巧用基底法和坐标法解决平面向量数量积问题

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平面向量的数量积——向量在平面几何中的应用王晓溪275

课例研究新教师教学（接上页）心灵的震撼和情感的共鸣，使他们深人意境。

最后，以诗解诗，通过分析诗歌的典型意象，捕捉蕴含其中的感情，从而感受诗人微妙的内心世界。

历代诗人词人在写诗填词的时候往往用委婉隐约的语言把丰富的意韵隐含于自己塑造的具体形象之中，隐含于对客观景物的描写之中，以获得“意不浅露，语不穷尽，句中有余味，篇中有余意”的耐人寻味的艺术效果。

用这种“以诗解诗”的方法赏析诗歌，不仅能够使诗的意境更加深远悠长，还可以“温故而知新”，积累诗词知识，增强文学底蕴，而且能使课堂充满诗意美。

平面向量数量积是高考的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、向量的模、夹角以及垂直问题。

数量积的综合应用是高考的重点，常与平面几何、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查。

下面以4道高考题为例，分析总结用向量解决平面几何问题的两种常用方法。

一、基底法依据平面向量基本定理，适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，将所求向量用基底表示，利用基底求解。

例1、（2016.江苏，13）如图，在ΔABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD上的两个三等分点，，，则的值是。

分析：用基底法求解，结合已知和所求，选择和作为基底。

，，例2、（2015.湖南，8）A ，B ，C 在圆上运动，且的坐标为（2，0），（）分析：用基底法求解，选择、作为基底。

，故选B 。

把几何图形置于适当的平面直角坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，把数量积等相关问题转化成坐标运算。

建，9）已知，若点P 是ΔABC 所在平面内一点，则的最大值等于（）分析：容易建立坐标系写出坐标，如图建立平面直角坐标系。

是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则的最小值是（）由等边三角形，边长为2容易建立坐标系写出坐标，故选B 。

法则、三角形法则、平面向量基本定理都可以认为是从几何角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础。

平面向量数量积问题的三种解法

平面向量的数量积问题侧重于考查平面向量的加法、减法、数乘运算法则，数量积公式和向量的模的公式.平面向量的数量积问题的常见命题形式是：根据已知图形、向量及其关系，求两个向量的数量积或其范围.本文主要谈一谈解答平面向量的数量积问题的三种方法.一、公式法已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||||a →||||||b →cos θ称为a 和b 的数量积，即a ⋅b =||||||a →||||||b →cos θ.运用公式法解答平面向量的数量积问题主要就是利用平面向量的数量积公式，求出||||||a →、||||||b →及两个向量a →和b →的夹角的余弦值，即可求得两个平面向量a 和b 的数量积.特别要注意的是，在求两个向量的夹角θ时，需要使a 和b共起点.例1.在边长为1的正三角形ABC 中，D ,E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近点B ），求 AD ⋅AE .解：因为D ,E 是边BC 的两个三等分点，所以BD =DE =CE =13，在△ABD 中，AD 2= BD 2+ AB 2-2 BD ∙ AB ∙cos 60°=æèöø132+12-2×13×1×12=79，即AD .同理可得AE ，在△ADE 中，由余弦定理可得cos ∠DAE = AD 2+ AE 2- DE 22 AD ⋅ AE 7979æö132=1314，所以 AD ⋅ AE =|| AD |AE cos ∠DAE =×1314=1318.对于本题，需要先用余弦定理求出两个向量的夹角的余弦值，再利用向量数量积的公式求解.当题目中两个向量的夹角或向量的模未知时，可以先利用解三角形知识求出它们的夹角或者向量的模，再将其代入数量积公式，运用公式法求解.二、基底法运用基底法求解平面向量的数量积问题，首先要确定一组基底，将题目中涉及的向量分别用这组基底表示出来，将问题转化为基底间的运算问题，通过向量运算求得问题的答案.此方法通常适用于向量的模或夹角不明确，无法用公式直接求出的题目.例2.如图1所示，已知正方形ABCD 的边长为1，E 是AB 边上的动点，则 DE ⋅ CB 的值为_____； DE ⋅ DC的最大值为_______.解：因为 DE = AE -AD ，所以 DE ⋅ CB =( AE - AD )⋅ CB = AE ⋅ CB - AD ⋅CB =1；DE ⋅ DC =( AE - AD )⋅ DC = AE ⋅ DC - AD ⋅ DC =|| AE ⋅|| DC ≤|| DC 2，所以() DE ⋅ DC max =|| DC max=1.解答本题，需以 AD 、AE 为基底，运用基底法求解.运用基底法求解向量的数量积问题，关键是根据已知条件选取恰当的基底，将所求向量用基底来表示，从而将问题简化.三、坐标法坐标法是指通过建立平面直角坐标系，用坐标的形式来表示各个向量，通过坐标运算求得问题的答案.运用坐标法解答平面向量的数量积问题，关键是根据题意或已知图形建立合适的平面直角坐标系.通常可以矩形的两条相邻的边为坐标轴；以直角三角形的两条直角边为坐标轴；正三角形的中线和底边为坐标轴来建立平面直角坐标系.例3.如图2，在直角△ABC 中，∠A =90°，D 为斜边BC 的中点，AB =2，AC =4，求 AD ⋅AB .解：建立如图2所示的平面直角坐标系，由题意可得 AD =(2,1)， AB =(0,2)，所以 AD ⋅AB =(2,1)⋅(0,2)=2.该三角形为直角三角形，于是以该直角三角形的两条直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，便可通过向量坐标运算求解.总之，在求解平面向量的数量积问题时，同学们要根据题意和图形，灵活选用合适的方法进行求解，这样才能简化运算过程，达到快速解题的目的.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）图1图2考点透视36。

解答平面向量数量积问题的三种途径

思路探寻2考点透视= OA ∙ AB + CA2= OA ∙()AO + OB + CA 2= CA 2- OA 2+ OA ∙ OB = CA 2- OA 2= CA 2-1,当CA =2时， OC ∙ AB + CA ∙CB 取得最大值为3.首先根据三角形和外接圆的特点选择 OA 、OB 作为基底，并结合已知条件求出基底 OA 、OB 的数量积；然后用基底 OA 、 OB 表示出 OC 、 AB 、 CA 、CB，并根据向量的数量积公式求解.图3图4例3.如图4，在等腰直角△ABC 中，AC =2,点M 为线段AB 上的动点(包含端点)，点D 为AC 的中点，将AC 绕点D 旋转到EF ，则 ME ∙MF 的最小值为_____.解：连接MD ，则 ME ∙ MF =() MD + DE ∙()MD + ED =||MD 2-|| DE 2,当MD ⊥AB 时，MD 最小，即||MDmin=，由|| DE 2=1，可得 ME ∙ MF 最小值为-12.解答本题，需以 MD 、DE 为基底，并用基底表示出平面向量 ME 、MF ，将问题转化为求|| MD min.再结合图形的特点，确定|| MD 取最小值时的情形，即可解题.三、利用投影法运用投影法求解平面向量数量积问题，需根据平面向量数量积的几何意义，构造出相应的几何图形，通过研究几何图形中的垂直、平行等关系，确定向量投影之间的关系，从而求得平面向量的数量积.运用投影法解题，需熟练掌握并运用向量数量积的几何意义、模长公式、余弦函数的性质.例4.若在菱形ABCD 中，AC =4,则 CA ∙AB =______.解：如图5所示，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴2AO =AC =4，且AC ⊥BO ，∴||AB cos ∠CAB =AO =2，∴CA ∙ AB =-|| AC ∙|| AB cos ∠CAB =-8.根据题意画出图形，通过观察图形，可以确定AB在CA 方向上的投影即为|| A O ，于是连接BD ，根据菱形的性质：对角线互相垂直，构造出直角三角形，即可通过解直角三角形求出投影||A O 的长度，从而利用射影法求得 CA ∙AB 数量积的大小.图5图6例5.在△ABC 中，∠ABC =π3,点O 是△ABC 的外心， BA ∙ BO =2, BC ∙ BO =4,则 BA ∙ BC =______.解：如图6所示，设AB ，BC 中点分别为D ，E ，连接OD ，OE ，则OD ⊥AB ，OE ⊥BC ,由 BA ∙BO =2，可得|| BA ∙|| BO cos ∠OBD =12||BA ∙|| BA =2，故||BA =2，由 BC ∙BO =4，可得|| BC ∙|| BO cos ∠OBE =12|| BC ∙|| BC =4,故||BC =22,所以 BA ∙ BC =|| BA ∙||BC cos ∠ABC =22.要求 BA 、 BC 的数量积，需求出向量 BA 、BC 的模长，于是根据 BO 及其在 BA 、BC 上的投影关系，分别求得|| BA 、||BC 的大小，就能根据射影法顺利求出目标向量数量积的大小.相比较而言，坐标法比较常用，且解题过程较为简单；射影法比较灵活，但通常很难想到.无论运用哪种方法，都需熟练掌握并运用平面向量的数量积公式及其几何意义、向量运算法则及其几何意义，根据已知条件和解题需求，选用合适的方法进行求解.（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）50。

