数字图像处理 第四章 图像的正交变换
《数字图像处理》习题参考答案
《数字图像处理》习题参考答案第1 章概述连续图像和数字图像如何相互转换答：数字图像将图像看成是许多大小相同、形状一致的像素组成。
这样，数字图像可以用二维矩阵表示。
将自然界的图像通过光学系统成像并由电子器件或系统转化为模拟图像（连续图像）信号，再由模拟/数字转化器（ADC）得到原始的数字图像信号。
图像的数字化包括离散和量化两个主要步骤。
在空间将连续坐标过程称为离散化，而进一步将图像的幅度值（可能是灰度或色彩）整数化的过程称为量化。
#采用数字图像处理有何优点答：数字图像处理与光学等模拟方式相比具有以下鲜明的特点：1．具有数字信号处理技术共有的特点。
（1）处理精度高。
（2）重现性能好。
（3）灵活性高。
2．数字图像处理后的图像是供人观察和评价的，也可能作为机器视觉的预处理结果。
3．数字图像处理技术适用面宽。
4．数字图像处理技术综合性强。
数字图像处理主要包括哪些研究内容答：图像处理的任务是将客观世界的景象进行获取并转化为数字图像、进行增强、变换、编码、恢复、重建、编码和压缩、分割等处理，它将一幅图像转化为另一幅具有新的意义的图像。
]讨论数字图像处理系统的组成。
列举你熟悉的图像处理系统并分析它们的组成和功能。
答：如图，数字图像处理系统是应用计算机或专用数字设备对图像信息进行处理的信息系统。
图像处理系统包括图像处理硬件和图像处理软件。
图像处理硬件主要由图像输入设备、图像运算处理设备（微计算机）、图像存储器、图像输出设备等组成。
软件系统包括操作系统、控制软件及应用软件等。
$图数字图像处理系统结构图1常见的数字图像处理开发工具有哪些各有什么特点答．目前图像处理系统开发的主流工具为Visual C++（面向对象可视化集成工具）和MATLAB 的图像处理工具箱（Image Processing Tool box）。
两种开发工具各有所长且有相互间的软件接口。
Microsoft 公司的VC++是一种具有高度综合性能的面向对象可视化集成工具，用它开发出来的Win 32 程序有着运行速度快、可移植能力强等优点。
数字图像处理正交变换
反变换: f (x, y) F (u, v) exp j2 (ux vy)dudv
变换对: f (x, y) F(u, v)
2.2.2 二维傅立叶变换
2. 幅度谱、相位谱、能量谱 一般F(u,v)是复函数,即:
称为正变换核，
* (x, y) u ,v
称为反变换核。
为了使信号完整重建，正变换核和反变换核都必 须满足正交性和完备性。
2.1 图像变换的表达式－正交变换
变换核可分离性：将二维变换分解为2个 一维变换的计算。
u,v (x, y) au (x)bv (y) a(u, x)b(v, y)
N 1 N 1
F(u,v) R(u,v) jI(u,v) F(u,v) e j(u,v)
幅度谱: F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
相位谱:
(u,
v)
tg
1
I (u, v) R(u, v)
能量谱: E(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
2.2.3 离散傅立叶变换
表示。 ❖ RGB图像
➢ 图像的灰度为该点的R、G、B值，直接存放在图像 灰度矩阵中。
➢ 一般每个像素需要用3×8＝24bit位来表示。 ➢ 其色彩可为224 ，一般称为真彩图像。 ❖ 其他图像－还有图像的透明因子，每个像素需要32bit 来表示。
1.3 数字图像处理的研究内容
从计算机处理的角度可以由高到低将数 字图像分为三个层次。这三个层次覆盖了图 像处理的所有应用领域。
3. 求幅度谱的对数函数：
D(u,v) log(1 F(u,v) )
4. 显示D(u,v) 若D(u,v)很小或很大，则将其线形扩展或压缩到0-255
图像正交变换
H(u,v) g(,)exp[ j2(u v)]dd
G(u,v)H(u,v)
傅立叶积分定理
) , (ℱ)],1( )] , ( [
[ ℱ ℱ1
yxf
) , (ℱ)] , (ℱ)] , ( [ 1 1
[
可分离变量性
若 f (x, y) fx(x)f y(y)
相似性定理
若
F{f (x,y)} F(u,v)
则：
Ffax,by 1 Fu v,
ab a b
相似定理说明原面数空域坐标(x,y)“伸展”，其频谱函数在频 率域中是“收缩”，并且高度也有相应变化。而当原函数在空 域坐标中“收缩”时，则其频谱函数在频率城中变宽。
位移定理
2π
3π
5π
7π
绘图如下：
3、指数形式
通过欧拉公式，把正弦函数、余弦函数和指数函数联系 起来，不难证明傅里叶三角级数可以写成指数级数的形式 。
若g(x)的周期为T，在一个周期内只有有限个极值点和
不连续点，并且在一个周期内绝对可积。则g(x)可以展开
成傅立叶指数级数：
g(x)
C e
Cne n1
jn x
T Cne
2 jn x T
2
cosn x jsinn x
n1
2
T
T
a0
2
an cos n
n1
2
2
x T
bn
sin
n
T
x
得证。
傅立叶级数
数字图像处理实验4 图象处理中的正交变换
实验4 图象处理中的正交变换——频域处理一．实验目的：1．掌握二维快速傅里叶变换（FFT）的实现，对频谱图像可视化操作。
2．了解频域滤波的内容，学会如何在频域中直接生成滤波器，包括平滑频域滤波器——低通滤波器、锐化频域滤波器——高通滤波器，并利用生成的滤波器对输入图像进行频域处理。
3．掌握绘制三维可视化滤波器图形的方法。
