第1课时-正比例函数的图象和性质PPT精品课件
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1正比例函数的图象和性质ppt
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象 是一条经过原点的直线; 我们称它为直线y=kx.
当k ＞0时，直线y=kx经过第一、三象限， 图像从左向右上升, 即y随x的增大而增大;
当k ＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，
从左向右下降， 即y随x的增大而减小.
画正比例函数的图象时，怎样画最简便?为什么？ 两点法：过点（0，0）和（1，k）画一条直线 ， 即得y=kx (k≠0）的图像
x
-1
-2
寻找上面两个函数图象的相
同点和不同点，考虑两个函数的 变化规律.
-3
-4 y= -2x
x … -2 -1 0 1 2 …
y y=2x
y=2x … -4 -2 0 2 4 …
5 4
y=-2x … 4 2 0 -2 -4 …
3
2
1
观察两个图象
共同点：都是经过原点的直线
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
画一画
用你认为最简单的方法画出 下列函数的图象:
(1)y= 3x (2)y =
3 2
x
1、过点(0 , 0) , (1 , 3)画直线,得
y= 3x的图象
2、过点(0 , 0) , (1 , 3 )画直线,
得y=
3 2
x的图象
2
y
5 4 3 2
1
-3 -2 -1 0 -
12 -3
4
y=3x
x
1 23
已知正比例函数的图象经过点－ 3,2 3 ， (1)若点A a, 2 , B 3,b 在图象上，求
a和b的值
（2）过图象上一点P做y轴的垂线，垂足
Q 0,－ 15 ，求S△OPQ.
当k ＞0时，直线y=kx经过第一、三象限， 图像从左向右上升, 即y随x的增大而增大;
当k ＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，
从左向右下降， 即y随x的增大而减小.
画正比例函数的图象时，怎样画最简便?为什么？ 两点法：过点（0，0）和（1，k）画一条直线 ， 即得y=kx (k≠0）的图像
x
-1
-2
寻找上面两个函数图象的相
同点和不同点，考虑两个函数的 变化规律.
-3
-4 y= -2x
x … -2 -1 0 1 2 …
y y=2x
y=2x … -4 -2 0 2 4 …
5 4
y=-2x … 4 2 0 -2 -4 …
3
2
1
观察两个图象
共同点：都是经过原点的直线
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
画一画
用你认为最简单的方法画出 下列函数的图象:
(1)y= 3x (2)y =
3 2
x
1、过点(0 , 0) , (1 , 3)画直线,得
y= 3x的图象
2、过点(0 , 0) , (1 , 3 )画直线,
得y=
3 2
x的图象
2
y
5 4 3 2
1
-3 -2 -1 0 -
12 -3
4
y=3x
x
1 23
已知正比例函数的图象经过点－ 3,2 3 ， (1)若点A a, 2 , B 3,b 在图象上，求
a和b的值
（2）过图象上一点P做y轴的垂线，垂足
Q 0,－ 15 ，求S△OPQ.
4.正比例函数的图象和性质-北师大版八年级数学上册课件
解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k+1>0， 解得k>-1. （2）若函数图象经过点（2，4），则k_=_1___.
解析：将坐标（2，4）带入函数表达式中，得4=(k+1)·2， 解得k=1.
练一练
1.已知正比例函数y=kx (k>0)的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2）， 若x1<x2，则y1 < y2.
4.已知正比例函数y=(2m+4)x. （1）当m ＞-2 ，函数图象经过第一、三象限； （2）当m <-2 ，y 随x 的增大而减小； （3）当m =0.5 ，函数图象经过点（2，10）.
5. 如图分别是函数y=k1 x，y=k2 x，y=k3 x，y=k4 x的图象.
