湖南师范大学基础高等数学复习题
湖南师范大学基础高等数学复习题
湖南师范大学基础高等数学 期末复习题一、填空题1、若)(x f 的定义域为)0,(-∞,则)(ln x f 的定义域为 ；2、=⎰→320sin lim xdt t xx ;3、⎰+∞=121dx x ； 4、若)(,)(x f c xe dx x f x 则+=⎰= ； 5、函数32)(2-+=x x x f 在[]2,1-上满足拉格朗日中值定理的ξ= ; 6、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k . 7、若f x x x ()()112=+ 则)(x f = ;8、设)2)(1()(++=x x x x f ,则 =-')1(f ; 9、设)(),(cos u f x f y =可导,则=dy ; 10、若)(,)(x f c e dx x f x 则+=⎰= ；11、⎰=I '=I xx tdt x 2)(,sin )(则 ;12、在[]π2,0上曲线x y sin =与x 轴所围成的图形的面积为 . 13、设xey sin =，求22dxyd .14、设⎩⎨⎧>≤+=0,sin ;0,)(2x ax x b e x f x 在0=x 处可导, 则=a ;=b ;15、已知xe -是)(xf 的一个原函数,则='⎰dx x f x )( .16、⎰-=+11)arcsin (dx x x ；17、函数x x y -+=1的极大值为 ；. 18、若2'0()sin(),()x d f t dt x f x dx==⎰则 .二、单选题（在每小题的备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确答案的题号填入题干的括号内,多选不给分.）.1、=∞→xx x πsin lim （ ）① 1 ② π ③不存在 ④ 02、设函数x x f =)(，则)(x f 在点0=x 处 （ ） ①可导 ②不连续③连续，但不可导 ④可微3、当0→x 时，下列函数为无穷小量的是 （ ） ①x xsin ②x x 1sin 2 ③)1ln(1+x x ④x11+4、设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则)(0x f 为① 最小值 ②极小值 ③最大值 ④极大值5、设x sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f )( （ ）①C x +sin ② C x +cos③C x x ++cos sin ④C x x +sin 6、dx x x e⎰+1)ln 1(1= ( )① 12ln + ②C +2ln ③2 ④2ln7、设,sin 2x y = 则=dy （ ） ① x x cos sin 2 ② xdx cos 2 ③ xdx sin 2 ④xdx 2sin8、点0=x 是函数⎩⎨⎧≥-<=0,10,)(x e x x x f x 的 （ ）①连续点 ②可去间断点③第二类间断点 ④第一类间断点，但不是可去间断点 9、=→xxx 3sin lim0 （ ）①1 ② 2 ③ 3 ④ ∞ 10、dx xx e ⎰+1ln 11= ( )① 22 ②12- ③12+ ④)12(2-11、设x cos 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f )( （ ）①C x +sin ② C x +cos ③C x x ++cos sin ④C x x +sin12、=+⎰ex x dx1)ln 21( ( )①3ln ②3ln 21 ③2ln ④ 2ln 2113、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k ( )①3 ②1 ③15 ④ 014、设21,1,()31,1x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，则f (x )在x =1处 ………………………………( )①既可导又连续 ②可导但不连续 ③不连续也不可导 ④连续但不可导 15、设'0000(2)()()limh f x h f x f x h→+-=存在，则 ………………………..….. ( )①'0()f x ②'0()f x h - ③'02()f x h - ④'02()f x 16、下列函数中，为)(222x x e e y --=的原函数的是………………………….( )① x x e e 22-- ②)(2122x x e e -- ③x x e e 22-+ ④)(2122x x e e -+三、计算题1、设,ln 21,12t t y t t x +=-=。
高等数学复习题(含答案)
高等数学复习题与答案解析一、 一元函数微积分概要 （一）函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .解 (1) 由所给函数知,要使函数y 有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎩⎨⎧>≥-,0sin ,0162x x 推得⎩⎨⎧⋅⋅⋅±±=+<<≤≤-2,1,0π)12(π244n n x n x 这两个不等式的公共解为 π4-<≤-x 与π0<<x所以函数的定义域为)π,4[-- )π,0(.(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-≠-,112,03,032xx x 推得⎩⎨⎧≤≤<<-,40,33x x即 30<≤x , 因此，所给函数的定义域为 )3,0[.2.设)(x f 的定义域为)1,0(，求)(tan x f 的定义域. 解：令x u tan =, 则)(u f 的定义域为)1,0(∈u∴)1,0(tan ∈x , ∴x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z ,)(tan x f 的定义域为 x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z .3.设)(x f =x-11，求)]([x f f ，{})]([x f f f .解：)]([x f f =)(11x f -=x--1111=x 11- (x ≠1,0),{})]([x f f f =)]([11x f f -=)11(11x--= x (x ≠0,1).4.求下列极限：（1）123lim 21-+-→x x x x , （2）652134lim 2434-++-∞→x x x x x ,解：原式=1)1)(2(lim 1---→x x x x 解: 原式=424652134lim xx x x x -++-∞→ =)2(lim 1-→x x =2.（抓大头）= 1-.（恒等变换之后“能代就代”）（3）xx x -+-→222lim 2, （4）330sin tan lim x x x →, 解：原式=)22)(2()22)(22(lim2++-+++-→x x x x x 解：0→x 时33~tan x x ,=221lim2++→x x 33~sin x x ,=41. （恒等变换之后“能代就代”） ∴原式=330lim x x x →=1lim 0→x =1.（等价）（5）)100sin (lim +∞→x x x , （6） 2121lim()11x x x→--- ，解：原式=100lim sin lim∞→∞→+x x x x解： 原式=2211212(1)lim()lim 111x x x x x x→→-+-=--- =0 + 100= 100 （无穷小的性质） 11(1)11limlim (1)(1)12x x x x x x →→-===-++．(7)215lim+-+∞→x x x ．解 : 原式=52115lim=+-+∞→xxx ．（抓大头） （8）11lim 21-+→x x x .解：因为0)1(lim 1=-→x x 而0)1(lim 21≠+→x x ，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为011lim 21=+-→x x x ，所以当1→x 时，112+-x x 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ∞=-+→11lim 21x x x ． （9）limx解：不能直接运用极限运算法则，因为当x →+∞时分子，极限不存在，但sin x 是有界函数，即sin 1x ≤而 0111lim1lim33=+=++∞→+∞→x x xx x x ，因此当+∞→x 时，31xx +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得lim0x =.（10）203cos cos limxxx x -→ ． 解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式=202sin sin 2limx x x x →=441)22sin 4(lim sin lim 0=⨯=⋅⋅∞→→x xx x x x ．（也可用洛必达法则）（11）xx x)11(lim 2-∞→.解一 原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x xx x x =1ee 1=-，解二 原式=)1()(2])11[(lim 2x x x x--∞→-=1e 0=．（12）30tan sin limx x xx →-．解 ：x x x x 30sin sin tan lim -→=xx x x x cos )cos 1(sin lim 30-→ 20sin (1cos )1lim cos x x x x x x→-=⋅⋅ =222sin 2limx xx →=21 （ 222~2sin ,0⎪⎭⎫⎝⎛→x x x ） ．（等价替换） 5.求下列极限（1）201cot limx x x x -→ （2）)e e ln()3ln(cos lim33--+→x x x x （3）)]1ln(11[lim 20x x x x +-→ （4）)ln (lim 0x x n x ⋅+→ （5） xxx cos 1lim ++∞→解 ：（1）由于0→x 时，1tan cot →=x x x x ，故原极限为0型，用洛必达法则 所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim 2020-=-→→30sin cos limx xx x x -=→ （分母等价无穷小代换）20cos sin cos lim3x x x x xx →--=01sin lim 3x x x→-=31-=.（2） 此极限为∞∞，可直接应用洛必达法则 所以 )e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x 3e e lim e 1lim 3cos 333--⋅⋅=++→→x x x x xxx e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = . （3） 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成00或∞∞型.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx xx x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .（4）所求极限为∞⋅0型，得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ （∞∞型） =1111lim --→-+n x x nx =.01lim lim 0110=-=-++→+→nx n xnxx nx （5）此极限为∞∞型，用洛必达法则，得 1sin 1lim cos lim x x x x x x -=++∞→+∞→不存在，因此洛必达法则失效！ 但 101c o s 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x xxx x x x x x x .6.求下列函数的极限：（1）42lim 22--→x x x ， （2）()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa x x x f ,0,0><x x 当a 为何值时，)(x f 在0=x 的极限存在. 解： (1)41)2)(2(2lim 42lim 222-=+--=----→→x x x x x x x ,41)2)(2(2lim 42lim 222=+--=--++→→x x x x x x x ,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．（2）由于函数在分段点0=x 处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．