北师大版平行四边形的性质(2)

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北师大版数学八年级下册 6.1.2平行四边形的性质课件

活动探究
探究点一问题2：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E F过点O且与AB、CD 分别相交于点E、F，求证：OE=OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO，AB∥CD. ∴∠ABO=∠CDO. 又∵∠BOE=∠DOF , ∴△BOE≌△DOF. ∴OE=OF.
活动探究
解：∵▱A BCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝18， ∴AO＝12AC＝6，BO＝12 BD＝9. 又∵△AOB的周长l＝23， ∴AB＝l－(AO＋BO) ＝23－(6＋9)＝8.
课堂小结
平行四边形的性质对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心；边：对边平行且相等；角：对角相等，邻角互补. 对角线：相互平分
探究点二问题1：如图, □ABCD的对角线AC、BD相交于点O, ∠ADB=90º,OA=6,0B=3. 求AD和AC的长度. 解：在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ∴OD=OB=3 ∠ADB=90º 在Rt∆AOD中，
AD = OA2 - OD2 = 62 + 32 = 3 3， AC=2OA=2×6=12 所以，AD和AC的长度分别为 3 3 和12.
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11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。21. 4.3013: 39:1113 :39Apr-2130-A pr-21
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12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。13:39: 1113:3 9:1113: 39Frida y, April 30, 2021
6.1 平行四边形的性质第源自课时八年级下册-学习目标 1 掌握平行四边形对角线互相平分的性质; 2 利用平行四边形对角线的性质解决有关问题.

新北师大版九年级数学上册特殊的平行四边形(含中考真题解析)

特殊的平行四边形知识点名师点晴矩形1．矩形的性质会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题．2．矩形的判定会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否是矩形菱形1．菱形性质能应用这些性质计算线段的长度2．菱形的判别能利用定理解决一些简单的问题正方形1．正方形的性质了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题2．正方形判定掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明☞2年中考【2015年题组】1．（2015崇左）下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定． 2．（2015连云港）已知四边形ABCD ，下列说法正确的是（） A ．当AD=BC ，AB ∥DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 B ．当AD=BC ，AB=DC 时，四边形ABCD 是平行四边形 C ．当AC=BD ，AC 平分BD 时，四边形ABCD 是矩形 D ．当AC=BD ，AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是正方形【答案】B ．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A 不正确； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B 正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C 不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D 不正确；故选B ．考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定． 3．（2015徐州）如图，菱形中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于（）A ．3.5B ．4C ．7D ．14 【答案】A ．【解析】试题分析：∵菱形ABCD 的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD ，∵E 为AD 边中点，∴OE是△ABD 的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A ．考点：菱形的性质． 4．（2015柳州）如图，G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的点，且AG=CE ，AE ⊥EF ，AE=EF ，现有如下结论：①BE=12GE ；②△AGE ≌△ECF ；③∠FCD=45°；④△GBE ∽△ECH其中，正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．5．（2015内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．3B．23C．26D．6【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．6．（2015南充）如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为3cm ，则对角线AC 长和BD 长之比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：2D ．1：3【答案】D ．【解析】试题分析：如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB=BC=2cm ，∵高AE 长为3cm ，∴BE=22AB AE -=1（cm ），∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ，∴OB=22AB OA -=3（cm ），∴BD=2OB=23cm ，∴AC ：BD=1：3．故选D ．考点：菱形的性质．7．（2015安徽省）如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（） A ．25 B ．35 C ．5 D ．6【答案】C ．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．8．（2015十堰）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ，AD 上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF 的长为（）A ．102B ．53C 5103D 1053【答案】A ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题． 9．（2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A ．201421）（B ．201521）（ C ．201533）（ D ．201433）（【答案】D ．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题． 10．（2015广安）如图，已知E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 四边的中点，AB=6cm ，∠ABC=60°，则四边形EFGH 的面积为 cm2．【答案】93．【解析】试题分析：连接AC ，BD ，相交于点O ，如图所示，∵E 、F 、G 、H 分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG ，EH ∥BD ∥FG ，EF=12AC=HG ，∴四边形EHGF 是平行四边形，∵菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：OB=22AB OA =33，∴BD=63，∵EH=12BD ，EF=12AC ，∴EH=33，EF=3，∴矩形EFGH 的面积=EF•FG=93cm2．故答案为：93．考点：1．中点四边形；2．菱形的性质． 11．（2015凉山州）菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为．【答案】（233-，23-）．的交点，∴点P 的坐标为方程组3(13)1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩的解，解方程组得：3323x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P 的坐标为（33，23-），故答案为：（233-，23）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题． 12．（2015潜江）菱形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（03，动点P 从点A 出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P 的坐标为．【答案】（0.5，32．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．13．（2015北海）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在DC 边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8．【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 与BD 相交于点O ，∴∠BAC=45°，AB ∥DC ，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC ﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt △ADE 中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质． 14．（2015南宁）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠BED 的度数是．【答案】45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．15．（2015玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】9 2．【解析】试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴'''BP BEAA AE=，即164BP=，BP=32，CP=BC﹣BP=332-=32，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣12AD•DQ﹣12CQ•CP﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．16．（2015达州）在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A1B1C1O 、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线1y x =+上，点C1、C2、C3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S 、3S 、…nS ，则nS 的值为（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【答案】232n -．故答案为：232n ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题． 17．（2015齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB 与直线l 的夹角为30°，延长CB1交直线l 于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l 于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l 于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【答案】20142(3)．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．18．（2015梧州）如图，在正方形ABCD 中，点P 在AD 上，且不与A 、D 重合，BP 的垂直平分线分别交CD 、AB 于E 、F 两点，垂足为Q ，过E 作EH ⊥AB 于H ．（1）求证：HF=AP ；（2）若正方形ABCD 的边长为12，AP=4，求线段EQ 的长．【答案】（1）证明见试题解析；（21010．【解析】考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题． 19．（2015恩施州）如图，四边形ABCD 、BEFG 均为正方形，连接AG 、CE ．（1）求证：AG=CE ；（2）求证：AG ⊥CE ．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）由ABCD 、BEFG 均为正方形，得出AB=CB ，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE ，得出∠ABG=∠CBE ，从而得到△ABG ≌△CBE ，即可得到结论；（2）由△ABG ≌△CBE ，得出∠BAG=∠BCE ，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN ，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD 、BEFG 均为正方形，∴AB=CB ，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE ，∴∠ABG=∠CBE ，在△ABG 和△CBE 中，∵AB=CB ，∠ABG=∠CBE ，BG=BE ，∴△ABG ≌△CBE （SAS ），∴AG=CE ；（2）如图所示：∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG=∠BCE ，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN ，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG ⊥CE ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质． 20．（2015武汉）已知锐角△ABC 中，边BC 长为12，高AD 长为8．（1）如图，矩形EFGH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E 、F 分别在AB 、AC 边上，EF 交AD 于点K ．①求EFAK 的值；②设EH=x ，矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值；（2）若AB=AC ，正方形PQMN 的两个顶点在△ABC 一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN 的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S x x =-， S 的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF ∥BC ，∴AK EF AD BC =，∴EF BC AK AD ==128=32，即EF AK 的值是32；考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题． 21．（2015荆州）如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE ，PE 交CD 于F ．（1）PC=PE ；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE ．【解析】试题分析：（1）先证出△ABP ≌△CBP ，得到PA=PC ，由PA=PE ，得到PC=PE ；（2）由△ABP ≌△CBP ，得到∠BAP=∠BCP ，进而得到∠DAP=∠DCP ，由PA=PC ，得到∠DAP=∠E ，∠DCP=∠E ，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．【2014年题组】 1．（2014·宜宾）如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是（）A ．nB ．n ﹣1C ．（14）n ﹣1D ．14n【答案】B ．【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n ﹣1）=n ﹣1．故选B ．考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质． 2．（2014·山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD 中，点E 是AD 的中点，且AE=1，BE 的垂直平分线MN 恰好过点C ．则矩形的一边AB 的长度为（）A ． 1B ．2C ．3D ． 2【答案】C ．考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质． 3．（2014山东省聊城市）如图，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连接BE ，DF ，EF ，BD ．若四边形BEDF 是菱形，且EF=AE+FC ，则边BC 的长为（）A ．3B ． 33 C ．3 D 93【答案】B ．【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，即BA ⊥BF ，∵四边形BEDF 是菱形，∴EF ⊥BD ，∠EBO=∠DBF ，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO ，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE=23cos30BO=︒，∴BF=BE=23，∵EF=AE+FC ，AE=CF ，EO=FO∴CF=AE=3，∴BC=BF+CF=33，故选B ．考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质．4．（2014·广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（） A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形【答案】B ．考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质． 5．（2014·贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E ，且DE ⊥AF ，垂足为点M ，BE=3，AE=26，则MF 的长是（）A 15B 15C ．1D ． 15【答案】D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．6．（2014·襄阳）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE=13AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF=2BE ；②PF=2PE ；③FQ=4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④ 【答案】D ．【解析】试题分析：∵AE=13AB ，∴BE=2AE ．由翻折的性质得，PE=BE ，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP ）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE ．故①正确． ∵BE=PE ，∴EF=2PE ．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．7．（2014·宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【答案】5．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．8．（2014·山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF 交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．9．（2014·梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．☞考点归纳归纳1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小为（）A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B．考点：矩形的性质．归纳2：菱形基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B．考点：菱形的性质．归纳3：正方形基础知识归纳：1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【例3】如图，ABCD 是正方形场地，点E 在DC 的延长线上，AE 与BC 相交于点F ．有甲、乙、丙三名同学同时从点A 出发，甲沿着A ﹣B ﹣F ﹣C 的路径行走至C ，乙沿着A ﹣F ﹣E ﹣C ﹣D 的路径行走至D ，丙沿着A ﹣F ﹣C ﹣D 的路径行走至D ．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A ．甲乙丙B ．甲丙乙C ．乙丙甲D ．丙甲乙【答案】B ．考点：正方形的性质． ☞1年模拟 1．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（） A ．平行四边形的对角线互相平分B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．菱形的对角线互相垂直D ．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D ．【解析】试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A 、B 、C 选项均正确，而D 不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D ．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质． 2．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠ACB=30°，则∠AOB 的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B．考点：矩形的性质．3．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE 为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为（）A．0.7 B．0.9 C．2−2 D2【答案】C．【解析】试题分析：如图，∵∠B=45°，AE⊥BC，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：2，由题意得：△ABE≌△AB1E，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，2，∴2，2-2，∵四边形ABCD为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F，∵CF∥AB，∴△CFB1∽△BAB1，∴11B CCFAB BB=，解得：2，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：12212=，21(22)3222⨯=-，∴△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积=1(322)222--=．故选C．考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）．4．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC的顶点O在坐标系原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A．（-2，2）B．（2，-2）C．（2，-2）D．（3，-3）【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．5．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．6．（2015届山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④ 【答案】B ．考点：正方形的判定．7．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，把该矩形绕点A 顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是．34π-．考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算． 8．（2015届河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O 与边BC ，CD 相切，现有一条过点B 的直线与⊙O 相切于点E ，连接BE ，△ABE 恰为等边三角形，则⊙O 的半径为．【答案】3【解析】试题分析：过O 点作GH ⊥BC 于G ，交BE 于H ，连接OB 、OE ，∴G 是BC 的切点，OE ⊥BH ，∴BG=BE ，∵△ABE 为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴3，BH=23，设OG=OE=x ，则3-3，3-x ，在RT △OEH 中，EH2+OE2=OH2，即（3-3）2+x2=3-x ）2，解得3，∴⊙O 的半径为3．故答案为：3考点：1．切线的性质；2．矩形的性质． 9．（2015届山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为．【答案】14．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形． 10．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1，CE=3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是．5考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．11．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型． 12．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，已知点E ，F 分别是□ABCD 的边BC ，AD 上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF 面积．【答案】（1）见解析（22532【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF 是菱形；（2）连接EF 交于点O ，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC 与EF 的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF 的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ．在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点E 是BC 边的中点，∴AE=CE=12BC ．同理，AF=CF=12AD ．∴AF=CE ．∴四边形AECF 是平行四边形． ∴平行四边形AECF 是菱形．考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形． 13．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD 在平面直角坐标系中，AD=6，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA ＞OB ．（1）求sin ∠ABC 的值；（2）若E 为x 轴上的点，且S △AOE=163，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO 是否相似？（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE ∽△DAO ．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA 、OB 长度，根据勾股定理求得AB 长，那么就能求得sin ∠ABC 的值；（2）易得到点D 的坐标为（6，4），还需求得点E 的坐标，OA 之间的距离是一定的，那么点E 的坐标可能在点O 的左边，也有可能在点O 的右边．根据所给的面积可求得点E 的坐标，把A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=225OA OB+=，∴sin∠ABC=54OAAB=；（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（-3，0）；②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F （3，8）；③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=-43x+4，直线L过（32，2），且k值为34（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），L解析式为y=34x+78，联立直线L 与直线AB求交点，∴F（4751-，722-）；④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=245，勾股定理得出，AN=75，做A关于N的对称点即为F，AF=145，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=145×35=4225，∴F（-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型． 14．（2015届河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，F 是DC 延长线上一点，连接BF 、EF ，恰有BF=EF ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°得FG ，过点B 作EF 的垂线，交EF 于点M ，交DA 的延长线于点N ，连接NG ．（1）求证：BE=2CF ；（2）试猜想四边形BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN 为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．15．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为¼CC'，则图中阴影部分的面积为．【答案】33 42π+．【解析】试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A、D′、C及A、B、C′分别共线∴AC=3，∴扇形ACC′230(3)3604ππ⨯⨯=．∵AC=AC′，AD′=AB，∴在△OCD′和△OC'B中，CD BCACO AC DCOD C OB''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD′≌△OC′B （AAS），∴OB=OD′，CO=C′O．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC-AD′=3-1，OB+C′O=1，∴在Rt△BOC′中，BO2+（1-BO）2=（3-1）2，解得BO=3122-，3322C O'=-，∴考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形