解答向量数量积问题的几种方法

方法集锦向量的数量积问题的常见命题形式有：（1）根据向量及其夹角求两个向量的数量积或其范围；（2）由两个向量的数量积求向量或夹角.此类问题侧重于考查向量的数量积公式、向量的模的公式、向量的数乘运算法则的应用.下面结合几道例题介绍一下求解向量数量积问题的几种方法.一、定义法向量a 、b 的数量积为：a ∙b =|a |∙|b |cos θ，其中θ为向量a 、b 的夹角.根据向量数量积的定义可知，只需要知道两个向量的模的大小以及两个向量之间的夹角的余弦值，即可求得两个向量的数量积.在利用定义法求向量的数量积时，要注意两个向量之间的夹角θ为两个向量共起点时所形成的夹角.例1.如图1所示，在ΔABC 中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在AM 上，且 AP =2 PM ，则 PA ∙( PB + PC )=______.解：∵M 是BC 的中点，AM =1，且 AP =2 PM ，∴ PB + PC =2 PM ，|| AP =23，∴|| PM =12||AP =13，∴ PA ∙( PB + PC )= PA ∙2 PM = PA ∙ AP =|| PA 2∙cos 180°=-49.解答本题，需根据题意和图形，通过向量运算求得 PB + PC ，将求 PA ∙( PB + PC )转化为求 PA ∙ AP .而PA 、 AP 的大小相等、方向相反，其夹角为180°，根据AM =1求得向量 AP 的模长，即可根据向量数量积的定义求得问题的答案.例2.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 在边BC 上，且BD =2DC ，则 AB · AD 的值为().A.1B.23C.43D.1+解：∵ΔABC 是边长为1的等边三角形，且BD =2DC ，∴ BD =23 BC ，∴ AB · AD = AB ·( AB + BD )= AB 2+23 AB · BC =1+23×1×1×æèöø-12=23，∴B 正确.通过向量运算，可将问题转化为 AB 2+23AB ·BC .而 AB 与 AB 之间的夹角为0，AB 与 BC 之间的夹角为60°，且||AB =|| BC =1，根据向量的数量积定义进行求解，即可快速解题.二、利用向量数量积的几何意义向量数量积的几何意义是：a 的模||a 与b 在a 方向上的投影|b|cos θ的乘积.当无法求出两个向量的夹角的余弦值时，就可以通过画图，确定一个向量在另一个向量方向上的投影，利用向量数量积的几何意义解题.例3.如图2所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，AP =3，试求 AP ∙ AC 的值.解：∵ AC =2 AO ，AP ⊥BD ，∴ AO 在 AP 方向上的投影为|| AP ，∴ AC 在AP 方向上的投影为2|| AP ，∴ AP ∙ AC =|| AP ∙2|| AP =18.我们利用向量数量积的几何意义，将求 AP ∙ AC 转化为求 AC 与 AC 在AP 方向上的投影的乘积.再根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，求得|| AP ，即可解题.例4.如图3所示，点P 是ΔABC 的外心，且|| AC =4,||AB =2，求 AP ∙( AC - AB )的值.解：延长AP ，交圆P 于点D ，连接BD ,CD ，由圆的性质可得ABCD 为正方形，∴AC ⊥CD ,AB ⊥BD ，∴ AP =12AD ，∴ AD 在 AC 方向上的投影为：|| AC ， AP 在 AC 方向上的投影为：12|| AC ，∴ AP ∙ AC =12|| AC ∙|| AC =8，同理可知： AP 在 AB 方向上的投影为：12|| AB ，∴ AP ∙ AB =12|| AB ∙|| AB =2，∴ AP ∙( AC - AB )=8-2=6.解答本题，需充分利用圆的性质：直径所对的圆周角为90°，添加辅助线，构造正方形，以利用正方形图1图2狄亚男图339方法集锦的性质确定 AD 在 AC 方向上的投影、AP 在 AC 方向上的投影、 AP 在AB 方向上的投影.再根据向量数量积的几何意义建立关系式，即可解题.三、坐标法坐标法是指通过向量的坐标运算来解题的方法.通常需先根据题意和几何图形建立合适的平面直角坐标系，求得各个点的坐标；然后通过坐标运算，求得向量的模、向量的数量积.一般地，若a =(x 1,y 1),b=(x 2,y 2)，则||a =x 12+y 12,a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2),a ∙b=x 1x 2+y 1y 2.例5.已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点，连接DE ，并延长到点F ，使得DE =2EF ，则 AF ∙BC 的值为______.解：以等边三角形的一条边AC 的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图4所示，可得A æèöø-12,0,B æèçø,C æèöø12,0,F æèçø12，所以 AF =æèçø， BC =æèçø12,.则 AF ∙BC =1×2æèçø=18.对于三角形问题，通常可以三角形的一条边为坐标轴，一个顶点或该边上的中点为原点，也可以三角形的一条边及其垂线为坐标轴，来建立平面直角坐标系，这样便于快速求得各个点的坐标.例6.在ΔABC 中，∠C =90°,CB =2,CA =4，P在边AC 的中线BD 上，求 CP ∙BP 的最小值.解：以点C 为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系.可得：A (0,4),B (2,0),C (0,0),D (0,2)，设点P 的坐标为(x ,y )，则 BP =(x -2,y ),BD =(-2,2)，设 BP =λ BD ，因为B ,D ,P 三点共线，所以x -2=-2λ,y =2λ，解得x =2-2λ,y =2λ，则点P 的坐标为(2-2λ,2λ)，所以 BP =(-2λ,2λ),CP =(2-2λ,2λ)，可得 CP ∙BP =4λ2-4λ+4λ2=8λ2-4λ，因为0≤λ≤1，所以当λ=14时， CP ∙ BP 的最小值为-12.我们根据∠C =90°，即AC ⊥CB ，以AC 、BC 为坐标轴，C 为原点建立平面直角坐标系.然后求得各个点的坐标，并设出P 点的坐标，即可通过向量的坐标运算求得 CP ∙BP 的表达式，从而求得其最值.四、基底法由平面向量的基本定理可知，平面内任意一个向量均可以用两个不共线的向量表示出来.若不易求出要求的两个向量，则可选取一组合适的基底，将要求的两个向量用这组基底表示出来，求得这组基底的模长、夹角，即可根据向量的数量积定义求得问题的答案.例7.如图6所示，在ΔABC 中，∠A =60°,AB =3,AC =2,D 是AC 的中点，点E 在AB 边上，且AE =12EB ，BD 与CE 交于点M ，N 是BC 的中点，则 AM ∙AN =______.解：由题意可知，E ，M ，C 三点共线，设 AM =λ AE +μ AC ，其中λ+μ=1.因为 AE =13 AB ， AM =λ3AB +μ AC ，同理可得B ,M ,D 三点共线， AM =m AB +nAD ，可得：m +n =1，因为 AD =12 AC ，所以 AM =m AB +n 2AC ，可得λ3=m ,μ=n2，所以 AM =15 AB +25 AC ，则 AN =12 AB +12AC ，所以 AM ∙ AN =æèöø15AB +25 AC ∙æèöø12 AB +12 AC =135.以 AB , AC 为基底，将 AM 、 AN 用这两个基底表示出来，根据向量的共线定理和基本定理求得15AB +25AC 、12 AB +12AC，即可解题.相比较而言，定义法、基底法、坐标法的适用范围较广，但利用向量数量积的几何意义求解，能使解题过程中的运算量大大减少.同学们需熟练掌握这四种技巧，并在解题时选用合适的技巧，这样才能有效地提升解答向量数量积问题的效率.（作者单位：江苏省南通市如皋市第二中学）图6图4图540。

例析平面向量数量积的三种处理方法

Ｄ
Ｐ
ｃ
２）＝（＞Ｏ关于直线）＋（＋２ｒ）
ｚ＋＋２对称．＝０
（）求同Ｃ的方程：２】ｆ）话０同卜的一个动
Ｊ
点，求．
的最小值．
解：１（）略．Ｃ的方程圆
。
一
￣Ｉ１，０）（，）Ｐ，Ｉ，Ｎ，，丢１，（，Ａｏ（Ｍ设ｚ）（）专ｊ，
．
ｆＣｓｚ一Ｏ０所以．《，
÷
— —’ —
— —＋
因为ＡＢＮＡＣ不共线，以ＡＢ，所ＡＣ
【一ｓｖｉ
从而Ｐ・ＭＱ一，ｃｓ＋ｓ０一２— ２ｉＱ／ｏ０ｉ）ｇ（ｎｓｎ
（４）２，且所给平面图形方便建立直角坐标系，容易写出各涉及点坐标并
（）以Ａ为坐标原点，Ｂ为Ｘ轴建立如图所示２Ａ
的直角坐标系，
解得志一± ，以直线ｚ所的方程为：一±
（ｚ十２）
则（ＯＢ，＇，）（０ＡＯ）（ＯＤ２２，１），，２）（Ｍ，
ｌ
点评：当题中已知口ｂ的模或夹角时，向量的，将
数量积用定义式来转化，比较简洁．
二、坐标法
Ｄ
Ｐ
ｌ
设ｎ一（，１，１Ｙ）ｂ＝（，２，口・ｂ— ２Ｙ）则
Ａ肘
Ｂ
／
ＸＸ－１２１２Ｙｙ．ｑ
例３（）图（）在等腰直角三角形ＡＢ中，１如４，Ｃ

