金融数学第四章
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▪ 假设2是以有效性假设EMH为前提 ▪ EMH是指价格已经反映了所有可能得到的信息。
▪ 基于某一信息集的交易是否赚取较高的收益，若不 能，则说明价格反映了该信息集的所有信息
▪ 3种形式：弱、半强、强有效 ▪ 弱有效（weak form efficiency）：信息集仅包含价
格或收益的历史记录信息；现在的市场价格反映了 有关该证券的所有历史记录中的信息
▪ 4．资产都无限可分，可以购买一个股份的 任意比例的部分。市销的（Marketed），即， 可以随意买入卖出
▪ 5．对卖空没有约束
▪ 6．存在无风险资产，可以以无风险利率贷 出或借入任意数量的该种资产。利率对所有 投资者相同
▪ 7．忽略税收和交易成本，信息是免费并可 立即得到
▪ 8．没有通货膨胀和利率的变化
▪ 均值方差模型提出了的证券选择问题，解 决了最优地持有有效证券组合，即在同等 收益水平之下风险最小的证券组合
▪ 夏普等人在该模型基础上发展了经济含义
▪ 任何证券组合收益率与某个共同因素的关 系
▪ 资产定价模型（CAPM）
第一节 传统标准CAPM的 定价公式推导
▪ 一般所说的CAPM就是传统的标准的 ▪ 在一定假设条件下成立 ▪ 不“传统的标准的”CAPM，是对假设
资本市场线CML （capital market line）
▪ 投资者的最优证券组合是风险资产组合e和无风险资 产P0的线性组合
▪ 所有的投资者面对同一个有效前沿进行最优组合选择， 他们的差异体现在无差异曲线上
▪ 如果有效前沿是“直的”射线，最优组合有“简单的” 叙述——用点P0和e将最优组合线性表示
市场组合Market portfolio ——切点e
▪ 投资者通过持有e，间接地体现持有风险资 产，而不直接考虑单独风险资产持有情况
▪ 定义：证券组合P被称为市场组合，当且 仅当该证券组合P投资于每个风险资产j的 权重正好等于Wmj
▪ Wmj表示风险资产j的市值与风险资产的总 ▪ 值的比例 ▪ 用m表示市场组合 ▪ 切点e就是市场组合（书上有证明过程）
▪ 9．单个投资者不能通过其买卖行为影响资 产价格，即完全竞争
假设条件的放宽问题
▪ 这些假设条件是标准的CAPM的假设 ▪ 有一些明显与实际情况相违背 ▪ 本章后面将讨论这些假设的放宽问题 ▪ 用效用函数的方式等方式讨论更一般形式
的最优证券组合选择的问题 ▪ 这些定价公式的“模样”基本相同
市场有效性假设EMH
▪ 如果把投资者持有的风险资产“挑出来”比较 ▪ 相对于总的资产，单个风险证券的权重不相同 ▪ 仅仅相对于风险资产来说，每种单个的风险资
产在总的风险资产中占的比例，对于每个投资 者来说是相同的，而且与组合e点“同结构” ▪ 投资者投资于风险资产的“相对权重”与投资 者个人的 “风险喜好”程度无关 ▪ 两者是分离的——分离定理
)
证券市场线 SML＝securities market line
▪ 将CAPM看成一条直线，就是SML ▪ 位于 ▪ SML与CML对比： ▪ 都是组合p的收益与风险之间关系的函数 ▪ SML对任意的证券组合成立 ▪ CML仅对前沿证券组合成立 ▪ “横坐标”不同：标准差，β系数
SML的含义
▪ 处在SML上的投资组合点，处于均衡状态。如图 中的m、Q点和O点
条件的一些放宽 ▪ 本章主要介绍“传统的”
CAPM的假设条件及其说明
▪ 根据“版本”不同，假设条件略有差异， 但基本含义相同
▪ 本教材列举了9条假设 ▪ 1．投资者仅依据投资收益率的均值和方差
作决策，投资者永不满足 ▪ 2．投资者对预期回报率、标准差和证券之
间的协方差具有相同的理解。 ▪ 3．单期（single period）投资
▪ 用无风险资产和风险资产组合e的线性组合将最优证 券组合表示；线性组合中的系数就是投资的权重
▪ 投资者之间，无差异曲线的不同将导致选择的最优组 合中，无风险P与有风险组合e的比例发生变化
▪ 愿意“冒险”的投资者，风险资产组合e的比例大
