第九章多元函数微分法及其应用教案
多元函数微分法及应用
第9章 多元函数微分法及应用第2节 偏导数函数在点处对y 的偏导数定义为),(y x f z =),00y x （yy x f y y x f y ∆∆+→∆),(-),(lim 00000记法：),(,,00,,,000000y x f Z y f yz y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂定理：如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D 内连续，那么),(y x f z =x y z∂∂∂2y2∂∂∂x z在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
*拉普拉斯方程：①满足；22ln y x z +=0y2222=∂∂+∂∂zx z ②满足。
)(,1222z y x r r u ++==0zy 222222=∂∂+∂∂+∂∂u u x u 第3节 全微分全增量：)(),(),(),(22y x y B x A y x f y y x x f z ∆+∆=+∆+∆=-∆+∆+=∆ρρο全微分：y yzx x z dz ∆∂∂+∆∂∂=习惯上分别记作dx,dy,并分别称自变量x,y 的微分。
y x ∆∆,通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加定理。
zzu y y u x x u du ∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=第4节 多元复合函数的求导法则定理1：如果函数及都在点t 可导，函数在对应点（u,v)具有)(t u ϕ=)(t v ψ=),(v u f z =连续导数，则复合函数在点t 可导，且有全导数：)](),([t t f z ψϕ=dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂=全微分形式不变性：设函数具有连续偏导数，则有全微分，如果u,v 又是),(v u f z =dv vzdu u z ∂∂+∂∂=dz 中间变量，即，且这个函数也具有连续偏导数，则复合函数),(),,(y x v y x u ψϕ==的全微分为，无论u,v 是自变量还是中间变量，)],(),,([y x y x f z ψϕ=dy yzdx z ∂∂+∂∂=x dz 函数的全微分形式是一样的。
高等数学 第九章多元函数微分法及其应用
2 x y 4
2 2
2 x y
所求定义域为
D {( x, y ) | 2 x y 4, x y }.
2 2 2
（6） 二元函数 z f ( x , y )的图形
D ，对于任意 设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 取定的 P ( x , y ) D ，对应的函数值为 y 为纵坐 x 为横坐标、 z f ( x , y ) ，这样，以 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x , y , z ) ， 当 x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D }，这个点集称 为二元函数的图形.
邻域： U ( P0 , ) P | PP0 | , P R n
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义 设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P ( x , y ) D ，变量z 按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称z 是变量x , y 的二元函数，记为 z f ( x , y ) （或记为 z f ( P ) ）.
确定极限不存在的方法：
（1）令 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于P0 ( x 0 , y0 ) ，若
k 有关，则可断言极限不存在； 极限值与
（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y ) 存在，
x x0 y y0
但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如 果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(1)
例如, f ( x, y )
4
x2 y 2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y 2 0
2 2 4
x 4x y y 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
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r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y Байду номын сангаас ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y) f ( x , y ) 函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
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D9多元函数微分法及其应用(1-3节)-PPT精选文档75页
二元函数 (图形一般为空间曲面) 常用
三元函数
微积分(二) 教案 第6版
3. 多元函数的极限
limf(P)A
PP0
ε 0,δ 0,当 0P0Pδ时， 有 f(P)Aε
4. 多元函数的连续性
1) 函数 f(P)在P0连续 P l iP 0 m f(P)f(P 0)
2) 闭域上的多元连续函数的性质:
第9章
多元函数微分法及其应用
一元函数微分学 推广
多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
微积分(二) 教案 第6版
第一节
第9章
多元函数的基本概念
一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
微积分(二) 教案 第6版
一、 区域
1. 邻域
点集 例如,在平面上,
PP0 δ 称为点 P0 的邻域.
如果它们都存在, 则三者相等. 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在.
例如,
显然
limlimf(x,y) 0,
x0y0
但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
微积分(二) 教案 第6版
四、 多元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数 f (P) 定义在 D 上, 聚P 点 0D, 如果存在
(最值定理)
(3) 对任意
QD，
(介值定理)
* (4) f (P) 必在D 上一致连续 . (一致连续性定理)
(证明略)
微积分(二) 教案 第6版
例5.求 解: 原式
lim xy 1 1. x0 xy
y0
lim 1 1 x0 xy 11 2
y0
例6. 求函数 f(x,y)arcs3xinxy2(2y2)的连续域.
多元函数微分学的几何应用ppt课件
9.6 多元函数微分学的几何应用
2. 空间曲线的方程为 两个柱面 的交线
x
设曲线直角坐标方程为
x0 y y0 z z0
y z
y( x) ,
z( x)
x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
x x
令
x为参数,
曲线的参数方程是
y
y(
x)
z z( x) 由前面得到的结果, 在M(x0, y0, z0)处,
5
9.6 多元函数微分学的几何应用
（3）向量值函数的图像
设向量 r 的起点在坐标原点，则终
点M随t的改变而移动，点M的轨迹 Γ
称为向量值函数 r=f(t) 的终端曲 x
线，也称为该函数的图像，记作Γ
反过来，向量值函数
z
•M
rf
(t)
o
y
r f (t) ( f1(t), f2 (t), f3 (t))
f (2) (4,4,2), f (2) 42 42 22 6.