为什么？
A
D
证明:矩形ABCD中
∵AB∥CD
O
∴∠OAB=∠OCD,
B
C
∠OBA=∠ODC △ABO与△DCO中
∵ ∠OAB=∠OCD,AB=CD,∠OBA=∠ODC
∴ △ABO ≌△DCO, ∴AO=OD,BO=CO
∴AO+OC=BO+OD,即:AC=BD
如图：矩形的对角线 A
D
相交于点E，你可以找
3、进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。
4、体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法。
5、培养学生实事求是的辩证唯物主义思想及积极探究的思想意识。
三、教学指导：
本节课共分为三课时内容，教学过程中可分为三大步完成，即：理论、方法积累、思路梳理——合作交流，互助探索学习——自主探索，拓展延伸，归纳新知。这充分体现了螺旋上升的原则。
首先，我们应培养学生很好地掌握已熟悉的逻辑方法，包括证明的思路和证明过程的准确表达。
其次，对不同证明方法的探索可以提高学生的逻辑思维水平。因此，在证明了一个命题以后，同学们还应该思考是否还有其他的证明方法，如辅助线的添加方法唯一吗？还可以从什么角度解决问题……。
五、评价建议：
1、关注学生探索结论、分析思路和方法的过程。
形
角形斜边上的中线等于斜边的一半。
B
D
具有平行四边形所有边的性质
矩形四个角都是直角性质：
对角线相等且互相平分
证明：过程
解答过程：
特殊平行四边形（二）
在认真学习第一课时的基础上，本节课的教学可按以下环节逐步展开：
1.知识回顾——回想知识，加强记忆、理解。 2.新课引入——动手实践，发现新知。 3.新课讲解——互助合作，探索性质，判别。 4.训练应用——强化训练，加深应用。 5.拓展延伸——类比菱形，探索正方形。 6.小结——综合思想，归纳思路。 7.作业——综合知识，强化训练。下面就每个环节，逐层分析。

北师大版八年级数学下册6.2《平行四边形的判定》教学设计

5.关注学生的个体差异，鼓励学生在课堂上积极发言、提问，充分调动学生的学习积极性。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：平行四边形的判定方法及其性质的应用。
2.难点：理解并灵活运用多种判定方法，解决实际问题。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用启发式教学，引导学生自主探究平行四边形的判定方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
1.充分调动学生的几何基础知识，引导学生将已学习的平行线、三角形等知识与平行四边形相结合，形成知识体系。
2.关注学生的学习难点，针对不同学生的掌握程度，进行有针对性的教学，帮助学生克服困难。
3.创设生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生将所学知识应用于解决实际问题。
4.注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
2.作业完成后，请认真检查，确保答案正确。
3.家长签字确认，以便教师了解学生在家的学习情况。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
1.引导学生观察生活中的平行四边形实例，激发学生的学习兴趣，培养学生从生活实践中发现数学问题的能力。
2.通过小组合作、讨论、交流等学习方式，让学生自主探索平行四边形的判定方法，培养学生合作学习、自主探究的能力。
3.设计丰富的例题和练习，让学生在实际操作中掌握平行四边形的性质和判定方法，提高学生的实际操作能力。
（2）提高题：设计具有一定难度的题目，让学生在解决实际问题时，灵活运用所学知识。
（3）开放题：鼓励学生发挥想象，运用平行四边形的性质解决生活中的实际问题。
4.教学评价：
（1）关注学生的学习过程，评价学生在课堂上的参与程度、合作意识、探究能力等。

北师大版四年级下册《第2章_认识图形》小学数学-有答案-单元测试卷(2)

北师大版四年级下册《第2章认识图形》小学数学-有答案-单元测试卷（2）一、我会填．（每空1分．共24分）1. 两组对边________的四边形叫做平行四边形。

2. 只有一组对边________的四边形叫做梯形。

3. 锐角三角形有________个锐角，直角三角形有________个锐角，钝角三角形有________个锐角。

4. ________和________都是特殊的平行四边形。

5. 三角形任意两边的和________于第三边。

6. ________梯形是轴对称图形。

有________条对称轴。

7. 在30∘、100∘、1∘、89∘、91∘和300∘六个角中，________是锐角，________是钝角。

8. 用两个完全相同的三角形可以拼成一个________形。

9. 三角形按角分类分为________三角形、________三角形和________三角形。

10. 一个等腰三角形，顶角是100∘，它的一个底角是________．11. 三角形具有________性，平行四边形具有________性。

12. 如果将长方形的对角用力拉后，此长方形就变成了________形。

13. 一个三角形的两条边分别是8厘米和5厘米，第三条边必须比________厘米大，比________厘米小。

14. 一个三角形中至少有________个角是锐角。

15. 直角三角形中两个锐角的度数和等于________度。

16. 两条边相等的三角形叫________三角形，________三角形的三条边都相等。

二、我是公正的小法官．（对的打“√”，错的打“×”）（每小题1分．共10分）等边三角形一定是等腰三角形。

________．（判断对错）所有三角形的内角和都相等________．（判断对错）等腰三角形不可能是钝角三角形。

________．（判断对错）把任意一个三角形放在放大镜下，就成了钝角三角形。

________（判断对错）等边三角形的高不一定相等。

北师大版数学八年级上第四章课件

菱形的判定： 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.四条边都相等的四边形是菱形； 3.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 4.两条对角线互相义：有一个内角是
4.2平行四边形的判定
• 1.定义法 • 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 • 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； • 4.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
4.3菱形
• 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫～ • 性质： 1.具有平行四边形的所有性质； 2.四条边都相等； 3.两条对角互相垂直； 4.每一条对角线平分一组对角； 5.轴对称性。
第四章四边形性质探索
• 4.1 平行四边形的性质 • 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 • 平行四边形的性质： • 1.平行四边形的对边平行且相等； • 2.平行四边形的对角相等； • 3.平行四边形的两条对角线互相平分；
平行线的性质
• 从两条平行线中的任一条上任取一点做另一条直线的垂线段，这条垂线段的长度叫做两平行线间的距离。 • 1.平行线间的垂线段长度处处相等； • 2.在两条平行线间的平行线段相等。