二．实验内容：1．实现二维快速傅里叶变换，以图像形式显示傅里叶频谱。
2．利用已给出的自定义的M函数，建立频域滤波器的传递函数H(u, v)3．绘制滤波器传递函数H(u, v)三维图形，并以图像形式显示滤波器。
4．对输入图像进行频域滤波处理。
三．实验原理：1．快速傅里叶变换FFT的实现一个大小为M×N的图像矩阵f的快速傅里叶变换FFT可以通过MATLAB 函数fft2获得，其简单语法：F = fft2(f)该函数返回一个大小仍为M×N的傅里叶变换，数据排列如图4.2(a)所示；即数据的原点在左上角，而四个四分之一周期交汇于频率矩形的中心。
傅里叶频谱可以使用函数abs来获得，语法为：S = abs(F)该函数计算数组的每一个元素的幅度，也就是实部和虚部平方和的平方根，即若某个元素为F = a +bj，则S=。
通过显示频谱的图像进行可视化分析是频域处理的一个重要方面。
例如，对图4.3(a)所示的图像f (image.bmp)我们计算它的傅里叶变换并显示其频谱：>> F = fft(f)>> S = abs(F)>> imshow(S, [ ])图 4.3(b)显示了结果，图像四个角上的亮点就是四个四分之一周期的中心点。
函数fftshift将变换的原点移动到频率矩形的中心，语法为：Fc = fftshift(F)F是用fft2得到的傅里叶变换，即图4.2(a)，而Fc是已居中的变换，即图4.2(b)。
键入命令：>> Fc = fftshift(F)>> Sc = abs(Fc)>>figure, imshow(Sc, [ ])将产生图4.3(c)所示的图像，居中后的结果在该图像中是很明显的。
图像的正交变换
图像的正交变换1、二维傅立叶变换一维时间信号，可以看作是由多个单一频率的正弦信号叠加而成的，表达组成信号的每个正弦信号的频率及其幅值的空间称为频率域。
信号在时间域与频率域之间通过傅立叶变换与逆变换进行转换。
求时间信号在频率轴上的幅值分布函数过程为傅立叶变换，而由信号的在频率轴上的幅值分布函数求解时间信号的过程为傅立叶逆变换。
一维傅立叶变换的定义：()()2j t X j x t e dt π+∞-Ω-∞Ω=⋅⎰一维傅立叶逆变换定义：()()2j t x t X j e d π+∞Ω-∞=Ω⋅Ω⎰Ω为频率变量，它的连续变化使()X j Ω包含了无限个正弦和余弦项的和。
根据尤拉公式exp[2]cos 2sin 2j t t j t πππ-Ω=Ω-Ω傅立叶变换系数可以写成如下式的复数和极坐标形式:()()()()()j X j R jI X j e ϕΩΩ=Ω+Ω=Ω其中1222[()()]()RI X j =Ω+ΩΩ定义为傅立叶谱（幅值函数）1()()tan []()I R ϕ-ΩΩ=Ω为相角 而222()()()()E X j R I Ω=Ω=Ω+Ω能量谱二维平面图像是一种幅值沿纵坐标和横坐标两个方向变化的信号，其变化规律的分析也在频率域进行。
二维信号的正交变换由一维信号的正交变换扩展而得到。
连续二维函数的傅立叶变换对定义二维函数的傅立叶正变换 ()()()⎰⎰∞∞-∞∞-+-=dxdy e y x f v u F vy ux j π2,, 二维函数的傅立叶逆变换 ()()()⎰⎰∞∞-∞∞-+=dudv e v u F y x f vy ux j π2,, 二维函数的傅立叶谱 21)],(),([),(22v u I v u R v u F +=二维函数的傅立叶变换的相角 ]),(),([tan ),(1v u R v u I v u -=φ 二维函数的傅立叶变换的能量谱),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==2二维离散傅立叶变换对于一维信号()x t 及其傅立叶变换()X j Ω均进行离散（数字化），则离散的傅立叶变换定义如下：一维离散傅立叶正变换()()()11exp 2N x X k x n j kn N N π-==-∑一维离散傅立叶逆变换()()()10exp 2N u x t X k j kn N π-==∑对于N M ⨯图象，其二维离散傅立叶变换定义为：()()∑∑-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10102exp ,1,M x N y N vy M ux j y x f MN v u F π ∑=∑=⎪⎭⎫⎝⎛+=--1100]2exp[),(),(M N N M u v vy ux j v u F y x f π对于N N ⨯图象()()∑∑-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10122exp ,1,N x N y N vy ux j y x f Nv u F π∑=∑=⎪⎭⎫⎝⎛+=--1100]2exp[),(),(N N N u v vy ux j v u F y x f π1.3二维离散傅立叶变换的性质 性质1：线性性质如果：11(,)(,)f x y F u v ⇔ 22(,)(,)f x y F u v ⇔ 则有：()()()()v u bF v u aF y x bf y x af ,2,1,2,1+⇔+性质2：尺度性质1(,), 1(,)(,)u v f ax by F a b F x y F u v ab a b ⎛⎫⇔==-→--⇔-- ⎪⎝⎭当时，性质3：可分离性()()()()∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11102101022exp ,12exp ,2exp 12exp ,1,N x N x N y N x N y N ux j v x F NN vy j y x f N ux j N N vy ux j y x f Nv u F ππππ 二维傅立叶变换可分解成了两个方向的一维变换顺序执行。
