常数项级数的概念
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常数项级数的概念和性质
∞
lim u n = lim ( S n − S n −1 )
n →∞ n →∞
= lim S n − lim S n −1
n →∞ n →∞
= S −S =0
例4. 判别 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
n 的敛散性. n +1
(−1) n −1 n = 1, 解：由于 lim | u n |= lim n →∞ n →∞ n +1
一、问题的提出
1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 + a 2
n 正 3 × 2 形的面积 a1 + a 2 + L + a n
R
即 A ≈ a1 + a2 +L+ an 1 3 3 3 3 2. = + + +L+ n +L 3 10 100 1000 10
二、常数项级数的概念
n =1 ∞
S n = ∑ u k = u1 + u 2 + L + u n ,
k =1
n
称为常数项级数的部分和. 若 lim S n = S 存在，则称级数 ∑ u n 收敛， n →∞
n =1 ∞
∑ S称为级数的和： u n = S .
n =1
∞
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 = 3, 3 ; 面积为 A1 = 4 第一次分叉： 第一次分叉：
1.常数项级数的定义 1.常数项级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达式
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u 2 + L + u n + L
常数项级数的概念和性质
3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可 以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这 种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可 积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数 的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几 个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无 穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学 行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来 表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和 计算电路中的电流、电压和功率等参数 ，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程 等领域有广泛的应用，如傅里叶 分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致 收敛、逐点收敛等。
高等数学11-1常数项级数的概念和性质
讨论1 事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
lim (S2nSn)0
n
但
S2nSnn1 1n 12n1 3 2 1 n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
23
讨论2
在区间[n，n+1]上对函数lnx使用拉格朗日中值定理，
于 是 利 ln 用 (n不 1 等 ) 式 ln 有 n1 n1 n (nnn1)
每项均大于 1
2 m项
2
即m 前 1项大 (m于 1)1 2 级数发. 散
由性质4推论,调和级数发散.
25
例6. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
(1) n1ennnn! ; (2) n 1n33n122n; (3) n12n2n1.
解: (1)
令
un
enn nn
!
,
则
(1n1)n e
e n1 (n 1)!
Snkn1k33k122k 1 2kn 1k(k11)(k1)1k(2)
1 2112(n1)1(n2)
进行拆项相消
limSn
n
1, 4
这说明原级数收(敛2)
,n 其1和n3为314 n1. 22n
27
(3) Sn
12SnSn1 2232253 2
n 2
n
1
1 22 3 22 5 3 2n 2n 1 2 1 22 3 32 5 4 2 2 n n 1 1
n时,这个和逼近于圆的面积 A . 即 A a 0 a 1 a 2 a n
引 2 .例 1 3 1 3 0 1 30 13 00 0 1 0 3 n 0 3
定义：给定一个数列 u 1 ,u 2 ,u 3 , ,u n , 将各项依
常数项级数的概念和..
n1
n1
如果 {sn } 没有极限， 则称级数 un 发散．
n1
例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
n(n 1) . 2
lim
n
sn
lim
n
n(n 1) 2
,
∴所给级数是发散的.
3
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列{sn } 有 极 限s，
3
7
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习
判定级数
5 3
52 32
53 33
(1)n
5n 3n
的敛散性.
解 为等比级数，公 比q 5 . 3
| q | 1, 该级数发散.
n0
(a 0, q为 公 比) 的 收 敛 性.
解
若q
q
1,
1时, sn
则 lim q n n
a aq aq2 aqn1
0，
lim
n
sn
a， 1q
1 qn
a
.
1q
级数收敛.
