博弈论第四章

4 非完全信息动态博弈4.1 精炼贝叶斯均衡概述例简单的非完全信息动态博弈参与人1的类型t为个人信息。

参与人2 不知道t，但知道t的概率分布。

博弈的时序：（1）参与人1选择行动a1∈A1;（2）参与人2观察a1，选择a2∈A2博弈的收益：u1 (a1, a2, t ), u2 (a1, a2, t )u1u1u1u1 u1u1u1u1u2u2u2u2 u2u2u2u2例:1 RL M 13p 2 1- pL'R'L'R'2 0 0 01 0 1 2标准式表示参与人2L'R'L2，10，0参与人1 M0, 20， 1R1, 31, 3纯战略纳什均衡: (L，L'), (R，R')均为子博弈精炼纳什均衡(无子博弈)。

但是(R, R')不可信。

排除不可信的纳什均衡：要求1 参与人必须有一个推断(belief).要求2 参与者的战略必须满足序贯理性(sequentially rational).定义处于均衡路径上(on the equilibrium path)的信息集: 在均衡战略下，博弈以正的概率到达该集.处于均衡路径之外(off the equilibrium path)的信息集: 在均衡战略下，博弈不会到达此集.要求 3 在处于均衡路径上的信息集上, 推断由贝叶斯法则和参与人的均衡战略决定。

例要求3的说明参与人1的类型空间：{ t1，t2，t3，t4 }行动空间：A= { L，R}推断p i : 观察到L 后，参与人1的类型是t i 的概率。

推断q i : 观察到R 后，参与人1的类型是t i 的概率。

p 1 + p 2 + p 3 + p 4 = 1q 1 + q 2 + q 3 + q 4= 1如果参与人1的战略： t 1选 L ，t 2选 L ， t 3选R ，t 4 选R 。

参与人2对p i 与 q i 的推断：p 1 = 3.02.02.0+= 0.4, p 2 = 3.02.03.0+= 0.6, p 3 = 0, p 4 =0; q 1 = 0, q 2= 0, q 3 =3.02.02.0+= 0.4, q 4= 3.02.03.0+= 0.6,要求 4 在处于均衡路径之外的信息集上, 可能情况下，推断由贝叶斯法则和参与人的均衡战略决定。

原文：At information sets off the equilibrium path, beliefs are determined by Bayes ’ rule and the players ’ equilibrium strategies where possible.精炼贝叶斯均衡(perfect Bayesian equilibrium)：在一个非完全信息的动态博弈中，满足要求1 – 4 的战略与推断构成的均衡。

例不满足要求4的情形。

3个参与人的博弈。

1 A 2D 02L R[p] [1 –p]3L'R'L'R'1 3 0 02 3 1 11 32 1子博弈精炼纳什均衡: (D, L, R')另有战略(A, L, L')和推断p = 0:----纳什均衡----满足要求1-3.----不是精炼贝叶斯均衡: 不满足要求4: p= 0 与2的战略不相容.例要求4中“不可能”的情形。

1 AD2 A'L R1-q1-q2[q1] [q2]3L'R'L'R'如果(A, A', L') 是均衡，则参与人3的战略要针对参与人2的L 或R。

参与人3的推断必须是p = q1/(q1 + q2)但是参与人2选A'，q1 + q2 =0, 因此无法计算p。

4.2 信号博弈4.2.A 信号博弈中的精炼贝叶斯均衡信号博弈的参与人：信号发送者S，接收者R。

信号博弈的时间顺序自然按照概率分布为S产生一个t i∈TS观察t，并选择m j∈MR观察m并选择a k∈A收益U S(t i，m j，a k)和U R(t i，m j，a k)信号博弈的例T = {t1, t2}, M = {m1, m2}, A = {a1, a2},Pr{t 1} = p , Pr{t 2} = 1 - p 。

发送者战略: 在类型为t 1时发出的信号与t 2时发出的信号：{m 1, m 1}, {m 1, m 2}, {m 2, m 1}, {m 2, m 2}混同(pooling)战略: 所有的类型发出相同的信号：{m 1, m 1}, {m 2, m 2}分离(separating)战略：不同的类型发出不同的信号：{m 1, m 2}, {m 2, m 1}接收者战略: 在收到信号m 1时与信号m 2时选择的行动： { a 1, a 1}, {a 1, a 2}, {a 2, a 1}, {a 2, a 2}1，3，12，2，03，1，01，2，2信号要求 1: 接收者在观察信号m j 后，必须对发送m j 的类型有一个推断∑∈T t i μ( t i ∣m j ) = 1信号要求 2R : 对每一 m j , 接收者的行动 a *(m j ) 必须在给定推断 μ( t i | m j ) 后，最大化他的期望效用,A a k ∈max ∑∈T t i μ( t i | m j ) U R (t i , m j , a k )信号要求 2S : 对每一t i , 在给定a *(m j ) 后，发送者的信号 m *(t i )必须最大化他的效用Mm j ∈max U S (t i , m j , a *(m j )) 信号要求 3: 对每一 m j , 如果存在 t i 使得 m *(t i ) = m j , 则接收者的推断:μ( t i | m j ) =∑)()(i i t p t p 精炼贝叶斯均衡: 战略 (m *(t i ), a *(m j ))和推断 μ(t i | m j ) 满足信号要求 (1), (2R), (2S),和 (3)。