（1）k1 ＜ k2，k3 ＜ k4(填“>”或“<”或“=”)；
3.什么是函数值？函数的图像？
一 正比例函数的图象的画法 例1：画出下面正比例函数y=2x的图象. 画函数图象的一般步骤： 解： ①列表
②描点 ③连线
以表中各组对应值作为点的坐标，在 直角坐标系内描出相应的点
练一练
1.请你画出y=-3x 的图像，并思考以下几个问题. （1）请你列出几个满足y=-3x 的x，y所对应的点(x，y)，并 在图像上描出来，视察它们都在y=-3x 的图像上吗？
7. 已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15 L．所使用的汽油 为5元/ L ． （1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间 的函数关系式. （2）在平面直角坐标系内描出大致的函数图象. （3）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少.
解：（1）y=5×15x/100，
即
（2）用不等号将k1， k2， k3， k4及0依次连接起来．
解析：将坐标（2，4）带入函数表达式中，得4=(k+1)·2， 解得k=1.
练一练
1.已知正比例函数y=kx (k>0)的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2）， 若x1<x2，则y1 < y2.
4.已知正比例函数y=(2m+4)x. （1）当m ＞-2 ，函数图象经过第一、三象限； （2）当m <-2 ，y 随x 的增大而减小； （3）当m =0.5 ，函数图象经过点（2，10）.
5. 如图分别是函数y=k1 x，y=k2 x，y=k3 x，y=k4 x的图象.
（1）k1 ＜ k2，k3 ＜ k4(填“>”或“<”或“=”)；
3.什么是函数值？函数的图像？
一 正比例函数的图象的画法 例1：画出下面正比例函数y=2x的图象. 画函数图象的一般步骤： 解： ①列表
②描点 ③连线
以表中各组对应值作为点的坐标，在 直角坐标系内描出相应的点
练一练
1.请你画出y=-3x 的图像，并思考以下几个问题. （1）请你列出几个满足y=-3x 的x，y所对应的点(x，y)，并 在图像上描出来，视察它们都在y=-3x 的图像上吗？
7. 已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15 L．所使用的汽油 为5元/ L ． （1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间 的函数关系式. （2）在平面直角坐标系内描出大致的函数图象. （3）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少.
解：（1）y=5×15x/100，
即
（2）用不等号将k1， k2， k3， k4及0依次连接起来．
沪科版八年级数学上册第12章教学课件：12.2 第1课时 正比例函数的图象和性质(共31张PPT)
4.已知正比例函数y=(2m+4)x. （1）当m ＞-2 ，函数图象经过第一、三象限； （2）当m <-2 ，y 随x 的增大而减小； （3）当m =0.5 ，函数图象经过点（2，10）.
5. 比较大小：
（1）k1 ＜ k2；（2）k3 ＜ k4； （3）比较k1， k2， k3， k4大小，并用不等号连接．
的大小关系是（A ） A. k1>k2 B. k1=k2
y y=k1x y=k2x
C. k1<k2 D. 不能确定
ox
例4： 已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）， 且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.
解：因为正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）, 所以4=m·m，解得m=±2. 又y的值随着x值的增大而减小， 所以m<0，故m=－2.
③连线
y=-3x
y 4
y=2x
3
这两个函数图象有
2
什么共同特征？
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x -1
-2
-3
-4
归纳总结
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y=kx(k≠0)
经过的象限
k＞0
第一、三象限
k＜0
第二、四象限
两点 作图法
由于两怎点样确画定正一比条例直函线数，的画图正象比例函数 图象时最我简们单只？需为描什点么(0？，0)和点 (1，k) ，连线即可.
当堂练习
1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（ B ）
y
y
y
y
ox ox
o x ox
2.对于正比例函数y =（k-2）x，当x 增大时，y 随
5. 比较大小：
（1）k1 ＜ k2；（2）k3 ＜ k4； （3）比较k1， k2， k3， k4大小，并用不等号连接．
的大小关系是（A ） A. k1>k2 B. k1=k2
y y=k1x y=k2x
C. k1<k2 D. 不能确定
ox
例4： 已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）， 且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.
解：因为正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）, 所以4=m·m，解得m=±2. 又y的值随着x值的增大而减小， 所以m<0，故m=－2.