若 q 1,
则 lim q n n
，
lim
n
sn
，级数发散．
q 1时,
若q 1,
则
lim
n
sn
lim na
n
，级数发散，
若
q
1,
则lim n
常数项级数
n=1
ρ > 1 时, lim an ≠ 0,因而 an发散 ∑
n→∞ n=1
∞
根值判别法
设
∑a
n=1
∞
n 为正项级数
, 且 lim
n
n
n→ ∞
an = ρ
则 (1 ) ρ < 1 时 ,
∑a
n=1 ∞
∞
收敛 ,
( 2 ) ρ > 1 时 , ∑ a n 发散 . n=1 ρ 1 , 注 : 根值判别法对 = 1的情形没有下任何结论
, 比值判别法无效 且比值判别法不是充要 . 条件 2 : 由根值判别法的证明过 程可见： 程可见：
ρ > 1 时, lim an ≠ 0,因而 an发散 ∑
n→∞ n=1
∞
积分判别法
且单减， 设 (1) f在[1,+∞ )上连续 , f ≥ 0且单减， ( 2) an = f ( n) ( n = 1,2,K),
与条件收敛 常数项级数的绝对收敛
定义： 定义：
, , 若绝对值级数 an 收敛 则称级数 an绝对收敛 ∑ ∑
n=1 n=1
∞
∞
, , 若级数 an收敛 但绝对值级数 an 发散 则称级 ∑ ∑
n=1 n=1
∞
∞
. 数∑an条件收敛
n=1
∞
定理
, 若级数 an绝对收敛 则级数 an收敛. ∑ ∑
n=1 n=1
n
为正项级数 , 且
∞
an+1 lim = ρ n→ ∞ a n
则 (1) ρ < 1 时 , ∑ a n 收敛 .
n=1 ∞
( 2 ) ρ > 1 时 , ∑ a n 发散 .
常数项级数的概念
例 判定下列无穷级数的收敛性：
1 1 1
12 23
n(n 1)
解
un
1 n(n 1)
sn
1 1 2
1 23
...
1 n(n 1)
1 1 , n n1
1
1 2
1 2
1 3
...
1 n
n
1
A a1 圆的内接正十二边形的面积为 a1 +a2 ， A a1 a2
圆的内接正二十四边形的面积为 a1 +a2 +a3 . A a1 a2 a3 内接正 3 2n 边形的面积为 a1 a2 an .
A a1 a2
an
A
lim
n
a1
a2
1
所以级数收敛,且和为 1.
1 1 n 1
1n ,
例 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 级数的部分和为
sn
1
2
3
n
n(n 1) 2
,
显然
lim
n
sn
,
因此所给级数发散.
例 无穷级数 aqi a aq aq2 aqi 叫做 i0
an
定义： 如果给定一个数列
u1 , u2 , u3 , , un , ,
那么由这数列构成的表达式
u1 +u2 +u3 + +un +
叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数,记作 ui ,
常数项级数的概念和性质
显然
lim
n
rn
0.
三、级数收敛的必要条件
定理：若级数 un 收敛，则必有 n 1
lim
n
u
n
0.
证
设
un
n1
S,
则
lim
n
S
n
S
lim
n
un
lim (S
n
n
Sn1 )
lim
n
Sn
lim
n
S
n1
SS 0
例4. 判别 (1)n1
n1
n n 1
的敛散性.
解：由于
lim
n
|
u
n
| lim (1)n1 n n n 1
1 3 2
由数学归纳法，得
S 2k
1 k， 2
k=0, 1, 2,
而
lim
k
S
2k
lim
k
1
k 2
故
lim
n
S
n
不存在，即调和级数发散.
四、无穷级数的性质
性质1
若c0为常数，则 un 与 cun 有相同的敛散性，
n 1
n 1
且 cun cun .
n1
n1
n
证
un 的部分和为 Sn
面m项后得到的级数uk 的部分和为S 'k: k m1
S
' k
um1 um2
umk
(u1 u2 um ) um1 um2 umk (u1 u2 um )
Smk Sm
由于Sm当m固定时为一常数，所以
lim
k
S
k
常数项级数的概念和性质
则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ， 即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1
2 . 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S， 所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：
aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un
{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义： 设级数
n
un ， 对应的部分和数列 Sn ，
n 1
若 lim S n S 存在， 则称
un 收敛 ,
n 1
(C)
convergence
n 1 n 1
则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论： 若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1
(un vn )
n 1
( D) .
