由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组_1
义务教育初中数学课程标准考试卷及答案
义务教育初中数学课程标准考试卷及答案初中数学课程试卷一、单选题1．（a）主要就是根据物体特征抽象化出来几何图形，根据几何图形想象DF93叙述的实际物体；想象出来物体的方位和相互之间的为边线关系；叙述图形的运动和变化；依据语言的叙述图画出来图形等。
a．空间观念b．几何直观c．符号意识d．模型思想2.对于圆来说：（a）a．面积与周长的平方成正比b．面积与周长成正比c．面积与周长成反比d．面积与周长的平方成反比3.“数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西剩下的只有数量和关系；对于数学研究而言，线、角或者其他的量，不是作为存有而是做为关系。
”这段话就是（b）说道的。
a．阿基米德b．亚里士多德c．高斯d．菲尔茨4.钢体变换属于（b）的内容a．欧式几何b．变换几何c．综合几何5.课程标准修改之后,图形和几何的主线就是（d）a．图形的性质b．图形的变化c．图形与坐标d．以上皆有6.课标修订稿中方程与不等式部分，哪部分内容没删掉（b）a．由一个二元一次方程和一个二元二次方程共同组成的方程组的求解b．一元二次方程的根与系数的关系c．由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法d．一元一次不等式组的应用7.方程与不等式的主要的促进作用就是（d）a．有利于学生构成建模思想b．对构成化归的思想非常存有协助c．方程不等式同样也是后面学习高等数学一个非常重要的基石d．以上皆存有8.新的课程标准修订稿把“图形与几何”部分四条主线变成三条主线，下列哪一条不是这三条主线中的图形的性质、图形的变化、图形与坐标（c）a．图形的性质b．图形的变化c．图形的重新认识d．图形与座标9.函数与方程思想属于（a）a．过程性知识b．方法性知识c．陈述性知识d．沉默科学知识10.学习“字母表示数”，主要是发展学生的（b）a．数感b．符号感c．估算能力d．直觉思维能力11.“等腰三角形”这一概念的外延就是（d）a．存有两边成正比b．等边三角形c．两边相等的三角形d．所有等腰三角形组成的集合12.最早使用十进制边线制记数法的就是以下哪个民族（ａ）a．中国b．印度c．埃及d．希腊13.以下选项不是简单超越式的项是（ｄ）a．指数式b．对数式c．三角函数式d．不等式14.初中几何的课程教学中，直观几何、实验几何与诠释几何之间的关系就是（ａ）a．前者是后者的必要前提b．前者对后者的学习其到干扰c．后者可以替代前者d．二者没有必然的关联15.\课堂教学与综合应用领域在相同阶段就是以相同的形式呈现出的：第一学段以“①”为主题，第二学段以“②”为主题，第三学段(即为初中阶段)以“③”为主题。
由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程...
由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组【教学目标】（一）（一） 使学生会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组的解法；（二）（二） 使学生掌握分解降次的解题思路。
【教学重点和难点】重点：用分解因式降次的方法解二元二次方程组。
难点：把一个二元二次方程分解降次，转化为两个二元一次方程。
【教学过程设计】（一）（一）复习1．1．什么叫做二元二次方程 2．2．什么叫做二元二次方程组？ 3．3．什么叫做二元二次方程组的解？4．4． 我们已学过的由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的最基本的解法是什么法？（代入消元法）5．5． 用因式分解法解一元二次方程，要写出解题过程。
x 2－3x －4=－6.解：移项，使等号右边为零，得x 2－3x+2=0， 等号左边分解因式（x －2）（x －1）=0 ① 方程①可分解为两个一次方程x －2=0，x －1=0，所以 x 1=2，x 2=1. （二）（二）新课我们今天学习另一类二元二次方程组的解法，这一类二元二次方程组的特点是：由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组。
例1 解方程组x 2+y 2=20， ① x 2-5xy+6y 2=0②分析：在这个方程组中，方程②的左边各项都是2次，右边的项是数0，也可以看作是二次项（因为0⋅x 2=0）。
我们把方程②叫做二元二次齐次方程，把方程②的左边叫做二次齐次三项式。
在原方程组中，方程②左边的二次齐次三项式可以分解为两个一次齐次式的积（x-2y ）（x-3y ），而右边为0，因此，方程②可以化为两个二元一次方程 x-2y=0,x-3y=0。
它们与方程①分别组成两个方程组⎩⎨⎧=-=+;02,2022y x y x ⎩⎨⎧=-=+.03,2022y x y x解这两个方程组，就得到原方程组的所有的解。
解：由②，得 (x-2y)(x-3y)=0所以 x-2y=0,或03=-y x 。
上海初三数学二模定义新概念型问题专题训练
上海初三数学二模定义新概念专题训练1、 我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图1，P 是斜坐标系xOy 中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P 分别作两坐标轴的平行线，与x 轴、y 轴交于点M 、N ，若M 、N 在x 轴、y 轴上分别对应实数a 、b ，则有序数对（a ，b ）叫做点P 在斜坐标系xOy 中的坐标． （1）如图2，已知斜坐标系xOy 中，∠xOy=60°，试在该坐标系中作出点A （-2，2），并求点O 、A 之间的距离；（2）如图3，在斜坐标系xOy 中，已知点B （4，0）、点C （0，3），P （x ，y ）是线段BC 上的任意一点，试求x 、y 之间一定满足的一个等量关系式；（3）若问题（2）中的点P 在线段BC 的延长线上，其它条件都不变，试判断上述x 、y 之间的等量关系是否仍然成立，并说明理由．2、函数x k y =和xky -=)0(≠k 的图像关于y 轴对称，我们把函数x k y =和xky -=)0(≠k 叫做互为“镜子”函数． 类似地，如果函数)(x f y =和)(x h y =的图像关于y 轴对称，那么我们就把函数)(x f y =和)(x h y =叫做互为“镜子”函数．（1）请写出函数43-=x y 的“镜子”函数： ，（3分） （2）函数 的“镜子”函数是322+-=x x y ； （3分） （3）如图7，一条直线与一对“镜子”函数x y 2=（x ＞0）和xy 2-=（x ＜0）的图像分别交于点C B A 、、，如果2:1:=AB CB ，点C 在函数xy 2-=（x ＜0）的“镜子”函数上的对应点的横坐标是21，求点B 的坐标． （6分）ABCOxy 图7填空题1、将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的直径就是它的“面径”。
创新学校中考总复习数学通用辅导材料初三复习基本训练卷--整式方程和不等式(A)
整式方程等式及基本性质、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、一元二次方程、简单的高次方程 〖大纲要求〗1. 理解方程和一元一次方程、一元二次方程概念；2. 理解等式的基本性质，能利用等式的基本性质进行方程的变形，掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程；3. 会推导一元二次方程的求根公式，理解公式法与用直接开平方法、配方法解一元二次方程的关系，会选用适当的方法熟练地解一元二次方程；4. 了解高次方程的概念，会用因式分解法或换元法解可化为一元一次方程和一元二次方程的简单的高次方程；5. 体验“未知”与“已知”的对立统一关系。
[内容分析]1．方程的有关概念含有未知数的等式叫做方程．使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解(只含有—个未知数的方程的解，也叫做根)．2．一次方程(组)的解法和应用只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的方程，叫做一元一次方程． 解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1． 3.一元二次方程的解法(1)直接开平方法 形如(mx+n)2=r(r ≥o)的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法．(2)把一元二次方程通过配方化成 (mx+n)2=r(r ≥o) 的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法．(3)公式法 通过配方法可以求得一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a ≠0) 的求根公式：aacb b x 242-±-=用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)因式分解法 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的左边可以分解为两个一次因式的积，那么根据两个因式的积等于O ，这两个因式至少有一个为O ，原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法．〖考查重点与常见题型〗考查一元一次方程、一元二次方程及高次方程的解法，有关习题常出现在填空题和选择题中。