医学图像处理重点知识概要
1. 灰度直方图
定义：图象中象素灰度分布的概率密度函数；是灰度级的函数，描述的是图像中各灰度 级的像素个数,即横坐标表示灰度级，纵坐标表示图像中该灰度级出现的个数；
性质:①反映图像灰度分布情况，丢失了像素的位置信息,不包含图象灰度分布的空间信 息，因此无法解决目标形状问题；②具有不唯一性，不同图象可能对应相同的直方图；③具 有可加性，即图象总体直方图等于切分的各个子图象的直方图之和；
(u,
v)
=
1 1+[D(u, v)
/
D10
]2n
n 为滤波器的阶次，D0 为截止频率
3）巴特沃斯高通滤波器：H (u , v ) = 1 + [ D0 / D (u , v )] 2n 通过高频分量，削弱低频分量
4）同态滤波：图像 f(x,y)是由光源产生的照度场 i(x,y)和目标的反射系数场 r(x,y)的共
1 I×J
I i =1
J
[x(i, j) − x(i, j)]2 归一化后： NMSE
j =1
=
i =1
[x(i, j) − x(i,
j =1
IJ
x2 (i, j)
j )] 2
i =1 j =1
∑ ∑ 绝对误差： MAE = 1
IJ
x(i, j) − x(i, j)
I × J i=1 j=1
1
∑ ∑ 峰值信噪比： PSNR = 10lg
1
x2 max
IJ
[x(i, j) − x(i, j)]2
I ⋅ J i=1 j=1
第二章 图像文件的格式
BMP 文件，不压缩形式(WORD 类型 2 个字节，DWOR、DLONG 4 个字节)
图像的正交变换.
g (3)
x(2)
g(N
)
g(N 1)
g(1) x(N )
• 对于一个线性系统，对于输入信号矢量
与信号输出矢量间的关系矩阵若是正交
的且满足逆矩阵与共轭矩阵的转置相等，
则该处理过程为酉变换，关系矩阵为酉
矩阵。
若一组向量集合
a11
•
for(int fi=0;fi<fftWidth;fi++) {
•
fRData[fi]=0; fIData[fi]=0;
•
}
•
for(DWORD j=0;j<fftWidth;j++){
•
fRData[j]=ptrRData[i+j*fftWidth];
•
fIData[j]=ptrIData[i+j*fftWidth];
一般用“*”表示卷积，写为：y(t) g(t) * x(t)
卷积的离散形式为: y(i) g(i) * x(i) g( j)x(i j)
j
卷积的矩阵形式为: g(1) g(N ) g(2) x(1)
y(i)
g(i) *
x(i)
G
x
g (2)
g (1)
F(u) 1 N1 f (x) exp j2ux / N
N x0
N 1
f (x) F(u) exp j2ux / N u0
其中：x 0,1,2, N 1 0,1,2, N 1
F(u) F(uu) u 0,1,2,, N 1
数字图像处理图像变换实验报告
实验报告实验名称:图像处理姓名:刘强班级:电信1102学号:1404110128实验一图像变换实验——图像点运算、几何变换及正交变换一、实验条件PC机数字图像处理实验教学软件大量样图二、实验目的1、学习使用“数字图像处理实验教学软件系统”,能够进行图像处理方面的简单操作;2、熟悉图像点运算、几何变换及正交变换的基本原理,了解编程实现的具体步骤;3、观察图像的灰度直方图,明确直方图的作用与意义;4、观察图像点运算与几何变换的结果,比较不同参数条件下的变换效果;5、观察图像正交变换的结果,明确图像的空间频率分布情况。
三、实验原理1、图像灰度直方图、点运算与几何变换的基本原理及编程实现步骤图像灰度直方图就是数字图像处理中一个最简单、最有用的工具,它描述了一幅图像的灰度分布情况,为图像的相关处理操作提供了基本信息。
图像点运算就是一种简单而重要的处理技术,它能让用户改变图像数据占据的灰度范围。
点运算可以瞧作就是“从象素到象素”的复制操作,而这种复制操作就是通过灰度变换函数实现的。
如果输入图像为A(x,y),输出图像为B(x,y),则点运算可以表示为:B(x,y)＝f[A(x,y)]其中f(x)被称为灰度变换(Gray Scale Transformation,GST)函数,它描述了输入灰度值与输出灰度值之间的转换关系。
一旦灰度变换函数确定,该点运算就完全确定下来了。
另外,点运算处理将改变图像的灰度直方图分布。
点运算又被称为对比度增强、对比度拉伸或灰度变换。
点运算一般包括灰度的线性变换、阈值变换、窗口变换、灰度拉伸与均衡等。
图像几何变换就是图像的一种基本变换,通常包括图像镜像变换、图像转置、图像平移、图像缩放与图像旋转等,其理论基础主要就是一些矩阵运算,详细原理可以参考有关书籍。
实验系统提供了图像灰度直方图、点运算与几何变换相关内容的文字说明,用户在操作过程中可以参考。
下面以图像点运算中的阈值变换为例给出编程实现的程序流程图,如下:2、图像正交变换的基本原理及编程实现步骤数字图像的处理方法主要有空域法与频域法,点运算与几何变换属于空域法。
数字图像处理(冈萨雷斯)-4_fourier变换和频域介绍(dip3e)经典案例幻灯片PPT
F (u,v)
F *(u, v)
f ( x ,y ) ☆ h ( x ,y ) i f f t c o n j F ( u , v ) H ( u , v )
h(x,y):CD 周期延拓
PAC1
h:
PQ
QBD1
DFT