③连线
y=-3x
y 4
y=2x
3
这两个函数图象有
2
什么共同特征？
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x -1
-2
-3
-4
归纳总结
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y=kx(k≠0)
经过的象限
k＞0
第一、三象限
k＜0
第二、四象限
两点 作图法
由于两怎点样确画定正一比条例直函线数，的画图正象比例函数 图象时最我简们单只？需为描什点么(0？，0)和点 (1，k) ，连线即可.
当堂练习
1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（ B ）
y
y
y
y
ox ox
o x ox
2.对于正比例函数y =（k-2）x，当x 增大时，y 随
4.3 一次函数的图象(第1课时)正比例函数的图象和性质课件(31张PPT) 北师大版八年级数学上册
列表、描点、连线。
y = -3x
y
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
-2
-3
-4
y = 2x
这两个函数图
象有什么共同
特征？
1 2 3 4 5 x
归纳总结
y = kx (k 是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y = kx (k≠0)
经过的象限
k＞0
第一、三象限
k＜0
两点
作图法
第二、四象限
15 x
，即
解：
（1） y 5
100
（2）列表 x
0
y
0
描点
连线
（3）当 x = 220 时，
.
4
3
y/元
6
5
4
3
2
1
（元）. O
1 2 34 56 7
答：该汽车行驶 220 km 所需油费是 165 元．
x/km
画正比例函数图象的一般
步骤：列表、描点、连线
正比例函
数的图象
和性质
图象：经过原点的直线.
(x2，y2)，若 x1＜x2 ，则 y1 ＞ y2.
2. 正比例函数 y = k1x 和 y = k2x 的图象如图，则 k1 和 k2
y y = k1x
的大小关系是( A )
y = k2x
A. k1＞k2
B. k1 = k2
o
x
C. k1＜k2
D. 不能确定
例3 已知正比例函数 y = mx 的图象经过点 (m，4)，且
y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值.
解：∵正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)，
y = -3x
y
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
-2
-3
-4
y = 2x
这两个函数图
象有什么共同
特征？
1 2 3 4 5 x
归纳总结
y = kx (k 是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y = kx (k≠0)
经过的象限
k＞0
第一、三象限
k＜0
两点
作图法
第二、四象限
15 x
，即
解：
（1） y 5
100
（2）列表 x
0
y
0
描点
连线
（3）当 x = 220 时，
.
4
3
y/元
6
5
4
3
2
1
（元）. O
1 2 34 56 7
答：该汽车行驶 220 km 所需油费是 165 元．
x/km
画正比例函数图象的一般
步骤：列表、描点、连线
正比例函
数的图象
和性质
图象：经过原点的直线.
(x2，y2)，若 x1＜x2 ，则 y1 ＞ y2.
2. 正比例函数 y = k1x 和 y = k2x 的图象如图，则 k1 和 k2
y y = k1x
的大小关系是( A )
y = k2x
A. k1＞k2
B. k1 = k2
o
x
C. k1＜k2
D. 不能确定
例3 已知正比例函数 y = mx 的图象经过点 (m，4)，且
y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值.
解：∵正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)，
4.3 第1课时 正比例函数的图象和性质-(共23张PPT)
A．2
B．－2 C．4
D．－4
9．(2019－2020·揭阳期中)若函数y＝－3x＋a＋2
是正比例函数，则a＝ －2 ，y随x的增大而
减小 ．
10．已知正比例函数y＝(m－ 3 )x的图象上有 2
两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1<x2时，y1>y2. (1)求m的取值范围；
解：(1)由题意可知m－ 3 ＜0，解得m＜ 3 .
14．如图，三个正比例函数的图象分别对 应表达式：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx.将 a，b，c从小到大排列起来并用“＜”连接为
a<c<b .