由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法教案
由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法；教学目标1．使学生掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法；2．通过例题的分析讲解，进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力；3．通过一个二元二次方程解法的分析，使学生进一步体会“消元”和“降次”的数学思想方法，继续向学生渗透“转化”的辨证唯物主义观点.教学建议1．知识结构：本小节讲由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法.二元二次方程组的教学要求不高，但应强调“降次”和“消元”这一解二元二次方程组的基本思想方法，为进一步的学习打好基础.2．重点和难点分析：（1）本节的重点是：由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法.这类方程组应掌握分解降次，使原方程转化成已学过的方程组要注意归纳总结基本思想，方法和技巧，即通过分解降次，使其转化为已学过的方程组，要特别注意由同一个方程分解而成的两个一次方程要分别与原方程组中的另一个方程组成方程组，而这两个由同一个方程分解而成的一次方程却不能组成方程组，要防止孤立地看待“消元”或“降次”后的方程，发生胡乱组合及代入的错误.（2）本节的难点是：正确地判断出二元二次方程组中可以分解的二元二次方程.3.教法建议：（1）由于解由两个二元二次方程组成的方程组，形式复杂，解法变化也教多，并且并不是都可以转化为一元二次方程来解，所以应直接点题，明确本节课的目标，让学生立即清楚本节的目的，使学生的注意力被吸引过来，有利于新内容的学习.（2）本小节与上一小节的内容联系紧密.教学时应注意这一点.总的来说，二元二次方程组的教学要求不高，但应强调“降次”和“消元”这一解二元二次方程组的基本思想方法.教学设计示例12.9由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组第一课时一、教学目标1．使学生掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组的解法.2. 通过例题的分析讲解，进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力；3. 通过一个二元二次方程解法的分析，使学生进一步体会“消元”和“降次”的数学思想方法，继续向学生渗透“转化”的辨证唯物主义观点.二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：通过把一个二元二次方程分解为两个二元一次方程来解由两个二元二次方程组成的方程组.2．教学难点：正确地判断出可以分解的二元二次方程.3．教学疑点：降次后的二元一次方程与哪个方程重新组成方程组，一定要分清楚.4．解决办法：（1）看好哪个二元二次方程能分成两个二元一次方程，它们之间是“或”的关系，不能联立成方程组.（2）分解好的二元一次方程应与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组.三、教学过程1．复习提问（1）我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型？（2）解二元二次方程组的基本思想是什么？（3）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的基本方法是什么？其主要步骤是什么？（4）解方程组： .（5）把下列各式分解因式：①；②；③ .关于问题设计的说明：由于二元二次方程组的第一节课已经向学生阐明了我们所研究的二元二次方程组有两种类型．其一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组；其二是由两个二元二次方程所组成的方程组．由于第一种类型我们已经研究完，使学生自然而然地接受了第二种类型研究的要求．关于问题（2）的提出，由于两种类型的二元二次方程组的解题思想均为“消元”和“降次”，所以问题（2）让学生懂得“消元”和“降次”的数学思想，贯穿于解二元二次方程组的始终．问题（3）、（4）是对上两节课内容的复习，以便学生对已学过的知识得到进一步的巩固．由于本节课的学习内容是由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法，其中有一个二元二次方程可以分解，因此，问题（5）的设计是为本节课的学习内容做准备的.2．例题讲解例1 解方程组分析：这是一个由两个二元二次方程组成的二元二次方程组，其解题的基本思路仍为“消元”、“降次”，使之转化为我们已经学过的方程组或方程的解法．那么如何转化呢？关于转化的形式有两种，要么降二次为一次，要么化二元为一元我们通过观察方程组中的两个方程有什么特点，可以发现：方程组（2）的右边是0，左边是一个二次齐次式，并且可以分解为，因此方程（2）可转化为，即或，从而可分别和方程（1）组成两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，从而解出这两个方程组，得到原方程组的解．解：由（2）得因此，原方程组可化为两个方程组解方程组，得原方程组的解为说明：本题可由教师引导学生独立完成，教师应对学生的解题格式给予强调．例2 解方程组分析：这个方程组也是由两个二元二次方程组成的方程组，通过认真的观察与分析可以发现方程（2）的左边是一个完全平方式，而右边是完全平方米，因此将右边16移到左边后可利用平方差公式进行分解，，即或，从而可仿例1的解法进行.解：由（2）得.即，或 .因此，原方程组可转化为两个方程组解这两个方程组，得原方程组的解为巩固练习：1．教材P60中1.此练习可让学生口答.2．教材P60中2.此题让学生独立完成.四、总结扩展本节小结，内容较为集中并且比较简单，可引导学生从两个方面进行总结：（1）本节课学习了哪种类型的方程组的解法；（2）这种类型的方程组的解题步骤如何？这节课我们学习了由两个二元二次方程组成的并且有一个方程是可以分解成两个二元一次方程的方程组的解法，解这种类型的方程组的步骤是将原二元二次方程组转化为两个已学习过的二元二次方程组，从而求出原方程组的解.关于比较特殊的二元二次方程组的解法，教师可以利用辅导课的时间补充两个二元二次方程都可以分解的二元二次方程组的解法.五、布置作业1．教材P61A 1，2，3.六、板书设计典型例题例1 解方程组分析：这是由两个二元二次方程组成的方程组，系数没有显著的特征，故我们思维的合理起点是设法把其中一个分解因式.解：由（1），得∴或∴原方程组可化为两个方程组：解之得原方程组的解为评注：此题解法是分解因式法.把其中的一个方程通过分解因式达到降次之目的，从而使原方程组转化为等价的两个方程组，可收化难为易的之功效.例2 解方程组分析：两方程含x项的系数对应成比例，故可用消元法解之. 解：（1）－2·（2），得∴或 .原方程组可化为两个方程组解之得原方程组的解为例3 解方程组分析：可将（2）化为，则原方程组可化为或解之，得扩展资料最快的计算速度我们进行计算，一是要求正确，二是要求迅速．为了计算迅速，人们曾发明许多计算工具．电子计算机的出现，为计算速度的飞跃发展创造了有利的条件，给人类生活带来了巨大的影响．一九七七年，美国制成一种超大规模的计算机，它的计算速度可以达到每秒钟1亿次或1亿次以上．这种计算机在军事上起着越来越重要的作用：跟踪深海中的潜艇；在敌人导弹攻击时，可以从假目标中找到真正的导弹．从而用反导弹将它在空中击毁．此外，这种计算机也可以用于研究全球天气的预报等方面．据美国《新科学家》杂志发表的资料，美国“伊利阿克IV’型计算机的运算速度是每秒l.5亿次，现在最快的速度已达每秒3亿次，这是世界最新的纪录．它的一小时的工作量相当于一个人计算七千二百年．它是伊利诺斯大学作为“王牌”而设计的，安装在美国西海岸的艾姆斯研究中心．现在，美国正在研制一种新的“超大规模计算机”．这种计算机将比目前世界上最大的“伊利阿克IV”计算机的速度高两个数量级，达每秒一百亿次以上．探究活动若关于的方程只有一个解，试求出值与方程的解．解：化简原方程，得（1）当时，原方程有惟一解，符合题意．当时，方程（1）根据的判别式∵∴，故方程（1）总有两个不同的实数解，按题意其中必有一根是原方程的增根，原方程可能产生的增根只是0或1．把代入（1），方程不成立，不合题，故增根只能是，把代入（1）得，此时方程为，∴当时，分式方程的解为；当时，分式方程的解为．习题精选一、选择题1．的解的组数共有（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）12．方程组的解是（）（A）（B）（C）（D）3．已知是方程组的解，则（）（A）（B）（C）（D）二、填空题4．方程组的解是_________。
