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等于A．B．C．D．参考答案：D5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值为A．102 B．410C．614 D．1638参考答案：B略6. 若是上周期为5的奇函数，且满足，则( )A -1B 1C -2 D 2参考答案：A7. 已知M为椭圆上的一点，椭圆的两个焦点为、，且椭圆的长轴长为10，焦距为6，点为的内心，延长线段交线段于，则的值为（）A． B．C． D．参考答案：D8. 如果命题“￢（p∨q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个为真命题D．p、q至多有一个为真命题参考答案：C【考点】复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的真假判断方法即可得出．【点评】本题考查了“或”“且”“非”命题的真假判断方法，属于基础题．9. 若，则函数的零点所在的区间为（A）（B）（C）（D）参考答案：C10.设定义域为R的函数都有反函数，并且函数的图像关于直线的值为（）A．1005 B．2008 C．1003 D．以上结果均不对参考答案：答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算极限：= ．参考答案：2.12. 若向量满足，则的值为______.参考答案：略13. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，且轴，则到直线明的距离为__________。

2020届上海市复旦附中高三上学期9月综合练习一数学试题(解析版)

2020届上海市复旦附中高三上学期9月综合练习一数学试题一、单选题1．已知实数a 、b 、c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“ a b ac >”成立的（） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由0ac <，可得出0c a <<，由ab ac >可知0a >，然后再根据已知条件以及逻辑性关系推导出两者间的充分不必要条件关系. 【详解】c b a <<Q ，若0ac <，则必有0c a <<，由b c >，可得出 a b ac >，则0ac ab ac <⇒>；另一方面，若 a b ac >，且c b a <<，则0a >，事实上，若0c b a <<<，则a b a c <. 则0ab ac ac >⇒</.因此，“0ac <”是“ a b ac >”成立的充分不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了不等式性质的应用，考查逻辑推理能力，属于中等题.2．已知原命题“如果||1a ≤，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】根据四种命题之间的关系利用逆否命题的真假关系进行判断即可．【详解】若不等式（a 2﹣4）x 2+（a +2）x ﹣1≥0的解集为∅”，则根据题意需分两种情况： ①当a 2﹣4＝0时，即a ＝±2，若a ＝2时，原不等式为4x ﹣1≥0，解得x 14≥，故舍去，若a ＝﹣2时，原不等式为﹣1≥0，无解，符合题意； ②当a 2﹣4≠0时，即a ≠±2，∵（a 2﹣4）x 2+（a +2）x ﹣1≥0的解集是空集，∴()()22240(2)4410a a a ⎧-⎪⎨=+--⨯-⎪⎩＜＜，解得﹣2＜a 65＜，综上得，实数a 的取值范围是[﹣2，6)5．则当﹣1≤a ≤1时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，故选：B ．【点睛】本题考查了二次不等式的解法，四种命题真假关系的应用，考查了分类讨论与转化思想． 3．已知平面α截一球面得圆M ，球中过小圆心M 的直径为AB ，过点M 且与AB 成30°角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（） A.7π B.9πC.11πD.13π【答案】D【解析】先求出圆M 的半径，然后根据勾股定理求出OM 的长，找出线面角，从而求出ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆N 的半径，从而求出面积．【详解】∵圆M 的面积为4π， ∴圆M 的半径为2，根据勾股定理可知OM ==∵过点M 且与AB 成30°角的平面β截该球面得圆N ， ∴∠OMN ＝30°，在直角三角形OMN 中，ON ＝12= ∴圆N= ∴圆N 的面积为：13π．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的平面角，以及球的截面问题，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题．4．已知函数2(),[1,2]f x x x =∈的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是（）A.1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[1,4]C.[1D.[1+【答案】C【解析】依题意，求得f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），进而得到[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）的解析式及定义域，利用单调性，可得y 的值域．【详解】依题意，f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x x 满足14124x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即1≤x ≤2，又y ＝x [1，2]上的增函数，所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）的值域是[1，4]，故选：C ．