15．已知某套餐内市话的收费标准是每分钟0.2元． (1)写出通话费用y(元)与通话时间x(分钟)之间的函 数关系式，并画出该函数的图象； (2)当x＝2时，y的值是 0.4 ； 当y＝5时，x的值是 25 . 解：(1)y＝0.2x(x≥0)， 函数图象如图所示．
第14题，|k|越大，函数图象变化越快． 第17题，确定点P的坐标时，应分 ∠APO＝90°和∠OAP＝90°两种情况 进行讨论．
知识点一 正比例函数的图象 1．正比例函数y＝x的大致图象是( C )
2．正比例函数y＝kx的图象如图所示， 则k的取值范围是( A ) A．k＞0 B．k＜0 C．k＞1 D．k＜1
3．(2019·陕西中考)若正比例函数y＝－2x的图象
经过点O(a－1，4)，则a的值为( A )
A．－1 B．0 C．1
知识点二 正比例函数的性质 7．(2019·大冶市期末)关于函数y＝2x，下列 说法错误的是( D ) A．图象经过(1，2) B．y随x的增大而增大 C．图象经过第一、三象限 D．当x＞0，y＜0
正比例函数的图象和性质课件
正比例函数的图象和性质 ppt课件
正比例函数的定义及公式，以及它在实际生活中的应用。图象和性质：与比 例系数的关系、定义域、值域、单调性、零点和特殊点，函数的极限。实例： 计算具体的正比例函数和解决实际问题。思考题和结论。
简介
正比例函数是一种重要的数学函数，它的图象和性质具有很多有趣的特点。 本课件将介绍正比例函数的定义及公式，并探讨它在实际生活中的应用。
思考题
如何确定一个函数是正比例函数？如何求正比例函数的比例系数？通过思考 这些问题，我们将加深对正比例函数的理解，并探索更多有关这一函数的性 质。
结论
通过总结正比例函数的特性和应用，我们将更好地理解这一重要的数学函数， 并认识考：《数学函数导论》、《正比例函数与实际应用》等。 网站及视频教程参考：数学学习网站、视频教程网站等。
图象
正比例函数的图象是一条直线，具有特殊的特征和规律。我们将研究正比例 函数的图象，并探讨它与比例系数的关系。
性质
正比例函数具有一些重要的性质，包括定义域、值域、单调性、零点和特殊 点，以及函数的极限。我们将了解这些性质，并分析它们的含义和应用。
实例
通过具体的计算和实际问题的解决，我们将深入理解正比例函数的应用。我们将计算具体的正比例函数，并使 用它们来解决各种实际问题。
正比例函数的图象和性质上课课件PPTppt文档
限.从左向右 呈下降状态 。
小结：
正比例函数y=kx的图象特征：
正比例函数y=kx的图象是一条经过原点的直线。
因此，画正比例函数图象时，只要再确定
一个点，过这点与原点画直线就可以了。
为什么？
两点法
正比例函数y=kx图像的画法
正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k)
y y= kx (k＞0)
y
练习1、在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图像：
y 1 x，
y
5
2
y x，
4
3
y 3x.
2
1
-4 -3 -2
k < 0时， y = k x的图像 在二、四象限且函数值 随 x 增加而减小.
-1 0 -1 -2 -3
-4
1 2 3 4 5x
y1x 2
y x
y 3x
练习2. 结合下图及第1题中的图像，就下面问题思考后回答：
y= kx
k
(k＜0)
01
x
两点法
01
x
k
例题解析 用两点法
例1. 在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图像：
y
1 2
X
x，y
1 2
x
y=x
… …
…
0 0
0
y x， Y=3x …
0
1
…
1
…
2
1
…
3
…
y 3x.
结合图像，就下面问题思考后回答：
当k > 0时y = k x的图像在一、三 象限且函数值也即y随 x 增加而 增加
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶 路程为y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系；
小结：
正比例函数y=kx的图象特征：
正比例函数y=kx的图象是一条经过原点的直线。
因此，画正比例函数图象时，只要再确定
一个点，过这点与原点画直线就可以了。
为什么？
两点法
正比例函数y=kx图像的画法
正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k)
y y= kx (k＞0)
y
练习1、在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图像：
y 1 x，
y
5
2
y x，
4
3
y 3x.