所求单位切向量一个是：(4,4,2) 2 , 2 , 1 6 3 3 3
另一个是： 2 , 2 , 1
其指向与t的增长方向一致
3 3 3 其指向与t的增长方向相反
16
9.6 多元函数微分学的几何应用
二、空间曲线的切线与法平面
lim
t t0
f
(t)
r0
7
9.6 多元函数微分学的几何应用
说明 设 f (t) ( f1(t), f2(t), f3(t))
r 0 (m, n, p),
则lim f (t) t t0
r0
lltt iimmtt00
f1(t) f3(t)
m,
《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用
在社会科学中的应用（如人口动态学、市场均衡分析等）
在工程科学中的应用（如机器人控制、信号处理等）
总结词：优化和控制
感谢观看
THANKS
全微分的定义
线性性质、可加性、全微分与偏导数的关系、全微分与方向导数的关系。
全微分的性质
全微分的定义与性质
03
梯度的性质
梯度与方向导数的关系、梯度的几何意义。
01
方向导数的定义
在某一方向上函数值的变化率。
02
梯度的定义
方向导数在各个方向上的最大值，表示函数值变化最快的方向。
方向导数与梯度
04
多元函数的极值
在物理科学中的应用（如流体动力学、热传导等）
总结词：揭示内在机制 总结词：预测和政策制定 总结词：复杂系统分析 详细描述：在人口动态学和市场均衡分析等社会科学领域，多元函数微分学也具有广泛的应用。通过建立微分方程模型，我们可以揭示人口动态变化和市场供需关系的内在机制，预测未来的发展趋势。此外，这些模型还可以为政策制定提供依据，帮助政府和企业制定有效的政策和措施。在复杂系统分析中，多元函数微分学也为我们提供了理解和预测系统动态行为的有力工具。
极值点处的函数一阶导数必须为零
如果一个多元函数在某点的所有偏导数都为零，并且该点的二阶导数矩阵正定，那么该点就是函数的极值点。
费马定理是判断多元函数极值点的充分条件，但在实际应用中，需要结合其他条件进行判断，例如函数的单调性、凹凸性等。
极值的充分条件（费马定理）
费马定理的应用
费马定理
最大值与最小值的定义
多元函数的表示方法
可以用数学符号表示，如$z = f(x, y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域
第九章多元函数微分法及其应用
E
• 若点 P 的任一去心邻域 U (P) 中总有 E 中的点， 则称 P 为 E 的 聚点 。 聚点 可能 属于 E，也可能 不属于 E 。 聚点 是 内点 或者 边界点。
E
• 若点 PE，且 P 不是聚点， 则称 P 为 E 的 孤立点 。
孤立点 属于 E
3.开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
同理可以定ffx义y((xx函,,yy数))，z liyfxmf，0( xfz,
，或 z x( x, y xy) y)对自变量y y
f (x, y)
的偏导数，
记作
f
y
(
x,
y)，
f y
，
z
y
，或
z y
由上述定义可知，求二元函数 z f (x, y) 关于某个变量的偏导数， 只需将另一个自变量 看作常数，然后利用一元函数求导公式和求导法 则，就可求得结果。
② 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，则极限不存在。
例2
讨论函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
kx2
lim
x0
f
( x,
y)
lim
如果存在
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称 二元函数 f (P)在点P0 连续;
否则称为不连续, 此时 称为间断点 。
如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续。
例如, 函数
高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)
f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数 ，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导
多元函数微分学的应用
多元函数微分学的应用教案主题：多元函数微分学的应用引言：多元函数微分学是数学分析的重要组成部分，它研究的是多元函数的导数及其在不同情境下的应用。
多元函数微分学的应用广泛涉及到自然科学、工程技术以及经济管理等领域。
本教案将以不同的实际问题为例，通过解析几何、极值、曲线等概念的引入，让学生掌握多元函数微分学的基本知识和应用技巧。
第一节：解析几何及曲线的切线与法线1. 引入解析几何的概念，介绍多元函数与坐标系的关系。
2. 定义多元函数在某点的偏导数，解释其几何意义。
3. 推导多元函数的全微分公式，并解释其意义。
4. 引入曲线的概念，讨论曲线在某点处的切线与法线的几何特性。
5. 通过具体例子，让学生理解切线与法线的应用意义。
第二节：多元函数的极值1. 引入多元函数的极值概念，定义极大值与极小值。
2. 推导多元函数取得极值的必要条件，即驻点的导数为零。
3. 推导多元函数取得极值的充分条件，即驻点的二阶导数的正负性。
4. 通过求解具体的极值问题，让学生掌握多元函数求解极值的方法。
5. 引入拉格朗日乘数法，解决带有约束条件的极值问题。
第三节：函数的Taylor级数与泰勒展开式1. 介绍函数的Taylor级数与泰勒展开式的概念。
2. 推导函数的Taylor级数公式，讨论其收敛性与逼近性质。
3. 通过具体例子，演示函数的泰勒展开式的计算方法。
4. 讨论泰勒展开式在近似计算中的应用，例如在物理问题中的应用。
第四节：二重积分的应用1. 回顾二重积分的概念及计算方法。
2. 引入二重积分在几何与物理问题中的应用，例如求解面积、质量、重心等问题。
3. 通过具体的几何与物理问题，让学生掌握二重积分的应用技巧。
第五节：多元函数的偏导数与偏微分方程1. 引入多元函数的偏导数及其计算方法。
2. 介绍偏微分方程的概念及其解的求解方法。
3. 推导拉普拉斯方程在某点的解析解，并讨论其物理意义。
4. 通过具体例子，让学生理解偏微分方程的应用范围与解题方法。
高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
高等数学下册(第9章)多元函数微分学及其应用教案
