上海市徐汇区位育中学2020-2021学年高三下学期开学数学试卷 (解析版)

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【附加15套高考模拟试卷】上海市位育中学2020届高三下学期期中考试数学试题含答案

上海市位育中学2020届高三下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数,01()ln ,0xx x f x x x x⎧≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =又有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围为（）A ．1(,0](,1)e -∞⋃B ．1(,0)(,1)e -∞⋃C ．1(,1)e D ．1[0,)e 2．设P 是椭圆22116925x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()22121x y ++=和()22121x y -+=上的点，则PM PN +的最小值、最大值分别为（） A ．18，24B ．16，22C ．24，28D ．20，263．已知函数()22cos 2463f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断错误的是（） A ．()f x 为偶函数B ．()f x 的图像关于直线4x π=对称C ．()f x 的值域为[]1,3-D ．()f x 的图像关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称4．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）由上表可得回归方程为ˆˆ10.2yx a =+，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为（） A ．118.2万元B ．111.2万元C ．108.8万元D ．101.2万元5．函数()log ()a f x x b =+大致图象如图所示，则函数()xg x a b =-图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数f （x ）＝ln （x 2+1）﹣e ﹣|x|（e 为自然对数的底数），则不等式f （2x+1）＞f （x ）的解集是（） A ．（﹣1，1）B ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ．11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．1(,1),3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭ 7．已知函数()22103104x x f x x x +=⎨+≥⎪⎩，＜，，点,A B 是函数()f x 图象上不同的两点，则(AOB O ∠为坐标原点）的取值范围是（） A ．50,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．50,12π⎛⎤⎥⎝⎦C ．70,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．70,12π⎛⎤ ⎥⎝⎦8．如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段CD AB ⊥,且满足2CD AD BD λ=⋅（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分9．如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点. 设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是()A ．3[B ．6[C ．62]33D ．22[310．已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=o，则椭圆的离心率e 的取值范围为A ．2B ．2[2C ．3D ．3[11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线350x y -=上，则7πtan sin(2)2θθ++= A ．1785 B ．1785-C ．1185D ．1185-12．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（）A ．33B ．33C ．93D ．93二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年上海市徐汇区西南位育中学高一(下)期中数学试卷

2020-2021学年上海市徐汇区西南位育中学高一（下）期中数学试卷试题数：27，总分：1501.（填空题，5分）扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___ ．2.（填空题，5分）已知θ=216°，它用弧度制表示应为___ 弧度．3.（填空题，5分）函数f（x）=lg（2x-3）的定义域为___ ．4.（填空题，5分）已知角α的终边经过点P（x，-6），且tanα=- 35，则x的值___ ．5.（填空题，5分）幂函数f（x）的图像经过点A（16，4），则幂函数f（x）的解析式为___ ．6.（填空题，5分）已知sinx= 23，x∈（π2，π），则角x=___ （用反三角函数符号表示）．7.（填空题，5分）函数f（x）=3cos2x+1（x∈R）的对称轴方程为___ ．8.（填空题，5分）若tanα= 12，则cos（2 α+π2）=___ ．9.（填空题，5分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40（米），并在点C测得塔顶A的仰角为30°．则塔高AB=___ （米）（保留根式）．10.（填空题，5分）已知cos(θ−π3)=35，θ∈(π2，π)，则cosθ=___ ．11.（填空题，5分）已知函数g（x）的图象与函数f(x)=log2(3x−1)的图象关于直线y=x对称，则g（3）=___ ．12.（填空题，5分）已知函数f(x)=1x+cosx，给出下列结论：① f（x）在（0，π]上无最大值；② 设F（x）=f（x）-f（-x），则F（x）为偶函数；③ f（x）在区间（0，2π）上有两个零点．其中正确结论的序号为 ___ .（写出所有正确结论的序号）13.（单选题，5分）在平面直角坐标系中，若角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴，终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A. sin(α+π2)B. cos(α+π2)C.sin（π+α）D.cos（π+α）14.（单选题，5分）“tanx=- √33”是“x= 5π6”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.（单选题，5分）设a为非零实数，则关于函数f（x）=x2+a|x|+1，x∈R的以下性质中，错误的是（）A.函数f（x）一定是个偶函数B.函数f（x）一定没有最大值C.区间[0，+∞）一定是f（x）的单调递增区间D.函数f（x）不可能有三个零点16.（单选题，5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜π2），−π4为函数f（x）的一个零点，x=π4是函数f（x）图像的一条对称轴，且函数f（x）在区间(π18，5π36)上单调，则ω的最大值为（）A.8B.9C.10D.1117.（问答题，10分）已知tanα=13，tanβ=12，且α，β∈(0，π4)．（1）求tan2α的值；（2）求2α-β值．18.（问答题，12分）已知函数f(x)=√2sin(x+π4)−13sinx．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）=2，求sin2x的值．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=6，b=14，．B=2π3（1）求sinA的值和△ABC外接圆半径；（2）求△ABC的面积．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2-2sin22x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期；个单位长度，再向上平移（2）若函数y=g（x）的图像是由函数y=f（x）的图像向右平移π81个单位长度得到的，求函数y=g（x）的单调递增区间．21.（问答题，12分）已知函数f(x)=2−4．3x+1（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；恒成立，求实数u的最大值．（2）对任意的x∈[1，5]，不等式f(x)≥u3x22.（问答题，12分）已知函数f（x）=|sinx|+|cosx（x∈R），函数g（x）=4sinxcosx+k（x∈R），设F（x）=f（x）-g（x）．是函数f（x）的一个周期：（1）求证：π2，π]上的最大值；（2）当k=0时，求F（x）在区间[π2（3）若函数F（x）在区间（0，π）内恰好有奇数个零点，求实数k的值．）上的函数y=3√3sinx的图象与y=3cos2x+2的23.（填空题，0分）设定义在区间（0，π2图象交于点P，则点P到x轴的距离为 ___ ．24.（填空题，0分）函数f（x）=x+ √1−x2（-1≤x≤1）的值域为 ___ ．25.（填空题，0分）在钝角三角形ABC中，1tanA +1tanB+2tanC=0，则tanC的最大值是___ ．26.（填空题，0分）设a1、a2∈R，且12+sina1+12+sin(2a2)=2，则|10π-a1-a2|的最小值等于 ___ ．27.（填空题，0分）不等式sin2πx•|sin2πx|＞cos2πx•|cos2πx|的解集为 ___ ．2020-2021学年上海市徐汇区西南位育中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：27，总分：1501.（填空题，5分）扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用扇形的面积计算公式即可得出．【解答】：解：因为扇形的半径r=2，弧长l=4，根据扇形的面积公式得，S= 12 lr= 12× 4×2=4．故答案为：4．【点评】：本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．2.（填空题，5分）已知θ=216°，它用弧度制表示应为___ 弧度．【正确答案】：[1] 65π【解析】：根据角度与弧度的换算公式，即可得解．【解答】：解：216°= 216°180°π rad= 65πrad．故答案为：65π．【点评】：本题考查弧度制，熟练掌握角度和弧度的换算公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．3.（填空题，5分）函数f（x）=lg（2x-3）的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（32，+∞）【解析】：根据对数函数的真数大于0，求出x的取值范围，即是定义域．【解答】：解：由对数的真数大于0，可得2x-3＞0，解得x＞32，故函数的定义域为（32，+∞），故答案为：（32，+∞）【点评】：本题考查了求函数的定义域的问题，解题时应根据对数函数的真数大于0，求出定义域，是基础题．4.（填空题，5分）已知角α的终边经过点P（x，-6），且tanα=- 35，则x的值___ ．【正确答案】：[1]10【解析】：由于tanα=yx，可以得到关于x的方程，求解即可．【解答】：解：由三角函数的定义可知，tanα=yx = −6x= −35，所以x=10．故答案为：10．【点评】：本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．5.（填空题，5分）幂函数f（x）的图像经过点A（16，4），则幂函数f（x）的解析式为___ ．【正确答案】：[1] f(x)=x 12（x≥0）【解析】：由题意利用幂函数的定义和性质，用待定系数法求出幂函数的解析式．【解答】：解：∵幂函数f（x）=xα的图像经过点A（16，4），∴16α=4，∴α= 12，故f(x)=x 12（x≥0），故答案为：f(x)=x 12（x≥0）．【点评】：本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．6.（填空题，5分）已知sinx= 23，x∈（π2，π），则角x=___ （用反三角函数符号表示）．【正确答案】：[1] π−arcsin23【解析】：本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案【解答】：解：∵sinx= 23，x∈（π2，π），∴x=π-arcsin 23．故答案为：π−arcsin23．【点评】：本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点表示出符合条件的角，反三角函数在新教材省份已经不是高中数学学习内容7.（填空题，5分）函数f（x）=3cos2x+1（x∈R）的对称轴方程为___ ．【正确答案】：[1]x= kπ2（k∈Z）【解析】：利用余弦函数的对称轴方程列式求解即可．【解答】：解：函数f（x）=3cos2x+1，令2x=kπ，k∈Z，解得x= kπ2（k∈Z），所以函数f（x）的对称轴方程为x= kπ2（k∈Z）．故答案为：x= kπ2（k∈Z）．【点评】：本题考查了余弦函数图象与性质的应用，余弦函数对称轴方程的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．8.（填空题，5分）若tanα= 12，则cos（2 α+π2）=___ ．【正确答案】：[1]- 45【解析】：利用同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式化简 cos（2 α+π2）为−2tanα1+tan2α，把tanα= 12代入运算求得结果．【解答】：解：∵tanα= 12，∴cos（2 α+π2）=-sin2α=-2sinαcosα= −2sinαcosα cos2α+ sin2α= −2tanα1+tan2α=- 45，故答案为- 45．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式的应用，属于中档题．9.（填空题，5分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40（米），并在点C测得塔顶A的仰角为30°．则塔高AB=___ （米）（保留根式）．【正确答案】：[1] 20√2【解析】：由已知得∠CBD=45°，CDsin∠CBD =BCsin∠BDC，从而BC=20√6，再由tan30°=ABBC=√33，能求出塔高AB．【解答】：解：因为∠BCD=75°，∠BDC=60°，所以∠CBD=45°，在△BCD中，根据正弦定理可知CDsin∠CBD =BCsin∠BDC，即40sin45°=BCsin60°，解得BC=20√6，在直角△ABC中，tan30°=ABBC =√33，所以AB=√33×20√6=20√2（米）．故答案为：20√2．【点评】：本题考查塔高的求法，是中档题，解题时要注意正弦定理的合理运用．10.（填空题，5分）已知cos(θ−π3)=35，θ∈(π2，π)，则cosθ=___ ．【正确答案】：[1] 3−4√310【解析】：先确定θ−π3的取值范围，再求得sin（θ−π3）的值，然后根据θ=（θ−π3）+ π3，结合两角和的余弦公式，即可得解．【解答】：解：因为θ∈(π2，π)，所以θ−π3∈（π6，2π3），所以sin（θ−π3）= √1−cos2(θ−π3) = 45，所以cosθ=cos[（θ−π3）+ π3]=cos（θ−π3）cos π3-sin（θ−π3）sin π3= 35× 12- 45× √32=3−4√310．故答案为：3−4√310．【点评】：本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和的余弦公式，同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．11.（填空题，5分）已知函数g（x）的图象与函数f(x)=log2(3x−1)的图象关于直线y=x 对称，则g（3）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：利用反函数的定义f（x）=3得x=2，所以f（2）=3，即g（3）=2．【解答】：解：∵函数g（x）的图象与函数f(x)=log2(3x−1)的图象关于直线y=x对称，∴对于函数f(x)=log2(3x−1)，令f（x）=3得：log2（3x-1）=3，∴3x-1=23=8，∴x=2，∴f（2）=3，即g（3）=2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查了反函数的定义及其性质，是基础题．12.（填空题，5分）已知函数f(x)=1x+cosx，给出下列结论：① f（x）在（0，π]上无最大值；② 设F（x）=f（x）-f（-x），则F（x）为偶函数；③ f（x）在区间（0，2π）上有两个零点．其中正确结论的序号为 ___ .（写出所有正确结论的序号）【正确答案】：[1] ① ③【解析】：直接利用函数的图象和性质，函数的单调性和函数的最值，函数的图象的交点和函数的零点的关系判断① ② ③ 的结论．【解答】：解：由于函数f(x)=1x+cosx，对于① ，函数y= 1x在（0，π]上单调递减，函数y=cosx在（0，π]上单调递减，故函数f（x）在区间（0，π]上只有最小值，无最大值，故① 正确；② 设F（x）=f（x）-f（-x）= 1x +cosx−(−1x)−cos(−x) = 12x，则F（x）为奇函数，故②错误；③ 对于f(x)=1x+cosx，令f（x）=0，即在同一坐标系中画出函数y=cosx和函数y= −1x在区间（0，2π）上的图象，如图所示：故这两个函数在同一坐标系内有两个交点，即函数有两个零点，故③ 正确．故答案为：① ③ ．【点评】：本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函数的单调性和函数的最值，函数的图象的交点和函数的零点的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.（单选题，5分）在平面直角坐标系中，若角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴，终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A. sin(α+π2)B. cos(α+π2)C.sin（π+α）D.cos（π+α）【正确答案】：D【解析】：由已知可得sinα＞0，co sα＜0，利用诱导公式化简各个选项即可得解．【解答】：解：因为角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴，终边在第二象限，所以sinα＞0，cosα＜0，所以sin（α+ π2）=cosα＜0，cos（α+ π2）=-sinα＜0，sin（π+α）=-sinα＜0，cos（π+α）=-cosα＞0．故选：D．【点评】：本题考查了诱导公式，任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题．14.（单选题，5分）“tanx=- √33”是“x= 5π6”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【正确答案】：B【解析】：本题为充要条件的判断，看两边谁能推出谁．【解答】：解：由x= 5π6，可推得tanx=- √33而由tanx=- √33，可推得x=kπ+ 5π6，k∈z有多个解，即不能推出x= 5π6故tanx=- √33是x= 5π6的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题为充要条件的判断，及三角函数的求值问题，属基础题．15.（单选题，5分）设a为非零实数，则关于函数f（x）=x2+a|x|+1，x∈R的以下性质中，错误的是（）A.函数f（x）一定是个偶函数B.函数f（x）一定没有最大值C.区间[0，+∞）一定是f（x）的单调递增区间D.函数f（x）不可能有三个零点【正确答案】：C【解析】：根据偶函数的定义，判断f（-x）=f（x）则函数为偶函数；根据函数图象开口向上，函数没有最大值；取特殊值法，然后结合函数图象，判定单调递增区间；把函数转化成方程解的问题解答即可．【解答】：解：（1）∵-x∈R∴f（-x）=（-x）2+a|-x|+1=x2+a|x|+1=f（x）∴函数f（x）一定是个偶函数．（2）∵二次函数f（x）=x2+a|x|+1，开口向上，所以函数f（x）一定没有最大值．（3）令a=-2，则f（x）=x2-2|x|+1画出如上图所示的函数图象，可知在区间[0，+∞）不是f（x）的单调递增区间，所以C项错误．（4）方程x 2+ax+1=0，Δ=a 2-4≥-4，此方称可能无解、一个解或者两个解，所以函数f （x ）=x 2+a|x|+1可能无零点、两个零点、或者四个零点．故选：C ．【点评】：本题考查了二次函数的奇偶性，通过图象观察最值以及单调性，数形结合有助于我们的解题，形象直观．16.（单选题，5分）已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（其中ω＞0， |φ|＜π2 ）， −π4 为函数f （x ）的一个零点， x =π4 是函数f （x ）图像的一条对称轴，且函数f （x ）在区间 (π18，5π36) 上单调，则ω的最大值为（） A.8 B.9 C.10 D.11【正确答案】：B【解析】：利用零点以及对称轴，求出ω为正奇数，即可排除选项A ，C ，然后分别验证ω=11和ω=9，即可得到答案．【解答】：解：由题意可得， {−π4ω+φ=k 1ππ4ω+φ=π2+k 2π，k 1，k 2∈Z ，则ω=2k+1，k∈Z ，故选项A ，C 错误；因为函数f （x ）在区间 (π18，5π36) 上单调，所以 5π36−π18=π12≤T2 ，解得ω≤12，若ω=11，φ= −π4 ，此时 f (x )=sin (11x −π4) ，f （x ）在 (π18，3π44) 上单调递增，在 (3π44，5π36) 上单调递减，不符合题意，故选项D错误；若ω=9时，−9π4+φ=kπ，k∈Z，因为|φ|＜π2，所以φ= π4，此时f（x）在区间(π18，5π36)上单调，符合题意，故选项B正确．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数性质的综合应用，函数零点的应用，正弦函数的单调性以及对称性的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知tanα=13，tanβ=12，且α，β∈(0，π4)．（1）求tan2α的值；（2）求2α-β值．【正确答案】：【解析】：（1）由正切的二倍角公式，得解；（2）根据两角差的正切公式计算tan（2α-β）的值，再判断2α-β的取值范围，然后用反三角函数表示结果即可．【解答】：解：（1）tan2α= 2tanα1−tan2α = 2×131−(13)2= 34；（2）∵ α，β∈(0，π4)，∴2α-β∈（- π4，π2），∵tan（2α-β）= tan2α−tanβ1+tan2αtanβ =34−121+34×12= 211＞0，∴2α-β∈（0，π2），∴2α-β= arctan211．【点评】：本题考查三角函数求值，熟练掌握二倍角公式，两角差的正切公式，反三角函数是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．18.（问答题，12分）已知函数f(x)=√2sin(x+π4)−13sinx．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）=2，求sin2x的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意，sinx≠0，所以，x≠kπ（k∈Z），从而得到结果．（Ⅱ）由f（x）=2，利用两角和的正弦公式化简可得cosx−sinx=13，平方化简可得sin2x 的值．【解答】：解：（Ⅰ）由题意，sinx≠0，…（2分）所以，x≠kπ（k∈Z）．…（3分）函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．…（4分）（Ⅱ）因为f（x）=2，所以√2sin(x+π4)−13=2sinx，…（5分）√2(√22sinx+√22cosx)−13 =2sinx，…（7分）cosx−sinx=13，…（9分）将上式平方，得1−sin2x=19，…（12分）所以sin2x=89．…（13分）【点评】：本题考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，求得cosx−sinx=13，是解题的关键．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=6，b=14，B=2π3．（1）求sinA的值和△ABC外接圆半径；（2）求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）直接由正弦定理可得a sinA=bsinB=2R ，代入数据即可求得答案；（2）根据三角函数变换可求得sinC ，进而利用三角形面积公式即可求得答案．【解答】：解：（1）由正弦定理可得 asinA=bsinB=2R ，则sinA= asinB b = 6×√3214 = 3√314 ，R= 2×√32=14√33；（2）由题可得cosB=- 12 ，cosA= √1−(3√314)2= 1314 ，所以sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB= 3√314 ×（- 12 ）+ 1314 × √32 = 5√314 ，则S △ABC = 12 absinC= 12 ×6×14× 5√314 =15 √3 ．【点评】：本题考查正弦定理的应用，考查三角形面积公式的求解，属于中档题． 20.（问答题，12分）已知函数f （x ）=（sin2x+cos2x ）2-2sin 22x （x∈R ）．（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若函数y=g （x ）的图像是由函数y=f （x ）的图像向右平移 π8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，求函数y=g （x ）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）先利用同角三角函数关系式、二倍角公式以及辅助角公式将函数的解析式化简，然后由三角函数的周期计算公式求解即可；（2）利用三角函数的图象变换求出函数g （x ）的解析式，然后由正弦函数的单调递增区间，列式求解即可．【解答】：解：（1）函数f （x ）=（sin2x+cos2x ）2-2sin 22x=sin4x+cos4x= √2sin (4x +π4) ，所以f （x ）的最小正周期为 2π4 = π2 ；（2）函数y=f （x ）= √2sin (4x +π4) 的图像向右平移 π8 个单位长度，可得函数 y =√2sin [4(x −π8)+π4]=√2sin (4x −π4) ，再向上平移1个单位长度，可得函数g （x ）= √2sin (4x −π4)+1 ，令 −π2+2kπ≤4x −π4≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得 −π16+kπ2≤x ≤3π16+kπ2，k ∈Z ，故函数y=g （x ）的单调递增区间为 [−π16+kπ2，3π16+kπ2] ，k∈Z ．【点评】：本题考查了同角三角函数关系式、二倍角公式以及辅助角公式的应用，三角函数的周期计算公式的应用，三角函数图象变换的应用，正弦函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）已知函数 f (x )=2−43x +1 ．（1）判断函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）对任意的x∈[1，5]，不等式 f (x )≥u3x 恒成立，求实数u 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由奇函数的定义，结合指数的运算性质，可得结论；（2）由参数分离和换元法、结合指数函数的单调性、对勾函数的单调性，以及不等式恒成立思想可得所求最大值．【解答】：解：（1）f （x ）为奇函数．理由：函数 f (x )=2−43x +1 = 2(3x −1)3x +1，而f （x ）的定义域为R ，且f （-x ）= 2(3−x −1)3−x +1 = 2(1−3x )1+3x =-f （x ），所以f （x ）为奇函数；（2）不等式 f (x )≥u3x 即为u≤2•3x -4•3x 3x +1 =2（3x +1）+ 43x +1-6，设t=3x +1，由x∈[1，5]，可得t∈[4，244]，则g （t ）=2t+ 4t -6在t∈[4，244]递增，可得g （t ）的最小值为g （4）=8+1-6=3，所以u≤3，即u 的最大值为3．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=|sinx|+|cosx（x∈R），函数g（x）=4sinxcosx+k（x∈R），设F（x）=f（x）-g（x）．（1）求证：π2是函数f（x）的一个周期：（2）当k=0时，求F（x）在区间[π2，π]上的最大值；（3）若函数F（x）在区间（0，π）内恰好有奇数个零点，求实数k的值．【正确答案】：【解析】：（1）由f（x+ π2）=f（x）即可得证；（2）令t=sinx-cosx= √2 sin（x- π4），t∈[1，√2 ]，可得sinxcosx= 1−t22，从而将函数F（x）转化为h（t）=2t²+t-2，t∈[1，√2 ]，利用二次函数的性质即可求解最大值；（3）讨论0＜x≤ π2时与π2＜x＜π时函数解析式，令k=sinx+cosx-4sinxcosx，换元，根据二次函数的单调性即可得出答案．【解答】：（1）证明：因为f（x+ π2）=|sin（x+ π2）|+|cos（x+ π2）|=|cosx|+|-sinx|=|cosx|+|sinx|=f（x），所以π2是函数f（x）的一个周期．（2）当k=0时，F（x）在区间[π2，π]上的解析式为F（x）=sinx-cosx-4sinxcosx，令t=sinx-cosx= √2 sin（x- π4），t∈[1，√2 ]，则sinxcosx= 1−t22，则F（x）=sinx-cosx-4sinxcosx可转化为h（t）=t-2（1-t²）=2t²+t-2，t∈[1，√2 ]，由二次函数的性质可得函数h（t）的最大值为h（√2）=2+ √2，所以当k=0时，F（x）在区间[π2，π]上的最大值为2+ √2．（3）当0＜x≤ π2时，设k=sinx+cosx-4sinxcosx，令t=sinx+cosx= √2 sin（x+ π4），则t∈1，√2 ]，k=t-2（t²-1）=-2t²+t+2，在t∈[1，√2 ]上为单调递减函数，可知当t=1时，即k=1时，此时x只有一个解；当t= √2 时，即k= √2 -2时，此时x 只有一个解；当1＜t ＜ √2 时，即 √2 -2＜k ＜1时，此时x 有两个解．当 π2 ＜x ＜π时，设k=sinx-cosx-4sinxcosx ，令t=sinx-cosx= √2 sin （x- π4 ），则t∈（1， √2 ]， k=t+2（t²-1）=2t²+t-2，在t∈（1， √2 ]上单调递增，则可知当1＜t ＜ √2 时，即1＜k ＜ √2 +2时，此时x 有两个解；当t= √2 时，即k= √2 +2时，此时x 只有一个解．综上可得，若函数F （x ）在区间（0，π）内恰好有奇数个零点，则k=1或 k =√2−2 或 k =√2+2 ．【点评】：本题主要考查三角函数的周期，三角函数的最值以及三角恒等变换，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．23.（填空题，0分）设定义在区间（0， π2 ）上的函数 y =3√3sinx 的图象与y=3cos2x+2的图象交于点P ，则点P 到x 轴的距离为 ___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：联立方程组求出sinx 的值，然后代入求出y 的值，即可求出点P 到x 轴的距离．【解答】：解：由 y =3√3sinx =3cos2x+2得： 3-6sin 2x-3 √3 sinx+2=0，即6sin 2x+3 √3 sinx-5=0，得sinx= −3√3+√27+12012 = −3√3+√14712 = −3√3+7√312 = 4√312 = √33， sinx=−3√3−√27+12012 = −3√3−√14712 = −3√3−7√312 =- 10√312 =- 5√36， ∵x∈（0， π2 ）， ∴sinx ＞0，∴sinx= √33 ，即点P 到x 轴的距离为y=3 √3 × √33 =3，故答案为：3．【点评】：本题主要考查三角函数的应用，联立方程组求出sinx 的值是解决本题的关键． 24.（填空题，0分）函数f （x ）=x+ √1−x 2 （-1≤x≤1）的值域为 ___ ．【正确答案】：[1] [−1，√2]【解析】：令x=cosθ，0≤θ≤π，则原函数化为y=cosθ+sinθ（0≤θ≤π），然后利用三角函数求值域．【解答】：解：由题意可设x=cosθ，0≤θ≤π，则y=cosθ+ √1−cos2θ=cosθ+|sinθ|=cosθ+sinθ= √2sin(θ+π4)，又π4≤θ+π4≤5π4，所以−√22≤sin(θ+π4)≤1，即−1≤y≤√2，所以函数值域为[−1，√2]．故答案为：[−1，√2]．【点评】：本题考查利用换元法及三角函数求值域，是中档题．25.（填空题，0分）在钝角三角形ABC中，1tanA +1tanB+2tanC=0，则tanC的最大值是___ ．【正确答案】：[1]- √3【解析】：由题意可得tanA+tanB=-2tanAtanBtanC，再利用诱导公式、两角和差的正切公式求得tanAtanB= 13，再根据tanC=- 32（ tanA+tanB），利用基本不等式求得它的最大值．【解答】：解：在钝角三角形ABC中，1tanA +1tanB+2tanC=0，可得tanA+tanBtanAtanB=-2tanC，即tanA+tanB=-2tanAtanBtanC，则tan（A+B）（1-tanAtanB）=-2tanAtanBtanC，即-tanC（1-tanAtanB）=-2tanAtanBtanC，所以tanAtanB= 13，则tanC=-tan（A+B）=- tanA+tanB1−tanAtanB =- 32（ tanA+tanB）≤- 32×2 √tanAtanB =- √3．当且仅当tanA=tanB时，取等号，故tanC的最大值是- √3．故答案为：- √3．【点评】：本题主要考查诱导公式、两角和差的正切公式，基本不等式的应用，考查运算能力，属于中档题．26.（填空题，0分）设a1、a2∈R，且12+sina1+12+sin(2a2)=2，则|10π-a1-a2|的最小值等于 ___ ．【正确答案】：[1] π4【解析】：由题意，要使 12+sinα1+ 12+sin2α2=2，可得sinα1=-1，sin2α2=-1．求出α1和α2，即可求出|10π-α1-α2|的最小值【解答】：解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[-1，1]，要使12+sinα1 + 12+sin2α2=2， ∴sinα1=-1，sin2α2=-1．则： α1=−π2+2k 1π ，k 1∈Z ．2α2=−π2+2k 2π ，即 α2=−π4+k 2π ，k 2∈Z ．那么：α1+α2=（2k 1+k 2）π −3π4，k 1、k 2∈Z ． ∴|10π-α1-α2|=|10π +3π4 -（2k 1+k 2）π|的最小值为 π4．故答案为： π4 ．【点评】：本题主要考查三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查． 27.（填空题，0分）不等式sin2πx•|sin2πx|＞cos2πx•|cos2πx|的解集为 ___ ．【正确答案】：[1] {x|k +18＜x ＜k +58，k ∈Z}【解析】：构造函数f （x ）=sinx|sinx|，先研究一个周期内的解集，将不等式转化为f （2πx ）＞f （2πx+ π2 ），得到关于x 的不等式，从而得到在整个定义域上的不等关系，求解即可．【解答】：解：令f （x ）=sinx|sinx| 先求不等式在一个周期内的解集，取这一个周期的区间为[0，2π]，因为sin2πx•|sin2πx|＞cos2πx•|cos2πx|等价于f （2πx ）＞f （2πx+ π2 ），所以 {2πx ＞π42πx +π2＜7π4 ，则在整个定义域上有 {2πx ＞π4+2kπ2πx +π2＜7π4+2kπ，k ∈Z ，解得 k +18＜x ＜k +58，k ∈Z ，所以不等式的解集为 {x|k +18＜x ＜k +58，k ∈Z} ．故答案为： {x|k +18＜x ＜k +58，k ∈Z} ．【点评】：本题考查了三角函数性质的应用，三角函数诱导公式的应用，三角函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．。