江苏省金湖县实验中学中考数学复习教案：由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的
程组成的方程组（2）三、教学步骤（一）明确目标我们已经学过常见的两种类型的二元二次方程组的解法，这一节课我们将进一步系统地复习二元二次方程组的解法．关于本节复习课，是对已学习过的二元二次方程组有关内容的复习，所以直接明确本节课的目标，可以充分地调动学生的积极性，使学生能积极思考本节的内容，以提高学生的分析问题和解决问题的能力．（二）整体感知由于本节内容是在学生已经学过的基础上进行复习的，其内容主要是熟练、灵活地解前面所学过的简单的二元二次方程组的两种类型，所以，在教学时，通过教师的讲和学生的练，启发学生分析简单的二元二次方程组的特点，寻找解方程组的思路，从而正确地解方程组，同时随时纠正学生在解方程组的过程中出现的问题．所以整个课堂能够积极、和谐，从而提高学生分析问题和解决问题的能力．（三）重点、难点的学习和目标完成过程复习提问：1．解二元二次方程组的基本思想是什么？2．解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的二元二次方程组的基本方法是什么？其步骤怎样？法来解外，还有没有特殊的解法？应怎样去解？二次方程组的方法是什么？其步骤怎样？作为复习提问中的四个题目，对二元二次方程组中的基本内容作了复习，以便使学生能正确地利用这些基本知识解决本节课的实际内容．新课讲解与课堂练习：1．解下列方程组：分析与答案：解二元二次方程组，首先应分析方程组的特征，然后根据方程组的特征来确定解方程组的方法．对于题目（1），方程②是一个二元一次方程，所以，方程组（1）可以用代入法来解．对于方程组（2），符合用代入法解题的特点，可以采用代入法解方程组的特殊解法，所以可以借助于解一元二次方程来解方程组．既可以用代入法来解，也可以借助于一元二次方程来解，但要注意的是要检验．对于方程组（4），由于方程①可以化成两个二元一次方程：x＋y-1＝0，3x-y＋3＝0，它们与方程组中的方程②组合成两个方程组：分别求解，从而求出原方程组的解．对于方程组（5），由于方程①可以分解为：x＋y＝0，x-y-5＝0，它们与方程②组成方程组：分别求解，从而解出方程组的解．2．解方程组：分析：这个方程组是一个分式方程组，如果采用去分母，则很困难，仔细观察两个方程可知，方程中的分母分别为x2或x、y2或y，如果设从而可解出原方程组的解为3．解方程组分析：这个方程组的两个方程都不含有未知数的一次项，消去常数项后，就可以得到形如ax2＋bxy＋cy2＝0的方程，解由这个方程与原方程组的任何一个方程组成的方程组，就可以求出原方程组的解．解：①-②×4，得x2-5xy＋4y2＝0．∴ x-y＝0或x-4y＝0．∴原方程组可化为解这两个方程组，得原方程组的解为：（四）总结扩展这节课我们进一步学习了如何解二元二次方程组．一般地说，解二元二次方程组时，首先分析方程组的特征，然后根据方程组的特征确定方程组的解法．如果发现方程组中的两个方程都不含有一次项的特征，可以采用消去常数项，依照题3的解法．对于某些特殊的方程组，如无理方程组，或分式方程组，经过变形换元后，也可以转化为二元二次方程组的形式来解．要注意的是解这类方程组时要进行验根．四、布置作业1、P61B 1、2求下面两个方程组的解：五、板书设计二元二次方程组的解法复习1．（1）…………2．…………3．………（2）解：……………解：………（3）……………………………（4）……………………………（5）……………………………六、作业参考答案2．2（1）、（2）均参考1（1）解法．（补：）解：（1）①×3-②得3x2+2xy-y2＝0，可得3x-y＝0，x-y＝0，。
中考数学《二元二次方程组》精选例题
2 013中考数学[二元二次方程组精]例题知识考点：了解二元二次方程的概念，会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方程组（Ⅰ）；会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组。
精典例题：【例1】解下列方程组：1、⎩⎨⎧=+--=-01101222x y x y x ； 2、⎩⎨⎧==+67xy y x ； 3、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+023102222y xy x y x 分析：（1）（2）题为Ⅰ型方程组，可用代入法消元；（2）题也可用根与系数的关系求解。
（3）为Ⅱ型方程组，应将02322=+-y xy x 分解为0=-y x 或02=-y x 与1022=+y x 配搭转化为两个Ⅰ型方程组求解。
答案：（1）⎩⎨⎧-==1011y x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=22122y x ； （2）⎩⎨⎧==1611y x ，⎩⎨⎧==6122y x （3）⎪⎩⎪⎨⎧==5511y x ， ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=5522y x ，⎪⎩⎪⎨⎧==22233y x ，⎩⎨⎧-=-=22244y x 【例2】已知方程组⎩⎨⎧+==+--201242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。
分析：由②代入①得到关于x 的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解。
略解：由②代入①并整理得：01)42(22=+-+x k x k⎪⎩⎪⎨⎧>+-=--=∆≠016164)42(0222k k k k 即⎩⎨⎧<≠10k k ∴当k ＜1且k ≠0时，原方程组有两个不相等的实数解。
【例3】方程组⎩⎨⎧=+=+52932y x y x 的两组解是⎩⎨⎧==1111βαy x ，⎩⎨⎧==2222βαy x 不解方程组，求1221βαβα+的值。
分析：将x y -=5代入①得x 的一元二次方程，1α、2α是两根，可用根与系数的关系，将115αβ-=，225αβ-=代入1221βαβα+后，用根与系数的关系即可求值。
二元二次方程组的解法
3
y3
1 2
y4
1 2
(
2)
x x
2 2
y 2 20 5xy 6 y 2
0
① ②
解：由②得
x-2y=0或x-3y=0
解这两个方程组，得 原方程组的解为
因此，原方程组可化为两个方程 组
x1
3
2
x
2
3
2
x2+y2=20 x-2y=0
x2+y2=20 x-3y=0
y1 2 y2 2
思考题
解方程组 x 2 ( x
2xy y y)2 3(
2
x
4 y)
10
0
（1）此方程组与学过的方程组有何异同？
（2）此方程组能否像前面所学的方程组 那 样来解？ 你能否想出其它的方法 来解？试加以证明。Fra bibliotek感 谢 阅
读感 谢 阅
读
5 2
y
2
5 2
x-2y =0
x3 y3
2 2
x4 y4
2 2
解方程组：
(2)
x x
2 2
4 xy 3 y 2 y2 5
0
① ②
解这两个方程组，得原方
程组的解为
解：由①得
x-y=0或x-3y=0
x1
10 2
x 2
10 2
因此，原方程组可化为两 个方程组
y1
10 2
解下列方程组：
(x 2y)(x 6y) 0 ①
(1)x2 4 y 2 10
②
解：由①得
x-2y=0或x+6y=0
因此，原方程组可化为两个方程组
x2+4y2=10 x-2y=0
二元一次方程奥数难题