北师大版八年级下册第六章平行四边形含答案

第六章平行四边形1 平行四边形的性质1. A 已知，□ABCD中，HF∥AB，EG∥BC，请说出图中共有多少个平行四边形？2. A 已知，□ABCD，请你用全等的方法证明平行四边形对边相等．3. A 已知，□ABCD中，∠B=70°，请你求出另外三个内角的大小．4. A 如图所示，在△ABC 内部有□AFDE ，D 、E 分别在边BC 、AC 上．AB =AC =5，那么□AFDE 的周长是______________．5. B 如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，∠C =110°，则∠AEB =_____．若AB =2，点E 是AD 边的中点，平行四边形ABCD 的周长是_____________．6. B 如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，BE 、CF 交于点G ．若使AD =4EF ，那么AB ：BC =_________．7. A 请你用全等的方法证明：平行四边形对角线互相平分．8. B 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AC =6，BD =8，则边AB 的取值范围是_______．BBD9. A 你能把现实生活中的活动用数学知识来解答？10. A 如图，方格纸中每个最小的正方形的边长为1，那么长方形ABCD与平行四边形ABEF的面积哪个大一些？11. A 如图，MN//AB，P，Q为直线MN上的任意两点，△PAB和△QAB的面积有什么关系？12. B 设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为8cm，b与c的距离为3cm，求a与c的距离．1. B 如图所示，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不正确的是( )A ．BO =ODB ．AB =CDC ．AC ⊥BD D ．∠BAD =∠BCD2. B 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上的一点，CE =CD ，若∠B =72°，则∠AEC 的度数是( )A ．144°B ．108°C ．102°D ．78°3. C 如图所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于点M 、N ，若△CON 的面积为2，△DOM 的面积为4，则△AOB 的面积为．4. C 如图，EF 是过平行四边形ABCD 的对角线交点O 的线段，分别交AB ，CD 于点E 、F ，如果平行四边形ABCD 的周长为16cm ，且OF =1.5cm ，那么四边形BCFE 的周长为 cm ．5. C 如图，ABCD 是平行四边形，P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ．(1)求∠APB 的度数；(2)如果AD =5cm ，AP =8cm ，求△APB 的周长．BBBBA6. C 如图所示，一个平行四边形被分成面积为S 1、S 2、S 3、S 4的四个小平行四边形，当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时，S 1•S 4与S 2•S 3的大小关系为( )A ．S 1•S 4＞S 2•S 3B ．S 1•S 4＜S 2•S 3C ．S 1•S 4=S 2•S 3D ．不能确定1. C 在面积为60的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥直线BC 于点E ，作AF ⊥直线CD 于点F ，若AB =10，BC =12，则CE + CF 的值为（）A.22+B.22-C.22+22-D.22+22. C 如图，平行四边形ABCD 中，AB ：BC =3:2，∠DAB =60°，点E 在AB 上，且AE ：EB =1:2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ， DQ ⊥CE 于Q ，则DP ： DQ 等于（）A ．3:4 BCD．3. C 在平行四边形ABCD 中，∠BCD =30°，BC =4，CD=M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A'MN ，连接A'C ，则A'C 长度的最小值是____.2 平行四边形的判定1. A 如图，在四边形ABCD中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是()A．AB ∥DC，AB = DCB．AB ∥DC，AD ∥BCC．AB = DC，AD = BCD．AB∥DC，AD = BC2. A 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B =∠D．求证：四边形ABCD为平行四边形．3. B 已知BD垂直平分AC，∠BCD = ∠ADF，AF⊥AC，证明：四边形ABDF是平行四边形．4. A 如图，在四边形ABCD中，∠B =∠D，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．5. A 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO = DO．求证：四边形ABCD是平行四边形．6. A 四边形ABCD中，分别给出以下条件：①AB∥CD；②AB = CD；③AD∥BC；④AD = BC；⑤∠A =∠C．则下列条件组合中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是()A．①②B．①③C．①④D．①⑤7. B 如图，已知E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AE = CF，BE = FD，BE∥FD．求证：四边形ABCD是平行四边形．1. B 如图，在四边形ABCD 中，∠DAC =∠ACB ，要使四边形ABCD 成为平行四边形，则应增加的条件不能是( )A ．AD =BCB ．OA =OCC ．AB =CD D ．∠ABC +∠BCD =180°2. B 在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，要使四边形ABCD 是平行四边形应符合下列条件中的( )A ．AB ∥CD ，BC =ADB ．AB =CD ，OA =OCC ．AB ∥CD ，OA =OCD ．AB =CD ，AC =BD3. C 如图，四边形ABCD 中，AD =BC ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足为E 、F ，AE =CF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．4. C 如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F ．求证：四边形AECF 是平行四边形．B5. C 如图所示，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，P 是△ABC 内的任意一点，过点P 作EF ∥AB 分别交AC 、BC 于点E 、F ，作GH ∥BC 分别交AB 、AC 于点G 、H ，作MN ∥AC 分别交AB 、BC 于点M 、N ．试求EF +GH +MN 的值．1. C 如图，分别以Rt △ABC 的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，F 为AB 的中点，DE ，AB 交于点G ，若∠BAC =30°，有下列结论： ①EF ⊥AC ；②四边形ADFE 为平行四边形；③AD =4AG ； ④△DBF ≌△EFA其中正确的结论是________（填序号）2. B 已知三条线段的长分别为10cm ，14cm 和8cm ，如果以其中的两条为对角线，另一条为边，那么可以画出所有不同形状的平行四边形的个数为（）A . 1B . 2C . 3 D.43. C 判断下述四个命题是否正确？正确的请证明，错误的请举出反例．(1)一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；(2)一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；(3)一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；(4)一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．B平行四边形习题课1. A 已知，□ABCD ，AB =3，BC =5，对角线AC 、BD 交于点O ，则OD 的取值范围是_________．2. B 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ≠AD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，若△ABE 的周长为12cm ，则平行四边形ABCD 的周长是___________．3. B (1)如图，对角线AC 把平行四边形ABCD 分为两部分，这两部分的面积相等吗？为什么？(2)在AC 上找一点I ，过I 作FH ∥AD ，EG ∥AB ，则图中面积相等平行四边形有_____对．AB1. B 如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，且BE =FD ，求证：四边形AECF 是平行四边形．2. B 如图所示，已知D 是等腰三角形ABC 底边BC 上的一点，点E ，F 分别在AC ，AB 上，且DE ∥AB ，DF ∥AC ．(1)通过观察分析线段DE 、DF ，AB 三者之间有什么关系．试说明你的结论成立的理由．(2)如果AB =6，试求四边形AEDF 的周长．3. C 如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA =OC ，猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系，并加以证明．EBE B4. C 已知，如图，在□ABCD 中，延长DA 到点E ，延长BC 到点F ，使得AE =CF ，连接EF ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，连接DM ，BN ．(1)求证：△AEM ≌△CFN ；(2)求证：四边形BMDN 是平行四边形．5. C 已知：如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边上的点，且DE ∥AC ，DF ∥AB ．延长FD 至点G ，使DG =FD ，连接AG ．求证：ED 和AG 互相平分．BB6. C 如图，凸八边形A l A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8中，∠A l =∠A 5，∠A 2=∠A 6，∠A 3=∠A 7，∠A 4=∠A 8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．3 三角形的中位线1. A 如图，△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若DE =2，则BC =( )A ．2B ．3C ．4D ．52. A 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB =10，BC =15，MN =3．(1)求证：BN =DN ；(2)求△ABC 的周长．5A 2343. B 如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为()A．6 B．7 C．8 D．121. B 已知在三角形中，连接任意两边中点的线段叫做三角形的中位线，中位线的长度是第三边长度的一半，请结合中位线知识完成下列问题.(1)如图，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE，求证：DE= 1()2AB BC AC++；(2)如图，BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变，(3)如图，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，其他条件不变，它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明.2. B 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且D为AC的中点，DE∥BC交AB于点E，若BC=4，则EB长为．3. B 已知：如图，在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高.求证：∠EDG=∠EFG .4. B 已知：如图，在△ABC中，AB ＞AC，AD平分∠BAC，BE垂直AD延长线于E，M是BC中点．求证：EM=12AB AC()．5. B 已知：如图所示，在△ABC中，D、G分别为AB、AC上的点，且BD=CG，M、N分别是BG、CD的中点，过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：AP=AQ．1. B 已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．2. C 已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．3. B 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD = 2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF．其中正确的是.4. C 如图，C、D是线段AB上两点，且AC = BD =16AB=1，点P是线段CD上一个动点，在AB同侧分别作等边△P AE和等边△PBF，M为线段EF的中点．在点P从点C移动到点D时，点M运动的路径长度为．4 多边形的内角和与外角和1. B 如图，△ABC中，∠C=60°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=()A．360° B．240° C．180° D．140°2. B 从多边形一条边上的一点(不是顶点)出发，连接各个顶点得到2014个三角形，则这个多边形的边数为()A．2013 B．2014C．2015 D．20163. B 已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是()A．