巧用基底法和坐标法解决平面向量数量积问题

下来，进行比较，哪些是对的？活动３：各小组代表将本组画的平面图形画在黑板上，
每组轮流进行，要求不重复。经过充分地交流与合作，最后可以达成正方体的平面
展开图共有１１种的共识。
问题二：请将这１１种平面图形进行分类，你发现其中蕴含的规律了吗？
学生在实验操作中有分工、有合作，人人参与活动，并且通过自己的思考、实践以及与他人的讨论，寻求合理的答案，使他们获得了数学活动的经验，体会到合作的乐趣，提高了学生的参与机会。
五、利用有效的评价。促进学生持续参与有效的评价在学生学习过程中能起到激励、调控和导向的作用。应该在评价中关注以下四个方面：第一，学生参与活动的态度。包括对问题情景关注和参与活动积极主动。第二，学生参与活动的广度。注意考虑学生参与学习活动的人数、活动的方式多样、活动的时间充分等。第三，学生参与活动的深度。重点考虑学生能否提出有意义的问题或能发表个人见解、能否按要求正确操作以及能否倾听、协作、分享等因素。第四，学生参与与他人的合作。从以下两点来进行评价：（１）学生参与小组学习时间、次数；（２）小组学习和讨论是实质性的交流。．附：有效参与的学生评价指标（０～５分）
丁ｘ／－Ｙ），接下来缺
向量并不具备上述条件，比如：
Ｍ点坐标了．
【学法指导】
巧用基底法和坐标法解决平面向量数量积问题
顾俊华
（江苏省吴县中学，江苏吴县２１５１５１）
摘要：本文主要介绍了在求平面向量数量积时的两种常用的方法：基底法和坐标法，对这两种方法的使用条件做了
适当的阐述，并通过对比对这两种方法之间的差异和联系进行了适当的分析．

数学复习：平面向量数量积的计算

数学复习：平面向量数量积的计算一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19352.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b 满足a =，)(21R e e b ∈+=λλ ，其中21,e e 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b ，恒有4a b +≥ ，则21,e e 夹角的最小值是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2例2-2.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点E 在边BC 上，3BC BE =，若G 为线段DC 上的动点，则AG AE ⋅的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．43.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（）6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6平面向量数量积的计算答案一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b+=，因此，()1919cos,5735a a ba a ba a b⋅+<+>===⨯⋅+.2.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b满足4a=，)(21Reeb∈+=λλ，其中21,ee为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b，恒有4a b+≥，则21,ee夹角的最小值是（）A．6πB．π4C．π3D．π2【解析】因a=221()||cos,0||cos,8a b a b b b a b b a b+⇔+≥⇔〈〉≥⇔≥〈〉，依题意，||2b≥恒成立，而21eebλ+=，21,ee为不共线的单位向量，即有2221,cos21be=++λλ，于是得21,cos221,cos21221221++⇔≥++λλλλeee恒成立，则02,cos4212≤-=∆ee，即有22,cos2221≤≤-e，又π≤≤21,0ee，解得43,421ππ≤≤ee，所以21,ee夹角的最小值是π4.例2-2.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD︒∠=，点E在边BC上，3BC BE=，若G为线段DC上的动点，则AG AE⋅的最大值为（）A．2B．83C．103D．4【答案】B【解析】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，所以2AB AD == ,1cos1202222AB AD AB AD ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，设[],0,1DG DC λλ=∈ ，则AG AD DG AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，因为3BC BE =，所以1133BE BC AD ==,13AE AB BE AB AD =+=+ ,()2211(1333AG AE AD AB AB AD AD AB AD ABλλλ⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪⎝⎭ ()22110222123333λλλ⎛⎫=⨯+⨯++⨯-=- ⎪⎝⎭,当1λ=时，AG AE ⋅ 的最大值为83.3.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]【答案】D【解析】在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图：则(3,0)A ，(0,4)B ，(0,0)C ，设(,)P x y ，因为1PC =，所以221x y +=，又(3,)PA x y =-- ，(,4)PB x y =--，所以22(3)(4)34341PA PB x x y y x y x y x y ⋅=----=+--=--+，设cos x θ=，sin y θ=，所以(3cos 4sin )15sin()1PA PB θθθϕ⋅=-++=-++ ，其中3tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，PA PB ⋅有最小值为4-，当sin()1θϕ+=-时，PA PB ⋅有最大值为6，所以[4PA PB ⋅∈- ，6].变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．【答案】98-【解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B ，(0,2)C ，(1,0)M ，直线BC 的方程为122x y+=，即2x y +=，点P 在直线上，设(,2)P x x -，∴(1,2)MP x x =-- ，(,)CP x x =-，∴22399(1)(2)232()488MP CP x x x x x x x ⋅=---=-=--- ，∴MP CP ⋅ 的最小值为98-．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在AB方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的，切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP 在AB方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos 6014AN AB BC '=++=，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯= ，则AP AB ⋅ 的取值范围是[2,8].5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-【解析】（方法1.几何法）设点M 为BC 中点，可得→→→=+PM PC PB 2，再设AM 中点为N ，这样用极化恒等式可知：22212→→→→-=⋅AM PN PM P A ，在等边三角形ABC ∆中，3=AM ，故→→⋅PM P A 取最小值当且仅当2322-=⋅→→→PN PM P A 取最小，即0||=→PN ，故23)(min -=⋅→→PM P A .（方法2.坐标法）以BC 中点为坐标原点，由于(0A ，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，，()PA x y =- ，()1PB x y =--- ，，()1PC x y =--，，故()2222PA PB PC x y ⋅+=-+ 2233224x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，32y =．例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P ，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最小值为（）A ．14B ．10C ．8D ．2【解析】（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记BC 中点为M ，AM 中点为N .由于→→→→→⋅=+⋅PM P A PC PB P A 2)(，而)41(2222→→→→-=⋅AM PN PM P A .由于ABC ∆为等边三角形，则M O A ,,三点共线，且由于O 是外心，也是重心，故32=⇒=AM OA .则→→→→⇔+⋅min min ||)]([PN PC PB P A ，显然，由P 在圆外，且N O ,共线（AM 中点为N ），则25||||||min =-=→→→ON OP PN .综上所述，8212)]([22min min =⋅-=+⋅→→→→→AM PN PC PB P A .（法2.基底法）()()()()PA PB PA PC PO OA PO OB PO OA PO OC ⋅+⋅=+++++ 22()()PO PO OA OB OA OB PO PO OA OC OA OC=+++⋅++++⋅ 22()PO PO OA OB OA OC OA OB OA OC =+++++⋅+⋅ ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，因此1cos 22()22OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯-=- ，3OP == ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，所以原点O 是等边ABC ∆的重心，因此0OA OB OC ++= ，所以有：18221414cos PA PB PA PC PO OA OP OA OP OA AOP⋅+⋅=+⋅--=-⋅=-⋅⋅∠ 146cos AOP =-∠，当0AOP ∠=时，即,OP OA 同向时，PA PB PA PC ⋅+⋅ 有最小值，最小值为1468-=.6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，点O 在AB 、AC 上的射影是点D 、E ，它们分别为AB 、AC 的中点．由数量积的几何意义，可得21182BO BA BA BD AB ⋅=⋅== ，23212BC BO BC BE BC ⋅=⋅== ．又2π3B =，所以1cos 68242BA BC BA BC B ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又BO xBA yBC =+ ，所以()2362418BO BA xBA yBC BA BA C x y BA x B y =+⋅⋅=+⋅=-= ，即1286x y -=．同理()2246432BO BC xBA yBC BC C y x B BC y BA x ⋅⋅=++⋅=+==- ，即384x y -+=，解得1091112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以710113434912x y +=⨯+=⨯．例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC = ，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】如图，O 为ABC ∆的外心，设,D E 为,AB AC 的中点，则,OD AB OE AC ⊥⊥,故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅ ||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅ ||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ 2222111||41||2222210AB AC +=+⨯⋅== .。

