步步高高考数学总复习10.ppt
《新步步高》高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)第四篇三角函数、解三角形、平面向量高考
3．三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限角 －α π－α π＋α 2π－α π2－α 正弦 －sin α sin α －sin α －sin α cos α 余弦cos α－cos α－cos αcos αsin α[问题2] cos 9π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－7π6＋sin21π的值为_______________________________． 3．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )， 减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π (k ∈Z )； y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )，减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________________． 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，tan2α＝2tan α1－tan 2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 5．解三角形 (1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 6．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________． 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________． 8．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________．9．几个向量常用结论(1)P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心； (2)P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； (3)向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；(4)|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．易错点1 忽视角的范围例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，则α＋β＝________. 错因分析 只考虑α，β为锐角． 没有注意到sin α＝55，sin β＝1010本身对角的范围的限制，造成错解． 解析 因为α，β为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又因为0＜α＋β＜π，所以α＋β＝π4.答案 π4易错点2 图象平移把握不准例2 已知函数f (x )＝sin(2x ＋π4)，为了得到函数g (x )＝cos2x 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度错因分析 ①没有将f (x )，g (x )化为同名函数；②平移时看2x 变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“x ”而言．解析 g (x )＝sin(2x ＋π2)＝sin[2(x ＋π8)＋π4]，∴y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度即可得到y ＝g (x )的图象．答案 A易错点3 三角函数单调性判断错误例3 求函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调区间．错因分析 由于受思维定势的影响，本题容易出现仍然按照函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间的判断方法进行，如认为当x 满足2k π－π2≤π4－23x ≤2k π＋π2(k ∈Z )时函数单调递增，就会求错函数的单调区间．解 原函数变形为y ＝－12sin(2x 3－π4)，令u ＝2x 3－π4，则只需求y ＝sin u 的单调区间即可，所以y ＝sin u 在2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )上单调递增；y ＝sin u在2k π＋π2≤u ＝2x 3－π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即3k π＋9π8≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z )上单调递减．故y ＝12sin(π4－2x 3)＝－sin u 的单调递减区间为[3k π－3π8，3k π＋9π8](k ∈Z )，单调递增区间为[3k π＋9π8，3k π＋21π8](k ∈Z )． 易错点4 解三角形忽视检验例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝ 3. (1)若角C ＝π3，则角A ＝________；(2)若角A ＝π6，则b ＝________.错因分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2，这样就出现漏解的错误．解析 (1)由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin A ＝a sin C c ＝12，又a ＜c ，所以A ＜C .所以A ＝π6.(2)由a sin A ＝c sin C， 得sin C ＝c sin A a ＝32，得C ＝π3或2π3，当C ＝π3时，B ＝π2，可得b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6，此时得b ＝1.答案 (1)π6(2)2或1易错点5 忽视向量共线致误例5 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________________________________________________________________． 错因分析 误认为θ为锐角⇔cos θ>0，没有排除θ＝0即两向量同向的情况． 解析 由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1<1， ∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1<5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠21．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( ) A.45B.35C ．－35D ．－452．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b3．(2015·东北三校联考)已知sin αcos α＝13，则cos 2(α＋π4)的值为( )A.12B.13C.16D.234．函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－π3，0]C ．[－2π3，－π6]D ．[－π3，－π6]5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32B.22C.12D ．－127．(2015·陕西省五校第一次联考)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →等于( )A ．－32B.32C ．－1D ．18．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．9．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为________．10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．学生用书答案精析3．三角函数、解三角形、平面向量要点回扣 [问题1] －15[问题2]22－33[问题3] ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) [问题4] －5665[问题5] 45° [问题6] ④ [问题7]125[问题8] ④ 查缺补漏1．D [因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5， 所以cos α＝x r ＝－45.]2．C [∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°， c ＝tan35°＝sin35°cos35°，又0<cos35°<1， ∴c >b >a .]3．C [∵sin αcos α＝13，∴sin2α＝2sin αcos α＝23，∴cos 2(α＋π4)＝1＋cos (2α＋π2)2＝1－sin2α2＝1－232＝16.]4．C [因为y ＝2sin(π6－2x )＝－2sin(2x －π6)，所以函数y ＝2sin(π6－2x )的单调递增区间就是函数y ＝sin(2x －π6)的单调递减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )，即函数y ＝2sin(π6－2x )的单调递增区间为[π3＋k π，5π6＋k π](k ∈Z ) 又x ∈[－π，0]，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[－π，0])的单调递增区间为[－2π3，－π6]．]5．B [由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2， 则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2， 即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝－1.] 6．C [∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.]7．D [DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，又DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB →＝(DA →＋13AB →)·(DA →＋AB →)＝DA →2＋13AB →2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB → ＝73－43|AD →|·|AB →|cos60°＝73－43×1×2×12＝1.] 8．27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin60°＝BC sin A ，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A . 又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin120°cos C －2cos120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°， 且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27. 9.19π2－1 解析 由题意可知A (π6，1)，B (2π3，－1)，OA →·OB →＝π6×2π3＋1×(－1)＝19π2－1.10．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14， 所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。
2020届【步步高】高考文科数学一轮总复习讲义
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集
符号
N
N*(或 N＋)
Z
有理数集 Q
实数集 R
答案 (1)C (2)0 或98
解析 (1)∵2－3 x∈Z，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，
又∵x∈Z，∴x 值分别为 5,3,1，－1，
故集合 A 中的元素个数为 4.