6 B．7 C．8 D．104. B 小明和小亮分别利用图①、②的不同方法求出了五边形的内角和都是540°.请你考虑在图③中再用另外一种方法求五边形的内角和.并写出求解过程.5. B 正多边形的一个外角等于30°.则这个多边形的内角和为()A．1440° B．1620°C．1800° D．1980°6. B 如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角.若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4=________.7. B 我们都知道，三角形的三条内角平分线交于一点，其实，三角形的外角也是有平分线的，请你探究一下下列三种情况中，不同的角平分线相交形成的角∠M和三角形内角∠A之间的数量关系．(1)△ABC两内角∠ABC和∠ACB的角平分线交于点M．(2)△ABC内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线交于点M．(3)△ABC的外角∠DBC和∠ECB的角平分线交于M．1. B 已知，一个凸多边形的每一个内角都是140°，那么这个多边形的边数是多少？内角和是多少？外角和是多少？每一个顶点出发有多少条对角线？共有多少条对角线？2. B 现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )A ．正方形和正六边形B ．正三角形和正方形C ．正三角形和正六边形D ．正三角形、正方形和正六边形3. C 下图是为某机器人编制的一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 m.4. C (1)一个多边形对角线的条数等于边数的5倍，则这个多边形的内角和是 .(2)一个多边形的每一个内角都等于150°，那么这个多边形的对角线数目是 .(3)过m 边形的一个顶点有4条对角线，n 边形没有对角线，p 边形有p 条对角线，则边数为(m +n －p )的正多边形每一个内角的度数是 .5. C 如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，AE 、CF 分别平分∠BAD 和∠BCD ，那么AE 和CF 的位置关系是什么？并说明.FA6. C 在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是.1. B 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，则(m-k)n=___________．2. C 已知：如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D +∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=_______．3. C 如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠B= ∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，F A-CD =3，求BC+DE的值．4. C 如图，在六边形ABCDEF中，AB=BC= CD=DE=EF=F A，且∠A+∠C+∠E= ∠B+∠D+∠F.求证：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.角度计算习题课1. B (1)如图，线段AB 、CD 交于点O ，则∠A +∠C 和∠B +∠D 的关系如何？请证明.(2)如图，∠BOC 、∠A 、∠B 、∠C 有什么数量关系？请证明.(3)如图，在∠AOB 中有一点P ，从点P 向OA 、OB 引线段，交点分别为M 、N ，则∠AMP 、∠BNP 、∠O 、∠P 之间有什么数量关系？请证明.D(4)如图，延长△ABC 的边AB 、AC 分别至M 、N ，则∠MBC 、∠NCB 和∠A 之间有什么数量关系？请证明.2. B (1)如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = ．(2)如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = ．3. C 如图，已知△ABC 中，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，BD 、CE 交于点O ，∠A =70°．(1)若∠ACB =40°，求∠BOC 的度数；(2)当∠ACB 的大小改变时，∠BOC 的大小是否发生变化？为什么？请写出证明过程．B4. C 如图，∠ABD 、∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠A =50°，∠D =10°，请计算∠P 的度数．5. C 如图，将六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠，使A 、B 落在六边形CDEFGH 内部，若∠C +∠D +∠E +∠F =510°，则∠1+∠2等于多少度？6. C 如图，将△ABC 沿DE 、FG 、HI 折叠，使三个顶点A 、B 、C 分别落在三角形内部点A′、B ′、C ′处，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的和是多少？DB G H1. C 在四边形ABCD中，∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线所在的直线相交于点F，若∠A=α，∠D=β．(1)如图1，α+β＞180°，试用α，β表示∠F；(2)如图2，α+β＜180°，请在图2中画出∠F，并试用α，β表示∠F；(3)一定存在∠F吗？如有，写出∠F的值，如不一定，直接写出α，β满足什么条件时，不存在∠F．2. B 如图，在四边形ABCD中，BP，CP分别是∠ABC，∠BCD的角平分线，求∠P与∠A，∠D之间的数量关系．3. C 如图，∠A +∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = ( )A.100ºB.120ºC.150ºD.180º4. C 有一副由正三角形与正方形(它们的边长相等)组成的拼板玩具，用它们可以拼成若干种凸多边形(任意一个内角都小于180º的多边形).这类多边形中的五边形、六边形和七边形如图所示：这类多边形中边数最多的是几边形？试画出一个这样的多边形.期中期末串讲—平行四边形1. A 已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是（）A. 100°B. 160°C. 80°D. 60°2. A 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A. AB∥DC，AD∥BCB. AB=DC，AD=BCC. AO=CO，BO=DOD. AB∥DC，AD=BC3. A 如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于________.4. B 在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40，则S平行四边形ABCD =（）A. 24B. 36C. 40D. 485. B 如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO. 若AO=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是（）A. 14cmB. 18cmC. 24cmD. 28cm6. A 一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，它是几边形？7. B 如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．61. B 如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠DEF=∠BFE．求证：四边形EBFD是平行四边形．2. B 如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点．求证：∠DEF=∠HFE．第六章平行四边形1 平行四边形的性质1.9．2.证明：如图，连接AC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠BAC =∠DCA ，∠ACB =∠CAD ，在△ABC 和△CDA 中，∴△ABC ≌△CDA (ASA)，∴AB =CD ，AD=BC ，即平行四边形对边相等．3.∠A =110°，∠C =110°，∠D =70°．4.10．5.35°，12．6.5:8．7.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAO=∠DCO ，∠ABO =∠CDO ，在△ABO 和△CDO 中，∴△ABO ≌△CDO (ASA)，∴AO =CO ，BO=DO ，即平行四边形对角线互相平分．8.1＜AB ＜7．9.,BAC DCAAC CA ACB CAD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，,=BAO DCO AB CD ABO CDO ∠∠=∠⎧=⎪⎩∠⎪⎨，，10. S ABCD =S ABEF ．11.相等．12.11cm 或5cm ．1. C ．2. B ．3.6．4.11．5.(1)90°；(2)24cm ．6. C ．1. D.2. D.3.5.2 平行四边形的判定1. D2.如图，连接AC ，∵AB ∥CD ，∴∠BAC =∠DCA ，∴在△ABC 和△CDA 中， ∴△ABC ≌△CDA (AAS)， ∴AB=CD ,又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．,,,B D BAC DCA AC CA ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩3.∵BD 垂直平分AC ，∴BD ⊥AC ，且BA=BC ，DA=DC ，又∵AF ⊥AC ，∵BD ∥AF ，又∵BA=BC ，DA=DC ，∴∠BAE =∠BCE ，∠DAE =∠DCE ，∴∠BAE+∠DAE =∠BCE +∠DCE ，即∠BAD =∠BCD ，又∵∠BCD = ∠ADF ，∴∠BAD = ∠ADF ，∴AB ∥DF ，又∵BD ∥AF ，∴四边形ABDF 是平行四边形．4.在△ABC 和△CDA 中，∵∴△ABC ≌△CDA (AAS)，∴∠ACB = ∠CAD ，∴∠ACB +∠2= ∠CAD+∠1，即∠BCD = ∠BAD ，又∵∠B =∠D ，∴四边形ABCD 为平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)．5.∵AB ∥CD ，∴∠OBA = ∠ODC ，∠OAB = ∠OCD ，在△OAB 和△OCD 中，∵∴△OAB ≌△OCD (AAS)，∴OA = OC ，又∵BO =DO ，∴四边形ABCD 为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．6. C ．7.如图，连接DE ，BF ，BD ，AC 与BD 交于点O ，∵BE = FD ，BE ∥FD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∴OB=OD ，OE=OF ，又∵AE = CF ，,,1,2B D AC CA ∠=∠⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩,,OBA ODC OAB OCD BO DO ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴AE+OE = CF+OF，即OA=OC，又∵BO=OD，∴四边形ABCD为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．1. C．2. C．3.方法一：证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△ADE和Rt△CBF中，AD=CB，AE=CF，∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL)，∴∠ADE=∠CBF，∴AD∥BC，又∵AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形．方法二：证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△ADE和Rt△CBF中，AD=CB，AE=CF，∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL)，∴DE=BF，∴DE－EF=BF－EF，∴DF=BE，在△DFC和△BEA中，DF=BE，∠DFC=∠BEA，CF=AE，∴△DFC≌△BEA，∴CD=AB，又∵AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形．4.方法一：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OD=OB，AB∥CD，∴∠OFD=∠OEB，在△OFD和△OEB中，∠OFD=∠OEB，∠DOF=∠BOE，OD=OB，∴△OFD≌△OEB，∴OF=OE，∴四边形AECF是平行四边形．方法二：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OD=OB，AB∥CD，∴∠OFD=∠OEB，在△OFD和△OEB中，∠OFD=∠OEB，∠DOF=∠BOE，OD=OB，∴△OFD≌△OEB，∴DF=BE，∴CD+DF=AB+BE，即CF=AE，又∵AB∥CD，∴四边形AECF是平行四边形．5.8cm．1.①②③④.2. B.3.(1) (2) (4)错误，(3)正确，理由见详解.详解：(1)如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点D为BC边上除中点外任意一点，将三角形ADC翻转得到△D′A′C′，则∠C=∠C′，AC= A′C′，所以在四边形ABDC′中，AB= DC′，∠B=∠C′，但是四边形ABDC′不是平行四边形，所以(1)错误；(2)如图2，四边形ABCD为平行四边形，OA=OC，AD=BC，在OD边上找一点OD′，使得AD=AD′，所以在四边形ABCD′中，OA=OC，AD′=BC，但是四边形ABCD′不是平行四边形，所以(2)不正确；(3)如图3，在四边形ABCD中，∠BAD =∠BCD，OB=OD.