推论： (C) + (D) => (D)
§9.1常数项级数的概念与性质
un 2
L
)
0.
注：rn un1 un2 L 称为级数 un的余项。 n1
例 7 判定下列级数的敛散性：
n
(1) n ln
n1n11 2(2)[ n1 n
3n
]
定理 2(Cauchy收敛准则)
级数 un收敛的充分要条件为： n1
对于任给的 0,存在正整数N，使当n>N时，对任
意正整数p，总有
（2） 一个收敛级数与一个发散级数逐项相加所组 成的级数一定发散。
性质 3 在级数中去掉或加上有限多项，不改变级数的 敛散性。
如 a1 1,
q1 2
的等比级数1 1 1 1 248
是收敛的，
其和
S
1 1 1
2
，
2
减去它的前五项得到的级数 1 1 1 仍收敛 ， 32 64 128
1
其和
n1
推论1 乘以非零常数不改变级数的敛散性。
性质 2 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与 T ，
n1 n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为S T 。
n1
即：两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
例 6．试问下列说法是否正确，并说明理由或举例。 （1）两个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。
n
n1
称 S 为级数的和，记为 un S 。若部分和 数列Sn
n1
极限不存在，则称级数 un 发散。
n1
例 1.判别级数
1 的敛散性，若收敛，求其和。
n1n(n 1)
例 2. 讨论等比级数（几何级数） aqn (a 0) 的敛散性。
n0
注：
aq
【高数(下)课件】11-1常数项级数的概念和性质
1 1 n n 1 n 2 sn n 2 n 1 n 1 2 2 2 1 2 1 n 故 s lim sn lim( 2 n1 n ) 2 n n 2 2
所以,此级数收敛, 且其和为2.
二、级数的基本性质
性质1 (级数收敛的必要条件) 若 un 收敛，
1 1 1 sn L 1 3 3 5 ( 2n 1 ) ( 2n 1 )
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( )L ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
1 1 sn (1 ) 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 0)的敛散性. 例 讨论级数 n 1
n 3 ln a 是以 ln a 为公比的等比级数, 解 因为 n 1
故 1 当 a e时, | ln a | 1, 级数 收敛. e 1 当0 a 或a e时, | ln a | 1, 发散. e
n 1
u
n 1
n
u1 u2 u3 L un L
(1)
对收敛级数(1), 称差
rn s sn un1 un 2 L un i
rn 0 为级数(1)的余项或余和.显然有 lim n
i 1
当n充分大时, sn s
误差为 | rn |
定义
当n无限增大时, 如果级数 un的部分和
数列sn有极限s, 即 lim sn s. 则称无穷级数
s叫 做 级 数 u 收 敛, 这 时 极 限 u 的 和.
n 1 n
n 1 n
n 1
n
常数项级数的概念和..
a 当 q 1 时 , 收敛 , n n 综上 aq 并且 aq ( q 1). 1 q 5 n 0 n 0 当 q 1 时, 发散.
| q | 1 时, 收敛, a aq aq aq aq n 0 | q | 1 时, 发散. a n 并且 aq ( q 1). ( P 250例 1) 1q n 0
n
n
(a 0, q为公比) 的收敛性.
n 0
q 1 时,
sn lim na ， 若 q 1 , 则 lim 级数发散， n n
若 q 1, 则 lim sn lim[a a ( 1)n1 a ]不存在 ,级数发散.
n n
n 1 1.
n 1
limsn lim ( n 1n
4
例3 讨论等比级数 aqn a aq aq2 aqn
n 1 q 解 q 1 时, sn a aq aq 2 aq n1 a . 1 q a sn ， 级数收敛. q n 0， lim 若 q 1, 则 lim n n 1q n lim sn ，级数发散． 则 lim q ， 若 q 1,
讨论 u1 u2 u3 un ? (有没有和) 转化成讨论 lim sn ? (有没有极限 )
n
1
定义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列 { sn } 有 极 限s，
则称级数 un 收敛， 并 且 un s.
n 1
n 1
如果{ sn } 没有极限，则 称 级 数 un 发 散 ．
n 1
11-1常数项级数的基本概念和性质
n
S
S
0.