二元一次方程组难题训练二元一次方程组难题训练第 1 篇一、判断1、是方程组的解…………()2、方程组的解是方程3x-2y=13的一个解()3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组()4、方程组，可以转化为()5、若(a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y=0是二元一次方程，则a的值为±1()6、若x+y=0，且|x|=2，则y的值为2…………()7、方程组有唯一的`解，那么m的值为m≠-5…………()8、方程组有无数多个解…………()9、x+y=5且x，y的绝对值都小于5的整数解共有5组…………()10、方程组的解是方程x+5y=3的解，反过来方程x+5y=3的解也是方程组的解………()11、若|a+5|=5，a+b=1则………()12、在方程4x-3y=7里，如果用x的代数式表示y，则()二、选择：13、任何一个二元一次方程都有()(A)一个解;(B)两个解;(C)三个解;(D)无数多个解;14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有()(A)5个(B)6个(C)7个(D)8个15、如果的解都是正数，那么a的取值范围是()(A)a<2;(B);(C);(D);16、关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是()(A)2;(B)-1;(C)1;(D)-2;17、在下列方程中，只有一个解的是()(A)(B)(C)(D)18、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是()(A)15x-3y=6(B)4x-y=7(C)10x+2y=4(D)20x-4y=319、下列方程组中，是二元一次方程组的是()(A)(B)(C)(D)20、已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于()(A)a=-3,b=-14(B)a=3,b=-7(C)a=-1,b=9(D)a=-3,b=1421、若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于()(A)(B)(C)1(D)-1二元一次方程组难题训练第 2 篇一．教学目标：1．认知目标：1）了解二元一次方程组的概念。
7_～_9_年级的数与代数内容包含哪些内容？重点是哪些？
7_～_9_年级的数与代数内容包含哪些内容？重点是哪些？问题：7～9年级的数与代数内容包含哪些内容？重点是哪些？新的修订标准在7～9年级的数与代数内容方面发生了哪些方面的变化？运算能力、符号意识、模型思想与数学内容的联系是什么？教学中应如何去培养？答案：第一个问题．7-9年级的数与代数的内容包括：（1）数与式包括有理数、实数、代数式和二次根式，代数式主要是整式和分式。
（2）方程与不等式包括一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，可化为一元一次方程的分式方程。
不等式主要是一元一次不等式，和一元一次不等式组。
（3）函数初中阶段函数部分的内容，主要包括一次函数、二次函数、反比例函数。
第二个问题：7～ 9年级的数与代数内容重点是哪些？（1）数与式这一部分内容的重点应当是强调理解数的意义，建立数感，理解代数式的表述功能，建立符号感，同时理解运算的意义，强调运算的必要性。
（2）方程与不等式模型思想，当然另外一个部分，也是我们在这部分内容所突出的一个重点，那就是如何解这个方程和不等式。
（3）函数在这个阶段学习函数，重点就是要借助现实背景，在现实情景中理解函数的概念。
第三个问题：新的修订标准在7～9年级的数与代数内容方面发生了哪些方面的变化？（1）数与式：（一）降低了对于实数运算的要求。
（二）取消了对“有效数字”的要求，但重视学生的估算能力，要求学生理解近似数。
（三）与实验稿比较，加强了对二次根式的要求，比如对二次根式的化简，分母有理化，但二次根式的运算仅仅限于根号下是数的情况。
（四）在具体情境中理解字母表示数的意义。
例如要求“借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。
”（五）注重代数式的实际应用和实际意义。
（六）对于代数式的意义，除了关注数学意义外，还关注现实的意义。
（七）强调几何直观的作用。
（八）知道｜a｜的含义（这里a表示有理数）。
（2）方程与不等式在方程部分变化的内容为：（一）与实验稿相比，有些内容适当增加：如一元二次方程的根与系数的关系，但不要求应用这个关系解决其他问题，了解就可以了，不要深挖洞。
二元二次方程组
二元二次方程组二元二次方程组二元二次方程组学习目标：1. 弄清二元二次方程组的概念及类型（1）含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程。
其一般式：（a，b，c不同为0）（2）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，叫“一二型二元二次方程组”一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组，叫“二二可分型方程组”2. 掌握解二元二次方程组的基本思路：降次，消元。
3. 熟练求解二元二次方程组的步骤4. 能使方程组中两方程都成立的未知数的值，叫方程组的解，二元二次方程组解的个数不定，至多有四组解。
5. 对于形如的方程组，可通过构造以x，y为根的方程，达到消元目的。
二. 重点与难点：1. 重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，重点掌握方程组的解法。
2. 难点：降次、消元的方法是解题的难点。
【典型例题】例1. 解方程组解：解法1：由（3）代入（2）代入（3）中，∴原方程组的解是解法2：由（2）∴原方程组可化为∴原方程的解是点拨：解法1代入消元法，先消元，再把方程组转化为一元二次方程；解法2分解因式法，先降次，再把方程组转化为两个二元一次方程组。
两种解法，各有千秋，但都体现了——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题。
例2. 解方程（1）解：（1）解法1：由（1）（3）代入（2）得解法2：由韦达定理知x，y分别是方程的两实根（2）解法1：由（2）得把（3）代入（1）把∴原方程组的解是解法2：（2）式两边平方由（2）（5）知x，y是方程的两实根∴原方程组解为解法3：（2）式两边平方减去（1），得原方程组可化为分别解（I）（II）得此即为原方程组的解。
点拨：（1）题形如的方程组，可用代入法，也可根据一元二次方程根系关系，构造方程来解。
（2）中，对换x，y，原方程组不变。
这类方程组叫对称式方程组，解法2与3是这类方程组的常见求解技巧。
例3. 解方程组（1）（2）解：（1）由②原方程组可化为分别解这两个方程组，得原方程组解为（2）由①由②，即于是原方程组可化为以下四个一次方程组点拨：（1）中，方程②左边可分解为两个一次因式的积，右边为0，于是方程②可化为两个二元一次方程，再分别与方程①组成一二型方程组，代入法求解。
[整理版]二元二次方程与应用题
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二元二次方程组解法与应用题教学目标1.理解二元二次方程的概念2.能正确地把方程整理成二元二次方程的一般形式,知道各项名称和各项系数3.理解二元二次方程解的概念,会解二元二次方程组4.会列代数方程(组)解简单的应用题教学重难点1.熟练运用“消元”、“降次”的数学思想方法解二元二次方程，从而提高分析问题和解决问题的能力2.熟练掌握数学符号语言与文字的互译以及数量关系的分析,会建立数学模型3.理解应用题中的现实问题,会分辨,排除不符题意的解知识梳理二元二次方程和方程组仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程.关于x,y 的二元二次方程的一般形式是: 22ax bxy cy dx ey f 0+++++=(a,b,c,d,e,f 为常数)其中,22ax ,bxy,cy 叫做这个方程的二次项,a,b,c 分别叫做二次项系数; dx,ey 叫做这个方程的一次项,d,e 分别叫做一次项系数;f 叫做这个方程的常数项.使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程或两个二元二次方程组成的方程组是二元二次方程组方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法应用题在实际问题中,经常会遇到一个(多个)未知量得问题,我们可以列方程(组)来求解.通过列方程来解某些实际问题,应注意检验,不仅要检验求得的解是否适合方程,还要检验所得得解是否符合实际意义.二元二次方程与方程组1.将y 2x 1=-代入方程22y 2x 2-=后,整理成关于x 的整式方程是__01422=--x x ___2.已知22m 2x y 5x 4y 20⎧+=⎪⎨+=⎪⎩是关于x,y 的二元二次方程组,则m= 0.5或13.将方程22x 2xy 3y 0+-=分解为两个二元一次方程为_x+3y=0__与__x-y=0___4.二元二次方程组(x 2y)(2x y)0(x 3y 1)(2x y 1)0--=⎧⎨-++-=⎩的解有___4_____组.5.