假设：四边形ABCD不是平行四边形，∴在线段AC的延长线上必存在一点C′，使得∠BAD=∠BC′D，∵∠BAD =∠BCD，∴∠BC′D=∠BCD，∵∠BC′D=180°-（ C′BD+∠C′DB），∠BCD=180°-（ CBD+∠CDB），C′BD+∠C′DB＞ CBD+∠CDB，∴∠BC′D≠∠BCD，与∠BC′D=∠BCD相矛盾，∴假设不成立，∴四边形ABCD是平行四边形；(4)如图4，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC ，OB =OD ，但四边形ABCD 不是平行四边形，所以(4)不正确.平行四边形习题课1.1＜OD ＜4．2.24cm ．3.(1)相等．证明：如图，过B 、D 分别作AC 的垂线，垂足为E 、F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ，∴∠BAE=∠DCF ，在△ABE 和△CDF 中，∴△ABE ≌△CDF (AAS)，∴BE =DF ，S △ABC =， S △DAC =， ∴S △ABC = S △CDA ．BAE DCF BEA DFC AB CD ∠=∠∠=∠⎧⎪⎪⎩=⎨，，，12AC BE g 12AC DF g(2)3．1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵BE=FD，∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．2.(1)DE+DF=AB，证明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，DE=AF，∵△ABC是等腰三角形，BC是底边，∴∠B=∠C，又∵DF∥AC，∴∠BDF=∠C，∴∠B=∠BDF，∴BF=DF，∴DE+DF=AF+BF=AB.(2)12．3.相等且平行，证明：∵CE∥AB，∴∠ODA=∠OEC，∠OAD=∠OCE，∵OA=OC，∴△ODA≌△OEC，∴OD=OE，又∵OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形，线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是相等且平行．4.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠E=∠F，∠EAM=∠ABC，∠ABC=∠FCN，∴∠EAM=∠FCN，在△EAM和△FCN中，∠E=∠F，AE=CF，∠EAM=∠FCN，∴△EAM≌△FCN；(2)证明：由(1)得，△EAM≌△FCN，∴AM=CN，∴AB－AM=CD－CN，∴BM=DN，又∵BM∥DN，∴四边形BMDN是平行四边形．5.证明：连接AD、EG，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE=DF，∵DG=FD，∴AE=DG，又∵DF∥AB，∴四边形AEGD为平行四边形，∴ED和AG互相平分．6.证明：延长A8A1，A3A2相交于点M，延长A2A3，A5A4相交于点Q，延长A4A5，A7A6相交于点N，延长A6A7，A1A8相交于点P，如图，由∠A2A1A8=∠A4A5A6，∠A1A2A3=∠A5A6A7，得∠MA1A2=∠NA5A6，∠MA2A1=∠NA6A5，所以有∠A1MA2=∠A5NA6，同理可证∠A7P A8=∠A3QA4，∴四边形MQNP为平行四边形，即A1A8∥A4A5，A2A3∥A6A7，同理可证A1A2∥A5A6，A3A4∥A7A8，∴八边形内任意一点到A2A3和A6A7的距离和为平行线A2A3和A6A7间的距离，是一个定值．可以推得凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．3 三角形的中位线1. C．2.(1)∵AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，∴∠1= ∠2，∠ANB = ∠AND=90°，在△ABN和△ADN中，∵∴△ABN ≌△ADN (ASA)，∴BN = DN ．(2)∵△ABN ≌△ADN (ASA)，∴AD=AB =10，又∵BN = DN ，M 是△ABC 边BC 的中点，∴MN =CD ，∴CD =2MN =6，∴△ABC 的周长为AB+BC+CD+DA =10+15+6+10= 41．3. B ．1.(1)证明：如图，延长AD 、CB 并交于点M ，延长AE 、BC 并交于点N ， ∵BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，即BD 平分∠ABM ，CE 平分∠ACN ，∴∠ABD =∠DBM ，∠ACE =∠ECN ，∵AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，∴∠ADB=∠BDM =90°，∠AEC =∠CEN =90°，在△ABD 和△MBD 中，∠ABD =∠DBM ，BD =BD ，∠ADB=∠BDM ，∴△ABD ≌△MBD (ASA)，∴AB =BM ，AD =MD ，在△ACE 和△NCE 中，∠ACE =∠ECN ，CE =CE ，∠AEC=∠CEN ，∴△ACE ≌△NCE (ASA)，∴AC =CN ，AE =NE ，∴AB +BC +AC =MB +BC +CN =MN ，∵AD =MD ，AE =NE (已证)，∴ DE 为△AMN 的中位线，∴DE =MN =(AB +BC +AC );（2）DE =(AB+AC －BC )，12,,AN AN ANB AND ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，12212121证明：如图，延长AD 并交BC 于点M ，延长AE 并交BC 于点N ， ∵BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线，即BD 平分∠ABM ，CE 平分∠ACN ，∴∠ABD =∠DBM ，∠ACE =∠ECN ，∵AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，∴∠ADB=∠BDM =90°，∠AEC =∠CEN =90°，在△ABD 和△MBD 中，∠ABD =∠DBM ，BD =BD ，∠ADB=∠BDM ，∴△ABD ≌△MBD (ASA)，∴AB =BM ，AD =MD ，在△ACE 和△NCE 中，∠ACE =∠ECN ，CE =CE ，∠AEC=∠CEN ，∴△ACE ≌△NCE (ASA)，∴AC =CN ，AE =NE ，∴MN=BM+CN －BC=AB+AC －BC ，∵AD =MD ，AE =NE (已证)，∴ DE 为△AMN 的中位线，∴DE =MN =(AB+AC －BC );（3）DE =(BC+AC －AB )，证明：如图，延长AD 、BC 并交于点M ，延长AE 、BC 并交于点N ，∵BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，即BD 平分∠ABM ，CE 平分∠ACN ，∴∠ABD =∠DBM ，∠ACE =∠ECN ，∵AD ⊥BD ，AE ⊥CE ，，∴∠ADB=∠BDM =90°，∠AEC =∠CEN =90°在△ABD 和△MBD 中，∠ABD =∠DBM ，BD =BD ，∠ADB=∠BDM ，∴△ABD ≌△MBD (ASA)，∴AB =BM ，AD =MD ，在△ACE 和△NCE 中，∠ACE =∠ECN ，CE =CE ，∠AEC=∠CEN ，∴△ACE ≌△NCE (ASA)，∴AC =CN ，AE =NE ，∴MN=BC+CN －BM=BC+AC －AB ，∵AD =MD ，AE =NE (已证)，121212∴ DE 为△AMN 的中位线，∴DE =MN =(BC+AC －AB ).2.2．3.证明：∵E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CA 的中点，∴∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，∴∴EF =DG ，FG =DE ，在△EDF 和△GFD 中，EF =GD ，DE = FG ，FD =DF ，∴△ED F ≌△GFD ，∴∠EFD =∠GDF ，∠EDF =∠GFD ，∴∠EDG =∠GDF －∠EDF ，∠EFG=∠EFD －∠GFD ，∴∠EDG =∠EFG ．4.证明：延长BE 交AC 的延长线于F ，∵AD 平分∠BAC ，BE 垂直AD 延长线于E ，∴在△AEB 和△AEF 中，∠BAE =∠F AE ，∠AEB =∠AEF ，AE =AE ， ∴△AEB ≌△AEF ，∴AB =AF ，BE =EF ，∵M 是BC 中点，∴ME 是△BCF 的中位线，∴5.证明：取BC 的中点R ，连结RM 、RN ，∵M 、N 分别是BG 、CD 的中点，121211,22EF AC FG AB ==，1122DE AB DG AC ==，，111()().222ME CF AF AC AB AC ==-=-∴，∵BD =CG ，∴MR =NR ，∴∠RMN =∠RNM ，又∵MR 是△BCG 的中位线，NR 是△BCD 的中位线， ∴MR ∥CG ，NR ∥BD ，∴∠RMN =∠PQA ，∠RNM =∠QP A ，∴∠PQA =∠QP A ，∴AP =AQ .1.证明：如图，连接BD ，∵点E ，H 分别为AB 、DA 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，1122MR GC NR BD ==，∵E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，∴EM = AD ，FM = BC ．∵AD = BC ，∴EM = FM ，∴三角形MEF 为等腰三角形，即∠MEF = ∠MFE ．∵EM ∥AH ，∴∠MEF = ∠AHF ，∵FM ∥BG ，∴∠MFE = ∠BGF ，∴∠AHF = ∠BGF ．3.①②④4.24 多边形的内角和与外角和1. B ．2. C ．3. C ．4.180°×4-180°=540°.5. C ．6.300°.7.(1)∠M =90°+∠A /2；(2)∠M =∠A /2；(3)∠M =90°－∠A /2.12121.9，1260°，360°，6，27．2. A．3.12．4.(1)1980°；(2)54；(3)108°．5.AE//CF．理由如下：∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠DAB=2∠EAB，∠DCB=2∠FCB，∵∠B=∠D=90°，∴∠DAB+∠DCB=180°，∴∠EAB+∠FCB=90°，在Rt△CBF中，∠CFB+∠FCB =90°，∴∠EAB =∠CFB，∴AE//CF．6.3．1.125.2.900°.3.14.4.见详解.详解：如图所示，作线段GF，使GF=AF，∠1=∠B，连接AG，GE，AE，AC，CE，∵∠A+∠C+∠E+∠B+∠D+∠F=（6 2）×180°=720°，∠A+∠C+∠E=∠B+∠D+∠F，∴∠B+∠D+∠F=360°，∵∠1+∠2+∠AFE=360°，∴∠2=∠D，∵CD=DE =F A=GF，∴△AFG≌△CDE，∴AG=CE，∵AB=BC= EF=F A=GF，∠1=∠B，∴△EFG≌△CBA，∴∠6=∠3，AC=GE，∵AE=AE，∴△GAE≌△CEA，∴∠AEG=∠4，∴∠F AB=∠3+∠4+∠5=∠6+∠AEG +∠5，∵∠2=∠D=∠6+∠AEG +∠5，∴∠F AB=∠D.同理，∠B=∠FED，∠BCD=∠AFE.角度计算习题课1.(1)∠A+∠C=∠B+∠D．理由如下：方法一：∵∠A+∠C=∠COB，∠B+∠D=∠COB，∴∠A+∠C=∠B+∠D，方法二：∵∠A+∠C+∠AOC=∠B+∠D+∠BOD=180°，且∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D．(2)∠BOC=∠A+∠B+∠C．理由如下：方法一：如图，连接B、C两点，则∠A+∠ABO+∠OBC+∠OCB+∠ACO=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=∠A+∠ABO+∠ACO．方法二：如图，延长BO交AC于点D，则∠BDC=∠A+∠B，∠BOC=∠BDC+∠C，∴∠BOC=∠A+∠B+∠C．方法三：如图，连接A、O两点并延长至D点，则∠BOD=∠BAD+∠B，∠COD=∠CAD+∠C，又∵∠BOC=∠BOD+∠COD，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．(3)∠AMP+∠BNP=∠O+∠P．理由如下：如图，连接O、P两点，则∠AMP=∠AOP+∠OPM，∠BNP=∠BOP+∠OPN，又∵∠AOB=∠AOP +∠BOP ，∠MPN=∠OPM +∠OPN ，∴∠AMP +∠BNP =∠AOB +∠MPN ．(4)∠MBC +∠NCB =∠A +180°．理由如下：根据三角形外角的性质，可知∠MBC=∠A +∠ACB ，∠NCB=∠A +∠ABC ，∴∠MBC +∠NCB=∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ，又∵∠ACB +∠A +∠ABC =180°，∴∠MBC +∠NCB =∠A +180°．2.(1)360°；(2)180°．3.(1)125°；(2)不变．理由如下：∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴∠ABO=∠OBC ，∠ACO =∠OCB ，∵∠A =70°，∴∠ABO+∠OBC +∠ACO +∠OCB =110°，∴∠ABO+∠ACO =∠OBC +∠OCB =55°，又∵∠BOC=180°－(∠OBC +∠OCB )=125°，∴无论∠ACB 的大小如何改变，∠BOC 的大小始终不变，为∠BOC=125°．4.20°．5.60°6.360°．1.(1)；(2)如图2，；(3)∠F 不一定存在，当时，∠F 不存在．2.．3. D.4.12边形.902F αβ+∠=-︒902F αβ+∠=︒-180αβ+=︒2A DP ∠+∠∠=.期中期末串讲—平行四边形1. C.2. D.3.2cm.4. D.5. A.6.八边形.7. A．1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠FCB，∵∠DEF=∠BFE，∴∠AED=∠CFB，∴△EAD≌△FCB，∴DE=BF，又∵∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形．2.证明：∵D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，∴EF∥BC，DE∥AB，∴∠DEF=∠EDH，∠HFE=∠FHD，∴∠EDH=∠B，又∵AH⊥BC于H，∴HF=BF，∴∠B=∠FHD，∴∠DEF=∠HFE.。