高等数学教学教案第9章多元函数微分学及其应用授课序号01),n x 的全体组成的集合称为{(R x n =),n x 称为n 维空间中的一个点，数维空间中任意两点(),,n P x 与),,n Q x 之间的距离为2222(()n n PQ y x y x +-++- 2中的一个平面点集，如果对于每个点D y x ∈),(，变量y x y x f ∈),(),(),n x 或),n x D ∈授课序号02授课序号03授课序号04授课序号05授课序号06设0M 为曲面∑上的一点，若∑上任意一条过点0M 的曲线在点0M 有切线，且这些切线均在同一平面内，则称此平面为曲面∑在点0M 的切平面，称过0M 而垂直于切平面的直线为∑在点0M 的法线. 称法线的方向向量（切平面的法向量）为∑在点0M 的法向量.1．设曲面∑的方程为(),,0=F x y z ，()0000,,M x y z 是曲面∑上的一点，曲面∑上过点()0000,,M x y z 的 切平面的方程为()()()()()()000000000000,,,,,,0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=. 法线方程为), ,() , ,() , ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-.2．若曲面方程为(),z f x y =，曲面在点0M 的切平面方程为0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---=， 法线方程为0000000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---==-.三．例题讲解例1 求曲线231,2,3x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩在点()2,3,4处的切线及法平面方程.例2 求曲线2226,x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点()1,2,1M -处的切线及法平面方程.例3 求椭球面222236x y z ++=在点()1,1,1处的切平面及法线方程.例4 求旋转抛物面221z x y =+-在点()2,1,4处的切平面及法线方程.例5 橄榄球运动是由足球运动派生出来的一项球类运动.因球形似橄榄，中国称为“橄榄球”.橄榄球运动分为英式橄榄球和美式橄榄球两大类.其中英式橄榄球相较于美式橄榄球更大、更短，如图9.22所示.（1）试建立橄榄球的空间曲面方程；（2）求上顶点处的切平面方程.图 9.22授课序号07。
高等数学多元函数微分学的应用教案
( )，
则称函数 在点 有极大值（极小值） 。
二元函数的极值问题，首先讨论极值存在的必要条件：
定理1（必要条件）设函数 在点 处偏导数存在，且在点 处有极值，则有 。
证不妨设 在点 处有极大值。依极大值的定义，在点 的某邻域内异于 的点都适合不等式
讨论函数的极值问题时，如果函数在所讨论的区域内具有偏导数，则由定理1可知，极值只可能在驻点处取得。然而，如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点。例如在例2中，函数 在点（0,0）处的偏导数不存在，但该函数在点（0，0）处却具有极大值。因此，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，，那末对这些点也应当考虑。
但在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这么简单。我们另有一种直接寻求条件极值的方法，可以不必先把问题化到无条件极值的问题，这就是下面要介绍的拉格朗日乘数法。
现在我们来寻求函数 在满足条件 下取得极值的必要条件。
拉格朗日乘数法 要求函数 在附加条件 下的极值，可先构造辅助函数
其中 为某一常数，求其对 与 的一阶偏导数，并使之为零，然后与条件 联立
作业：1；3；6；9；10
因此，在上述假定下，求函数的最大值和最小值的一般方法是：将函数 在 内的所有驻点处的函数值及在 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。但这种做法，由于要求出 在 的边界上的最大值和最小值，所以往往相当复杂。在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数 的最大值（最小值）一定在 的内部取得，而函数在 内只有一个驻点，那末可以肯定该驻点的函数值就是函数 在 上的最大值（最小值）。
多元函数的微分学(第九讲)
第九讲 多元函数的微分一、主要知识点1．主要概念（以二元函数为主）（1）函数的极限与连续定义极限定义（εδ-定义）A y x f y y x x =→→),(lim 00：如果对于任意给定0ε>，总存在0δ>，使得对于适合不等式00pp δ<=的一切点(,)p x y ，都有ε<-A y x f ),(成立．连续函数定义 设函数),(y x f z =在区域D 内有定义，且000(,)p x y D ∈，若),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→则称函数),(y x f 在点000(,)p x y 处连续． 注意：二元函数与一元函数的差异． （2）偏导数的定义设函数),(y x f z =在点),(y x p 的某邻域内有定义，函数的偏导数为0(,)(,)lim x z f x x y f x y x x ∆→∂+∆-=∂∆，0(,)(,)lim y z f x y y f x y y y∆→∂+∆-=∂∆． 注意：分段函数在分段点的偏导数用偏导数定义计算． （3）全微分定义设函数),(y x f z =在点),(y x p 的某邻域内有定义，若()z A x B y o ρ∆=∆+∆+，其中22)()(y x ∆+∆=ρ，全微分dy yzdx x z y B x A dz ∂∂+∂∂=∆+∆=． 2． 主要理论（1）定理1（求偏导数与次序无关的定理）若函数),(y x f z =的两个混合偏导数x y z y x z ∂∂∂∂∂∂22,在区域D 内连续，则xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22．（2）定理2（可微与偏导数存在关系定理）若函数),(y x f z =在点),(y x p 可微，则在该点处yzx z ∂∂∂∂,存在，且 dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=． （3）定理3（偏导连续与可微的关系定理）若函数),(y x f z =偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点),(y x p 的某邻域内存在且连续，则),(y x f 在点),(y x p 可微．3．主要公式（1） 全导数公式设函数),(v u f z =偏导数连续，而)(),(t v t u ψϕ==导数连续，则)](),([t t f z ψϕ=的全导公式为dtdvv f dt du u f dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=． （2）显函数 ),,(z y x f u =的偏导数求u 对x 的偏导数xu∂∂时，将z y ,视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之． 求u 对y 的偏导数yu∂∂时，将z x ,视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之． 求u 对z 的偏导数zu∂∂时，将y x ,视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之． （3）复合函数的偏导数1）设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===的偏导数连续，则)],(),,([y x y x f z ψϕ=偏导数为xv v x x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂， yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂． 