已知03x y =⎧⎨=⎩和11x y =-⎧⎨=⎩是二元二次方程220x y dx ey +++=的两个解,则d=____2____,e=___0____6.下列不是二元二次方程组的是（ D ）A. 2235024x y x xy y --=⎧⎨-+=⎩B. 2121x y y -=⎧⎪⎨=⎪⎩C. 03x y xy +=⎧⎨=⎩D. 222x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩7.若方程组2y 2x k y 4x =+⎧⎨=⎩有实数解,则k 的取值范围是 ( C )A. 1k 2≥B. k 2≥C. 1k 2≤ D. k 2≤8.解下列方程(代入法)(1)2x y 4x 2xy 3=+⎧⎨+=⎩ (2)22x 2y 1x 4y 5-=⎧⎨-=⎩⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=1331331y x y x 或 ⎩⎨⎧==13y x (3)xy 6x y 5=-⎧⎨+=⎩ (4)x y 11xy 18-=⎧⎨=-⎩⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==6116y x y x 或 ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==9229y x y x 或(5)22x y 13x y 5⎧+=⎨+=⎩ (6)22x 4y x 3y 102x y 10⎧-++-=⎨--=⎩⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2332y x y x 或⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==11151158y x y x 或 (7)2y 2x 3y x =+⎧⎨=⎩ (8)2x 2y 1x 2y 50-=⎧⎨+-=⎩⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==1193y x y x 或 ⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧==23212y x y x 或9.解下列方程(因式分解法)(1)22x 3xy 10y 0xy 2x 5y 100⎧--=⎨--+=⎩ (2)2222x y 0x 4xy 4y 9⎧-=⎪⎨++=⎪⎩⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2552421015y x y x y x y x 或或或⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==33331111y x y x y x y x 或或或(3)2222x 5xy 6y 0x 6xy 9y 1⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ (4)222x 2xy y 1(x y)3(x y)100⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==6121612151525152y x y x y x y x 或或或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==212323213223y x y x y x y x 或或或(5)22x y 0xy 2(x y)30⎧-=⎨+++=⎩ (6)222x 2xy y 9(x y)3(x y)100⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-=-=33331133y x y x y x y x 或或或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==212525214114y x y x y x y x 或或或(7)222x y 1(x y)2(x y)30⎧-=⎪⎨----=⎪⎩ (8)2222x y 2(x y)x xy y 1⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=343501y x y x 或 ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=1111y x y x 或10.求满足条件22x 2xy 3y 2x y 50--+--=的x,y 的值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧==353513y x y x 或11.若方程组 2y 4x 2y 10y x a⎧--+=⎨=+⎩无实数解,求a 的取值范围;a>212.若方程组 2x 2ay 5y x 6a⎧+=⎨-=⎩ 有正整数解,求a 的值21=a13.已知关于x,y 的方程组22x y 2x 0kx y k 0⎧+-=⎨--=⎩,求证:不论k 取何值,方程组总有2组不同的实数解个不同实数解方程必有式得代入把204440)22()1(122222∴>≥+=∆=++-+-=k k x k x k k kx y能力训练 解下列方程(1)22x y 13xy 6⎧+=⎨=-⎩ (2)22x xy y 19xy 6⎧++=⎨=⎩ ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==23233232y x y x y x y x 或或或 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==23233232y x y x y x y x 或或或(3)222x 2xy y 2xy y 4⎧--=⎪⎨+=⎪⎩ (4)2222x 5xy 6y 284x 3xy y 7⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧=-=1313222222y x y x y x y x 或或或(5)22222x 2xy 4y x 19x xy 2y y 9⎧+++=⎪⎨++-=⎪⎩ (6)222x 15xy 3y 2x 9y 985xy y 3y 21⎧--++=⎪⎨+-=-⎪⎩⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=1323y x y x 或应用题1.师徒两人检修一条煤气管道,师傅单独完成需要10个小时,徒弟单独完成需要15个小时.师傅先开始检修,1小时后,让徒弟一起参加,还需要多少时间可以完成?5.4小时2.一艘轮船航行于两码头之间,逆水需10小时,顺水需6小时,已知该船在静水中每小时航行12千米,求水流速度和两码头之间的路程.⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-3906121012v S v S vS3.一块长方形铁皮的长是宽的2倍,四角各截去一个正方形,制成高是5cm,容积是500立方厘米的无盖长方体容器.求这块铁皮的长和宽.⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--=3015500)10)(10(52,y x x y x y yx 长为设宽为4.某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额带到633.6万元.求3月份到5月份营业额的平均月增长率 20%5.直角三角形的周长为26+,斜边上的中线长为1.求这个直角三角形的三条边长22262262262264622,22，，三边长为设两条直角边长分别为+-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++y x y x y x y x课后作业1.下列方程组中,没有实数解的是 ( B )A. 22x y 5x y 13+=⎧⎨+=⎩B. x y 5xy 7+=-⎧⎨=⎩ C. 22x y 5x y 17+=-⎧⎨+=⎩ D. x y 5xy 6+=⎧⎨=-⎩2.若222(23105)20x y y x y --++-=,则x=___2____y=___1_____3.解下列方程(1)222x y 5x y 5+=⎧⎨+=⎩ (2)x y 7xy 12+=⎧⎨=⎩⎩⎨⎧==12y x ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==3443y x y x 或(3)x y 1xy 12-=⎧⎨=⎩ (4)2222x 5xy 6y 0x y 5⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==4334y x y x 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==22223222231212y x y x y x y x 或或或(5)2222x 2xy y 1x 3xy 2y 0⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3132313221212121y x y x y x y x 或或或4.