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解(含例题及答案)

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解（含例题及答案）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识关系】【知识点梳理】知识点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点二、菱形高底平行四边形⨯=S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.知识点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．知识点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=1 2BC，进而得到EF=12CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCAMA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6，又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ．在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+，即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，10AC =222(8)4x x -=+222DC FC DF +=解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案．【答案与解析】探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形, ∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形， ∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ， ∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ， ∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）, ∴AE ＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于．【答案】 65°。

北师大版八年级下册知识点组合卷及答案《第6章平行四边形》

14．如图，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE 交 BD 于点 O，AD＝BD，∠ADB＝∠EDC，DE＝DC．（1）求证：△ADE≌△BDC；（2）若∠AEB＝36°，求∠EDC；（3）若 OB＝OE，求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
北师大版八年级下册知识点组合卷及答案《第 6 章平行四边形》第 2 页共 6 页
北师大版八年级下册知识点组合卷及答案《第 6 章平行四边形》第 6 页共 6 页
知识点组合卷：第 6 章平行四边形参考答案
知识点 1 平行四边形的性质 1．D 2.B 3.B 4.D 5. 25°．6.（9，4）．7.12． 8．（1）证明：∵AE、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC，∴∠EAB＝ ∠DAB，∠ABF＝ ∠ABC，
∵四边形 ABCD 是平行四边形∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠EAB+∠ABF＝ ×180°＝90°，∴AE⊥BF．（2）DF＝CE．证明：∵AE 平分∠DAB∴∠EAB＝∠EAD，∵DC∥AB，∴∠EAD＝∠EAD，∴AD＝DE，同理：FC＝BC，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC，∴DE＝FC，∴DF＝CE． 9．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF， ∵E 是▱ ABCD 的边 CD 的中点，∴DE＝CE，
的周长是 18 厘米，则 EF＝厘米． 18．如图，D 是△ABC 内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点，
则四边形 EFGH 的周长是． 19．如图，四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AB＝3 ，AD＝3，点 M，N 分别为线段 BC，AB 上的动点（含端点，但

北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结

北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。

（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。

（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

注意：平行线间的距离处处相等。

5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。

（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。

（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。

（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。

（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

北师大版八年级数学平行四边形的性质

北师大版八年级数学平行四边形的性质
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内容摘要
北师大版八年级数学平行四边形的性质。AB∥CD AD∥BC。２．平行四边形的对角相等．。求证：AB=CD，BC=DA。∵AD∥BC，AB∥CD
No （平行四边形的对边平行）。如果是，你能验证你的结论吗。谢谢观赏 Image
已知： ABCD（如图）求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠BAD=∠DCB
证明：连结AC
∵AD∥BC，AB∥CD（平行四边形的对边平行）
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
在 ABC和 CDA中 ∠1＝∠2，AC＝CA，∠3＝∠4
∴ ABC ≌ CDA（ASA）
∴AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D
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下面的图片中，有你熟悉的哪些图形？
3
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平行四边形的性质（1）
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观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
两组对边都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
梯形
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平两组对边行分别平行
四
边形四边形
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第二十二页，共23页。
谢谢
谢谢观赏
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本节课主要学习了哪些知识?
(1)平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形叫
平行四边形。
平行四边形的对边相等
（2）平行四边形的性质平行四边形的对角相等
（3）性质的应用
平行四边形是中心对称图形，对称中心是角平分线交点。
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八年级数学下册第六章平行四边形试题(新版)北师大版