【点睛】本题考查了简单函数的反函数的求法，函数的定义域，值域，属于基础题．解题时注意定义域优先的原则．二、填空题5．在5(12)x +的展开式中，2x 的系数为__________．（用数字作答）【答案】40【解析】因为()512x +的展开式的通项为()52rrC x ，令2r =，所以2x 的系数为25440C =.6．已知全集U =R ，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U A C B ⋂=___________【答案】{x |0≤x ＜2}【解析】根据补集与交集的定义计算即可．【详解】全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜2}， B ＝{x |x ＜0}＝{x |x ≥0}，那么A ∩∁U B ＝{x |0≤x ＜2}．故选：{x |0≤x ＜2}．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题． 7．函数y =__________【答案】（）【解析】根据题意列出使函数有意义的不等式，求出解集即可．【详解】函数y=∴6﹣x 2＞0，解得x∴定义域是（）．故答案为：（）．【点睛】本题考查了求函数定义域及一元二次不等式的解法问题，是基础题．8．函数1)y x =≤-的反函数是___________【答案】y =（x ≥0）．【解析】求反函数，第一步从原函数式中反解出x ，第二步互换x ，y ，最后确定反函数的定义域．【详解】由)1y x =≤-得，x =y ∈[0，+∞），所以函数)1y x =≤-的反函数是y =（x ≥0）．故答案为：y =（x ≥0）．【点睛】本题主要考查了反函数的求法，求解时，一定要注意反函数的定义域的确定，属于基础题．9．不等式20ax bx c ++>的解集是1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，则不等式20cx bx a ++<的解集为___________【答案】{x |﹣2＜x 13＜}．【解析】由题意利用一元二次方程根与系数的关系可得 a ＜0，且12-+3b a =-，12-×3ca =，由此化简要求的不等式为 3x 2+5x ﹣2＜0，从而求出它的解集．【详解】∵不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是132⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴a ＜0，且12-+352b a==-，12-×332ca=-=， ∴b ＞0，c ＞0，53b c =，23a c=-，∴不等式cx 2+bx +a ＜0，即 x 2b a x c c ++＜0，即 x 25233x +-＜0，即 3x 2+5x ﹣2＜0，求得它的解集为 {x |﹣2＜x 13＜}，故答案为：{x |﹣2＜x 13＜}．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题． 10．若集合，且，则实数的值为_____．【答案】0，，【解析】分析：通过解方程求出集合的元素，然后根据，讨论集合的可能性为空集和不为空集，最后分别求出每一种情形下的取值即可详解：当时，，则当时，，要使，则，解得点睛：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，本题体现了分类讨论的思想方法，属于基础题.11．若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[2544--，]，则m的取值范围是【答案】332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；【解析】作出函数的图象，由图象可得函数取值在[2544--，]上的x的范围，由题函数的定义域为[0，m]，即可得解．【详解】解：函数y＝x2﹣3x﹣4的图象如图，当x32=时，函数有最小值254-，当x＝0或x＝3时函数值为﹣4，原题给出函数的定义域为[0，m]，所以，从图象中直观看出33 2m≤≤，故答案为332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查了二次函数的图象，考查了函数的值域，考查了数形结合思想，准确作出函数图象是解题的关键，此题是基础题．12．已知222241a a x x x++≤+-对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是__________ 【答案】[﹣3，1]．【解析】根据题意可转化为a 2+2a +2()24xx f x x x≤+=-的最小值问题，然后利用导数求出函数的单调性与最小值即可得答案．【详解】根据题意化简得：a 2+2a +224xx x x≤+-对任意x ∈（1，+∞）恒成立，令f （x ）24xx x x=+-， ∴f ′（x ）()()()()2222224421131()()x x x x x x x x x x x ---+-=+=-- 令f ′（x ）＝0⇒x ＝3或﹣1（舍负）令f ′（x ）＞0⇒x ＞3；令f ′（x ）＜0⇒1＜x ＜3； ∴x ＝3时函数f （x ）取得最小值且f （3）＝5；∴a 2+2a +2≤5，化简得：a 2+2a ﹣3≤0，即（a ﹣1）（a +3）≤0，解得﹣3≤a ≤1．故答案为：[﹣3，1]．【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性的问题，以及极值与最值问题，属于中档题． 13．设关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集为{x|x ＞1}，则关于x 的不等式2ax 56bx x +--＞0的解集为________.【答案】{|116}x x x -<或【解析】由题意可知0,1,ba b a a->=∴=-,2ax (1)0,56(6)(1)b a x x x x x +-∴=>---+ 10,116(6)(1)x x x x x -∴>∴-<-+或∴不等式的解集为{|116}x x x -<或.14．