金融数学第四章
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《金融数学》(第二版)练习题(修订版)
批注: 第二版书稿中有错
2.16 一项年金从 2000 年 1 月 1 日开始，每月末支付 100 元，支付 60 次；这项年金的价值等价于在第 K 月末支付一笔 6000 元的款项。每月复利一次的 名义利率为 12%。求 k。
2.17 如果 a = x ， a = y ， 试将 d 表示为 x 和 y 的函数。
∑15
（6） (s − s ) = s − s − 6
t
t
16
10
t =10
（7） an|
<
a(m) n|
<
an|
<
a(m) n|
<
an|
，
其中 m > 1。
（８）
s 2n
s
s
+
n
s
s
−
3n
s
=1
n
2n
2n
6
（９）
⎛ ⎜⎝
a n
−d δ
⎞ ⎟⎠
(1
+
i
)
=
a n −1
>
g
>
0，h>b>
0
。求
n。
1.9
在零时刻将 100 存入一个基金。该基金在头两年以每个季度贴现一次的名义贴现率δ支付利息。从 t
=
2
开始，利息按照 δt
=1 1+t
的利息力支付。
在 t = 5 时，存款的累积值为 260。求δ。
1.10 在基金 A 中，资金 1 的累积函数为 t+1，t>0；在基金 B 中，资金 1 的累积函数为1 + t 2 。请问在何时，两笔资金的利息力相等。
《金融数学引论第二版》复习提纲
《金融数学引论》复习提纲第一章 利息的基本计算 第一节 利息基本函数一. 累积函数a(t)与总量函数A(t)某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。
利息金额I n =A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)； 二．单利和复利考虑投资一单位本金，（1） 如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利；实际利率 )()()()(1111-+=---=n i in a n a n a i n （2） 如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。
实际利率 i i n =例题：1.1三.. 贴现函数一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。
等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下：,(1),1111,,,1d i i d i i d d iv d d iv v i d idi=+==-+=-==-=+例题：1.2四．名利率与名贴现率用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。
所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。
与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。
名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。
名义利率与名义贴现率之间的关系：()()()()m m m m i d i d m m m m-=⋅。
例题：1.3五．连续利息计算定义利息强度（利息力）为()()()()t A t a t A t a t δ''==， 0()ts dsa t e δ⎰=一个常用的关系式如下：()()11[1]1(1)[1]m p m p i d i v d e m pδ---+=+==-=-=例题：1.4要求：δ,,,,)()(p m d i d i ，之间的计算。
金融数学-第四章
1
3 ）所有利息之和等于还款额总和与原始贷款额之差， 即
利息理论应用
第二章-19
n
n
It nPt
1
1
4 ） 本金序列依时间顺序构成递增的等比级数
比值为(1+i )
Pt1(1i)Pt
5 ） 利息序列依时间顺序构成递减数列
It1 It iPt
结论： 在等额还款方式下 ， 前期的还款主要用 于偿还利息， 贷款本金 （余额） 的降低幅度不 大。
Bt (1i)Bt11
利息理论应用
第二章-9
情形2. 已知贷款金额:设原始贷款金额为L ,贷款 贷利率为i ,n 次还清