E (r )
CML
e＝ m
P0
rf
0
(~rp )
分离定理 separation theorem
▪ 强有效表明，即使是内线人（insider）也无法 垄断信息，研究者的成果与基金管理者对市场 的评估均已反映到市场价格中
▪ 一些学者用统计检验方法证明，对于半强有效， 在一些规范成熟的证券市场中成立
▪ 证券市场中许多异常现象（anormal phenomenon）说明，市场不符合强有效
▪ 在实际证券市场中应用CAPM，还有很大障碍
两个结论
▪ 引理4.1：如果投资者的效用函数u（·）是严格 递增和凹函数的时候，投资者一定不会持有期 望收益率＜rf的证券组合
▪ 定理4.1： 如果风险厌恶的投资者都具有严格 递增的效用函数，那么当所有风险资产都是严 格正的供给时，在CAPM假设下，市场证券组 合的风险溢价，一定是严格正的
E(~rm ) rf 0
▪ 从而， rf＜A/C一定成立
CML的方程式
▪ CML表示有效证券组合p的收益与风险之间 关系的函数
▪ 每个投资者的最优组合选择均取自该直线 ▪ 表达式中用到了市场组合的收益风险 ▪ 假定市场组合的收益风险可以计算出来 ▪ 从图上可以简单推导出该方程
E(~rp ) rf
E(~rm ) rf
m
p
源自文库
资本资产定价模型—CAPM
▪ 第三章结论：在市场均衡状态下，对任意 证券或组合q，可以用（3.35）定价
▪ 用市场组合m取代（3.35）中的前沿证券P
▪ 得到CAPM
▪ q的β系数
E(~rq ) rf
c
ov(~rm ,
2 (~rm
~rq )
)
(E(~rm
)
rf
)
mq (E(~rm ) rf
▪ 半强有效（semi-strong form efficiency）：信息集 包括所有公开的，投资者共知的所有信息；现在的 市场价格不仅反映了该证券过去的信息，而且还反 映了有关该证券的所有公布于众的信息
▪ 强有效（strong form efficiency）：信息集包括 任何市场参与者所掌握的一切信息；现在的市 场不仅反映了有关该证券过去的信息和公布于 众的信息，而且还反映任何交易者掌握的私人 信息
▪ 基于某一信息集的交易是否赚取较高的收益，若不 能，则说明价格反映了该信息集的所有信息
▪ 3种形式：弱、半强、强有效 ▪ 弱有效（weak form efficiency）：信息集仅包含价
格或收益的历史记录信息；现在的市场价格反映了 有关该证券的所有历史记录中的信息
▪ 4．资产都无限可分，可以购买一个股份的 任意比例的部分。市销的（Marketed），即， 可以随意买入卖出
▪ 5．对卖空没有约束
▪ 6．存在无风险资产，可以以无风险利率贷 出或借入任意数量的该种资产。利率对所有 投资者相同
▪ 7．忽略税收和交易成本，信息是免费并可 立即得到
▪ 8．没有通货膨胀和利率的变化
▪ 均值方差模型提出了的证券选择问题，解 决了最优地持有有效证券组合，即在同等 收益水平之下风险最小的证券组合
▪ 夏普等人在该模型基础上发展了经济含义
▪ 任何证券组合收益率与某个共同因素的关 系
▪ 资产定价模型（CAPM）
第一节 传统标准CAPM的 定价公式推导
▪ 一般所说的CAPM就是传统的标准的 ▪ 在一定假设条件下成立 ▪ 不“传统的标准的”CAPM，是对假设
资本市场线CML （capital market line）
▪ 投资者的最优证券组合是风险资产组合e和无风险资 产P0的线性组合
▪ 所有的投资者面对同一个有效前沿进行最优组合选择， 他们的差异体现在无差异曲线上
▪ 如果有效前沿是“直的”射线，最优组合有“简单的” 叙述——用点P0和e将最优组合线性表示
市场组合Market portfolio ——切点e
▪ 投资者通过持有e，间接地体现持有风险资 产，而不直接考虑单独风险资产持有情况
▪ 定义：证券组合P被称为市场组合，当且 仅当该证券组合P投资于每个风险资产j的 权重正好等于Wmj
▪ Wmj表示风险资产j的市值与风险资产的总 ▪ 值的比例 ▪ 用m表示市场组合 ▪ 切点e就是市场组合（书上有证明过程）