已知方程组2y nxy 2x m ⎧=⎨=+⎩ (其中m,n 均不为零)只有一组实数解.(1)试确定mn的值;(2)若n=4,试解这个方程组⎪⎩⎪⎨⎧==141)2(81)1(y x5.当m 为何值时,方程组2644030y x y mx y ⎧--+=⎨-+=⎩只有一组解,并求出此解.⎪⎩⎪⎨⎧===432,23y x m 时6.已知方程组22x y a xy b⎧+=⎨=⎩的一组解是11x 3y 2=⎧⎨=-⎩,求它的其余解⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==233232y x y x y x 或或7.一件上衣原价每件500元,第一次降价后,销售甚慢,第二次降价的百分率是第一次的2倍,结果以每件240元的价格迅速售出,求每次降价的百分率.()()%20)(101351240211500:降价百分比为舍或解∴===--x x x x8.一个水池有甲乙两根进水管,单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时.若甲管先开放10小时,然后乙管加入注水,6小时可把水池注满,求单独开放甲管需几小时注满水池小时甲管单独开放需要小时小时，乙设单独开放甲管注水需解203020161610:∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=y x y x y x y x9.学校原有长方形操场的面积为4000平方米,调整校园布局时,一边增长了10米,另一边减少了10米,操场面积增加了200平方米,求原有操场两边的长.米米和原有操场两边长为米设原有操场两边长为解805080504200)10)(10(4000,:∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=y x y x xy y x。
12.9由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组(2)
12．9由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组（2）教学目标：知识与技能目标：使学生进一步掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法以及由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法．过程与方法目标：通过学习简单的二元二次方程组的解法，提高学生的分析问题、观察问题和综合运用知识解决问题的能力．情感与态度目标：使学生通过对解方程或方程组的消元和降次的基本思想的认识，进一步领会事物可以转化的辩证唯物主义思想观点．教学重、难点：1．教学重点：正确地选择恰当的方法解简单的二元二次方程组，进一步领会解简单的二元二次方程组的基本思想，把握化二元为一元，化二次为一次的条件，通过解简单的二元二次方程组，提高学生分析问题和解决问题的能力．2．教学难点：正确地选择恰当的方法解简单的二元二次方程组．教辅工具：教学程序设计：程序教师活动学生活动备注创设问题情景1．解二元二次方程组的基本思想是什么？2、解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的二元二次方程组的基本方法是什么？其步骤怎样？3．解由一个二元二次方程组和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的二元二次方程组的方法是什么？其步骤怎样？教师引导、学生回答1．解下列方程组：．师生共同分析由教师引导学生独立完成，教师应对学生的解题格式给予强调．探究新知与课堂练习2．解方程组：3．解方程组，分析：这个方程组是一个分式方程组，如果采用去分母，则很困难，仔细观察两个方程可知，方程中的分母分别为x2或x、y2或y，故可换元解分析：这个方程组的两个方程都不含有未知数的一次项，消去常数项后，就可以得到形如ax2＋bxy＋cy2＝0的方程，解由这个方程与原方程组的任何一个方程组成的方程组，就可以求出原方程组的解．小结提高一般地说，解二元二次方程组时，首先分析方程组的特征，然后根据方程组的特征确定方程组的解法对于某些特殊的方程组，如分讨论、总结解法。
方程与方程组知识点
第三章方程与方程组一、一元一次方程1•等式用等号表示相等关系的式子，叫做等式. 等式的性质：(1)等式的两边都加上 (或减去)同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 即若a=b，贝U a_m 二b_m.(2) _______________________________________________ 等式的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为 ________________________________________________ 的数)，所得结果仍是等式•即a b若a = b，贝U am = bm，或(m = 0)m m2.方程含有未知数的等式叫方程叫方程.使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.求方程的解的过程叫解方程.3•同解方程及方程的同解原理(1 )如果两个方程的解相同，那么两个方程叫同解方程.(2)方程的同解原理：①方程的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程.②方程的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得方程与原方程是同解方程.4.一元一次方程在方程中，只含一个未知数，且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程.标准形式：ax • b = 0(a = 0) 最简形式：ax二b(a = 0)补含字母系数的方程ax=b的解(1)若a = 0，则方程有唯一解x = b；a(2)若a=0，且b=0,方程变为0 • x=0,则方程有无数个解；(3)若a=0，且0，方程变为0・x=b，则方程无解.5•解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b; (5)方程两边同除以未知数的系数(系数化为1)，得出方程的解.6 .列方程解应用题的方法及步骤(1 )审题：明确己知是什么，未知是什么及相互关系，并用x表示题中一个合理未知数.(2 )根据题意找出能表示应用题含义的等量关系(关键一步)(3)据等量关系列出正确方程.(4 )解出方程：求出未知数的值.(5)检验、作答，检验应是：检验所求的解既能使方程成立，又能使它符合实际意7 •一兀一次方程应用题的主要类型(1)和差倍分问题 (2)等积变形 (3) 行程问题 (4 )百分比浓度问题(5)劳力调配 (6) 比例问题 (7 )工程问题(8)商品利润率问题(9) 数字问题&几个典型问题 储蓄问题 (1) 本金 顾客存入银行的钱叫本金 (2)利息 银行付给储户的酬金叫利息(3) 本息和 本息和=本金+利息 (4) 期数 存款的时间(年、月等) (5)利率 每个期数内的利息与本金之比.记本金为P,利率为i ，期数为n 则① 单利：本息和=本金+本金利率期数=本金 (1+利率期数)，即S=P (1+in )利息税=利息税率 =本金+ 利息一利息税率=本金+ 利息(1—税率) 最后金额=本息和一税金 市场经济问题 (2)进价，原价，售价，利润率的关系：利润原价汉0.1x —进价打x 折：实际售价=原价X 0.1x .此时，禾U 润率=——=——-----进价进价练习：原价为a ,实际售价为b ,则打 _______________ 折，折扣率为 __________ . 行程问题有相遇问题，追及问题、逆(顺)流问题，上坡、下坡问题等，在运动形式上分直线 运动及曲线运动(如环形跑道、时钟问题)基本量之间的关系：路程 =速度 时间(s =v t )(1)相遇问题：s 甲 ■ s^ = s (或V 甲t V z t 二S), t 为甲、乙相遇时间.(2)追及问题：s 甲=s 乙■ s 0 ( V 甲 v z ,s 0为追及初距离)，V 甲t=V 乙t ■ S 0义.②复利：本息和=本金(1+利率)n即 S=P (1+i )(1)利润=售价一进价 利润率=利润=售价进价进价 进价 〜S 甲B工程问题基本量之间的关系：工作量=工作效率X工作时间. 常见等量关系：甲的工作量+乙的工作量基本量之间的关系：现产量=原产量X （1+增长率）• 百分比浓度问题基本量之间的关系：溶质=溶液X浓度. 