于是，有a a x x a x x x f x x x x =+=+=----→→→→0000lim )1sin (lim )1sin (lim )(lim ，1)1(l i m )(l i m 2=+=++→→x x f x x ， 为使)(lim 0x f x →存在，必须有)(lim 0x f x +→=)(lim 0x f x -→， 因此 ，当a =1 时， )(lim 0x f x →存在且 )(lim 0x f x →=1．7.讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=,1sin ,)(x x xx f0>≤x x ， 在点0=x 处的连续性．解：由于函数在分段点0=x 处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．因而有01sin lim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xx x f x x f x x x x ， 而,0)0(=f 即0)0()(lim )(lim 00===+-→→f x f x f x x ， 由函数在一点连续的充要条件知)(x f 在0=x 处连续．8. 求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型：解：由初等函数在其定义区间上连续知)(x f 的间断点为1,0==x x .21lim)(lim 11=+=→→xx x f x x 而)(x f 在1=x 处无定义，故1=x 为其可去间断点.又∞=+=→x x x f x 1lim)(0 ∴0=x 为)(x f 的无穷间断点. 综上得1=x 为)(x f 的可去间断点, 0=x 为)(x f 的无穷间断点.（二）一元函数微分学1.判断：（1）若曲线y =)(x f 处处有切线，则y =)(x f 必处处可导.答：命题错误. 如：x y 22=处处有切线，但在0=x 处不可导.（2）若A ax a f x f ax =--→)()(lim（A 为常数），试判断下列命题是否正确.①)(x f 在点a x = 处可导, ②)(x f 在点a x = 处连续, ③)()(a f x f -= )()(a x o a x A -+-. 答：命题①、②、③全正确.(3)若)(x f ，)(x g 在点0x 处都不可导，则)()(x g x f +点0x 处也一定不可导. 答：命题不成立.如：)(x f =⎩⎨⎧>≤,0,,0,0x x x )(x g =⎩⎨⎧>≤,0,0,0,x x x)(x f ，)(x g 在x = 0 处均不可导，但其和函数)(x f +)(x g = x 在x = 0 处可导.（4）若)(x f 在点0x 处可导，)(x g 在点0x 处不可导，则)(x f +)(x g 在点0x 处一定不可导. 答：命题成立.原因：若)(x f +)(x g 在0x 处可导，由)(x f 在0x 处点可导知)(x g =[)(x f +)(x g ])(x f -在0x 点处也可导，矛盾.（5）)('0x f 与)]'([0x f 有区别. 答：命题成立.因为)('0x f 表示0)(x x x f =在处的导数; )]'([0x f 表示对0)(x x x f =在处的函数值求导，且结果为0.（6）设)(x f y =在点0x 的某邻域有定义，且-∆+)(0x x f )(0x f =2)(x b x a ∆+∆，其中b a ,为常数，下列命题哪个正确？①()x f 在点0x 处可导，且()a x f ='0,②()x f 在点0x 处可微，且()x a x f x x d |d 0==, ③()()x a x f x x f ∆+≈∆+00 （ ||x ∆很小时）. 答：①、②、③三个命题全正确.2.已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→.解：xx x 1)2πsin(lim 0-+→=xx x 2sin)2πsin(lim0π-+→ =2π|)'(sin =x x = 2πcos=0. 3.求 ()⎩⎨⎧+=，，xx x f 1ln )(0<≥x x ，的导数.解： 当0>x 时，xx f +='11)( ，当0<x 时，1)(='x f ，当0=x 时，xf x f x f x f f x x )0()(lim 0)0()(lim)0(00-=--='→→， 所以 10lim )0(0=-='-→-xx f x ， 1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f ， 因此 1)0(='f ，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧+=',1,11)(xx f .0,0≤>x x4.设))((),1ln()(x f f y x x f =+=，求dxdy解：)]1ln(1ln[))((x x f f y ++==,)]'1ln(1[)1ln(11d d x x x y ++⋅++=∴)1)](1ln(1[1x x +++=.5.已知arctanxy=求y ''. 解：两端对x 求导，得)(1)()(1122222'++='⋅+y x y x y xyx ，222222222221yx y y x yx yy x y y x y +'⋅+⋅+='-⋅+，整理得 x y y x y -='+)( ，故 xy xy y +-='， 上式两端再对x 求导，得22)()())(1())(1(x y x y y x y y x y x y y y x y x y y x y y y ++-'+'--'+-'=+-+'-+-'=''=2)(22x y yy x +-'，将 xy xy y +-='代入上式，得2)(22x y y x y xy x y +-+-⋅=''322)(2222y x xy y x xy +---=322)()(2x y y x ++-=. 6.求y = 323)4()3)(2)(1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+++x x x x x 的导数x yd d 解：两边取对数：y ln =)]4ln(ln 3)3ln()2ln()1[ln(32+--+++++x x x x x , 两边关于x 求导：]413312111[32'1+--+++++=⋅x x x x x y y , ∴)413312111(32d d +--+++++=x x x x x y x y . 7.设xx x f e )(=，求)('x f .解：令xx y e =, 两边取对数得：x y x ln e ln =, 两边关于x 求导数得：xx y y x xe ln e '1+⋅=⋅)e ln e ('xx y y x x+=即 )e ln e ('e xx x y xxx+=. 8.设,sin ),(2x u u f y ==求x y d d 和22d d xy.解：xy d d =2cos 2)(x x u f ⋅⋅', 22d d xy=)sin 4cos 2)(()(cos 4)(222222x x x u f x x u f -'+⋅''. 9.xx y e 4+=, 求y)4(.解：xx y e 43+=', xx y e 122+='',xx y e 24+=''', x y e 24)4(+=.10.设cos sin x t t y t=-⎧⎨=⎩，， 求 22d d x y . 解：d (sin )cos d 1sin (cos )y t tx tt t '=='+- ，22d d d cos d cos d cos 1()()()d d d d 1sin d 1sin d 1sin d y y t t t t xx x x t t t x t t''===⋅=+++ 222sin (1sin )cos 11(1sin )1sin (1sin )t t t t t t -+--=⋅=+++. 11.求曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点（1，1）处切线的斜率. 解：由题意知：⎩⎨⎧==,1,13t t 1=⇒t ,33)()(d d 12131==''====t t t t t t xy,曲线在点（1，1）处切线的斜率为3 12. 求函数x x y tan ln e =的微分.解一 用微分的定义x x f y d )(d '=求微分， 有x x xx x x y xx x d ]sec tan 1e e [d )e (d 2tan ln tan ln tan ln ⋅+='= x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得 x x xx x x y tan ln tan ln tan ln e d d e )e(d d +==)tan (ln d e d e tan ln tan ln x x x x x +=)tan d(tan 1e d e tan ln tan ln x x x x x x ⋅+= x xx x x x x d cos 1tan 1e d e 2tan ln tan ln ⋅+= x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 13.试证当1≠x 时，x xe e >.证明：令x x f x e e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='xx f .当1<x 时，e e )(-='xx f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数，即()(1)0.f x f >=当1>x 时，e e )(-='xx f 0>，可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数，即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x x x xe e >.14.求函数344x x y -=的单调性与极值. 解：函数的定义域为),(+∞-∞.)3(3223-=-='x x x x y ， 令 ,0='y 驻点 3,021==x x 列表由上表知，单调减区间为)3,(-∞，单调增区间为),3(+∞，极小值 4)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值， ,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值. 15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f . ∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.16.求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分.当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , 曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.17.求函数)1ln(2x y +=的凹向及拐点. 解：函数的定义域 ),(+∞-∞，,122x x y +=' 222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+=''， 令 ,0=''y 得1±=y ， 列表由此可知，上凹区间(1,1)-,下凹区间(,1)(1,)-∞-+∞，曲线的拐点是)2ln ,1(±.的渐近线.18.求下列曲线的渐近线 （1）x x y ln = ，（2）1222-+-=x x x y ，（3）()()213--+=x x x y .解 （1）所给函数的定义域为),0(+∞.由于 011lim ln lim ==+∞→+∞→x x xx x ，可知 0=y 为 所给曲线xxy ln =的水平渐近线.由于 -∞=+→xxx ln lim0， 可知 0=x 为曲线xxy ln =的铅直渐近线.（2） 所给函数的定义域)1,(-∞,),1(∞+.由于 -∞=-+-=--→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， +∞=-+-=++→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， 可知 1=x 为所给曲线的铅直渐近线（在1=x 的两侧()f x 的趋向不同）.又 a x x x x x x f x x ==-+-=∞→∞→1)1(22lim )(lim 2，[]b x x x x x x x ax x f x x x =-=-+-=--+-=-∞→∞→∞→112lim ])1(22[lim )(lim 2， 所以 1-=x y 是曲线的一条斜渐近线.（3）()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .19.