为什么没有要求4？例 T = {t 1, t 2, t 3, t 4}, M = {m 1, m 2, m 3}如果在均衡中，发送者的战略：m *(t 1) = m 1，m *(t 2) = m 1，m *(t 3) = m 2，m *(t 4) = m 2则m 3处于均衡路径以外，若用贝叶斯公式，分母为0。

例 (Figure 4.2.2)1， 2，14， 0，02， 1，00， 1，2求精炼贝叶斯均衡：对4种情况逐一分析。

1. 混同于L ?发送者: (L, L).如果为均衡，p = 0.5接收者收益分别为: 3.5(u)，或0.5(d)。

将选择u。

发送者收益分别为：1 (t1)，2 (t2)如果发送者发送R, 当q + (1 –q)×0 ≤q×0 + (1 –q)×2q≤ 2/3接收者将选择d. 发送者收益为0(t1),和1(t2), 小于发送L时分别所得。

均衡: { (L, L), (u, d), p = 0.5, q≤ 2/3}2. 混同于R?发送者: (R, R)如果是均衡，q = 0.5.接收者的收益: 0.5 (u), 1 (d)。

他选择d发送者的收益分别为: 0 (t1), 1 (t2)如果发送者在t1时发送L, 收益至少为1。

不是均衡。

3. 分离(L, R)?发送者: (L, R).接收者推断：p = 1 , q = 0接收者战略: (u, d)。

发送者的收益分别为：1 (t1), 1 (t2)但是对t2, 如果发送者发送L, 接收者选择u, 发送者的收益将为2。

发送者在t2时，将发送L。

不是均衡。

4. 分离(R, L)?发送者: (R, L)。

接收者推断：p = 0, q = 1，战略：(u, u)发送者的收益分别为：2(t1), 2 (t2)如果发送者不这样, 收益将为1(t1发送L)，和1(t2发送R)。

分离精炼贝叶斯均衡:[(R, L), (u, u), p = 0, q = 1]4.2.B就业市场的信号博弈。

1．自然决定工人的能力η，以概率q为高H，以概率1 –q为低L。

2．工人了解自己的能力，选择一个教育水平e≥ 0，教育的成本为c(H，e)或c( L，e)。

假设对于获得相同的教育，低能力工人的边际成本要高于高能力的工人的，即c e(L, e ) > c e ( H, e)c e c e(L, e )c e ( H, e)e3．企业观察e，决定工人的工资w。

工人的收益w–c( η，e)工人的无差异曲线I(e, w) = w–c( η，e)斜率 k = -//dI de dI dw= c e w I LI He企业的收益 y ( η，e ) – w假设企业是完全竞争的，即w = y ( η，e )wy (H , e )w H *y (L , e )w L *e L * e s e H *具有能力η 的工人选择教育水平e 使得emax w – c (η, e ) s . t . y (η, e ) = w最优解表示为e *(η)，对应的工资w *(η) = y [η, e *(η)]低能力工人不冒充高能力工人的情形，即w *(L ) – c [L , e *(L )] > w *(H ) – c [L , e *(H )]ww H*w L*e L* e s e H*在有冒充的情形，即w*(H) –c[L, e*(H)] > w*(L) –c[L, e*(L)]wy(H, e s )w H*w L*e L* e H* e s e' e1．混同均衡只有存在冒充时，才可能有混同均衡。

两种工人选择同一种教育水平e p，公司观察到e p后的判断为p(H|e p) = q支付的工资为w p = qy (H, e p) + (1 –q) y(L, e p) （4.2.2）对于不在均衡路径上的判断，可以是p(H|e) = 0 e≠e p工资支付为w(e) = y(L，e) e≠e pwy(H, e s )w L*e L* e p e'e''e s e其他的混同均衡：e0: e p < e0 < e'，类似给出公司的判断及工资的支付，也构成完备贝叶斯均衡。

另一种混同均衡：e p，但公司对不在均衡路径上的判断不同。

0 e≤e"e≠e pμ(H| e) = q e = e pq e > e"公司的工资支付为y(L, e) e≤e"e≠e pw(e) = w(e p ) e = e pw(e) e > e"2．分离均衡（1）不存在冒充的时候e(L) = e L*，e(H) = e H*，公司的判断：p(H| e) = 0，e < e H*p(H| e) = 1，e≥e H*公司支付工资w (e) = y(L，e H*)，e < e H*w (e) = y(H，e L*)，e≥e H*这是完备贝叶斯均衡。