(2)若 a＝0，则 A＝23，符合题意； 若 a≠0，则由题意得 Δ＝9－8a＝0，解得 a＝98.
综上，a 的值为 0 或98. 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数
2.集合间的基本关系 关系
子集
自然语言
集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即 若 x∈A，则 x∈B)
符号语言 A⊆B(或 B⊇A)
Venn 图
真子集 集合相等
集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中
集合 A，B 中的元素相同或集合 A，B 互为子集
A B(或 B A) A＝B
A．{－1,1,5}
B．{－1,5}
C．{1,5}
D．{－1}
答案 A
解析 ∵A＝{－1,5}，B＝{－1,1}，
∴A∪B＝{－1,1,5}．
3．已知集合 A＝{x|x2－x－2≤0}，集合 B 为整数集，则 A∩B 等于( )
A．{－1,0,1,2}
【步步高】高考数学总复习 10.2排列与组合名师课件 理 新人教B版
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
解析
(1)× (2) × (3) √ (4) √（5）√（6）√
B
A
C
14
题型分类·深度剖析
题型一
排列问题
思维启迪 解析
【例 1】 有 4 名男生、5 名女生，
全体排成一行，问下列情形各有
多少种不同的排法？
(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；
思维启迪 解析 思维升华
解 (1)从余下的 34 种商品中， 选取 2 种有 C234＝561(种)， ∴某一种假货必须在内的不同 取法有 561 种．
(2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C334种或者 C335－C324＝C334 ＝5 984(种)． ∴某一种假货不能在内的不同 取法有 5 984 种．
思维启迪 解析
思维升华
题型分类·深度剖析
题型二
组合问题
【例 2】 某市工商局对 35 种商品进行 抽样检查，已知其中有 15 种假货．现 从 35 种商品中选取 3 种． (1)其中某一种假货必须在内，不同的 取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的 取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有 多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法 有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法 有多少种？
题型分类·深度剖析
题型三
排列与组合的综合应用问题
【例 3】 4 个不同的球，4 个不同 思维启迪 解析
的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有 1 个盒不放球，共有几种
放法？
Hale Waihona Puke (2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有
高中数学步步高大一轮复习讲义文科专题一PPT课件
故 f(x)的单调递增区间为(－∞，
－1)，(0，＋∞)，单调递减区
间为(－1,0)．
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高考题型突破
题型一
利用导数研究函数的单调性
【例 1】 设函数 f(x)＝x(ex－1) 思维启迪 解析 思维升华
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)，
－ax2.
令 g(x)＝ex－1－ax，
(1)若 a＝12，求 f(x)的单调区间； g′(x)＝ex－a.