求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=. （2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（三）一元函数积分学1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？答：因为0=k 时，C x x x kf =⎰=⎰d 0d )(（任意常数），而不是0. 2. 思考下列问题：(1) 若C x x x f x ++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？ 答：x x x f x f x cos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？ 答：233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？答：C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(. 3. 计算下列积分：（1）)sin d(sin 5x x ⎰, （2）x x d cos 3⎰, （3）⎰+x xx x d )sin (,（4）x xe x d 2⎰, （5）⎰-21d xx x , （6）⎰-41d xx x ,（7）⎰x x x d 2ln , （8）x x d )32(2+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, （10）⎰+x x x d arctan )1(12, （11）⎰+22d x x , （12）⎰-24d x x .解：（1）C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65. （2）x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰=C xx +-3sin sin 3. （3）x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. （4）C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2.（5）C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.（6）C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .（7（8）C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(6)32(d )32(2d )32(.（9）C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12.（10）C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.（11）C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. （12）⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112xx ⎰=C x +2arcsin .4. 计算下列不定积分：（1）⎰++x xd 111，（2）x x d 162-⎰,（3）⎰+232)4(d x x ，（4）⎰-x xx d 122.解：（1） 令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是原式=⎰+t t t d 12=⎰+-+t t t d 1112=]1d d [2⎰⎰+-t tt =C t t ++-1ln 22=C x x +++-+11ln 212. （2）令)2π2π(sin 4<<-=t t x ，则t x cos 4162=-，t t x d cos 4d =， 于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形，得81641642cos sin 22sin 22xx x x t t t -=-⋅⋅==, 故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. （2）令)2π2π(tan 2<<-=t t x ，则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,x于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形，得24sin xx t +=故C x x x x ++=+⎰223242)4(d .（4） 设 t x sin = ,t x cos 12=-,t t x d cos d = , 于是原式=⎰t t tt d cos cos sin 2=⎰t t d sin 2=⎰-t t d 22cos 1 =21⎰⎰-)2(d 2cos 41d t t t ==+-C t t 2sin 4121C t t t +-cos sin 2121=C x xx +--212arcsin 21． 5.计算下列积分：(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x xd e4,(4)⎰x x xd 4sin e5, (5)⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解：（1）)2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .（2）⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰-=⎰+-2241)(d 2arctan xx x x =)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.（3）x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. x221x -1x t（4）5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x xxd 4cose 544sin e5155⎰-=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x xx xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并，得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. （5）⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin =C xx x +-100100cos 10000100sin . （6）⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅-=x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 6.计算 （1）x x xd e )1(2⎰+ ， （2） 3s e c d x x ⎰． 解：（1） 选 12+=x u ，=v d x e x d ， =v xe ， x x u d 2d =, 于是原式 )1(2+=x x e ⎰-x 2x e x d ,对于⎰x x e x d 再使用分部积分法,选x u =， =v d x e x d , 则 x u d d =，=v xe ,从而⎰x xex d =x x e ⎰-x x d e =x x e C x +-e ．原式=xe =+--)e e (21C x x x )12(2++x x Cx+e （12C C =）,为了简便起见，所设 x u =,=v xe 等过程不必写出来，其解题步骤如下:⎰x xe dx =⎰x d x e =x C x x x x x x +-=-⎰e e d e e . （2）3secd x x ⎰=)(tan d sec x x ⎰=x x tan sec ⎰-)(sec d tan x x=x x tan sec ⎰-x x x d sec tan 2=sec tan x x -x x x d sec )1(sec 2-⎰=sec tan x x -⎰x x d sec 3+⎰x x d sec =sec tan x x -⎰x x d sec3+x x tan sec ln +,式中出现了“循环”，即再出现了⎰x x d sec 3移至左端，整理得3sec d x x ⎰=21[x x tan sec +x x tan sec ln +]+C ． 7. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ， 由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x . 8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ. 9. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？解：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.10.已知 ⎰+=t t x xx F d 1sin )(2 ， 求 )(x F '．解：)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1⋅+=++-212x x x x cos sin 1⋅+．11. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得xtt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x12.计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-2d |1|x x =⎰-10d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1.（2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰103d x x=1402444x x +--=4+41741=.（3）⎰π20d |sin |x x =⎰πd sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (x x +-=2+2=4.13.计算下列定积分（1）⎰--2π2π3d cos cos x x x ，（2）⎰--112d 1x x .解：(1)x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π03⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .(2)⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.14.计算 （1）⎰+-4d 11x xx， （2）⎰4π4d tan sec x x x ．解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令 x t =，x 2t = ，t t x d 2d = ，当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是⎰+-40d 11x x x=⎰+-20d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t tt [].3ln 44021ln 442-=+--=tt t（2）⎰4π4d tan sec x x x =⎰4π03)(sec d sec x x43411sec 414π04=-==x ．15. 计算下列定积分：（1）x x xd e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x x d πcos e 10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(133⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5e d )15(540x x ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x x x =5155e 5e 51e 6=--x.(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x xx x xd 1223ln )1e 4ln(e 2e21⎰+--+= --+=3ln )1e 4ln(e 2x x )d 1211(e 21⎰+---+=3ln )1e 4ln(e 2()e21)12ln 21(+-x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=.