2
1
-4 -3 -2
k < 0时， y = k x的图像 在二、四象限且函数值 随 x 增加而减小.
-1 0 -1 -2 -3
-4
1 2 3 4 5x
y1x 2
y x
y 3x
练习2. 结合下图及第1题中的图像，就下面问题思考后回答：
y= kx
k
(k＜0)
01
x
两点法
01
x
k
例题解析 用两点法
例1. 在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图像：
y
1 2
X
x，y
1 2
x
y=x
… …
…
0 0
0
y x， Y=3x …
0
1
…
1
…
2
1
…
3
…
y 3x.
结合图像，就下面问题思考后回答：
当k > 0时y = k x的图像在一、三 象限且函数值也即y随 x 增加而 增加
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶 路程为y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系；
北师版初中数学八年级上册精品教学课件 第4章 3第1课时正比例函数的图象及性质
一次函数
3 第1课时 正比例函数的图象及性质
核心·重难探究
知识点一 正比例函数的图象及性质 【例1】 在同一直角坐标系内,画出函数y=-4x,y=-1.5x的图象,并根据图象 回答,随着x值的增大,哪个函数值减小得更快? 思路分析 画函数y=-4x的图象,需要经过哪两个点?画函数y=-1.5x的图象呢?
【解题规律】 函数图象上的任意点P(x,y)必满足该函数的表达式.反过来,满足函数表达 式的任意一对x,y的值,所对应的点一定在该函数的图象上.由此,我们可以 把正比例函数图象上的点的坐标代入所设正比例函数的表达式中,求出待 定系数,从而确定其函数表达式.
பைடு நூலகம் 本课结束
解 如图所示. 从图象可以看出,随着x值的增大,y=-4x的 函数值减小得更快.
【方法归纳】 画正比例函数y=kx的图象,一般选择过点(0,0)和(1,k)画直线.当自变量的系 数是分数时,点的选择要灵活,如画函数y=-1.5x的图象,可以选过点(0,0)和 (-2,3)画直线.
知识点二 确定正比例函数的表达式 【例2】 已知点(2,-3)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上,则y的值随x值的增 大而 减小 (填“增大”或“减小”). 思路分析 (1)如何求正比例函数的表达式? (2)怎样根据自变量的系数确定y的值随着x值的增大如何变化?
3 第1课时 正比例函数的图象及性质
核心·重难探究
知识点一 正比例函数的图象及性质 【例1】 在同一直角坐标系内,画出函数y=-4x,y=-1.5x的图象,并根据图象 回答,随着x值的增大,哪个函数值减小得更快? 思路分析 画函数y=-4x的图象,需要经过哪两个点?画函数y=-1.5x的图象呢?
【解题规律】 函数图象上的任意点P(x,y)必满足该函数的表达式.反过来,满足函数表达 式的任意一对x,y的值,所对应的点一定在该函数的图象上.由此,我们可以 把正比例函数图象上的点的坐标代入所设正比例函数的表达式中,求出待 定系数,从而确定其函数表达式.
பைடு நூலகம் 本课结束
解 如图所示. 从图象可以看出,随着x值的增大,y=-4x的 函数值减小得更快.
【方法归纳】 画正比例函数y=kx的图象,一般选择过点(0,0)和(1,k)画直线.当自变量的系 数是分数时,点的选择要灵活,如画函数y=-1.5x的图象,可以选过点(0,0)和 (-2,3)画直线.
知识点二 确定正比例函数的表达式 【例2】 已知点(2,-3)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上,则y的值随x值的增 大而 减小 (填“增大”或“减小”). 思路分析 (1)如何求正比例函数的表达式? (2)怎样根据自变量的系数确定y的值随着x值的增大如何变化?
正比例函数 第一课时 PPT课件(数学人教版八年级下册)
这时，列车尚未到达距离始发站 1100km的南京南站.