2）设),,,(v u y x f z =，),(),,(y x v y x u ψϕ==的偏导数连续，则函数)],(),,(,,[y x y x y x f z ψϕ=的偏导数为x v v f x u u f x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂，yv v f y u u f y f y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂．注意：1）偏导函数yzx z ∂∂∂∂,的复合关系同原函数一样，求二阶偏导数方法同一阶方法类似．2）抽象函数的二阶偏导数的求法及其重要． （4）隐函数的偏导数1） 由方程0),(=y x F 确定的隐函数)(x y y =的导数公式为),(),(y x F y x F dx dyy x''-= ， (0),(≠y x F y )． 2）由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x z z =的偏导数公式为),(),(,),(),(y x F y x F y z y x F y x F x zz y z x ''-=∂∂''-=∂∂ ， (0),(≠'y x F z )． 3）由三个变量两个方程所构成的方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 确定的隐函数),(x y y =)(x z z =，求导数dx dz dx dy ,可通过解关于dxdzdx dy ,的线性方程组来完成，即解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=+'-='+'x z y x z y G dx dz G dxdy G F dxdz F dx dy F ''． 4）由四个变量两个方程所构成的方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ， 确定的隐函数(,),(,)u u x y v v x y ==，求偏导数yvx v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,，可通过解关于x v x u ∂∂∂∂,),(yvy u ∂∂∂∂的线性方程组来完成，即解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=∂∂+∂∂''-=∂∂'+∂∂'x v u x v u G x v G xu G F xv F x u F ' ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=∂∂'+∂∂''-=∂∂'+∂∂'y v u y v u G y v G y u G F y vF y u F ． 4．主要计算方法（1）显函数求偏导数的方法（包含二阶偏导数，抽象函数）； （2）隐函数求偏导数的方法（包含二阶偏导数，抽象函数，方程组）；二、例题分析1．二元函数极限、连续、偏导数与全微分之间的联系例1．设223222(,)()0x y f x y x y ⎧⎪=⎨+⎪⎩2222,0,0x y x y +≠+=，证明函数),(y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但不可微分． 证明：（1）证明连续性因为32240cos sin 232222)0,0(),()0,0(),(cos sin lim )(lim),(lim rr y x yx y x f r r x r y y x y x θθθθ→==→→====+=2220lim sin cos 0r r θθ→==)0,0(f =． 所以),(y x f 在点)0,0(连续．（2）证明偏导数存在．因为 232200()0(0,0)(0,0)(()0)(0,0)limlim 0x x x x f x f x f x x∆→∆→∆⋅-+∆-∆+'===∆∆22200()0(0,0)(0,0)(0())(0,0)limlim 0y y y y f y f y f y y∆→∆→⋅∆-+∆-+∆'===∆∆所以函数(,)(0,0)f x y 在处偏导数存在且为0． （3）证明(,)f x y 在点(0,0)不可微．因为 223222()()[(0,0)(0,0)][()()]x y x y z f x f y z x y ∆∆''∆-∆-∆=∆=∆+∆，所以41])(2[)(lim ])()[()()(lim ])()[()()(lim224,0222220,02322220,0=∆∆=∆+∆∆∆=∆+∆∆∆∆=∆→∆→∆→∆→∆→∆x x y x y x y x y x x y x y x y x ρ于是函数)0,0(),(o y x f 在点不可微．说明：通常判断函数(,)f x y 在点00(,)x y 是否可微，可以按以下步骤考虑：（1）考察函数(,)f x y 在点00(,)x y 是否连续．若不连续，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 不可微；（2）若函数(,)f x y 在点00(,)x y 连续，再考察偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 是否存在．若两个偏导数有一个不存在，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 不可微；（3）若函数(,)f x y 在点00(,)x y 连续，偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在，再考察偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 是否连续，若偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 连续，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 可微；（4）若偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 不连续，则利用全微分定义判别，如例1．练习题：设222222(0(,)00x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩，证明函数),(y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但是偏导数在点)0,0(不连续，而函数点)0,0(可微分．二元函数),(y x f z =连续，偏导存在与可微三者关系函数连续 偏导数存在2．多元复合显函数求导问题例2．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)kf tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f xy z kf x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂． 