数字图像处理 第四章 图像的正交变换

4.1.1 傅里叶变换的定义
原始图像
图像的傅立叶频谱
如果频谱图的亮点在中心区域比较集中，说明图像含有较多的低频分量； 如果频率图的亮点在边缘部分比较集中，则说明图像含有较多的高频分量。
4.1.1 傅里叶变换的定义
图像的幅度谱
图像的相位谱
4.1.1 傅里叶变换来自百度文库定义
人为加入噪声后的图像
人为加入噪声后图像的频谱
c1
f1(x, y)e M N c2
f2 (x, y)e M N
x0 y0
x0 y0
c1F1(u, v) c2 F2 (u, v)
图像 f1(x, y)
图像 f2 (x, y)
DFT ( f1) DFT ( f2 )
DFT ( f1 f2 )
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
（二）、可分离性 二维离散傅立叶变换（2D-DFT）可以分解为沿x,y 两个方向的一维
离散傅立叶变换（1D-DFT），且先进行x方向的傅立叶变换再进行y方向 的傅立叶变换。
M 1 j2 ux N 1
j 2 vy
F(u,v) e M f (x, y)e N , u 0,1,L , M 1; v 0,1,L , N 1
x0
y0
f (x, y)
1
M 1 j 2 ux
eM
j 2 (M 1)
j 2 ( M 1)(M 1)
F (M 1) [ f (0) f (1)e M ... f (M 1)e
M
4.1.1 傅里叶变换的定义
（二）、离散函数的傅里叶变换及其逆变换
从另一个角度来理解离散傅立叶变换的含义，首先可以将 F(u)进 行如下变换
1
F(0)
F (1)
1
N 1
j 2 vy
F(u,v)e N ,
x 0,1,L
, M 1; y 0,1,L
, N 1
M u0
N v0
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
（a）原始图像 (b)二维离散傅立叶变换的频谱 (c)先进行行变换，再进行列变换后得到的频谱
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
（三）、平移性 傅立叶变换的平移性质可表示为
函数F(x,y) 的傅立叶变换一般是一个复数，则它可由下式表示：
F (u, v) F (u, v) e j(u,v) R(u, v) jI (u, v)
频谱信号的相位谱和幅度谱
(u, v) tg1[ I (u, v) ]
R(u, v)
F (u, v) [R2 (u, v) I 2 (u, v)]1/2
第四章 图像的正交变换
4.1 图像的傅里叶变换 4.2 图像的离散余弦变换 4.3 图像的沃尔什变换 4.4 离散K-L变换
4.1图像的傅里叶变换
4.1.1 傅里叶变换的定义
（一）、连续函数的傅里叶变换及其逆变换
一维连续函数的傅立叶变换及其逆变换的表达式如下：
F (u) f (x)e j2uxdx f (x) F (u)e j2uxdu
4.1.1 傅里叶变换的定义
（二）、离散函数的傅里叶变换及其逆变换
（2） 二维离散傅立叶变换
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F(u, v)
f (x, y)e M N , u 0, 1, L , M 1; v 0, 1, L , N 1
x0 y0
f (x, y)
1
M 1 N 1
f
x, y
F
u,v
f
f
x, y
e F j
2
u0 x M
v0 y N
u u0 , v v0
F(u) F(u k M )
f (x) f (x k M )
4.1.1 傅里叶变换的定义
（二）、离散函数的傅里叶变换及其逆变换 当u取不同值后，有下式：
F(0) f (0) f (1) ... f (M 1)
j 2 1
j 2 M 1
F(1) f (0) f (1)e M ... f (M 1)e M
j 2 ( ux vy )
F(u,v)e M N , u 0, 1, L , M 1; v 0, 1, L , N 1
MN u0 v0
处理离散信号时，应将连续傅立叶变换的积分形式转变为离散傅立 叶变换的求和形式，把连续傅立叶变换的积分区间转变为离散傅立叶变 换的求和区间。
4.1.1 傅里叶变换的定义
4.1.1 傅里叶变换的定义
（一）、连续函数的傅里叶变换及其逆变换 二维连续函数的傅立叶变换及其逆变换的表达式如下：
F(u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy f (x, y) F(u, v)e j2 (uxvy)dudv
4.1.1 傅里叶变换的定义
（二）、离散函数的傅里叶变换及其逆变换
1
M
F(M 1)
1
1
1
j 2 1
j 2 M -1
e M ... e M
f (0)
f (1)
M
M
j 2 M 1
e M ...
e
j 2
(M
1)( M M
1)
f
(M
1)
4.1.1 傅里叶变换的定义
从Z变换的单位圆上的角度看，频域采样的情况如下图
离散傅立叶变换的含义是有限长信号的离散频谱，严格的说是F(u) 在周期内的一些离散值。
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
（一）、线性性质 离散傅立叶变换是线性变换，因此其线性性质可表达如下
f1 ( x, f2 (x,
y) y)
F1 (u, v) F2 (u,v)
c1
f1
(
x,
y)
c2
f2
(
x,
y)
c1F1
(u,
v)
c2
F2
(u,
v)
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
证明过程如下
(1) 一维离散傅立叶变换 一维离散信号的傅里叶变换及其逆变换如下：
M 1
j 2 ux
F(u) f (x)e M
x0
u 0,1,L , M 1
f (x)
1
M 1
j 2 ux
F(u)e M
M u0
x 0,1,L , M 1
4.1.1 傅里叶变换的定义
（二）、离散函数的傅里叶变换及其逆变换 可以证明，F(u)和F(x)是周期为M 的周期函数
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F (u, v)
f (x, y)e M N
x0 y0
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
[c1 f1(x, y) c2 f2 (x, y)]e M N
x0 y0
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )