电动力学uniquenesstheorem唯一性定理完全解读

s1
V 1
.
1 1 1dS1 12dV 1
s1
V 1
其中S1 为V1 的边界面,它由外边界1 和内边界两部分组成,即
11 1 d S 11 1 d S 11 1 d S
s 1
外边界1
内边界
由前所述,外边界1 上的面积分为零
内边界11 n11dSV1112dV1
同理,对区域V2 ,重复以上过程,可得到
''顶多只能差一个常数.
利用矢量的微分wenku.baidu.com算公式:
2 2 2
等式两端对V 作体积分
d V 2d V 2 d V
V
V
V
.
d V 2d V 2 d V
V
V
V
式中 2 0
dV dS
V
s
在边界面S 上,无论 S 0 还是 ， 都0 使 n S
1) 绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明 在有限的边界区域V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、εi (i
= 1、2、3 …) ，V 中的自由电荷分布(ρ或σ) 为已知，那么，
当V 的边界面S 上的电势 给定(或电势的法向导数边界条
件) ，则V 内的电场有唯一确定的解。
.
数学表述如下:
2i
i
(在每个小区Vi)
而在V1 和V2 区的公共界面(即内边界) 上,由电势的边值
关系
1 1
22
两式左右分别相减,得Φ1 = Φ2
.
又
2 2
2 n 2 n
1 1
两n11式 左 右相减，得：
n
2
2
n
1
1
n
n 为内边界上的法向单位矢,按约定由介质1 指向介质2
下面我们要证明, 1'和1 '', 2'和2''顶多都只能差一个常数
们都能满足同一个泊松方程和边界条件,下面我们将证明它 们只能是同一个解.
引入标量函数Φ ,令Φ = '- ″
2 i , 2 i , 2 0 .
在区域边界面S 上
S
S
0 S
(给定第一类边界条件)
或 ,
nS nS
nS
0
(给定第二类边界条件)
下面需要证明的是,满足以上方程和边界条件的'和
i j
(在两种绝缘介质的分界面上)
i
i
n
j
j
n
分界面法向单位矢量n 由 j 指向i
)
或
S n S
(在整个区域V 的边界面S上给定,按 约定,边界面法线 n 指向V 外)
以上的表达式,包括泊松方程、边值关系和边界条件统称
为定解问题. 唯一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是
区域V 中静电场分布的唯一解. 它在每一个均匀小区内满足泊
sdSs ndS0
2 dV 0
V
.
2 dV 0
V
注意到 2为非负数,欲使上式成立,只有 0 ,即
Φ= C ,或'-''=C，以上说明'和''顶多差一个常数,而 电势的附加常数对电场没有影响,这就证明了'和''在物
理上是同一个解,于是,唯一性定理得证.
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b)区域V 中有两种各自均匀的介质ε1 和ε2 的情形 分别对应V1 区和V2 区
§2.2 唯一性定理 Uniqueness Theorem
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学习“唯一性定理”的重要性 静电场的基本规律是建立在库仑定律基础之上的,原则 上讲,用库仑定律可以求任意电荷分布的电场,但前提是要 求空间所有的电荷分布必须已知.
现在的问题是,如果需要求解一个区域内的电场,区域内 的电荷分布已经给定,而区域边界上的电荷分布却是未知 的, 此时就不能利用库仑定律
同理对V2 区,设有两个解2'、2 ''都满足V2 区的场方程和
边界条件
令Φ2 = 2'- 2″
则 有 ， 22 0（ 在 V 2 区 内 ）
.
在V2区的外边界2上
2 外2 0
给定第一类边界条件
或 2 0 n2 外2
给定第二类边界条件
约定, n 2 为V2 区边界的法向单位矢量,指向V2外部;
下面将证明,每一个区域的解都是唯一的.
对V1 区,设有两个解1'、1 ''都满足V1 区的场方程和边界
条件
令Φ1 = 1'- 1″
则 有 ， 21 0（ 在 V 1 区 内 ）
.
在V1区的外边界1上
1 外1 0
给定第一类边界条件
或 1 0 n1 外 1
给定第二类边界条件
约定, n 1 为V1 区边界的法向单位矢量,指向V1 外部;
2 内边界
2 n22dSV2
222dV2
.
内边界11 n11dSV1112dV1
内边界22 n22d SV 22 22dV2 内边界11 n11dS11 n1dSn 1n , n 2 n 内边2 界2 n22dS22 n2dS 两式分别相加得 内边 界11 n 1 22 n 2 d S V 11 1 2 d V 1 V 22 22 d V 2
对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的 分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理 所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。
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复习上一节课的内容
静电势的微分方程
2
边值关系 1 S 2 S
2n2 S 1n1 S
导体表面上的边值关系
|s常数
n s
.
唯一性定理指出了必须附加什么样的边界条件,泊松方程的 解才会是唯一的、正确的,下面分两种情况进行讨论.
例如 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中。
但具有一定的边界条件, 利用给定的边界条件去解静电 场的泊松方程,这叫做静电场的边值问题.
.
边值问题的解法有许多种,如分离变量法、镜像法、格 林函数法等等,问题是采用其中任何一种方法所得到的解是 不是唯一的、正确的? 只有唯一性定理才能对此做出明确 的回答,这就是我们必须要学好唯一性定理的原因.
松方程,在任意两个均匀小区的分界面上满足边值关系,在整个
区域V 的边界面上满足给定的边界条件 或
.
S
n S
下面是对唯一性定理的证明。为了说理清楚，将证明分解 成几步，首先证明区域V 中只有一种均匀介质的情况，然 后再把它推广到多种介质分区分布的情形。 a)区域V 中只有一种均匀介质的情形
利用反证法证明:假设区域V 中存在两个不同的解 '和''它
.
先看V1 区,利用微分恒等式
1 1 1 1 12 1 1 2 1
等式两端对V1 作体积分
11 1d V 11 12 d V 1 11 21 d V
V 1
V 1
V 1
式中 21 0
1 1 1d V 1 1 1d S由高斯公式
V
s1
1 1 1dS1 12dV 1