第六章平行四边形1.平行四边形的性质(1)根据平行四边形对边相等，可知平行四边形相邻两边长之和是平行四边形周长的一半.(2)平行四边形的对角相等，邻角互补，这是根据平行线的性质进行推导得出的，可以用来求角的度数.(3)平行四边形的对角线互相平分，且一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线将平行四边形分成两组全等的三角形，可以应用全等三角形的性质进行解题.【例1】在▱ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，则▱ABCD的周长为__________cm.【标准解答】∵在▱ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∴CD=AB=6cm，AD=BC=8cm，∴▱ABCD的周长为6+6+8+8=28(cm).答案：28【例2】在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(4，2)，则顶点D 的坐标为( )A.(7，2)B.(5，4)C.(1，2)D.(2，1)【标准解答】选C.如图.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(4，2)，∴顶点D的坐标为(1，2).【例3】如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是________.【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=3，AD=BC=4，∵EF⊥AB，∴EH⊥DC，∠BFE=90°，∵∠ABC=60°，∴∠HCB=∠B=60°，∴∠FEB=∠CEH=180°-∠B-∠BFE=30°，∵E为BC的中点，∴BE=CE=2，∴CH=BF=1，由勾股定理得：EF=EH=.∴△DEF的面积是EF·DH=2.答案：2【例4】如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系?并对你的猜想加以证明.【标准解答】猜想：BE DF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CB=AD，CB∥AD，∴∠BCE=∠DAF在△BCE和△DAF中，∴△BCE≌△DAF.∴BE=DF，∠BEC=∠DFA.∴BE∥DF，故BE DF.【例5】如图，在▱ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点F，则∠1=( )A.40°B.50°C.60°D.80°【标准解答】选B.因为∠B=80°，所以∠BAD=100°，又AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠DAE=∠BEA=50°，因为CF∥AE，所以∠1=∠BEA=50°.【例6】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC=6，则线段AO的长度等于________.【标准解答】易知四边形ABCD是平行四边形，所以AO=OC=AC=3.答案：3【例7】如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是( )A.AC⊥BDB.AB=CDC.BO=ODD.∠BAD=∠BCD【标准解答】选A.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，则选项B正确；又根据平行四边形的对角线互相平分，∴BO=OD，则选项C正确；又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ABC=180°，∴∠BAD=∠BCD，则选项D正确；由BO=OD，假设AC⊥BD，又∵OA=OA，∴△ABO≌△ADO，∴AB=AD与已知AB≠AD矛盾，∴AC不垂直BD，则选项A错误.1.已知▱ABCD的周长为32，AB=4，则BC=( )A.4B.12C.24D.282.若平行四边形ABCD的周长为22cm.AC，BD相交于O，△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，则AD=________，AB=________.2.平行四边形的判定(1)利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来说明【例1】如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的延长线上的一点，且EC∥BD，试说明：四边形BECD 是平行四边形.【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即BE∥CD，∵EC∥BD，∴四边形BECD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).(2)利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来说明【例2】在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB，试说明：四边形AFCE是平行四边形.【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°，∴∠ADE=∠CBF=60°，又∵AE=AD，CF=CB，∴△AED，△CFB是等边三角形，又在平行四边形ABCD中，AD=BC，DC=AB，∴AE=CF，ED=BF，∴ED+DC=BF+AB，即EC=AF，∴四边形AFCE是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)(3)利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来说明【例3】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，若把△ADE绕着点E顺时针旋转180°得到△CFE.试判断四边形DBCF是怎样的四边形，说明你的理由.【标准解答】四边形DBCF是平行四边形.理由如下：∵△ADE绕点E顺时针旋转180°，得到△CFE，∴△ADE≌△CFE，且A，E，C和D，E，F在一条直线上，∴AD=CF，∠A=∠ECF，∴AB∥CF，又∵D是AB的中点，∴AD=DB=CF，∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形为平行四边形).(4)利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来说明【例4】如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交CD，AB于点E，F，求证：四边形DFBE是平行四边形.【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC =∠ADC，∠A=∠C，∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，∴∠1=∠3=∠ADC，∠2=∠4=∠ABC，∴∠1=∠2=∠3=∠4，又∵∠DEB=∠4+∠C，∠DFB=∠3+∠A，∠A=∠C，∴∠DEB=∠DFB，∴四边形DFBE是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形).(5)利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来说明【例5】如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，点E，F分别为OB，OD的中点，过O任作一直线分别交AB，CD于点G，H.说明：四边形EHFG是平行四边形.【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，又∵∠AOG=∠COH，∴△AOG≌△COH.∴OG=OH.又∵E，F分别为OB，OD的中点，∴OE=OF，∴四边形EHFG是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).1.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件________(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形.2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形.3.三角形中位线(1)三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.(2)三角形的中位线定理中说明了三角形中位线与三角形第三边的位置关系与数量关系，为我们证明平行或求线段的长度提供了依据.【例1】如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A，B两点的点O，再分别取OA，OB的中点M，N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为__________m.【标准解答】由三角形的中位线定理可知，AB=2MN=40m.答案：40【例2】已知：如图，在△ABC中，DE，DF是△ABC的中位线，连接EF，AD，其交点为O.求证：(1)△CDE≌△DBF.(2)OA=OD.【标准解答】(1)∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC.∵DF∥CE，∴∠C=∠BDF.在△CDE和△DBF中∴△CDE≌△DBF(SAS).(2)∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DF=AE，DF∥AE，∴四边形DEAF是平行四边形，∵EF与AD交于O点，∴AO=OD.1.如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A，D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE.若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为________.2.如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1的三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为________.4.多边形的有关问题(1)多边形的角度计算①利用多边形内角和公式计算多边形的内角和或边数【例1】一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为( )A.6B.7C.8D.9【标准解答】选B.设边数为n，由题意得(n-2)·180°=900°，解得n=7.②利用多边形外角和，计算多边形中各角的度数或边数.【例2】已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边数是________.【标准解答】外角是180°-120°=60°，360÷60=6，则这个多边形是六边形.答案：六③利用多边形内角和公式和外角和，计算多边形中对角线条数【例3】若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是________.【标准解答】由题意可知(n-2)×180°=1260°，解得n=9，所以从一个顶点出发能引9-3=6(条)对角线. 答案：61.正八边形的每个内角为( )A.120°B.135°C.140°D.144°2.若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是( )A.12B.11C.10D.93.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是( )A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形(2)解决多边形问题的方法①将多边形问题转化为三角形问题解决在解决多边形问题时，如果无法直接应用内角和公式或外角和时，我们可以将多边形通过连接对角线转化成三角形问题解决.【例1】求五边形的内角和.【标准解答1】连接对角线AC，AD，将五边形ABCDE转化成三个三角形：△ABC，△ADC，△ADE，此时五边形ABCDE的内角和=3×180°=540°.【标准解答2】在五边形ABCDE内部任取一点O，连接AO，BO，CO，DO，EO，将五边形ABCDE转化为五个三角形△ABO，△BCO，△DCO，△DEO，△AEO，∴五边形ABCDE的内角和=5×180°-360°=540°.实际上点O的位置也可以放在五边形的任意一条边上，或五边形的外部.②将内角问题转化为外角来解决一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以多边形的边数就可以求出外角的度数，再转化为内角的度数.或者利用360除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数.【例2】正五边形的每一个内角都等于________°.【标准解答】正五边形的外角是：360÷5=72°，则内角的度数是：180°-72°=108°.答案：1081.正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为( )A.9B.8C.7D.42.正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是________.(3)多边形剪去一个角的三种情况①过多边形的一条对角线剪去一个角，则新多边形的边数比原多边形的边数少1.②过多边形的一个顶点剪去一个角，则新多边形的边数与原多边形的边数相同.③不过多边形的顶点剪去一个角，则新多边形的边数比原多边形的边数多1.【例】若把一个多边形剪去一个角，剩余部分的内角和为1440°，那么原多边形有________条边.【标准解答】设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得(n-2)180°=1440°，解得n=10，原多边形边数是10-1=9或10+1=11或10.答案：9，10或11凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少?画出图形说明.(4)多边形的镶嵌问题判断多边形能否进行平面镶嵌，关键是检验拼接在同一点的各个角的和是否等于360°.若等于360°，则可以镶嵌；若不等于360°，则不能进行镶嵌.【例】下列正多边形中，不能铺满地面的是( )A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正七边形【标准解答】选D.A.∵正三角形的内角是60°，6×60°=360°，∴正三角形能铺满地面；B.∵正方形的内角是90°，4×90°=360°，∴正方形能铺满地面；C.∵正六边形的内角是120°，3×120°=360°，∴正六边形能铺满地面；D.∵正七边形的内角是，同任何一个正整数相乘都不等于360°，∴正七边形不能铺满地面.小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖.建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖.你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是( )跟踪训练答案解析1.平行四边形的性质【跟踪训练】1.【解析】选B.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵平行四边形ABCD的周长是32，∴2(AB+BC)=32，∴BC=12.2.【解析】由平行四边形对角线互相平分知BO=OD，故△AOD周长比△AOB的周长小3cm，实际上就是AB-AD=3(cm).由平行四边形的周长为22cm可知AD+AB=11cm，解得AB=7cm，AD=4cm.答案：4cm 7cm2.平行四边形的判定【跟踪训练】1.【解析】∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形.答案：BO=DO2.【证明】∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，∴∠AEB=∠DFC，在△AEB和△CFD中∴△AEB≌△CFD(ASA)，∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形.3.三角形中位线【跟踪训练】1.【解析】由题意得：CE=CB=12，∵点F是AD的中点，FG∥CD，∴FG是△ADC的中位线，所以CG=AC=9，∵点E是AB的中点，∴EG是△ABC的中位线，∴GE=BC=6，∴△CEG的周长为：CE+GE+CG=12+6+9=27.答案：272.【解析】因为A2，B2，C2是△A1B1C1的三边中点，所以△A2B2C2的周长是=8，以此类推△A5B5C5的周长为=1.答案：14.多边形的有关问题(1)多边形的角度计算【跟踪训练】1.【解析】选B.根据多边形的内角和公式，可得正八边形内角和为：(8-2)×180°=1080°，又因为正八边形的每个内角都相等，所以正八边形的每个内角等于1080°÷8=135°. 2.【解析】选A.∵一个正多边形的每个内角为150°，∴这个正多边形的每个外角=180°-150°=30°，∴这个正多边形的边数==12.3.【解析】选D.根据题意，得(n-2)·180°=180°，解得：n=3.(2)解决多边形问题的方法【跟踪训练】1.【解析】选B.∵正多边形的一个内角为135°，∴外角是180°-135°=45°，∵360÷45=8，则这个多边形是八边形.2.【解析】因为外角是20°，360÷20=18，则这个正多边形是18边形.答案：18(3)多边形剪去一个角的三种情况【跟踪训练】【解析】∵六边形剪去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，∴新多边形的边数为7，5，6三种情况，如图：(4)多边形的镶嵌问题【跟踪训练】【解析】选B.A.正八边形、正三角形内角分别为135°，60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；B.正方形、正八边形内角分别为90°，135°，由于135×2+90=360，故能铺满；C.正六边形和正八边形内角分别为120°，135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；D.正八边形、正五边形内角分别为135°，108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满.。