注 lim un 0 非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数
发散，
推论3 若 un 0, 则级数
例5 (1) n1n1n
必发散 .
（2）1 2 3 4 （ 1）n1 n
2345
n1
解 (1)
lim
n
un
lim
n
1 nn
1
0,
故原级数发散.
故所给级数发散.
小结:
un 0
2
n n1
2n
2
n
1 1 1
n1 n2
2n
1 1 1
2n 2n
2n
故
lim (
n
S2n
Sn )
0，矛盾！
n项
1 n1n
发散.
(方法4) 见后面.
二、收敛级数的性质
性质1 若S un 收敛，则 c un收敛 , 其和为 c S.
n1
n1
n
n
证 令Sn uk , 则 σn c uk c Sn ,
vn
n1
(1
1) 2
(1 3
1) 4
(1 5
1 6
1 7
1) 8
(1 1 1 )
9 10
16
( 1
1 2n1
2
1 2n1
2n111)
2n )
v1
1
1 2
1, 2
v2
1 3
1 4
1 4
1 4
1 , 2
v3
1 5
1 8
1 8
1 8
4
1 8
1 2
v4
1 9
S
S
0.
注 lim un 0 非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数
发散，
推论3 若 un 0, 则级数
例5 (1) n1n1n
必发散 .
（2）1 2 3 4 （ 1）n1 n
2345
n1
解 (1)
lim
n
un
lim
n
1 nn
1
0,
故原级数发散.
故所给级数发散.
小结:
un 0
2
n n1
2n
2
n
1 1 1
n1 n2
2n
1 1 1
2n 2n
2n
故
lim (
n
S2n
Sn )
0，矛盾！
n项
1 n1n
发散.
(方法4) 见后面.
二、收敛级数的性质
性质1 若S un 收敛，则 c un收敛 , 其和为 c S.
n1
n1
n
n
证 令Sn uk , 则 σn c uk c Sn ,
vn
n1
(1
1) 2
(1 3
1) 4
(1 5
1 6
1 7
1) 8
(1 1 1 )
9 10
16
( 1
1 2n1
2
1 2n1
2n111)
2n )
v1
1
1 2
1, 2
v2
1 3
1 4
1 4
1 4
1 , 2
v3
1 5
1 8
1 8
1 8
4
1 8
1 2
v4
1 9
12-1常数项级数的概念和性质
n1
n1
n1
即 收敛级数可以逐项相加与逐项相减．
例6 若级数 an 与 bn 均发散，
n1
n1
则级数 (an bn )是否必发散？ (1987)
n1
解 结论是错误的．
例如级数 ln n 1 及 ln n 1 均发散，
n1
n
n1
n
但级数 [ln n 1 ln n 1] 0 是收敛的．
23
n
n1 n
n
2. 级数的部分和与部分和数列
n
设有级数 un，其前 n 项的和 sn ui
n1
i 1
称为级数的部分和． 它所构成的数列 sn
s1 u1， s2 u1 u2，，sn u1 u2 un，
称为级数的部分和数列．
3. 级数的敛散性
aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的敛散性．
n0
解
当
|
当 q 1 时，sn q | 1时，lim qn
n
a
aq 0，
aq2 lim
n
sn
1
aqn1 a. q
a1 qn 1q
收敛
当综当当上q|qq所|述111时ln时i时m， ，，ssansnqn不 lninm存a当nqa在 n，|aq．| 发a，1ln散i时m,lns收inm(敛s1n于)n.11a发a.q散发.a0散nn为为偶奇数数，
第十二章质
一、常数项级数的概念
1. 常数项级数的定义
设有数列 un：u1，u2，，un，，按其次序求和
u1 u2 u3 un un 称为(常数项)级数．
高等数学2017年最新课件常数项级数的概念
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aq
n 0
n
a aq aq aq ( a 0)
2 n
的收敛性.
