初等数论作业(3)答案
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第三次作业答案：
一、选择题
1、整数5874192能被( B )整除.
A 3
B 3与9
C 9
D 3或9
2、整数637693能被(C )整除.
A 3
B 5
C 7
D 9
3、模5的最小非负完全剩余系是( D ).
A -2,-1,0,1,2
B -5,-4,-3,-2,-1
C 1,2,3,4,5
D 0,1,2,3,4
4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ）
A )(mod m bc ac ≡
B b a =
C ac T )(m od m bc
D b a ≠
二、解同余式（组）
（1）)132(mod 2145≡x .
解 因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.
将同余式化简为等价的同余方程
)44(mod 715≡x .
我们再解不定方程
74415=-y x ,
得到一解(21,7).
于是定理4.1中的210=x .
因此同余式的3个解为
)132(mod 21≡x ,
)132(mod 65)132(mod 3
13221≡+
≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡⨯+≡x .
（2）)45(mod 01512≡+x
解 因为(12,45)=3¦15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),
即定理4.1中的100=x .
因此同余式的3个解为
)45(mod 10≡x ,
)45(mod 25)45(mod 3
4510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 3
45210≡⨯+≡x .
（3）)321
(m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.
将同余式化简为等价的同余方程
)107(mod 2537≡x .
我们再解不定方程
2510737=+y x ,
得到一解(-8,3).
于是定理4.1中的80-=x .
因此同余式的3个解为
)321(mod 8-≡x ,
)321(mod 99)321(mod 3
3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3
32128≡⨯+-≡x .
（4）⎪⎩
⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .
解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式
)7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x ,
得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为
).
494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯≡x
（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)
9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)
三、证明题
1、 如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.
证明 设a 是一正整数,并将a 写成10进位数的形式:
a =1101010n n n n a a a --+++,010i a ≤.
因为10≡0(mod5), 所以我们得到
)5(mod 0a a ≡
所以整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.
2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .
证明 因为)3(mod 12-≡,所以
)3(mod 1)1(12+-≡+n n .
于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n .
从而有)3(mod 01)1(1212≡+-≡++k n , 即)12(3+n .