北师大版八年级数学下册第六章 6.2.2平行四边形的判定(二) 同步练习题

2020-2021学年北师大版八年级数学下册第六章 6.2.2平行四边形的判定(二) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别为OB，OD上的点，且OE＝OF，再由OC＝OA，即可得到四边形AECF是平行四边形，理由是________________________．2．如图，AC，BD是相交的两条线段，点O为它们的中点．当BD绕点O旋转时，连接AB，BC，CD，DA，所得到的四边形ABCD始终为______．3．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中能判定这个四边形是平行四边形的是______．(填序号)①AB＝CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD∥BC；③AB＝CD，AB∥CD；④AD∥BC，AB∥CD.4．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，有以下结论：①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE.这些结论中正确的是______．(填序号)二、选择题5．如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下列说法不正确的是( ) A．AB＝CDB．EC＝GFC．A，B两点的距离就是线段AB的长度D．a与b的距离就是线段CD的长度6．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DOD．AB＝DC，AD∥BC7．根据下列条件，能作出平行四边形的是( )A．两组对边的长分别是3和5B．相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9C．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8D．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和58．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为( )A．6 B．12 C．20 D．24三、解答题9．(1)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F，连接DE，BF.求证：四边形DEBF是平行四边形．(2)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，EF过点O且与AD，BC 分别相交于点E，F，OE＝OF.求证：四边形ABCD是平行四边形．10．(1)如图，H，G是▱ABCD对角线上的点，且AG＝CH，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．(2)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AD＝5，BC＝13，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.①求证：四边形BDFC是平行四边形；②若BD＝BC，求四边形BDFC的面积．B组(中档题)一、填空题11．在如图所示的▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC 所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O.则△ADE的周长等于______．12．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B(均在格点上)的位置如图所示．若以A，B为顶点画面积为2的格点平行四边形，则符合条件的平行四边形的个数有______个．13．如图，Rt△OAB的两直角边OA，OB分别在x轴和y轴上，A(－2，0)，B(0，4)，将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，直线AC，BD交于点E.点M为直线BD上的动点，点N为x轴上的点．若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点M的坐标为______．二、解答题14．如图，已知AC是▱ABCD的对角线，△ACP和△ACQ都是等边三角形．求证：四边形BPDQ是平行四边形．C组(综合题)15．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；(2)当∠C＝45°，BD＝4时，连接DF，求线段DF的长．参考答案2020-2021学年北师大版八年级数学下册第六章 6.2.2平行四边形的判定(二) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别为OB，OD上的点，且OE＝OF，再由OC＝OA，即可得到四边形AECF是平行四边形，理由是对角线互相平分的四边形是平行四边形．2．如图，AC，BD是相交的两条线段，点O为它们的中点．当BD绕点O旋转时，连接AB，BC，CD，DA，所得到的四边形ABCD始终为平行四边形．3．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中能判定这个四边形是平行四边形的是①③④．(填序号)①AB＝CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD∥BC；③AB＝CD，AB∥CD；④AD∥BC，AB∥CD.4．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，有以下结论：①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE.这些结论中正确的是①②④⑤．(填序号)二、选择题5．如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下列说法不正确的是(D) A．AB＝CDB．EC＝GFC．A，B两点的距离就是线段AB的长度D．a与b的距离就是线段CD的长度6．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(D)A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DOD．AB＝DC，AD∥BC7．根据下列条件，能作出平行四边形的是(A)A．两组对边的长分别是3和5B ．相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9C ．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8D ．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和58．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，∠CBD ＝90°，BC ＝4，BE ＝ED ＝3，AC ＝10，则四边形ABCD 的面积为(D)A ．6B ．12C ．20D ．24三、解答题9．(1)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接DE ，BF.求证：四边形DEBF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，OD ＝OB ， AO ＝OC.∴∠DCO ＝∠BAO.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FCO ＝∠EAO ，CO ＝AO ，∠COF ＝∠AOE ，∴△AEO ≌△CFO(ASA)．∴OE ＝OF.∵OD ＝OB ，∴四边形DEBF 是平行四边形．(2)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AO ＝CO ，EF 过点O 且与AD ，BC 分别相交于点E ，F ，OE ＝OF.求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AO ＝CO ，OE ＝OF ，∠AOE ＝∠COF ， ∴△AOE ≌△COF(SAS)． ∴∠OAE ＝∠OCF.∴AD ∥BC. ∴∠EDO ＝∠FBO.又∵OE ＝OF ，∠EOD ＝∠FOB ， ∴△EOD ≌△FOB(AAS)． ∴OB ＝OD.又∵OA ＝OC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．10．(1)如图，H ，G 是▱ABCD 对角线上的点，且AG ＝CH ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．求证：四边形EHFG 是平行四边形．证明：连接CE ，AF ，EF ，EF 与AC 交于点O. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD.∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴AE ＝CF ，AE ∥CF.∴四边形AECF 是平行四边形． ∴OA ＝OC ，OE ＝OF. ∵AG ＝CH ，∴OG ＝OH.∴四边形EHFG 是平行四边形．(2)如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，AD ＝5，BC ＝13，E 是边CD 的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于点F.①求证：四边形BDFC 是平行四边形； ②若BD ＝BC ，求四边形BDFC 的面积．解：①证明：∵BC ∥AF ， ∴∠CBE ＝∠DFE.∵E 是边CD 的中点，∴CE ＝DE. 在△BEC 和△FED 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠CBE ＝∠DFE ，∠BEC ＝∠FED ，CE ＝DE ，∴△BEC ≌△FED(AAS)．∴BE ＝FE. ∴四边形BDFC 是平行四边形．②由(1)得：△BEC ≌△FED ，∴DF ＝BC ＝13.∵BC ∥AF ，∠ABC ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABC ＝180°. ∴∠BAD ＝90°.∵BD ＝BC ＝13，AD ＝5，∴AB ＝BD 2－AD 2＝132－52＝12. ∴S 四边形BDFC ＝DF ·AB ＝13×12＝156.B 组(中档题)一、填空题 11．在如图所示的▱ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，将△ACD 沿对角线AC 折叠，点D 落在△ABC 所在平面内的点E 处，且AE 过BC 的中点O.则△ADE 的周长等于10．12．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B(均在格点上)的位置如图所示．若以A，B为顶点画面积为2的格点平行四边形，则符合条件的平行四边形的个数有11个．13．如图，Rt△OAB的两直角边OA，OB分别在x轴和y轴上，A(－2，0)，B(0，4)，将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，直线AC，BD交于点E.点M为直线BD上的动点，点N为x轴上的点．若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点M的坐标为(2，2)或(6，－2)．二、解答题14．如图，已知AC是▱ABCD的对角线，△ACP和△ACQ都是等边三角形．求证：四边形BPDQ是平行四边形．证明：方法一：(利用全等得两组对边相等)∵AC是▱ABCD的对角线，∴∠DAC＝∠BCA.∵∠ACP＝∠CAQ＝60°，∴∠DAQ＝∠BCP.又∵AD＝CB，AQ＝CP，∴△ADQ≌△CBP.∴DQ＝BP.同理可证△ABQ≌△CDP.∴BQ＝DP.∴四边形BPDQ是平行四边形．方法二：(利用对角线互相平分证明结论)连接BD交AC于点O，连接PO，QO.利用△ACP和△ACQ是全等等边三角形可得P，O，Q三点共线，且PO＝QO.又∵BO＝DO，∴四边形BPDQ是平行四边形．C组(综合题)15．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；(2)当∠C＝45°，BD＝4时，连接DF，求线段DF的长．解：(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C.∵EG∥BC，DE∥AC，∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形．∴∠DEG＝∠C.∵BE＝BF，∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC.∴∠F＝∠DEG.∴BF∥DE.又∵EF∥BD，∴四边形BDEF为平行四边形．(2)作FM⊥BD于点M，连接DF.∵∠C＝45°，∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°.∴△BDE，△BEF是等腰直角三角形．∴BF＝BE＝22BD＝2 2.易得△BFM是等腰直角三角形．∴FM＝BM＝22BF＝2.∴DM＝6.在Rt△DFM中，DF＝FM2＋DM2＝22＋62＝210.。

北师大版数学八上《平行四边形的性质》word说课教案2课时

第四章四边形性质探索１．平行四边形的性质（一）一、学生起点分析学生知识技能基础：学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。

学生活动经验基础：在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。

二、学习任务分析四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在七年级下册“空间与图形”有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，将为学生学习空间与图形的后继内容打下基础，本节将用多种手段（直观操作、图形的平移、旋转、说理及简单推理等）探索平行四边形的性质并培养学生的探索意识。

教学目标：1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯；2．索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用；3．在探索活动过程中发展学生的探究意识。

教学重点：平行四边形性质的探索。

教学难点：平行四边形性质的理解。

教学方法：探索归纳法三、教学过程设计本节课分5个环节：第一环节：实践探索，直观感知第二环节：探索归纳，交流合作第三环节：推理论证，感悟升华第四环节：应用巩固，深化提高第五环节：评价反思，概括总结第一环节：实践探索，直观感知1．小组活动一内容：问题1：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张。

将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。

（1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；（2）给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。

目的：通过学生动手实践，引出平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；平行四边形的相邻的两个顶点连成的一段叫做它的对角线。

教师进一步强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形，②两边分别分别平行即AD // BC 且AB // BC；平行四边形的表示“”2．小组活动二内容：生活中常见到平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？目的：加强知识的直观体验，使学生感受数学来源于生活，数学图形和生活是紧密相联系的。

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平行四边形的定义
1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
如图四边形ABCD是平行四边形，记作： ABCD
2、平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线
3、平行四边形相对的边称为对边相对的角称为对角
做一做
1、画一个平行四边形ABCD； 2、用一张半透明的纸复制你画的平行四边形ABCD； 3、剪下你所复制的那个平行四边形； 4、将复制后的四边形绕某个点旋转180°，你能平移该纸片，使它与原来的四边形 ABCD重合吗？
图案，表达你美好的愿望。
平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等平行四边形的邻角互补
A
D
平行四边形的性质
B
C
文字叙述
几何语言
边
对边平行
AB∥DC ，AD∥BC
对边相等
AB=DC ，AD=BC
角
对角相等
∠A=∠C ，∠B=∠D
邻角互补
∠A +∠ B =180°……
1、在 ABCD中，∠A=60°，BC=3cm, 则∠B=__1_2_0_°，∠C=___6_0_°，AD=__3_c_m_.
60°
3cm
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
想一想
2、在 ABCD中， ∠A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D的值可以是
A 1∶2∶3∶4 B 1∶2∶2∶1 C 2∶2∶1∶1
D√ 1∶2∶1∶2
比一比
3、四边形ABCD和四边形ACEB都是平到?
A
B
D
C
E
4、在 ABCD 中∠ADC=125°， ∠CAD=21°，求∠ABC， ∠CAB的度数.
感悟与收获
• 通过本节课的学习，你有什么收获？
1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质：对边平行
对边相等对角相等邻角互补
作业
必做题：习题4.1第1题、第2题选做题：利用平行四边形设计美丽的