数学初中 正比例（第一课时）
问题3 1 这个问题中得到的函数解析式有什么特点？ 2 函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？
数学初中 正比例（第一课时）
问题3 1 这个问题中得到的函数解析式有什么特点？ 2 函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？
数学初中 正比例（第一课时）
问题2 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km． 设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
（3）乘京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否 已经过了距始发站1 100 km 的南京南站？
解：（3）高铁从北京南站出发2.5 h 的行程，是当t 2.5 是函数 y 300t 的值， 即 y 300 2.5 750 （km），
数学初中 正比例（第一课时）
问题2 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km． 设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站 上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
数学初中 正比例（第一课时）
问题2 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km． 设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
数学初中 正比例（第一课时）
认真观察这四个函数解析式，说说这些函数有什么共同点．
l 2r
m 7.8V h 0.5n T 2t
一般地，形如 y kx （ k 是常数， k 0 ）的函数，叫做正比例函数， 其中k 叫做比例系数．
数学初中 正比例（第一课时）
例1 下列式子中，哪些表示y 是x 的正比例函数？ （1）y=2x ； （2） y=- x ； （3）y=x2 ；
数学初中 正比例（第一课时）
问题3 1 这个问题中得到的函数解析式有什么特点？ 2 函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？
数学初中 正比例（第一课时）
问题3 1 这个问题中得到的函数解析式有什么特点？ 2 函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？
数学初中 正比例（第一课时）
问题2 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km． 设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
（3）乘京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否 已经过了距始发站1 100 km 的南京南站？
解：（3）高铁从北京南站出发2.5 h 的行程，是当t 2.5 是函数 y 300t 的值， 即 y 300 2.5 750 （km），
数学初中 正比例（第一课时）
问题2 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km． 设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站 上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
数学初中 正比例（第一课时）
问题2 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km． 设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问题：
数学初中 正比例（第一课时）
认真观察这四个函数解析式，说说这些函数有什么共同点．
l 2r
m 7.8V h 0.5n T 2t
一般地，形如 y kx （ k 是常数， k 0 ）的函数，叫做正比例函数， 其中k 叫做比例系数．
数学初中 正比例（第一课时）
例1 下列式子中，哪些表示y 是x 的正比例函数？ （1）y=2x ； （2） y=- x ； （3）y=x2 ；
正比例函数的图象与性质课件
THANKS
感谢观看
函数值的变化规律
总结词
正比例函数值随自变量的变化而变化
详细描述
对于正比例函数$y=kx$，当自变量 $x$增大或减小时，函数值$y$也会等 比例地增大或减小。
函数的极限状态
总结词
正比例函数的极限状态取决于函数的斜率
详细描述
正比例函数的极限状态是指当自变量$x$趋于无穷大或无穷小时，函数值$y$的极限状态。当$k>0$时，$y$的极 限为无穷大；当$k<0$时，$y$的极限为无穷小。
05
实例分析
实际应用场景
物理学中的速度与时间关系
正比例函数可以描述物体在恒定加速度下速度与时间的关系，即$v = v_0 + at$，其中$v_0$ 是初速度，$a$是加速度，$t$是时间。
经济学中的收入与工作时间关系
在经济学中，正比例函数可以用来描述收入与工作时间的关系，即$y = kx$，其中$y$是收 入，$k$是每小时的工资率，$x$是工作时间。
伸缩变换
正比例函数的图象可以在x轴和y轴方向上进行伸缩，但伸缩 不改变函数的性质。
04
正比例函数的性质
函数的增减性
总结词
正比例函数在定义域内具有单调性
详细描述
正比例函数是指形如$y=kx$（$k neq 0$）的函数，当$k>0$时，函数在定义域内 单调递增；当$k<0$时，函数在定义域内单调递减。
正比例函数的图象与性质 课件
• 引言 • 正比例函数的概念 • 正比例函数的图象 • 正比例函数的性质 • 实例分析 • 练习与思考
01
引言
主题简介
01
正比例函数是数学中一种基本的 函数类型，它描述了当一个变量 增加时，另一个变量按固定比例 增加的关系。
《正比例函数的图象与性质》PPT课件
第一、第三
象限的直线.