(3) x x xd πcose 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰x x x x πde ππsin πsin e π11010π⎰-= =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 10πx x--⎰ x x x x πde ππcos πcos e π11010π⎰-==-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰ 移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=. （4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰⎰++-++=1034134d )e 313ln 34()e 313ln 34(x x x x xx x x=4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x 16.计算（1）⎰1d arctan x x ， （2）x x x d ln 2e e1⎰．解:（1）⎰1d arctan x x =10arctan x x⎰+-102d 1x x x=102)1ln(214πx +- =2ln 214-π ．（2） 由于在[1,e1]上0ln ≤x ；在[2e ,1]上0ln ≥x ，所以x x x d ln 2e e1⎰=x x x d )ln (1e1⎰-+x x x d ln 2e 1⎰=)2(d ln 21e1x x ⎰-+)2d(ln 2e 12x x ⎰=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22-42x ]2e 1=41-（412e 1+212e 1）+（4e -414e +41） =21-432e 1+434e ． 17.判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)⎰∞++022d )1(x x x, (2) ⎰∞+02d 1x x , (3)x xd e 1100⎰∞+-, (4)⎰∞++02100d xx ． 解:(1) 因为积分区间为无穷区间，所以原式=+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(=+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21=bb x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[lim 2++-+∞→b b =21， 故所给广义积分收敛，且其值为21． (2)⎰∞+02d 1x x =+∞=-=-+∞→→+∞+xx x x x 1lim 1lim )1(00,∴⎰∞+02d 1x x 发散. (3)x xd e1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .(4)⎰∞++02100d x x =20π10arctan 1010=+∞x . 18.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点（1，1）. 解一 取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x x x x x x A . 解二 取y 为积分变量,y 的变化区间为[0，1]，32)d y -y -2(1==⎰y A . 显然，解法二优于解法一.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 19. 求下列曲线所围成的图形的面积:抛物线 22xy =与直线42=-y x . 解:先画图，如图所示，并由方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=4222y x x y ，求出交点为（2，1-），（8，2）. 解一 取y 为积分变量,y 的变化区间为[1-，2]， 在区间[1-，2]上任取一子区间[y ，y +y d ]，则面积微元 A d =y y y d )242(2-+,则所求面积为A =⎰--+212d )242(y y y = （32324y y y -+）21-=9.解二 取x 为积分变量，x 的变化区间 为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间， 需分成[0，2]，[2，8]两部分完成.在区间[0，2]上任取一子区间[x ，x +x d ]， 则面积微元 A d 1=x xd ]22[, 在区间[2，8]上任取一子区间[x ，x +x d ]，2)2-y则面积微元 A d 2=[)4(212--x x ]x d , 于是得=A 1+A 2 =⎰20d 22x x +x x x d )222(82+-⎰=23322x 20+[23322x 224x x -+]82=9 .显然，解法一优于解法二.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 20.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：如右图，所求体积⎰+=122d )1(πx x V⎰++=1024d )12(πx x x=135)325(πx x x ++=π1528. 二、 微分方程1. 验证x x C C x C y --+=e e 21为微分方程0'2''=++y y y 的解，并说明是该方程的通解. 证明： x x C C x C y --+=e e 21,x x C x C C C y ----=∴e e )('121, x x C x C C C y --+-=e e )2(''112,于是0'2''=++C C C y y y ，故C y 是0'2''=++y y y 的解.x x -e 与x -e 线性无关，∴0'2''=++y y y 中的1C 与2C 相互独立，即C y 中含有与方程0'2''=++y y y 阶数相同（个数均为2）的独立任意常数，故C y 是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程:（1）22d d y x x y =, （2）21d d x yx y -=, （3）y x x x y )1(d d 2++=，且e )0(=y . 解：（1）分离变量得x x yyd d 22=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰=x x y yd d 122 ,x求积分得 3313Cx y +=-,从而通解为Cx y +-=33及验证0=y 也是方程的解.（特别注意，此解不能并入通解） （2）分离变量得21d d xxy y -=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰-=x x y y d 11d 12,求积分得 1arcsin ||ln C x y +=,即 )e (e e e 11arcsin arcsin Cx x CC C y ±==±=,从而通解为 x C y arcsin e =，验证0=y 也是方程的解. （3）分离变量得x x x yyd )1(d 2++=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰++=x x x y y d )1(d 12 求积分得 13232||ln C x x x y +++=, 即 )e (eee 1332232132C x x x C C C y x x x ±==±=++++,从而通解为3232ex x x C y ++=，验证0=y 也是方程的解.由e )0(=y ，得e =C ， 故特解为32132e x x x y +++=.3.求解下列一阶线性微分方程（1）x b ay y sin '=+（其中b a ,为常数）, (2)21d d yx x y +=. 解：(1)因a x P =)(， x b x Q s i n)(=， 故通解为 ⎰⎰⋅+⎰=-]d e sin [e d d x x b C y xa x a⎰⋅+=-)d e sin (e x x b C ax ax)]cos sin (e 1[e 2x x a a b C axax -++=-. (2)方程变形为2d d y x yx=-, 这是x 关于y 的一阶线性微分方程，其中2)(,1)(y y Q y P =-=,通解为：⎰⋅⎰⋅+⎰=---]d e [e d )1(2d )1(y y C x yy⎰-⋅+=]d e [e 2y y C y y)22(e 2++-=y y C y .以上是用一阶线性微分方程的通解公式求解，要熟练掌握常数变易法！ 4.求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y的特解.解：这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-， 两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）. 代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .5.求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一 原方程可化为 1d d +=xyx y x y ，令 x yu =，则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u uu d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2， 积分得C x u u ln ln ln 1-=-，将xy u =代入原方程，整理得原方程的通解为 yx C y e = （C 为任意常数）.解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =，所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yxC ye = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy x y 分离变量，得xy x y 2d d =，x x yy d 2d =， 两边积分，得x x y y⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ，)e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）. 解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e )(2=代入通解的公式得)d e cos e (e d 2d 22⎰+⎰⋅⎰=---C x x y xx x x x=)d e cos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.6.求微分方程 123='+''y x y x 的通解.解：方程中不显含未知函数y ，令P y ='，x P y d d =''，代入原方程，得 1d d 23=+P x xP x， 311d d xP x x P =+，这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以 =)(x P 1d 13d 1d e 1(eC x xxx x x +⎰⎰⎰-） =1ln 3ln d e 1(e C x x x x+⎰-）=13d 1(1C x x x x +⋅⎰）=11(1C x x +-）=x C x 121+-， 由此x y d d =x Cx121+-，⎰+-=x x C xy d )1(12=21ln 1C x C x ++， 因此，原方程的通解为 y =21ln 1C x C x++ （21,C C 为任意常数）. 7.求微分方程 )1()(22-''='y y y 满足初始条件21==x y ，11-='=x y 的特解.解：方程不显含x ，令 P y ='，y P Py d d =''，则方程可化为 )1(d d 22-=y yP PP ， 当 0≠P 时y y P P d 12d -=，于是 21)1(-=y C P .根据 21==x y，11-='=x y ，知12-='=y y 代入上式，得 11-=C ，从而得到x y yd )1(d 2-=-，积分得 211C x y +=-，再由21==x y ，求得 02=C ，于是当0≠P 时，原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11， 当0=P 时，得C y =(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解x y =-11中. 故原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11，即 xy 11+=. 8.求方程0)'(''2=-y yy 的通解.解：方程不显含自变量x , 令)('y p y =原方程可变为0d d 2=-⋅⋅p ypp y , 即0=p 或p ypy=d d , 由0'==p y 得C y =.由p y p y=d d 分离变量，得yy p p d d =, 两边积分得⎰⎰=y yp p d d ,求积分得 1ln ln ln C y p +=, 即y C p 1=, 解y C y 1'= 得xC C y 1e 2=,因C y =包含于xC C y 1e2=中, 故原方程通解为 xC C y 1e2=.9.写出下列微分方程的通解：（1）0'2''=+-y y y , （2）08'=+y y . 解：（1）特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r , 通解为x x C C y e )(21+=.（2）特征方程08=+r , 特征根8-=r , 通解为xC y 81e-=.10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:（1）xy y y 3e6'2''-=-+, 1)0(',1)0(==y y ,（2） x y y sin 2''=+，1)0(',1)0(==y y . 解：（1）先解06'2''=-+y y y ,。