首先计算每次的还款额 R:
Ra L n |i
或
R L a
n| i
预期法:(付款现金流确定)
BtpRant
|
i
L ( )a
a nt|
i
a L nt
a
|
利息理论应用
第二章-3
§4.1 摊还表
计算未结贷款余额 (Outstanding loan balance)
注：“ 未结本金”、“ 未付余额”、“剩余贷款 债务”
“账面价值”。
实际背景:在贷款业务中,每次分期还款后,借款人的 未偿还的债务在当时的价值。例如：某家庭现有 一个三十年的住房抵押贷款的分期还贷款，在已 经付款12 年后因为意外的一笔收入，希望一次将 余款付清，应付多少？
It 1vnt1
利息理论应用
第二章-18
Pt vnt1
从而未结贷款余额为
B t B t 1 P t v 1 v 2 ... v n t
BnBn1Pn0
2） 所有本金之和等于原始贷款，即
数理金融第4章
T
，
a n ) T , B = (bik ) n×k 是 n × k 矩
4
阵,
ε = (ε 1 , ε 2 ,
ε n ) T ,则
F = ( F1 , F2 ,...Fk )
T
则模型 (1 − 1) 可写成如下形式 且满足如下形式
R = a + Bf + ε
T
E ( ε ) = ( E ( ε1 ) , E ( ε 2 ) ,...., E ( ε n ) ) = 0
⊥
( R1 , R2 , R3 ) T 满 足 与 V ⊥ 中 所 有 向 量 都 正 交 ， 故 为 ( E ( R1 ), E ( R2 ), E ( R3 )) T ∈ span{1, b} 。于是存在 λ 0 , λ1 ，使得 ( E ( R1 ), E ( R2 ), E ( R3 )) T = λ 0 1 + λ1b
E ( R3 ) = 0.08 + ( 0.04 ×1.8 ) = 15.2% 因此当 E ( R1 ) 由 15%下降到 11.6%,当 E ( R2 ) 由 21% 下降到 20%，当
E ( R3 ) 由 12%上升到 15.2%则无套利机会。因此
Rn 是 bn 的线性函数，
10
f 称此直线为套利定价线。如果市场存在无风险资产，则 0 。 现在我们讨论一般的多因子无残差线性模型 Ri = ai + bi1 F1 + bi 2 F2 + .... + bik Fk i = 1, 2..., n; k = 1, 2,..., K
3
(1) E ( εi ) = 0, E ( Fk ) = 0 (2) E ( εiε j ) = 0 (3) E ( ε j Fk ) = 0
金融数学课件(南京大学)
2013-8-27
23
二、金融数学的发展历程
1980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。 在资产定价理论方面，各种概念被统一到阿罗-德布鲁一般均衡框架下， 显得更为灵活和适用。鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据了中心位 置，达菲和黄(Duffle and Huang，1985)等在此基础上大大地推广了布莱 克-斯科尔斯模型。
同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法 开始使用。
2013-8-27 22
二、金融数学的发展历程
金融数学发展的第三个时期：
1980 年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果
频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲 （D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黄（C . F . Huang ）等。
2013-8-27
10
一、金融与金融数学
完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融
学为理论基础，扩展到各种具体的应用金融学学科，而数
理化（同时辅助以实证计量）的研究风格将贯穿从理论到 实践的整个过程。在现代金融学的发展历程中，两次华尔
街革命产生了一门新兴的学科，即金融数学。随着金融市
场的发展，金融创新日益涌现，各种金融衍生产品层出不 穷，这给金融数学的发展提出了更高的要求，同时也为金 融数学这一门学科的发展提供了广阔的空间。
