电动力学uniquenesstheorem唯一性定理完全解读

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《电动力学第三版》chapter2_2唯一性定理

E2t E1t
D
2n
D1n
如果我们假设 E仍保持球对称性,即
E1
A r3
r
E2
A r3
r
(左半部) (右半部)
(A为待定常数),分界面两侧电场与界面相切,并有相同数值,因而边值关系得到满足.
球对称的E在球面上处处与球面垂直,保证导体球面为等
势面. 为了满足内导体总电荷等于Q,我们计算内导体球面上
对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除，将导体看成是区域边界之一，即可证明电场被唯一确定.
对于第二类边界条件，在导体外，电荷分布给定，大区域表面上电势或电势的法向导数给定；每个导体上的总电荷给定.
设区域V 内有一些导体,给定导体之外的电荷分布x 给定
各导体上的总电荷Qi以及V的边界S上的或/n值,则V内的电
有球对称性. 试解释之.
子区域 2
子区域 4
子区域 3
i ( S i i )d S i V i i d V(1)
i
V ii( )2dVV i(i 2)dV
i
i 2dV
Vi
i S i(i )d S i S i(i n i)d S 0 (2)(3)
i S i i d S i V i i 2 d V 0
场唯一地确定. 存在唯一的解,它在导体以外满足泊松方程
2/
在第i个导体上满足总电荷条件和等势面条件
Si ndSQ i, |Sii 常量
以及在V的边界S上具有给定的|s 或/n|s值.
证明: 设有和同时满足上述条件. 令 '''
2 0
|si 0,
dS 0 Si n
|s 0 或
第二章静电场

电动力学课件2-2-唯一性定理1

壳内中心放置一个点电荷 Q，
Q
求壳内场强。
解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地 0 S
2 0 (R 0) 因而腔内场唯一确定。
已知点电荷产生的电势为
1
Q
4 0 R
但它在边界上
1
Q
S 4 0a
不满足 0 S
要使边界上任何一点电势为0 ，
设 Q Q
4 0 R 4 0a
它满足 2 0 0 S
2. 实用价值:无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。
四、应用举例
1. 半径为 a 的导体球壳接地
2 , , 2 0
i
i
在两均匀区界面上有
i j , i j , i j
i
i
n
j
j
n
,
i
i
n
j
j
n
i
i
n
j
j
n
在整个区域V的边界S上有
或者
S
S
0
0
S
S
S
0
n S n S n S
i ds = i ( )2 dV
Si
Vi
i ds i ( )2 dV
2i
i
两类边界条件：① 边界S上，
S 为已知，若为导体
S =常数。② 边界S上，
n S 为已知，若是导体要给
定总电荷Q。它相当于给定（ Q dS ）
n S
S n S

第2节唯一性定理

o R 0
M 在圆心缩为一点，条件不变，解不变。
由此得出
Q 4 0 r
1
r R0
请说明原因，并画出电力线图示。
例：求偶极子在远区的场。偶极子：1 其线度 l r 2 电荷线度线度 l 定义——偶极矩 P ql
(r ) 1
q q q r r' r' ( ) 4 0 r r' 4 0 rr ' q l cos 1 Pr 2 3 q l q 4 0 r 4 0 r
或
u
n s
0
使等式左端=0，则右端
2 2 ( u ) 0 u 0 ( u ) dV 0
v
u 0
V内 u =常数 1）若 u 0即1 2，同一个势，对应同一个场。 2）1 , 2 可相差一个常数，不影响场分布。电场分布唯一确定。
r
1 Pr 1 1 E 3 ( P ) 4 0 r 4 0 r 1 3( P r )r P ( 3) 5 4 0 r r 1 P cos ( E ) r E er 2 0 r3 1 P sin ( E ) E e 3 4 r 0 (E) E e 0
2 s'
2u 0
s'
uu dS uu dS uu dS
s si