湖南师范大学2004-2016年数学分析考研试题
湖南师范大学2004年全国硕士研究生入学考试数学分析试题一、 基础题（每题8分，共64分）1.求证：方程7543361510360x x x x x 在实数轴上有且仅有一个根； 2.若,,b c d 为实数且23b c ，求证：32y x bx cx d 没有极值；3.求极限11limxx x ex；4.求不定积分22sin 1sin xdx x；5.求111lim 1cos3nn k k n n ；6.求级数0211!2nn n n的和；7.设,,a b c 为常数，()u 是u 的可微函数，(,)z z x y 由222()ax by cz x y z 决定且20z c ，求()()z zcy bz az cx x y。
8.求二重积分Dy x dxdy，其中D 为矩形：[0,1][0,1] 。
二、 （12分）设11ln ,1,2,,nn k x n n k，求证： （1）对一切自然数n 都有111ln(1)1n n n ；（2）数列{}n x 收敛。
三、 （10分）设()f x 在[0,) 上连续，在(0,) 内可导且(0)0f ，()f x 在(0,) 内严格单调递增，求证：()f x x在(0,) 上严格单调递增。
四、 （10分）设0 ，求积分22x x eeI dx x。
五、 （10分）设()f a 存在且不为0，0h ，根据拉格朗日中值定理有()()()(01)f a h f a f a h h ，求证：1lim 2h。
六、 （12分）设C 为圆周222x y 取正向，求第二类曲线积分：22(1)4(1)Cydx x dyI x y。
七、 （10分）设0()1S x，()1),1,2,,n S x x n，求证：函数列{()}n S x 在[0,1]上一致收敛于x 。
八、 （12分）求曲面积分2(1)SI yzdydz ydzdx z dxdy，其中S为球面z 取上侧。
九、 （10分）设广义积分1()f x dx收敛，函数()xf x 在区间[1,) 上单调递减，求证：（1）()0xf x ； （2）lim ()ln 0x xf x x。
湖南师范大学基础高等数学复习题
湖南师范大学基础高等数学 期末复习题一、填空题1、若)(x f 的定义域为)0,(-∞,则)(ln x f 的定义域为 ；2、=⎰→320sin limxdt t xx ;3、⎰+∞=121dx x ； 4、若)(,)(x f c xe dx x f x 则+=⎰= ； 5、函数32)(2-+=x x x f 在[]2,1-上满足拉格朗日中值定理的ξ= ; 6、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k . 7、若f x x x ()()112=+ 则)(x f = ;8、设)2)(1()(++=x x x x f ,则 =-')1(f ; 9、设)(),(cos u f x f y =可导,则=dy ; 10、若)(,)(x f c e dx x f x 则+=⎰= ；11、⎰=I '=I xx tdt x 2)(,sin )(则 ;12、在[]π2,0上曲线x y sin =与x 轴所围成的图形的面积为 . 13、设xey sin =，求22dxyd .14、设⎩⎨⎧>≤+=0,sin ;0,)(2x ax x b e x f x 在0=x 处可导, 则=a ;=b ;15、已知xe -是)(xf 的一个原函数,则='⎰dx x f x )( .16、⎰-=+11)arcsin (dx x x ；17、函数x x y -+=1的极大值为 ；. 18、若2'()sin(),()x d f t dt x f x dx ==⎰则 .二、单选题（在每小题的备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确答案的题号填入题干的括号内,多选不给分.）.1、=∞→xx x πsin lim （ ）① 1 ② π ③不存在 ④ 02、设函数x x f =)(，则)(x f 在点0=x 处 （ ） ①可导 ②不连续③连续，但不可导 ④可微3、当0→x 时，下列函数为无穷小量的是 （ ） ①x x sin ②x x 1sin 2 ③)1ln(1+x x ④x11+4、设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则)(0x f 为① 最小值 ②极小值 ③最大值 ④极大值5、设x sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f )( （ ）①C x +sin ② C x +cos③C x x ++cos sin ④C x x +sin 6、dx x x e⎰+1)ln 1(1= ( )① 12ln + ②C +2ln ③2 ④2ln7、设,sin 2x y = 则=dy （ ） ① x x cos sin 2 ② xdx cos 2 ③ xdx sin 2 ④xdx 2sin8、点0=x 是函数⎩⎨⎧≥-<=0,10,)(x e x x x f x 的 （ ）①连续点 ②可去间断点③第二类间断点 ④第一类间断点，但不是可去间断点 9、=→xxx 3sin lim0 （ ）①1 ② 2 ③ 3 ④ ∞10、dx xx e⎰+1ln 11= ( )① 22 ②12- ③12+ ④)12(2-11、设x cos 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f )( （ ）①C x +sin ② C x +cos ③C x x ++cos sin ④C x x +sin12、=+⎰ex x dx1)ln 21( ( )①3ln ②3ln 21 ③2ln ④ 2ln 2113、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k ( )①3 ②1 ③15 ④ 014、设21,1,()31,1x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，则f (x )在x =1处 ………………………………( )①既可导又连续 ②可导但不连续 ③不连续也不可导 ④连续但不可导 15、设'0000(2)()()limh f x h f x f x h→+-=存在，则 ………………………..….. ( )①'0()f x ②'0()f x h - ③'02()f x h - ④'02()f x16、下列函数中，为)(222x x e e y --=的原函数的是………………………….( )① x x e e 22-- ②)(2122x x e e -- ③x x e e 22-+ ④)(2122x x e e -+三、计算题1、设,ln 21,12t t y t t x +=-=。
2020年湖南师范大学605高等数学基础考研专业课考试大纲(含参考书目)
湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲
（含参考书目清单）
考试科目代码：[605] 考试科目名称：高等数学基础
一、考试形式与试卷结构
1)试卷成绩及考试时间：
本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
2)答题方式：闭卷、笔试
3)试卷内容结构
各部分内容分值比重为：
函数与极限10%
一元函数的微积分 20％
多元函数微积分 20％
无穷级数 10％
行列式10％
矩阵 10％
向量组 20％
4)题型结构
a: 计算题，9小题，每小题10分，共90分
b: 应用题，2小题，每小题15分，共30分
c: 证明题，2小题，每小题15分，共30分
二、考试内容与考试要求。
湖师大新高考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极值，则下列哪个选项正确？A. a = 0，b ≠ 0，c ≠ 0B. a ≠ 0，b = 0，c ≠ 0C. a ≠ 0，b ≠ 0，c = 0D. a = 0，b = 0，c ≠ 02. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列的前10项之和S10等于：A. 28B. 55C. 80D. 1103. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于直线y = x的对称点为：A. (3, -2)B. (2, 3)C. (-3, 2)D. (-2, 3)4. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 25，则数列的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = e^x6. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z在复平面内的轨迹是：A. 圆心为(1, 0)，半径为2的圆B. 圆心为(0, 1)，半径为2的圆C. 圆心为(1, 2)，半径为2的圆D. 圆心为(2, 1)，半径为2的圆7. 已知三角形ABC的边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 梯形8. 若函数f(x) = log2(x + 1)在区间[0, 2]上单调递增，则f(1)的值约为：A. 0B. 0.5C. 1D. 29. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数是：A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°10. 若数列{an}满足an = 2an-1 + 1，且a1 = 1，则数列{an}的第n项an等于：A. 2^n - 1B. 2^n + 1C. 2^n - 2D. 2^n + 2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
【华师期末复习卷】高数期末试题
学生填写）： 姓名： 学号： 命题：黄寿生 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）三．计算题（一）（每小题6分，共36分） （计算下列极限）16. xx xx x x sin cos lim--→；17. 0sin 2limsin 5x xx→；18. 221lim n nn ++++∞→Λ；19. x x x cot lim 0→；20. 20tan sin lim.sin x x xx x→-；21. 21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭。