括对金融机构的职能和作用及其存在形态的演进趋势的分析；金融
机构的组织形式、经济效率、混业与分业、金融机构的脆弱性、风 险转移和控制等。
2013-8-27 9
一、金融与金融数学
宏观金融分析从整体角度讨论金融系统的运行规律，重点 讨论货币供求均衡、金融经济关系、通货膨胀与通货紧缩、金 融危机、金融体系与金融制度、货币政策与金融宏观调控、国 际金融体系等问题。 与经济学的发展历程相反，金融学是先有宏观部分再有微 观部分。
中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)第4章 债务偿还【圣才出品】
故 50886.98－45150.55＝5736.44（元）。
6．已知某住房贷款 100000 元，分 10 年还清，每月末还款一次，每年计息 12 次的年 名义利率为 6%。则在还款 50 次后的贷款余额为（ ）元。
A．65404.8 B．65434.8 C．65454.8 D．65484.8 E．65504.8 【答案】B
A．1512 B．1524 C．1538 D．1557 E．1568 【答案】D 【解析】设甲每次的付款额为 R，由题意得：
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10000 R a24 0.02
解得：R＝528.71。
于是，丙收到的款项为：528.71×16=8459.36（元）,
A．127.86 B．129.57 C．130.52 D．133.67 E．138.24 【答案】D 【解析】设原还款额为 P，由题意，得：
1000 P a10 0.05 解得：P=129.50。 第 4 次还款后的余额为： B4 100（0 1 0.05）4 129.50s4 0.05 657.34（元）。 设余下的 6 次等额还款，每次还款额为 R，则有：
B．1035
C．1048
D．1073
E．1094
【答案】A
【解析】①由已知有：
，
由此式可解出 v6=0.56447，从而 v3=0.75131；
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②因甲第一次偿还后 3 年一次全部还清贷款，于是有：
，
从而 Pv 9 1366.87v12 ，
【解析】基金的初始值为：10000a10 0.035 。
6．已知某住房贷款 100000 元，分 10 年还清，每月末还款一次，每年计息 12 次的年 名义利率为 6%。则在还款 50 次后的贷款余额为（ ）元。
A．65404.8 B．65434.8 C．65454.8 D．65484.8 E．65504.8 【答案】B
A．1512 B．1524 C．1538 D．1557 E．1568 【答案】D 【解析】设甲每次的付款额为 R，由题意得：
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10000 R a24 0.02
解得：R＝528.71。
于是，丙收到的款项为：528.71×16=8459.36（元）,
A．127.86 B．129.57 C．130.52 D．133.67 E．138.24 【答案】D 【解析】设原还款额为 P，由题意，得：
1000 P a10 0.05 解得：P=129.50。 第 4 次还款后的余额为： B4 100（0 1 0.05）4 129.50s4 0.05 657.34（元）。 设余下的 6 次等额还款，每次还款额为 R，则有：
B．1035
C．1048
D．1073
E．1094
【答案】A
【解析】①由已知有：
，
由此式可解出 v6=0.56447，从而 v3=0.75131；
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②因甲第一次偿还后 3 年一次全部还清贷款，于是有：
，
从而 Pv 9 1366.87v12 ，
【解析】基金的初始值为：10000a10 0.035 。
金融数学第4章
陈晓坤 （2012秋）
金融数学2(Financial Mathematics)
4.3 用表单计算股票和 期权的价格二叉树
演
示
版权所有，请勿外传
陈晓坤 （2012秋）
金融数学2(Financial Mathematics)
作 业
第45页