v'
(u ) dV uu dS
2 s'
在 Si 表面上 u 常数
u u dS u u dS u dS 0 su si si n i
E1 E2 n

关于静电场唯一性定理的讨论

关于静电场唯一性定理的讨论
静电场唯一性定理是物理中一个重要的理论，说明了每个静电场系
统有唯一的电场强度，且不会改变。

这个定理的本质就是给电场的描
述赋予了确定性，因而被称为“唯一性”。

它宣称，一个静电场系统里
有唯一的电势差和电势强度，并且这个数值的变化应该是可以计算的，而不会由于外部因素造成变化。

由于静电场唯一性定理的实用性，它被广泛应用在电动学问题中，有
助于计算电力和其他重要物理量。

因此，它也被认为是物理学中最基
本的定律之一。

此外，它还可以用来解释为什么只有恒定的电压供应，而不会因外界因素而变化。

电动力学uniquenesstheorem唯一性定理完全解读

们都能满足同一种泊松方程和边界条件,下面我们将证明它们只能是同一种解.
引入标量函数Φ ,令Φ = '- ″
2 , 2 , 2 0
i
i
在区域边界面S 上
S
S
0 S
(给定第一类边界条件)
或 ,
n S n S
0
n S
(给定第二类边界条件)
下面需要证明旳是,满足以上方程和边界条件旳'和
1) 绝缘介质静电问题旳唯一性定理及证明在有限旳边界区域V 内有几种均匀旳绝缘介质Vi 、εi
(i = 1、2、3 …) ，V 中旳自由电荷分布(ρ或σ) 为已知，那
么，当V 旳边界面S 上旳电势给定(或电势旳法向导数边
界条件) ，则V 内旳电场有唯一拟定旳解。
数学表述如下:
2 i
i
(在每个小区Vi)
V′旳全部内、外表面上都有一定旳值或值，应用有关绝缘介
质旳唯一性定理，则V′内旳电场必有唯一解. n
b）区域V 内有若干导体,假设除导体以外旳区域V′内旳自由电荷分
布ρ已知，V′旳外表面S 上有已知旳值或值，另外，若每个导
n 体所带旳总电量Qi 为已知，则区域V′内旳电场有唯一解。
数学表达为:
场有唯一解。这么，有导体存在时静电问题旳唯一性定理也得到证明。
最终需要强调一点,尽管唯一性定理并不给出求解泊松方程旳详细措施与环节,但它对于处理实际旳边值问题有着主要旳意义. 首先,它明确了在哪些条件下能够唯一地拟定一种静电场,即给出了求解静电场旳根据;其次,它使我们能够灵活地选用最简朴、最合适旳解题措施, 甚至能够猜一种解(即提出尝试解) . 只要这个解确实满足了问题中旳场方程和全部定解条件,那么,根据唯一性定理我们就能够肯定地说,它就是该问题中旳唯一正确旳解.

3.2 唯一性定理

唯性定唯一性定理汪毅静电问题的唯一性定理均匀分区的区域V，即V可以分为若干个均匀区域Vi，每个均匀区域的电容率为ε 设内有给定的自由每个均匀区域的电容率为 i，设V内有给定的自由电荷分布ρ(x)。

电势ϕ在均匀区域Vi内满足泊松方 ρ ϕ 程：ρ ∇ ϕ =− εi2在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系：ϕi = ϕ j∂ϕ j ∂ϕi εi =εj ∂n ∂n静电问题的唯一性定理要完全确定V内电场，还必须给出V的边界S上的一些条件。