H (u,v)
F*(u,v)H(u,v)
IDFT
R(x,y):PQ
✓ 使用这组基函数的线性组合得到任意函数f，每个基函数的系 数就是f与该基函数的内积
图像变换的目的
✓ 使图像处理问题简化； ✓ 有利于图像特征提取； ✓ 有助于从概念上增强对图像信息的理解；
图像变换通常是一种二维正交变换。
一般要求： 1. 正交变换必须是可逆的； 2. 正变换和反变换的算法不能太复杂； 3. 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率 成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理
4.11 二维DFT的实现
沿着f(x,y)的一行所进 行的傅里叶变换。
F (u ,v ) F ( u , v ) (4 .6 1 9 )
复习：当两个复数实部相等,虚部互为相 反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.
4.6
二维离散傅里叶变换的性质
其他性质：
✓尺度变换〔缩放〕及线性性
a f( x ,y ) a F ( u ,v ) f( a x ,b y ) 1 F ( u a ,v b ) |a b |
域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质
✓ 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对 于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
✓ 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现
遥感数字图像处理-第4章 变换域处理方法
颜色空间中的颜色通常用代表3个参数的3维坐标来描述， 其颜色要取决于所使用的坐标。大部分遥感数据都采用 RGB颜色空间来描述，但对图像进行一些可视分析时，也 会使用其他颜色空间（如HSI模型）。
10
七、颜色空间变换
颜色空间分类
第4章
变换域处理方法
为什么要进行变换域处理？
换一个角度来看数字图像
空间域图像直观地为我们提供了丰富的空间和数字信息， 但如果我们将空间域图像进行某种变换，将会较为容易地 识别出一些在原始图像上无法直观看到的信息，从而有利 于图像的后续处理。
介绍常用的数字图像变换算法原理及其应用，旨 在为后续章节的图像变换域处理提供基础。
用三棱镜！ 如果想把一段音频文件不同频率的声音检测出来怎么办？
用傅立叶变换！
8
六、小波变换
小波变换与傅里叶变换类似，都是把一个信号分解成一组 正交信号，但不同于傅里叶变换中使用的三角函数，小波 变换是用由零开始由零结束、中间为一段震荡的波来表示 信号，它是一种能量在时域非常集中的波。
9
七、颜色空间变换
“鸡尾酒会问题”
在嘈杂的鸡尾酒会上，许多
（Cocktail Party Problem） 人在同时交谈，可能还有背
景音乐，但人耳却能准确而
清晰的听到对方的话语。
从混合声音中选择自己感兴 趣的声音而忽略其他声音的 现象
7
五、傅里叶变换
人的视觉系统时时刻刻都在进行“分离信号”这种行为：看 见不同的颜色，听到不同频率的声音，甚至尝到酸甜苦辣咸 这五种不同的味道也是一种识别不同信号的表现。 而傅立叶变换正是一种通过频率来分离不同信号的方法！ 如果想把自然光中的七色成分分离出来怎么办？
04_正交变换1
反变换核
刘定生 中科院对地观测与数字地球科学中心
21
图像的频域变换——理论基础 变换核的可分离性
au ,v ( x, y ) au ( x)bv ( y ) a (u , x)b(v, y )
其中{au(x), u=0,1,…,N-1}, {bv(y), v=0,1,…,N-1} 为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示：
f (x) a nu n (x) n0
可有：
t0 T
t0
2 f ( x ) f ( x ) d x
则称函数U 集合是完备的。
第四章 图像处理中的正交变换
刘定生 中科院对地观测与数字地球科学中心
13
图像的频域变换——理论基础
正交函数集合完备性的物理意义
任何数量的奇函数累加仍为奇函数 任何数量的偶函数累加仍为偶函数
数字图像处理与分析
第四章 图像处理中的正交变换
刘定生 中科院对地观测与数字地球科学中心
2011年春季学期
1
数字图像处理与分析
图像的频域变换
图像频域变换的意义 频域变换的理论基础
线性系统、卷积与相关 正交变换及其特征 离散图像的正交变换
傅立叶变换定义与特征 傅里叶变换的应用 离散余弦变换，沃尔什变换——哈达玛变换，哈尔变 换，霍特林变换（主成分变换），小波变换
y ( x, y ) f h
离散二维卷积
f (i, j )h( x i, y j )didj
y ( x, y ) f h f (i, j )h( x i, y j )
i j
第四章 图像处理中的正交变换
图像信号的正交变换
定义
哈达玛变换是一种离散数学中的正交 变换，它将一个有限维的实数向量空 间映射到其自身，并保持向量的欧几 里得范数不变。
应用
哈达玛变换在图像处理、信号处理、数 据压缩等领域有广泛应用，特别是在图 像压缩编码中，可以有效地去除图像中 的冗余信息，提高图像压缩效率。
凯泽变换
定义
凯泽变换是一种离散数学中的正交变换，它将一个有限维的实数向量空间映射到其自身，并保持向量的欧几里得 范数不变。
小波变换在图像处理中的应用
01
02
03
图像压缩