上海市位育中学2021届高三上学期期中考试数学试卷(2020.11)Word版含答案

位育中学高三期中数学试卷2021.11一. 填空题1. 设集合{|12}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤≤，那么AB = 2. 计算：1lim 31n n n →∞-+=- 3. 复数zi =，i 为虚数单位，那么z = 4. 函数3y x =，那么此函数的反函数是5. x 、y 满足202300x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，那么2z y x =-的最大值为6. 行列式129300a b c d =，那么a b c d = 7. 某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本， 6号、32号、45号职工在样本中，那么另一个在样本中的职工编号为8. 数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和记为n S ，假设233a a +=，3432a a +=，那么 9. 在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，那么每个工程都有该校教师参加的概率为〔结果用数值表示〕10. 1F 、2F是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60° 的直线与椭圆C 的一个交点为M ，假设1212||||MF MF MF MF +=-，那么椭圆C 的长轴长为11.点M 、N 在以AB 为直径的圆上，假设5AB =，3AM =，2BN =，那么AB MN ⋅=12. 球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB BC CA ====，PB =，点D 为 BC的中点，且PD =O 的体积为二. 选择题13. 以下不等式恒成立的是〔〕A.222a b ab +≤B. 222a b ab +≥-C.22a b +≥D. 22a b +≥-14. 假设函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线4x π=对称，那么a 的值为〔〕A. 1B. 1-15. 对于函数1(1)()2n f n +-=〔*n ∈N 〕，我们可以发现()f n 有许多性质，如：(2)1f k = 〔*k ∈N 〕等，以下关于()f n 的性质中一定成立的是〔〕A.(1)()1f n f n +-=B. ()()f n k f n +=〔*k ∈N 〕C.()(1)()f n f n f n αα=++〔0α≠〕D. (1)(1)()f n f n ααα+=-+〔0α≠〕16. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，假设函数()()g x f x x m =--有三个零点，那么实数m 的取值范围是〔〕 A.11(,)44- B. (12,21)--C.11(4,4)()44k k k -+∈ZD. (412,421)()k k k +-+-∈Z 三. 解答题17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，22AB AC ==，D 是AB 的中点. 〔1〕假设三棱柱111ABC A B C -的体积为33，求三棱柱111ABC A B C -的高；〔2〕假设12C C =，求二面角111D B C A --的大小.18. 函数4()31x f x a =-+〔a 为实常数〕. 〔1〕讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；〔2〕当()f x 为奇函数时，对任意的[1,5]x ∈，不等式()3x u f x ≥恒成立，求实数u 的最大值.19. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为503米、圆心为60°的扇形OAB 草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点M N 、在线段OB 上，另两个顶点P 、Q 分别在弧AB 、线段OA 上.〔1〕假设组成的红旗是长PN 与宽MN 的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积；〔2〕求组成的红旗图案的最大面积.20. 抛物线22(0)y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(,0)(0)T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.〔1〕求抛物线方程；〔2〕证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；〔3〕假设P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.21. 设数列{}n a 的各项都是正数，假设对于任意的正整数m ，存在k ∈*N ，使得m a 、m k a +、 2m k a +成等比数列，那么称数列{}n a 为“k D 型〞数列.〔1〕假设{}n a 是“1D 型〞数列，且11a =，314a =，求12lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+的值；〔2〕假设{}n a 是“2D 型〞数列，且1231a a a ===，88a =，求{}n a 的前n 项和n S ；〔3〕假设{}n a 既是“2D 型〞数列，又是“3D 型〞数列，求证：数列{}n a 是等比数列.参考答案一. 填空题1.{|02}x x ≤≤2.13-3.12i -4.y =5.36. 37. 198. 89. 4910.1212. 27 二. 选择题13. B14. A15. C16. C三. 解答题17.〔1〕6；〔2〕17. 18.〔1〕()f x 是奇函数；〔2〕max 3u =.19.〔12m ；〔2〕2. 20.〔1〕24y x =；〔2〕证明略；〔3〕2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩. 21.〔1〕2；〔2〕212222122n n n n n S n n -⎧-+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数；〔3〕证明略.。

2020-2021上海位育初级中学高三数学上期中一模试卷带答案

2020-2021上海位育初级中学高三数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸2．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（） A ．1B ．32C ．2D ．33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．4或5 4．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （）A ．18B ．34C ．23 D ．165．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（）A ．-3B ．1C ．-1D ．36．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形8．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（） A ．7B ．5C ．5-D ．7-9．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（） A ．2B ．92 C ．143D ．510．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（） A ．9B ．92C ．5D ．5211．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（） A ．32B ．36C ．38D ．4012．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（） A ．95B ．100C ．135D ．80二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,a b c +==，则ab 为．15．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．16．设0,0,25x y x y >>+=______.17．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 18．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 19．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．20．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．三、解答题21．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求A ；（2）若3,,2b ac 成等差数列，ABC ∆的面积为23，求a ． 22．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.23．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？24．已知函数()sin 2(0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间；（Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．25．已知函数()f x a b =⋅v v ，其中()()2cos 32,cos ,1,a x sin x b x x R ==∈v v．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,7a b c f A a ==2b c =，求ABC ∆的面积．26．等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==，所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-，所以1257 2.5a a d =+=尺。