下面提出的唯性定理具体指出所需给定些条件。

下面提出的唯一性定理具体指出所需给定的边值条件： 1）给定边界S的电势 2）给定边界S的电势法向偏导数或者说V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在的边界上满足给定的ϕ或者∂ϕ/∂ 并在V的边界上满足给定的ϕ或者∂ϕ/∂n唯性定理证明唯一性定理证明证明：假定泊松方程有两个解 ϕ1 , ϕ 2 ，满足：在边界上：ρ ∇ ϕ1 = ε2ρ ∇ ϕ2 = ε2ϕ1 S = ϕ 2令：S=ϕ S∂ϕ1 ∂nS∂ϕ ∂ϕ2 = = ∂n S ∂nSΦ = ϕ1 − ϕ2 ∇2Φ =∇2ϕ1 −∇2ϕ2 = 0 ∇ ∇唯一性定理证明Φ S = ϕ1 S − ϕ2 S∂ϕ2 ∂ϕ1 ∂Φ − =0 = ∂n S ∂n ∂n S =0S考虑第i个均匀区域Vi的界面Si上的积分∫Siε i Φ ∇Φ ⋅ dS∫根据格林第一公式：根据格林第公式Si ViεiΦ ∇Φ⋅ dS = ∫ ∇ (εiΦ ∇Φ )dV ∇Φ ∇⋅= ∫ εi (∇Φ ) dV + ∫ ϕεi∇ Φ dV2 2 Vi Vi唯一性定理证明 2 ε i Φ ∇Φ ⋅ dS = ∫ ε i (∇Φ ) dV ∫S Vi i对所有分域求对所有分区域Vi求和∑∫iSiε i Φ ∇Φ ⋅ dS = ∑ ∫ ε i (∇Φ ) dV2 i ViΦ 在两均匀区域Vi和Vj界面上，和ε ∇Φ 的法向分量分别相等，但 dSi = − dS j ，因此上式左边的和式中，内部分界面的积分互相抵消，因此只剩下整式中内部分界面的积分互相抵消因此只剩下整 Φ 个V的边界面S上的积分。

电动力学2-2 唯一性定理

E1t = E2t A E1 = 3 r r
D2n = D n = 0 1
∫ D⋅ dS = ∫ ε E ⋅ dS + ∫
S1 1 1
S2
ε2 E2 ⋅ dS = Q
将电场值代入得 2π (ε1 +ε2 ) A= Q Q A= 解出 2π (ε1 +ε2 )
Qr 则 E1 = (左半部左半部) 左半部 3 2π (ε1 + ε2 )r
2
在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系在两区域
∂ϕ ∂ϕ ϕi = ϕ j， εi = ε j ∂n i ∂n j
除此之外，要完全确定内的电场还必须给出V 内的电场，除此之外，要完全确定V内的电场，还必须给出内的边界S上的一些条件。内的边界上的一些条件。下面提出的唯一性定上的一些条件理具体指出所需给定的边界条件。理具体指出所需给定的边界条件。
Qr E2 = 右半部) 右半部 3 (右半部 2π (ε1 + ε2 )r
此解满足唯一性定理的所有条件，此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解。确的解。虽然E仍保持球对称性，但是和导体面上的电荷虽然仍保持球对称性，但是D和导体面上的电荷仍保持球对称性面密度σ不具有球对称性。设内导体半径为，面密度不具有球对称性。设内导体半径为a，则不具有球对称性球面上的电荷面密度为
§2.2 唯一性定理
一、唯一性定理的重要意义
1. 给出了确定静电场的条件，这是解决实际问题给出了确定静电场的条件，的依据。的依据。 2. 在有解的情况下，解是唯一的。因此，在实在有解的情况下，解是唯一的。因此，际问题中，可以根据给定的条件作一定的分析，际问题中，可以根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解，提出尝试解，只要它满足唯一性定理所要求的条件，它就是唯一正确的解。它就是唯一正确的解。