解答平面向量数量积问题的三种途径

平面向量的数量积问题侧重于考查平面向量的数量积公式、向量的模的公式、数乘运算法则、加减法的几何意义、基本定理、共线定理的应用.解答这类问题常用的途径有利用坐标法、定义法、数形结合法.下面结合实例来进行介绍.一、利用坐标法坐标法是指通过建立平面直角坐标系，将问题转化为坐标运算问题来求解.运用坐标法解答平面向量数量积问题，需根据几何图形的特点，寻找或构造垂直关系，建立合适的平面直角坐标系，熟练掌握并灵活运用向量的坐标运算法，如a ∙b=()x 1,y 1∙()x 2,y 2=x 1x 2+y 1y 2、||a =x 12+y 12、a +b =()x 1+x 2,y 1+y 2、a -b=()x 1-x 2,y 1-y 2.例1.已知P 是半径为1，圆心角为23π的一段圆弧AB 上的一点，若 AC =2 CB ，则 PA ∙PC 的取值范围是_____.解：以O 为原点、OB 为x 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.图1可得O ()0,0，B ()1,0,A æèçø-12，过点C 作CD ⊥OB ，垂足为D ，∵|| OA =||OB =1，∠AOB =2π3，∴|| A B =3,∵ AC =2CB ，∴|| CB =13|| A B =，在Rt△CDB 中，∠CBD =π6,∴|| CD =12|| CB，|| DB =12,∴|| OB =12,∴C æèçø12,设P ()cos θ,sin θ，0≤θ≤2π3，∴ PC ∙ PA=æèçöø÷12-cos θ-sinθ∙æèçöø÷-12-cos θ-sin θ=cos 2θ-14+14-θ+sin 2θ=1-θ，∵0≤θ≤2π3，∴0≤sin θ≤1，∴1≤1θ≤1，∴ PA ∙PC 的取值范围是éëêùûú1-.首先根据圆弧的特点，以O 为原点建立平面直角坐标系；然后设出点P 的坐标，求得其他各点、各个向量的坐标，即可通过向量坐标运算，求得 PA ∙PC 的表达式；再根据三角函数的有界性求得问题的答案.二、采用定义法定义法是指根据平面向量数量积的定义：a ∙b=||a ∙||||b cos a ,b 解题.在解题时，要分别求得所求平面向量的模长、向量之间的夹角或其余弦值，即可根据平面向量数量积的定义求得答案.例2.已知a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a -c )·(b -c )=0，求|c |的最大值.解：因为|a |=|b |=1，a ·b =0，则(a -c )·(b -c )=-c ·(a +b )+|c |2=-|c ||a +b |·cos θ＋|c|2=0，其中θ为c 与a +b 的夹角，所以|c |=|a +b |cos θ=2cos θ≤2，47所以|c |的最大值是2.解答本题主要运用了定义法.我们先通过向量的数乘运算、加法运算、减法运算，根据已知关系式，将问题转化为求向量的模的平方以及向量的数量积；然后根据向量的数量积公式将问题转化为求c 与a +b 的夹角的余弦值以及|a +b |的乘积的最值，根据基本不等式求解，即可解题.例3.已知点P 是边长为1的正十二边形A 1A 2⋯A边上任意一点，则 AP ∙A 1A 2的最小值为().A.- B.- C.-3 D.-2解：如图2所示，延长A 10A 11、A 2A 1交于Q ，图2由题意可得A 10A 11⊥A 2A 1，过A 12分别作A 1Q 、A 11Q 的垂线，垂足分别为M 、N ，正十二边形A 1A 2⋯A 12的每个内角()12-2×180°12=150°，在Rt△A 12MA 1中，||A 1A 12，∠MA 1A 12=30°，则||A 1M =||A 1A 12cos 30°，在Rt△A 11NA 12中，||A 11A 12=1，∠NA 11A 12=30°，则||QM =||A 12N =||A 11A 12sin 30°=12，所以||A 1Q =||A 1M +||QM =，而 A 1P ∙ A 1A 2=|| A 1A 2∙|| A 1P cos θ,θ为 A 1P 、 A 1A 2的夹角，所以数量积 A 1P ∙ A 1A 2等于A 1P 在 A 1A 2方向上的投影||A 1P cos θ的乘积，当点P 在线段A 10A 11上时， A 1P ∙A 1A 2取最小值，可得 A 1P ∙ A 1A 2=|| A 1P ∙||A 1A 2cosθ=||A 1A 2()-|| A 1Q=.解答本题，首先要根据正十二边形的特征和向量数量积的几何意义找出 A 1P ∙A 1A 2取得最小值的情形:点P 在线段A 10A 11上；然后根据平面向量数量积的定义，求得向量 A 1P 、A 1A 2的模长及其夹角的大小，即可求得最小值.三、数形结合数形结合法是解答函数问题、向量问题的重要方法.在解题时，需先将向量的模看作线段的长，根据三角形法则、平行四边形法则构造几何图形，添加辅助线；然后将两个向量的夹角看作三角形、平行四边形的内角，利用三角形的性质、平行四边形的性质、圆的性质解题.例4.如图3，AB是圆O 的一条直径，且||AB =4,点C 、D 是圆O 上任意两点，点P 在线段CD 上，则PA ∙PB 的取值范围为______.图3图4解：如图4所示，连接OP ，则 PA ∙ PB =() PO + OA ∙()PO + OB = PO 2+ PO ∙()OA + OB + OA ∙ OB =|| PO 2-4，而P 在线段CD 上，且||CD =2，则圆心到直线CD 的距离d =22-12=3，所以3≤|| PO 2≤4，可得-1≤|| PO 2-4≤0，故 PA ∙PB 的取值范围为[]-1,0.解答本题，要先根据三角形法则和向量运算，将求 PA ∙PB 转化为求|| PO 2的最值；然后根据弦心距、圆的半径、弦之间的关系建立关系式，求得圆心到直线CD 的距离，该值即为|| PO 的最小值，||PO 的最大值为圆的半径，这样便确定了求|| PO 2的最值，从而求得问题的答案.上述三种方法都是解答平面向量数量积问题的重要方法.其中坐标法、定义法较为简单，数形结合法具有较强的灵活性，需根据题意构造出合适的几何图形，并将问题与平面几何、解析几何知识关联起来.（作者单位：云南省会泽县大成高级中学）48。

解答平面向量的数量积问题的三种路径

谈学论教陆海蓉谈学论教若已知两个平面向量a 、b，则其平面向量的数量积为a ∙b.常见的平面向量的数量积问题有：（1）根据两个已知的平面向量求两个向量的向量积或取值范围；（2）由两个向量的数量积求两个向量的夹角；（3）由两个向量的数量积求另两个相关向量的数量积或范围.解答平面向量的数量积问题，需把握平面向量的几何与代数特性，从几何、代数两个角度入手.常用的途径有：利用坐标法、定义法、几何性质法.下面结合实例进行探讨.一、利用坐标法一般地，若a =()x a ,y a ，b =()x b ,y b ，则两个向量的数量积a ∙b=()x a ,y a ∙()x b ,y b =x a x b +y a y b .运用坐标法求解平面向量的数量积问题，往往要先建立合适的平面直角坐标系，用坐标表示出各个向量；然后运用向量的坐标运算法则，如加法、减法、数乘运算法则进行求解.例1.已知正三角形ABC 的边长为12，E 是BC的中点，F 在线段AC 上，且AF =12FC ,若AE 与BF相交于点M ，则 MA ∙MB =_____.解：以BC 所在的直线为x 轴、BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图1所示，则A ()0,63，B ()-6,0，E 与O 重合，可得AF =12FC ,F ()2，43,设M ()0，m ， BM =λBF ，即()6，m =λ()8,43，可得m =33，所以 MA ∙MB =()0,33∙()-6,-33=-27.首先根据等边三角形的对称性，以BC 所在的直线为x 轴、BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系；然后设出M 的坐标，并求得A 、B 、F 、 MA 、 MB的坐标，即可将问题转化为坐标运算问题，通过向量的坐标运算求得问题的答案.一般地，若能根据所给的图形快速找到垂直关系，则可根据其垂直关系建立坐标轴，采用坐标法来解题，这样能使问题简单化，有助于提升解题的效率.图1图2例2.如图2，已知等腰直角三角形ABC 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，且||AB =1,O 为坐标原点，则 OC ∙OA 的取值范围为_____.解：设∠OAB =α，α∈æèöø0，π2，因为△OAB 为直角三角形，且||AB =1，则A ()cos α,0，B ()0,sin α，因为△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAD =π2-α，|| AB =|| AC ，可得|| AD =sin α，||CD =cos α，得C ()cos α+sin α,cos α，所以 OC ∙OA =cos α()cos α+sin α=12cos 2α+12sin 2α+12æèöø2α+π4+12，而2α+π4∈æèöøπ4，5π4，所以sin æèöø2α+π4∈æèçùûú，则 OC∙ OA ∈æèçû.解答本题，需先设∠OAB =α，用角α表示出A 、B 、C 的坐标，进而求得 OC 、OA 的坐标；然后通过向量的坐标运算求得 OC ∙OA 的表达式，并根据正弦函数的有界性求得 OC ∙OA 的取值范围.运用坐标法解题，能葛梅60。