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设全集U={-1，0，1，2，3}，若集合A={-1，0，2}，则A =___ ．2.（填空题，0分）不等式2−xx+3＞0的解集为___ ．3.（填空题，0分）函数f（x）= √x+2x−1的定义域是___ ．4.（填空题，0分）设a＞0且a≠1，b＞0，若log a b•log5a=3，则b=___ ．5.（填空题，0分）函数y=x2-1，x∈（-∞，0）的反函数为y=___ ．6.（填空题，0分）不等式log2x+2x＜2的解集为 ___ ．7.（填空题，0分）函数y= 12x−1的值域是 ___ ．8.（填空题，0分）若函数f（x）= {2x，x≤0−x2+m，x＞0的值域为（-∞，1]，则实数m的取值范围是___ ．9.（填空题，0分）函数y=f（x）的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数y=e x的图像关于y轴对称，则f（x）=___ ．10.（填空题，0分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则f（-1）的值为___ ．11.（填空题，0分）已知定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）是严格增函数，如果f （ax+1）≤f（2）对于任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是 ___ ．12.（填空题，0分）设f（x）=x-1，g（x）=- 4x ，若存在x1，x2，…，x n∈[ 14，4]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n-1）+g（x n）=g（x1）+g（x2）+…+g（x n-1）+f（x n）成立，则正整数n 的最大值为 ___ ．13.（单选题，0分）若函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），则方程f-1（x）=0（）A.有且只有一个实数解B.至少一个实数解C.至多有一个实数解D.可能有两个实数解14.（单选题，0分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A.a2＜b2B.ab2＜a2bC. 1ab2＜1a2bD. ba ＜ab15.（单选题，0分）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A.若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B.若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0C.若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0D.若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=016.（单选题，0分）已知函数y=f（x）的定义域为R，有下面三个命题，命题p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立，命题q1：y=f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立；命题q2：y=f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x）=0．则下列说法正确的是（）A.q1、q2都是p的充分条件B.只有q1是p的充分条件C.只有q2是p的充分条件D.q1、q2都不是p的充分条件17.（问答题，0分）设m为实数，f（x）=（m2-m-1）x-2m，已知幂函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是严格增函数，试求满足f（x）＞x13的x的取值范围．18.（问答题，0分）设f（x）=2x+a•2-x，其中a∈R．（1）若函数y=f（x）的图像关于原点成中心对称图形，求a的值；（2）若函数y=f（x）在（-∞，2]上是严格减函数，求a的取值范围．19.（问答题，0分）设f（x）=lg（2a-x），其中a为实数．（1）设集合A={x|y=f（x）}，集合B={y|y=-2x，x≤0}，若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若集合C={x|lg（x-1）+lg（3-x）=f（x）}中的元素有且仅有2个，求实数a的取值范围．20.（问答题，0分）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入aa+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每（单位：万元）满足P=80+4 √2a，Q= 14年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？21.（问答题，0分）对于函数y=f（x），若定义域中存在实数a、b满足b＞a＞0且f(a)=)≠0，则称函数y=f（x）为“P函数”．f(b)=2f(a+b2（1）判断y1=(x−1)2，x∈R是否为“P函数”，并说明理由；−k|，x∈(0，n)为“P函数”，且n的最小值为5，求（2）设n∈N且n＞0，若函数y2=|2x实数k的取值范围．2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，0分）设全集U={-1，0，1，2，3}，若集合A={-1，0，2}，则A =___ ．【正确答案】：[1]{1，3}【解析】：利用补集定义直接求解．【解答】：解：∵全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，2}，∴ A ={1，3}．故答案为：{1，3}．【点评】：本题考查了补集及其运算，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，0分）不等式2−xx+3＞0的解集为___ ．【正确答案】：[1]（-3，2）【解析】：把不等式2−xx+3＞0化为等价的不等式组{2−x＞0x+3＞0，或{2−x＜0x+3＜0，求出解集即可．【解答】：解：不等式2−xx+3＞0可化为{2−x＞0x+3＞0，或{2−x＜0x+3＜0，解得-3＜x＜2，或∅；∴不等式的解集为（-3，2）．故答案为：（-3，2）．【点评】：本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应把不等式2−xx+3＞0化为等价的不等式（组），求出解集即可，是基础题．3.（填空题，0分）函数f（x）= √x+2x−1的定义域是___ ．【正确答案】：[1]{x|x≥-2且x≠1}【解析】：由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】：解：由题意，要使函数有意义，则 {x −1≠0x +2≥0，解得，x≠1且x≥-2；故函数的定义域为：{x|x≥-2且x≠1}，故答案为：{x|x≥-2且x≠1}．【点评】：本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．4.（填空题，0分）设a ＞0且a≠1，b ＞0，若log a b•log 5a=3，则b=___ ．【正确答案】：[1]125【解析】：利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．【解答】：解：∵log a b•log 5a=3，∴ lgb lga • lga lg5 =3，∴ lgb lg5 =3，∴lgb=3lg5=lg125，∴b=125，故答案为：125．【点评】：本题考查对数的性质、运算法则及换底公式的应用，属于基础题．5.（填空题，0分）函数y=x 2-1，x∈（-∞，0）的反函数为y=___ ．【正确答案】：[1]- √x +1 ，x∈（-1，+∞）【解析】：由y=x 2-1，x∈（-∞，0）知y ＞-1，且可得x=- √y +1 ，x ，y 互换，得其反函数．【解答】：解：由y=x²-1，x∈（-∞，0），可得y ＞-1，且可得x=- √y +1 ，x ，y 互换，可得其反函数为y=- √x +1 ，x∈（-1，+∞）．故答案为：y=- √x +1 ，x∈（-1，+∞）．【点评】：本题考查反函数的定义，属于基础题．6.（填空题，0分）不等式log 2x+2x ＜2的解集为 ___ ．【正确答案】：[1]（0，1）【解析】：可设f（x）=log2x+2x-2，x∈（0，+∞），判断f（x）的单调性，求出f（x）的零点，从而求出不等式的解集．【解答】：解：由题意，设f（x）=log2x+2x-2，x∈（0，+∞）；则f（x）在定义域（0，+∞）上是单调增函数，且f（1）=log21+2-2=0，所以f（x）在定义域（0，+∞）有唯一的零点是1，所以f（x）＜0的解集为（0，1），即不等式log2x+2x＜2的解集为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】：本题考查了利用函数的单调性求不等式解集的应用问题，是基础题．7.（填空题，0分）函数y= 12x−1的值域是 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-1）∪（0，+∞）【解析】：直接利用指数函数的性质的应用求出结果、【解答】：解：由于2x∈（0，+∞），故2x-1∈（-1，0）∪（0，+∞）；12x−1∈(−∞，−1)∪(0，+∞)．故答案为：（-∞，-1）∪（0，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：指数函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.（填空题，0分）若函数f（x）= {2x，x≤0−x2+m，x＞0的值域为（-∞，1]，则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0，1]【解析】：根据指数函数的最值以及二次函数的性质求出f（x）的值域（-∞，1]，从而判断出a的范围即可．【解答】：解：x≤0时：f（x）=2x∈（0，1]．x＞0时，f（x）=-x2+m，函数的对称轴x=0，f（x）在（-∞，0）递增，∴f（x）=-x2+m＜m，函数f（x）= {2x，x≤0−x2+m，x＞0的值域为（-∞，1]，故0＜m≤1，故答案为：（0，1]．【点评】：本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道中档题．9.（填空题，0分）函数y=f（x）的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数y=e x的图像关于y轴对称，则f（x）=___ ．【正确答案】：[1]e-x-1【解析】：根据题意，由已知可得将函数y=e x的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单位长度，可得函数f（x）的解析式．【解答】：解：根据题意，函数y=2x的图象关于y轴对称的图象对应的解析式为：y=e-x，将其向左平移1个单位长度后的图象对应的解析式为：y=e-（x+1）=e-x-1，即f（x）=e-x-1，故答案为：e-x-1．【点评】：本题考查函数解析式的计算，涉及函数图象的平移变换规律，属于基础题．10.（填空题，0分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（-1）的值为___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由奇函数的性质得f（0）=0，代入解析式求出b的值，利用函数的奇偶性将f（-1）转化为f（-1）=-f（1），然后直接代入解析式即可．【解答】：解：∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=1+b=0，解得b=-1，则当x≥0时，f（x）=2x+2x-1，∴f（-1）=-f（1）=-（2+2-1）=-3，故答案为：-3．【点评】：本题考查了奇函数的结论：f（0）=0的灵活应用，以及函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性将f（-1）转化到已知条件上求解．11.（填空题，0分）已知定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）是严格增函数，如果f（ax+1）≤f（2）对于任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][- 32，12]【解析】：由题意可得|ax+1|≤2在x∈[1，2]恒成立，即x-3≤ax+1≤3-x ，即- 3x ≤a≤ 1x 在x∈[1，2]恒成立，运用函数的单调性求得最值，即可得到a 的取值范围．【解答】：解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是增函数，由f （ax+1）≤f （2）对于任意x∈[1，2]恒成立，可得|ax+1|≤2在x∈[1，2]恒成立，即-2≤ax+1≤2在x∈[1，2]恒成立，即- 3x ≤a≤ 1x 在x∈[1，2]恒成立，由y=- 3x 在x∈[1，2]上单调递增，可得y 的最大值为- 32 ；y= 1x 在x∈[1，2]上单调递减，可得y 的最小值为 12 ，则- 32 ≤a≤ 12 ，即实数a 的取值范围是[- 32 ， 12 ]．故答案为：[- 32 ， 12 ]．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性求最值，考查运算能力，属于中档题．12.（填空题，0分）设f （x ）=x-1，g （x ）=- 4x ，若存在x 1，x 2，…，x n ∈[ 14 ，4]，使得f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n-1）+g （x n ）=g （x 1）+g （x 2）+…+g （x n-1）+f （x n ）成立，则正整数n 的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：把已知等式变形，可得f （x 1）-g （x 1）+f （x 2）-g （x 2）+…+f （x n-1）-g （x n-1）=f （x n ）-g （x n ）成立，利用基本不等式求得f （x n ）-g （x n ）≥3，可得f （x n ）-g （x n ）≥3（n-1），由x n 的范围求得f （x n ）-g （x n ）∈[3， 654 ]，问题转化为3（n-1）≤ 654 ，由此即可求得正整数n 的最大值．【解答】：解：由题意知，存在x 1，x 2，…，x n ∈[ 14 ，4]，使得f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n-1）+g （x n ）=g （x 1）+g （x 2）+…+g （x n-1）+f （x n ）成立，即f （x 1）-g （x 1）+f （x 2）-g （x 2）+…+f （x n-1）-g （x n-1）=f （x n ）-g （x n ）成立．而f （x n ）-g （x n ）= x n −1+4x n ≥2√x n •4x n −1=3 ，当且仅当x n =2∈[ 14 ，4]时等号成立，又f（x1）-g（x1）+f（x2）-g（x2）+…+f（x n-1）-g（x n-1）=f（x n）-g（x n），∴f（x n）-g（x n）≥3（n-1），而x n∈[ 14，4]，即f（x n）-g（x n）∈[3，654]．∴仅需3（n-1）≤ 654成立即可，有n ≤7712，故正整数n的最大值为6．故答案为：6．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．13.（单选题，0分）若函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），则方程f-1（x）=0（）A.有且只有一个实数解B.至少一个实数解C.至多有一个实数解D.可能有两个实数解【正确答案】：C【解析】：利用函数定义可知每一个自变量都有唯一确定的一个数与之对应，再结合反函数的性质即可得到结论．【解答】：解：因为函数y=f（x）有反函数为y=f-1（x），所以y=f（x）是一个单射函数，设其定义域为I，故若0∈I，设f（0）=a∈R，由函数定义知a有唯一值，故f-1（a）=0只有一实数a，若0∉I，f（0）无意义，故不存在x，使得f-1（x）=0，故方程f-1（x）=0无解，综上：f-1（x）=0至多有一个实数解，故选：C．【点评】：本题考查反函数的定义，考查分类讨论思想，属于基础题．14.（单选题，0分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A.a2＜b2B.ab2＜a2bC. 1ab2＜1a2bD. ba ＜ab【正确答案】：C【解析】：由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项【解答】：解：A选项不正确，因为a=-2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为1ab2＜1a2b⇔a＜b，故当a＜b时一定有1ab2＜1a2b；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；故选：C．【点评】：本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．15.（单选题，0分）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A.若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B.若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0C.若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0D.若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0【正确答案】：B【解析】：画满足条件的函数图象排除不正确的选项【解答】：解：首先，设函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如下图：上图满足f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0，故A错误，B正确；其次，设函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如下图：上图满足f（a）f（b）＜0，但C都错误，D、根据零点存在定理，一定存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0，所以D错误，故选：B．【点评】：本题主要考查函数零点存在定理，画函数的图象研究函数的性质是常见的方法，突出说明数形结合思想的重要性．16.（单选题，0分）已知函数y=f（x）的定义域为R，有下面三个命题，命题p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立，命题q1：y=f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立；命题q2：y=f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x）=0．则下列说法正确的是（）A.q1、q2都是p的充分条件B.只有q1是p的充分条件C.只有q2是p的充分条件D.q1、q2都不是p的充分条件【正确答案】：A【解析】：先由命题q1成立时，利用单调性和函数值为正，结合不等式性质即推出命题p成立，再由命题q2成立时，利用单调性和函数零点，推出命题p成立，即得结果．【解答】：解：命题q1成立，即y=f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立，故取a＞0时，对任意的x∈R，x+a＞x，则f（x+a）＜f（x），f（a）＞0 即0＜f（a），故f（x+a）＜f（x）+f（a），即命题q1可推出命题p，即q1是p的充分条件；命题q2成立，y=f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x0）=0，故取a=x0＜0时，对任意的x∈R，x+a＜x，则f（x+a）＜f（x），f（a）=f（x0）=0，f （x+a）＜f（x）+f（a），即命题q2可推出命题p，即q2是p的充分条件；故q1、q2都是p的充分条件．故选：A ．【点评】：本题考查充分条件与必要条件，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．17.（问答题，0分）设m 为实数，f （x ）=（m 2-m-1）x -2m ，已知幂函数y=f （x ）在区间（0，+∞）上是严格增函数，试求满足f （x ）＞ x 13 的x 的取值范围．【正确答案】：【解析】：利用幂函数的定义和性质列方程组，求出m=-1．从而f （x ）=x 2，由此能求出满足f （x ）＞ x 13 的x 的取值范围．【解答】：解：设m 为实数，f （x ）=（m 2-m-1）x -2m ，∵幂函数y=f （x ）在区间（0，+∞）上是严格增函数，∴ {m 2−m −1=1，−2m ＞0，解得m=-1． ∴f （x ）=x 2，∵f （x ）＞ x 13 ，∴ x 2＞x 13，∴当x ＞0时，x ＞1；当x ＜0时，成立，∴满足f （x ）＞ x 13 的x 的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．【点评】：本题考查幂函数的运算，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.（问答题，0分）设f （x ）=2x +a•2-x ，其中a∈R ．（1）若函数y=f （x ）的图像关于原点成中心对称图形，求a 的值；（2）若函数y=f （x ）在（-∞，2]上是严格减函数，求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可知f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），从而可求得a的值；（2）由题意可得对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）-f（x2）＞0，从而可得2x1• 2x2＜a恒成立，求出2x1• 2x2的最大值，即可求解a的取值范围．【解答】：解：（1）因为函数y=f（x）的图像关于原点成中心对称图形，所以f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），即2-x+a•2x=-2x-a•2-x，即（a+1）（2x+2-x）=0，因为2x+2-x＞0，解得a=-1．（2）函数y=f（x）在（-∞，2]上是严格减函数，所以对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）-f（x2）＞0，）＞0恒成立，即f（x1）-f（x2）=（2x1 - 2x2）（1- a2x12x2＜0恒成立，即2x1• 2x2＜a恒成立，由2x1 - 2x2＜0，知1- a2x12x2由于当x1＜x2≤2时，（2x1• 2x2）max＜16，所以a≥16，即a的取值范围是[16，+∞）．【点评】：本题主要考查函数奇偶性与单调性的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，0分）设f（x）=lg（2a-x），其中a为实数．（1）设集合A={x|y=f（x）}，集合B={y|y=-2x，x≤0}，若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若集合C={x|lg（x-1）+lg（3-x）=f（x）}中的元素有且仅有2个，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据对数函数，指数函数的图象与性质求出A，B，再由子集的定义即可求解；（2）先得到2a=-x2+5x-3，且1＜x＜3，再求出g（x）=-x2+5x-3在1＜x＜3上的值域即可，【解答】：解：（1）A={x|y=f（x）}={x|y=lg（2a-x）}={x|x＜2a}，B={y|y=-2x，x≤0}={y|-1≤y＜0}，又B⊆A，∴2a≥0，∴a≥0，∴a的取值范围为[0，+∞）．（2）由C={x|lg（x-1）+lg（3-x）=f（x）}，得2a=-x2+5x-3，且1＜x＜3，设g（x）=-x2+5x-3，对称轴x= 52，则g（x）在（1，52）上单调递增，在（52，3）上单调递减，且g（52）= 134，g（1）=1，g（3）=3，若直线y=2a与函数g（x）=-x2+5x-3在（1，3）上恰有两个交点时，则3＜2a＜134，∴ 32＜a＜138．∴a的取值范围为（32，138）．【点评】：本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，也考查了集合的运算问题，二次函数求值域问题，属于中档题．20.（问答题，0分）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a （单位：万元）满足P=80+4 √2a，Q= 14a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？【正确答案】：【解析】：（1）由甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，把a的值代入即可得出．（2）f(x)=80+4√2x+14(200−x)+120=−14x+4√2x+250，依题意得{x≥20200−x≥20⇒20≤x≤180，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．【解答】：解：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，∴ f(50)=80+4√2×50+14×150+120=277.5万元．（2）f(x)=80+4√2x+14(200−x)+120=−14x+4√2x+250，依题意得{x≥20200−x≥20⇒20≤x≤180，故f(x)=−14x+4√2x+250(20≤x≤180)．令t=√x∈[2√5，6√5]，则f(x)=−14t2+4√2t+250=−14(t−8√2)2+282，当t=8√2，即x=128时，f（x）max=282万元．所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．【点评】：本题考查了函数的应用、二次函数的单调性，考查了换元方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，0分）对于函数y=f（x），若定义域中存在实数a、b满足b＞a＞0且f(a)= f(b)=2f(a+b2)≠0，则称函数y=f（x）为“P函数”．（1）判断y1=(x−1)2，x∈R是否为“P函数”，并说明理由；（2）设n∈N且n＞0，若函数y2=|2x−k|，x∈(0，n)为“P函数”，且n的最小值为5，求实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用反证法思想，假设y1=(x−1)2，x∈R是“P函数”，由已知条件得关于a，b的方程组，求解a，b的值，得到f（a）或f（b）=0，与已知矛盾；（2）对k分类讨论函数y2=|2x−k|，x∈(0，n)的单调性，可得只有当k＞0时符合题意，再由f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0运算得到a，b，k三者间的关系，结合题意得到关于a的不等式，进一步求得k的取值范围．【解答】：解：（1）若y1=(x−1)2，x∈R是“P函数”，则满足(a−1)2=(b−1)2=2(a+b2−1)2，∴ {a2−b2−2a+2b=0a2−b2−2ab+4b−2=0，两式相减得-2a+2ab+2b-4b+2=0，即ab-a-b+1=0．∴（b-1）（a-1）=0，则b=1或a=1，与f（a）=f（b）≠0矛盾，故y1=(x−1)2，x∈R不是“P函数”；（2）y2=|2x−k|，x∈(0，n)是“P函数”．① 若k≤0，则2x −k＞0，则y2=|2x−k|=2x−k在x∈（0，n）上单调递减，故不满足存在实数a、b满足b＞a＞1且f（a）=f（b），不合题意；② 若k＞0，∵g（x）= 2x −k，x∈（0，n）单调递减，且g（2k）=0，故x∈（0，2k ）时，f（x）=| 2x−k |单调递减，x∈（2k，+∞）时，f（x）=| 2x−k |单调递增，故a∈（0，2k ），b∈（2k，+∞），∴f（a）= 2a −k =f（b）=k- 2b=2f（a+b2），则k= 1a+1b，∴f（a）= 2a −1a−1b=1a−1b，则2f（a+b2）=2| 4a+b−k |=2| 4a+b−(1a+1b) |．若2[ 4a+b −(1a+1b) ]= 1a−1b，则8a+b=3a+1b=3b+aab，整理可得a2+3b2-4ab=0，得a=3b，不合题意；若2[ 4a+b −(1a+1b) ]= 1b−1a，则8a+b=3b+1a=3a+bab，整理可得3a2+b2-4ab=0，得b=3a，故k= 1a +1b=43a，2k=3a2，a= 43k．由（0，n）中存在实数a、b满足b＞a＞1且f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0，n的最小值为5，故在（0，5）中存在a满足f（a）=f（3a）=2f（2a），且4≤3a＜5，故4≤ k4＜5，得45＜k≤1．综上所述，实数k的取值范围是（45，1]．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的单调性及其应用，考查逻辑思维能力及推理论证能力，考查运算求解能力，属难题．。

2020-2021学年上海市徐汇区第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析

第二学期学习能力诊断卷高三年级数学学科一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．2. 参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．5. 若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7. 若行列式124cossin 022sin cos822x xx x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．9. 已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足2AN NM =u u u r u u u u r ．若AN x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则229x y +的最小值为____________．12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”．已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “1x >”是“11x<”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）（A ）21斛（B ）34斛（C ）55斛（D ）63斛15. 将函数1y x=-的图像按向量(1,0)a =r 平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8N A16. 过椭圆221(4)4x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（）（A ）一条射线（B ）两条射线（C ）双曲线的一支（D ）抛物线三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==．（1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2x xm f x ⋅+=是偶函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且FEA P:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=u u u u r u u u u r r．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在第一象限),设此时M F 1=1m F P ⋅u u u r.（1）求2W 的方程; （2）证明:1p x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ∆的面积S 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下：第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5…… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==L )．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++L ，求2017S 的值．参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}1,42. (1,0)3. []1,34. 15. 86. 7107. |2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1二、选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、解答题 17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=u u u r u u u r,--------4分设,PC AB u u u r u u u r的夹角为α，则cos 3PC AB PC AB α⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,--------5分所以，,PC AB u u u r u u u r的夹角为，即异面直线PC 与AB所成角的大小为.--------6分（2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =u u u r，--------8分又(0,2,0)BC =u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r，--------10分计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，--------12分所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PC BC C =I ，所以EF ⊥平面PBC.--------14分18、(1) 因为函数41()2x xm f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分即414122x x x xm m --⋅+⋅+=，即44122x x x xm m +⋅+=， ------------------------------4分故m=1. -----------------------------------------6分(2)241()0,3102x xf x k +=>+>，且22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，故原不等式等价于22131()k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分所以110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，----------------------------11分从而221312k k ≥+，----------------------------12分因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.-------------------------------------------------------------------14分 19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分在BPC ∆中，由正弦定理，得 sin sin 1CP BC BCCBP CPB ==∠∠，-----------4分又31BC AB =，sin sin ABP CBP∠=∠，--------------------------------------------6分故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分 (2)由:3:1BC AB =得AC=400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分由(1)，可设AP=2x ，则CP=3x ， ---------------------------------------------10分在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x)2+(3x)2-2(2x)(3x)cos1200，------12分解得19=，即无人机到丙船的距离为275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=u u u u r u u u u r r知，F 2、A 、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称，故AB 所在直线为x=1，从而得(1,2A，(1,2B -.--------------2分所以，221112a b-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=，解得2212a b ==.CB AP---------------------------------------------------------------3分因此，2W 的方程为2211122x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P(x p ,y p )、M(x M ,y M )，得1F P u u u r =(x p +1,y p )，1F M u u u u r=(x M +1,y M )，由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p M px mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分由P(x p ,y p )、M(x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩，消去y p ，得2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分将1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=，因为1m >,所以143p mx m-=<-1，舍去. 所以，1p x m=. -----------------------------------------------------8分从而P 点坐标为(1m)，所以，直线2PF的斜率2PF k =，-------------------------------------9分由1M p x mx m m =+-=,得M(m所以，直线2MF的斜率2MF k =.--------------------10分因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故N (m 1,1m-212-m ), -----------------------------12分因此，S=21⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21⨯2(212-m +m 1212-m ) =212-m +2211m -，-----------14分因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分所以,S的取值范围是)+∞.----------------------------------------------------16分21、解：（1）当2k ≥时，1211k k t t t t -=+++L ，----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++L ，于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分所以12k k t -=，故21122221k kk T -=++++=-L . ---------------4分（2）由12k k t -=得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-------6分70773*******n T =+=-+=，-----7分从而，020073n a a a ==，由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知7310a a ==2，--------------------------------------------------------9分所以，02n a =.--------------------------------------------------------------10分（3）由于数表的前n 行共有21n -个数，于是，先计算21n S -.方法一：在前21n -个数中，共有1个n ，2个1n -，22个2n -，……，2n-k个k ，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分因此21n S -=n ×1+(n-1)×2+…+ k ×2n-k+…+2×2n-2+1×2n-1则2×21n S -=n ×2+(n-1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n两式相减，得21n S -=n -+2+22+…+2n-1+2n＝2n+1-n-2. ------------15分方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分则21n S -+n+2=2(121n S --+n+1)，即数列{21n S -+n+2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列,所以21n S -+n+2＝4×2n-1，即21n S -=2n+1-n-2. ------------------------------15分S 2017=1021S -+S 994-----------------------------------------------------------------16分=1021S -+921S -+S 483=1021S -+921S -+821S -+S 228＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101=1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5) =3986.------------------------------------------------------------------------18分。

上海位育中学高三下学期数学周测及答案(2024.03)

1位育中学2023学年第二学期高三数学周练12024.03一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．已知集合{2,3,5}A =，{1,5}B =，则A B ∪= ． 2．设i 是虚数单位，则67i i ++ 3．函数2lg()3x y x −=+的定义域为．4．已知2x y +=，则()y x y −的最大值为． 5．设X 服从二项分布1(10,)3B ，则[]E X = ．6．若二项式3()n x x +的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为．7．已知函数()y f x =的对称中心为(0,1)，若函数1sin y x =+的图象与函数()y f x =的图象共有6个交点，分别为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则()61,i i i x y =∑= ．8．已知322()3f x x mx nx m =+++，函数()y f x =在1x =−处取得极值0，则m n += ．9．R 上的函数()y f x =满足()2(1)f x f x =+，且当[1,0)x ∈−时，()(1)f x x x =−+．若对任意[,)x ∈λ+∞，不等式3()4f x ≤恒成立，则实数λ的最小值是．10．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 在正方体的12条棱上（包括顶点）运动，则AC BP ⋅的取值范围是．11．如图，椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为，左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上第一象限的一个点A 满足：直线1F A 与直线x =的交点为B ，直线x =与x 轴的交点为C ，且射2线2BF 为ABC ∠的角平分线，则12F AF ∆的面积为．12．已知正实数,,,a b c d 满足210a ab −+=，221c d +=，则当22()()a c b d −+−取得最小值时ab = ．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~l6题每题5分）13．如果0,0a b >＜，那么下列不等式中正确的是（） A ．a b ＞BC ．22a b ＜D ．11a b＜14．已知a ，b 是平面内两个非零向量，那么“a b∥”是“存在0λ≠，使得||||||a b a b +λ=+λ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D −中，M 是棱1AA 上一点，若平面1MBD 与棱1CC 交于点N ，则下列说法中正确的是（）A ．存在平面1MBND 与直线1BB 垂直 B ．四边形1MBND 可能是正方形C ．不存在平面1MBND 与直线11A C 平行 D ．任意平面1MBND 与平面1ACB 垂直 16．函数()y f x =满足：对于任意x R ∈都有()()x f x f a =，（常数0a ＞，1a ≠）．给出以下两个命题：①无论a 取何值，函数()y f x =不是(0,)+∞上的严格增函数；②当01a ＜＜时，存在无穷多个开区间12,,,,n I I I ，使得12n I I I ⊃⊃⊃⊃ ，且集合1{|(),}{|(),}n n y yf x x I y y f x x I +=∈==∈对任意正整数n 都成立，则（）A ．①②都正确；B ．①正确②不正确；C ．①不正确②正确；D ．①②都不正确．3三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．如图，ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若33cos a c b C −=，求角B 的大小；（2）已知3b =、3B π=，若D 为ABC ∆外接圆劣弧AC 上一点，求ADC ∆周长的最大值．18．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．如图，已知顶点为S 的圆锥其底面圆O 的半径为8，点Q 为圆锥底面半圆弧AC 的中点，点P 为母线SA 的中点．（1）若母线长为10，求圆锥的体积；（2）若异面直线PQ 与SO 所成角大小为4π，求P 、Q 两点间的距离．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动．（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自A 中学，从这7名学员中选取3人，ξ表示选4取的人中来自A 中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为1p ，2p ．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当1243p p +=时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设双曲线222:1(0)x y t tΓ−=＞，点1F 是Γ的左焦点，点O 为坐标原点．（1）若ΓΓ的焦距；（2）过点1F 且一个法向量为(,1)n t =−的直线与Γ的一条斜率为负的渐近线相交于点M ，若112MOF S ∆=，求双曲线Γ的方程; （3）若t =，直线:0(0,)l kx y m k m R −+=∈＞与Γ交于P ，Q 两点，4OP OQ +=，求直线l 的斜率k 的取值范围．521．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于定义在R 上的函数()y f x =，记集合{|()(),}a M t t f x f a x a ==−≥，{|()(),}a L t t f x f a x a ==−≤．（1）若2()1f xx =+，求1M 和1L ；（2）若32()3f xx x =−，求证：对于任意a R ∈，都有[4,)a M ⊆−+∞，且存在a ，使得4a M −∈；（3）已知定义在R 上的函数()y f x =有最小值，证明：“()y f x =是偶函数”的充要条件为“对于任意正实数c ，都有c c M L −=”．6参考答案一、填空题1.{1,2,3,5}；2.1；3.；4.12； 5.103； 6.54； 7.6； 8.11； 9.94−；10.[4,4]−；；1+；11.如图，椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为，左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上第一象限的一个点A 满足：直线1F A与直线x =的交点为B ，直线x =与x 轴的交点为C ，且射线2BF 为ABC ∠的角平分线，则12F AF ∆的面积为．设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,则caa =解得cb ,故椭圆的方程为22163x y +=; 在1F BC ∆和2F BC ∆中由正弦定理得：1121212BF F F sin F F Bsin F BF =∠∠,222F C BCsin CF Bsin CBF =∠∠,又射线2BF 为ABC ∠的角平分线，可得11222F BF F BC F C ==, 则在直角1F BC ∆中111,2BC sin BF C F B∠==故16BF C π∠=, 所以直线1F Bl:,y x =+点A 为直线1F B l 与椭圆的交点,联立22163y x x y =+ += ,解得3u =+(舍负)，故12122F AF S c y ∆=⋅⋅==故答案为.712.已知正实数,,,a b c d 满足210a ab −+=，221c d +=，则当22()()a c b d −+−取得最小值时ab =_______．1根据题意, 设点()a,b 与点()c,d 之间距离为t ,则()()222t a c b d =−+−,故()()22a cb d −+−的几何意义为点()a,b 与点()c,d 之间距离的平方,点()c,d 满足221c d +=, 在以()00,为圆心, 半径为 1 的圆上,又由210a ab −+=, 则有1b a a=+,设点()a,b 与点()00,之间的距离m , 则22222212m a b a a a a=+=++= 212a ++故222…d +=,当出仅当a =,又由点与圆的位置关系, 有1min min m t −=, 故当a =时,()()22a c b d −+−取得最小值,此时2111ab a a a a+++. 故答案为1+.二、选择题13.D ； 14.C ； 15.D ； 16.A16.函数()y f x =满足：对于任意x R ∈都有()()x f x f a =，（常数0a ＞，1a ≠）．给出以下两个命题：①无论a 取何值，函数()y f x =不是(0,)+∞上的严格增函数；②当01a ＜＜时，存在无穷多个开区间12,,,,n I I I ，使得12n I I I ⊃⊃⊃⊃ ，且集合1{|(),}{|(),}n n y y f x x I y y f x x I +=∈==∈对任意正整数n 都成立，则（）A ．①②都正确；B ．①正确②不正确；C ．①不正确②正确；D ．①②都不正确．8对于①：由题得()()1f f a =, 若函数()y f x =是()0,+∞上的严格增函数,因为0,1a a >≠, 则当1a >时,()()1f f a <, 当01a <<时,()()1f f a >,均与()()1f f a =矛盾, 所以无论a 取何值, 函数()y f x =不是()0,+∞上的严格增函数, 故①正确;对于②：因为对于任意x R ∈都有()()x f x f a =令()101,I ,=当()101x I ,∈=时()()2101,x a a,I ,∈=⊂且(){|,y y f x =}()12,}{|,x I y y f x x I ∈==∈当()21,(,x x I a,a a ∈=∈时32,)a a I I =⊂且(){|,y y f x =}2x I ∈()3}{|,,y yf x x I =∈当()3a x I a,a ∈=时，()43,ax a a a a ,a I I ∈=⊂且(){|,y y f x =}()34,}|,x I y y f x x I ∈∈以此类推, 故当01a <<时,存在无穷多个开区间12,,,,n I I I , 使得12n I I I ⊃⊃⊃⊃ ，且集合(){}()|{|n y y f x ,x I y y f x =∈==,}1n x I +∈对任意正整数n 都成立,故②正确, 故选:A . 三、解答题17.（1）1arccos 3（2）3+18.（1） 128π （2）19.（1）97（2）162720.（1）（2） 221x y −= （3）)∪+∞ 21.（1）()21|12,1…M t t x x ==+−[)0,=+∞ ()21{|12,1}L t t x x ==+−≤[)1,=−+∞（2）见解析（3）见解析921.对于定义在R 上的函数()y f x =，记集合{|()(),}a M t t f x f a x a ==−≥，{|()(),}a L t t f x f a x a ==−≤．（1）若2()1f xx =+，求1M 和1L ；（2）若32()3f xx x =−，求证：对于任意a R ∈，都有[4,)a M ⊆−+∞，且存在a ，使得4a M −∈；（3）已知定义在R 上的函数()y f x =有最小值，证明：“()y f x =是偶函数”的充要条件为“对于任意正实数c ，都有c c M L −=”．（1）()21|12,1…M t t x x ==+−[)0,=+∞()21{|12,1}L t t x x ==+−≤[)1,=−+∞ （2）见解析（3）见解析（1）由题意, 得()21|12,1…M t t x x ==+−[)0,=+∞;()21{|12,1}L t t x x ==+−≤[)1,=−+∞(2)证明：由题意知,()3232|33,M a t t x x a a ==−−+},…x a 记()323233,g x x x a a =−−+则()2'3600 2.g x x x x =−=⇒=或现对a 分类讨论，当2…a , 有323233,…t x x a a x a =−−+为严格增函数. 因为()0g a =, 所以此时()[)[)04M a ,,=+∞⊆−+∞符合条件；当02…a <时,323233t x x a a =−−+,…x a 先增后减,()32234min t g a a ==−+−, 因为()322330(0…a a a a a −+=−=取等号) , 所以()322344…min t g a a ==−+−−,10则此时())[)32344M a a a ,, −+−+∞⊆−+∞ 也符合条件；当0a <时,323233,…t x x a a x a =−−+, 在[)0a,严格增, 在[]02,严格减, 在[)2,+∞严格增,()(){}2min t min g a ,g =320,34min a a =−+−, 因为()3234h a a a =−+−, 当0a <时,()2'360h a a a =−+>, 则()()04h a h >=−,则此时())[)4min M a t ,,=+∞⊆−+∞ 成立;综上可知, 对于任意a R ∈, 都有()[]4M a ,⊆−+∞, 且存在0a =, 使得()4M a −∈. (3)证明：必要性：若()f x 为偶函数, 则()()(){}|…M c t t f x f c ,x c −==−−−()()(){},|,…L c t t f x f c ,x c ==−当,…x c −()()()(),t f x f c f x f c =−−=−−因为()(),;…x c M c L c −−=故充分性：若对于任意正实数c , 均有()()M c L c −= 其中()()(){}|…M c t t f x f c ,x c −==−−−()()(){},|,…L c t t f x f c ,x c ==−因为()f x 有最小值, 不妨设()minf a f m ==,由于c 任意, 令…c a , 则[]a c,c ∈−, 所以()M c −最小元素为()()()().f a f c m f c L c −−=−−中最小元素为()m f c −, 又()()()()M c L c f c f c −=⇒=−对任意…c a 成立,所以()()f a f a m =−=,若0a =,则()()f c f c =−对任意0…c 成立()f x ⇒是偶函数;若0a ≠, 此后取()c a ,a ∈−,()(M c −最小元素是()()()f a f c L c −−−，()L c −最小元素()()f a f c −−()()f c f c ⇒−=综上, 任意()()0,…c f c f c =−, 即()f x 是偶函数.。