证明：令,,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为(,,)(,,)k f u v w t f x y z =，上式两边对t 求导得1(,,)k f u f v f wkt f x y z u t v t w t -∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂， 又 ,u v w x y z t t t ∂∂∂===∂∂∂ 有 1(,,)k f f f x y z k t f x y z u v w-∂∂∂++=∂∂∂上式两边同乘以t ，得(,,)k f f f txty tz kt f x y z u v w ∂∂∂++=∂∂∂ 即有 (,,)f f f u v w kf u v w u v w∂∂∂++=∂∂∂ 于是得 (,,)f f fxy z kf x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂． 例3．已知函数(,)u u x y =，满足方程2222()0u u u u a x y x y∂∂∂∂-++=∂∂∂∂ （1）试选择参数α，β，利用变量(,)(,)x y u x y v x y e αβ+=，将原方程变形使得新方程中不含一阶偏导数项；（2）再令x y ξ=+，x y η=-，使新方程变换形式 解：（1）()x y x y x y u v v e v e v e x x xαβαβαβαα+++∂∂∂=+=+∂∂∂ 2222()()x y x y u v v ve v e x x x xαβαβααα++∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 222(2)x y v vv e x xαβαα+∂∂=++∂∂， ()x y u vv e y yαββ+∂∂=+∂∂， 22222(2)x yu v v v e y y yαβββ+∂∂∂=++∂∂∂ 将上述式子代入已知方程中，消去x yeαβ+变得到222222(2)(2)()0u u v va a a a v x y x yαβαβαβ∂∂∂∂-+++-++-++=∂∂∂∂， 由题意，令2020a a αβ+=⎧⎨-+=⎩，解出22a a αβ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故原方程为 22220u ux y∂∂-=∂∂．（2）令x y ξ=+，x y η=-，则v v v v vx x x ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂， v v v v vy y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂∂ 22222222v v v v v x x x x xξηξηξξηξηη∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222222v v vξξηη∂∂∂=++∂∂∂∂ 同理 2222222v v v v y ξξηη∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂ 将上面式子代入22220u ux y∂∂-=∂∂中得到20vξη∂=∂∂． 例4．证明：若u =20d u ≥．（二阶全微分）记号：222222(),(),()dx dx dy dy dz dz ===，()0,()0,()0d dx d dy d dz ===． 证明：因为一阶全微分为xdx ydy zdzdu u++=则 22222()()u dx dy dz xdx ydy zdz dud u u++-++= 2222()()xdx ydy zdzu dx dy dz xdx ydy zdz u u ++++-++=222223()()u dx dy dz xdx ydy zdz u ++-++=22222223()()()x y z dx dy dz xdx ydy zdz u++++-++= 2223()()()0xdy ydx ydz zdy zdx xdz u -+-+-=≥于是有20d u ≥．练习题：1．设函数(,,),(,,),(,),(,)u f x y z x z s t y x t z s t ϕψω====偏导数存在，求,u u s t∂∂∂∂． 2．设函数(,)()z f x y x y g x ky =-+++，其中,f g 具有二阶连续偏导数，且"0g ≠，如果222"222224z z z f x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂，求常数k 的值．（2120k k ++=，故1k =-） 3．设z =，求二阶全微分20d z ≥．（222223222()()()()x y dx dy xdx ydy x y ++-++）3．隐函数的求导问题例5．设),(t x f y =，而t 是由方程0),,(=t y x G 所确定的y x ,的隐函数，求dxdy（其中),,(),,(t y x G t x f 为可微函数）．解：设方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x G t x f y 确定t y ,皆为x 的函数，将方程组对x 求导数，得0x t dy t f f dx x G G dy G tx y dx t x∂⎧''=+⎪∂⎪⎨∂∂∂∂⎪++=∂∂∂∂⎪⎩或 t x dy tf f dx xG dy G t G ydx t x x∂⎧''-=⎪∂⎪⎨∂∂∂∂⎪+=-∂∂∂∂⎪⎩解方程组，得1x t x t t t f f G G G G f f dy x t t x G G f dx f t y G Gy t''-∂∂∂∂-''-∂∂∂∂==∂∂'-'+∂∂∂∂∂∂． 例6．设(,,)u f x y z =，2(,,)0yx e z ϕ=，sin y x =，其中,f ϕ具有一阶连续偏导数，且0x ϕ∂≠∂，求dudx． 解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，x yzxyxu从复合关系图看出复合关系后求导，有x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx∂∂∂'''=++=++∂∂∂ 由2(,,)0y x e z ϕ=两边对x 求导，得12320ydy dzx e dx dxϕϕϕ'''++= ， 又cos dyx dx=，代入上式得 1231(2cos )y dz x e x dx ϕϕϕ''=-+'于是123cos (2cos )y z x y f duf f x x e x dx ϕϕϕ'''''=+-+'． 例7．设(,)z z x y =是由方程(,)z z f xy e =确定的隐函数，求偏导数,z zx y∂∂∂∂． 解法1：设(,,)(,)z F x y z f xy e z =-，求偏导数1x F f y''=⋅，1y F f x ''=⋅，21z z F f e '=⋅-， 应用公式得112211x z zz F yf yf zx F f e e f '''∂=-=-='''∂--，112211y z zz F xf xf zy F f e e f '''∂=-=-='''∂--． 