高考数学技巧解决平面向量的数量积与向量积问题

高考数学技巧解决平面向量的数量积与向量积问题在高考数学中，平面向量是常见的考点之一，而数量积和向量积是平面向量的两个重要运算。

掌握解决平面向量的数量积与向量积问题的技巧，可以帮助我们更好地应对考试。

1. 数量积的计算技巧数量积，也被称为点积或内积，可以用来计算两个向量之间的夹角、判定向量是否垂直以及计算向量的模长等问题。

以下是一些解决数量积问题的技巧：1.1 向量坐标法当给定两个向量的坐标时，可以直接利用数量积的定义公式$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y $来计算数量积。

其中，$ \vec{a} = (a_x, a_y) $ 和 $ \vec{b} = (b_x,b_y) $ 分别表示两个向量的坐标。

1.2 向量解法在某些情况下，我们可以将两个向量表示为已知向量的线性组合。

例如，已知向量 $ \vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} $ 和 $ \vec{b} = 4\vec{i} - \vec{j} $，我们可以利用数量积的性质，将向量的线性组合展开并计算数量积：$ \vec{a} \cdot \vec{b} = (2\vec{i} + 3\vec{j}) \cdot (4\vec{i} - \vec{j}) = 8 + (-3) = 5 $2. 向量积的计算技巧向量积，也被称为叉积或外积，可以用来计算两个向量之间的夹角、判定向量是否共线以及计算向量的面积等问题。

以下是一些解决向量积问题的技巧：2.1 行列式法对于平面向量 $ \vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} $ 和 $ \vec{b} =b_x\vec{i} + b_y\vec{j} $，利用向量积的定义公式$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} \\ a_x &a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix} = (a_xb_y - a_yb_x)\vec{k} $可以通过行列式的运算求得向量积。

平面向量教学中的基底与坐标

平面向量教学中的基底与坐标平面向量是高中数学中的重要内容，也是高等数学中的基础知识。

在平面向量的教学中，基底和坐标是两个重要的概念，对于学生理解平面向量的性质和运算有着至关重要的作用。

本文将从基底和坐标的概念、基底变换和坐标变换的方法、基底和坐标在向量运算中的应用等方面进行探讨。

二、基底和坐标的概念1.基底的概念基底是指一个向量空间中的一组线性无关向量，它可以用来表示该空间中的任意向量。

在平面向量的教学中，我们通常会选取两个线性无关的向量作为基底，它们可以表示平面上的任意向量。

2.坐标的概念坐标是指用一个有序数对表示向量在基底上的投影长度。

在平面向量的教学中，我们通常会将两个基底分别表示为单位向量，然后用一个有序数对表示向量在这两个单位向量上的投影长度，这个有序数对就是向量的坐标。

三、基底变换和坐标变换的方法1.基底变换的方法基底变换是指将一个向量空间中的基底替换为另一个基底的过程。

在平面向量的教学中，我们通常会用一组基底的线性组合来表示另一组基底，这个线性组合的系数就是基底变换矩阵。

例如，如果我们要将一个向量空间的基底从{e1,e2}变换为{f1,f2}，那么我们可以用f1=a1e1+b1e2和f2=a2e1+b2e2来表示{f1,f2}，这里的a1、a2、b1、b2就是基底变换矩阵的系数。

2.坐标变换的方法坐标变换是指在不改变向量本身的情况下改变向量的坐标表示。

在平面向量的教学中，我们通常会用新的基底表示向量，然后再用新的基底计算向量的坐标，这个过程就是坐标变换。

例如，如果我们要将一个向量在{e1,e2}基底下的坐标(x,y)转换为在{f1,f2}基底下的坐标(x',y')，那么我们可以先将向量表示为x*e1+y*e2，然后将e1和e2表示为f1和f2的线性组合，最后计算出x'和y'。

四、基底和坐标在向量运算中的应用1.向量加法和减法在平面向量的加法和减法中，我们通常会将两个向量的坐标相加或相减，然后再用新的坐标表示向量。

平面向量的数量积在几何图形上的应用

1
=2
,B(0,0),C(2a,0),D
,∴ - ,-
2
1
=2(2a-x,-y)=
4
- = - ,
= ,
2
3
则 2
即

4 ∴E
- = - 2 ,
=3 ,
4
4
3
,
4
3
4 2
,∴=
4
3
,
4
3
,
∵BE⊥CD,∴· =0,∴ a·(-a)+ ·=0,解得 a2= 2,
3
∴ · =(-a,0)· ,-
DPB＝－cos ∠DPC＝－
1
－
＝1× 5×
5 ＝－1.
→ →
→ →
1
，∴PB ·PD ＝|PB ||PD|cos ∠DPB
5
法二：以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立如图所
示的平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，
→ 1 → →
1
= ,BE⊥CD,则 · =
2
- 2
.
解析如图,以 B 为坐标原点,BC,BA 所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,
2
设|AD|=a(a>0),则|BC|=2a.又 S△ABD=1,∴|AB|= ,∴A 0,
设 E(x,y),则 = - ,
2
, =(2a-x,-y).∵
4
1
3
1
1
3
4
4
3
+ , · = + ·- +
=
1
3
D.7

高考微专题平面向量问题常用处理方法归纳

1 【高考微专题】“越过千山，大道至简” ——平面向量常用处理方法归纳【主要内容】平面向量常用处理方法：基底法、平方法、投影法、解析法、数形结合、综合分析等.拓展内容有：极化恒等式、等和线等内容. 【互动精讲】 1、基底法在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.【例1.1】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则__________．【答案】16-【解析】方法一：基底法()()()1625092-=-+=⋅++⋅+=+⋅+=⋅MC MB MC MB AM AM MC AM MB AM AC AB方法二：极化恒等式法161004194122-=⋅-=-=⋅AM【例1.2】已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则（）A.B. C. D.【答案】C 【解析】方法一：基底法()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-⋅-=+⋅+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=⋅32111321DC AD BC AB AF AE μλμλ， ()()⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-++-∴3111242μλλμλμμλAB AC ⋅=ABCD 120BAD ,E F ,BC DC BE BC DF DC 1AE AF 23CE CF 1223567122 令μλ+=x ，λμ=y ，则原式可化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-3111242x y y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==6165y x ，65=+∴μλ. 方法二：解析法建立如图所示直角坐标系，则：()0,2B ，()3,1C ，()3,1-D ，又 BC BE λ=，DC DF μ=，易得()λλ3,2-E ，()3,12-μF ()1224=--+=⋅∴λμμλAF AE ， ()32222-=--+=⋅λμμλCF CE ，下同方法一. 65=+∴μλ 【练习1.1】已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.【答案】5【提示】本题仍然推荐基底法和坐标法，可令DC DP λ=，当43=λ时取得最小值5.【练习1.2】如图，△ABC 是边长为32的等边三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上的任意一点，则BP AP ⋅的取值范围是 .【答案】[]13,1【提示】本题可以使用基底法和极化恒等式两种方法处理，当然也可以使用解析法处理.. 2、平方法在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律，即22||a a =. 【例2.1】设,a b 是两个非零向量，( )ABCD AD BC 090ADC ∠=2,1AD BC ==P DC 3PA PB +CABP3 A ．若||||||a b a b +=-，则a b ⊥ B ．若a b ⊥，则||||||a b a b +=- C ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ= D ．若存在实数λ，使得b a λ=，则||||||a b a b +=- 【答案】C 【解析】方法一：平方法对式子||||||b a b a -=+进行两边平方处理，易得：1,cos -=b a ，即向量a 与b 反向，而“存在实数λ，使得b a λ=”表示向量a 与b 共线，故选项C 正确. 方法二：三角不等式由三角不等式||||||||b a b a +≤-等号成立的条件是向量a 与b 反向，下同方法一.【例2.2】11. 如图，在△ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 的中点，P 为CD 上一点，且满足AP t AC =13AB +，若△ABC 的面积为33，则||AP 的最小值为【答案】2【解析】由AP t AC =13AB +，点D 为AB 的中点，易得：AD AC t AP 32+=，又P D C 、、三点共线，31=∴t ， AB AC AP 3131+=∴，则A AC AB AB AC AB AC AP cos ||||2313131||222++=⎪⎭⎫⎝⎛+=，又233sin ||||21==∆A AC AB S ABC ，∴6||||=AC AB ， 26||||2316||||31||22=+≥++=∴AC AB AC AB AP ，当且仅当6||||==AC AB 时取等号.4 【练习2.1】设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈.若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于__________．【答案】2【提示】平方法转化成二次函数最值问题，数形结合也可处理【练习2.2】设为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数，||b ta +的最小值为1（） A.若确定，则||a |唯一确定 B.若确定，则||b 唯一确定 C.若||a 确定，则唯一确定 D.若||b 确定，则唯一确定【答案】B 【提示】平方法转化成一次二此不等式恒成立问题，或使用数形结合方法处理. 3、投影法平面向量数量积（点乘）：||||cos ,a b a b a b ⋅=<>①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值； ②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影； ③b 在a 上的投影是||cos ,.b a b <> ④投影有正有负，正负代表投影的位置.【例3.1】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为（）A. 7B. 5C. 3D. 1【答案】C 【解析】i AP 在向量AB 上的投影有三种情况，分别是52 AP AP 、的投影是0，1AP ，3AP ，6AP 的投影是1，4AP ，7AP 的投影是2，所以共有三个不同的结果，故选C.【例3.2】如图，在等腰直角ABO ∆中，1,OA OB C ==为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设,,OA a OB b OP p ===，则()p b a -等于( )A ．12-B.12θt θθθθ(1,2,,7)i P i =(1,2,,7)i AB AP i ⋅=5 C ．32-D. 32【答案】A 【提示】投影法()2||41||||41-=⋅-=⋅=-⋅，又ABO ∆ 是等腰直角三角形，且1==OB OA ， 2||=∴AB ，∴()21||412-=-=-⋅AB a b p .【练习3.1】已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则．【答案】332【提示】方法一：投影法由题意知1||||21==e e ，又121=⋅=⋅e e ，由向量数量积的几何意义，可知b 在1e 与2e 上的投影均为1，又2121=⋅e e ，321π=e e ，则向量b 如图所示，由几何关系易得332||=方法二：坐标法建立如图所示的直角坐标系，设()y x b ,=易得：()0,11=e ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23,212e ，121=⋅=⋅b e b e ，可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=12321y x x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==331y x 332||=∴ 方法三：数形结合 121=⋅=⋅b e b e ， 01cos ||||cos ||||2211>==∴θθe e ，1e 2e 1212e e ⋅=b 121b e b e ⋅=⋅=b =6 21θθ=∴，又2121=⋅e e ，321π=e e ， 621πθθ==∴或65π（舍）代回已知11=⋅e ，易得332||=b 【练习3.2】在ABC 中，5BC =，G ，O 分别为ABC 的重心和外心，且5OG BC ⋅=，则ABC 的形状是（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【提示】方法一利用重心和外心的性质，利用投影的思想来处理5=⋅这个条件，方法二利用基底代换，把条件5=⋅转化为余弦定理形式来判断C ∠为钝角. 4、坐标法几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。