2020-2021学年上海市徐汇区西南位育中学高二(下)期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年上海市徐汇区西南位育中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．54的不同正约数有个．2．从10名学生中选出6名学生去参加一个展览会，共有种不同选法．3．方程的解为x＝．4．已知△ABC是边长为4的正三角形，那么它的平面直观图△A'B'C'的面积为．5．（2x+1）6的二项展开式第4项的系数是．6．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则其侧面积为．7．已知球的表面积为4π，则该球的体积为．8．若一个圆锥的底面半径为1，其侧面展开图的圆心角大小为，则该圆锥的高为．9．在北纬60°圈上有A、B两地，A、B之间的球面距离为（R为地球半径），则A、B两地在此纬度圈上的弧长等于．10．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的底面边长为．11．已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等．若点P，A，B，C都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC的距离为12．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝CC1＝2，点P是直线BC1上一动点，则A1P+PC的最小值是．二、选择题13．“有一侧棱与底面两边垂直的棱柱”是“该棱柱为直棱柱”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要14．已知直二面角α﹣l﹣β，直线a在平面α上，直线b在平面β上，且直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，则以下判断正确的是（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行15．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A．B．C．D．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P，Q，R分别是线段B1B，AB和A1C上的动点，观察直线CP与D1Q，CP与D1R给出下列结论：①对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q；②对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP；③对于任意给定的点R，存在点P，使得CP⊥D1R；④对于任意给定的点P，存在点R，使得D1R⊥CP．其中正确的结论是（）A．①B．②③C．①④D．②④三、解答题17．现有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队．（1）要求甲、乙两个人必须站在相邻位置，共有几种排队方法？（2）要求甲、乙两个人不相邻，共有几种排队方法？18．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，点E是棱BC的中点．（1）求异面直线BB1与D1E所成角的大小；（2）求点A到平面A1DE的距离．19．某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m．（1）已知制作这种油罐的材料单价为1万元/m2，则制作一个油罐所需费用为多少万元？（π取3.14，结果精确到0.01万元）（2）已知该油罐的储油量为0.95吨/m3，则一个油罐可储存多少吨油？（π取3.14，结果精确到0.01吨）20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PAD；（2）设AB＝AP．若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长．21．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，D为AB的中点，D1为A1B1的中点，平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，异面直线BC1与AB1互相垂直．（1）求证：平面A1DC∥平面BD1C1；（2）若CC1与平面ABB1A1的距离为x，A1C＝AB1＝6，三棱锥A1﹣ACD的体积为y，试写出y关于x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当CC1与平面ABB1A1的距离为多少时，三棱锥A1﹣ACD的体积取得最大值？并求出最大值．四、附加题.22．代数式（4x2﹣2x﹣5）（x2+1）5的展开式中，含x4项的系数是．23．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都是4，点E是棱BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合，设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，则tanθ的最小值为．24．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数为．25．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是．26．祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个设计集合求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等．由曲线x2＝4y，x2＝﹣4y，x＝4，x＝﹣4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1：满足x2+y2≤16，x2+（y﹣2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）A．V1＝V2B．V1＝V2C．V1＝V2D．V1＝2V2参考答案一、填空题1．54的不同正约数有8个．【分析】根据正约数的定义，即可求解．解：54的正约数有1，2，3，6，9，18，27，54，共8个．故答案为：8．2．从10名学生中选出6名学生去参加一个展览会，共有210种不同选法．【分析】由题意可知，可归类为组合模型，利用组合数公式即可．解：由题意知，＝＝＝210，故答案为：210．3．方程的解为x＝2．【分析】由组合数的运算公式，列方程求出x的值即可．解：由组合数的运算公式知，，所以2x＝x+2，或2x+（x+2）＝18，解得x＝2，或x＝（不合题意，舍去）；所以x＝2．4．已知△ABC是边长为4的正三角形，那么它的平面直观图△A'B'C'的面积为．【分析】根据题意，设△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为S1，求出△ABC的面积S，又由S1＝S，计算可得答案．解：根据题意，设△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为S1，△ABC是边长为4的正三角形，其面积S＝×4×4×＝4，则有＝，则S1＝S＝；故答案为：．5．（2x+1）6的二项展开式第4项的系数是160．【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．解：（2x+1）6的二项展开式第4项的系数是23＝160．故答案为：160．6．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则其侧面积为．【分析】取AB的中点D，连接SD，由题意可求出BD，SB的长，再在Rt△SBD中由勾股定理可求出SD的长，从而求出正三棱锥的侧面积．解：如图所示，取AB的中点D，连接SD，∵正三棱锥的底面边长为2，∴BD＝＝1，又∵侧棱长为4，∴SB＝4，在Rt△SBD中，由勾股定理可得SD＝＝，∴正三棱锥的侧面积为3×＝3，故答案为：3．7．已知球的表面积为4π，则该球的体积为．【分析】由球的表面积是4π，求出球的半径r＝1，由此能求出该球的体积．解：∵一个球的表面积是4π，∴球的半径r＝1，∴该球的体积是V＝．故答案为：．8．若一个圆锥的底面半径为1，其侧面展开图的圆心角大小为，则该圆锥的高为．【分析】易知底面圆的周长为2π，根据扇形的弧长公式，可得母线长，再由勾股定理，得解．解：设圆锥的高为h，底面半径为r＝1，母线长为R，∴底面圆的周长为l＝2πr＝2π，∵圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，∴l＝•R，即2π＝•R，∴R＝3，∴h＝＝＝2．故答案为：2．9．在北纬60°圈上有A、B两地，A、B之间的球面距离为（R为地球半径），则A、B两地在此纬度圈上的弧长等于．【分析】根据A、B两地的球面距离求出球心角，再求北纬60°圈的纬圆半径和A、B 两地的北纬60°圈的纬圆弧长．解：设地球的中心为O，因为A、B之间的球面距离为，R为地球半径，所以A、B两地对应大圆的圆心角是∠AOB＝，即AB＝OA＝OB＝R，如图所示：又因为在北纬60°圈上所在圆的半径为r＝R cos60°＝R，所以AB是北纬60°圈的一条直径，即A、B在纬度圈上的圆心角为π，所以A、B在北纬60°圈对应的弧长为πr＝．故答案为：．10．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的底面边长为4．【分析】由俯视图可知三棱柱高为2，底面三角形的高为2．解：由侧视图可知三棱柱的高为2，即侧棱长为2．由侧视图可得底面正三角形的高为2，∴底面正三角形的边长为4．故答案为：4．11．已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等．若点P，A，B，C都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC的距离为【分析】三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等，此三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，设P到截面ABC的距离为h，利用正三棱锥P﹣ABC的体积转化求解即可．解：∵三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等，∴此三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，∵球O的半径为1，∴正方体的棱长为，即，球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积，△ABC为边长为的正三角形，，∴，∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为．故答案为：．12．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝CC1＝2，点P是直线BC1上一动点，则A1P+PC的最小值是10．【分析】连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，则CP+PA1的最小值是A1C，然后求解三角形得答案．解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．∵BC＝CC1＝2，∴BC1＝4，又A1C1＝12，A1B＝4，则，得∠A1C1P＝90°，又∠BC1C＝45°，∴∠A1C1C＝135°，在△A1C1C中，由余弦定理可求得：A1C＝＝10．故答案为：．二、选择题13．“有一侧棱与底面两边垂直的棱柱”是“该棱柱为直棱柱”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要【分析】根据直棱柱的定义依次判断由前面是否可以推到后面，后面是否可以推到前面，再根据充分条件和必要条件的定义可得答案．解：若侧棱与底面两条平行的两边垂直，则侧棱与底面不一定垂直，而棱柱为直棱柱必有侧棱与棱柱底面垂直，即侧棱必与底面两边垂直，所以“有一侧棱与底面两边垂直的棱柱”是“该棱柱为直棱柱”的必要非充分条件，故选：B．14．已知直二面角α﹣l﹣β，直线a在平面α上，直线b在平面β上，且直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，则以下判断正确的是（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行【分析】当直线a∥直线l，直线b∥直线l时，a∥b，当直线a⊥直线b时，则直线a⊥直线l，与直线a与直线l不垂直相矛盾，从而a与b不可能垂直．解：直二面角α﹣l﹣β，直线a在平面α上，直线b在平面β上，直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，当直线a∥直线l，直线b∥直线l时，a∥b，排除选项AD；当直线a⊥直线b时，则直线a⊥直线l，与直线a与直线l不垂直相矛盾，∴a与b不可能垂直，排除B．故选：C．15．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A．B．C．D．【分析】本题利用排除法解．从所给函数的图象看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除一些选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除一些选项，从而得出正确选项．解：如果水瓶形状是圆柱，V＝πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故D错；由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故A、C错．故选：B．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P，Q，R分别是线段B1B，AB和A1C上的动点，观察直线CP与D1Q，CP与D1R给出下列结论：①对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q；②对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP；③对于任意给定的点R，存在点P，使得CP⊥D1R；④对于任意给定的点P，存在点R，使得D1R⊥CP．其中正确的结论是（）A．①B．②③C．①④D．②④【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系，结合正方体的性质，分别判断选项，利用排除法能得出结论．解：①当点P与B1重合时，CP⊥AB，且CP⊥AD1，所以CP⊥平面ABD1，因为对于任意给定的点Q，都有D1Q⊂平面ABD1，所以对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q，所以①正确；②只有D1Q⊥平面BCC1B1，即D1Q⊥平面ADD1A1时，才能满足对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP，因为过D1点与平面DD1A1A垂直的直线只有一条D1C1，而D1C1∥AB，所以②错误；③当R与A1，重合时，在线段B1B上找不到点P，使CP⊥D1R，所以③不正确；④只有当CP⊥平面A1CD1时，④才正确，所以对于任意给定的点P不存在点R，使D1R⊥CP，故④不正确．故选：A．三、解答题17．现有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队．（1）要求甲、乙两个人必须站在相邻位置，共有几种排队方法？（2）要求甲、乙两个人不相邻，共有几种排队方法？【分析】（1）先排甲、乙，再利用捆绑法求解；（2）先排丙、丁、戊，再利用插空法排甲、乙．解：（1）先排甲、乙，共有种方法，再将甲、乙捆绑，共有种方法，故共有•＝48种；（2）先排丙、丁、戊，共有种方法，再利用插空法排甲、乙，共有种方法，故共有•＝72种．18．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，点E是棱BC的中点．（1）求异面直线BB1与D1E所成角的大小；（2）求点A到平面A1DE的距离．【分析】（1）BB1∥CC1∥DD1，得∠ED1D或其补角为异面直线所成的角，再求其大小．（2）先作出垂线AM，再证AM的长为点A到平面A1DE的距离，再求其大小．解：由长方体ABCD﹣A1B1C1D1得BB1∥CC1∥DD1，∴∠ED1D或其补角为异面直线所成的角，在Rt△ECD中，由勾股定理得ED＝，由长方体ABCD﹣A1B1C1D1，知DD1⊥DE，DD1＝1∴∴∠ED1D＝；∴异面直线BB1与D1E所成角的大小；（2）过点A作AM⊥A1E于M，∵AA1⊥面ABCD，易证得AA1⊥ED，在Rt△BAE中，易得AE＝，AD＝2，所以△AED为直角三角形，∴AE⊥DE∵AA1∩AE＝A，AA1⊂面AA1E，AE⊂面AA1E，∴DE⊥AA1E，∵AM⊂面AA1E，∴DE⊥AM，又AM⊥A1E，A1E∩DE＝E，∴AM⊥面A1ED，所以AM的长为点A到到平面A1DE的距离．∵，所以，又，∴AM＝；∴点A到到平面A1DE的距离．19．某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m．（1）已知制作这种油罐的材料单价为1万元/m2，则制作一个油罐所需费用为多少万元？（π取3.14，结果精确到0.01万元）（2）已知该油罐的储油量为0.95吨/m3，则一个油罐可储存多少吨油？（π取3.14，结果精确到0.01吨）【分析】（1）根据已知条件，先求出母线长，再求得组合体的表面积，从而求得造价．（2）根据已知条件，求得组合体体积，从而求得储油量．解：（1）∵圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m，∴圆锥的母线长l＝，组合体的表面积为S＝2πr•h+πr2+＝2π×10×5+＝（200+50）π，则总造价为（200+50）π×1≈979.56万元．（2）组合体的体积V＝＝π×102×5+＝，∵油罐的储油量为0.95吨/m3，∴一个油罐可储存油量为吨．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PAD；（2）设AB＝AP．若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长．【分析】（1）证明平面PAB⊥平面PAD，只需证明AB⊥平面PAD，只需证明PA⊥AB，AB⊥AD；（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，求出平面PCD的一个法向量，利用直线PB与平面PCD所成的角为30°，建立方程，即可求线段AB的长．【解答】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD．又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz（如图）在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD．在Rt△CDE中，DE＝CD•cos45°＝1，CE＝CD•sin45°＝1，设AB＝AP＝t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD＝4，得AD＝4﹣t，所以E（0，3﹣t，0），C（1，3﹣t，0），D（0，4﹣t，0），．设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），由，，得取x＝t，得平面PCD的一个法向量＝（t，t，4﹣t），又，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°，得cos60°＝||，即，解得（舍去，因为AD＝4﹣t＞0），所以．21．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，D为AB的中点，D1为A1B1的中点，平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，异面直线BC1与AB1互相垂直．（1）求证：平面A1DC∥平面BD1C1；（2）若CC1与平面ABB1A1的距离为x，A1C＝AB1＝6，三棱锥A1﹣ACD的体积为y，试写出y关于x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当CC1与平面ABB1A1的距离为多少时，三棱锥A1﹣ACD的体积取得最大值？并求出最大值．【分析】（1）由平面与平面平行的判定证明；（2）找到三棱锥合适的底和高，利用等体积法写出三棱锥A1﹣ACD的体积为y关于CC1与平面ABB1A1的距离x的函数关系式；（3）利用函数思想通过二次函数求最值．【解答】（1）证明：在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是平行四边形，且D为AB的中点，D1为A1B1的中点，∴A1D1∥BD且A1D1＝BD，∴四边形A1DBD1为平行四边形，则A1D∥D1B，∵A1D⊄平面BD1C1，D1B⊂平面BD1C1，∴A1D∥平面BD1C1，连接DD1，如图所示，∴DD1∥AA1∥CC1，且DD1＝AA1＝CC1，则四边形DD1C1C为平行四边形，∴DC∥D1C1，且DC⊄平面BD1C1，D1C1⊂平面BD1C1，∴DC∥平面BD1C1，∵A1D∩DC＝D，且A1D，DC⊂平面A1DC，∴平面A1DC∥平面BD1C1；（2）解：∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∵平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，∴平面ABC⊥平面ABB1A1，且平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，CD⊥AB，CD⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABB1A1，CC1∥平面ABB1A1，∴CC1与平面ABB1A1的距离x＝CD，∵A1D⊂平面ABB1A1，∴CD⊥A1D，在Rt△A1DC中，A1C＝6，则（0＜x ＜6），∴，∵CD⊥平面ABB1A1，则C1D1⊥平面ABB1A1，而AB1⊂平面ABB1A1，∴C1D1⊥AB1，且AB1⊥BC1，又C1D1∩BC1＝C1，C1D1，BC1⊂平面BD1C1，∴AB1⊥平面BD1C1，且BD1⊂平面BD1C1，∴AB1⊥BD1，记交点为E，则三角形AEB为直角三角形，∵△B1D1E∽△ABE，且，AB1＝6，，∴B1E＝2，，，∴＝，∴，即（0＜x＜6）；（3）解：由（2）得：＝（0＜x＜6），令φ（x）＝36x2﹣x4，当x2＝18，即时，φ（x）取最大值为324，此时y max＝6．四、附加题.22．代数式（4x2﹣2x﹣5）（x2+1）5的展开式中，含x4项的系数是﹣30．【分析】先将问题转化为（x2+1）5的展开式的特定项问题，再求出其展开式的通项得到各项的系数．解：在（4x2﹣2x﹣5）（x2+1）5的展开式中，含x4项的系数是由（x2+1）5的含x2项的系数的4倍加上含x4项的系数的（﹣5）倍的和，∵（x2+1）5展开式的通项T r+1＝C5r x10﹣2r，∴展开式中含x4项的系数是4C54﹣5C53＝﹣30．故答案为：﹣30．23．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都是4，点E是棱BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合，设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，则tanθ的最小值为．【分析】过点E作EM⊥AC于M，过点M作MN⊥AF于N，连接EN，可证EM⊥平面ACC1A1，从而知∠ENM＝θ，而tanθ＝，于是要求tanθ的最小值，需求MN的最大值，当点F与C1重合时，即为所求．解：过点E作EM⊥AC于M，过点M作MN⊥AF于N，连接EN，∵平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，∴EM⊥平面ACC1A1，∴∠ENM为二面角C﹣AF﹣E的平面角，在Rt△EMN中，tanθ＝tan∠ENM＝，在等边△ABC中，AC＝4，E为BC的中点，∴ME＝，AM＝3，要求tanθ的最小值，则需求MN的最大值，而当点F与C1重合时，MN最大，为AM•sin45°＝，∴（tanθ）min＝＝．故答案为：．24．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数为420．【分析】依次对四棱锥的五个顶点上色，注意分类讨论即可．解：第一步：点A上色，5种方法，第二步：点B上色，4种方法，第三步：点C上色，3种方法，第四步：点D上色，若与点B相同，则有1种方法，若与点B不同，则有2种方法，第五步：点E上色，若点D与点B相同，则有3种方法，若点D与点B不同，则有2种方法，故不同的染色方法总数为5×4×3×1×3+5×4×3×2×2＝420，故答案为：420．25．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是πa3．【分析】取底面BCD的中心G，CD的中点E，球心O（在线段AG上），作OH⊥AB，垂足为H，并求出有关线段的长，利用Rt△ABG∽Rt△AOH，即可求出球的半径．解：取球心O，则O与任一棱的距离即为球的半径．如图，设CD的中点为E，底面的中心为G，则AG⊥底面BCD，AE＝BE＝a，AG＝a，AO＝a，BG＝a，由Rt△ABG∽Rt△AOH，∴AB：AO＝BG：OH．∴OH＝＝a．∴V＝πr3＝πa3．故答案为πa3．．26．祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个设计集合求积的著名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等．由曲线x2＝4y，x2＝﹣4y，x＝4，x＝﹣4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1：满足x2+y2≤16，x2+（y﹣2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）A．V1＝V2B．V1＝V2C．V1＝V2D．V1＝2V2【分析】由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．解：如图所示，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S1＝π（42﹣4|y|），S2＝π（42﹣y2）﹣π[4﹣（2﹣|y|）2]＝π（42﹣4|y|）；∴S1＝S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，故选：C．。