已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是_________【答案】（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．【解析】由4x 2﹣9y 2＝36求得y ，再由xy ＞0得到关于x 的不等式组，求解得答案．【详解】由4x 2﹣9y 2＝36，得22194x y -=，∴y =由00x ⎧＞，解得x ＞3；由00x ⎧⎪⎨⎪⎩＜，解得x ＜﹣3． ∴函数y ＝f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，正确理解函数概念是关键，是中档题． 15．设Q是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③1212{|,}x x x x X +∈；④1212{|,}x x x x X ∈；与X 相等的集合的序号是_____________【答案】①②④．【解析】本题主要考查集合相等的证明方法：双包含，由此对各序号依次分析判断. 【详解】设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则对于①：∀x ∈X ，设x a bb Q =+∈，，则x b =+，而b X +，从而x ∈A ，故X ⊆A2b =+∈X ，故A ⊆X ，从而A ＝X ；对于②：∀x ∈X，设x a a b Q =+∈，，令x m n Q =∈，，则可得(22am bn an bm +++=，从而am +2bn ＝2，an +bm ＝0，解得2222am a b=-，222bn a b=--，且m ，n ∈Q ，从而x ∈B ，故X ⊆B ，反过来，22222a X x a b ==--，故B ⊆X ，从而B ＝X ；对于③：取1211x x ==-则x 1+x 2＝0∉X ，从而C 不是X 的子集，故C ≠X ；对于④：∀x ∈X ，设x a a b Q =+∈，，则(1x a =⨯+，取121x x a ==+，x ∈D ，即X ⊆D ，反过来x 1，x 2∈X 时，x 1x 2∈X ，故D ⊆X ，故D ＝X ．综上，①②④正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查集合的运算，尤其是集合相等，需要将两个集合中的元素相互转化为彼此的形式结构，借助双包含来证明或举反例，可借助待定系数法．16．设集合{}1,2,3,4,5I =，若非空集合A 同时满足①A I ⊆，②()min A A ≤（其中A 表示A 中元素的个数，()min A 表示集合A 中最小元素），称集合A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为______. 【答案】12【解析】对()min A 的取值为1、2、3、4、5进行分类讨论，列举出在()min A 在对应取值下集合A ，由此得出符合条件的集合A 的个数. 【详解】由题意可知，()min A 的取值为1、2、3、4、5. （1）当()min 1A =时，1A ≤，则{}1A =；（2）当()mi n 2A =时，2A ≤，则符合条件的集合A 有：{}2、{}2,3、{}2,4、{}2,5，共4个；（3）当()mi n 3A =时，3A ≤，则符合条件的集合A 有：{}3、{}3,4、{}3,5、{}3,4,5，共4个；（4）当()min 4A =时，4A ≤，则符合条件的集合A 有：{}4、{}4,5，共2个；（5）当()min 5A =时，5A ≤，则符合条件的集合A 为{}5. 综上所述，I 的所有好子集的个数为1442112++++=. 故答案为：12.【点睛】本题考查符合集合新定义的集合个数，解题时要明确题中集合的定义，采用列举法列举出符合条件的集合，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、解答题17．设函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =集合B ，已知α：x A B ∈，β：x 满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围【答案】（﹣∞，﹣6）【解析】先解不等式x 2﹣x ﹣2＞0得集合A ，再解不等式310x-≥可得集合B ，从而可得A ∩B ，再解不等式2x +p ＜0得集合C ，由α是β的充分条件得A ∩B ⊆C ，由集合间的包含关系可得p 的取值范围【详解】依题意，得A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＞0}＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），(]3{|10}03B xx=-≥=，，于是可解得A ∩B ＝（2，3]．设集合C ＝{x |2x +p ＜0}，则2p x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，．由于α是β的充分条件，所以A ∩B ⊆C ．则须满足362pp -⇒-＜＜．所以，实数p 的取值范围是（﹣∞，﹣6）．【点睛】本题考查了充分条件的判断与集合的关系，训练了解不等式的能力，解题时要把握推理方向，准确运算18．已知函数.y R = （1）m 求实数的取值范围；（2）()(),.m y f m f m 当变化时，若的最小值为求函数的值域【答案】（1）0 1.m ≤≤（2）【解析】（1）利用该函数的被开方数大于等于零得出该函数有意义需满足的不等式，结合恒成立问题得出字母m 满足的不等式；（2）通过配方法将函数的被开方数写成二次函数的顶点式，求出y 的最小值为f （m ），借助m 的范围求出f （m ）的值域．【详解】（1）依题意，当x ∈R 时，mx 2﹣6mx+m+8≥0恒成立．当m=0时，x ∈R ；当m≠0时，00m ⎧⎨≤⎩＞即()()206480m m m m ⎧⎪⎨--+≤⎪⎩＞．解之得0＜m≤1，故实数m 的取值范围0≤m≤1．（2）当m=0时，；当0＜m≤1，∴y min因此，f （m ）0≤m≤1），易得0≤8﹣8m≤8．