3.1 唯一性定理

r
S∞
衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，不同媒质分界面上的边界条件，如

∂ϕ1 ∂ϕ2 ϕ1 = ϕ2 , ε1 = ε2 ∂n ∂n
ε1 ε2
ϕ1
ϕ2
3
例：
b
y
U0
∂2ϕ ∂2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y ϕ(0, y) = 0,ϕ(a, y) = 0
ϕ(x,0) = 0,ϕ(x, b) =U0
ϕ
* S1
= ϕ1 S1 −ϕ2
∂ϕ* = 0, ∂n
∂ϕ1 S2 = ∂n
∂ϕ2 S2 − ∂n
S2
=0
∫
V
(∇ϕ ∗ ) 2 dV = 0
∇ϕ ∗ = 0
ϕ ∗ = ϕ1 − ϕ2 = 常数
解也是唯一的。解也是唯一的。唯一性定理得证，唯一性定理得证，说明满足泊松方程或拉普拉斯 8 方程及所给的全部边界条件的解是唯一的。方程及所给的全部边界条件的解是唯一的。
o
a
x
（第一类边值问题）第一类边值问题）
例：
b
∂ϕ =0 ∂x
y
U0
∂ϕ =0 ∂x
o
a
x
∂2ϕ ∂2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂ϕ ∂ϕ x=0 = 0, x=a = 0 ∂x ∂x ϕ(x,0) = 0,ϕ(x, b) =U0
（第三类边值问题）第三类边值问题）
4
二、唯一性定理
1.唯一性定理 1.唯一性定理内容：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部泊松方程及所给的内容：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部
12
S
∂ϕ ∗ (∇ϕ ∗ ) 2 dV = ∫ ϕ ∗ dS ∫V S ∂n

唯一性定理

唯一性定理
静电场的基本问题：
求出在每个均匀区域内满足泊松方程，在所有分界面上满足边值关系，在所研究的整个区域边界上满足边界条件的电势的解
2 i
i
Sij
j
Sij
i
i
n
Sij
j
j
n
Sij
V
j S
i
Sij evn
除此之外，要完全确定V内静电场的解，还必须给出整个区域边界S上的一些条件。
1
到底需要给定哪些条件，才能求得静电场的解，并且解是唯一的？
Ra
(2) 介质内无自由电荷分布； (3) R=a处导体球带总电量Qf 该定解问题有唯一解。
9
1. 给出边值关系和边界条件设左、右介质的电势分别为 1 和 2
Ñ dS Qi
Si n
根据唯一性定理，只要能找到一个满足上面定解条件的特解，那该解就一定是该问题的唯一解。
10
2. 提出尝试解
C与 0为待定系数，且 0与外球壳半径a’有关 3. 由边值关系和边界条件确定待定系数
2 0 Qf 2 1 2 a2
相同
v
2
0Q f
1 2 a2
（, 右半球）
P1
v P2
15
所以，由于有束缚电荷的存在，在内导体球壳两半球面上束缚电荷与自由电荷之和是球对称的，所以电场强度E是球对称的。
首先判断该问题是否满足唯一性定理。 1. 给出边值关系和边界条件 2. 提出尝试解 3. 由边值关系和边界条件确定待定系数 4. 求电场和球壳上的电荷分布
Ñ i
Vi
i
2dV
v
Si i dS i
2 0
Vi i 2 dV
积分区域包括沿区域V的边界S上的面积分和沿各分区的分界面Sij的面积4分

唯一性定理

n
( ) dV ds 0 n V S

1 n

2 n
0

S曲面上
S曲面内
S曲面上
2018/12/24
0 n
0 C

7
第二章 2.7
当 1 和 2 选择相同的参考点时, C 0Fra bibliotek第二章 2.7
2.7 唯一性定理
我们希望在求解静电场问题时,其解是唯一的,那么,在什么条件下,其解才是唯一?
2018/12/24
1
第二章 2.7
边值问题:
1. 给定边界上的电位函数,即已 f1 ( s) ，知 s S为边界上的点。 (狄里克利边界条件)

2. 给定边界上的电位函数的法向导数,即已知
5
第二章 2.7
则
2 ( ) dV ds n V S
又 ∵ ∴ 故
由边界条件有
1 2
1 2 0 在曲面边界上，
2 ( ) dV ds 0 n V S
令