方法2：直接应用复合函数求导法则，方程两边关于x 求偏导数，此时z 是,x y 得函数，于是12(,)(,)z z z z zf xy e y f xy e e x x∂∂''=⋅+⋅∂∂， 从上述方程中解出z x ∂∂，即得121z yf zx e f '∂='∂-．方程两边关于y 求偏导数，此时z 是,x y 得函数， 于是12(,)(,)z z z z z f xy e x f xy e e y y∂∂''=⋅+⋅∂∂，从上述方程中解出z y ∂∂，即得121zxf zy e f '∂='∂-． 方法3：应用一阶全微分形式不变性12(,)()z z dz df xy e f d xy f de ''==⋅+⋅ 112z f ydx f xdy f e dz '''=⋅+⋅+⋅，移项得 211(1)zf e d z y f d x x f d y '''-⋅=⋅+⋅， 解出112211z zyf yf dz dx dy e f e f ''=+''--， 因此121z yf z x e f '∂='∂-，121z xf zy e f '∂='∂-． 例8．设sin ,sin u xu v x y v y+=+=，求22,,,du dv d u d v ． 解：方程组sin sin u v x yy u x v+=+⎧⎨=⎩对x 求微分，得sin cos sin cos du dv dx dy udy y udu vdx x vdv +=+⎧⎨+=+⎩（1）解方程组的1[(sin cos )(sin cos )]cos cos du v x v dx u x v dy x v y u=+--+1[(sin cos )(sin cos )]cos cos dv u y u dy v y u dx x v y u=+--+（1） 式方程组再微分一次，得222222cos 2cos sin cos 2cos sin d u d v y ud u udydu y udu x vd v vdxdv x vdv⎧+=⎨+-=+-⎩ （2） 解方程组（2），得221[(2cos sin )(2cos sin )]cos cos d u d v vdx x vdv dv udy y udu du x v y u=-=---+．例9．设函数(,)z f x y =有连续的一阶偏导数，(,)w w u v =是由方程组2211w x y u x y v x y z e++⎧=+⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩所确定的隐函数，试将方程()()z z y x y x z x y x y∂∂-=-≠∂∂化为,w w u v ∂∂∂∂所满足的关系式． 解：由方程组可以看出(,,),(,)w x y z f x y w e w w u v ++===，则1321()(2)w x y w x y z w u w v w w z z e e x x u x v x u x v++++∂∂∂∂∂∂∂=++=+-∂∂∂∂∂∂∂ 2321()(2)w x y w x y z w u w v w w z z e e y y u y v y u y v++++∂∂∂∂∂∂∂=++=+-∂∂∂∂∂∂∂ 因此 左边22()()w x y y x z z v y x∂=-+-∂，右边()y x z =-， 于是方程()()z z y x y x z x y x y∂∂-=-≠∂∂化为 22()0w x y z v y x∂-=∂， 又由于3322220x y x y y x x y--=≠，故0w v ∂=∂． 例10．设)(u f 有连续的二阶导数，且)sin (y e f z x=满足方程z e y z x z x 22222=∂∂+∂∂，求)(u f ．解：设sin xu e y =，则 '()'()sin '()x z u f u f u e y uf u x x∂∂===∂∂， '()'()cos x z u f u f u e y y y∂∂==∂∂， 222"()'()z f u u f u u x∂=+∂，（u u x ∂=∂）， 2222'()sin cos "()'()"()cos x x x z u f u e y e yf u uf u f u e y y y∂∂=-+=-+∂∂，所以 22222"()x z z e f u x y∂∂+=∂∂． 由已知条件，得22"()()x x e f u e f u =，即"()()0f u f u -=，这是二阶常系数线性微分方程，其特征方程为210r -=，特征根为1r =±，则12()u u f u c e c e -=+为所求．练习题：1．已知ty y e x =+，而t 是由方程2221y t x +-=所确定的,x y 的函数，求dy dx． （22()tytydy t xye dx t y t e +=+-） 2．设2222221x y z a b c++=，求全微分2,dz d z ． 3．设函数222),(z y x r r f u ++==，在0>r 内满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ， 其中)(r f 为二阶可导函数，且1)1()1(='=f f ，试将方程化为以y 为自变量的常微分方程，并求)(r f ．（1()2f r r=-+）。
第九章多元函数微分法及其应用教案
三
与一元函数的极限概念类似如果在P(xy)P0(x0y0)的过程中对应的函数值f(xy)无限接近于一个确定的常数A则称A是函数f(xy)当(xy)(x0y0)时的极限
定义2：设二元函数f(P)f(xy)的定义域为DP0(x0y0)是D的聚点如果存在常数A对于任意给定的正数总存在正数使得当 时都有
C{P| |OP|r}
邻域
设P0(x0y0)是xOy平面上的一个点是某一正数与点P0(x0y0)距离小于的点P(xy)的全体称为点P0的邻域记为U(P0即
或
邻域的几何意义U(P0)表示xOy平面上以点P0(x0y0)为中心、>0为半径的圆的内部的点P(xy)的全体
*
点P0的去心邻域记作 即
注如果不需要强调邻域的半径则用U(P0)表示点P0的某个邻域点P0的去心邻域记作
例8 求
五、多元连续函数的性质
性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上有界且能取得它的最大值和最小值
性质1就是说若f(P)在有界闭区域D上连续则必定存在常数M0使得对一切PD有|f(P)|M且存在P1、P2D使得
@
f(P1)max{f(P)|PD}f(P2)min{f(P)|PD}
f(x0xy0)f(x0y0)
如果极限
存在则称此极限为函数zf(xy)在点(x0y0)处对x的偏导数记作
；
或
例如
类似地函数zf(xy)在点(x0y0)处对y的偏导数定义为
记作 或fy(x0y0)
偏导函数如果函数zf(xy)在区域D内每一点(xy)处对x的偏导数都存在那么这个偏导数就是x、y的函数它就称为函数zf(xy)对自变量 的偏导函数记作
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第九章多元函数微分法及其应用【教学目标与要求】1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