四. 计算题（二）22．求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间，并求极限032lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→-→．23．求函数xx y 1sin =的间断点,并说明间断点所属类型. 如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续.24. 设2sin 0() 0 x x x f x a x x <⎧=⎨+≥⎩要使()f x 在(,+)-∞∞内连续,应当怎样选择数a ?班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）五．证明题 25. 证明方程01sin =++x x 在开区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一根.六．应用题26. 试确定b a ,之值，使2111lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x .16. 解：由洛必达法则，0cos 1cos sin limlimsin 1cos x x x x x x x xx x x →→--+=-- 0sin sin cos limsin x x x x xx →++= 3=17. .解：原式=52525sin 522sin lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅→x x xx x 18. . 解：212lim 2)1(lim 21lim 2222=+=+=++++∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n Λ 19. . 解：1cos sin lim sin cos lim cot lim 00=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅=→→→x x x x x x x x x x x 20.解：20tan sin limsin x x x x x →- 20tan (1cos )lim sin x x x x x→-= 20(1cos )lim x x x x x →⋅-=⋅ 12=21. . 解：原式=()[]22/11lim e x x x =+∞→四. 计算题（二）22..求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间，并求极限032lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→-→．解：2(1)(3)()(2)(3)x x f x x x -+=-+，故()f x 在(,3)(3,2)(2,)-∞--+∞U U 内连续22033211(3)18lim ()(0),lim ()lim ,lim ()22325x x x x x f x f f x f x x →→-→-→---=====-=∞--- 23.求函数xx y 1sin =的间断点,并说明间断点所属类型. 如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续.解：由于x x y 1sin=在0=x 处没有定义，因此0=x 是间断点，且01lim sin 0x x x→=,故0=x 为第一类可去间断点,若定义0)0(=y ,则y 在0=x 处连续.24. 设2sin 0() 0 x x x f x a x x <⎧=⎨+≥⎩要使()f x 在(,+)-∞∞内连续,应当怎样选择数a ?解：由于函数在()f x 在(,+)-∞∞内连续，故：2lim sin 0,lim()x x x x a x a -+→→=+=当0a =时，00lim ()lim ()0x x f x f x -+→→==则0lim ()(0)x f x f →=，此时()f x 在0x =连续，也在(,+)-∞∞内连续。
高等数学第一章试题库
第一章试题库第一部分基础练习题一、选择题1.下列数列收敛的是()。
A.sin n x n = B.1sin n x n n = C.1ln n x n = D.1(1)n n-+2.0()f x +和0()f x -都存在是函数()f x 在0x x =处有极限的（）.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件3.下列函数中，相同的是（）.A.2()lg f x x =与()2lg g x x =B.()f x =()g x =C.()f x x =与()g x =D.()arcsin f x x =与()arcsin()g x x π=-4.设函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则（）是奇函数。
A.[()]f f x B.[()]g g x C.[()]f g x D.[()]g f x 5.下列变量中是无穷小量的是（）A.1ln(1)1(0)x x +-→B.11sin ()x x x→∞C.()122x x →- D.11(0)x e x -→6.函数()cos f x x x =（）A.x →∞时为无穷大量 B.x →∞时极限存在C.在(,)-∞+∞内有界 D.在(,)-∞+∞内无界7., 1, n n n x n n⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n →+∞时{}n x 是()A.无穷大量B.无穷小量C.有界变量D.无界变量8.下列关于无穷小的说法中，错误的是（）A.有限个无穷小的乘积仍是无穷小B.无穷小与有界函数的乘积是无穷小C.两个无穷小的商仍是无穷小D.有限个无穷小的代数和仍是无穷小9.当x →∞时，函数()sin f x x x =是()。
A．无穷大量B．无穷小量C．无界函数D．有界函数10.下列函数在自变量的变化过程中为无穷小量的是（）。
A )0(sin ln →x xxB )0(1→x e xC )1()1(12→-x x D)0(cot →x x 11.设45)(,0,0,)(2-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=x x g x x x x x f ，则=)]0([g f ()A.16-B.4-C.4D.1612.已知(21)f x -的定义域为[0,1],则()f x 的定义域为（）．A．[1/2,1]B．[-1,1]C．[0,1]D．[-1,2]13.下列各式计算正确的是()A.sin lim1x xx →∞= B.01lim sin 1x x x→= C.1lim sin1x x x→∞= D.011lim sin 1x xx→=14.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+=<<-+=2020022)(2x x x x x x f 的定义域是()A．)2,2(-B．]0,2(-C．]2,2(-D．(0,2]15.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=010001sin )(x e x x x x f x 则=→)(lim 0x f x ()A．1B．0C．1-D．不存在16.下列函数在定义域内关于原点对称的是()A．22ln(1)x x +B．1xx +C．3x x e e -+D．ln(x +17.下列数列收敛的是（）.A.12,2,,(2),n ---L LB.135721,,,,,357921n n -+，L LC.1135721,,,,(1),357921n n n -----+L L ,D.1234,,,,(1),23451n n n ---+,L L 18.下列计算正确的的是（）.A.1lim(1)xx x e→∞+= B.01lim(1x x e x →+= C.1lim sin 1x x x →∞= D.sin lim 1x xx→∞=19.=-→xx x 21)1(lim （）A.21- B.e - C.21eD.20.22442lim ,313x ax x x x →∞-+=-+那么a 的值为（）A.1B.0C.2D.321.当0x →时，tan sin x x e e -与n ax 为等价无穷小，则().A．1,1a n ==B．1,22a n ==C．1,32a n ==D．1,44a n ==22.当0x →时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（）.A.2xB.1cos x -C.tan x x -D.2ln(1)x +23.当0x →时，与2x 等价的无穷小量是（A.2ln(1)x + B.21xe - C.1cos x-1-24.当0→x 时,1是x 的（）.A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小25．当0→x 时，)2sin(3x x +与x 比较是（）．A．高阶无穷小B．等价无穷小C．同阶无穷小，但不是等价无穷小D．低阶无穷小26．设2, 01()2, >1x x f x x x -⎧<≤=⎨⎩，则1x =是该函数的()A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D 连续点27．设1sin , 0()1, 0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则0x =是该函数的()A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.第二类间断点 D.连续点28．0x =为函数1()sin f x x x=的（）A．可去间断点B．跳跃间断点C．振荡间断点D．无穷间断点29．函数1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（）A.无极限B.不连续C.连续D.以上都不对30．0x =是11()1x f x e =+的（）。
湖南师大 高三数学 专题二第二讲二次函数的有关问题复习课件 文
2.如果不等式 f（x）=ax2－x－c>0 的解集为{x|－2<x<1}，那么 函数 y=f（－x）的大致图象是（ ）
解析：由条件知 a<0，且 ax2－x－c=0 两根为 1 和－2，
∴－2+1= 1 ，（－2）×1= c ，
a
a
∴a=－1，c=－2，∴f（x）=－x2－x+2
典例研习
类型二、二次函数的最值 例2.《导与练》 例2.
典例研习
类型三、二次方程根的分布 例4.《导与练》 例4.
课后作业 完成《导与练》课时作业.
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
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高三文科数学总复习
专题二第二讲 二次函数的有关问题
基础检测
1.若函数 f（x）=ax2+bx+c 满足 f（4）=f（1），那么（ ） （A）f（2）>f（3） （B）f（3）>f（2） （C）f（3）=f（2） （D）f（3）与 f（2）的大小关系不确定
大学高等数学各章节练习题
大学高等数学各章节练习题在大学阶段的学习中，高等数学是一个必修课程，它包含了各个章节和知识点的练习题。
练习题是帮助学生巩固理论知识、提高解题能力和应用能力的重要工具。
本文将根据大学高等数学的各个章节，对其练习题进行介绍和总结。
第一章导数与微分在高等数学的第一章中，导数与微分是其中的基础知识。
通过学习导数与微分的定义和性质，可以掌握求导法则和应用，从而解决各种函数的极值、单调性、函数图像以及相关应用问题。
以下是几道典型的练习题：1. 求函数f(x)=3x^2-2x+1的导函数。
2. 设函数f(x)=√(x+1)，求f'(x)。
3. 设函数f(x)=e^x+2x，求f''(x)。
通过练习这些题目，可以加深对导数与微分概念的理解，熟练掌握运用导数的方法。
第二章不定积分在高等数学的第二章中，不定积分是其中的重要内容。
学习不定积分可以学会对函数的原函数进行求解，从而求出函数的不定积分。
以下是几道典型的练习题：1. 求函数f(x)=3x^2-2x+1的不定积分。
2. 求∫(2x+1)dx的结果。
3. 求∫sinx^2dx的结果。
通过练习不定积分的题目，可以提高对不定积分的理解和熟练应用。
第三章定积分与曲线长度在高等数学的第三章中，定积分是其中的关键知识点。
学习定积分可以求解曲线下面积、定积分的性质以及曲线长度等问题。
以下是几道典型的练习题：1. 求∫[0,1]x^2dx的结果。
2. 求曲线y=x^2在[0,1]上的下曲边与y轴围成的面积。
3. 求曲线y=√(1-x^2)在[-1,1]上的弧长。
通过练习定积分的题目，可以加深对定积分概念的理解，并且掌握运用定积分求解相关问题的方法。
第四章微分方程在高等数学的第四章中，微分方程是其中的核心内容。
学习微分方程可以理解微分方程的概念和基本解法，并且可以应用微分方程解决实际问题。
以下是几道典型的练习题：1. 求解微分方程dy/dx = 2x。
2. 求解微分方程 dy/dx = y/x。
高等数学期末复习题库
高等数学期末复习题库一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x-2在区间[-5, 4]上的最大值是：A. 0B. 2C. 10D. 162. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在点(2,5)处的切线斜率是：A. 1B. -1C. 3D. -33. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 14. 幂级数Σ(n=1 to ∞) x^n/n 收敛的区间是：A. (-1, 1)B. (-∞, ∞)C. [1, ∞)D. [0, 1]5. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. π/4二、填空题6. 函数f(x)=x^3-2x^2+x-3在x=______处取得极小值。