1、假设一股票在相邻的交易日价格上涨50%的概率 是1/3，下跌10%的概率是2/3 ，如果该股票周一开 始交易价格是2美元。那么预期周四价格的期望值 是多少？并用excel表单绘制股票价格的二叉树压 缩图。 2、假设股票价格模型参数是u=1.7,d=0.8,S0=120。 一个欧式看涨期权到期时间t=3，执行价X=115，利 率r=0.06。请用连锁法求出在t=0时该期权的价格 并用excel表单绘制期权价格的二叉树压缩图。 3、谈一下你学习金融数学的体会和感受以及你所 了解或感兴趣的金融知识。
作 业
第45页
第1题假设一股票在相邻的交易日价格上涨50%的
概率是1/3，下跌10%的概率是2/3.若该股票周一开 始交易，价格是2美元，那么预期周四价格的期望 值是多少？用股票价格的二叉树压缩图来求解。 在相邻的交易日价 格上涨50%的概率是2/3，下跌10%的概率是1/3.若 该若该股票周一开始交易，价格是3.9元，那么预 期周四价格的期望值是多少？
锁法值与立刻执 行值的最大值
版权所有，请勿外传
陈晓坤 （2012秋）
金融数学2(Financial Mathematics)
例1(3) 假定
S 0 = 100 u = 1.1 X = 100 d = 0.9 r = 0.05 p = 0.85
构造一个三期(t=3)的美式看跌期权价格 二叉树。
金融数学课本知识精粹
n n 1k
或i
1
n 1k
( n 1 =1/2)
2n
2n
2
4、可赎回债券计算收益率时：i i
g (溢价发行)：赎回日尽可能早 g(折价发行): 赎回日尽可能晚
5、系列债券：
m
系列债券的价格
t 1
pt
m t 1
Kt
g i
m
( Ct
t 1
m t 1
(g i)vnt1
1 (g i)a nt i
n-1 g ng 合计 ng
i[1 (g i)a ] 2i
i[1 (g i)a ] 1i
ng-p
(g i)v2 (g i)v1
1 (g i)a 1i
1
(g i)a p ni
3、票息支付周期内债券的估价
Bf
债券的平价： t k
pk =vnk 1
2、连续偿还的分期偿还表
t时刻的余额
Btp
a nt
Btr
an
(1 i)t
S t
9
t时刻偿还的本金利息
I
Bt
pt 1 I 1 Bt
3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表
（1）若偿还期计息 k 次（偿还频率小于计息频率）
n 1
j
4、基金收益率：A：期初基金的资本量
B：期末基金的本息和
I：投资期内基金所得收入 Ct ：t 时刻的现金流（ 0 t 1）
C：在此期间的现金流之和 C Ct ，
t
《金融数学》ppt课件(4)收益率
精选课件ppt
15
例：有一笔1000万元的贷款，期限为10年，年实际利率为 9%， 有下面三种还款方式： 本金和利息在第10年末一次还清； 每年末偿还当年的利息，本金在第10年末归还。 在10年内每年末偿还相同的金额。
假设偿还给银行的款项可按7％的利率再投资，试比较在这
三种还款方式下银行的年收益率。
价值方程： 1000(1i)102243.48 i=8.42%
精选课件ppt
18
（3）所有付款在第10年末的累积值为 a 110 0|0 0.0 09s10|0.07(155.82)(13.8164)2152.88
价值方程： 1000(1i)102152.85
i=7.97%
精选课件ppt
19
3. 基金的利息度量：
精选课件ppt
11
解：该题的资金净流入可列示如下：
时间：
0
1
2
净流入： –1000 2150 –1155
假设收益率为i，则根据题意可建立下述方程：
–1000+ 2150(1 + i)–1 – 1155(1 + i)–2 = 0
上述方程两边同时乘以(1 + i)2，并变形可得：
5 [ 2 ( 1 0 i) 2 ]1 1 [ ( 1 0 i) 1 ] 1 0
5
10v3 vt 4v6 0 t2
投资项目的资金流出和资金流入
资金流出
10 1 1 1 1 1
15
资金净流 资金流入 资金净流入R t 入的累积
值
10
–10.00
1
–10.91
4
3
–8.43
4
3
–6.17
4
金融数学-课后习题答案4
g = 1.002 1.002 = 0.9979 1 1 ⇒ gv = 12 = 12 1.05 v = 1.05 1 + i 361 125000 = Pv + Pgv 2 + L + Pg 359 v 360 = P × gv − ( gv) g 1 − gv ⇒ P = 125000 × 1.002 × 1 − 0.9979 = 493.85 0.9979 − 0.9979361