解
如果q 1时
sn a aq aq aq
2 n1
a aq n 1 q
a aqn , 1 q 1 q
a q 0 lims n 当q 1时, lim n n 1 q n sn 当q 1时, lim q lim n
n 1
则 ( un v n )发散。
（ii）
n 1
若 un、 v n 都发散，
n 1 n 1
n 1
则 ( un v n )可能收敛，也可能发散 。
n1 例 ( 1) n、 ( 1 ) 均发散，
n 1
但 [( 1) n ( 1) n 1 ]
n
收敛 发散
n
如果 q 1时
当q 1时, sn na
lim sn不 a a a
发散
n
综上
当q 1时, 收敛 aq n 0 当q 1时, 发散
二、无穷级数的基本性质
性质 1 如果级数
第九章 无穷级数
9.1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 1、定义 给定一个数列 u1，u2，u3，…，un，…， 则由这数列构成的表达式 u1 + u2 + u3 + … + un + … （ 1）
叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记作
u
即
第一部分常数项级数的概念与质教学课件
n1
其中第 n项 un 称为级数的一般项。
可从极限思想出发来理解无穷多个数相加的含义。
2、级数的收敛和发散
定义1：作级数
u
n
的前
n
项和
n 1
Sn u1 u2 un
称其为级数 un 的部分和。显然，可得到一个新数列
n 1
{S n }
，称为级数 un 的部分和数列。 n 1
分条件。可考察级数
n1
ln(1
1 n
)
例4 判断级数 ( n2 n n)的敛散性。
n1
解：因为
lim ( n2 n n) lim
n
n
所以级数 ( n2 n n)发散。 n1
n
1 0
n2 n n 2
1 n(n 1)
(1 1 ) (1 1) ( 1 1 ) 1 1
2 23
n n1
n 1
从而
lim
n
Sn
lim (1
n
1) n 1
1,
所以级数收敛于1。
例3
判断级数 n1
ln(1
1 n
)
的敛散性。
解：级数的部分和为
Sn
ln
2 ln
第一节 常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的概念 二、常数项级数的性质
一、常数项级数的概念
1、定义
给定一个无穷数列u1, u2 ,, un ,，则由这个数 列构成的表达式
u1 u2 un
称为常数项无穷级数，简称级数，记作 un ，即
12.1 常数项级数的概念和性质
敛的（具体解释见课本 253、254 页） 。
2．级数的部分和：级数 un 的前 n 项的和
n 1
sn u1 u2 u3 un ui
i 1
n
称为级数 un 的部分和。
n 1
例： s1 u1 ， s2 u1 u2 ， s3 u1 u2 u3 。
3．级数的收敛与发散：对于级数 un ，
注 2：一般来说，一般项的极限为 0 不能保证级数一定为收敛的，即：
lim un 0 级数 un 收敛
n
n 1
比方说，虽然 lim
1 1 1 1 lim 2 0 ，但是，级数 是发散的，而级数 2 是收 n n n n n 1 n n 1 n
第一节 常数项级数的概念和性质
1．常数项无穷级数：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , ，则称
u
n 1
n
u1 u2 u3 un
为常数项无穷级数，记为 un ，简称为级数，且将数列 u1 , u2 , u3 , , un , 中的第
1 1 2n
1 对部分和 sn 取极限，得： lim sn lim 1 n n n 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 于是，级数 n 是收敛的，且 n 1 2 4 8 2 2 4 8 2
例 3：考虑级数
1 1 1 1 的收敛性。 1 2 2 3 3 4 n(n 1) 1 1 1 ，从而级数的部分和为 n(n 1) n n 1
该级数的一般项为 un
sn
经济数学微积分常数项级数的概念
经济数学——微积分
6.1 常数项级数的概念
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、小结
引例. 计算棒长
“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，如 果把每天截取的棒长相加，到第n天所得之棒 长之和为：
显然总的棒长小于1，并且n的值愈大，其数值
愈接近于1；当
时， 的极限为1。
此时上式中
一、常数项级数的概念
1. 定义
数列 无穷级数
一般项
一般项
部分和 部分和数列
无穷级数 收敛
无穷级数
发散
收敛级数
的和
部分和数列收敛，极限 s 叫做级数 并写成
的和
例2 判别无穷级数 的收敛性.