和
01
知识讲解
（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：
y=-4x
y=-1.5x
发现：这两个正比例函数的图象都是经过原点
和
第二、第四
象限的直线.
01
归纳
正比例函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过
原点的直线.我们称它为直线y=kx.
y=kx(k≠0)
经过的象限
（1）y=2x，y= ；
（2）y=-1.5x，y=-4x.
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下：
x
y
…
…
-3 -2 -1 0
-6 -4 -2 0
1
2
2
4
3 …
6 …
01
知识讲解
y=2x
②描点.
y=
③连线.
1
3
同样可以画出
1
函数y=3 的图象.
发现：这两个正比例函数的图象都是一条经过 原点
k＞0
第一、三象限
k＜0
第二、四象限
01
思考
画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比
例函数y=kx (k是常数，k≠0) 的图象.
画正比例函数的图象时，我们只需描点(0，0)和
点 (1，k)，连线即可.
02
练 一 练
LEARNING
OBJECTIVES
图象必经过的点
图象必经过（0，0）和（1，k）这两个点
谢谢观看！
1
（2）正比例函数y= -2x和y =-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中
象限的直线.
和
01
知识讲解
（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：
y=-4x
y=-1.5x
发现：这两个正比例函数的图象都是经过原点
和
第二、第四
象限的直线.
01
归纳
正比例函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过
原点的直线.我们称它为直线y=kx.
y=kx(k≠0)
经过的象限
（1）y=2x，y= ；
（2）y=-1.5x，y=-4x.
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下：
x
y
…
…
-3 -2 -1 0
-6 -4 -2 0
1
2
2
4
3 …
6 …
01
知识讲解
y=2x
②描点.
y=
③连线.
1
3
同样可以画出
1
函数y=3 的图象.
发现：这两个正比例函数的图象都是一条经过 原点
k＞0
第一、三象限
k＜0
第二、四象限
01
思考
画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比
例函数y=kx (k是常数，k≠0) 的图象.
画正比例函数的图象时，我们只需描点(0，0)和
点 (1，k)，连线即可.
02
练 一 练
LEARNING
OBJECTIVES
图象必经过的点
图象必经过（0，0）和（1，k）这两个点
谢谢观看！
1
（2）正比例函数y= -2x和y =-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中
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2
3
4
5x
归纳总结
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y=kx(k≠0)
经过的象限
k＞0
第一、三象限
k＜0
第二、四象限
两点 由于两点确定怎一样条画直正线比，例画函正数比的例图函象数最简单？
作图法 图象时我们只为需什描么点？(0，0)和点 (1，k)， 连线即可.
画一画
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
减小
4.已知正比例函数y=(2m+4)x. （1）当m ＞-2，函数图象经过第一、三象限；
（2）当m
<-2，y 随x 的增大而减小；
（3）当m =0.，5 函数图象经过点（2，10）.
5. 比较大小：
（1）k1 k＜2；（2）k3 k4； ＜ （3）比较k1， k2， k3， k4大小，并用不等号连接．
当k＞0时,
当k＜0时,
x增大时,y的值也增大； y随x的增大而增大
y y = 2x
x增大时,y的值反而减小. y随x的增大而减小
y = 2x
y
3
4
4
2
2
0 12 x
-6 -3 0
x
总结归纳
在正比例函数y=kx中， 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
x
是一次函数的是
，(2是),正(4)比例函数的是 .
(2)
2.函数有哪些表示方法?
它们之间有什么关系?
图象法、列表法、关系式法
三种方法可以相互转化 3.你能将关系式法转化成图象法吗?
什么是函数的图象?
讲授新课
一 正比例函数的图象的画法
典例精析
例1：画出下面正比例函数y=2x的图象.
