中考数学与圆的综合有关的压轴题附答案

中考数学与圆的综合有关的压轴题附答案

一、圆的综合

1．已知AB ，CD 都是O e 的直径，连接DB ，过点C 的切线交DB 的延长线于点E ． ()1如图1，求证：AOD 2E 180∠∠+=o ；

()2如图2，过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ，过点D 作DG AB ⊥，垂足为点G ，求证：DG CF =；

()3如图3，在()2的条件下，当DG 3CE 4

=时，在O e 外取一点H ，连接CH 、DH 分别交O e 于点M 、N ，且HDE HCE ∠∠=，点P 在HD 的延长线上，连接PO 并延长交CM 于点Q ，若PD 11=，DN 14=，MQ OB =，求线段HM 的长．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）837+

【解析】

【分析】

（1）由∠D +∠E =90°，可得2∠D +2∠E =180°，只要证明∠AOD =2∠D 即可；

（2）如图2中，作OR ⊥AF 于R ．只要证明△AOR ≌△ODG 即可；

（3）如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT ⊥CL 于T ，作NK ⊥CH 于K ，设CH 交DE 于W ．解直角三角形分别求出KM ，KH 即可；

【详解】

()1证明：如图1中，

O Q e 与CE 相切于点C ，

OC CE ∴⊥，

OCE 90∠∴=o ，

D E 90∠∠∴+=o ，

2D 2E 180∠∠∴+=o ，

AOD COB ∠∠=Q ，BOC 2D ∠∠=，AOD 2D ∠∠=，

AOD 2E 180∠∠∴+=o ．

()2证明：如图2中，作OR AF ⊥于R ．

OCF F ORF 90∠∠∠===o Q ，

∴四边形OCFR 是矩形，

AF//CD ∴，CF OR =，

A AOD ∠∠∴=，

在AOR V 和ODG V 中，

A AOD ∠∠=Q ，ARO OGD 90∠∠==o ，OA DO =，

AOR ∴V ≌ODG V ，

OR DG ∴=，

DG CF ∴=，

()3解：如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT CL ⊥于T ，作NK CH ⊥于K ，设CH 交DE 于W ．

设DG 3m =，则CF 3m =，CE 4m =，

OCF F BTE 90∠∠∠===o Q ，

AF//OC//BT ∴，

OA OB =Q ，

CT CF 3m ∴==，

ET m ∴=，

CD Q 为直径，

CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===o ，

E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=o ，

tan E tan CBT ∠∠∴=，

BT CT ET BT

∴=， BT 3m m BT

∴=，

BT ∴=负根已经舍弃)，

tan E m

∠∴== E 60∠∴=o ，

CWD HDE H ∠∠∠=+Q ，HDE HCE ∠∠=，

H E 60∠∠∴==o ，

MON 2HCN 60∠∠∴==o ，

OM ON =Q ，

OMN ∴V 是等边三角形，

MN ON ∴=，

QM OB OM ==Q ，

MOQ MQO ∠∠∴=，

MOQ PON 180MON 120∠∠∠+=-=o o Q ，MQO P 180H 120∠∠∠+=-=o o ， PON P ∠∠∴=，

ON NP 141125∴==+=，

CD 2ON 50∴==，MN ON 25==，

在Rt CDN V 中，CN 48==，

在Rt CHN V 中，CN 48tan H HN HN

∠===

HN ∴=

在Rt KNH V 中，1KH HN 2==NK HN 242

==，

在Rt NMK V 中，MK 7===，

HM HK MK 7∴=+=．

【点睛】

本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.

2．如图，△ABC 的内接三角形，P 为BC 延长线上一点，∠PAC=∠B ，AD 为⊙O 的直径，

过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．

（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：AG2=AF·AB；

（3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积.

【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3.

【解析】

试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．

（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.（3）连接BD，由AG2=AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．

试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下：

如答图1，连接CD，

∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°.

∴∠D+∠CAD=90°.

∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D.

∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA.

∵点A在圆上，

∴PA与⊙O相切．

（2）证明：如答图2，连接BG，