12. 某借款人每年末还款额为 1，为期 20 年，在第 7 次还款时，该借款人额外偿还一部分贷款，额 外偿还的部分等于原来第 8 次偿还款中的本金部分， 若后面的还款照原来进行， 直到贷款全部清偿， 证明整个贷款期节约的利息为 1- v 。
13
P = P8 = Rv13 = v13 B7 = a13 − v13 = a12 I1 = 13 − a13 ⇒ ∆I = I1 − I 2 = 1 − (a13 − a12 ) = 1 − v13 I = 12 − a 2 12
金融数学金融数学金融数学金融数学课后习题参考课后习题参考课后习题参考课后习题参考中国精算师资格考试用书中国精算师资格考试用书中国精算师资格考试用书中国精算师资格考试用书第四章
作者： 作者：刘绮轩 QQ：2629458002
金融数学—— 金融数学——课后习题参考 ——课后习题参考
（中国精算师资格考试用书） 中国精算师资格考试用书）
10. 张某借款 1000 元，年利率为 i，计划在第 6 年末还款 1000 元，第 12 年末还款 1366.87 元。在第 一次还款后第三年，他偿还了全部贷款余额，计算这次偿还额。
6 12 1000 = 1000v + 1366.87v ⇒ P = 1366.87v 3 = 1366.87 × 0.75131 = 1027 6 9 1000 = 1000v + Pv
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▪ 半强有效（semi-strong form efficiency）：信息集 包括所有公开的，投资者共知的所有信息；现在的 市场价格不仅反映了该证券过去的信息，而且还反 映了有关该证券的所有公布于众的信息
▪ 强有效（strong form efficiency）：信息集包括 任何市场参与者所掌握的一切信息；现在的市 场不仅反映了有关该证券过去的信息和公布于 众的信息，而且还反映任何交易者掌握的私人 信息
)
证券市场线 SML＝securities market line
▪ 将CAPM看成一条直线，就是SML ▪ 位于 ▪ SML与CML对比： ▪ 都是组合p的收益与风险之间关系的函数 ▪ SML对任意的证券组合成立 ▪ CML仅对前沿证券组合成立 ▪ “横坐标”不同：标准差，β系数
SML的含义
▪ 处在SML上的投资组合点，处于均衡状态。如图 中的m、Q点和O点
两个结论
▪ 引理4.1：如果投资者的效用函数u（·）是严格 递增和凹函数的时候，投资者一定不会持有期 望收益率＜rf的证券组合
▪ 定理4.1： 如果风险厌恶的投资者都具有严格 递增的效用函数，那么当所有风险资产都是严 格正的供给时，在CAPM假设下，市场证券组 合的风险溢价，一定是严格正的
E(~rm ) rf 0
▪ 从而， rf＜A/C一定成立
CML的方程式
▪ CML表示有效证券组合p的收益与风险之间 关系的函数
▪ 每个投资者的最优组合选择均取自该直线 ▪ 表达式中用到了市场组合的收益风险 ▪ 假定市场组合的收益风险可以计算出来 ▪ 从图上可以简单推导出该方程
E(~rp ) rf
E(~rm ) rf
m
▪ 均值方差模型提出了的证券选择问题，解 决了最优地持有有效证券组合，即在同等 收益水平之下风险最小的证券组合
▪ 夏普等人在该模型基础上发展了经济含义
▪ 任何证券组合收益率与某个共同因素的关 系
▪ 资产定价模型（CAPM）
第一节 传统标准CAPM的 定价公式推导
▪ 一般所说的CAPM就是传统的标准的 ▪ 在一定假设条件下成立 ▪ 不“传统的标准的”CAPM，是对假设
条件的一些放宽 ▪ 本章主要介绍“传统的”
CAPM的假设条件及其说明
▪ 根据“版本”不同，假设条件略有差异， 但基本含义相同
▪ 本教材列举了9条假设 ▪ 1．投资者仅依据投资收益率的均值和方差
作决策，投资者永不满足 ▪ 2．投资者对预期回报率、标准差和证券之
间的协方差具有相同的理解。 ▪ 3．单期（single period）投资
▪ 强有效表明，即使是内线人（insider）也无法 垄断信息，研究者的成果与基金管理者对市场 的评估均已反映到市场价格中
▪ 一些学者用统计检验方法证明，对于半强有效， 在一些规范成熟的证券市场中成立
▪ 证券市场中许多异常现象（anormal phenomenon）说明，市场不符合强有效
▪ 在实际证券市场中应用CAPM，还有很大障碍