∴f （m ）的值域为[0，]．【点睛】解本题的关键是处理二次函数问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于x 轴的交点个数；四是，区间端点值.19．已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ABC ⊥底面，90BAC ∠=︒，11AA =，AB =2AC =，E F、分别为棱1CC BC 、的中点（1）求证：1AC A B ⊥（2）求直线EF 与1A B 所成的角（3）若G 为线段1AA 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）6π．【解析】（1）由AC ⊥AB ，AC ⊥AA 1即可得出AC ⊥平面ABB 1A 1，于是AC ⊥A 1B ；（2）以A 为原点建立坐标系，求出EF 和 1A B 的坐标，计算cos 1EF A B ＜，＞即可得出直线EF 与A 1B 所成的角；（3）求出1AA 和平面EFG 的法向量n ，则sin ∠HA 1A ＝|cos n ＜，1AA ＞|．【详解】（1）∵AA 1⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC ∴AC ⊥AA 1．∵∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ．又A 1A ⊂平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，A 1A ∩AB ＝A ， ∴AC ⊥平面A 1ABB 1． ∵A 1B ⊂平面A 1ABB 1， ∴AC ⊥A 1B ．（2）以A 为原点建立空间直角坐标系A —xyz ，如图所示：则A 1（0，0，1），)B，，1022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，10F ⎫⎪⎪⎝⎭，． ∴()131A B =-，，，31122EF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，． ∴11122A B EF cos A B EF A B EF⋅〈==⋅，＞．直线EF 与A 1B 所成的角为45°．（3）1002G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，()020GE =，，，3112GF ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，．1AA =（0，0，1）．设平面GEF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则n GE n GF⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴2010.2y x y z =⎧+-= 令z =(103n =，，． ∴cos 11132n AA n AA n AA ⋅==＜，＞． ∵A 1在平面EFG 内的射影为H ，∴∠HA 1A 为AA 1与平面EFG 所成的角的余角，∴cos ∠HA 1A ＝|cos 1n AA ＜，＞|2= ∴∠HA 1A 6π=．【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量的应用与空间角的计算，属于中档题． 20．已知集合D ＝{（x 1，x 2）|x 1＞0，x 2＞0，x 1+x 2＝k }（其中k 为正常数）．（1）设12u x x =，求u 的取值范围（2）求证：当1k ³时，不等式212121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意12(,)x x D ∈恒成立（3）求使不等式212121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≥- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意12(,)x x D ∈恒成立的2k 的范围【答案】（1）204k ⎛⎤⎥⎝⎦，；（2）见解析；（3）208k ≤＜．【解析】（1）利用基本不等式，其中和为定值，积有最大值；（2）结合（1）中的范围直接将左边展开，利用u 在204k ⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增即可比较；（3）结合（2）将（3）转化为求使()24k f u f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭对204k u ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，恒成立的2k 的范围，利用函数的单调性解决，或者作差法求解．【详解】（1）221212()24x x k x x +≤=，当且仅当122k x x ==时等号成立，故u 的取值范围为204k ⎛⎤⎥⎝⎦，．（2）2222121212121212121221121212111111 22x x x x k k x x x x x x x x u x x x x x x x x x x x x u ⎛⎫⎛⎫+----=+--=+-=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由204k u ≤＜，又k ≥1，k 2﹣1≥0，∴f （u ）＝u 212k u --+在204k ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上是增函数所以121211x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22222221142222()4424k k k k k u k u k k --=-+≤-+=-+=- 即当k ≥1时不等式21212112()2k x x x x k⎛⎫⎛⎫--≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭成立．