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高三(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝．2．计算：＝．3．已知复数z满足＝i，i为虚数单位，则z＝．4．已知函数y＝x3，则此函数的反函数是．5．已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为．6．已知行列式，则＝．7．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是．8．已知数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4＝，则＝．9．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为（结果用数值表示）．10．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆C的长轴长为．11．已知点M、N在以AB为直径的圆上．若AB＝5，AM＝3，BN＝2，则＝．12．已知球O是三棱锥P﹣ABC的外接球，PA＝AB＝BC＝CA＝2，PB＝2，点D为BC 的中点，且PD＝，则球O的体积为．二、选择题（共4小题）.13．下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．14．若函数f（x）＝sin x+a cos x的图象关于直线对称，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．15．对于函数f（n）＝（n∈N*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）＝0（k∈N*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（）A．f（n+1）﹣f（n）＝1B．f（n+k）＝f（n）（k∈N*）C．αf（n）＝f（n+1）+αf（n）（α≠0）D．αf（n+1）＝α﹣（α+1）f（n）（α≠0）16．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，D是AB的中点．（1）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高；（2）若C1C＝2，求二面角D﹣B1C1﹣A1的大小．18．已知函数（a为实常数）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，对任意的x∈[1，5]，不等式恒成立，求实数u的最大值．19．某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心为60°的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P、Q分别在弧、线段OA上．（1）若组成的红旗是长PN与宽MN的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积；（2）求组成的红旗图案的最大面积．20．已知抛物线y2＝2px（p＞0），其准线方程为x+1＝0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．21．设数列{a n}的各项都是正数，若对于任意的正整数m，存在k∈N*，使得a m、a m+k、a m+2k 成等比数列，则称数列{a n}为“D k型”数列．（1）若{a n}是“D1型”数列，且，求的值；（2）若{a n}是“D2型”数列，且a1＝a2＝a3＝1，a8＝8，求{a n}的前n项和S n；（3）若{a n}既是“D2型”数列，又是“D3型”数列，求证：数列{a n}是等比数列．参考答案一、填空题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝{x|0≤x≤2}．解：集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，所以A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝{x|0≤x≤2}故答案为：{x|0≤x≤2}2．计算：＝．解：＝＝﹣．故答案为：﹣．3．已知复数z满足＝i，i为虚数单位，则z＝1﹣2i．解：∵＝i，∴＝i，∴z＝＝＝1﹣2i．故答案为：1﹣2i．4．已知函数y＝x3，则此函数的反函数是（x∈R）．解：函数f（x）＝x3，反函数为（x∈R）．故答案为：（x∈R）．5．已知x、y满足，则z＝y﹣2x的最大值为﹣1．解：由约束条件作出可行域如图阴影部分，化目标函数z＝y﹣2x为y＝2x+z，由图可知，当直线y＝2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，联立，解得，即A（1，1）．z有最大值为1﹣2×1＝﹣1．故答案为：﹣1．6．已知行列式，则＝3．解：∵＝1×﹣2×+3×＝3×，∴＝3，故答案为：3．7．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是19号．解：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，∴6+45＝x+32，x＝6+45﹣32＝19因此，另一学生编号为19．故答案为：19号．8．已知数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4＝，则＝8．解：数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和为S n，若a2+a3＝3，a3+a4＝，q＝＝＝．所以a1（）＝3，解得a1＝4，S n＝，则＝＝＝8．故答案为：8．9．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为（结果用数值表示）．解：某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，基本事件总数n＝34＝81，每个项目都有该校教师参加包含的基本事件总数m＝＝36，则每个项目都有该校教师参加的概率为p＝＝．故答案为：．10．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆C的长轴长为．解：设M（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），c2＝a2﹣3，过原点O且倾斜角为60°的直线方程为，联立，消去y得，，∴，∵，∴，即（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，y0）＝0，∴，化简整理得，a4﹣6a2﹣3＝0，解得，∴，∴椭圆C的长轴长为．故答案为：．11．已知点M、N在以AB为直径的圆上．若AB＝5，AM＝3，BN＝2，则＝12．解：连接BM，BN，因为AB为直径，所以∠AMB＝∠ANB＝90°，又因为AB＝5，AM＝3，BN＝2，∴BM＝＝4；∴•＝•（﹣）＝•﹣•＝﹣•+•＝||•||cos∠ABM﹣||•||•cos∠ABN＝﹣＝42﹣22＝12．故答案为：12．12．已知球O是三棱锥P﹣ABC的外接球，PA＝AB＝BC＝CA＝2，PB＝2，点D为BC 的中点，且PD＝，则球O的体积为．解：如图，由条件可得△PAB为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形，因为D为BC的中点，所以AD＝，由于PA2+AD2＝PD2，所以∠PAD＝90°，∠PAB ＝90°，则PA⊥底面ABC，球心O到面ABC的距离为OE＝AH＝1，AE＝，所以球O的半径OA＝＝，所以球的体积为V＝＝．故答案为：．二、选择题13．下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．解：对于A，当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故选项A错误；对于B，因为（a+b）2≥0，所以a2+b2+2ab≥0，则a2+b2≥﹣2ab，故选项B正确；对于C，当a＜0，b＜0时，不等式不成立，故选项C错误；对于D，当a＝0，b＝﹣1时，不等式不成立，故选项D错误．故选：B．14．若函数f（x）＝sin x+a cos x的图象关于直线对称，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．解：f（x）＝sin x+a cos x＝（sin x•+cos x•），设cosθ＝，sinθ＝，则tanθ＝a，即f（x）＝sin（x+θ），∵f（x）的图象关于直线对称，∴+θ＝kπ+，k∈Z，则θ＝kπ+，k∈Z，∵a＝tanθ＝tan（kπ+）＝tan＝1，故选：A．15．对于函数f（n）＝（n∈N*），我们可以发现f（n）有许多性质，如：f（2k）＝0（k∈N*）等，下列关于f（n）的性质中一定成立的是（）A．f（n+1）﹣f（n）＝1B．f（n+k）＝f（n）（k∈N*）C．αf（n）＝f（n+1）+αf（n）（α≠0）D．αf（n+1）＝α﹣（α+1）f（n）（α≠0）解：当n＝1，2，3，4，…时，f（n）＝的函数值为：1，0，1，0，…对于A：f（2）﹣f（1）＝﹣1，故A不成立；对于B：f（n+1）≠f（n）不成立，故错；对于C：n为偶数，则αf（n）＝1，f（n+1）+αf（n）＝1；n为奇数，则αf（n）＝α，f（n+1）+αf（n）＝α；∴C正确；对于D：αf（n+1）＝α﹣（α+1）f（n）（α≠0）不成立，故错；故选：C．16．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）＝f（x）﹣x﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝，故当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣，所以函数f（x）的图象如图．g（x）＝f（x）﹣x﹣b有三个零点，即函数f（x）与函数y＝x+b有三个交点，当直线y＝x+b与函数f（x）图象在（0，1）上相切时，即＝x+b有2个相等的实数根，即x2+bx﹣1＝0有2个相等的实数根．由△＝0求得b＝，数形结合可得g（x）＝f（x）﹣x﹣b有三个零点时，实数b满足﹣＜b＜，故此式要求的b的集合为（﹣，）．再根据函数f（x）的周期为4，可得要求的b的集合为（4k﹣，4k+），k∈Z，故选：C．三、解答题17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，D是AB的中点．（1）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高；（2）若C1C＝2，求二面角D﹣B1C1﹣A1的大小．解：（1）由∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，得BC＝，∴．由三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，得，解得CC1＝6．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6；（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（，，0），B1（0，，2），C1（0，0，2）．，．设平面C1B1D的法向量为，由，取z＝1，得．平面A1B1C1的法向量．记二面角D﹣B1C1﹣A1的大小为θ，则cosθ＝．∴二面角D﹣B1C1﹣A1的大小为arccos．18．已知函数（a为实常数）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，对任意的x∈[1，5]，不等式恒成立，求实数u的最大值．解：（1）当a≠2时，f（1）＝a﹣1，f（﹣1）＝a﹣3，故f（﹣1）≠f（1），且f（﹣1）≠﹣f（1），于是f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；当a＝2时，f（x）+f（﹣x）＝2a﹣﹣＝2a﹣4＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），故此时f（x）为奇函数；（2）由f（x）为奇函数，由（1）可得a＝2，则f（x）＝2﹣，由不等式f（x）≥，可得u≤2•3x﹣，可令3x+1＝t，t∈[4，244]，（因为x∈[1，5]），故u≤2（t﹣1）﹣＝2（t+）﹣6，由于函数φ（t）＝2（t+）﹣6的导数φ′（t）＝2（1﹣）＞0，可得φ（t）在[4，244]递增，所以φ（t）min＝φ（4）＝3，因此不等式在x∈[1，5]上恒成立时，u的最大值为3．19．某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心为60°的扇形OAB草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点M、N在线段OB上，另两个顶点P、Q分别在弧、线段OA上．（1）若组成的红旗是长PN与宽MN的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积；（2）求组成的红旗图案的最大面积．解：（1）如图，连结OP，设NP＝3a，则MN＝2a，OM＝，因为OP2＝PN2+ON2，则有，解得，所以此国旗的面积为＝（m2）；（2）设∠POB＝α，则PN＝，OM＝，所以，故此国旗的面积为，整理可得，其中，因为，故，所以当且仅当时，，故组成的红旗图案的最大面积为（m2）．20．已知抛物线y2＝2px（p＞0），其准线方程为x+1＝0，直线l过点T（t，0）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：•的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．解：（1）由题意可知：准线方程x＝﹣1，则﹣＝﹣1，则p＝2，∴抛物线的标准方程为：y2＝4x，证明：若直线l的斜率不存在，则其方程为x＝t，代入y2＝4x得，A（t，2），B（t，﹣2），则•＝t2﹣4t，则若直线l的斜率存在，设其斜率为（k≠0），则l的方程为x＝my+t，联立，整理得：y2﹣4ky﹣4t＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4t，x1x2＝（my1+t）（my2+t）＝m2y1y2+mt（y1+y2）+t2＝t2．•＝x1x2+y1y2＝t2﹣4t，综上，•的值t2﹣4t与直线l倾斜角的大小无关；（2）设P（x，2），则丨PT丨2＝（x﹣t）2+（2﹣0）2＝x2﹣2（t﹣2）x+t2，（x＞0），由二次函数的性质可知：当对称轴x＝t﹣2＜0，即0＜t＜2时，当x＝0时，丨PT丨取最小值，最小值为t，当t﹣2≥0时，即x＝t﹣2时，取最小值，丨PT丨取最小值，最小值为2，d（t）的解析式，d（t）＝．21．设数列{a n}的各项都是正数，若对于任意的正整数m，存在k∈N*，使得a m、a m+k、a m+2k 成等比数列，则称数列{a n}为“D k型”数列．（1）若{a n}是“D1型”数列，且，求的值；（2）若{a n}是“D2型”数列，且a1＝a2＝a3＝1，a8＝8，求{a n}的前n项和S n；（3）若{a n}既是“D2型”数列，又是“D3型”数列，求证：数列{a n}是等比数列．解：（1）若{a n}是“D1型”数列，可得a m、a m+1、a m+2成等比数列，即有{a n}为等比数列，设公比为q，q＞0，且，可得q2＝，即q＝，则＝＝＝2；（2）若{a n}是“D2型”数列，可得a m、a m+2、a m+4成等比数列，可得数列的奇数项，偶数项成等比数列，当n为奇数时，a n＝1；当n为偶数时，a n＝2，当n为偶数时，前n项和S n＝+＝2﹣1+；当n为奇数时，前n项和S n＝+2﹣1；（3）证明：{a n}既是“D2型”数列，又是“D3型”1列，可得当m≥4时，a m﹣3，a m﹣1，a m+1，a m+3成等比数列；a m﹣3，a m，a m+3也成等比数列．从而当m≥4时，a m2＝a m﹣3a m+3＝a m﹣1a m+1．所以当n≥4时，a m2＝a m﹣1a m+1，即＝，即＝．当n≥4时，设q＝．当1≤m≤3时，m+3≥4，从而由（*）式知a m+32＝a m a m+6，故a m+42＝a m+1a m+7，从而＝•＝q2，因此＝q对任意n≥1都成立．故数列{a n}为等比数列．。

上海徐汇中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析

上海徐汇中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若对任意非零实数，若的运算规则如右图的程序框图所示，则的值是A． B． C．D．9参考答案：C【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数算法和程序框图解：因为所以。

故答案为：C2. △ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若=，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形参考答案：A【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】把已知的等式利用正弦定理化简，再利用同角三角函数间的基本关系得到tanA与tanB相等，根据A和B都为三角形的内角，得到A与B相等，根据等角对等边得到a=b，即三角形ABC为等腰三角形．【解答】解：根据正弦定理： =化简已知等式得： =，即tanA=tanB，由A和B都为三角形的内角，得到A=B，则△ABC一定为等腰三角形．故选：A．【点评】此题考查了三角函数中的恒等变换应用，以及正弦定理．学生做题时注意角度A和B都为三角形的内角这个条件．3. 若复数是纯虚数（i是虚数单位），则a的值为A．-2 B．2 C．1 D．-1参考答案：D略4. 点P（-1，1）关于直线ax-y+b=0的对称点是Q（3，-1），则a，b的值分别是（）A. -2，2B. 2，-2C. ，-D. ，参考答案：B5. 已知命题，则是（）A B．C． D．参考答案：B6. 设函数，则函数（）A.在区间，内均有零点B.在区间，内均没有零点C.在区间内有零点，区间内没有零点D.在区间内没有零点，区间内有零点参考答案：D略7. 公比为2的等比数列{an)的各项都是正数，且=16，则a6等于A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：B【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3由题意可得a72=a4a10=16，又数列的各项都是正数，故a7=4，故a6==2【思路点拨】由题意结合等比数列的性质可得a7=4，由通项公式可得a6．8. 如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，.若对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点P使得成立，那么的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：C考点：平面向量基本定理因为P在AB上，;P在CD上，;P在AE或BF上，;P在DE或CF上，所以，综上可知当时，有且只有6个不同的点P使得成立。

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一(上)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．设全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，若集合A＝{﹣1，0，2}，则＝．2．不等式＞0的解集为．3．函数f（x）＝的定义域是．4．设a＞0且a≠1，b＞0，若log a b•log5a＝3，则b＝．5．函数y＝x2﹣1，x∈（﹣∞，0）的反函数为y＝．6．不等式log2x+2x＜2的解集为．7．函数y＝的值域是．8．若函数f（x）＝的值域为（﹣∞，1]，则实数m的取值范围是．9．函数y＝f（x）的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数y＝e x的图像关于y轴对称，则f（x）＝．10．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）的值为．11．已知定义在R上的偶函数y＝f（x）在[0，+∞）是严格增函数，如果f（ax+1）≤f（2）对于任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是．12．设f（x）＝x﹣1，g（x）＝﹣，若存在x1，x2，…，x n∈[，4]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n）成立，则正整数n的最大值为．二、选择题13．若函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），则方程f﹣1（x）＝0（）A．有且只有一个实数解B．至少一个实数解C．至多有一个实数解D．可能有两个实数解14．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2bC．D．15．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0B．若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0C．若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0D．若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝016．已知函数y＝f（x）的定义域为R，有下面三个命题，命题p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立，命题q1：y＝f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立；命题q2：y＝f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x）＝0．则下列说法正确的是（）A．q1、q2都是p的充分条件B．只有q1是p的充分条件C．只有q2是p的充分条件D．q1、q2都不是p的充分条件三、解答题17．设m为实数，f（x）＝（m2﹣m﹣1）x﹣2m，已知幂函数y＝f（x）在区间（0，+∞）上是严格增函数，试求满足f（x）＞的x的取值范围．18．设f（x）＝2x+a•2﹣x，其中a∈R．（1）若函数y＝f（x）的图像关于原点成中心对称图形，求a的值；（2）若函数y＝f（x）在（﹣∞，2]上是严格减函数，求a的取值范围．19．设f（x）＝lg（2a﹣x），其中a为实数．（1）设集合A＝{x|y＝f（x）}，集合B＝{y|y＝﹣2x，x≤0}，若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若集合C＝{x|lg（x﹣1）+lg（3﹣x）＝f（x）}中的元素有且仅有2个，求实数a 的取值范围．20．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P＝80+4，Q＝a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？21．对于函数y＝f（x），若定义域中存在实数a、b满足b＞a＞0且，则称函数y＝f（x）为“P函数”．（1）判断是否为“P函数”，并说明理由；（2）设n∈N且n＞0，若函数为“P函数”，且n的最小值为5，求实数k的取值范围．参考答案一、填空题：1．设全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，若集合A＝{﹣1，0，2}，则＝{1，3}．解：∵全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，0，2}，∴＝{1，3}．故答案为：{1，3}．2．不等式＞0的解集为（﹣3，2）．解：不等式＞0可化为，或，解得﹣3＜x＜2，或∅；∴不等式的解集为（﹣3，2）．故答案为：（﹣3，2）．3．函数f（x）＝的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1}．解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．4．设a＞0且a≠1，b＞0，若log a b•log5a＝3，则b＝125．解：∵log a b•log5a＝3，∴•＝3，∴＝3，∴lgb＝3lg5＝lg125，∴b＝125，故答案为：125．5．函数y＝x2﹣1，x∈（﹣∞，0）的反函数为y＝﹣，x∈（﹣1，+∞）．解：由y＝x²﹣1，x∈（﹣∞，0），可得y＞﹣1，且可得x＝﹣，x，y互换，可得其反函数为y＝﹣，x∈（﹣1，+∞）．故答案为：y＝﹣，x∈（﹣1，+∞）．6．不等式log2x+2x＜2的解集为（0，1）．解：由题意，设f（x）＝log2x+2x﹣2，x∈（0，+∞）；则f（x）在定义域（0，+∞）上是单调增函数，且f（1）＝log21+2﹣2＝0，所以f（x）在定义域（0，+∞）有唯一的零点是1，所以f（x）＜0的解集为（0，1），即不等式的解集为（0，1）．故答案为：（0，1）．7．函数y＝的值域是（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．解：由于2x∈（0，+∞），故2x﹣1∈（﹣1，0）∪（0，+∞）；．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．8．若函数f（x）＝的值域为（﹣∞，1]，则实数m的取值范围是（0，1]．解：x≤0时：f（x）＝2x∈（0，1]．x＞0时，f（x）＝﹣x2+m，函数的对称轴x＝0，f（x）在（﹣∞，0）递增，∴f（x）＝﹣x2+m＜m，函数f（x）＝的值域为（﹣∞，1]，故0＜m≤1，故答案为：（0，1]．9．函数y＝f（x）的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数y＝e x的图像关于y轴对称，则f（x）＝e﹣x﹣1．解：根据题意，函数y＝2x的图象关于y轴对称的图象对应的解析式为：y＝e﹣x，将其向左平移1个单位长度后的图象对应的解析式为：y＝e﹣（x+1）＝e﹣x﹣1，即f（x）＝e﹣x﹣1，故答案为：e﹣x﹣1．10．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）的值为﹣3．解：∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）＝1+b＝0，解得b＝﹣1，则当x≥0时，f（x）＝2x+2x﹣1，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（2+2﹣1）＝﹣3，故答案为：﹣3．11．已知定义在R上的偶函数y＝f（x）在[0，+∞）是严格增函数，如果f（ax+1）≤f（2）对于任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是[﹣，]．解：f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，由f（ax+1）≤f（2）对于任意x∈[1，2]恒成立，可得|ax+1|≤2在x∈[1，2]恒成立，即﹣2≤ax+1≤2在x∈[1，2]恒成立，即﹣≤a≤在x∈[1，2]恒成立，由y＝﹣在x∈[1，2]上单调递增，可得y的最大值为﹣；y＝在x∈[1，2]上单调递减，可得y的最小值为，则﹣≤a≤，即实数a的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]．12．设f（x）＝x﹣1，g（x）＝﹣，若存在x1，x2，…，x n∈[，4]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n）成立，则正整数n的最大值为6．解：由题意知，存在x1，x2，…，x n∈[，4]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n）成立，即f（x1）﹣g（x1）+f（x2）﹣g（x2）+…+f（x n﹣1）﹣g（x n﹣1）＝f（x n）﹣g（x n）成立．而f（x n）﹣g（x n）＝，当且仅当x n＝2∈[，4]时等号成立，又f（x1）﹣g（x1）+f（x2）﹣g（x2）+…+f（x n﹣1）﹣g（x n﹣1）＝f（x n）﹣g（x n），∴f（x n）﹣g（x n）≥3（n﹣1），而x n∈[，4]，即f（x n）﹣g（x n）∈[3，]．∴仅需3（n﹣1）≤成立即可，有n，故正整数n的最大值为6．故答案为：6．二、选择题13．若函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），则方程f﹣1（x）＝0（）A．有且只有一个实数解B．至少一个实数解C．至多有一个实数解D．可能有两个实数解解：因为函数y＝f（x）有反函数为y＝f﹣1（x），所以y＝f（x）是一个单射函数，设其定义域为I，故若0∈I，设f（0）＝a∈R，由函数定义知a有唯一值，故f﹣1（a）＝0只有一实数a，若0∉I，f（0）无意义，故不存在x，使得f﹣1（x）＝0，故方程f﹣1（x）＝0无解，综上：f﹣1（x）＝0至多有一个实数解，故选：C．14．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2bC．D．解：A选项不正确，因为a＝﹣2，b＝1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a＝1，b＝2时，不等式就不成立；C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；D选项不正确，因为a＝1，b＝2时，不等式就不成立；故选：C．15．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0B．若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0C．若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0D．若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0解：首先，设函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象如下图：上图满足f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0，故A错误，B 正确；其次，设函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象如下图：上图满足f（a）f（b）＜0，但C都错误，D、根据零点存在定理，一定存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0，所以D错误，故选：B．16．已知函数y＝f（x）的定义域为R，有下面三个命题，命题p：存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有f（x+a）＜f（x）+f（a）恒成立，命题q1：y＝f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立；命题q2：y＝f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x）＝0．则下列说法正确的是（）A．q1、q2都是p的充分条件B．只有q1是p的充分条件C．只有q2是p的充分条件D．q1、q2都不是p的充分条件解：命题q1成立，即y＝f（x）在R上是严格减函数，且f（x）＞0恒成立，故取a＞0时，对任意的x∈R，x+a＞x，则f（x+a）＜f（x），f（a）＞0 即0＜f（a），故f（x+a）＜f（x）+f（a），即命题q1可推出命题p，即q1是p的充分条件；命题q2成立，y＝f（x）在R上是严格增函数，且存在x0＜0使得f（x0）＝0，故取a＝x0＜0时，对任意的x∈R，x+a＜x，则f（x+a）＜f（x），f（a）＝f（x0）＝0，f（x+a）＜f（x）+f（a），即命题q2可推出命题p，即q2是p的充分条件；故q1、q2都是p的充分条件．故选：A．三、解答题17．设m为实数，f（x）＝（m2﹣m﹣1）x﹣2m，已知幂函数y＝f（x）在区间（0，+∞）上是严格增函数，试求满足f（x）＞的x的取值范围．解：设m为实数，f（x）＝（m2﹣m﹣1）x﹣2m，∵幂函数y＝f（x）在区间（0，+∞）上是严格增函数，∴，解得m＝﹣1．∴f（x）＝x2，∵f（x）＞，∴，∴当x＜0时，x＞1；当x＜0时，成立，∴满足f（x）＞的x的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，+∞）．18．设f（x）＝2x+a•2﹣x，其中a∈R．（1）若函数y＝f（x）的图像关于原点成中心对称图形，求a的值；（2）若函数y＝f（x）在（﹣∞，2]上是严格减函数，求a的取值范围．解：（1）因为函数y＝f（x）的图像关于原点成中心对称图形，所以f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+a•2x＝﹣2x﹣a•2﹣x，即（a+1）（2x+2﹣x）＝0，因为2x+2﹣x＞0，解得a＝﹣1．（2）函数y＝f（x）在（﹣∞，2]上是严格减函数，所以对任意的x1＜x2≤2，都有f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）﹣f（x2）＝（﹣）（1﹣）＞0恒成立，由﹣＜0，知1﹣＜0恒成立，即•＜a恒成立，由于当x1＜x2≤2时，（•）max＜16，所以a≥16，即a的取值范围是[16，+∞）．19．设f（x）＝lg（2a﹣x），其中a为实数．（1）设集合A＝{x|y＝f（x）}，集合B＝{y|y＝﹣2x，x≤0}，若B⊆A，求实数a的取值范围；（2）若集合C＝{x|lg（x﹣1）+lg（3﹣x）＝f（x）}中的元素有且仅有2个，求实数a 的取值范围．解：（1）A＝{x|y＝f（x）}＝{x|y＝lg（2a﹣x）}＝{x|x＜2a}，B＝{y|y＝﹣2x，x≤0}＝{y|﹣1≤y＜0}，又B⊆A，∴2a≥0，∴a≥0，∴a的取值范围为[0，+∞）．（2）由C＝{x|lg（x﹣1）+lg（3﹣x）＝f（x）}，得2a＝﹣x2+5x﹣3，且1＜x＜3，设g（x）＝﹣x2+5x﹣3，对称轴x＝，则g（x）在（1，）上单调递增，在（，3）上单调递减，且g（）＝，g（1）＝1，g（3）＝3，若直线y＝2a与函数g（x）＝﹣x2+5x﹣3在（1，3）上恰有两个交点时，则3＜2a＜，∴＜a＜．∴a的取值范围为（，）．20．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P＝80+4，Q＝a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？解：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，∴万元．（2），依题意得，故．令，则，当，即x＝128时，f（x）max＝282万元．所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．21．对于函数y＝f（x），若定义域中存在实数a、b满足b＞a＞0且，则称函数y＝f（x）为“P函数”．（1）判断是否为“P函数”，并说明理由；（2）设n∈N且n＞0，若函数为“P函数”，且n的最小值为5，求实数k的取值范围．解：（1）若是“P函数”，则满足，∴，两式相减得﹣2a+2ab+2b﹣4b+2＝0，即ab﹣a﹣b+1＝0．∴（b﹣1）（a﹣1）＝0，则b＝1或a＝1，与f（a）＝f（b）≠0矛盾，故不是“P函数”；（2）是“P函数”．①若k≤0，则＞0，则在x∈（0，n）上单调递减，故不满足存在实数a、b满足b＞a＞1且f（a）＝f（b），不合题意；②若k＞0，∵g（x）＝，x∈（0，n）单调递减，且g（）＝0，故x∈（0，）时，f（x）＝||单调递减，x∈（，+∞）时，f（x）＝||单调递增，故a∈（0，），b∈（，+∞），∴f（a）＝＝f（b）＝k﹣＝2f（），则k＝，∴f（a）＝，则2f（）＝2||＝2||．若2[]＝，则，整理可得a2+3b2﹣4ab＝0，得a＝3b，不合题意；若2[]＝，则，整理可得3a2+b2﹣4ab＝0，得b＝3a，故k＝，，a＝．由（0，n）中存在实数a、b满足b＞a＞1且，n的最小值为5，故在（0，5）中存在a满足f（a）＝f（3a）＝2f（2a），且4≤3a＜5，故4≤＜5，得＜k≤1．综上所述，实数k的取值范围是（，1]．。