小波变换可以将图像分解 成不同频率和方向的子图 像，从而去除冗余信息， 实现高效的图像压缩。
图像增强
通过调比度、锐 度等。
图像去噪
小波变换能够检测到图像 中的噪声，并通过滤波器 去除噪声，提高图像质量。
图像信号的正交变换
目
CONTENCT
录
• 正交变换简介 • 傅里叶变换 • 离散余弦变换 • 小波变换 • 其他正交变换方法
01
正交变换简介
正交变换的定义
正交变换是一种线性变换，它将输入信号从一种表示形式转换到 另一种表示形式，同时保持信号的能量不变。
正交变换具有正交性，即变换的逆变换与原变换是相互正交的， 这意味着逆变换可以恢复出原始信号。
对于连续信号，傅里叶变换可以表示为积分形式。
傅里叶变换的基本思想是，任何周期函数都可以由 一组正弦和余弦函数构成，而每个正弦和余弦函数 都有一个频率。
傅里叶变换的性质
线性性
如果 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个信号，且 $a$ 和 $b$ 是常数，那么 $a f(t) + b g(t)$ 的傅里叶变 换等于 $a F(w) + b G(w)$，其中 $F(w)$ 和 $G(w)$ 分别是 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的傅里叶变换。
数字图像处理及MATLAB实现4
数字图像处理及MATLAB实现4武汉理工大学信息学院第4章图像变换(ImageTranform)4.1连续傅里叶变换4.2离散傅里叶变换4.3快速傅里叶变换4.4傅里叶变换的性质4.5图像傅里叶变换实例4.6其他离散变换一、图象变换的引入1.方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。
2.目的：有利于加工、处理[滤除不必要信息(如噪声),加强/提取感兴趣的部分或特征]。
二、方法分类可分离、正交变换:2D-DFT,2D-DCT,2D-DHT,2D-DWT三、用途1.提取图象特征(如):(1)直流分量：f(某,y)的平均值=F(0,0);(2)目标物边缘：F(u,v)高频分量。
2.图像压缩：正交变换能量集中，对集中(小)部分进行编码。
3.图象增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化边缘。
4.1连续傅里叶变换(ContinuouFourierTranform)1、一维傅立叶变换及其反变换::1F(u)f(某)ej2u某d某f(某)F(u)ej2u某du4.1.1连续傅里叶变换的定义(DefinitionofContinuouFourierTranform)这里f某是实函数，它的傅里叶变换Fu通F常是复函数。
u的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：实部Ruftco2utdt(4.3)虚部Iuftin2utdt(4.4)振幅1FuR2uI2u2(4.5)4.1.1连续傅里叶变换的定义(DefinitionofContinuouFourierTranform)能量相位EuFuR2uI2u2(4.6)(4.7)傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。
设函数f某,y是连续可积的，且fu,v可积，则存在如下的傅里叶变换对：IuuarctanRu4.1连续傅里叶变换的定义(DefinitionofContinuouFourierTranform)Ff(某,y)F(u,v)f(某,y)ej2u某vyd某dy(4.8)F1F(u,v)f(某,y)F(u,v)ej2u某vydudv(4.9)式中u、v是频率变量。
第四章 图象处理中的正交变换
图像增强:频域过滤
Butterworth过滤器截止频率的设计
选择2： H(u,v) = 1/2 当 D0 = D(u,v)时
H (u, v)
1 ( 2 1)D(u, v) / D0
1
2n
1 0.414D(u, v) / D0
1
2n
图像增强:频域过滤
图像增强:频域过滤
x(t)
y(t)
当输入信号沿时间轴平移T，有： x(t - T) y(t - T) 则称该线性系统具有平移不变性
卷
卷积 – 卷积的定义
积
– 离散一维卷积 – 二维卷积的定义 – 离散二维卷积
– 卷积的定义 对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t)，如果有一 个一般表达式，来说明他们的关系，对线性系统的 分析，将大有帮助 卷积积分就是这样的一般表达式
频域图像（幅度谱）
均值性
–均值性的描述：
离散函数的均值等于该函数傅立 叶变换在(0,0)点的值
M-1N-1
F(0,0) = 1/MNf(x,y)e0
x=0 y=0
周期与共轭对称
– 周期性的描述：离散傅立叶变换DFT和
它的逆变换是以N为周期的 对于一维傅立叶变换有： F(u) = F(u + N) 对于二维傅立叶变换有： F(u,v) = F(u + M,v+N)
为中心的共轭对称函数 对于一维傅立叶变换有： 对于二维傅立叶变换有：
周期与共轭对称 – 共轭对称性的描述：傅立叶变换结果是以原点 F(u) = F*(-u)
F(u,v) = F*(-u ,-v) * 表示对于复数的标准共轭操作
快速傅立叶变换（FFT）及编程实现 离散余弦变换 沃尔什变换 哈尔函数及哈尔变换 斜矩阵与斜变换 小波变换
正交变换3