7. 若f(x)=e^x，g(x)=ln(x)，则f(g(x))=______。
8. 函数y=x^2-4x+3的图像与x轴的交点坐标是(1, 0)和(______, 0)。
9. 若定积分∫(a,b) f(x) dx = 5，且a=1，f(x)=x^2，则b=______。
10. 利用泰勒公式展开e^x在x=0处的前三项是______。
三、解答题11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1, 3]上的最大值和最小值。
12. 证明：对于任意的正整数n，有1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。
13. 解微分方程dy/dx + 2y = x^2，初始条件为y(0)=1。
14. 求定积分∫(0,π/2) sin(x) dx。
15. 利用傅里叶级数展开函数f(x)=x^2在区间[-π, π]上的周期延拓。
四、证明题16. 证明函数f(x)=x^3在R上是严格递增的。
17. 证明定积分∫(0,1) x ln(x) dx = -1/4。
18. 证明级数Σ(n=1 to ∞) (1/n^2)是收敛的。
五、应用题19. 一个物体从静止开始，以初速度为0，加速度为常数a=2m/s^2，求物体在t=3秒时的位置。
高等数学第一章测试题
高等数学第一章测试题一、单项选择题（20分）1、当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ ）不一定是无穷小.(A)()()x x βα+ (B) ()()x x 22βα+ (C) [])()(1ln x x βα⋅+(D) )()(2x x βα 2、极限a x a x a x -→⎪⎭⎫ ⎝⎛1sin sin lim 的值是（ ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan3、⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=001sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ） 1（B ） 0 （C ） e （D ） 1-4、函数 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤>-+=0,sin 10,2tan 1,1)1ln()(x x x x x x x x x f π 的全体连续点的集合是 （ ）(A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞)(C) (-∞,0) (0, +∞) (D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞)5、 设0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ）（A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1）6、已知函数231)(22+--=x x x x f ，下列说法正确的是（ ）。
(A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点(C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断7、|sin |()cos x f x x xe-=()x -∞<<+∞是 。
（A ）奇函数； （B ）周期函数；（C ）有界函数； （D ）单调函数8、当0x →时，2()(1cos )ln(12)f x x x =-+与 是同阶无穷小量。
湖南师大2004年试题解答
湖南师大2004年试题解答一．基础题１．证：设7543()36151036f x x x x x x =+-++-，由于()0f x =是奇数次方程，所以()0f x =至少有一个实根．另一方面由于6432432()3(71020101)102010f x x x x x x x x '=+-++>-+222210(21)10(1)0x x x x x =-+=-≥即对任意实数,()0x f x '>，所以()0f x =至多有一个实根，因此7543()361510360f x x x x x x =+-++-=在实轴上有且只有一个实根．２．证：因为232y x bx c '=++，且22(2)434(3)0b c b c -⨯=-<，所以232y x bx c '=++0=无实根，因此在全体实数范围内2320y x bx c '=++>，因此32y x bx cx d =+++在全体实数范围内严格单调，所以32y x bx cx d =+++没有极值．３．解：22222000(1)2((1)ln(1))lim lim((1))lim(1)(1)xx x x x x x e x x x x x x x x →→→+--++'=+=++ 222200(1)ln(1)ln(1)2lim2lim .2x x x x x x e e e x x→→-++-+===- ４． 2222sin 11(1)1sin 1sin 1sin x dx dx x dx x x x =-=-+++⎰⎰⎰ 22221sec cos 2sin 12tan xx dx x dx x x x=-=-++⎰⎰2tan ).12tan d x x x x C x=-=++⎰ ５．解： 131113lim 1cos 1cos1cos33nn k dx dtk xn tnππππ→∞===+++∑⎰⎰330203(1cos )31cos ()|sin sin t dt t t t ππππ--===⎰６．解：设2021()!nnn n f x x n ∞=+=∑，则221200011()().!!xn n x n n f t dt x x x xe n n ∞∞+=====∑∑⎰所以2222()()2.x x x f x xe e x e '==+，故120211()2.!2n n n f e n ∞=+==∑７．解：由于()(22),()(22)z z z za cu x z b c u y z x x y y ∂∂∂∂''+=Φ++=Φ+∂∂∂∂，所以 2()2(),,2()2()z a x u z b y u x z u c y z u c''∂-Φ∂-Φ==''∂Φ-∂Φ- 因此()(2())()(2())()()2()z z cy bz a x u az cx b y u cy bz az cx x y z u c''∂∂--Φ+--Φ-+-='∂∂Φ- 2()2().2()acy bcx bzx u ayz u bx ay z u c''-+Φ-Φ==-'Φ-８．解：12||()()DD D y x dxdy x y dxdy y x dxdy -=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰111()()x xdx x y dy dx y x dy =-+-⎰⎰⎰⎰221100(1)1.223x x dx dx -=+=⎰⎰二．解：（１）在1[0,]n上对函数()ln(1)f x x =+应用拉格朗日中值定理，有11111()(0)ln(1),01f f n n n nξξ-=+=<<+． 所以11111ln(1).11n n n n n=<+<++（２）1111ln ln(1)ln ln(1)ln 0nnn k k x n n n n k k ===->+-=+->∑∑，所以{}n x 有下界．另一方面11111111ln(1)ln ln(1)01n nn n k k x x n n k kn n ++==-=-+-+=-+<+∑∑．所以{}n x 单调递减，故{}n x 收敛．三．设()()f x F x x =，则2()()()xf x f x F x x '-'=．又令()()()g x xf x f x '=-， 则()()(())(()()),(0,)f x g x x f x x f x f x xξξ'''=-=-∈，由于()f x '单调递增，所以()0,g x ≥故2()()0g x F x x '=≥，即()()f x F x x=单调递增． 四．解： 22200x x x t e e I dx xdx e dt xαββα--+∞+∞--==⎰⎰⎰，设2(,)x tf x t xe -=，则在[0,)[,]αβ∞⨯上2(,)x t f x t xe -=连续，且2|(,)|x f x t xe α-≤，2x xe dx α∞-=⎰，则Ｍ－判别法，2x t xe dx ∞-⎰关于t 在[,]αβ上一致收敛，因此22011ln .22x tx tI xdx edt dt xedx dt t βββαααβα+∞∞--====⎰⎰⎰⎰⎰五．由泰勒公式，211()()()()2f a h f a f h h f a h h θ'''+-=++，又 ()()()()(()())f a h f a f a h h hf a h f a h f a θθ''''+-=+=++-2()(())hf a hf a a h h θθθ'''=+++比较以上两式得22121()(())2f a h h f a a h h θθθθ''''+=++． 所以1200011lim()()lim (())()lim 22h h h f a h f a f a a h f a θθθθθ→→→''''''''+==++=． 故10011lim()lim .22h h f a h θθ→→''+== 六．设2222(1)(,),(,),4(1)4(1)y x P x y Q x y x y x y--==-+-+则(,),(,)P x y Q x y 在Ｃ内的点(1,0)不连续，取正数δ充分小，使椭圆2221:4(1)C x y δ-+=在Ｃ的内部，若1C 也取正向，则(,),(,)P x y Q x y 在Ｃ与1C 围成的区域风连续且有连续偏导数，且易求得Q P x y ∂∂=∂∂，由格林公式，12222(1)(1)4(1)4(1)C C ydx x dy ydx x dyx y x y ----=-+-+⎰⎰．令 1cos ,sin 2x t y t δδ-==，则122222221(1)(1)2.4(1)4(1)CC ydx x dy ydx x dydt x y x y πδπδ-----===--+-+⎰⎰⎰七．证：22111111111111122222222220()().nnkknnk k n n n S x x S x xS xS x x==-+--∑∑=======故lim ()n n S x x →∞=．又1122[0,1]11lim sup ||lim(1)0.221n nn n n n x xx -→∞→∞∈-=-=-所以{()}n S x 在[0,1]上一致收敛于x ．八．解：设2211:0x y S z ⎧+≤⎨=⎩，取下侧，由高斯公式，12(1)(21)S S Vyzdydz ydzdx z dxdy z dxdydz ++++=+⎰⎰⎰⎰⎰21205(1).6Vd r r dr dxdydz ππθ=-+=⎰⎰⎰⎰⎰ 故1225(1)(1)6SS yzdydz ydzdx z dxdy yzdydz ydzdx z dxdy π+++=-+++⎰⎰⎰⎰ 155.666S dxdy ππππ=-=-=-⎰⎰ 九．证：（1）由于()xf x 单调递减，lim ()x xf x A →+∞=存在，若0A <，则存在0,M x M >>时，|||()|2A xf x A -<，故3()0,22A Af x x x<<<因此 ()2MMAf x dx dx x+∞+∞<=-∞⎰⎰从而1()f x dx +∞⎰发散于-∞，与已知条件相矛盾．因此0.A ≥所以()0.xf x A ≥≥（２）首先由于1()f x dx +∞⎰收敛，所以对任意0ε>，存在0,,M A B M >∀>，有|()|.2BAf x dx ε<⎰，因此对任意x M >，()2x f t dt ε<．由于11()()()()ln .2x xx f t dt t dt xf x xf x x t =≥= 因此对任意x M >，()ln xf x x ε<， 故lim ()ln 0.x xf x x →+∞=。
高等数学复习题及答案
现代远程教育课程考试复习题及参考答案高等数学一、填空题：1.设2)(xx a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。
2.若2sin x x y x x <<=+≤<⎧⎨⎩-20102，则=)2(πy .3.极限limsinsin x x x x→=021。