市场组合Market portfolio ——切点e
▪ 投资者通过持有e，间接地体现持有风险资 产，而不直接考虑单独风险资产持有情况
▪ 定义：证券组合P被称为市场组合，当且 仅当该证券组合P投资于每个风险资产j的 权重正好等于Wmj
▪ Wmj表示风险资产j的市值与风险资产的总 ▪ 值的比例 ▪ 用m表示市场组合 ▪ 切点e就是市场组合（书上有证明过程）
资本市场线CML （capital market line）
▪ 投资者的最优证券组合是风险资产组合e和无风险资 产P0的线性组合
▪ 所有的投资者面对同一个有效前沿进行最优组合选择， 他们的差异体现在无差异曲线上
▪ 如果有效前沿是“直的”射线，最优组合有“简单的” 叙述——用点P0和e将最优组合线性表示
▪ 用无风险资产和风险资产组合e的线性组合将最优证 券组合表示；线性组合中的系数就是投资的权重
▪ 投资者之间，无差异曲线的不同将导致选择的最优组 合中，无风险P与有风险组合e的比例发生变化
▪ 愿意“冒险”的投资者，风险资产组合e的比例大
E (r )
CML
e＝ m
P0
rf
0
(~rp )
分离定理 separation theorem
▪ 假设2是以有效性假设EMH为前提 ▪ EMH是指价格已经反映了所有可能得到的信息。
▪ 基于某一信息集的交易是否赚取较高的收益，若不 能，则说明价格反映了该信息集的所有信息
▪ 3种形式：弱、半强、强有效 ▪ 弱有效（weak form efficiency）：信息集仅包含价
格或收益的历史记录信息；现在的市场价格反映了 有关该证券的所有历史记录中的信息
▪ 4．资产都无限可分，可以购买一个股份的 任意比例的部分。市销的（Marketed），即， 可以随意买入卖出
▪ 5．对卖空没有约束
▪ 6．存在无风险资产，可以以无风险利率贷 出或借入任意数量的该种资产。利率对所有 投资者相同
▪ 7．忽略税收和交易成本，信息是免费并可 立即得到
▪ 8．没有通货膨胀和利率的变化
▪ 如果把投资者持有的风险资产“挑出来”比较 ▪ 相对于总的资产，单个风险证券的权重不相同 ▪ 仅仅相对于风险资产来说，每种单个的风险资
产在总的风险资产中占的比例，对于每个投资 者来说是相同的，而且与组合e点“同结构” ▪ 投资者投资于风险资产的“相对权重”与投资 者个人的 “风险喜好”程度无关 ▪ 两者是分离的——分离定理
p
பைடு நூலகம்
资本资产定价模型—CAPM
▪ 第三章结论：在市场均衡状态下，对任意 证券或组合q，可以用（3.35）定价
▪ 用市场组合m取代（3.35）中的前沿证券P
▪ 得到CAPM
▪ q的β系数
E(~rq ) rf
c
ov(~rm ,
2 (~rm
~rq )
)
(E(~rm
)
rf
)
mq (E(~rm ) rf
▪ 9．单个投资者不能通过其买卖行为影响资 产价格，即完全竞争
假设条件的放宽问题
▪ 这些假设条件是标准的CAPM的假设 ▪ 有一些明显与实际情况相违背 ▪ 本章后面将讨论这些假设的放宽问题 ▪ 用效用函数的方式等方式讨论更一般形式
的最优证券组合选择的问题 ▪ 这些定价公式的“模样”基本相同
市场有效性假设EMH
▪ 强有效（strong form efficiency）：信息集包括 任何市场参与者所掌握的一切信息；现在的市 场不仅反映了有关该证券过去的信息和公布于 众的信息，而且还反映任何交易者掌握的私人 信息
)
证券市场线 SML＝securities market line
▪ 将CAPM看成一条直线，就是SML ▪ 位于 ▪ SML与CML对比： ▪ 都是组合p的收益与风险之间关系的函数 ▪ SML对任意的证券组合成立 ▪ CML仅对前沿证券组合成立 ▪ “横坐标”不同：标准差，β系数
SML的含义
▪ 处在SML上的投资组合点，处于均衡状态。如图 中的m、Q点和O点
两个结论
▪ 引理4.1：如果投资者的效用函数u（·）是严格 递增和凹函数的时候，投资者一定不会持有期 望收益率＜rf的证券组合
▪ 定理4.1： 如果风险厌恶的投资者都具有严格 递增的效用函数，那么当所有风险资产都是严 格正的供给时，在CAPM假设下，市场证券组 合的风险溢价，一定是严格正的
E(~rm ) rf 0
▪ 从而， rf＜A/C一定成立
CML的方程式
▪ CML表示有效证券组合p的收益与风险之间 关系的函数
▪ 每个投资者的最优组合选择均取自该直线 ▪ 表达式中用到了市场组合的收益风险 ▪ 假定市场组合的收益风险可以计算出来 ▪ 从图上可以简单推导出该方程