（3）记()212121112k x x u f u x x u ⎛⎫⎛⎫---=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则22224k k f k ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即求使()24k f u f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭对204k u ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，恒成立的k 2的范围．由（2）知，要使21212112()2k x x x x k⎛⎫⎛⎫--≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 对任意（x 1，x 2）∈D 恒成立，必有0＜k ＜1，因此1﹣k 2＞0，∴函数()212k f u u u-=++在(上递减，在)+∞上递增，要使函数f （u ）在204k ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上恒有()24k f u f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，必有24k ≤k 4+16k 2﹣16≤0，解得208k ≤＜．【点睛】本题考查不等式的综合应用，以及利用转化思想、函数思想转化为函数问题利用函数的单调性解决不等式问题，属于中档题．21．考虑下面两个定义域为（0，+∞）的函数f （x ）的集合：()1{|f x Ω=对任何不同的两个正数12x x 、，都有()()2112120}x f x x f x x x --＞，2Ω=(){|f x 对任何不同的两个正数12x x 、，都有()()222112120}x f x x f x x x --＞（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围（2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由【答案】（1）当a ≥0，b ＜0时，f （x ）∈Ω1且f （x ）∉Ω2；（2）2d +t ＜4；（3）0．【解析】（1）根据：f （x ）∈Ω1且f （x ）∉Ω2，可利用二次函数的单调性可得a 的范围，利用导数求出b 的范围．（2）由f （x ）∈Ω1，取0＜x 1＜x 2＜x 1+x 2，可得．由表格可知：f （a ）＝d ，f （b ）＝d ，f （c ）＝t ，f （a +b +c ）＝4，0＜a ＜b ＜c ＜a +b +c ，利用函数为增函数可得，再利用不等式的性质即可得出．（3）根据增函数先证明f （x ）≤0对x ∈（0，+∞）成立．再证明f （x ）＝0在（0，+∞）上无解．即可得出．【详解】（1）由：()1{|f x Ω=对任何不同的两个正数12x x 、，都有()()2112120}x f x x f x x x --＞，2Ω=(){|f x 对任何不同的两个正数12x x 、，都有()()222112120}x f x x f x x x --＞，可得函数y ()f x x=，y ()2f x x=在（0，+∞）为增函数，y ()f x x ==2x 2+2ax +b ，若f （x ）∈Ω1，则2a-≤0，即a ≥0 y ()2f x x ==2x +a bx+，y ′＝22b x +，当b ≥0，x ＞0时，y ′＞0，此时f （x ）∈Ω2，不符合题意，舍去；当b ＜0时，令y ′＝0，解得x =x ∈（0，+∞）有极值点，因此f （x ）∉Ω2．综上可得：当b ＜0时，f （x ）∈Ω1且f （x ）∉Ω2．（2）由f （x ）∈Ω1，若取0＜x 1＜x 2，则()()()12121212f x f x f x x x x x x ++＜＜．由表格可知：f （a ）＝d ，f （b ）＝d ，f （c ）＝t ，f （a +b +c ）＝4， ∵0＜a ＜b ＜c ＜a +b +c ，∴4d d t a b c a b c++＜＜＜， ∴d ＜0，d 4a a b c ++＜，d 4b a b c ++＜，t 4ca b c ++＜，∴2d +t 444a b ca b c++++＜=4.（3）∵对任何f （x ）∈T 和x ∈（0，+∞），都有f （x ）＜M ，先证明f （x ）≤0对x ∈（0，+∞）成立．假设存在x 0∈（0，+∞），使得f （x 0）＞0，记()02f x x=m ＞0∵y ()2f x x=是增函数．∴当x ＞x 0时，()()0220f x f x x x =＞m ＞0，∴f（x）＞mx2，∴一定可以找到一个x1＞x0，使得f（x1）＞mx12＞k，这与f（x）＜k对x∈（0，+∞）成立矛盾．即f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立．∴存在f（x）∈T，f（x）≤0对x∈（0，+∞）成立．下面证明f（x）＝0在（0，+∞）上无解．假设存在x2＞0，使得f（x2）＝0，∵y()2f xx=是增函数．一定存在x3＞x2＞0，使()()322232f x f xx x=＞0，这与上面证明的结果矛盾．∴f（x）＝0在（0，+∞）上无解．综上，我们得到存在f（x）∈T，f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立．∴存在常数M≥0，使得存在f（x）∈T，∀x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立．又令f（x）1x=-（x＞0），则f（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，又有()231f xx x=-在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）∈T，而任取常数k＜0，总可以找到一个x n＞0，使得x＞x n时，有f（x）＞k．∴M的最小值为0．【点睛】本题考查了函数的单调性，利用导数研究函数单调性和最值的关系，考查了构造函数的思想，考查了推理能力与计算能力，本题难度较大．。