解
故所给级数是发散的.
例4 讨论等比级数的敛散性
收敛 发散
综上
发散 发散
例5 例6
无穷级数的性质
发散
2.如果级数的一般项趋于零,则级数可能收敛， 也可能发散.
例10 证明调和级数 是发散的.
证明一
证明二 反证法
例11 判断下列级数 是否收敛. 解
三、小结
1、常数项级数的基本概念 2、基本审敛法
性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明
注意
1.收敛级数可以加括弧，但收敛级数去括弧后 所成的级数不一定收敛.
收敛
发散
2.如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数 也发散.
3.正项级数
加括弧与去括弧均不
影响其敛散性.
解
证明
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 级数发散
性质2 若级数
分别收敛于u、v，
则
收敛于u±v.
6.1 常数项级数的概念
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、小结
引例. 计算棒长
“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，如 果把每天截取的棒长相加，到第n天所得之棒 长之和为：
显然总的棒长小于1，并且n的值愈大，其数值
愈接近于1；当
时， 的极限为1。
此时上式中
一、常数项级数的概念
1. 定义
数列 无穷级数
一般项
一般项
部分和 部分和数列
无穷级数 收敛
无穷级数
发散
收敛级数
的和
部分和数列收敛，极限 s 叫做级数 并写成
的和
例2 判别无穷级数 的收敛性.
解
故所给级数是发散的.
例4 讨论等比级数的敛散性
收敛 发散
综上
发散 发散
例5 例6
无穷级数的性质
发散
2.如果级数的一般项趋于零,则级数可能收敛， 也可能发散.
例10 证明调和级数 是发散的.
证明一
证明二 反证法
例11 判断下列级数 是否收敛. 解
三、小结
1、常数项级数的基本概念 2、基本审敛法
性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明
注意
1.收敛级数可以加括弧，但收敛级数去括弧后 所成的级数不一定收敛.
收敛
发散
2.如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数 也发散.
3.正项级数
加括弧与去括弧均不
影响其敛散性.
解
证明
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 级数发散
性质2 若级数
分别收敛于u、v，
则
收敛于u±v.
8.1常数项级数的概念和性质
n1
称为几何级数(又称为等比级数), 其中a 0, q 0.
试讨论该级数的敛散性.
解 该级数的前n项部分和为
Sn
a
aq
aqn1
a aqn 1q
(q 1)
(1)当 q
1时,
有
lim
n
S
n
a, 1q
所以级数 (8 1) 收敛, 且其和为 a . 1q
(2)当 q 1时,
有
lim
n
n1
un 同时收敛或同时发散, 且同时收敛时, 有
n1
cun c un .
n1
n1
性质8.2 若级数 un 与级数 vn 都收敛, 则级数
n1
n1
(un vn ) 收敛 , 且有
n1
(un vn ) un vn .
n1
n1
n1
级数 un 发散, vn 收敛, 必有 （un vn数发散.
(3)当q 1 时, Sn na ( n 时 );
当q 1时,
Sn
a [1 2
(1)n1 ],
n 时, Sn 的极限不存在,
故当 q 1时, 级数 (8 1) 发散.
综上讨论 , 当 q 1 时收敛于 q ,当 q 1 时发散. 1q
例2 判断级数
并不存在和数 S .