思维启迪 解析 思维升华
(2)解 2xln x≥－x2＋ax－3， 则 设ha(≤x)2＝ln2lxn＋x＋x＋x＋3x，3x(x>0)， 则h′(x)＝x＋3x2x－1， ①当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)
单调递减， ②当x∈(1，＋∞)时，
h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切
－ax2. (1)若 a＝12，求 f(x)的单调区间；
(2)若当 x≥0 时，f(x)≥0，求 a
求出 f′(x)，分析函数的单 调性，得出结论．
的取值范围．
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高考题型突破
题型一
利用导数研究函数的单调性
【例 1】 设函数 f(x)＝x(ex－1)
－ax2. (1)若 a＝12，求 f(x)的单调区间；
(2)若当 x≥0 时，f(x)≥0，求 a
若 a≤1，则当 x∈(0，＋∞)时， g′(x)>0，g(x)为增函数，
的取值范围．
而 g(0)＝0，
从而当 x≥0 时，g(x)≥0，
即 f(x)≥0.
若 a>1，则当 x∈(0，ln a)时， g′(x)<0，g(x)为减函数，
【步步高】高考数学考前3个月(上)专题复习专题三第一讲等差数列与等比数列课件
解 设{an}的首项为 a1，公差为 d，
本 讲 栏
则aa11＋＋32dd＋aa11＋ ＋65dd＝＝0－，16，
目 开 关
即aa211＋＝8－da41d＋，12d2＝－16，
解得ad1＝＝2－8 或ad1＝＝－8，2，
因此 Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9) 或 Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9).
本 讲 栏 目 开 关
考点与考题
第一讲
第一讲 等差数列与等比数列
本
讲 栏
【考点整合】
目 开
1.等差数列
关 (1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数).
(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (3)前 n 项和公式：Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d.
(4)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2).
则 a1＋a10＝
()
本 A.7
B.5
C.－5
D.－7
讲 栏 目 开
解析 方法一 由题意得aa45＋ a6＝a7＝ a1qa41×q3＋ a1qa51＝q6＝ a21q29，＝－8，
关
∴qa31＝ ＝－ 1 2，
或q3＝－12， a1＝－8，
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
考点与考题
第一讲
故 a2＝a1＋d＝1. 答案 1
题型与方法
第一讲
题型一 等差数列的有关问题
本
讲 题型概述 等差数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考
栏
目 查等差数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重
开
关 要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的.
题型与方法
高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)-64省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
分组转化求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知数列{an}是 3＋2 解 由已知得，数列{an}的通项公式
－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24 为 an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n，
－1，…，写出数列{an}的通项 ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
裂项相消法求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 3】 在数列{an}中，a1＝1，
当 n≥2 时，其前 n 项和 Sn 满足 S2n＝anSn－12.
(1)求 Sn 的表达式； (2)设 bn＝2nS＋n 1，求{bn}的前
n 项和 Tn.
第(1)问利用 an＝Sn－Sn－1 (n≥2) 后，再同除 Sn－1·Sn 转化为S1n的 等差数列即可求 Sn.
题型分类·深度剖析
题型一
分组转化求和
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 已知数列{an}是 3＋2
－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24 先写出通项，然后对 分组后利用等差数列、等比数列
公式并求其前 n 项和 Sn.
的求和公式求解．
基础知识
题型分类
思想方法
∴S1n＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴Sn＝2n1－1. (2)∵bn＝2nS＋n 1＝2n－112n＋1
＝122n1－1－2n1＋1，
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
裂项相消法求和
思维启迪 解析 思维升华
高考数学一轮总复习 第十章 排列与组合
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
(1)从中任取4张，共有________种不同取法；
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
• 拓直展接提法高 求把解符排合列条应件用的问排题列的数主直要接方列法式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
故共有 C16C25C33＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题． 由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑 再分配，共有 C16C25C33A33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题． 先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不 妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步 取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，
拓展提高 组合问题常有以下两类题型：
法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人， 拓展提高 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还
是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；
正难则有反、A等价26种转化排的方法法 ，其他有 A55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)．
• 思路点拨 要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、 “至多”．
[解] (1)共有 C318＝816(种)． (2)共有 C518＝8 568(种)． (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418＋C318＝6 936(种)． (4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是 外科医生的选法种数，得 C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．
高考数学总复习 10.4随机事件的概率课件 人教版
【题后总结】1.在一定条件下，所要求的结果是否可能 发生是判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事 件的主要依据． 2．对于每一个球来说，其被取出的可能性是相等的， m 所以可应用公式P(A)＝ n 计算概率，其中n是全部事件总 数，m是事件A包含的基本事件的个数.