5、掌握多元复合函数偏导数的求法。
6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
8、了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
【教学重点】1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法；6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；【教学难点】1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。
【教学课时分配】(18学时)第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§91 多元函数的基本概念一、平面点集n 维空间1．区域由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后 平面上的点P 与有序二元实数组(x y )之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x y )与平面上的点P 视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面二元的序实数组(x y )的全体 即R 2R R {(x y )|x y R }就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合 称为平面点集 记作 E {(x y )| (x y )具有性质P }例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C {(x y )| x 2y 2r 2}如果我们以点P 表示(x y ) 以|OP |表示点P 到原点O 的距离 那么集合C 可表成 C {P | |OP |r } 邻域设P 0(x 0 y 0)是xOy 平面上的一个点 是某一正数 与点P 0(x 0 y 0)距离小于的点P (x y )的全体 称为点P 0的邻域 记为U (P 0 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或})()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U邻域的几何意义 U (P 0 )表示xOy 平面上以点P 0(x 0 y 0)为中心、 >0为半径的圆的内部的点P (x y )的全体点P 0的去心邻域 记作) ,(0δP U ο即 }||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U ο注 如果不需要强调邻域的半径 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域 点P 0的去心邻域记作)(0P U ο点与点集之间的关系任意一点P R 2与任意一个点集E R 2之间必有以下三种关系中的一种(1)内点 如果存在点P 的某一邻域U (P ) 使得U (P )E 则称P 为E 的内点 (2)外点 如果存在点P 的某个邻域U (P ) 使得U (P )E 则称P 为E 的外点 (3)边界点 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点 也有不属于E 的点 则称P 点为E 的边点E 的边界点的全体 称为E 的边界 记作EE 的内点必属于E E 的外点必定不属于E 而E 的边界点可能属于E 也可能不属于E 聚点如果对于任意给定的0 点P 的去心邻域),(δP U ο内总有E 中的点 则称P 是E的聚点由聚点的定义可知点集E的聚点P本身可以属于E也可能不属于E例如设平面点集E{(x y)|1x2y22}满足1x2y22的一切点(x y)都是E的内点满足x2y21的一切点(x y)都是E的边界点它们都不属于E满足x2y22的一切点(x y)也是E的边界点它们都属于E点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点开集如果点集E的点都是内点则称E为开集闭集如果点集的余集E c为开集则称E为闭集开集的例子E{(x y)|1<x2y2<2}闭集的例子E{(x y)|1x2y22}集合{(x y)|1x2y22}既非开集也非闭集连通性如果点集E内任何两点都可用折线连结起来且该折线上的点都属于E则称E为连通集区域(或开区域)连通的开集称为区域或开区域例如E{(x y)|1x2y22}闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域例如E{(x y)|1x2y22}有界集对于平面点集E如果存在某一正数r使得E U(O r)其中O是坐标原点则称E为有界点集无界集一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集例如集合{(x y)|1x2y22}是有界闭区域集合{(x y)| x y1}是无界开区域集合{(x y)| x y1}是无界闭区域2 n维空间设n为取定的一个自然数我们用R n表示n元有序数组(x1x2x n)的全体所构成的集合即R n R R R{(x1x2x n)| x i R i12 n}R n中的元素(x1x2x n)有时也用单个字母x来表示即x(x1x2x n)当所有的x i(i1 2n)都为零时称这样的元素为R n中的零元记为0或O在解析几何中通过直角坐标R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应因而R n中的元素x(x1x2x n)也称为R n中的一个点或一个n维向量x i称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量特别地R n中的零元0称为R n中的坐标原点或n维零向量二多元函数概念例１圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系V r2h这里当r、h在集合{(r h) | r>0h>0}内取定一对值(r h)时V对应的值就随之确定 例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系VRT p =其中R 为常数 这里 当V 、T 在集合{(V T ) | V >0 T >0}内取定一对值(V T )时 p 的对应值就随之确定定义1 设D 是R 2的一个非空子集 称映射f D R 为定义在D 上的二元函数 通常记为z f (x y ) (x y )D (或z f (P ) P D )其中点集D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量上述定义中 与自变量x 、y 的一对值(x y )相对应的因变量z 的值 也称为f 在点(x y )处的函数值 记作f (x y ) 即z f (x y ) 值域 f (D ){z | z f (x y ) (x y )D }函数的其它符号 z z (x y ) z g (x y )等类似地可定义三元函数u f (x y z ) (x y z )D 以及三元以上的函数一般地 