上海市徐汇区位育中学2021届高三上学期期中数学试题

上海市徐汇区位育中学2021年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}U C M =；则集合M =________．2．已知3sin()25πα-=，则cos()πα-=__________． 3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =__. 4．求值：4arcsin(cos )7π=__. 5．在等差数列{}n a 中，若346725a a a a +++=，则28a a +=__.6．在在ABC ∆中，3a =，b ，3A π=，则B =__.7．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .8．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．9．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = ．10．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________． 11．设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+，则使得()(21)f x f x ≥-成立的x 的取值范围是__.12．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x R ∈,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为．13．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．14．已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.则m 的取值范围是________________.二、单选题15．设S n 是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是 A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N*，均有S n ＞0D ．若对任意的n ∈N*，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列16．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的，，有，则ϕ=（） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 17．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3，4]上的减函数”的A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件18．对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){}|,y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．给出下列4个函数： ①()sin 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()221f x x =-； ③()12x f x =-； ④()()2log 22f x x =-．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．②③④三、解答题19．已知二次函数2()23f x mx x =--，若不等式()0f x <的解集为(1,)n -．（1）解关于x 的不等式：224(1)1x x n m x -+>+-；（2）是否存在实数(0,1)∈a ，使得关于x 的函数()14x x y f aa +=-（[1,2]x ∈）的最小值为-4？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．20．在ABC ∆中，已知5cos 13A =，10tan cot 223B B +=，21C = （1）求cos()A B -的值；（2）求ABC ∆的面积.21．已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切整数n 都成立.（1）求12,a a 的值（2）若10a >，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足110lgn na b a =，证明{}n b 是等差数列；（3）当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值.23．已知函数()f x ，如果存在给定的实数对(,)a b ，使得()()f a x f a x b +⋅-=恒成立，则称()f x 为“Γ-函数”．(1) 判断函数12(),()3x f x x f x ==是否是“Γ-函数”； (2) 若3()tan f x x =是一个“Γ-函数”，求出所有满足条件的有序实数对(,)a b ；(3) 若定义域为R 的函数()f x 是“Γ-函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当x ∈[0,1]时，()f x 的值域为[1,2]，求当x ∈[-2016,2016]时函数()f x 的值域．参考答案1．{}3,5,6【解析】【分析】利用补集的概念进行运算即可【详解】解：因为集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}U C M =，{}3,5,6M =，故答案为：{}3,5,6【点睛】本题考查补集的运算，是基础题.2．35【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出cos α的值，原式利用诱导公式化简后把cos α的值代入计算即可求出值．【详解】解：3sin()cos 25παα-==， 3cos()cos 5παα∴-=-=-，故答案为：35．【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，熟练掌握诱导公式是解决本题的关键，属于基础题． 3．5【分析】由已知条件利用等比数列通项公式和下标性质，求出1116a =，从而得到5102a =，由此利用对数性质能求出结果.【详解】∵公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，∴74a ====，∴6124a ⋅=，解得1641216a ==， ∴99510112216a a q =⋅=⨯=， ∴52102log log 25a ==.故答案为：5.【点睛】本题考查对数的运算，考查了等比数列的下标性质和通项公式的应用，考查了数学运算能力. 4．14π-【分析】利用反三角函数的定义，结合三角函数的诱导公式进行求解即可.【详解】令4arcsin cos7πα⎛⎫= ⎪⎝⎭，则4sin cos sin 714ππα⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∴14πα=-，故答案为：14π-.【点睛】本题考查反三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式，考查数学运算能力，属于基础题. 5．252【分析】利用等差数列的下标性质进行求解即可.【详解】解：由等差数列的下标性质可得：374628a a a a a a +=+=+，346725a a a a +++=，则281252522a a +=⨯=. 故答案为：252. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其下标性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 6．4π 【分析】由已知及正弦定理可求sin B ，利用大边对大角可求B 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解.【详解】∵3a =，b =，3A π=，∴sin 2sin 32b A B a ===，∵b a <，可得B 为锐角， ∴4B π=. 故答案为：4π. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.7．21n -【详解】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q ，因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---，故答案为21n -. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.8．(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.9．1【解析】试题分析：由函数()ln(f x x x =为偶函数⇒函数()ln(g x x =+为奇函数，(0)ln 01g a a ==⇒=．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数()ln(f x x x =为偶函数转化为函数()ln(g x x =为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取(0)ln 01g a a ==⇒=．10．1n- 【解析】原式为1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=⇔-=，整理为：1111n n S S +-= ，即1111n n S S +-=-，即数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以()()1111n n n S =-+--=- ，即1n S n =-. 【点睛】这类型题使用的公式是11{n n n S a S S -=- 12n n =≥ ，一般条件是()n n S f a = ，若是消n S ，就需当2n ≥ 时构造()11n n S f a --= ，两式相减1n n n S S a --= ，再变形求解；若是消n a ，就需在原式将n a 变形为：1n n n a S S -=- ，再利用递推求解通项公式.11．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据函数的表达式可知函数()f x 为偶函数，判断函数在x 大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，可得21x x >-，解绝对值不等式即可.【详解】 21()ln(1||)1f x x x =+-+定义域为R ， ∵()()f x f x -=，∴函数()f x 为偶函数，当0x >时，()()21ln 11f x x x =+-+值函数单调递增，根据偶函数性质可知：得()()21f x f x >-成立， ∴21x x >-，∴()2221x x >-，∴x 的范围为1,13⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】考查了偶函数的判断，考查了利用偶函数的性质求解不等式的解集.12．2【解析】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤ ,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒= 考点:本题主要考查三角函数的性质.13．9【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案．【详解】由题意可得：a+b=p ，ab=q ，∵p＞0，q ＞0，可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．14．()4,2m ∈-- 【解析】根据()220xg x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想． 15．C 【解析】特殊值验证排除．选项C 显然是错的，举出反例：－1，0，1，2，…，满足数列{S n }是递增数列，但是S n >0不恒成立选C. 16． D【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 17．D 【解析】函数在[]0,1上递增,利用偶函数得函数在[]-1,0上递减,利用周期得函数在[]3,4上递减,故充分性成立;函数在[]3,4上递减,利用周期得函数在[]-1,0上递减,利用偶函数得函数在[]0,1上递增,必要性成立,综上,充分性与必要性均成立,故选D. 18．B 【详解】①函数的周期是4,正弦函数的性质我们易得,为函数的一个“可等域区间”,同时当时也是函数的一个“可等域区间”,不满足唯一性. ②当时,,满足条件,且由二次函数的性质可知,满足条件的集合只有一个.③为函数的“可等域区间”,当时,,函数单调递增,,满足条件, ,n取值唯一.故满足条件.④单调递增,且函数的定义域为,若存在“可等域区间”,则满足,即,,n是方程的两个根,设,,当时,,此时函数单调递增,不可能存在两个解,故不存在“可等域区间”.所以B 选项是正确的.19．（1）(,1)(2,)-∞⋃+∞；（2）存在，13a = 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合根与系数的关系，求出m 与n 的值，再求不等式的解集；（2）用换元法，得函数2(42)3y t a t =-+-，求出最小值为−4时的a 的值即可．【详解】解：（1）∵2()23f x mx x =--，且()0f x <的解集为(1,)n -，∴方程2230mx x --=的两个实数根是−1，n ，且0m >，2131n m n m ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得13m n =⎧⎨=⎩，代入224(1)1x x n m x -+>+-得(2)(1)0x x -->，解得解集为(,1)(2,)-∞⋃+∞；（2）设x t a =，且(0,1)∈a ，[1,2]x ∴∈时，2,x a a a ⎡⎤∈⎣⎦，函数()124(42)3xx y f aat a t +=-=-+-，对称轴是21t a a =+>，2min (42)34y a a a ∴=-+-=-，解得13a =或1a =-（舍去）， ∴存在实数13a =．【点睛】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了换元法的应用问题，是中档题． 20．（1）5665（2）126 【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得sin A 、sin B 的值，可得cos B 的值，从而求得()cos cos cos sin sin A B A B A B -=+的值.（2）先求得()sin sin C A B =+的值，再利用正弦定理求得a 的值，从而求得ABC ∆的面积为1sin 2ac B ⋅⋅的值. 【详解】（1）ABC ∆中，∵已知5cos 13A =，∴12sin 13A ==，∴3A π>. ∵22sin cos 21022tan cot 22sin 3sin cos 22B B B B B B B ++===⋅，∴31sin ,522B ⎛=∈ ⎝⎭， ∴,64B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4cos 5B ==，∴()5412356cos cos cos sin sin 13513565A B A B A B -=+=⋅+⋅=. （2）∵()6321,sin sin sin cos cos sin 65c C A B A B A B ==+=+=，由正弦定理可得sin sin a cA C=，即2163121365a=，∴20a =，∴ABC ∆的面积为113sin 2021126225ac B ⋅⋅=⋅⋅⋅=.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题.21．（1）2π；（2）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）证明见解析.【详解】（Ⅰ）因为()2cos 10cos 222x x x f x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =．（Ⅱ）（Ⅰ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =．所以()10sin 8g x x =-．（Ⅱ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由452<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=．由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >．因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >．因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >．亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．22．（1）121,2a a ==2）证明见解析（3）当7n =，n T 最大，n T 的最大值为217lg 22-【分析】（1）22n n a a S S =+对一切整数n 都成立.分别取1,2n =，联立解出即可得出. （2）由10a >，取121,2a a =可得(2(3n n a S =++，利用递推关系可得：1n n a -=.利用等比数列的通项公式可得11n n a a -=⨯.代入110lg n na b a =，化简即可证明. （3）1(1)1n b n =--⨯1lg 202-<. 可得780,0b b ><，利用等差数列的求和公式即可得出【详解】（1）22n n a a S S =+对一切整数n 都成立.∴()()2112121212,2a a a a a a a a a a =+++=+，联立解得121,2a a ==或1212a a ==（2）证明：∵10a >，取121,2a a ==∴(2(3n n a S =++2n ≥时，11(2(3n n a S --=++，∴1(2(2n n n a a a --=，∴1n n a -.∴数列{}n a.∴11n n a a -=⨯.∴1110lg11(1)n n na b n a -==+=--⨯， ∴{}n b 是等差数列，首项为1，公差为1lg 22-.（3）∵1(1)1n b n =--⨯1lg 202-<. ∴713lg 21lg80b =-=->，7872lg 21lg 2022b -=-=<.∴当7n =，n T 最大，n T 的最大值为7(11lg8)217lg 222+-=-.【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.23．（1）函数1()f x x =不是“Γ-函数”，函数2()3xf x =是“Γ-函数”；（2）(,)(,1)()4a b k k ππ=±∈Z ；（3）-20162016[22]，. 【分析】(1) 根据题意,结合()()f a x f a x b +⋅-=,代入12(),()3xf x x f x ==即可检验是否满足条件.(2) 根据定义,代入可得关于tan x 的方程.解方程即可求得满足条件的有序实数对(,)a b . (3) 将所给的数对代入,可得函数的周期.根据归纳推理可得函数的值域. 【详解】(1) 若1()f x x =是“Γ-函数”,则存在常数(,)a b ,使得()()a x a x b +-= 即22x a b =-时,对x ∈R 恒成立．而22x a b =-最多有两个解,矛盾因此1()f x x =不是“Γ-函数”若2()3xf x =是“Γ-函数”,则存在常数,a b 使得2333a x a x a b +-⋅== 即存在常数对2(,3)aa 满足条件．因此2()3x f x =是“Γ-函数”；(2) 3()tan f x x =是一个“Γ-函数”,有序实数对(,)a b 满足tan()tan()a x a x b +⋅-=恒成立, 当,2a k k ππ=+∈Z 时,2tan()tan()cot a x a x x +⋅-=-,不是常数∴,2a k k ππ≠+∈Z当,2x m m ππ≠+∈Z 时,有2222tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 1tan tan a x a x a xb a x a x a x+--⋅==-⋅+⋅-恒成立即222(tan 1)tan (tan )0b a x a b ⋅-+-=恒成立．则222tan 10tan 1tan 01b a a a b b ⎧⎧⋅-==⇒⇒⎨⎨-==⎩⎩,41a k k Zb ππ⎧=±⎪∈⎨⎪=⎩, 当,2x m m ππ=+∈Z ,4a k ππ=±时,2tan()tan()cot a x a x x +⋅-=-成立．因此满足3()tan f x x =是一个“Γ-函数”,(,)(,1)()4a b k k ππ=±∈Z ．(3) 函数()f x 是“Γ-函数”,且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4),于是()()1,(1)(1)4f x f x f x f x ⋅-=+⋅-=,(1)(1)4()(2)4f x f x f x f x +⋅-=⇔⋅-=． x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],f (2-x )∈[1,2],4()[2,4](2)f x f x =∈-,∴x ∈[0,2]时,()[1,4]f x ∈,1()()()1()(2)4()(1)(1)44()(2)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ⎧-=⎪⋅-=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨+⋅-=⎩⎪-=⎪+⎩, x ∈[2,4]时,f (x )∈[4,16], x ∈[4,6]时,f (x )∈[16,64],以此类推可知：x ∈[2k ,2k +2]时,f (x )∈[22k ,22k +2] x ∈[2014,2016]时,f (x )∈[22014,22016], 因此[0,2016]x ∈时，2016()[1,2]f x ∈ [2016,0]x ∈-时，201620161(),[0,2016],()[1,2]()[2,1]()f x x f x f x f x -=-∈-∈⇒∈- 综上可知当[2016,2016]x ∈-时函数()f x 的值域为-20162016[22]，．【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用,函数最值与值域的求法,计算量较为复杂,属于难题.。