在箱子里装有十张卡片，分别写有1至10十个整数，从 箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中；
注意： m (1)P(A)＝ n 是等可能性事件概率的定义，同时也是计算 这种概率的基本方法．步骤是：①确定随机事件中等可能 性的基本事件是什么；②计算随机事件中所有基本事件的 可能性结果数n；③计算事件A中包含的基本事件的个数m； m ④利用定义计算事件A的概率，即P(A)＝ n .
(2)从集合的角度研究概率：在一次试验中，等可能出 现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元 素．各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集，包含 m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A.因此，从 集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数(记作 card(A))与集合I的元素个数(card(I))的比值，也就是P(A)＝ cardA m ＝ . cardI n
2．已知非空集合A、B满足A B，给出以下四个命题：
①若任取x ∈A，则x ∈B是必然事件；②若x∉A，则x ∈B 是不可能事件；③若任取 x∈B ，则 x∈A 是随机事件；④若 x∉B，则x∉A是必然事件． 其中正确的个数是( )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析：易知①③④正确，②错误．
答案：C
3．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中 的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率为( 1 A. 2 1 C.4 1 B. 3 1 D.5 )
(步步高)(新人教)高考数学第一轮复习精品课件集合与常用逻辑用语(共3课时,91页PPT)
1 4 则 a 8 a 2 ， ∴ 1 1 a 2 2 a
1 ∴- ＜a＜0； 2 当a>0时，若B A，如图,
1 1 a 2 a 2 则 , 1 a 4 2 2 a 0 a 2 . 1 综上知， 当B A时， a 2 . 2
解 A
①若a=0，则A=R
1 4 ②若a＜0，则A={x| ≤x＜- }; a a a 4 ③若a＞0,则A= {x|- ＜x≤ }. 1 a
（1）当a=0时，若AB，此种情况不存在. 当a＜0时，若A B，如图,
4 1 则 a 2 1 2 a
a 8 ∴
B.
1.（2008·山东，1）满足M {a1，a2，a3，aa2}的集合M的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
4
（B
）
解析
由题意知a1,a2必属于M,a3
M,a 不一定,故选B.
2.（2009·安徽怀远三中月考）若A={2，3，4 }B={x|x=m
论；④归纳结论.
UB)
画出满足条件的 Venn 图，如图，
由图可知A∩( UB)= .
题型一 集合的概念 bb 若a，b R，集合{1,a+b，a}={0， a
，b}，求
a的值. 【思维启迪】 能a+b=0，然后利用两集合相等的条件列出方程组，分别 b 求 a 出a 、b的值即可. 解 由{1,a+b,a}={0, ,b }可知a≠0, a b 0 则只能a+b=0,① 则有以下对应关系：
B
若A含有n个元素，则A的子集有 2n-1 ，A的非空真子集有 2n-2 个. 7.集合相等 若A B且B A，则A=B.
2017版新步步高高考数学大一轮复习讲义课件：第10章 推理与证明、复数 10.2
(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n＝k＋1时，必须用上归纳假设.
3.利用归纳假设的技巧
在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，
又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方
法都可以应用.
第三十七页，编辑于星期六：三点 八分。
失误与防范
第十章 推理与证明、复数
§10.2 数学归纳法
第一页，编辑于星期六：三点 八分。
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 答题模板系列 思想方法 感悟提高 练出高分
第二页，编辑于星期六：三点 八分。
基础知识 自主学习
第三页，编辑于星期六：三点 八分。
1
知识梳理
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1； 2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.
第三十八页，编辑于星期六：三点 八返分回。
练出高分
第三十九页，编辑于星期六：三点 八分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1.用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是( C)
3.数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，
a4后，猜想an的表达式是( ) B
A.3n－2
B.n2
C.3n－1
D.4n－3
解析 计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16. 可猜an＝n2，故应选B.