练习：讨论下列级数的敛散性；若收敛，求其值。
1
1.
;
n1 (2n 1)(2n 1)
n
2. ln ;
n1 n 1
3.
ln(1
1
);
n1
n
(ln 2)n
4. n1
2n
;
5. (1)n1 5n
n1
称为几何级数(又称为等比级数), 其中a 0, q 0.
试讨论该级数的敛散性.
解 该级数的前n项部分和为
Sn
a
aq
aqn1
a aqn 1q
(q 1)
(1)当 q
1时,
有
lim
n
S
n
a, 1q
所以级数 (8 1) 收敛, 且其和为 a . 1q
(2)当 q 1时,
有
lim
n
n1
un 同时收敛或同时发散, 且同时收敛时, 有
n1
cun c un .
n1
n1
性质8.2 若级数 un 与级数 vn 都收敛, 则级数
n1
n1
(un vn ) 收敛 , 且有
n1
(un vn ) un vn .
n1
n1
n1
级数 un 发散, vn 收敛, 必有 （un vn数发散.
(3)当q 1 时, Sn na ( n 时 );
当q 1时,
Sn
a [1 2
(1)n1 ],
n 时, Sn 的极限不存在,
故当 q 1时, 级数 (8 1) 发散.
综上讨论 , 当 q 1 时收敛于 q ,当 q 1 时发散. 1q
例2 判断级数
并不存在和数 S .
练习：讨论下列级数的敛散性；若收敛，求其值。
1
1.
;
n1 (2n 1)(2n 1)
n
2. ln ;
n1 n 1
3.
ln(1
1
);
n1
n
(ln 2)n
4. n1
2n
;
5. (1)n1 5n
n1
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而
lim
k
1
k 2
故
lim
n
Sn
不存在,
即调和级数发散.
三.无穷级数的基本性质
1. 性质 1
若 c 0 为常数, 则 un 与 cun
n1
n1
有相同的敛散性, 且 cun c un
n1
n1
证
n
un 的部分和为 Sn
u
，
k
n1
k 1
n
n
cun的部分和为 Sn cuk c uk cSn ,
无穷级数 un 的前 n 项之和：
n1
n
Sn uk u1 u2 un , k 1
称为级数的部分和.
若
lim
n
S
n
S
存在,
则称级数 un
n1
收敛.
S 称为级数的和：un S .
n1
若
lim
n
Sn
不存在 ( 包括为 ) ,
则称级数 un 发散.
n1
例3 讨论等比级数 arn1 的敛散性.
n
S2
n
S1
S2
即 级数 (un vn ) 收敛, 且
n1
(un vn ) un vn S1 S2
n1
n1
n1
例7
因为等比级数
1 n1 2n
与
1 n1 3n
收敛,
所以级数
1 n1 2n
1 3n
也收敛.
一个收敛级数与 一个发散级数的和是 收敛的还是发散的？
是发散的
1 1 1
1
1
13 35 57
(2n 1)(2n 1)
2
二. 级数收敛的必要条件
定理
若级数 un
n1
收敛,
则必有
lim
n
un
0.
证
设 un S,
n1
则
lim
n
Sn
S
.
lim
n
un
lim
n
(Sn
Sn1)
lim
n
Sn
lim
n
Sn1
SS 0
例5
判别级数 (1)n1
n
的敛散性.
n1
n 1
n1
n1
n1
证
(un vn ) 的部分和为：
n1
n
Sn (uk vk ) (u1 v1) (u2 v2 ) (un vn ) k 1
(u1 u2 un ) (v1 v2 vn ) S1n S2n
故
lim
n
Sn
nlim(S1n
S2n )
lim
n
S1n
lim
n1
解 等比级数的部分和为：
n
Sn ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) 1 r
当公比 | r | < 1 时,
lim
n
Sn
lim
n
a (1 rn ) 1 r
a
1 r
,
此时等比级数收敛, 其和为： S a 。 1 r
当公比
|
r
|
>
1
时,
lim
n
Sn
lim a (1 rn ) n 1 r
解 由于
lim
n
|
un
|
lim
n
(1)n1 n n 1
1,
lim
n
un
0,
故该级数发散.