水中航行问题基本量之间的关系：V静-v水 =切顺,v静- v水二V逆，v顺-v逆= 2v水川顺-v^ = 2v静二、二元一次方程组1.二元一次方程组的相关概念含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.一般形式：ax by c 0 a 0,b = 0 .含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.2 .解二元一次方程组（1）代入消元法（代入法）：①用含有x（或y ）代数式表示y （或x），即变成y=ax，b（或x=ay，b）的形式;②将y =ax - b（或x =ay ■ b）代入另一个方程中，消去y （或x），得到一个关于x（或y）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④把x（或y）的值代入y=ax，b（或x=ay，b）中，求出y （或x）的值，从而得到方程组的解.（2）加减消兀法（加减法）：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.I ------------ ----------------------------------------------- --------------------------------------------: 补三元一次方程组: 三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.; 由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.i 解三元一次方程组的一般步骤：[… ①利用代入法或加减法-把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，逍去两组______________《中考基础知识大扫描》中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元二次方程组; ■: ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；. : ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一i元一次方程；: ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值，从而得到方程组的解. iI __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ I3 •二元一次方程组的应用能分析出题目中的等量关系列二元一次方程组.*4 •二元一次方程与一次函数新课标要求：能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.(1)一次函数与二元一次方程(组)以二元一次方程ax + by=c ( a,b = 0 )的解为坐标的点组成的图象与一次函数a cy x 的图象相同.b b广二元一次方程组」a i X+ b,y = c,的解可以看作是两个一次函数y = _ a i X十G和耳x + b2 y = c2b, b| a? C2y -x -的图象的交点.b2b2(2)一次函数与二元一次方程(组)的应用在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程(组)求解.三、一元二次方程1•一元二次方程的概念方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：ax2bx c 二0(a = 0)其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.2•一元二次方程的解法(1)直接开平方法形如(x a)^ b的一元二次方程当b 一0时，x • a二.b , x二-a -、b，当b <0时，方程没有实数根.(2)配方法通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0的一般步骤：①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(X • m)2二n的形式;④用直接开平方法解变形后的方程.2 b c小2丄b cax bx c = 0 =x x 0= x x 二a a a a2 b , b 、2 c , b、2/ b、2b2「4ac一x x ()() =(x )二a 2a a 2a a4a(3)公式法用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.对于一元二次方程ax2bx c = 0(a = 0)，当b2 -4ac _ 0时，它的根是:f b2_4acx =2a用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化为一般形式，确定a,b,c的值;②求出b2 -4ac的值;③若b2 -4ac _0，则把a,b,c及b2 -4ac的值代入一元二次方程的求根公式:「b 二、b2—4ac 2x ，求出X i, X2;若b -4ac：：：0,则方程没有实数根.2a(4)分解因式法当一元二次方程的一边为0时，将另一边分解成两个一次因式的乘积，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；一④解这两个二元一次方程，它们的解就是原方程的解. ___________ ________ _________ ______ i 补判别式、韦达定理；:1 .一元二次方程根的判别式[: 我们就把b2 -4ac叫做一元二次方程ax2 bx 0的根的判别式，通常用“丄”; 来表示，即—c. I I '元二次方程根的情况与判别式 的关系：厶＞0=方程有两个不相等的实数根;二=0：=方程有两个相等的实数根；匚＜0：=方程没有实数根； / _0：=方程有两个实数根.2 •一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程ax 2 • bx • c = 0(a = 0)的两个实数根是 X i ,X 2，那么两根之和，等于方程i 的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数[I 所得的商，即为+x 2 =—b , X r X 2 =c .；a a:韦达定理的两个重要推论：:I I推论1：如果方程x 2 px ■ q = 0的两个根是x 1, x 2,那么x 1 x 2 - - p , x/2二q .I I推论2 :以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是I2x -（为 x 2）x x 1 x 2 = 0.一元二次方程的根与系数的关系的应用：(1) 验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根. (2) 由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数. ⑶不解方程，可以利用韦达定理求关于x 1,x 2的对称式的值，X 1,X 2互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数；式为关于x 1,x 2的对称式.i: (4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程. : (5)已知两数的和与积，求这两个数.； (6)已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值. i (7)证明方程系数之间的特殊关系.: (8)解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等. :根的符号的讨论：I2X1X 2 ,2X 1 x 2X 1X 22 %「x 2 X 1 x 2说明：如果把含x 1, x 2的代数式中；利用韦达定理，还可进一步讨论根的符号，设一元二次方程ax2• bx • c = 0 (a = 0)III的两根为x1,x2，则II■⑴A >0,且X j X2 >0二两根同号.IIII二0,且X1X2 0, x i x2・0：=两根同正；II! 二0,且x1x2 0, x.) x2：：：0二两根同数.II»(2)也a 0,且x1 x2■< 0 二ac v 0二两根异号.II；ac c0，且为+x2=0二两根异号且正根的绝对值较大；II: ac c0，且％+x2 £0二两根异号且负根的绝对值较大.；补二元二次方程组i ；含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.