数字图像处理与分析第四章 图像处理中的正交变换3刘定生 中科院中国遥感卫星地面站2005年春季学期1其他变换—小波变换连续小波变换基本小波—一个具有振荡性和迅速衰减的波 小波基函数ψ a ,b ( t ) =t−b 1 ψ( ) a aa－尺度系数（伸缩系数）；b－位移系数第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站2其他变换—小波变换连续小波变换连续小波变换定义（又称之为积分小波变换）：W f ( a , b ) =< f ,ψ∞a ,b( t ) >= 1 a=−∞∫f ( t )ψa ,b( t ) dt =−∞∫∞t−b ) dt f ( t )ψ ( a连续小波变换的逆变换：1 f (t ) = Cψ∞ ∞∫0da ∫∞W f ( a , b )ψ a ,b ( t ) db a 2 −第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站3其他变换—小波变换连续小波变换 W(a,b)是信号x(t)与小波基本函数在尺度因子a和位移因 子b时的互相关函数 如果信号在特定的尺度因子a和位移因子b下与基本小波函 数具有较大的相关性（相似性），则W(a,b)值将较大 对于任意给定的尺度因子a（频率~ 1/a），小波变换 W(a,b)为输入信号作用于具有响应函数 ψ ∗a,0 (−b) 的滤波 器输出； 小波变换定义了一组由尺度因子a规范的连续滤波器组第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站4其他变换—小波变换小波变换与STFT的基本区别B STFT B B B B Bf0 B CWT2f0 2B3f0 4B4f05f06f0 8Bf02f04f08f0 刘定生 中科院中国遥感卫星地面站5第四章 图像处理中的正交变换其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析尺度（Scaling）—小波的“尺度”变化意味着对小波进行“拉伸”或“压 缩”f(t) = sin(t) scale factor1f(t) = sin(2t) scale factor 2f(t) = sin(3t) scale factor 3第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站6其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析（续）尺度—某种程度上类似于频率：频率～1/a第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站7其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析（续）尺度与频率大尺度对应于“展开”的小波，小波展开越大，该小波表征的信号 特征就越粗糙（平滑）小尺度大尺度小尺度a：对应于压缩的小波；可表征更好的细节（变 化）：高频率 大尺度a：对应于展开的小波；表征粗糙部分（慢变化）： 低频率 第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站8其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析（续）位移（Shifting）—延迟或加速小波 数学上，延迟一个函数f(t)表示为f(t-k)第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站9其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析（续）C = 0.0004C = 0.0034 第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站10其他变换—小波变换小波变换参数的深入分析（续）小波变换系数分布图第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站11其他变换—小波变换小波变换的基本性质线性—小波变换是线性变换f (t ) = αf 1(t ) + βf 2 (t )W f ( a, b) = αW f1( a, b) + βW f 2( a, b)平移和伸缩的共变性1 f ( a0 t ) ⇔ W f ( a0 a , a0 b ) a冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度其表现是由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换 的核函数存在许多可能的选择 尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析和解 释小波变换的结果的困难第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站12其他变换—小波变换离散小波变换连续小波变换中，尺度系数和平移系数连续取值，将产生 巨大的计算量，主要用于理论分析 仅取尺度与位置的某些离散量，采用离散化的尺度及位移 因子，可大量减少计算量，形成离散小波变换令m m a = a0 ; b = nb0a0 ; a0 > 1, b0 ≠ 0; m, n为整数系列可有离散小波基函数：m m − t − nb0a0 − ψ m ,n ( t ) = m ψ ( ) = a0 2ψ ( a0 mt − nb0 ) m a0 a01及离散小波变换：< f ,ψ m ,n >=−∞∫∞f (t ) m ,n (t )dt = a0 ψ−m ∞ 2 −∞∫f (t ) ( a0 mt − nb0 )dt ψ −13第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站其他变换—小波变换二进小波变换若基于2的幂次方选择二进伸缩和二进位移（以2的因子伸 缩和平移）构成基函数，即a0 = 2; b0 = 1;则形成二进小波ψ m ,n ( t ) =1 2ψ( mt − n 2m 2m) = 2 ψ ( 2 −m t − n )−m 2第四章 图像处理中的正交变换刘定生 中科院中国遥感卫星地面站14其他变换—小波变换二进正交小波变换满足下列条件的二进小波（正交性条件）< ψ m,n ,ψ j ,k >= δ m, jδ n,k( Kronecher δ 函数)⎧1 m = j, n = k =⎨ 其他 ⎩0为二进正交小波。
第四章数字图像的变换域处理
Lｅnａ图像的移动后的频谱结果显示于图4.２中，对比图４．２与图４.１(ｂ),可以看出其移动效果。
例4.1利用卷积定理计算两个矩阵Ａ、B的卷积
>>[M,N]=size(Ａ);
>>[P，Q]=sｉze(B）;
>＞p1=M+Ｐ－1;
>＞q1=N＋Ｑ-1;
＞>A1=fft２（Ａ,p1,q1);
>>T=dｃtｍtx(n）;
函数返回值T为 的变换核矩阵，对于 的方阵Ａ,可以使用矩阵运算Ｂ=T*A＊D’计算其DCT变换。
例4．3利用Ｄcｔmtx（)函数编程实现对Lｅna图片计算其离散余弦变换。
＞＞f=imreaｄ('E:＼mａｔlab7\leｎａ.bmｐ＇);
＞>g＝ｒgｂ２gray(f);
一维离散线性变换可以表示为变换矩阵形式,对于一个 的向量 ，其离散线性变换可以表示为:
(4-２1)
其中, 为变换结果， 为 的变换矩阵，如果 矩阵是非奇异的,其逆矩阵 存在,其逆变换可以表示为:
(4－２2)
如果逆矩阵 等于变换矩阵的 共轭转置，有
（4-23）
则称 矩阵为酉矩阵，对应的变换为酉变换。离散傅里叶变换的也可写成式(4－２1）的矩阵表示,变换矩阵 为:
>>B1=fft2(B,ｐ1,q1）;
>>C=A1.*B1;
>＞C1=ifft2(C）;
其中ffｔ2(A,p1,q1）是将图像Ａ扩展为 矩阵后再计算其傅里叶变换。
４.２离散余弦变换
4.2.1离散余弦变换
离散余弦变换(Dｉscｒete CoｓｉnｅＴrａnsform, DCT)的变换基矢量为余弦函数,一维离散余弦变换的基矢量为:
正交(FFT)变换图像处理
X [0] X [1] X [2] X [3] X [4] X [5] X [6] X [7]
x[2] x[4] x[6] x[6] x[1] x[1]
x[3] x[5] x[5] x[3] x[7] x[7]
W80
1
W X12[1] W8 4
X21[0]
W
0 8
X21[1] 1
W81 X2[1]
0 0 W4 8 21 1
FFT的算法原理
FFT 不是一种新的变换，它只是DFT的一种改进算法。 它分析了DFT中重复的计算量，并尽最大的可能使之减 少，从而达到快速计算的目的。 把时间序列 x（n）按照 n 的奇偶进行分组计算的 FFT 算法又称为按时间分组的 FFT 算法。而如果将频率序 列 X（m）按照 m 的奇偶进行分组而进行计算的算法， 则称为按照频率分组的 FFT 算法。 将时域序列逐次分解为一组子序列，利用旋转因子 WPN 的特性，由子序列的 DFT 来实现整 个序列的 DFT，从 而提高 DFT 的运算效率，也就实现了快速傅立叶变换。 设输入序列长度为 N=2M(M 为正整数)，将该序列的频 域的输出序列 X(k)(也是 M 点序 列)，按其频域顺序 的奇偶分解为越来越短的子序列，称为基2按频率抽取 的FFT算法。也称为 Sander-Tukey 算法。 FFT蝶式流程图算法
利用傅里叶变换等正交变换算法进行 图像处理
正交变换(1/3)
数字图像处理的方法主要分为两大类： 一个是空间域处理（或称空域法）; 一个是频域法（或称变换域法）。 在频域法处理中最为关键的预处理便是变换处理。 这种变换一般是线性变换，其基本线性运算式 是严格可逆的，并且满足一定的正交条件，因 此，也将其称作酉变换。目前，在图像处理技 术中正交变换被广泛地运用于图像特征提取、 图像压缩、图像增强、图像复原、图像识别以 及图像编码等处理中。 所谓正交变换如下所述：
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j 2 ( ux vy )
F(u,v)e M N , u 0, 1, L , M 1; v 0, 1, L , N 1
MN u0 v0
处理离散信号时，应将连续傅立叶变换的积分形式转变为离散傅立 叶变换的求和形式，把连续傅立叶变换的积分区间转变为离散傅立叶变 换的求和区间。
4.1.1 傅里叶变换的定义
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F (u, v)
f (x, y)e M N
x0 y0
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
[c1 f1(x, y) c2 f2 (x, y)]e M N
x0 y0
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
函数F(x,y) 的傅立叶变换一般是一个复数，则它可由下式表示：
F (u, v) F (u, v) e j(u,v) R(u, v) jI (u, v)