2
则
( )dV ds n V S
2018/12/24
4
第二章 2.7
设在体积V内，其满足边值 f1 (s) 的拉普拉斯方程的解不是唯一的，有1 和 2 两个解。
即有令
1 0
2
2 0
2
即
1 2
1 2 解唯一.
3.
三类边界问题

1
f1 ( s)
n
f 2 ( s)

电动力学 chp2-2唯一性定理

2 0 分析:壳外电势满足 s Q 0 i
+
不论壳内电荷位置怎样变化,上述边界条件不变,故壳外电场与电荷在壳内位置无关.
例2.如图两同心导体球壳之间充以两种介质,左半部分电容率为右半部分电容率为 2 ,设内球壳带总 1 电荷Q,外球壳接地,求电场和球壳上的电荷分布. 解:设两种介质内电势、电场、位移分别为
对内导体面： D dS 1E1 dS 2 E2 dS Q
S
2 1 2 A Q
S1
S2
Q A 2 1 2
E1 E2
左半部：
Qr 2 1 2 r 3
1 , E1 , D1和2 , E2 , D2
由电势的边界条件，假设介质1、2中 E 仍保持球对称，即设 1 A A Q E1 3 r , E2 3 r , r r Q 此尝试解在介质1，2分界面上满足 E1t E2t
2
且D1n D2 n 0，（界面上 0 ）
2 0 Q 2 p p2 r 2 1 2 a 2
但可验证 1 1p 2 2 p
0Q 2 1 2 a 2
可见内球面上总电荷(自由,极化电荷)是均匀分布的,故总场仍为球对称.
[例3] 有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上，介质的介电常数分别是
1Q 1 D1n D1r 1E1r 2 1 2 a 2
2Q 右半部： 2 D2n D2r 2 E2r 2 1 2 a 2 1p p1r 1 0 E1r 1 0 Q 2 2 1 2 a

电动力学Chapter22(唯一性定理)

在未来研究中的应用和价值
唯一性定理在理论物理、应用物理、工程物理等领域具有广泛的应用价值。随着科学技术的发展，新的问题和现象不断涌现，唯一性定理的应用范围也将不断扩大。
在未来研究中，唯一性定理的价值不仅在于其解决具体问题的实用性，更在于其对物理学理论发展的推动作用。通过对唯一性定理的研究和应用，可以加深对物理学基本规律和原理的理解，促进物理学理论的创新和发展。
通过应用唯一性定理，可以确定电磁波的传播方向、幅度和相位，以及在不同介质中的反射和折射特性。
唯一性定理在雷达、通信和光学等领域有着广泛的应用，对于电磁波的传播特性和应用具有重要意义。
在量子力学中的应用
在量子力学中，唯一性定理用于描述微观粒子的行为和相互作用，
特别是在处理薛定谔方程时。
通过应用唯一性定理，可以确定微观粒子的波函数和能量状态，以及它们之间的相互作用和演化。
唯一性定理在量子计算、量子通信和量子信息等领域有着广泛的应用，对于理解微观世界的本质
和规律具有重要意义。
04 唯一性定理的推广和展望
推广到多维空间
在多维空间中，唯一性定理的应用更为广泛，可以解决更为复杂的物理问题。例如，在电磁场理论中，可以将唯一性定理应用于高维空间中的电荷分布和电流密度，以确定电磁场的性质和行为。
在多维空间中，唯一性定理的证明过程需要更复杂的数学工具和技巧，但其实质仍然是基于电荷守恒和麦克斯韦方程组的性质。
与其他物理定理的联系
唯一性定理与能量守恒定理、动量守恒定理等基本物理定理密切相关。这些定理在描述物理现象时具有普适性和基础性，而唯一性定理则是解决具体问题的有力工具。
在某些情况下，唯一性定理的证明和应用需要借助其他物理定理，如能量动量张量定理、哈密顿原理等。这些定理在理论物理中具有重要地位，相互联系、相互支持，共同构建了物理学理论的完整体系。