2020-2021上海市徐汇区位育中学高三(下)开学数学-解析版

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高三（下）开学数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 如果正数a ，b ，c ，d 满足a +b =cd =4，那么( )A. ab ≤c +d 且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一B. ab ≥c +d 且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一C. ab ≤c +d 且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一D. ab ≥c +d 且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一2. “数列{a n }和数列{b n }极限都存在”是“数列{a n +b n }和数列{a n −b n }极限都存在”的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要3. 在△ABC 中，若sinA =√22，则cosB +√2cosC 的取值范围是( )A. (0,1]B. (0,1]∪(2,√5]C. (0,1]∪(32√2,√5]D. 以上答案都不对4. 已知数列{a n }为有穷数列，共95项，且满足a n =C 200n(√63)200−n (√2)n ，则数列{a n }中的整数项的个数为( ) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 行列式∣∣∣∣123456789∣∣∣∣中，6的代数余子式的值是______．6. 若抛物线y =14x 2上一点M 到焦点F 的距离为4，则点M 的纵坐标的值为______ ． 7. 设A ={x|x =√5k +1,k ∈N}，B ={x|x ≤5,x ∈Q}，则A ∩B =______．8. 若复数z 满足(3−4i)z =|(2+i)(1−2i)|(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部是______ ． 9. 函数y =3x 2x−√3−4x 的定义域为______ ．10. 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为______万元．11. 关于x 的方程lgx =2a+34−a有大于1的实数根，则实数a 的取值范围是______．12. 空间中一条线段在三视图中的长度分别为5，√13，2√5，则该线段的长度为______ ．13. 某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种．14. 已知a 1、a 2与b 1、b 2是4个不同的实数，若关于x 的方程|x −a 1|+|x −a 2|=|x −b 1|+|x −b 2|的解集A 不是无限集，则集合A 中元素的个数构成的集合为______ ．15. 如图，已知AC =4，B 为AC 的中点，分别以AB 、AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M 、N 分别为两半圆上的动点(不含端点A 、B 、C)，且BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______ ．16. 已知函数f(x)对于任意实数x ，都有f(x)=f(398−x)=f(2158−x)=f(3214−x)，则函数值f(0)，f(1)，f(2)，…，f(2020)中最多有______ 个不同的数值．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知几何体A −BCED 的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形．(1)求几何体A −BCED 的体积．(2)求直线CE 与平面AED 所成角的大小．18.已知函数f(x)=2xk +12x−1，k≠0，k∈R．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)已知f(x)在(−∞,0]上单调递减，求实数k的取值范围．19.某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n个月从事旅游服务工作的人数f(n)可近似地用函数f(n)=Acos(wn+θ)+k来刻画，其中正整数n表示月份且n∈[1,12]，例如n=1表示1月份，A和k是正整数，w>0，θ∈(0,π).统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．(1)试根据已知信息，求f(n)的表达式；(2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．20. 设复平面上点对应的复数z =x +yi(x ∈R,y ∈R)(i 为虚数单位)满足|z +2|+|z −2|=6，点Z 的轨迹方程为曲线C 1.双曲线C 2：x 2−y 2n=1与曲线C 1有共同焦点，倾斜角为π4的直线l 与双曲线C 2的两条渐近线的交点是A 、B ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，O 为坐标原点． (1)求点Z 的轨迹方程C 1； (2)求直线l 的方程；(3)设△PQR 三个顶点在曲线C 1上，求证：当O 是△PQR 重心时，△PQR 的面积是定值．21. 对于任意n ∈N ∗，若数列{a n }满足x n+1−x n >1，则称这个数列为“K 数列”．(1)已知数列：1，|m +1|，m 2是“K 数列”，求实数m 的取值范围；(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，当首项a 1与公差d 满足什么条件时，数列S n 是“K 数列”？ (3)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且2S n+1−3S n =2a 1，n ∈N ∗．设c n =λa n +(−1)n a n+1，是否存在实数λ，使得数列{c n }为“K 数列”.若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：如果a ，b 是正数，则根据均值不等式有：a +b ≥2√ab ，则(a +b)2≥4ab 如果c ，d 是正数，则根据均值不等式有：c +d ≥2√cd ；则cd ≤ (c+d)24∵a ，b ，c ，d 满足a +b =cd =4，∴2√ab ≤a +b =cd ≤(c +d)24当且仅当a =b =c =d =2时取等号．化简即为：ab ≤c +d 且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一．故选A ．根据均值不等式分别有：a +b ≥2√ab ；c +d ≥2√cd ；则a ，b ，c ，d 满足a +b =cd =4，进而可得2√ab ≤a +b =cd ≤(c+d)24化简即得．当且仅当a =b =c =d =2时取等号．要熟练使用均值不等式，能正用、逆用，而且还要会变用．使用时还要特别注意等号成立的条件．2.【答案】C【解析】解：根据题意，数列{a n }和数列{b n }极限都存在，设n →∞lima n =A ，n →∞limb n =B ，则n →∞lim(a n +b n )=n →∞lima n +n →∞limb n =A +B ，n →∞lim(a n −b n )=n →∞lima n −n →∞limb n =A −B ，故数列{a n }和数列{b n }极限都存在”是“数列{a n +b n }和数列{a n −b n }极限都存在”的充分条件，反之，“数列{a n +b n }和数列{a n −b n }极限都存在，设n →∞lim(a n +b n )=M ，n →∞lim(a n −b n )=N ，则n →∞lima n =12n →∞lim[(a n +b n )+(a n −b n )]=12n →∞lim(a n +b n )+12n →∞lim(a n −b n )=12(M +N)，n →∞limb n =12n →∞lim[(a n +b n )−(a n −b n )]=12n →∞lim(a n +b n )−12n →∞lim(a n −b n )=12(M −N)，故数列{a n }和数列{b n }极限都存在”是“数列{a n +b n }和数列{a n −b n }极限都存在”的必要条件，综合可得：数列{a n }和数列{b n }极限都存在”是“数列{a n +b n }和数列{a n −b n }极限都存在”的充分必要条件，故选：C ．根据题意，对于充分性，设n →∞lima n =A ，n →∞limb n =B ，由极限的性质求出n →∞lim(a n +b n )、n →∞lim(a n −b n )，可得充分性成立，反之对于必要性，设n →∞lim(a n +b n )=M ，n →∞lim(a n −b n )=N ，计算可得n →∞lima n 、n →∞limb n 成立，结合充分必要条件的定义，分析可得答案．本题考查充分必要条件的判断，涉及数列的极限的性质，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：记f =cosB +√2cosC ，因为sinA =√22，可得A =π4，或3π4，当A =π4时，B =3π4−C ，其中0<C <3π4，此时f =cos(3π4−C)+√2cosC =√22sinC +√22cosC =sin(C +π4)∈(0,1]，当A =3π4时，B =π4−C ，其中0<C <π4，此时f =cos(π4−C)+√2cosC =√22sinC +3√22cosC =√5sin(C +φ)，其中φ=arctan3，注意到φ∈(π4,π2)，函数g(x)=√5sin(x +φ)在[0,π2−φ]上单调递增，在[π2−φ,π4]上单调递减，又g(0)=3√22>2=g(π4)，g(π2−φ)=√5，故f ∈(2,√5]，综上所述，cosB +√2cosC 的取值范围是(0,1]∪(2，√5]. 故选：B ．由sin A 的值，结合已知可得A =π4，或3π4，分类讨论，利用三角函数恒等变换的应用化简，根据正弦函数的图象和性质即可求解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．4.【答案】D【解析】解：数列{a n }为有穷数列，共95项，且满足a n =C 200n(√63)200−n (√2)n ，故n 最大为95．则要使数列{a n }中的项为整数项，则n 为偶数，且200−n 3为整数，故n =2，8，14，20，26，…，92，共计16项，故选：D ．由题意可得n 最大为95，n 为偶数，且200−n 3为整数，故n =2，8，14，20，26，…，92，由此得出结论．本题主要考查组合数公式，属于基础题．5.【答案】6【解析】解：6的代数余子式A 23=−∣∣∣1278∣∣∣=−(1×8−2×7)=6，故答案为：6．根据代数余子式的定义6的代数余子式A 23=−∣∣∣1278∣∣∣，利用行列式的展开，即可求得答案．本题考查三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：抛物线的标准方程为x 2=4y ，设点M(x 0,y 0)，则p =2，由椭圆的焦半径公式可得：|MF|=y 0+p2=y 0+1=4，所以y 0=3，故答案为：3．先根据抛物线的方程求出p 的值，再利用焦半径公式即可求解．本题考查了抛物线的方程和性质，涉及到抛物线的焦半径公式，属于基础题．7.【答案】{1,4}【解析】解：∵A ={x|x =√5k +1,k ∈N}={1,√6,√11,4，√21，√26，√31，6，…}， B ={x|x ≤5,x ∈Q}， ∴A ∩B ={1,4}．故答案为：{1,4}．利用交集性质求解即可．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．8.【答案】45【解析】解：∵复数z 满足(3−4i)z =|(2+i)(1−2i)|(其中i 为虚数单位)， ∴(3−4i)z =|2+i −4i −2i 2|=|4−3i|=√16+9=5， ∴z =53−4i =5(3+4i)(3−4i)(3+4i)=5(3+4i)9−16i 2=525(3+4i)=35+45i ，∴z 的虚部是45．故答案为：45．由复数的运算法则推导出(3−4i)z =5，从而z =53−4i =35+45i ，由此能求出z 的虚部．本题考查复数的虚部的求法，考查得复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】(−∞,12)∪(12,34]【解析】解：由题意得：{3−4x ≥02x ≠√3−4x，解得：x ≤34且x ≠12，故函数的定义域是(−∞,12)∪(12,34]，故答案为：(−∞,12)∪(12,34].根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．10.【答案】10【解析】解：由直方图可以看出11时至12时的销售额应为9时至10时的销售额的4倍，因为9时至10时的销售额为2.5万元，故11时至12时的销售额应为2.5×4=10，故答案为：10．由直方图可以看出11时至12时的销售额应为9时至10时的销售额的4倍，利用9时至10时的销售额即可求出11时至12时的销售额本题考查对频率分布直方图的理解，属基本知识的考查．11.【答案】(−32,4)【解析】解：∵关于x 的方程lgx =2a+34−a有大于1的实数根，∴2a+34−a>0，即2a+3a−4<0，解得：−32<a <4， ∴实数a 的取值范围是(−32,4). 故答案为：(−32,4). 由关于x 的方程lgx =2a+34−a有大于1的实数根，得2a+34−a >0，求解分式不等式得答案．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想，正确理解题意是关键，是基础题．12.【答案】√29【解析】解：根据三视图的转换的应用，如图所示：，所以x2+y2=25，x2+z2=13，y2+z2=20，所以2x2+2y2+2z2=58，则x2+y2+z2=29，所以AB=√29．故答案为：√29．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出该几何体的对角线长．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的对角线公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.【答案】16【解析】解：农场主人中间有A44=24种，农场主人站在中间，两名男生相邻共有2A22A22=8种，故不同的站法共有24−8=16种，故答案为：16．利用间接法，农场主人站在中间，男生没有要求的种数，再排除男生相邻的种数，即可求出得到结论．本题考查了简单的排列组合问题，特殊位置优先安排，属于基础题．14.【答案】{1}【解析】解：①假设有0个交点，A(0,1)，B(1,1)，设a<b，∴C(a,b−a)，D(b,b−a)，由题意|k AC|=|b−a−1||a|>2，|k BD|=|b−a−1||b−1|>2，∴|a||b−a−1|<12，|b−1||b−a−1|<12，∴|a||b−a−1|+|b−1||b−a−1|<1，而由三角不等式，|a||b−a−1|+|b−1||b−a−1|≥|b−a−1||b−a−1|=1，故矛盾，∴不可能有0个交点．②假设有2个交点，k AC=b−a−1a ∈(−2,0)，k BD=b−a−1b−1∈(0,2)，∴−ab−a−1>12，b−1b−a−1>12，∴b−a−1b−a−1>1，明显矛盾，∴不可能有2个交点．其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类，故答案为：{1}．画出两个函数的图象，看图象的交点个数，进行判断．本题主要考查函数图象、分段函数，集合，属于综合题，难度较大．15.【答案】1【解析】解：如图，AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−4+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4+2|DE|，设∠ABM =∠BNE =θ，∴BE =2sinθ，BM =2cosθ，BD =2cos 2θ，∴DE =2cos 2θ+2sinθ=2−2sin 2θ+2sinθ=−2(sinθ−12)2+52≤52，即AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤1则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为1．故答案为：1．画出图形，求出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4+2|DE|，设∠ABM =∠BNE =θ，推出DE =2cos 2θ+2sinθ，即通过三角函数的最值，求解AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为1．本题考查向量的数量积的应用，三角函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．16.【答案】177【解析】解：由题意，图象关于x =199、x =1079、x =1607对称，∴函数有周期性，设周期为T ，∴1079−199=880=mT 2，1607−1079=528=nT 2，m 、n ∈N ∗，∵880和528最大公约数为176，mT 2=880=176×5，nT2=528=176×3，∴T2≤176，T ≤352，即函数f(x)的最大周期为352， ∴在同一周期中函数值最多有12×352+1=177个不同的值．故答案为：177．根据已知分析出函数的对称性和周期性，进而得到答案．本题主要考查抽象函数的应用，考查函数的对称性和周期性，正确理解对称轴之间相差的半个周期的整数倍是解答的关键，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题意得几何体A −BCED 的体积：V =13×S 梯形BCED ×AC =13×1+42×4×4=403．(2)以C 为原点，分别以CA 、CB 、CE 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0，0)，E(0,0，4)，A(4,0，0)，D(0,4，1)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，4)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0，4)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，−3)，设平面AED 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4x +4z =0n⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y −3z =0，取x =4，得n ⃗ =(4,3，4)，设CE 与平面AED 所成角为θ，则sinθ=|n ⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√4141， ∴直线CE 与平面AED 所成角为arcsin4√4141．【解析】(1)由题意能求出几何体A −BCED 的体积．(2)以C 为原点，分别以CA 、CB 、CE 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE 与平面AED 所成角．本题考查空间几何体体积、线面角、空间位置关系，意在考查空间想象能力、推理运算能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．18.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=2x k +12x −1，其定义域为R ， f(−x)=2−xk +12−x −1=1k⋅2x +2x −1，当k =1时，有f(x)=f(−x)，函数f(x)为偶函数，当k ≠1时，f(x)≠f(−x)且f(−x)≠−f(x)，函数f(x)为非奇非偶函数；(2)设t =2x ，x ∈(−∞,0]，则有0<t ≤1，则y =t k +1t −1，当k <0时，函数f(x)在R 上递减，符合题意；当k >0时，t ∈(0,√k)上时，函数y =t k +1t −1递减，t ∈(√k,+∞)上时，函数y =t k +1t −1递增，若已知f(x)在(−∞,0]上单调递减，必有√k ≥1，解可得k ≥1，综合可得：k 的取值范围是(−∞,0)∪[1，+∞)．【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，分析函数的奇偶性时注意讨论k 的取值，属于中档题．(1)根据题意，由函数的解析式分析可得f(−x)的表达式，讨论k 的范围，分析f(−x)与f(x)的关系，即可得结论；(2)设t =2x ，分析可得t 的范围，则y =t k +1t −1，对k 的范围进行分情况讨论，讨论函数y =t k +1t −1的单调性，求出k 的范围，综合即可得答案． 19.【答案】解：(1)根据题意知，T =12，∴ω=2π12=π6；又{A +k =500k −A =100，解得{A =200k =300，由π6×2+θ=−π+2kπ，k ∈Z ；解得θ=−4π3+2kπ，k ∈Z ；又θ∈(0,π)，∴θ=2π3；∴函数f(n)=200cos(π6n +2π3)+300； (2)令f(n)=200cos(π6n +2π3)+300≥400，化简得cos(π6n +2π3)≥12，即−π3+2kπ≤π6n +2π3≤π3+2kπ，k ∈Z ，解得n ∈[12k −6,12k −2]，k ∈Z ；又n ∈[1,12]，∴n ∈[6,10]，∴取n =6，7，8，9，10；即一年中6、7、8、9、10月是该地区的旅游“旺季”．【解析】(1)根据题意求得T 、ω、A 、k 和θ的值，写出f(n)的解析式；(2)令f(n)≥400求得n 的取值范围，从而求得n 的取值范围．本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了实际应用问题，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意知点Z 的轨迹为椭圆，且a =3，c =2，∴b 2=9−4=5，∴点Z 的轨迹方程C 1为：x 29+y 25=1． (2)∵双曲线C 2：x 2−y 2n =1与曲线C 1有共同焦点，∴c 2=1+n =4，解得n =3，∴双曲线C 2的方程为x 2−y 23=1，∴双曲线C 2的渐近线方程为y =±√3x ．设直线l 的方程为y =x +t ，联立方程{y =±√3x y =x +t，得A(√3−1√3t √3−1，B(√3+1√3t √3+1)， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t 22+3t 22=2，解得t 2=2， ∴直线l 的方程为y =x ±√2．(3)设P(3cosθ1√5sinθ1)，Q(3cosθ2,√5sinθ2)，R(3cosθ3,√5sinθ3)，θ1，θ2，θ3∈[0,2π)，∵O 为△PQR 的重心，∴{cosθ1+cosθ2+cosθ3=0sinθ1+sinθ2+sinθ3=0， ∴cos(θ1−θ2)=−12，cos(θ2−θ3)=−12，cos(θ3−θ1)=−12， ∴S △PQR =3S △OPQ =3|12∣∣∣∣∣3cosθ1√5sinθ113cosθ2√5sinθ21001∣∣∣∣∣|=32|33√5sin(θ2−θ1)|=9√154， ∴当O 是△PQR 重心时，△PQR 的面积是定值9√154．【解析】(1)点Z 的轨迹为椭圆，且a =3，c =2，由此能求出点Z 的轨迹方程C 1．(2)由双曲线C 2：x 2−y 2n =1与曲线C 1有共同焦点，求出n =3，从而求出双曲线C 2的渐近线方程为y =±√3x.设直线l 的方程为y =x +t ，联立方程{y =±√3x y =x +t，得A(√3−1√3t √3−1)，B(√3+1√3t √3+1)，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t 22+3t 22=2，解得t 2=2，由此能求出直线l 的方程．(3)设P(3cosθ1√5sinθ1)，Q(3cosθ2,√5sinθ2)，R(3cosθ3,√5sinθ3)，由O 为△PQR 的重心，得到cos(θ1−θ2)=−12，cos(θ2−θ3)=−12，cos(θ3−θ1)=−12，S △PQR =3S △OPQ=3|12∣∣∣∣∣3cosθ1√5sinθ113cosθ2√5sinθ21001∣∣∣∣∣|，由此能证明当O 是△PQR 重心时，△PQR 的面积是定值9√154．本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查三角形面积为定值的证明，考查椭圆方程、双曲线方程、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意得：{|m +1|−1>1m 2−|m +1|>1，解得 m >2或m <−2．故实数m 的取值范围是m >2或m <−2．(2)假设存在等差数列{a n }符合要求，设公差为d ，则S n+1−S n =a n+1=a 1+nd >1恒成立，∴d ≥0，a 1+d >1．(3)2S n+1−3S n =2a 1，n ∈N ∗．n ≥2时，2S n −3S n−1=2a 1，相减可得：2a n+1=3a n ．n =1时，2(a 1+a 2)−3a 1=2a 1，可得2a 2=3a 1．∴数列{a n }是等比数列，公比为32，a 1=1．∴a n =(32)n−1． ∴c n =λa n +(−1)n a n+1=λ⋅(32)n−1+(−1)n ⋅(32)n ，由c n+1−c n >1，可得：12λ⋅(32)n−1+(−1)n+1⋅52⋅(32)n >1．(i)n 为偶数时，λ>152+2⋅(23)n−1恒成立，可得λ>536． (ii)n 为奇数时，λ>−152+2⋅(23)n−1恒成立，可得λ>−112．综上可得：λ>536．【解析】(1)由题意得：{m 2−|m +1|>1|m+1|−1>1，解得 m 范围．(2)假设存在等差数列{a n }符合要求，设公差为d ，则S n+1−S n =a n+1=a 1+nd >1恒成立，即可得出．(3)2S n+1−3S n =2a 1，n ∈N ∗.n ≥2时，2S n −3S n−1=2a 1，相减可得：2a n+1=3a n .n =1时，验证是否成立．利用等比数列的通项公式可得a n .c n =λa n +(−1)n a n+1=λ⋅(32)n−1+(−1)n ⋅(32)n ，由c n+1−c n >1，可得：12λ⋅(32)n−1+(−1)n+1⋅52⋅(32)n >1.对n 分类讨论即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一(下)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．设m为实数，点P（m，4）为角α的终边上一点，且sinα＝，则m＝．2．设常数k≠0，已知函数y＝sin（kx+）的最小正周期为2，则k的值为．3．若tanα＝，则tan（α+）＝．4．已知，则cos2x＝．5．在△ABC中，AB＝1，∠C＝30°，则BC的取值范围是．6．若sin（）＝，则cos（）＝．7．函数y＝﹣cos2x﹣sin x的值域为．8．若sinθ、cosθ是关于x的方程x2﹣ax+a＝0的两个根，则实数a的值为．9．已知函数y＝a sin x+cos x的图象关于直线x＝成轴对称图形，则实数a ＝．10．函数在区间[0，n]上至少取得2个最大值，则正整数n的最小值是．11．已知方程sin x+cos x＝k在区间[0．π]上恰有两个解，则实数k的取值范围是．12．函数y＝2sin（ωx+）在区间（π，2π）内不存在零点，则正实数ω的取值范围是．二、选择题（共4小题）.13．设x∈R，则“sin x＝”是“cos2x＝”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非非必要条件14．已知θ是第三象限角，满足|sin|＝﹣sin，则是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．要得到y＝cos3x的图象，只需将函数y＝sin3x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位16．已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．三、解答题17．已知α∈（，π），β∈（π，），且sinα＝，cosβ＝﹣，求cos（α+β）的值．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．（Ⅰ）若c＝2，，且△ABC的面积，求a，b的值；（Ⅱ）若sin C+sin（B﹣A）＝sin2A，试判断△ABC的形状．19．已知f（x）＝﹣sin（2x+）+1．（1）求函数y＝f（x）的单调增区间；（2）若关于x的不等式f（x）＜1﹣m对x∈[，]恒成立，求实数m的取值范围．20．2021年5月，在美丽崇明岛将举办第十届中国花卉博览会，主办方要对布展区域精心规划，如图扇形OMN是一个布展区域的平面示意图，其中扇形半径为100米，∠MON ＝．（1）如图1，主办方在该区域内铺设了一条由线段AB和弧组成的道路，线段AB的一个顶点B在弧上，另一顶点A在半径OM上，且AB∥ON，经测量线段OA的长为80米，现主办方拟在道路的弧段布置一根灯带，求所需灯带的长度（答案精确到0.1）；（2）如图2，拟在该区域内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧上，另两个顶点A、C在半径OM、ON上，且AB∥ON，AC⊥ON，求花圃△ABC面积的最大值．21．函数y＝f（x）的定义域为I，对于区间D⊆I，如果存在x1，x2∈D，x1≠x2，使得f（x1）+f（x2）＝2，则称区间D为函数y＝f（x）的“P区间”．（1）判断（﹣∞，+∞）是否是函数y＝sin（x+）+3的“P区间”，并说明理由；（2）设ω为正实数，若[π，2π]是函数y＝cosωx的“P区间”，求ω的取值范围．参考答案一、填空题（共12小题）.1．设m为实数，点P（m，4）为角α的终边上一点，且sinα＝，则m＝±3．解：∵点P（m，4）为角α的终边上一点，且sinα＝＝，∴解得m＝±3．故答案为：±3．2．设常数k≠0，已知函数y＝sin（kx+）的最小正周期为2，则k的值为π．解：函数y＝sin（kx+）的最小正周期为2，常数k≠0，可得＝2，解得k＝π，故答案为：π．3．若tanα＝，则tan（α+）＝3．解：∵tanα＝∴tan（α+）＝＝＝3故答案为：3．4．已知，则cos2x＝．解：∵tan x＝﹣，∴cos2x＝＝＝＝．故答案为：5．在△ABC中，AB＝1，∠C＝30°，则BC的取值范围是（0，2]．解：△ABC中，AB＝1，∠C＝30°，由正弦定理得＝＝＝2，所以BC＝2sin A；又A∈（0°，150°），所以sin A∈（0，1]，所以2sin A∈（0，2]，即BC的取值范围是（0，2]．故答案为：（0，2]．6．若sin（）＝，则cos（）＝．解：∵sin（）＝，∴cos（）＝cos[π+（）]＝﹣cos（）＝﹣sin（）＝﹣，故答案为：﹣．7．函数y＝﹣cos2x﹣sin x的值域为[﹣，1]．解：设sinα＝t，则cos2α＝1﹣t2，∴y＝﹣cos2α﹣sinα＝﹣（1﹣t2）﹣t＝（t﹣）2﹣∵t＝sin x∈[﹣1，1]∴当t＝﹣时，y min＝﹣；当t＝﹣1时，y max＝1；因此，函数y＝﹣cos2α﹣sinα的值域是[﹣，1]．故答案为：[﹣，1]．8．若sinθ、cosθ是关于x的方程x2﹣ax+a＝0的两个根，则实数a的值为1﹣．解：由题意，∵sinθ，cosθ是关于x的方程x2﹣ax+a＝0的两个实数根，∴，联立可得：a2﹣2a﹣1＝0，∴解得a＝1±，∵△＝a2﹣4a≥0，∴a＝1﹣．故答案为：1﹣．9．已知函数y＝a sin x+cos x的图象关于直线x＝成轴对称图形，则实数a＝．解：∵函数y＝a sin x+cos x的图象关于直线x＝成轴对称图形，故当x＝时，函数值为最值，∴+＝，则实数a＝，故答案为：．10．函数在区间[0，n]上至少取得2个最大值，则正整数n的最小值是8．解：周期T＝＝6在区间[0，n]上至少取得2个最大值，说明在区间上至少有个周期．6×＝所以，n≥∴正整数n的最小值是8故答案为811．已知方程sin x+cos x＝k在区间[0．π]上恰有两个解，则实数k的取值范围是．解：由于f（x）＝sin x+cos x＝，由于x∈[0，π]，故，所以函数的图象和y＝k有两个交点时，参数k的取值范围为：．故答案为：．12．函数y＝2sin（ωx+）在区间（π，2π）内不存在零点，则正实数ω的取值范围是（0，]∪[，]．解：∵函数y＝2sin（ωx+）在区间（π，2π）内不存在零点，ωx+∈（ωπ+，2ωπ+），∴2ωπ+≤π，∴ω≤；或ωπ+≥π，2ωπ+≤2π，求得≤ω≤，故正实数ω的取值范围为（0，]∪[，]，故答案为：（0，]∪[，]．二、选择题13．设x∈R，则“sin x＝”是“cos2x＝”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非非必要条件解：①当sin x＝时，则cos2x＝1﹣2sin2x＝，∴充分性成立，②当cos2x＝时，则cos2x＝1﹣2sin2x＝，∴sin2x＝，∴sin x＝±，∴必要性不成立，综上，sin x＝是cos2x＝的充分不必要条件．故选：A．14．已知θ是第三象限角，满足|sin|＝﹣sin，则是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵θ是第三象限角，∴π+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则+kπ＜＜+kπ，k∈Z，即为第二或第四象限角，又|sin|＝﹣sin，∴为第四象限角．故选：D．15．要得到y＝cos3x的图象，只需将函数y＝sin3x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位解：要得到y＝cos3x的图象，只需将函数y＝sin3x的图象向左平移个单位，即y＝sin（3x+）＝cos3x得到，要得到y＝cos3x的图象，只需将函数y＝sin3x的图象向右平移个单位，即y＝sin （3x）＝cos3x得到故选：BC．16．已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．解：由于函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，f（x+a）为偶函数，则：f（x+a）＝（x+a﹣6）2•sin[ω（x+a）]，由于函数为偶函数，故：a＝6，所以：，当k＝1时．ω＝故选：C．三、解答题17．已知α∈（，π），β∈（π，），且sinα＝，cosβ＝﹣，求cos（α+β）的值．解：∵sinα＝，cosβ＝﹣，且α∈（，π），β∈（π，），∴cosα＝﹣，sinβ＝＝，∴cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．（Ⅰ）若c＝2，，且△ABC的面积，求a，b的值；（Ⅱ）若sin C+sin（B﹣A）＝sin2A，试判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，a2+b2﹣ab＝4，…．又因为△ABC的面积等于，所以，得ab＝4．联立方程组解得a＝2，b＝2．（Ⅱ）由题意得：sin C+sin（B﹣A）＝sin2A得到sin（A+B）+sin（B﹣A）＝sin2A＝2sin AcoA即：sin A cos B+cos A sin B+sin B cos A﹣cos B sin A＝2sin AcoA所以有：sin B cos A＝sin A cos A，当cos A＝0时，，△ABC为直角三角形当cos A≠0时，得sin B＝sin A，由正弦定理得a＝b，所以，△ABC为等腰三角形．19．已知f（x）＝﹣sin（2x+）+1．（1）求函数y＝f（x）的单调增区间；（2）若关于x的不等式f（x）＜1﹣m对x∈[，]恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）由2kπ+≤2x+≤2kπ+，得：kπ+≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单调递增区间是：[kπ+，kπ+]，k∈Z；（2）∵x∈[，]，∴≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴0≤f（x）≤+1，∵关于x的不等式f（x）＜1﹣m对x∈[，]恒成立，∴1﹣m＞+1，解得：m＜﹣．20．2021年5月，在美丽崇明岛将举办第十届中国花卉博览会，主办方要对布展区域精心规划，如图扇形OMN是一个布展区域的平面示意图，其中扇形半径为100米，∠MON ＝．（1）如图1，主办方在该区域内铺设了一条由线段AB和弧组成的道路，线段AB的一个顶点B在弧上，另一顶点A在半径OM上，且AB∥ON，经测量线段OA的长为80米，现主办方拟在道路的弧段布置一根灯带，求所需灯带的长度（答案精确到0.1）；（2）如图2，拟在该区域内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧上，另两个顶点A、C在半径OM、ON上，且AB∥ON，AC⊥ON，求花圃△ABC面积的最大值．解：（1）因为AB∥ON，∠MON＝，所以∠OAB＝，又OB＝100，设∠MOB＝θ，θ∈（0，），在△AOB中，由正弦定理知：，所以OA＝，则sin（﹣θ）＝，即sin∠BON＝，则所需灯带的长度为100arcsin∠BON≈76.5；（2）在△ABO中，OB＝100，AB∥ON，∠MON＝，所以∠OAB＝，由余弦定理得OB2＝OA2+AB2﹣2OA•AB cos∠OAB，所以10000＝OA2+AB2+OA•AB≥3OA•AB，所以OA•AB≤，当且仅当OA＝AB＝时取等号，所以S△ABC＝OA•AB sin20°≤××＝平方米．所以花圃△ABC面积的最大值．21．函数y＝f（x）的定义域为I，对于区间D⊆I，如果存在x1，x2∈D，x1≠x2，使得f（x1）+f（x2）＝2，则称区间D为函数y＝f（x）的“P区间”．（1）判断（﹣∞，+∞）是否是函数y＝sin（x+）+3的“P区间”，并说明理由；（2）设ω为正实数，若[π，2π]是函数y＝cosωx的“P区间”，求ω的取值范围．解：（1）（﹣∞，+∞）不是函数y＝sin（x+）+3的“P区间”，理由如下：因为任意x∈（﹣∞，+∞），sin（x+）≥﹣1，所以sin（x+）+3≥2，所以任意x1，x2∈（﹣∞，+∞）上均有sin（x1+）+3+sin（x2+）+3≥4，所以不存在x1，x2∈（﹣∞，+∞），使得f（x1）+f（x2）＝2，所以（﹣∞，+∞）不是函数y＝sin（x+）+3的“P区间”．（2）因为[π，2π]是函数y＝cosωx，ω＞0的“P区间”，所以存在x1，x2∈[π，2π]使得cosωx1+cosωx2＝2，因为cosωx≤1，所以，所以存在k，l∈Z，使得，因为x1，x2∈[π，2π]，不妨设π≤x1≤x2≤2π，因为ω＞0，所以ωπ≤ωx1≤ωx2≤2ωπ，所以ω≤2k＜2l≤2ω，所以在区间[ω，2ω]内存在两个不同的偶数，①当ω≥4时，区间[ω，2ω]的长度为2ω﹣ω≥4，此时区间[ω，2ω]内必存在两个相邻的偶数，所以ω≥4，符合题意，②当0＜ω≤4时，0＜ω≤2k＜2l≤2ω＜8，所以2k，2l∈{2，4，6}，当时，有，即3≤ω≤4，所以3≤ω＜4符合题意，当时，有，即ω＝2，符合题意，当时，有，即无解，综上所述，ω的取值范围为{2}∪[3，+∞）．。