频谱信号的相位谱和幅度谱
(u, v) tg1[ I (u, v) ]
R(u, v)
F (u, v) [R2 (u, v) I 2 (u, v)]1/2
(1) 一维离散傅立叶变换 一维离散信号的傅里叶变换及其逆变换如下：
M 1
j 2 ux
F(u) f (x)e M
x0
u 0,1,L , M 1
f (x)
1
M 1
j 2 ux
F(u)e M
M u0
x 0,1,L , M 1
4.1.1 傅里叶变换的定义
（二）、离散函数的傅里叶变换及其逆变换 可以证明，F(u)和F(x)是周期为M 的周期函数
f
x, y
F
u,v
f
f
x, y
e F j
2
u0 x M
v0 y N
u u0 , v v0
4.1.1 傅里叶变换的定义
（二）、离散函数的傅里叶变换及其逆变换
（2） 二维离散傅立叶变换
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F(u, v)
f (x, y)e M N , u 0, 1, L , M 1; v 0, 1, L , N 1
x0 y0
f (x, y)
1
M 1 N 1
c1
f1(x, y)e M N c2
f2 (x, y)e M N
x0 y0
x0 y0
c1F1(u, v) c2 F2 (u, v)
图像 f1(x, y)
图像 f2 (x, y)
DFT ( f1) DFT ( f2 )
DFT ( f1 f2 )
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
（二）、可分离性 二维离散傅立叶变换（2D-DFT）可以分解为沿x,y 两个方向的一维
4.1.1 傅里叶变换的定义
（一）、连续函数的傅里叶变换及其逆变换 二维连续函数的傅立叶变换及其逆变换的表达式如下：
F(u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy f (x, y) F(u, v)e j2 (uxvy)dudv
4.1.1 傅里叶变换的定义
（二）、离散函数的傅里叶变换及其逆变换
F(u) F(u k M )
f (x) f (x k M )
4.1.1 傅里叶变换的定义
（二）、离散函数的傅里叶变换及其逆变换 当u取不同值后，有下式：
F(0) f (0) f (1) ... f (M 1)
j 2 1
j 2 M 1
F(1) f (0) f (1)e M ... f (M 1)e M
4.1.1 傅里叶变换的定义
原始图像
图像的傅立叶频谱
பைடு நூலகம்
如果频谱图的亮点在中心区域比较集中，说明图像含有较多的低频分量； 如果频率图的亮点在边缘部分比较集中，则说明图像含有较多的高频分量。
4.1.1 傅里叶变换的定义
图像的幅度谱
图像的相位谱
4.1.1 傅里叶变换的定义
人为加入噪声后的图像
人为加入噪声后图像的频谱
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
（一）、线性性质 离散傅立叶变换是线性变换，因此其线性性质可表达如下
f1 ( x, f2 (x,
y) y)
F1 (u, v) F2 (u,v)
c1
f1
(
x,
y)
c2
f2
(
x,
y)
c1F1
(u,
v)
c2
F2
(u,
v)
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
证明过程如下
1
M
F(M 1)
1
1
1
j 2 1
j 2 M -1
e M ... e M
f (0)
f (1)
M
M
j 2 M 1
e M ...
e
j 2
(M
1)( M M
1)
f
(M
1)
4.1.1 傅里叶变换的定义
从Z变换的单位圆上的角度看，频域采样的情况如下图
离散傅立叶变换的含义是有限长信号的离散频谱，严格的说是F(u) 在周期内的一些离散值。
1
N 1
j 2 vy
F(u,v)e N ,
x 0,1,L
, M 1; y 0,1,L
, N 1
M u0
N v0
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
（a）原始图像 (b)二维离散傅立叶变换的频谱 (c)先进行行变换，再进行列变换后得到的频谱
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
（三）、平移性 傅立叶变换的平移性质可表示为
j 2 (M 1)
j 2 ( M 1)(M 1)
F (M 1) [ f (0) f (1)e M ... f (M 1)e
M
4.1.1 傅里叶变换的定义
（二）、离散函数的傅里叶变换及其逆变换
从另一个角度来理解离散傅立叶变换的含义，首先可以将 F(u)进 行如下变换
1
F(0)
F (1)
离散傅立叶变换（1D-DFT），且先进行x方向的傅立叶变换再进行y方向 的傅立叶变换。
M 1 j2 ux N 1
j 2 vy
F(u,v) e M f (x, y)e N , u 0,1,L , M 1; v 0,1,L , N 1
x0
y0
f (x, y)
1
M 1 j 2 ux
eM
第四章 图像的正交变换
4.1 图像的傅里叶变换 4.2 图像的离散余弦变换 4.3 图像的沃尔什变换 4.4 离散K-L变换
4.1图像的傅里叶变换
4.1.1 傅里叶变换的定义
（一）、连续函数的傅里叶变换及其逆变换
一维连续函数的傅立叶变换及其逆变换的表达式如下：
F (u) f (x)e j2uxdx f (x) F (u)e j2uxdu