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D 映射f D R 就称为定义在D 上的n 元函数 通常记为u f (x 1 x 2 x n ) (x 1 x 2 x n )D 或简记为u f (x ) x (x 1 x 2 x n )D 也可记为u f (P ) P (x 1 x 2 x n )D关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数u f (x )时 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如函数z ln(x y )的定义域为{(x y )|x y >0}(无界开区域)函数z arcsin(x 2y 2)的定义域为{(x y )|x 2y 21}(有界闭区域)二元函数的图形 点集{(x y z )|z f (x y ) (x y )D }称为二元函数z f (x y )的图形 二元函数的图形是一张曲面 三多元函数的极限与一元函数的极限概念类似 如果在P (x y )P 0(x 0 y 0)的过程中 对应的函数值f (x y )无限接近于一个确定的常数A 则称A 是函数f (x y )当(x y )(x 0 y 0)时的极限定义2 ：设二元函数f (P )f (x y )的定义域为D P 0(x 0 y 0)是D 的聚点 如果存在常数A对于任意给定的正数总存在正数使得当),(),(0δP U D y x P ο⋂∈时都有|f (P )A ||f (x y )A |成立 则称常数A 为函数f (x y )当(x y )(x 0 y 0)时的极限 记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 或f (x y )A ((x y )(x 0 y 0))也记作 A P f P P =→)(lim 0或f (P )A (P P 0)上述定义的极限也称为二重极限例4. 设22221sin )(),(y x y x y x f ++= 求证),(lim )0,0(),(=→y x f y x证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin )(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-可见 >0 取εδ= 则当δ<-+-<22)0()0(0y x 即),(),(δO U D y x P ο⋂∈时总有|f (x y )0|因此 0),(lim )0,0(),(=→y x f y x必须注意(1)二重极限存在 是指P 以任何方式趋于P 0时 函数都无限接近于A(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0 0)有无极限提示 当点P (x y )沿x 轴趋于点(0 0)时00lim )0 ,(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f当点P (x y )沿y 轴趋于点(0 0)时0lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f当点P (x y )沿直线y kx 有22222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→因此 函数f (x y )在(0 0)处无极限极限概念的推广 多元函数的极限多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 例5 求x xy y x )sin(lim)2,0(),(→解y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim→→⋅=122四 多元函数的连续性定义3 设二元函数f (P )f (x y )的定义域为D P 0(x 0 y 0)为D 的聚点 且P 0D 如果),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→则称函数f (x y )在点P 0(x 0 y 0)连续如果函数f (x y )在D 的每一点都连续 那么就称函数f (x y )在D 上连续 或者称f (x y )是D 上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去 例6设f (x ,y )sin x 证明f (x y )是R 2上的连续函数 证 设P 0(x 0 y 0) R 2 0 由于sin x 在x 0处连续 故0 当|x x 0|时 有|sin x sin x 0| 以上述作P 0的邻域U (P 0 ) 则当P (x y )U (P 0 )时 显然 |f (x y )f (x 0 y 0)||sin x sin x 0|即f (x y )sin x 在点P 0(x 0 y 0) 连续 由P 0的任意性知 sin x 作为x y 的二元函数在R 2上连续类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的定义4设函数f (x y )的定义域为D P 0(x 0 y 0)是D 的聚点 如果函数f (x y )在点P 0(x 0 y 0)不连续 则称P 0(x 0 y 0)为函数f (x y )的间断点 例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f其定义域D R 2 O (0 0)是D 的聚点 f (x y )当(x y )(0 0)时的极限不存在 所以点O (0 0)是该函数的一个间断点 又如函数11sin22-+=y x z 其定义域为D {(x y )|x 2y 21} 圆周C {(xy )|x 2y 21}上的点都是D 的聚点 而f (x y )在C 上没有定义 当然f (x y )在C 上各点都不连续 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的例如2221y y x x +-+ sin(x y )222z y xe ++都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 例7 求xy yx y x +→)2,1(),(lim一般地 求)(lim 0P f P P →时如果f (P )是初等函数 且P 0是f (P )的定义域的内点 则f (P )在点P 0处连续 于是 )()(lim 00P f P f P P =→例8 求xyxy y x 11lim)0 ,0(),(-+→五、多元连续函数的性质性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数 必定在D 上有界 且能取得它的最大值和最小值性质1就是说 若f (P )在有界闭区域D 上连续 则必定存在常数M 0 使得对一切P D 有|f (P )|M 且存在P 1、P 2D 使得f (P 1)max{f (P )|P D } f (P 2)min{f (P )|P D }性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值小结1. 区域的概念；2. 多元函数的定义；3. 多元函数的极限及其求解；4. 多元函数的连续性。