关；I I 于x, y的二元二次方程的一般形式为：ax2■ bxy cy2dx e^ f = 0( a,b,c至少有[2 2一个不为0). ax ,bxy,cy叫做二次项，a,b,c叫做二次项系数；dx , ey叫做一次项，d,e : 叫做一次项系数；f叫做常数项. [ ；由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成[ 的方程组都叫做二元二次方程组. 1 : 二元二次方程组的解法：: :1.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法：: :(1)代入法[ : ①把二元一次方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示；: : ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元方程；1 ; ③解这个一元方程，求得一个未知数的值；[ ；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值，否则，如1果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现增解的问题；; ; ⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组合在一起，就是原方程组[ 的解. : :(2)逆用韦达定理法[ X ：卜y 二ai 对型如y 的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x, y看做一：: \Xy=b i元二次方程一_z2一二az…b 一二0 的两个根，一解这个方程'…求得的一z t,_z2的.值，就是一x, y .的值.所_：% = z 2；i 2 •由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法：；一般步骤：! ①先把方程组中的一个方程分解降次，化为两个一次方程；: ②将这两个一次方程分别与原方程组中的另一个方程联立， 方程和一个二元二次方程组成的方程组；一③解这两个新的方程组，所得的解都是原方程组的解:四、分式方程新课标要求：会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个) (1) 分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫分式方程. (2) 分式方程的解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” •它的一般解法是：① 去分母，方程两边都乘以最简公分母； ② 解所得的整式方程；③ 验根：将所得的根代入最简公分母，若等于 0就是增根，应该舍去；若不等于 0就是原方程的根. _______________________________________________________________________________' 补分式分式方程的特殊解法 换元法； 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种 ［特别形式，一般的去分母不易解决时，可考虑换元法. :用换元法解分式方程的一般步骤：；(1)设辅助的未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； ■ (2)解所得的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； ;(3)把辅助未知数的值代入原式中，求出原未知数的值； :(4)检验做答.以原方程的解是两组对称解:h组成两个由一个二元一次。
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由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组
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第一课时
一、教学目标
1．使学生掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组的解法。
2。
通过例题的分析讲解，进一步提高学生的分析问题和解决问题的能力；
3。
通过一个二元二次方程解法的分析，使学生进一步体会“消元”和“降次”的数学思想方法，继续向学生渗透“转化”的辨证唯物主义观点。
二、重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点：通过把一个二元二次方程分解为两个二元一次方程来解由两个二元二次方程组成的方程组。
2．教学难点：正确地判断出可以分解的二元二次方程。
3．教学疑点：降次后的二元一次方程与哪个方程重新组成方程组，一定要分清楚。
4．解决办法：（1）看好哪个二元二次方程能分成两个二元一次方程，它们之间是“或”的关系，不能联立成方程组。
（2）分解好的二元一次方程应与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组。
三、教学过程
1．复习提问
（1）我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型？
（2）解二元二次方程组的基本思想是什么？
（3）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的基本方法
是什么？其主要步骤是什么？
（4）解方程组：。
（5）把下列各式分解因式：
①；②；③。
关于问题设计的说明：
由于二元二次方程组的第一节课已经向学生阐明了我们所研究的二元二次方程组有两种类型．其一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组；其二是由
两个二元二次方程所组成的方程组．由于第一种类型我们已经研究完，使学生自然而然地接
受了第二种类型研究的要求．关于问题（2）的提出，由于两种类型的二元二次方程组的解题思想均为“消元”和“降次”，所以问题（2）让学生懂得“消元”和“降次”的数学思想，贯穿于解二元二次方程组的始终．问题（3）、（4）是对上两节课内容的复习，以便学生对已学过的知识得到进一步的巩固．由于本节课的学习内容是由两个二元二次方程
组成的二元二次方程组的解法，其中有一个二元二次方程可以分解，因此，问题（5）的设计是为本节课的学习内容做准备的。
2．例题讲解
例1 解方程组
分析：这是一个由两个二元二次方程组成的二元二次方程组，其解题的基本思路仍为“消元”、“降次”，使之转化为我们已经学过的方程组或方程的解法．那么如何转化呢？关于转
化的形式有两种，要么降二次为一次，要么化二元为一元我们通过观察方程组中的两个方程有什么特点，可以发现：方程组（2）的右边是0，左边是一个二次齐次式，并且可以分解为，因此方程（2）可转化为，即或，从而可分别和方程（1）组成两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，从而解出这两个方程组，得到原方程组的解．
解：由（2）得
因此，原方程组可化为两个方程组
解方程组，得原方程组的解为
说明：本题可由教师引导学生独立完成，教师应对学生的解题格式给予强调．
例2 解方程组
分析：这个方程组也是由两个二元二次方程组成的方程组，通过认真的观察与分析可以
发现方程（2）的左边是一个完全平方式，而右边是完全平方米，因此将右边16移到左边后可利用平方差公式进行分解，，即或，从而可仿例1的解法进行。
解：由（2）得。
即，或。
因此，原方程组可转化为两个方程组
解这两个方程组，得原方程组的解为
巩固练习：
1．教材P60中1。
此练习可让学生口答。
2．教材P60中2。
此题让学生独立完成。
四、总结扩展
本节小结，内容较为集中并且比较简单，可引导学生从两个方面进行总结：（1）本节课学习了哪种类型的方程组的解法；（2）这种类型的方程组的解题步骤如何？
这节课我们学习了由两个二元二次方程组成的并且有一个方程是可以分解成两个二元一次方程的方程组的解法，解这种类型的方程组的步骤是将原二元二次方程组转化为两个已学习过的二元二次方程组，从而求出原方程组的解。
关于比较特殊的二元二次方程组的解法，教师可以利用辅导课的时间补充两个二元二次方程都可以分解的二元二次方程组的解法。
五、布置作业
1．教材P61A 1，2，3。
六、板书设计
探究活动
若关于的方程只有一个解，试求出值与方程的解．
解：化简原方程，得（1）
当时，原方程有惟一解，符合题意．
当时，方程（1）根据的判别式
∵
∴，故方程（1）总有两个不同的实数解，按题意其中必有一根是原方程的增根，原方程可能产生的增根只是0或1．
把代入（1），方程不成立，不合题，故增根只能是，把代入（1）得，此时方程为，
∴当时，分式方程的解为；当时，分式方程的解为．
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