证明调和级数是发散的:
例6
1 1 1 1 1 .
n1 n
23
n
证 调和级数的部分和有：
S1
1， 0 2
S2
S 21
1
1， 2
若
1 2
1 a
1 c
1 b
,
则称 b 为 a 与 c 的
调和中项.
n1
则称该级数为常数项级数.
若级数的每一项均为同一个变量的
函数 : un un (x), 则称级数 un (x) 为函
n1
数项级数.
例1 下列各式均为常数项级数
1
n1 2n
1 1 24
1 2n
;
n 1 2 n ;
n1
(1)n1 1111 (1)n1 ;
n1
cosn cos1 cos2 cosn .
1)
1 2
1 2n 1
1 2n
1
Sn
1 2
1
1 3
1 2
1 3
1 5
1 2
1 5
1 7
1 2
1 2n 1
1 2n
1
1 2
1
1 2n 1
1 1 1 13 35 57
而
lim
n
Sn
lim
n
1 2
1
1 2n
1
1 2
故
1
1
n1 (2n 1)(2n 1) 2
即该级数收敛, 其和为 S 1 . 2
一. 无穷级数的概念 二. 级数收敛的必要条件 三. 无穷级数的基本性质
一.无穷级数的概念
1.无穷级数的定义
设有数列 {un}: u1 , u2 , …, un , … 则称表达式
un u1 u2 un
n1
为一个无穷级数, 简称为级数.
称 un 为级数的一般项或通项.
若级数 un 的每一项 un 均为常数,
n1
例2 下列各式均为函数项级数
(1)n1 xn1 1 x x2 (1)n1 xn1 , x R.
n1
anxn a0 a1x a2x2 anxn , | x | 1.
n0
sin nx sin x sin 2x sin nx , x R.
n1
2. 级数的敛散性定义
S4
S22
1
1 2
1 3
1 4
1
1 2
1 2
1 2， 2
S8
S23
1 1 1 1 1 1 1 1 2345678
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1
1 2
1 2
1 2
1 3 2
S2k
1 k 2
?
由数学归纳法, 得
S 2k
1 k， 2
k = 0, 1, 2,
问题
两个发散的级数 之和是收敛的还是发 散的？
不一定
看看 (1)n 与 (1)n1 之和.
n1
n1
问题
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉 有限项后, 所得到的新的级数与原级 数的敛散性相同.
但对收敛级数来说, 它的和将改变.
证 设级数 un 的部分和为 Sn , 去掉级数的前 n1 面 m 项后得到的级数 uk 的部分和为 Sk : k m1
.
当公比 r =1时,
lim
n
Sn
lim
n
na
.
当公比 r = 1时, Sn=
a, n为奇数
0,
, n为偶数
故
lim
n
Sn
不存在.
综上所述,
当公比 | r | < 1 时, 等比级数收敛；
当公比 | r | 1 时, 等比级数发散.
例4
讨论级数
1
的敛散性.
n1 (2n 1)(2n 1)
解
(2n
1 1)(2n
第八章 无 穷 级 数
本章学习要求： 理解常数项级数概念和性质。掌握级数收敛的必要条 件以及收敛级数的基本性质。 熟悉常数项级数的收敛判别法。掌握交错级数收敛判 别法。 熟悉等比级数、调和级数、P－级数的敛散性。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第八章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
n1
k 1
k 1
故
lim
n
Sn
lim
n
cSn
c
lim
n
Sn
即
un 与 cun 同时收敛或同时发散,
n1
n1
且有 cun cun.
n1
n1
2. 性质 2
若 un 与 vn 收敛, 其和分别为S1 和 S2,
n1
n1
则级数 (un vn ) 也收敛, 且
n1
(un vn ) S1 S2 un vn.