专题03 “三法”解决平面向量数量积问题(解析版)

2020高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第二篇三角与平面向量专题03 “三法”解决平面向量数量积问题一．方法综述平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青睐，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析．本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧.二．解题策略类型一投影定义法【例1】【2020·山东寿光现代中学月考】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u v u u u v的最小值为（）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD V 为等边三角形，3BD =。

设(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u vAE BE ⋅u u u v u u u v 223()()()2AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =233322t t -+(01)t ≤≤，所以当14t =时，上式取最小值2116，选A.【指点迷津】1、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b r r 数量积公式为cos a b a b θ⋅=r r r r，可变形为()cos a b a b θ⋅=⋅r r r r 或()cos a b b a θ⋅=⋅r r r r ，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b r r 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅r r r r r（记a b λ→r r 为a r 在b r 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：a b a b bλ→⋅=r r r r r 即数量积除以被投影向量的模长2、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题【举一反三】【2020·海南文昌一中期末】在ABC ∆中，22AB AC ==，,P Q 为线段BC 上的点，且BP PQ QC ==u u u r u u u r u u u r .若59AP AQ ⋅=u u u r u u u r ，则BAC ∠=（） A ．150oB ．120oC ．60oD ．30o【答案】B 【解析】不妨设||||||,3BP PQ QC x BC x ===∴=u u u r u u u r u u u r()()AP AQ AB BP AC CQ AB AC BP AC AB CQ BP CQ∴⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22252cos 395cos 18AB AC BP AC AB BP BP BP AB AC BP BC BP BPABC x x ABC x =⋅+⋅-⋅-⋅=⋅+⋅-⋅=∠+-=∴∠=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 由余弦定理：2419cos 4x ABC +-∠=联立得到：3x = 1cos 1202o ABC ABC ∴∠=-∴∠=，故选B 类型二基底法【例2】【2020·赣州三中月考】在直角ABC ∆中，M ，N 是斜边BC 上的两个三等分点，已知ABC ∆的面积为2，则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为（）.ABC ．1615D ．169【答案】D【解析】由题,设点M 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点, 则121333AM AB BM AB BC AB AC =+=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 112333AN AC CN AC BC AB AC =+=-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以2221122523333999AM AN AB AC AB AC AB AB AC AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 因为直角ABC V ,所以AB AC ⊥,则0AB AC ⋅=u u u r u u u r ,因为122ABC S AB AC =⋅=V u u u r u u u r ,则4AB AC ⋅=u u u r u u u r ,所以2228AB AC AB AC +≥⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,当且仅当2AB AC ==u u u r u u u r 时等号成立,所以216899AM AN ⋅≥⨯=u u u u r u u u r ,故选D 【指点迷津】1.遇到几何图形中计算某两个向量,a b r r 数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（,a b r r 模长，夹角），那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将,a b r r 两个向量表示出来，进而进行运算.这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法.2.如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了.所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知.常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.【举一反三】【2020·江苏金陵中学开学考试】在等腰ABC ∆中，已知底边2BC =，点D 为边AC 的中点，点E 为边AB上一点且满足2EB AE =，若12BD AC ⋅=-u u u r u u u r ，则ECAB ⋅=u u u r u u u r _____．【答案】43 【解析】D Q 为AC 的中点，()()111222BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC ∴=+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u u u u u r u u u r u u u u r u u r u u u r r u ur ， AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r ，()()()22111222BD AC BC BA BC BA BC BA ∴⋅=+⋅-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2221BA -=-u u u r ，可得5BA =u u u r ， ()22222AC BC BA BC BA BC BA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，2122BA BC BC ∴⋅==u u u r u u u r u u u r ， ()22224523333EC AB BC BE AB BA BC BA BA BC BA ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⋅=-⋅=⨯-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .类型三坐标法【例3】【2020广西大学附属中学月考】在四边形ABCD 中，AD BC ∥，23AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u v u u u v __________.【答案】1-.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则(23,0)B ，535(,)22D ．因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BE的斜率为3，其方程为3(23)y x=-，直线AE的斜率为33-，其方程为33y x=-．由3(23),333y xy x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x=，1y=-，所以(3,1)E-．所以35(,)(3,1)12BD AE=-=-u u u r u u u rg g．【指点迷津】常见的可考虑建系的图形：（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形（2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形（3）具备特殊角度的图形（30,45,60,120o o o o等）【举一反三】【2020河北邯郸一中期末】如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，点P是MD的中点，若2AB=u u u r，1AD=u u u r，且60BAD∠=o，则AP CP⋅=u u u r u u u r_________MDA BP【答案】178-【解析】思路：本题抓住60BAD∠=o这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由2AB=u u u r，1AD=u u u r可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解解：以AB 为x 轴，过A 的垂线作为y 轴可得：()1352,0,,,,3222B D C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭53733,,,4488M P ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7331353,,,8888AP CP ⎛⎫⎛⎫∴==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r71333531788888AP CP ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅-+⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r答案：178-三．强化训练1.【2019·广东顺德一中月考】如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=u u u r u u u r （）A 3B ．3C ．3-D ．-3【答案】A【解析】由题知()()2AC AD AD DC AD AD DC AD ⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为)3331BC BD BD DC BD DC BD =⇒+=⇒=，所以))131131AC AD BD AD DB DA ⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又因为cos1 DB DA DB DA ADB ⋅=⋅∠= u u ur u u u r u u u r u u u r，所以()1313AC AD⋅=+-=u u u r u u u r，故选A. 2．【2020·天津市和平区二中月考】在ABCV中，60A∠=︒，3AB=，2AC=. 若2BD DC=u u u v u u u v，()AE AC AB Rλλ=-∈u u u v u u u v u u u v，且4AD AE⋅=-u u u v u u u v，则λ的值为______________.