成都七中2015年外地生自主招生考试数学试题和详细解析

2015年成都七中外地生自主招生考试数学试题及解析

一、选择题（6×10=60分）

1. 已知等腰△ABC的面积为1，∠A=120，则△ABC内切圆的面积为（）

A.√3

18π B.√3

54

π C.√3

9

π D.√3

27

π

解：过A作底边的垂线，垂足为D，连接圆心O与AB 边的切点E，连接BO设圆半径为r

Rt△ABD中，∠B=30°，S△

ABD=(1/2)AD.BD=(1/2)AD.√3A D=1/2，∴AD

2=1/√3在Rt△AEO中，∠EAO=60°，∴sin60°=EO/AO=√3/2，即

r/(AD-r)=√3/2，∴r=√3AD/(2+√3)

∴S○O=πr2=√3π

7+4√3=(7−4√3)√3π

49−16×3

=(7√3−12)π

此题四个选项都不正确。

2. 如图所示，两条对角线长为4和2的菱形绕中心旋转90°，可围成一个四角形（各边用实线标注），则该四角形的周长

是____。

解：作如图所示的辅助线（红色）

∵对角线长为2倍关系，∴E、F分别为AD、BD的中点，

∴EF为△ABD的中位线，∴EF=AB/2，△EFC∽△BAC,∴

FC=AC/2

在Rt△ADF中，(AC+CF)2=AD2+DF2，即(AC+AC/2)2=22+12

解得AC=2√5

3，∴周长=8AC=16√5

3

3.已知x=√3+1，

x4+4

x2+2x+2

=

解：∵x=√3+1

∴x2=2x+2

∴x2+2x+2=2x2

x4+4=x22+4=(2x+2)2+4=4(x2+2x+2)=4(x2+x2)=8x2

∴原式=8x 2

2x2

=4

4、某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的最长棱长为

A. 5

B. 22

C. 23

D.4

此题看不清原图，加之本人也未能完全参透，故未做。

5. 设x,y为实数，则代数式2x2+4xy+5y2-4x+2y-5的最小值是____

解：原式=2x2+4xy+5y2-4x+2y-5=x2+4xy+4y2+x2-4x+y2+2y-5

=(x+2y)2+ x2-4x+4+y2+2y+1-5-4-1=(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2-10，

恰好有解x=2,y=-1使得前三项都取得最小值0,故最小值为-10

6、已知x ≤y ≤z ≤w ≤6 ，则方程x+y+z+w=18的正整数解的个数为 A.5 B. 6 C.7 D.8

分析：设那4个数都相等，则它们=4.5，∵w 最大，∴w ≥4.5，∴w 的值只能是5或6。 解：w=6 z=6 y=5,4,3 x=1,2,3

z=5 y=5,4 x=3,4 z=4 y=4 x=4 w=5 z=5 y=5,4 x=3,4 ∴有8组解满足条件。

7、定义分子为1且分母为正整数的分数为单位分数，把1分拆成若干个不同的单位分数之

和。如：1=

156

1

13211101901721561421301111216121+

+++++++++++n m ，其中m n ≤。设1x m ≤≤，1y n ≤≤，则2

1

x y x +++的最小值为

A. 232

B. 52

C. 87

D. 343

分析：注意观察1/2=1/(1×2)=1/1-1/2，1/6=1/(2×3)=1/2-1/3，1/12=1/(3×4)=1/3-1/4… ∴1=1-1/4+1/m+1/n+1/5-1/13，化简得1/m+1/n=1/13+1/20，∵m ≤n ，且都为正整数， ∴m=13，n=20

(x+y+2)/(x+1)=1+(y+1)/(x+1)，当最小（y ≥1）即y=1时，x 最大（x ≤m ）即x=13时，(x+y+2)/(x+1)取得最小值，即为1+(1+1)/(1+13)=8/7

8. 若一个两位数的平方后的数的后两位恰好是这个两位数，这样的两位数有___个。

解：设该数为10x+y ，且x,y,a,b,c 均为0-9的整数，∴(10x+y)2

=1000a+100b+10x+y ，

化简得100x 2+20xy+y 2

=1000a+100b+10x+y ①

0-9这10个数字中平方后个位数字为这个数本身的有0,1,5,6.但明显0不符合本题的要求，故只需考虑y=1,5,6的情况，且x ≠0

当y=1时，整理①得：10x 2

+x=10(10a+b)，∴等式右边的个位数是0，而左边的个位数是x ，但已知x ≠0，∴y=1时，没有这样的两位数；

当y=5时，整理①得：100(x 2

+x)+25=1000a+100b+10x+5，∴等式左边十位数和个位数为25，即25=10x+5，∴y=5时，x=2，即这个两位数为：25

当y=6时，整理①得：10x 2

+11x+3=10(10a+b)，∴等式右边的个位数为0，即要求11x+3的个位数也是0，∴x=7，即y=6时，x=7，即这个两位数为：76 ∴只有2个这样的两位数，它们是25和76

9、设p 、q 为不相等的正整数，且关于x 的方程x 2-px+q=0和x 2

-qx+p=0的根都是正整数，则|p-q|=

分析：设两个方程的解分别为x1,x2,x3,x4，且它们都为正整数

设p>q,则有x1+x2>x1*x2，容易知道只有x1,x2中必有一个数为1不等式才能成立， ∴p-q=x1+x2-x1*x2=1

设px3*x4，同理可知x3,x4中必有一个数为1不等式才能成立， ∴q-p=x3+x4-x3*x4=1 综上可得|p-q|=1