电磁场与电磁波5_矢量与场论4-矢量场分类与几个重要定理

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R 则称为矢径。 设 r 表示源点，r 表示场点，
应用球坐标系，最为简单。
拉梅系数
H R 1, H r , H r sin
R r r
算子
1 1 ˆR ˆ ˆ a a a R R R sin R
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解：选用直角坐标系。因 为c在xoy平面上，所以
ˆ x dx a ˆ y dy dl a
F dl xydx 2 xdy
F 在c上的环量为

c
F dl F dl F dl F dl
S上
z 1
S下
z 0
散度为
A
x2
xy yz 3x y x y z
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因此

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9 y 2 2 x dx dy 0 0 9 1 2
故

c
F dl F dS
S


得证。
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5.2.3【格林Green定理】
5.2 场论中几个重要定理
5.2.1【Helmholtz定理】
对于任意矢量场 A ，有
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1 A 4
证明略。

V
1 A dv 4 r r

V
A dv r r
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解：从六面体穿出 的净通量为
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S
A dS
S前
(
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矢量格林定理
若任意两个矢量场 P 和 Q 在空间区域V中具 有连续的二阶偏导数， S为包围空间区域V的 封闭面，则：
标量格林第一定理

V
(u v u2v)dV

S
uv dS
标量格林第二定理
V
(u2v v2u )dV

S
(uv vu ) dS
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标量格林第一定理证明
证明：高斯散度定理 AdV
lim

ci
A dl Si
或
Si 0
ˆ A n
Si 0
lim
ci
A dl A dSi
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将所有面元叠加， 在△Si→0 条件下，有
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O A B
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A
B
O
在路径O→A和B→O，积 分为0； 在路径A→B是1/4圆周， 方程为
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F
x2 y 2 9 0 x, y 3
矢量场可以分解为无散场与无旋场组合。
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A F u
A 对应旋涡源， A 对应通量源，所以 Helmholtz定理也告诉我们，矢量场是由其旋 涡源和通量源产生的。
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i 1
k
ci
A dl A dSi
i 1
k

c
A dl A dS
S
得证。
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【例5-2】已知 F a ˆ x xy a ˆ y 2 x ，闭合路径c为第一 象限上半径为3的1/4圆盘的周界，计算 F 在c上的 环量，并验证斯托克斯定理。
矢量格林定理
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标量格林定理
若任意两个标量场u和v在空间区域V中具有 连续的二阶偏导数， S为包围空间区域V的封 闭面，则标量场u和v满足：
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可以得到几点结论： 在无界空间，若矢量场有界且正则（场值至少 按1/r衰减，且其源密度至少按1/r2衰减），则 矢量场由它的散度和旋度唯一确定。
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在有界空间，矢量场由它的散度、旋度及其 边界条件唯一确定。

S
uv dS
得证
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标量格林第二定理证明 证明：标量格林第一定理为

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V
(u v u2v)dV

S
uv dS
在△Vi→0，有
Vi 0
lim AVi

Si
A dS
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对所有△Vi叠加，有
lim AV
i 1 Vi 0 i i 1
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5.2.3【斯托克斯Stokes定理】

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c
A dl rotA dS A dS
S S
其中S是回路c界定的面积。
证明：任取一个非闭合曲面 S，周界长度c。把S分成许 多面元△Si ，周界为ci。
又
ˆx a F x xy ˆ z dxdy dS a
ˆy a x 2 x
ˆz a ˆx 2 x a x 0
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积分域S为1/4圆面积，即 0 x 9 y 2 0 y3
电磁场与电磁波 Electromagnetic Fields and Waves
第5讲
矢量与场论3
王世伟
副教授 华南理工大学电子与信息学院 射频与无线技术研究所 TEL: 22236201-604 Email:eewsw@scut.edu.cn
– 矢量场分类与 几个重要定理
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第5讲内容
矢径的“三度”计算
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几个重要的矢量定理
矢量场分类
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5.1 矢径的“三度”计算
在电磁理论中，大量遇到矢径 R 的“三度” 计算问题。
1 R 1 R ˆ ˆ R a a 0 R sin R
[ f ( R) R] f ( R) R f ( R) R R R f ( R )R R f ( R ) 0 R
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k
k
Si
A dS
则 得证。
AdV
V
S
A dS
Guass定理把通量源的体积分变换为S面上 场的面积分。
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【例5-1】在 A a ˆx x2 a ˆ y xy a ˆ z yz 的矢量场中，以 每边为单位长的立方体的一个顶点在坐标原点， 试求从这六面体内穿出的 A 的净通量，并验证高 斯散度定理。
V
AdV
3x y dxdydz 3x y dxdy dz
0 0 0 1 1 1 0 0 0
1 1 1

故
1 1
0 0
3xdxdy
S
1 1
0 0
ydxdy
2
AdV
V
A dS
得证。
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交换标量格林第一定理中u和v的位置，有

V
V
(v u v2u )dV
S
vu dS
两式相减，有
(u v v u )dV
2 2

S
(uv vu ) dS
得证。
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故

c
F dl F dl
A 0 2 3
B
xydx 2 xdy A
3 0
B
x 9 x dx 2 9 1 2
9 y 2 dy
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o
r
P
r
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矢径的性质 R ˆR R a R
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1 1 R 2 R 3 R R R
1 R 2 ( R 2 R) 3 R R

S后

S右

x 1
S左

S上

S下
) A dS


x 0 y 0
S前
ˆ x dydz A a
S右

y 1
S后
ˆ x）dydz A （ a
S左
2
ˆ y dxdz A a ˆ z dxdy A a

ˆ y）dxdz A （ a ˆ z）dxdy A （ a
5.2.2【Gauss散度定理】
设S是矢量场 A 空间内的一个闭合面，V是闭合 面S所围的体积，则有
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AdV
V
S
A dS
证明：对于任意一个小体积元△Vi，有
A lim

Si
A dS
Vi 0
Vi
格林定理表示某一点的场量是由一个体积分 和一个面积分的和。面积分就代表边界上的 场，即边界条件，而体积分代表所求区域内 的源场。
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Green函数很明确的给出了利用源和边界求场 的方法。利用格林定理，可由已知边界条件 和一个体积区域内源来求该区域内的场。 标量格林定理
V

S
A dS
令 A uv ，有
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V
uv dV
uv dS
S
又根据散度运算规则
uv u v u v
2
所以

V
(u v u2v)dV
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所以
F dS
S

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3
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9 y 2
0
ˆz ˆ z dxdy 2 x a a