【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC⋅=⨯⨯==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC ABλλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r3．【2020·江苏徐州一中月考】如图，在ABCV中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE 交于点O.若6AB AC AO EC⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v，则ABAC的值是_____.【答案】3.【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE=-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫=-+=-+=⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g，得2213,22AB AC=u u u r u u u r即3,AB=u u u r u u r故3ABAC=4．【2020·海南东方一中期末】设ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且满足OA OB OB OC OC OA⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则||||()OB OA OB OC R λλλ-+-∈u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为________. 【答案】23. 【解析】由题意可知,向量,,OA OBOC u u u r u u u r u u u r的模都等于2, 因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 两两间的夹角为120°, 由几何意义可知,要求||||OB OA OB OC λλ-+-u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值,即求直线OB 上的点M 到,A C 两点间的距离之和的最小值,显然当,,A M C 三点共线时,点M 到,A C 两点的距离的和最小,设||||OB OA OB OC m λλ-+-=u u u r u u u r u u u r u u u r ,由余弦定理可得22min 22222cos12023m AC ︒==+-⨯⨯⨯=.5．【2020·江苏亳州一中月考】）在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PA PB PB PC⋅⋅uu u r uu u r uu u r uuu r =____ 【答案】12- 【解析】因为PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴PA PB PC PB PA ++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴2PC PA =-u u u r u u u r ；P ∴，A ，C 三点共线，如图所示，∴||2||PC PA =u u u r u u u r ； ()cos cos cos 12cos cos cos PA PB APB PA APB PA APB PA PB PB PC PB PC CPB PC APB PC APBπ⋅∠∠∠⋅∴====-⋅⋅∠-∠-∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r6．【2020陕西宝鸡一中期中】在ABC V 中，3AB =，4BC =，2AC =，若点O 为ABC V 的重心，则AO AC ⋅u u u r u u u r 的值为________.【答案】56【解析】取BC 中点为D ，Q 点O 为ABC V 的重心，23AO AD ∴=（重心的性质）， 23AO AD ∴=u u u r u u u r ，由余弦定理得：2223241cos 2234BAC +-∠==-⨯⨯， ()2211()333AO AC AD AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 115234346⎡⎤⎛⎫=⨯⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 7．【2020黑龙江大庆一中期末】如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB =，以AB 为直径在ABC V 外作半圆O ，P 是半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若2AB AQ ⋅=u u u r u u u r ，则AQ CP ⋅u u u r u u u r 的取值范围是________.【答案】21,0⎡⎤--⎣⎦【解析】取AB 中点为O ，建立如下图所示的直角坐标系则(1,0),(1,0)(1),,2A B C ---，设POB θ∠=，[0,]θπ∈，则(cos ,sin )P θθ0(2)11(1)BC k --==--，则:1BC y x =- 设点(,1),[1,1]Q m m m -∈-，则(2,0),(1,1)AB AQ m m ==+-u u u r u u u r22(1)20AB AQ m m ⋅=⇒+=⇒=u u u r u u u r ，(1,1)AQ ∴=-u u u r(cos 1,sin 2)CP θθ=++u u u r Qcos 1sin 2sin cos 12sin 14AC CP πθθθθθ⎛⎫∴⋅=+--=-+-=--- ⎪⎝⎭u u u r u u u r [0,]θπ∈Q ，3,444πππθ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，则当44ππθ-=-，即0θ=时，AC CP ⋅u u u r u u u r 取最大值22102⎛⎫-⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭ 当42ππθ-=，即34πθ=时，AC CP ⋅u u u r u u u r 取最小值21121-⨯-=-- 则AQ CP ⋅u u u r u u u r 的取值范围是21,0⎡⎤--⎣⎦ 8．【2020甘肃武威一中期中】如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC =u u u r u u u r ，2DE EB =u u u r u u u r ，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=-u u u r u u u r ，则AE AC ⋅=u u u r u u u r ____.【答案】229【解析】如图，过点D 做DG AF P ,易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =, 12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：16EF AF =，同理：12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得15BF BC =, 1141()5555AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 由45AF BC ⋅=-u u u r u u u r ，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +⋅-=-+⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,可得：14244422cos 5555BAC ⨯-⨯+⨯⨯∠=-,可得：2cos 3BAC ∠=， 255412122122()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 9.【2020云南德宏一中期末】等腰ABC ∆中，23ACB π∠=，1CA =，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点P 是ABC ∆（包括边界）内一点，则AE =u u u r ______；AE DP ⋅u u u r u u u r 的最大值为______.98 【解析】在等腰ABC ∆中，23ACB π∠=，1CA =，所以1CA BC ==，因为E 分别是边BC 的中点，所以1122EC BC ==，在ACE △中，120ACE ︒∠=，222221112cos120121222AE AC CE AC CE ︒⎛⎫⎛⎫∴=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭171244=++=，AE ∴=u u u r ；建立直角坐标系如下图所示，则,A B ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1(0,0),2D E ⎫⎪⎪⎝⎭，设(,)P x y，则1,(,)4444y AE DP x y x ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，又直线AC的方程是12y x =+，直线BC的方程是12y x =+，所以,x y 满足1021020x y x y y -+≥⎪⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎪⎪⎩，令4y Z x =+，则4y Z =-+，当直线过点B ⎫⎪⎪⎝⎭，Z 有最大值98,所以AE DP ⋅u u u r u u u r 的最大值为98.10．【2020湖北宜昌一中期末】在边长为8正方形ABCD 中，点M 为BC 的中点，N 是AD 上一点，且3DN NA =，若对于常数m ，在正方形ABCD 的边上恰有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=u u u u r u u u r ，则实数m 的取值范围为______.【答案】(1,8)-【解析】以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则(8,4)M ，(0,2)N ，（1）当点P 在AB 上时，设(,0)P x ，08x ≤≤，∴(,2)PN x =-u u u r ，(8,4)PM x =-u u u u r ，∴288PM PN x x ⋅=-+u u u u r u u u r ，∵08x ≤≤，∴88PM PN -≤⋅≤u u u u r u u u r ．∴当8m =-时有一解，当88m -<≤时有两解；（2）当点P 在AD 上时，设(0,)P y ，08y <≤，∴(0,2)PN y =-u u u r ，(8,4)PM y =-u u u u r ， ∴268PM PN y y ⋅=-+u u u u r u u u r ，∵08y <≤，∴124PM PN -≤⋅≤u u u u r u u u r ，∴当1m =-或824m ≤≤时有一解，当18m -<<时有两解；（3）若P 在DC 上，设(,8)P x ，08x <≤，∴(,6)PN x =--u u u r ，(8,4)PM x =--u u u u r ，∴2824PM PN x x ⋅=-+u u u u r u u u r，∵08x <≤，∴824PM PN ≤⋅≤u u u u r u u u r ．∴当8m =时有一解，当824m <≤时有两解；（4）当点P 在BC 上时，设(8,)P y ，08y <<，∴(8,2)PN y =--u u u r ，(0,4)PM y =-u u u u r， ∴268PM PN y y ⋅=-+u u u u r u u u r ，∵08y <<，∴124PM PN -≤⋅<u u u u r u u u r，∴当1m =-或824m <<时有一解，当18m -<<时有两解，综上，在正方形ABCD 的四条边上有且只有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=u u u u r u u u r 成立，那么m 的取值范围是(1,8)-.。