▪ 9．单个投资者不能通过其买卖行为影响资 产价格，即完全竞争
假设条件的放宽问题
▪ 这些假设条件是标准的CAPM的假设 ▪ 有一些明显与实际情况相违背 ▪ 本章后面将讨论这些假设的放宽问题 ▪ 用效用函数的方式等方式讨论更一般形式
的最优证券组合选择的问题 ▪ 这些定价公式的“模样”基本相同
市场有效性假设EMH
▪ 如果把投资者持有的风险资产“挑出来”比较 ▪ 相对于总的资产，单个风险证券的权重不相同 ▪ 仅仅相对于风险资产来说，每种单个的风险资
产在总的风险资产中占的比例，对于每个投资 者来说是相同的，而且与组合e点“同结构” ▪ 投资者投资于风险资产的“相对权重”与投资 者个人的 “风险喜好”程度无关 ▪ 两者是分离的——分离定理
)
证券市场线 SML＝securities market line
▪ 将CAPM看成一条直线，就是SML ▪ 位于 ▪ SML与CML对比： ▪ 都是组合p的收益与风险之间关系的函数 ▪ SML对任意的证券组合成立 ▪ CML仅对前沿证券组合成立 ▪ “横坐标”不同：标准差，β系数
SML的含义
▪ 处在SML上的投资组合点，处于均衡状态。如图 中的m、Q点和O点
条件的一些放宽 ▪ 本章主要介绍“传统的”
CAPM的假设条件及其说明
▪ 根据“版本”不同，假设条件略有差异， 但基本含义相同
▪ 本教材列举了9条假设 ▪ 1．投资者仅依据投资收益率的均值和方差
作决策，投资者永不满足 ▪ 2．投资者对预期回报率、标准差和证券之
间的协方差具有相同的理解。 ▪ 3．单期（single period）投资
▪ 用无风险资产和风险资产组合e的线性组合将最优证 券组合表示；线性组合中的系数就是投资的权重
▪ 投资者之间，无差异曲线的不同将导致选择的最优组 合中，无风险P与有风险组合e的比例发生变化
▪ 愿意“冒险”的投资者，风险资产组合e的比例大
E (r )
CML
e＝ m
P0
rf
0
(~rp )
分离定理 separation theorem
▪ 强有效表明，即使是内线人（insider）也无法 垄断信息，研究者的成果与基金管理者对市场 的评估均已反映到市场价格中
▪ 一些学者用统计检验方法证明，对于半强有效， 在一些规范成熟的证券市场中成立
▪ 证券市场中许多异常现象（anormal phenomenon）说明，市场不符合强有效
▪ 在实际证券市场中应用CAPM，还有很大障碍
两个结论
▪ 引理4.1：如果投资者的效用函数u（·）是严格 递增和凹函数的时候，投资者一定不会持有期 望收益率＜rf的证券组合
▪ 定理4.1： 如果风险厌恶的投资者都具有严格 递增的效用函数，那么当所有风险资产都是严 格正的供给时，在CAPM假设下，市场证券组 合的风险溢价，一定是严格正的
E(~rm ) rf 0
▪ 从而， rf＜A/C一定成立
CML的方程式
▪ CML表示有效证券组合p的收益与风险之间 关系的函数
▪ 每个投资者的最优组合选择均取自该直线 ▪ 表达式中用到了市场组合的收益风险 ▪ 假定市场组合的收益风险可以计算出来 ▪ 从图上可以简单推导出该方程
E(~rp ) rf
E(~rm ) rf
m
p
源自文库
资本资产定价模型—CAPM
▪ 第三章结论：在市场均衡状态下，对任意 证券或组合q，可以用（3.35）定价
▪ 用市场组合m取代（3.35）中的前沿证券P
▪ 得到CAPM
▪ q的β系数
E(~rq ) rf
c
ov(~rm ,
2 (~rm
~rq )
)
(E(~rm
)
rf
)
mq (E(~rm ) rf
▪ 半强有效（semi-strong form efficiency）：信息集 包括所有公开的，投资者共知的所有信息；现在的 市场价格不仅反映了该证券过去的信息，而且还反 映了有关该证券的所有公布于众的信息
▪ 强有效（strong form efficiency）：信息集包括 任何市场参与者所掌握的一切信息；现在的市 场不仅反映了有关该证券过去的信息和公布于 众的信息，而且还反映任何交易者掌握的私人 信息