4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a ,=b 。
5.已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ可微，则yz∂∂= 。
7.设2e yz u x=，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=∂∂)1,0(xu 。
8.设ϕϕ,),()(1f y x y xy f xz ++=具有二阶连续导数，则=∂∂∂y x z 2 。
9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为 和 。
10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则'y f =(1,0) 。
11.=⎰xdx x 2sin 212.[0,]cos ,sin y x y x π==在区间上曲线之间所围图形的面积为 。
13.若21d e 0=⎰∞+-x kx ，则k = 。
14.设Ｄ：221x y +≤，则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤Ddxdy y x)14(2215.设D 由22,,,y x y x y y ====212围成（0x ≥），则(),Df x y d σ⎰⎰在直角坐标系下的两种积分次序为 和 。
16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤，则Dfdxdy ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为 。
17.设级数∑∞=+121n pn收敛，则常数p 的最大取值范围是 。
18.=+-+-⎰10 642)!3!2!11(dx x x x x 。
19.方程01122=-+-ydy xdx 的通解为 。
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师大学基础高等数学 期末复习题一、填空题1、 若)(x f 的定义域为)0,(-∞,则)(ln x f 的定义域为 ；2、=⎰→320sin lim x dt t xx ;3、⎰+∞=121dx x； 4、若)(,)(x f c xe dx x f x 则+=⎰= ； 5、函数32)(2-+=x x x f 在[]2,1-上满足拉格朗日中值定理的ξ= ; 6、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k .7、若f x x x ()()112=+ 则)(x f = ;8、设)2)(1()(++=x x x x f ,则 =-')1(f ; 9、设)(),(cos u f x f y =可导,则=dy ; 10、若)(,)(x f c e dx x f x则+=⎰= ；11、⎰=I '=I xx tdt x 2)(,sin )(则 ;12、在[]π2,0上曲线x y sin =与x 轴所围成的图形的面积为 . 13、设xey sin =，求22dxyd .14、设⎩⎨⎧>≤+=0,sin ;0,)(2x ax x b e x f x 在0=x 处可导, 则=a ;=b ;15、已知xe -是)(xf 的一个原函数,则='⎰dx x f x )( .16、⎰-=+11)arcsin (dx x x ；17、函数x x y -+=1的极大值为 ；.18、若2'0()sin(),()xd f t dt x f x dx ==⎰则 .二、单选题（在每小题的备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确答案的题号填入题干的括号,多选不给分.）.1、=∞→x x x πsin lim （ ）① 1 ② π ③不存在 ④ 02、设函数x x f =)(，则)(x f 在点0=x 处 （ ） ①可导 ②不连续③连续，但不可导 ④可微3、当0→x 时，下列函数为无穷小量的是 （ ）①x xsin ②x x 1sin 2 ③)1ln(1+x x ④x11+4、设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0<''x f ，则)(0x f 为① 最小值 ②极小值 ③最大值 ④极大值5、设x sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f )( （ ）①C x +sin ② C x +cos ③C x x ++cos sin ④C x x +sin6、dx x x e⎰+1)ln 1(1= ( )① 12ln + ②C +2ln ③2 ④2ln7、设,sin 2x y = 则=dy （ ） ① x x cos sin 2 ② xdx cos 2 ③ xdx sin 2 ④xdx 2sin8、点0=x 是函数⎩⎨⎧≥-<=0,10,)(x e x x x f x 的 （ ）①连续点 ②可去间断点③第二类间断点 ④第一类间断点，但不是可去间断点 9、=→xxx 3sin lim0 （ ）①1 ② 2 ③ 3 ④ ∞ 10、dx xx e⎰+1ln 11= ( )① 22 ②12- ③12+ ④)12(2-11、设x cos 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f )( （ ）①C x +sin ② C x +cos ③C x x ++cos sin ④C x x +sin12、=+⎰ex x dx1)ln 21( ( )①3ln ②3ln 21 ③2ln ④ 2ln 2113、曲线26322-+=x x y 在点(3,1)处的切线的斜率=k ( )①3 ②1 ③15 ④ 014、设21,1,()31,1x x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，则f (x )在x =1处 ………………………………( )①既可导又连续 ②可导但不连续 ③不连续也不可导 ④连续但不可导 15、设'0000(2)()()limh f x h f x f x h→+-=存在，则 ………………………..…..( )①'0()f x ②'0()f x h - ③'02()f x h - ④'02()f x 16、下列函数中，为)(222x x e e y --=的原函数的是………………………….( )① x x e e 22-- ②)(2122x x e e -- ③x x e e 22-+ ④)(2122x x e e -+三、计算题1、 设,ln 21,12t t y t t x +=-=。
求22,dxyd dx dy2、 确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间与极值。
3、 求⎰xdx x 3sin 。
4、求⎰-2022dx x5、求曲线⎩⎨⎧==ty t x sin cos 上对应4π=t 点处的切线方程和法线方程.6、求函数 xex y -=2的极值.7、求定积分dx x x ⎰++4122.8、求dx x x ⎰-π53sin sin .9、求dx xx x x ⎰+-+23212. 10、(0),xy x x dy =>设求11、设方程3sin ,(),.cos t tt x e t dyy y x dx y e tπ=⎧==⎨=⎩确定函数求12、求积分.⎰13、求积分.四、应用题与证明题1、由曲线0,ln ===y e x x y 与所围成的平面图形的面积A 以及该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积V .2、求由曲线2x y =与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。
3、铁皮做成一个容积为0V 的有盖圆柱形匣子,怎样做才能使所用铁皮最少？4、抛物线2y x =及直线2y x =+所围图形的面积.5、证明：)0(,)1ln(1><+<+x x x x x6、求证：⎰⎰πππ=00.)(sin 2)(sin dx x f dx x xf 。
注：请各位老师务必抓好期末复习工作，努力提高学生及格率。
师大学基础高等数学 期末复习题参考答案一、填空题1、)1,0(;2、31 ; 3、1 ;4、)1(+x e x ;5、216、15.7、2)1(x +8、－1;9、xdx x f sin )(cos '-;10、x e ;11、x sin ;12、0.13、x xe y sin cos ='，.)cos sin ()(cos 2sin sin 22x x e xe dxy d x x +-='=；14、1,2-==b a ； 15、dx x f x xf x xdf dx x f x ⎰⎰⎰-==')()()()(C e xe x x +--=--.16、⎰-=+11)arcsin (dx x x =+=⎰⎰--1111arcsin xdx dx x .1021=+⎰xdx17、54；18、22cos()x x 。
二、选择题（共7个小题，每小题4分，共28分）1、 ②2、 ③3、 ②4、④5、①6、④7、④8、①9、③10、④ 11、② 12、② 13、 ③ 14、 ④ 15、④；16③；三、计算题1、 ,t dxdy = , 22221t t dx y d +=2、函数的定义域为),(+∞-∞，)1)(2(612186)(2--=+-='x x x x x f , 令0)(='x f ,即解0)1)(2(6=--x x ,得出它的两个根.2,121==x x即函数)(x f 在(]1,∞-和[)+∞,2上单调增加,在[]2,1上单调减少.1=x 极大值点，极大值2)1(=f ;2=x 为极小值点, 极大值1=x ,1)2(=f⎰⎰-=x xd xdx x 3cos 313sin=⎰+-xdx x x 3cos 313cos 3=c x x x ++-3sin 913cos 3。
4. 令t x sin 2= ，tdt t dx x cos 2sin 22220222⋅-=-⎰⎰π2cos 2202ππ==⎰tdt 。
5、解:22sin ,22cos 44======ππt t t y tx . 1sin cos 44-=-===ππt t tt dxdy, 从而得切线方程为: )22(22--=-x y 或2+-=x y ,法线方程为: )22(22-=-x y 或x y =. 6、,2,00'),2('==⇒=-=-x x y x xe y x 令列表讨论：x =0为极小值点，极小值为f (0)=0 ,x =2为极大值点，极大值为24)2(-=e f7、、解令t x =+12,212-=t x ,tdt dx =.dt t dx x x ⎰⎰+=++3124)3(21122 322= 12、dx x x dx x x dx x x cos sin)sin 1(sin sin sin 02305323⎰⎰⎰=-=-πππ…⎰⎰-=πππ223223)(sin sin )(sin sin 0x xd x xd 54)52(52=--=。
8、解将被积函数分解成部分分式之和,2223)1(1)1(12212-+-+=-+=+-+x Cx B x A x x x x x x x .其中A 、B 、C 为待定常数，下面用“取特殊值法”求出待定系数.两端去分母后，得Cx x Bx x A x +-+-=+)1()1(122.令,0=x 得1=A ,令,1=x 得,3=C 令,2=x 得1-=B ,于是dx x x x x ⎰+-+23212⎰⎰⎰-+--=dx x dx x dx x 2)1(13111 C x x x C x x x +---=+----=131ln 131ln ln .9、在方程x y x =两边同时取对数得 ln ln y x x = 同时对x 求导得1ln 1dyx y dx =+, ∴[ln 1]x dy x x dx =+. 10、cos sin sin cos t t t t dy e t e t dx e t e t -=+cos sin sin cos tt t t -=+，32.t dy dxπ=∴== 11、2,1,2t x t dx tdt ==-=则,22122(1)t tdt t dt t-==-⎰⎰332()2(33t t c c =-+=-+12、40(cos sin )x dxπ=-⎰ 4(cos )1.sinx x π=+=四、应用题与证明题1、 A=1ln ln 111=-=⎰⎰eeedx x x xdx ； ⎰=212dx y V π ππ531214==⎰dx x 2、V=]ln 2ln [ln 1121122dx x x x xdx dx y ee ee⎰⎰⎰-==πππ]2[-=e π3、设圆柱形匣子底半径为r , 高为h ,表面积为S ,则220,rV h h r V ππ=⇒= ,222202202r V r rV r r S +=+=ππππ20324r V r S -='π , 令0='S ,得 303022,2ππV h V r ==,故当r h Vr 2,230==π才能使所用铁皮最少。