电磁场边值问题唯一性定理(完美解析)

f2 (s)
已知边界上电位及电位法向导数的线性组合
（＋
) n S
f3(s)
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实验法边值问题
计算法
实测法模拟法解析法
数值法
积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法
••••••
有限差分法有限元法边界元法矩量法积分方程法
••••••
返回上页下页
例1.4.2 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。
返回上页下页
得到
1 (r )
6 0
(3a 2
r2)
0ra
2
(r)
a3 3 0 r
ar
电场强度（球坐标梯度＝公式r）e：r
1 r
e
1
rsin
e
E1(r) 1
1
r
er
r 3 0
er
0 r a 图1.4.3 ，E 随r变
化曲线
E2 (r )
2
2
r
er
a2 30r 2
er
ar
返回上页下页
返回上ueness Theorem)
惟一性定理：在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的。
例1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
图1.4.4 平板电容器外加电源 U0
A.
1
U0 d
x2
B.
2
U0 d
x
U0
C.
3
U0 d
x U0
答案:（C ）
1
1
n
2
2
n
li有m限值r r
l有im限值 r 0 返回上页

唯一性定理+镜像法课件

b2
a22 d2
q2
a2 d2
q2
➢ 球壳外区域任一点电位为
外
q
4π0
(r
2
2d2r
1
cos
d22 )1/ 2
(d22 r 2
a2
2d2ra22 cos
a24 )1/ 2
球壳中：
➢ 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。
球壳内：边界为r = a1的导体球面，
边界条件为 (a1, ,) 0
✓用反证法可以证明。
➢ 惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用。
3.5、镜像法
镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
q″=－q′
(r, ,)
为荷q″应位于球心处。
a
r2
q
球外任一点电位：
q q b d
q
4π0
(r
2
2dr
1
cos
d 2 )1/ 2
(d 2r2
a
2dra2 cos
a4 )1/ 2
a dr
球面上任一点电位： q q 4π0a 4π0d
例3：有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各
谢谢观看！ 2020
16π d
2
avz
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
Z
l h
x
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静电场电位边值问题唯一性定理的补充与完整证明

静电场电位边值问题唯一性定理的补充与完整证明陈文卿;闫述【摘要】The electrostatic boundary value problem and the uniqueness of solutions are sup-plemented and proved in this paper.At first,the region condition and the convergence bound-ary are distinguished from the usual mixed singularity.The form of Robin Problem in electro-static field boundary value problem is confirmed.The convergence condition and the infinite boundary condition are added to the uniqueness theorem of solutions.These boundary condi-tions are re-classified according to the form of mathematical expressions.Then in the proof of the uniqueness of the potential solutions under boundary conditions,infinite boundary condi-tions and convergence conditions,the problem of the coefficient of the third kind of boundary condition and the applicative boundary value problem with infinite space are solved.We also demonstrate the uniqueness of potential solutions for Dirichlet and Robin Problem and con-stant differences in the potential of Neumann Problem.Finally,the application of region,in-finity and convergence boundary conditions in problems solving is illustrated by an example.The supplemented theorem can be better used as the basis for solving problems and follow-up learning.%本文对静电场电位边值问题与解的唯一性定理作了补充与完整的证明.首先将区域边界与衔接边界从通常的混称中区分开来,确认了静电场边值问题中第三类边界条件应有的形式,在解的唯一性定理中增加了衔接条件和无限远边界条件,并根据数学表达式的形式重新归类.然后在区域边界条件、无限远边界条件和衔接条件下电位解的唯一性的证明中,讨论了第一、第三类边值问题电位解的唯一性与全二类边界条件下电位存在常数差的问题,解除了第三类边界条件系数为正的限制,说明了整个求解空间为无限大时适用的边值问题.最后通过例题说明了区域、无限远和衔接3种边界条件在解题中的应用.补充后的定理可以更好地作为解题和后续学习的依据和基础.【期刊名称】《物理与工程》【年(卷),期】2017(027)006【总页数】6页(P54-59)【关键词】电位的边值问题;区域边界条件;衔接条件;唯一性定理;证明【作者】陈文卿;闫述【作者单位】江苏大学计算机科学与通信工程学院,江苏镇江 212013;江苏大学计算机科学与通信工程学院,江苏镇江 212013【正文语种】中文电位的边值问题与解的唯一性是通信和电子信息类相关专业本科阶段电磁场与电磁波和电动力学课程中静电场部分的重要内容，也是求解其他边值问题的基础。