第四十二页，编辑于星期六解：三析点 八答分案。
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( D)
步步高高考数学总复习目录.ppt
人教A版数学（文）
第十编 统计、统计案例
§10.1 随机抽样
§10.2 用样本估计总体
§10.3 变量间的相关关系 §10.4 统计案例
单元检测十
第十一编 概率 §11.1 随机事件的概率
§11.2 古典概型
§11.3 几何概型
单元检测十一
下一页
人教A版数学（文）
第十二编 算法初步、推理与证明、复数 §12.1 算法与程序框图 §12.2 基本算法语句、算法案例 §12.3 流程图与结构图
§12.4 合情推理与演绎推理 §12.5 直接证明与间接证明 §12.6 数系的扩充与复数的引入 单元检测十二
返回
三角函数模型的简单应用 §4.5 两角和与差的正弦、余弦和正
切 单元检测四
§5.1 平面向量的概念及线性运算 §5.2 平面向量基本定理及坐标表示 §5.3 平面向量的数量积 §5.4 正弦定理和余弦定理 §5.5 正弦定理、余弦定理的应用 单元检测五
第六编 数 列 §6.1 数列的概念及简单表示法 §6.2 等差数列及其前n项和
§6.3 等比数列及其前n项和 下一页
人教A版数学（文）§6.4 数 Nhomakorabea的通项及求和 §6.5 数列的综合应用 单元检测六
第七编 不等式 §7.1 不等关系与不等式 §7.2 一元二次不等式及解法 §7.3 二元一次不等式（组）与简单的 线性规划问题 §7.4 基本不等式: ab a b
2
单元检测七
人教A版数学（文）
第一编 集合与常用逻辑用语 §1.1 集合的概念及其基本运算 §1.2 命题及其关系、充分条件与必 要条件 §1.3 简单的逻辑联结词、全称量词 与存在量词 单元检测一
第二编 函数与基本初等函数Ⅰ §2.1 函数及其表示 §2.2 函数的单调性与最大（小）值 §2.3
【步步高】高考数学总复习 第二章 2.2函数的单调性课件 理 北师大版.ppt
f(x)<0. (1)求 f(1)的值； (2)证明：f(x)为单调递减函数；
fx1与 fx2
C．－14≤a<0 D．－14≤a≤0
(2)已知 f(x)＝a2x，－xa≥x＋1，1，x<1， 满足对任意 x1≠x2，都有fxx11－－fx2x2
>0 成立，那么 a 的取值范围 是
________．
题型分类·深度剖析
题型二
利用函数的单调性求参数
【例 2】 (1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x 思维启迪 解析 答案 思维升华
∴y＝ x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为 [2，＋∞)．
题型分类·深度剖析
题型二
利用函数的单调性求参数
【例 2】 (1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x 思维启迪 解析 答案 思维升华
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增
的，则实数 a 的取值范围是( )
A．a>－14
B．a≥－14
单调递增函数，则实数 a 的取值范围为
A．(1，＋∞)
B．[4,8)
(B)
C．(4,8)
D．(1,8)
解析 (2)因为 f(x)是 R 上的单调递增函数，
a>1， 所以可得4－a2>0， a≥4－a2＋2.
解得4≤a<8，故选B.
题型分类·深度剖析
题型三
函数的单调性和最值
【例 3】 已知定义在区间(0， ＋∞)上的函数 f(x)满足 fxx21＝
f(x1)－ f(x2)，且当 x>1 时，
思维启迪 解析 思维升华
抽象函数的问题要根据题设 及所求的结论来适当取特殊
f(x)<0.
值，证明 f(x)为单调减函数的
【步步高】高考数学总复习 第二章 2.2函数的单调性课件 理 北师大版.ppt
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (2)求函数 y＝ x2＋x－6的单调区间．
(2)解 令 u＝x2＋x－6，y＝ x2＋x－6可以看作有 y＝ u与 u＝x2＋x－6 的复合函数． 由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
∵u＝x2＋x－6 在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是 增函数，而 y＝ u在(0，＋∞)上是增函数．
跟踪训练 1 (1)已知 a>0，函数 f(x)＝x＋ax (x>0)，证明：函 数 f(x)在(0， a]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数；
(1)证明 设 x1，x2 是任意两个正数，且 0<x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2＋xa2＝x1x－1x2x2(x1x2－a)． 当 0<x1<x2≤ a时，0<x1x2<a，又 x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 所以函数 f(x)在(0， a]上是减函数； 当 a≤x1<x2 时，x1x2>a，又 x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， 所以函数 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数．
f(x)<0. (1)求 f(1)的值； (2)证明：f(x)为单调递减函数；
fx1与 fx2
∴y＝ x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为 [2，＋∞)．
题型分类·深度剖析
题型二
利用函数的单调性求参数
【例 2】 (1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x 思维启迪 解析 答案 思维升华
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增
的，则实数 a 的取值范围是( )