初中竞赛圆知识点

圆
圆的基本性质：
1、圆是定点的距离等于定长的点的集合
2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
4、同圆或等圆的半径相等
5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线
16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
20、定理： 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
△ABC的外接圆的直径，则BC＝AE.其中正确的是
A． B． C． D.
4.（1）如图1，在⊙O中，C是 的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE.请证明此结论；
（2）从圆上任一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦.如图２，PA,PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧 的中点，直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+PB. 请证明此结论；
21、①直线L和⊙O相交 d﹤r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d﹥r
22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径
24、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
25、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么这四点共圆）
推论：相交弦定理，切割线定理逆定理成立。
托勒密定理
若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么 。
推论：ABCD为任意四边形，则 ，等号当且仅当ABCD四点共圆。
逆定理：若四边形ABCD满足 则ABCD四点共圆。
31、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
32、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
33、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
34、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
过点E作圆O的切线EF与圆O交于F，AC、BD交
于P。
（1）∠A+∠C=π，∠B+∠D=π
（即图中∠DAB+∠DCB=π,∠ABC+∠ADC=π）
（2）∠DBC=∠DAC（同弧所对的圆周角相等）。
（3）∠ADE=∠CBE（外角等于内对角，可通过（1）、（2）得到）
（4）△ABP∽△DCP（两三角形三个内角对应相等，可有（2）得到）
⑴探究AE与BE的大小关系并证明你的结论；
⑵当D为OC上任意一点(异于O、C)，其它条件不变时，⑴中的结论是否仍然成立，画出图形并证明你的结论．
9．（本题12分）已知，AD是⊙O的直径，AB、AC是弦，且AB=AC．
（1） 如图1，求证：直径AD平分∠BAC；
（2）如图2，若弦BC经过半径OA的中点E，F是 的中点，G是 的中点，⊙O的半径为1，求弦GF的长；
（3）如图３，PA,PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧 的中点，直线CD⊥PA于点E,则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？ 写出并证明你的结论 .
5．如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB交⊙O于C,P为BC延长线上一动点，D为AP中点，DE⊥PA，交半径OC于E，连CD．下列结论：①PE⊥AE；②DC=DE；③∠OEA=∠A PB：④PC+ CE为定值．其中正确结论的个数为( )
西姆松定理
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。
西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形外接圆上。
例
1.如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，
若∠CED＝ °，∠ECD＝ °，⊙B的半径为R，则 的长度是_______
(1)若C点坐标为(0，4)，求点A坐标
（2）在（1）的条件下，在⊙M上，是否存在点P，使∠CPM=45°，若存在，求出满足条件的点P
(3)过C作⊙M的切线CE，过A作AN⊥CE于F,交⊙M于N，当⊙M的半径大小发生变化时．AN的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．
8.如图，已知☉O中，BC是直径，D点为OB上任意一点(异于O、B)，过D点作AD⊥BC，交☉O于A点,AB=AF，连接BF交AD于E点．
(1)当点D在优弧AB上运动时(如图1),点D不与点A,B重合,⊙P与直线AB存在怎样的位置关系?请写出你的结论,并说明理由;
(2)当点D在劣弧AB上运动时(如图2),点D不与点A,B,C重合,(1)中的结论是否仍然成立.画出图形,并作出判断,不需说明理由;
(3)若∠A=30°,CD从CB开始绕点C顺时针旋转角度α(0°＜α＜120°).是否存在角度α,使随即投入⊙O内部的点刚好落在⊙P内部的概率为0.25.若存在,请求出此时α的值;若不存在,请说明理由.(图3供画图分析用)
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等
13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
10、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
11、推论1：
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
35、①两圆外离 d﹥R+r
②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)
④两圆内切 d=R-r(R﹥r)
⑤两圆内含 d﹤R-r(R﹥r)
36、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
37、定理：把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
（3）如图3，若弦BC经过半径OA的中点E，F是 的中点，P为劣弧 上一动点，连接PA、PB、PD、PF．下面两个结论：①PA+PB+PD+PF为定值；② 为定值．其中有且只有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求出这个定值．
10．（本题满分12分）已知等腰△ABC,AC=BC,D是△ABC外接圆⊙O上的一点,直线CD与直线AB相交于点E,线段DE的中垂线与直线OD相交于P,以P为圆心,PD长为半径作⊙P.
判定定理
方法1把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）
方法2把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．
（5）AP*CP=BP*DP（相交弦定理）
（6）EB*EA=EC*ED（割线定理）
（7）EF^2= EB*EA=EC*ED（切割线定理）
（8）AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理）
（9）任意一点பைடு நூலகம்对圆O的幂为 (圆内的点幂为负，圆上的点幂为零，圆外的点幂为正)
四点共圆
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是 的中点，连接PA，PB，PC．
（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证： ；
（2）如图②，若 ，求 的值．
3.如图，△ABC的高CF、BG相交于点H，分别延长CF、BG与△ABC的
外接圆交于D、E两点.则下列结论： AD＝AE； AH＝AE； 若DE为
38、定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
39、n边形的内角和等于
40、正三角形面积 ,x表示边长
41、弧长计算公式： 为弧所对应的圆心角
42、扇形面积公式：
43、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
圆幂定理
四边形ABCD内接于圆O，延长BA和CD交于E，
A.l个 B.2个 C.3个 D.4个
6．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于D，与边AC交于E，
过D作DF⊥AC于F.
(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若DE= ，AB= ,求AE的长．
7．如图，直角坐标系中，以M（3,0）为圆心的⊙M交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B,交y轴于C,D
26、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
27、圆的外切四边形的两组对边的和相等
28、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
29、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
30、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等