解： ①列表
关系式法
y
解： k1＜k2 ＜k3 ＜k4
4
2
y =k4 x y =k3 x
-4 -2 O
2
4x
-2 y =k2 x
-4
y =k1 x
6. 已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15 L．所使用的汽油为5元/ L． （1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式. （2）在平面直角坐标系内描出大致的函数图象. （3）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少.
（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值 范围是____k_＞__-_1.
解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以 k+1>0，解得k>-1.
（2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.
=1
解析：将坐标（2，4）带入函数表达式中，得 4=(k+1)·2，解得k=1.
变式2：当x＞0时，y与x的函数解析式为y=2x ，
当x≤0时，y与x的函数解析为y=-2x ，则在同一直角
坐标系中的图象大致为( )
C
二 正比例函数图象的性质 画一画：在同一直角坐标系内画出正比例函数 y=x , y=3x, y=- x和 y=-4x 的图象. 1
2
这四个函数中,随着x 的增大,y的值分别如何 变化?
想一想：下列函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化?
当堂练习
1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（ ）
B
2.对于正比例函数y =（k-2）x，当x 增大时，y 随x 的增大而增大，
则k的取值范围 （ ）
C
A．k＜2
B．k≤2
C．k＞2
D．k≥2
3.函数y=-7x的图象经过第_________二象、限四，经过点
（__0_，__0_）_与点 （1,，-7y）随x的增大而_______.
• （1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大,y的值都增加了，其中哪一个增 加得更快？你能说明其中的道理吗？
• （2）正比例函数y=- x和y=-124x中，随着x值的增大,y的值都减小了，其中哪一 个减小得更快？你是如何判断的？
|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.
练一练
1.已知正比例函数y=kx (k>0)的图象上有两点（x1，y1）， （x2，y2），若x1<x2，则y1 y2. <
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
-4
-2
0
2
4
…
列表法
②描点 ③连线
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系 内描出相应的点
y=2x
要点归纳
画函数图象的一般步骤： ①列表
②描点
根据这个步骤画出函数y=3x的图象
③连线
y= - 3x
y 4
3
2 1
-5
-4
-3 -2
-1 0
1
-1
-2
-3
-4
y=2x
这两个函数图象有什么共 同特征？
图象：经过原点的直线. 当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经 过第二、四象限.
性质：当k>0时，y的值随x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
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解：（1）y=5×15x/100，
即
.0
y/元
（2） 列表
x
0
4
6
描点
y
0
3
5 4
连线
3
2
（3）当x=220时，
1
y 3 220 165（元）.
O 1 2 34 5 67
x/km
4
答：该汽车行驶220 km所需油费是165元．
课堂小结
正比例函数的 图象和性质
画正比例函数图象的一般步骤：列 表、描点、连线
（1） y=-3x；（2）
y 3 x. 2
y=-3x
x
0
1
y=-3x
0
-3
O
y3x 2
3
0
2
y 3x 2
例2 已知正比例函数y=(m+1)xm2 ，它的图象经过第 几象限？
解：
该函数是正比例函数
{ m 10 m2=1
m1
m+1=2>0
∴根据正比例函数的性质，k>0可得该图象经过一、三象限.
变式1： 已知正比例函数y=(k+1)x.
2. 正比例函数y=k1x和y=k2x的图象如图，则k1和k2的大小关系是（ ）
A k1>k2 C k1<k2
B k1=k2A D 不能确定
y y=k1x y=k2x
o
x
例3 已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值 的增大而减小，求m的值.
解：因为正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）, 所以4=m·m，解得m=±2. 又y的值随着x值的增大而减小， 所以m<0，故m=－2.
第四章 一次函数 4.3 一次函数的图象 第1课时 正比例函数的图象和性质
八年级数学·北师版
学习目标
1.理解函数图象的概念，掌握作函数图象的一般步骤．（重 点） 2.掌握正比例函数的图象与性质，并能灵活运用解答有关问 题．（难点）
知识回顾
1.在下列函数
(1 )y x 2 3 (2 )y 2 x(3)y4(4)y25x