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2020-2021学年上海市徐汇区位育中学高三（下）开学数学试卷一、填空题（共12小题）.1．行列式中，6的代数余子式的值是．2．若抛物线上一点M到焦点F的距离为4，则点M的纵坐标的值为．3．设A＝{x|x＝，k∈N}，B＝{x|x≤5，x∈Q}，则A∩B＝．4．若复数z满足（3﹣4i）z＝|（2+i）（1﹣2i）|（其中i为虚数单位），则z的虚部是．5．函数y＝的定义域为．6．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为万元．7．关于x的方程lgx＝有大于1的实数根，则实数a的取值范围是．8．空间中一条线段在三视图中的长度分别为5，，，则该线段的长度为．9．某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有种．10．已知a1、a2与b1、b2是4个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|的解集A不是无限集，则集合A中元素的个数构成的集合为．11．如图，已知AC＝4，B为AC的中点，分别以AB、AC为直径在AC的同侧作半圆，M、N分别为两半圆上的动点（不含端点A、B、C），且，则的最大值为．12．已知函数f（x）对于任意实数x，都有f（x）＝f（398﹣x）＝f（2158﹣x）＝f（3214﹣x），则函数值f（0），f（1），f（2），…，f（2020）中最多有个不同的数值．二、选择题（共4小题）.13．如果正数a，b，c，d满足a+b＝cd＝4，那么（）A．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一14．“数列{a n}和数列{b n}极限都存在”是“数列{a n+b n}和数列{a n﹣b n}极限都存在”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．非充分非必要15．在△ABC中，若sin A＝，则cos B+cos C的取值范围是（）A．（0，1]B．C．D．以上答案都不对16．已知数列{a n}为有穷数列，共95项，且满足，则数列{a n}中的整数项的个数为（）A．13B．14C．15D．16三、解答题17．已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形．（1）求几何体A﹣BCED的体积．（2）求直线CE与平面AED所成角的大小．18．已知函数f（x）＝，k≠0，k∈R．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，求实数k的取值范围．19．某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n个月从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）＝A cos（wn+θ）+k来刻画，其中正整数n 表示月份且n∈[1，12]，例如n＝1表示1月份，A和k是正整数，w＞0，θ∈（0，π）．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，求f（n）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．20．设复平面上点对应的复数z＝x+yi（x∈R，y∈R）（i为虚数单位）满足|z+2|+|z﹣2|＝6，点Z的轨迹方程为曲线C1．双曲线C2：x2与曲线C1有共同焦点，倾斜角为的直线l与双曲线C2的两条渐近线的交点是A、B，＝2，O为坐标原点．（1）求点Z的轨迹方程C1；（2）求直线l的方程；（3）设△PQR三个顶点在曲线C1上，求证：当O是△PQR重心时，△PQR的面积是定值．21．对于任意n∈N*，若数列{a n}满足x n+1﹣x n＞1，则称这个数列为“K数列”．（1）已知数列：1，|m+1|，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；（2）设等差数列{a n}的前n项和为S n，当首项a1与公差d满足什么条件时，数列S n是“K数列”？（3）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且2S n+1﹣3S n＝2a1，n∈N*．设c n＝λa n+（﹣1）n a n+1，是否存在实数λ，使得数列{c n}为“K数列”．若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（共12小题）.1．行列式中，6的代数余子式的值是6．解：6的代数余子式A23＝﹣＝﹣（1×8﹣2×7）＝6，故答案为：6．2．若抛物线上一点M到焦点F的距离为4，则点M的纵坐标的值为3．解：抛物线的标准方程为x2＝4y，设点M（x0，y0），则p＝2，由抛物线的焦半径公式可得：|MF|＝y＝y0+1＝4，所以y0＝3，故答案为：3．3．设A＝{x|x＝，k∈N}，B＝{x|x≤5，x∈Q}，则A∩B＝{1，4}．解：∵A＝{x|x＝，k∈N}＝{1，，，4，，，，6，…}，B＝{x|x≤5，x∈Q}，∴A∩B＝{1，4}．故答案为：{1，4}．4．若复数z满足（3﹣4i）z＝|（2+i）（1﹣2i）|（其中i为虚数单位），则z的虚部是．解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|（2+i）（1﹣2i）|（其中i为虚数单位），∴（3﹣4i）z＝|2+i﹣4i﹣2i2|＝|4﹣3i|＝＝5，∴z＝＝＝＝＝，∴z的虚部是．故答案为：．5．函数y＝的定义域为．解：由题意得：，解得：x≤且x≠，故函数的定义域是（﹣∞，）∪（，]，故答案为：（﹣∞，）∪（，]．6．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为10万元．解：由直方图可以看出11时至12时的销售额应为9时至10时的销售额的4倍，因为9时至10时的销售额为2.5万元，故11时至12时的销售额应为2.5×4＝10，故答案为：10．7．关于x的方程lgx＝有大于1的实数根，则实数a的取值范围是（）．解：∵关于x的方程lgx＝有大于1的实数根，∴＞0，即＜0，解得：﹣＜a＜4，∴实数a的取值范围是（）．故答案为：（）．8．空间中一条线段在三视图中的长度分别为5，，，则该线段的长度为．解：根据三视图的转换的应用，如图所示：，所以x2+y2＝25，x2+z2＝13，y2+z2＝20，所以2x2+2y2+2z2＝58，则x2+y2+z2＝29，所以．故答案为：．9．某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有16种．解：农场主人中间有A44＝24种，农场主人站在中间，两名男生相邻共有2A22A22＝8种，故不同的站法共有24﹣8＝16种，故答案为：16．10．已知a1、a2与b1、b2是4个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|的解集A不是无限集，则集合A中元素的个数构成的集合为{1}．解：①假设有0个交点，A（0，1），B（1，1），设a＜b，∴C（a，b﹣a），D（b，b ﹣a），由题意，，∴，，∴，而由三角不等式，，故矛盾，∴不可能有0个交点．②假设有2个交点，，，∴，，∴，明显矛盾，∴不可能有2个交点．其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类，故答案为：{1}．11．如图，已知AC＝4，B为AC的中点，分别以AB、AC为直径在AC的同侧作半圆，M、N分别为两半圆上的动点（不含端点A、B、C），且，则的最大值为1．解：如图，，设∠ABM＝∠BNE＝θ，θ∈（0，π），∴BE＝2sinθ，BM＝2cosθ，BD＝2cos2θ，∴，即，则的最大值为1．故答案为：1．12．已知函数f（x）对于任意实数x，都有f（x）＝f（398﹣x）＝f（2158﹣x）＝f（3214﹣x），则函数值f（0），f（1），f（2），…，f（2020）中最多有177个不同的数值．解：由题意，图象关于x＝199、x＝1079、x＝1607对称，∴函数有周期性，设周期为T，∴，，m、n∈N*，∵880和528最大公约数为176，，，∴，T≤352，即函数f（x）的最大周期为352，∴在同一周期中函数值最多有×352+1＝177个不同的值．故答案为：177．二、选择题13．如果正数a，b，c，d满足a+b＝cd＝4，那么（）A．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一解：如果a，b是正数，则根据均值不等式有：，则（a+b）2≥4ab如果c，d是正数，则根据均值不等式有：；则∵a，b，c，d满足a+b＝cd＝4，∴2当且仅当a＝b＝c＝d＝2时取等号．化简即为：ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一．故选：A．14．“数列{a n}和数列{b n}极限都存在”是“数列{a n+b n}和数列{a n﹣b n}极限都存在”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．非充分非必要解：根据题意，数列{a n}和数列{b n}极限都存在，设a n＝A，b n＝B，则（a n+b n）＝a n+b n＝A+B，（a n﹣b n）＝a n﹣b n＝A﹣B，故数列{a n}和数列{b n}极限都存在”是“数列{a n+b n}和数列{a n﹣b n}极限都存在”的充分条件，反之，“数列{a n+b n}和数列{a n﹣b n}极限都存在，设（a n+b n）＝M，（a n﹣b n）＝N，则a n＝[（a n+b n）+（a n﹣b n）]＝（a n+b n）+（a n﹣b n）＝（M+N），b n＝[（a n+b n）﹣（a n﹣b n）]＝（a n+b n）﹣（a n﹣b n）＝（M﹣N），故数列{a n}和数列{b n}极限都存在”是“数列{a n+b n}和数列{a n﹣b n}极限都存在”的必要条件，综合可得：数列{a n}和数列{b n}极限都存在”是“数列{a n+b n}和数列{a n﹣b n}极限都存在”的充分必要条件，故选：C．15．在△ABC中，若sin A＝，则cos B+cos C的取值范围是（）A．（0，1]B．C．D．以上答案都不对解：记f＝cos B+cos C，因为sin A＝，可得A＝，或，当A＝时，B＝﹣C，其中0＜C＜，此时f＝cos（﹣C）+cos C＝sin C+cos C＝sin（C+）∈（0，1]，当A＝时，B＝﹣C，其中0＜C＜，此时f＝cos（﹣C）+cos C＝sin C+cos C＝sin（C+φ），其中φ＝arctan3，注意到φ∈（，），函数g（x）＝sin（x+φ）在[0，﹣φ]上单调递增，在[﹣φ，]上单调递减，又g（0）＝＞2＝g（），g（﹣φ）＝，故f∈（2，]，综上所述，cos B+cos C的取值范围是（0，1]∪（2，]．故选：B．16．已知数列{a n}为有穷数列，共95项，且满足，则数列{a n}中的整数项的个数为（）A．13B．14C．15D．16解：数列{a n}为有穷数列，共95项，且满足，故n最大为95．则要使数列{a n}中的项为整数项，则n为偶数，且为整数，故n＝2，8，14，20，26，…，92，共计16项，故选：D．三、解答题17．已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形．（1）求几何体A﹣BCED的体积．（2）求直线CE与平面AED所成角的大小．解：（1）由题意得几何体A﹣BCED的体积：V＝＝＝．（2）以C为原点，分别以CA、CB、CE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），E（0，0，4），A（4，0，0），D（0，4，1），＝（0，0，4），＝（﹣4，0，4），＝（0，4，﹣3），设平面AED的法向量＝（x，y，z），则，取x＝4，得＝（4，3，4），设CE与平面AED所成角为θ，则sinθ＝＝，∴直线CE与平面AED所成角为arcsin．18．已知函数f（x）＝，k≠0，k∈R．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，求实数k的取值范围．解：（1）根据题意，函数f（x）＝，其定义域为R，f（﹣x）＝+﹣1＝+2x﹣1，当k＝1时，有f（x）＝f（﹣x），函数f（x）为偶函数，当k≠1时，f（x）≠f（﹣x）且f（﹣x）≠﹣f（x），函数f（x）为非奇非偶函数；（2）设t＝2x，x∈（﹣∞，0]，则有0＜t≤1，则y＝+﹣1，当k＜0时，函数f（x）在R上递减，符合题意；当k＞0时，t∈（0，）上时，函数y＝+﹣1递减，t∈（，+∞）上时，函数y＝+﹣1递增，若已知f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，必有≥1，解可得k≥1，综合可得：t的取值范围是（﹣∞，0）∪[1，+∞）．19．某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n个月从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）＝A cos（wn+θ）+k来刻画，其中正整数n 表示月份且n∈[1，12]，例如n＝1表示1月份，A和k是正整数，w＞0，θ∈（0，π）．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，求f（n）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．解：（1）根据题意知，T＝12，∴ω＝＝；又，解得，由×2+θ＝﹣π+2kπ，k∈Z；解得θ＝﹣+2kπ，k∈Z；又θ∈（0，π），∴θ＝；∴函数f（n）＝200cos（n+）+300；（2）令f（n）＝200cos（n+）+300≥400，化简得cos（n+）≥，即﹣+2kπ≤n+≤+2kπ，k∈Z，解得n∈[12k﹣6，12k﹣2]，k∈Z；又n∈[1，12]，∴n∈[6，10]，∴取n＝6，7，8，9，10；即一年中6、7、8、9、10月是该地区的旅游“旺季”．20．设复平面上点对应的复数z＝x+yi（x∈R，y∈R）（i为虚数单位）满足|z+2|+|z﹣2|＝6，点Z的轨迹方程为曲线C1．双曲线C2：x2与曲线C1有共同焦点，倾斜角为的直线l与双曲线C2的两条渐近线的交点是A、B，＝2，O为坐标原点．（1）求点Z的轨迹方程C1；（2）求直线l的方程；（3）设△PQR三个顶点在曲线C1上，求证：当O是△PQR重心时，△PQR的面积是定值．解：（1）由题意知点Z的轨迹为椭圆，且a＝3，c＝2，∴b2＝9﹣4＝5，∴点Z的轨迹方程C1为：＝1．（2）∵双曲线C2：x2与曲线C1有共同焦点，∴c2＝1+n＝4，解得n＝3，∴双曲线C2的方程为＝1，∴双曲线C2的渐近线方程为y＝．设直线l的方程为y＝x+t，联立方程，得A（，），B（，），∴＝+＝2，解得t2＝2，∴直线l的方程为y＝x．（3）设P（3cosθ1），Q（3cosθ2，），R（3cos），θ1，θ2，θ3∈[0，2π），∵O为△PQR的重心，∴，∴cos（θ1﹣θ2）＝﹣，cos（θ2﹣θ3）＝﹣，cos（θ3﹣θ1）＝﹣，∴S△PQR＝3S△OPQ＝3||＝|3sin（θ2﹣θ1）|＝，∴当O是△PQR重心时，△PQR的面积是定值．21．对于任意n∈N*，若数列{a n}满足x n+1﹣x n＞1，则称这个数列为“K数列”．（1）已知数列：1，|m+1|，m2是“K数列”，求实数m的取值范围；（2）设等差数列{a n}的前n项和为S n，当首项a1与公差d满足什么条件时，数列S n是“K数列”？（3）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且2S n+1﹣3S n＝2a1，n∈N*．设c n＝λa n+（﹣1）n a n+1，是否存在实数λ，使得数列{c n}为“K数列”．若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得：，解得m＞2，或m＜﹣3．故实数m的取值范围是m＞2，或m＜﹣3．（2）假设存在等差数列{a n}符合要求，设公差为d，则S n+1﹣S n＝a n+1＝a1+nd＞1恒成立，∴d≥0，a1+d＞1．（3）2S n+1﹣3S n＝2a1，n∈N*．n≥2时，2S n﹣3S n﹣1＝2a1，相减可得：2a n+1＝3a n．n＝1时，2（a1+a2）﹣3a1＝2a1，可得2a2＝3a1．∴数列{a n}是等比数列，公比为，a1＝1．∴a n＝．∴c n＝λa n+（﹣1）n a n+1＝λ•+（﹣1）n•，由c n+1﹣c n＞1，可得：λ+（﹣1）n+1••＞1．（i）n为偶数时，λ＞+2•恒成立，可得λ＞．（ii）n为奇数时，λ＞﹣+2•恒成立，可得λ＞﹣．综上可得：λ＞．。