E(~rp ) rf
E(~rm ) rf
m
▪ 均值方差模型提出了的证券选择问题，解 决了最优地持有有效证券组合，即在同等 收益水平之下风险最小的证券组合
▪ 夏普等人在该模型基础上发展了经济含义
▪ 任何证券组合收益率与某个共同因素的关 系
▪ 资产定价模型（CAPM）
第一节 传统标准CAPM的 定价公式推导
▪ 一般所说的CAPM就是传统的标准的 ▪ 在一定假设条件下成立 ▪ 不“传统的标准的”CAPM，是对假设
条件的一些放宽 ▪ 本章主要介绍“传统的”
CAPM的假设条件及其说明
▪ 根据“版本”不同，假设条件略有差异， 但基本含义相同
▪ 本教材列举了9条假设 ▪ 1．投资者仅依据投资收益率的均值和方差
作决策，投资者永不满足 ▪ 2．投资者对预期回报率、标准差和证券之
间的协方差具有相同的理解。 ▪ 3．单期（single period）投资
▪ 强有效表明，即使是内线人（insider）也无法 垄断信息，研究者的成果与基金管理者对市场 的评估均已反映到市场价格中
▪ 一些学者用统计检验方法证明，对于半强有效， 在一些规范成熟的证券市场中成立
▪ 证券市场中许多异常现象（anormal phenomenon）说明，市场不符合强有效
▪ 在实际证券市场中应用CAPM，还有很大障碍
市场组合Market portfolio ——切点e
▪ 投资者通过持有e，间接地体现持有风险资 产，而不直接考虑单独风险资产持有情况
▪ 定义：证券组合P被称为市场组合，当且 仅当该证券组合P投资于每个风险资产j的 权重正好等于Wmj
▪ Wmj表示风险资产j的市值与风险资产的总 ▪ 值的比例 ▪ 用m表示市场组合 ▪ 切点e就是市场组合（书上有证明过程）
资本市场线CML （capital market line）
▪ 投资者的最优证券组合是风险资产组合e和无风险资 产P0的线性组合
▪ 所有的投资者面对同一个有效前沿进行最优组合选择， 他们的差异体现在无差异曲线上
▪ 如果有效前沿是“直的”射线，最优组合有“简单的” 叙述——用点P0和e将最优组合线性表示
▪ 用无风险资产和风险资产组合e的线性组合将最优证 券组合表示；线性组合中的系数就是投资的权重
▪ 投资者之间，无差异曲线的不同将导致选择的最优组 合中，无风险P与有风险组合e的比例发生变化
▪ 愿意“冒险”的投资者，风险资产组合e的比例大
E (r )
CML
e＝ m
P0
rf
0
(~rp )
分离定理 separation theorem
▪ 假设2是以有效性假设EMH为前提 ▪ EMH是指价格已经反映了所有可能得到的信息。
▪ 基于某一信息集的交易是否赚取较高的收益，若不 能，则说明价格反映了该信息集的所有信息
▪ 3种形式：弱、半强、强有效 ▪ 弱有效（weak form efficiency）：信息集仅包含价
格或收益的历史记录信息；现在的市场价格反映了 有关该证券的所有历史记录中的信息
▪ 4．资产都无限可分，可以购买一个股份的 任意比例的部分。市销的（Marketed），即， 可以随意买入卖出
▪ 5．对卖空没有约束
▪ 6．存在无风险资产，可以以无风险利率贷 出或借入任意数量的该种资产。利率对所有 投资者相同
▪ 7．忽略税收和交易成本，信息是免费并可 立即得到
▪ 8．没有通货膨胀和利率的变化
▪ 如果把投资者持有的风险资产“挑出来”比较 ▪ 相对于总的资产，单个风险证券的权重不相同 ▪ 仅仅相对于风险资产来说，每种单个的风险资
产在总的风险资产中占的比例，对于每个投资 者来说是相同的，而且与组合e点“同结构” ▪ 投资者投资于风险资产的“相对权重”与投资 者个人的 “风险喜好”程度无关 ▪ 两者是分离的——分离定理
p
பைடு நூலகம்
资本资产定价模型—CAPM
▪ 第三章结论：在市场均衡状态下，对任意 证券或组合q，可以用（3.35）定价
▪ 用市场组合m取代（3.35）中的前沿证券P
▪ 得到CAPM
▪ q的β系数
E(~rq ) rf
c
ov(~rm ,
2 (~rm
~rq )
)
(E(~rm
)
rf
)
mq (E(~rm ) rf
▪ 9．单个投资者不能通过其买卖行为影响资 产价格，即完全竞争
假设条件的放宽问题
▪ 这些假设条件是标准的CAPM的假设 ▪ 有一些明显与实际情况相违背 ▪ 本章后面将讨论这些假设的放宽问题 ▪ 用效用函数的方式等方式讨论更一般形式
的最优证券组合选择的问题 ▪ 这些定价公式的“模样”基本相同
市场有效性假设EMH