电动力学uniqueness theorem唯一性定理完全解读

同理,对区域V2 ,重复以上过程,可得到
2 2 2 2 dS 2 2 dV2 n2 内边界 V2
1 2 11 n dS 1 1 dV1 内边界 1 V1
2 2 2 2 dS 2 2 dV2 n2 内边界 V2 n1 n, n2 n 1 1 11 n1 dS 11 n dS 内边界 2 2 两式分别相加得 2 2 n2 dS 2 2 n dS 内边界 1 2 2 2 11 2 2 dS 1 1 dV1 2 2 dV2
dV dV 2 dV
2 V V
式中 2 0
dV dS
V s
在边界面S 上,无论 S 0 还是 n
0，都使
S
dS n dS 0 s s
S
下面需要证明的是,满足以上方程和边界条件的'和 ''顶多只能差一个常数.
利用矢量的微分运算公式:
2
2 2
等式两端对V 作体积分
V
dV dV 2 dV
2 V V
V
以上所讨论的是区域内只有绝缘介质的情形. 如果区域内有导体存在,情况会有不同,因为导体表面的电荷分布与导体外的电场是相互制约的, 因而无法预先得知. 在这种情况下,必须对导体附加一些条件,区域内的电场分布才能唯一被确定,这正是我们下面要讨论的.
2）有导体存在的情况
设区域V 中有若干导体，其余部分都是一种均匀介质ε,将扣除导体后的区域称为V′，V′的边界应包括两部分:V 的表面S(或V′的外边界) ，每个导体的表面Si (或V′的内边界) .

唯一性定理+镜像法课件

例3：有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各有一点电荷q1和q2 ，与球心距离分别为d1和d2 ，如图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。
解：
a1 q1
a2
( r , , )
q2
d2
a2
o
r
q2
b2
r2
r1
q2
d1
d2
球壳外：边界为r = a2的导体球面，边界条件为 (a2 , , ) 0
球壳中：球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。球壳内：边界为r = a1的导体球面，边界条件为 (a , , ) 0 1 q1 a1 q1 根据球面镜像原理，镜像电荷 q1 的位置和大小分别为 d1 b1 2 a1 a1 q1 q1 b1 d1 d1 1 球壳内区域任一点电位为 q
r
p
a
q
r2
r1
q
b
q
d
球外任一点电位：
q 1 a a 2 2 2 2 1/ 2 2 4 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra cos a ) dr
q q 球面上任一点电位： 4π 0 a 4π 0 d
当n=3时：
q

π 3
q
q

π 3
q
q
q
q
角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。
角域夹角为π/n，n为整数时，有(2n－1)个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为

唯一性定理

唯一性定理蒋文佼（080320124）宋宝璋（080320125）夏世宇 (080320126) 李宝平 (080320127) 章文显 (080320129) 常悦 (080320130) 1、试用唯一性定理证明：封闭导体壳内部的电场不受壳外电荷（包括壳外表面）的影响。