巧用基底法和坐标法解决平面向量数量积问题

巧用基底法和坐标法解决平面向量数量积问题作者：顾俊华来源：《教育教学论坛》2013年第23期摘要：本文主要介绍了在求平面向量数量积时的两种常用的方法：基底法和坐标法，对这两种方法的使用条件做了适当的阐述，并通过对比对这两种方法之间的差异和联系进行了适当的分析.关键词：数量积；基底法；坐标法中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）23-0084-02平面向量在高考中占有非常重要的地位，它不仅可以单独命题，也可以与函数、方程、不等式、三角函数以及解析几何相结合来考查，充分体现了平面向量作为一种工具在教材中的突出地位.而数量积作为平面向量的核心内容也就成为了各类考试的必出题.我们知道数量积ab在知道两个向量的模和夹角时只需利用其定义∣a∣∣b∣cos来求，或者在知道两个向量的坐标a=（x1，y1），b=（x2，y2），时可用坐标公式ab=x1x2+y1y2来求即可，但是很多问题中要求数量积的两个向量并不具备上述条件，比如：例1：在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是BC上一点，CD=2BD，则？摇■·■=？摇？摇分析：该题直接用定义■·■=∣■∣·∣■∣cos∠ADC求解虽说可行，但运算烦琐.我们换个角度考虑，题中已知两向量■和■的模和夹角，意味着它们的数量积值很容易求，因此如能用这两个向量作为基底表示■和■，进而转化成基底之间的数量积运算（可称之为基底法），那么这道题就容易解决了.解法如下：解：■·■=（■+■）·（■-■）=（■+■■）·（■-■）=（■■+■■）·（■-■）=■■2+■■·■-■■2=-■其实很多能用基底法解决的数量积问题如果能够合理建系，利用坐标求数量积（可称之为坐标法），也不失为一种好办法.解答如下：解：建系如图，易得A（0，0），B（2，0），C（-■，■），由■=■+■=■+■■可得■=（■，■），又■=（-■，■），即得=■·■=-■.我们再细细琢磨一下，不难发现，其实坐标法不过是基底法的特殊化，就是单位正交基底法，而用坐标来处理之后的几何问题在求解过程中，特别是在求某个点的坐标时，我们可以运用直线方程求交点的办法来处理，这样会更加自然，可操作性强.比如：例2：在△ABC中，A=60°，AB=3，AC=2，D是AC中点，点E在AB边上，且AE=■EB，BD与CE交于点M，N是BC的中点，则■·■？摇=分析：该题与例1的共同点就是题中已知两个向量的模及其夹角，即有了基底，所以基底法可行，解答如下：解：取CE中点F，连接DF，易得■=■，又AE=■EB，故■=■，因此■=■，即■=■■，又■=■-■=■■-■，所以有■=■+■=■■+■■，又■=■（■+■），即得■·■=■=■.再来用坐标法：解：建系如图，易得A（0，0），B（3，0），C（1，■），D为AC中点，故D（■，■），AE=■EB，则E（1，0），同样N为BC中点，则N（2，■），接下来就缺M点坐标了.思路①同上法，■=■■，则■=■+■=（1，■）（对学生平面几何知识要求较高）；思路②用直线CE与BD方程求交点M的坐标（学生最容易想到，体现了解几思想）.综上■·■=（1，■）·（2，■）=■.以上两题所给条件，我们可能会首选基底法，而不大会先考虑建系用坐标法，因为不是正交基底，但是一旦出现正交基底，我们肯定第一反应就是选择坐标法，这也是情理之中的事情.比如：例3：在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足■=■，则■·■的取值范围是分析：由于题中出现了矩形即∠A=90°，向量■和■的模都已知，所以很容易想到建系，解答如下：解：建系如图，易得A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），设■=■=x∈[0，1]，则M（2，x），N（2-2x，1），故■·■=4-3x∈[1，4].例4：已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则∣■+3■∣的最小值为解：建系如图，易知D（0，0），A（2，0），设CD=m>0，则C（0，m），B（1，m），再设P（0，p），p∈[0，m]，则易得■=（2，-p），■=（1，m-p），因此有∣■+3■∣=∣（5，3m-4p）∣=■，显然当p=■m∈[0，m]时，∣■+3■∣min=5.由此可见，基底法和坐标法在平面向量数量积的运算过程中有着非常重要的作用，如果我们能够在平时的教学过程中，不断地强化这两种思想方法的运用，并让学生仔细体会它们之间的联系和区别，熟练掌握，那么学生对类似问题的处理便有了有效的方法和足够的解决问题的信心，这对于提高学生解题能力和学习成绩将会有很大帮助.。

基底法求向量数量积

基底法求向量数量积基底法是高中数学中求向量数量积的一种方法。

在学习这个方法之前，我们需要先了解什么是向量和什么是数量积。

一、向量向量是数学中的一个重要概念，它表示有大小和方向的量。

在平面直角坐标系中，向量通常用有向线段来表示。

在三维空间中，向量通常用有向线段或三元组表示。

二、数量积数量积又称点积，是两个向量在数值上进行的一种运算。

它的结果是一个标量（实数），可以表示两个向量的夹角关系。

在进行向量数量积的计算时，有一个很重要的概念，就是基底。

接下来我们将介绍基底法求向量数量积的步骤。

三、基底基底是指向量空间中的一组向量，它们可以用来表示向量空间中的任意向量。

在平面直角坐标系中，通常选择$i$、$j$两个互相垂直的单位向量作为基底。

在三维空间中，通常选择$i$、$j$、$k$三个相互垂直的单位向量作为基底。

四、基底法1. 列出基底向量的坐标在求两个向量的数量积时，我们首先需要列出它们的基底向量在坐标系中的坐标值。

对于平面直角坐标系中的向量$\boldsymbola(x_1,y_1)$和$\boldsymbol b(x_2,y_2)$，它们的基底向量可以表示如下：$$ \boldsymbol a=x_1\boldsymbol i+y_1\boldsymbol j $$$$ \boldsymbol b=x_2\boldsymbol i+y_2\boldsymbol j $$2. 利用分配律展开将两个向量展开之后，我们可以利用分配律将其数量积展开。

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巧用基底法和坐标法解决平面向量数量积问题
摘要：本文主要介绍了在求平面向量数量积时的两种常用的方法：基底法和坐标法，对这两种方法的使用条件做了适当的阐述，并通过对比对这两种方法之间的差异和联系进行了适当的分析.
关键词：数量积；基底法；坐标法
中图分类号：g633.6 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2013）23-0084-02
平面向量在高考中占有非常重要的地位，它不仅可以单独命题，也可以与函数、方程、不等式、三角函数以及解析几何相结合来考查，充分体现了平面向量作为一种工具在教材中的突出地位.而数量积作为平面向量的核心内容也就成为了各类考试的必出题.
我们知道数量积ab在知道两个向量的模和夹角时只需利用其定义∣a∣∣b∣cos来求，或者在知道两个向量的坐标a=（x1，y1），b=（x2，y2），时可用坐标公式ab=x1x2+y1y2来求即可，但是很多问题中要求数量积的两个向量并不具备上述条件，比如：
例1：在△abc中，∠bac=120°，ab=2，ac=1，d是bc上一点，cd=2bd，则？摇■·■=？摇？摇
分析：该题直接用定义■·■=∣■∣·∣■∣cos∠adc求解虽说可行，但运算烦琐.我们换个角度考虑，题中已知两向量■和■的模和夹角，意味着它们的数量积值很容易求，因此如能用这两个向量作为基底表示■和■，进而转化成基底之间的数量积运算（可称之为基底法），那么这道题就容易解决了.解法如下：
解：■·■=（■+■）·（■-■）
=（■+■■）·（■-■）
=（■■+■■）·（■-■）
=■■2+■■·■-■■2=-■
其实很多能用基底法解决的数量积问题如果能够合理建系，利用坐标求数量积（可称之为坐标法），也不失为一种好办法.解答如下：解：建系如图，易得a（0，0），b（2，0），c（-■，■），
由■=■+■=■+■■可得■=（■，■），又■=（-■，■），即得=■·■=-■.
我们再细细琢磨一下，不难发现，其实坐标法不过是基底法的特殊化，就是单位正交基底法，而用坐标来处理之后的几何问题在求解过程中，特别是在求某个点的坐标时，我们可以运用直线方程求交点的办法来处理，这样会更加自然，可操作性强.比如：
例2：在△abc中，a=60°，ab=3，ac=2，d是ac中点，点e在ab边上，且ae=■eb，bd与ce交于点m，n是bc的中点，则■·■？摇=
分析：该题与例1的共同点就是题中已知两个向量的模及其夹角，即有了基底，所以基底法可行，解答如下：
解：取ce中点f，连接df，易得■=■，又ae=■eb，故■=■，因此■=■，即■=■■，又■=■-■=■■-■，所以有■=■+■=■■+■■，又■=■（■+■），即得■·■=■=■.再来用坐标法：解：建系如图，易得a（0，0），b（3，0），c（1，■），d为ac
中点，故d（■，■），ae=■eb，则e（1，0），同样n为bc中点，则n（2，■），接下来就缺m点坐标了.
思路①同上法，■=■■，则■=■+■=（1，■）（对学生平面几何知识要求较高）；
思路②用直线ce与bd方程求交点m的坐标（学生最容易想到，体现了解几思想）.
综上■·■=（1，■）·（2，■）=■.
以上两题所给条件，我们可能会首选基底法，而不大会先考虑建系用坐标法，因为不是正交基底，但是一旦出现正交基底，我们肯定第一反应就是选择坐标法，这也是情理之中的事情.比如：
例3：在矩形abcd中，边ab、ad的长分别为2、1，若m、n分别是边bc、cd上的点，且满足■=■，则■·■的取值范围是
分析：由于题中出现了矩形即∠a=90°，向量■和■的模都已知，所以很容易想到建系，解答如下：
解：建系如图，易得a（0，0），b（2，0），c（2，1），d（0，1），设■=■=x∈[0，1]，则m（2，x），n（2-2x，1），故■·■=4-3x ∈[1，4].
例4：已知直角梯形abcd中，ad∥bc，∠adc=90°，ad=2，bc=1，p是腰dc上的动点，则∣■+3■∣的最小值为
解：建系如图，易知d（0，0），a（2，0），设cd=m>0，则c（0，m），b（1，m），再设p（0，p），p∈[0，m]，则易得■=（2，-p），■=（1，m-p），因此有∣■+3■∣=∣（5，3m-4p）∣=■，显然当
p=■m∈[0，m]时，∣■+3■∣min=5.
由此可见，基底法和坐标法在平面向量数量积的运算过程中有着非常重要的作用，如果我们能够在平时的教学过程中，不断地强化这两种思想方法的运用，并让学生仔细体会它们之间的联系和区别，熟练掌握，那么学生对类似问题的处理便有了有效的方法和足够的解决问题的信心，这对于提高学生解题能力和学习成绩将会有很大帮助.。