证：导体壳无论是用电势还是用总电量给定，壳的内外一般存在着四部分电荷。

如图所示，壳内外的电荷分布分别为 ρ 和 ρe ，壳内、外表面1S 、2S 上各自的面电荷分布为σ 和 σe 。

壳内外的场是这四部分电荷共同激发的。

根据定理，首先写出壳内空间电势应满足的条件：（一） 2ρϕε∇=- ，ρ 为壳内电荷分布。

（二）壳内表面1S 上的边界条件是：2S 上的总电量 1s dS q σ=-⎰ （1）其中 Vq dV ρ=⎰ 是壳内的总电量，V 是壳内区域的体积。

在壳层内作一高斯面 0S 后（如图中虚线所示），用高斯定理很容易证明（1）成立。

因此在给定 ρ 布后， 1S 上边界条件也已经给定为 q - ，和导体壳本身是有电势还是用总电量给定无关。

根据唯一性定理，满足（一）、（二）的ϕ 就是解。

由于（一）e和（二）与壳外的ρe 和 σρ 的电势并不唯一，可以差一个常数。

当然当壳用电势 0φ 给定时，1S 上的边界条件就是10|S ϕφ= 。

所以壳内不但电场唯一，而且电势也是唯一。

2．如图，有一电势为0φ的导体球壳，球心有一点电荷q ，球壳内外半径分别为2R 和1R 。

试用唯一性定理：（一）判断0R φ是否球壳外空间的电势分布。

（二）求球壳内空间的电势分布解：（一）首先必须找出球内外电势应满足的条件，他们是：（a ）20∇ϕ=（b ）球壳外表面1S 上的边界条件，10s ϕ=φ （c ）无穷远边界条件,0R →∞ϕ→若R φ是解，根据唯一性定理，它必须满足以上三个条件。

下面来检验：220010R Rφ∇=φ∇= (0),R ≠ 方程已满足。

静电场唯一性定理

关于静电场唯一性定理
王向斌静电场唯一性定理的部分内容表述
若真空区域所有边界面的条件确定了,则该真空区域的静电场就唯一确定了. 根据此定理,不论真空区域以外(含边界)的电荷分布如何变化, 只要边界条件维持不变,则真空区域电场维持不变. (但是区域以外的电场可能会发生变化.) 换言之,不论真空区域以外的实际点荷分布如何,我们可以在真空区域之外构造一种简单的电荷分布,只要它能够满足给定的真空区域边界面条件,我们就可以按这种人为构造的电荷分布计算真空区域内的电场. (但不能用此法计算真空区域以外的电场.) 根据此定理,只要找到一个电势函数, 能满足区域真空条件和边界条件的要求,则真空区域内的电场可由该函数算出. (真空区域以外的电场不可以.)
思考题: 上述封闭面S在引理和定理中,是否必需是导体面? 还是任何满足面上电势要求的数学面都可以? 思考题: 在哪里用到或者隐含用到了势函数满足区域真空条件?
应用
静电屏蔽,电像法, 其他计算问题思考题: 电像法中,像电荷为什么必需在真空区域以外? 思考题: 课本的电像法例题中,利用了唯一性定理.究竟是怎样与唯一性定理的边界条件一一对应的? 即,接地的无限大金属板以及题中的点电荷应该理解成唯一性定理的哪一个边界面?
引理2: 引理1中,若封闭面S是带电量为0的等势面,结论依然成立.
唯一性定理的部分内容的证明
条件: 静电场情况; 封闭面S, 该面电势函数确定;S面内部最多有3类区域: 真空区域, 电势确定的的导体区域,和带电量确定的导体区域.
依据唯一性定理, 上述真空区域的电场唯一确定. 思路: 真空区域若有两个势函数,函数1和函数2都满足边界条件和区域真空条件, 把这两个势函数之差看成第三个势函数,由于每个势函数边界条件都一样, 第三个势函数的边界条件必然是引理1中的边界条件,因而第三个势函数在真空区域是等势区域, 此即说明函数1和函数2在真空区域最多只相差一个常数,因此给出相同的电场. 思考题: 为什么两个电势函数之差这样一个数学函数一定可以看成一个电势函数?

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3.1 唯一性定理

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