高二数学两个向量的数量积PPT精品课件
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高二数学选修课件：3-1-3两个向量的数量积
向量$vec{a}$与零向量的数量积 为0。
04 向量的数量积的应用
向量的数量积在解决实际问题中的应用
力的合成与分解
通过向量的数量积，可以计算出两个 力的合力或分力，从而解决与力相关 的实际问题。
速度和加速度的合成
在物体运动过程中，利用向量的数量 积可以计算出物体的速度和加速度， 进一步解决与运动相关的实际问题。
学习内容概述
两个向量的数量积的定义
两个向量a和b的数量积定义为 a·b=|a||b|cosθ，其中θ是a和b之间 的夹角。
数量积的几何意义
数量积表示两个向量在方向上的投影 的乘积。
数量积的运算性质和运算律
数量积满足交换律、结合律、分配律 等基本运算律。
数量积的应用
通过实例讲解如何利用数量积解决实 际问题，如力的合成与分解、速度和 加速度的合成等。
练习
利用数量积的性质解决实 际问题。
探究数量积与点乘的区别 和联系。
计算两个向量的数量积。
思考题
思考数量积在物理学中的 应用。
下节课预告
• 下节课将学习两个向量的向量积，掌握向量积的定义、几何意 义、运算性质和运算律。了解向量积在解决实际问题中的应用 。
感谢您的观看
THANKS
高二数学选修课件31-3两个向量的数量积
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量的数量积定义与性质 • 向量的数量积运算 • 向量的数量积的应用 • 总结与回顾
01 引言
课程目标
理解两个向量的数量 积的定义和几何意义 。
会用数量积解决实际 问题，如力的合成与 分解、速度和加速度 的合成等。
掌握两个向量的数量 积的运算性质和运算 律。
向量的数量积性质
向量的数量积课件(共17张PPT)
则AOB （0 ）叫a与b 的夹角.
A
O
B
三、 抽象概念，建构新知
特殊的夹角
0
O
B
2
A
O
B
A
O
a与b 方向相同
a与b垂直 记作a b
B a与b 方向相反
三、 抽象概念，建构新知
2、向量数量积的定义：
已知两个非零向量a与b ，它们的夹角为，
我们把数量积 a b cos 叫做向量a与b 的数量积（或内积），
记作a b ，即a b a b cos.
A
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
O
B
四、 小试牛刀，巩固落实
课本P17例9 已知 a 5, b 4, a与b 的夹角 2 ，求a b.
3
变式：已知 a 5, b 4, a b 10，求a与b 的夹角.
解：a b a b cos 分析：由a b a b cos
向量的数量积
册 别：必修第二册 学 科：高中数学（人教A版）
一、 温故知新，提出问题
问题1：前面我们学习了向 量的加、减运算，类比数 的运算，向量之间还可以
建立哪些运算？
二、 借助物理，创设情境
问题2：类比研究向量运算中 加法运算的基本路径， 怎样来研究向量的乘法？
物 理
力
力的合成
数 学
向 量
向量的加法
5 4 cos 2
3 5 4( 1)
2 10.
得到cos a b
ab
10 1 54 2
0， ，
2 .
3
五、 几何角度，深化理解
问题3：a b a b cos
其中 a cos，你能联想到其几何意义吗？
A b
A
O
B
三、 抽象概念，建构新知
特殊的夹角
0
O
B
2
A
O
B
A
O
a与b 方向相同
a与b垂直 记作a b
B a与b 方向相反
三、 抽象概念，建构新知
2、向量数量积的定义：
已知两个非零向量a与b ，它们的夹角为，
我们把数量积 a b cos 叫做向量a与b 的数量积（或内积），
记作a b ，即a b a b cos.
A
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
O
B
四、 小试牛刀，巩固落实
课本P17例9 已知 a 5, b 4, a与b 的夹角 2 ，求a b.
3
变式：已知 a 5, b 4, a b 10，求a与b 的夹角.
解：a b a b cos 分析：由a b a b cos
向量的数量积
册 别：必修第二册 学 科：高中数学（人教A版）
一、 温故知新，提出问题
问题1：前面我们学习了向 量的加、减运算，类比数 的运算，向量之间还可以
建立哪些运算？
二、 借助物理，创设情境
问题2：类比研究向量运算中 加法运算的基本路径， 怎样来研究向量的乘法？
物 理
力
力的合成
数 学
向 量
向量的加法
5 4 cos 2
3 5 4( 1)
2 10.
得到cos a b
ab
10 1 54 2
0， ，
2 .
3
五、 几何角度，深化理解
问题3：a b a b cos
其中 a cos，你能联想到其几何意义吗？
A b
《两个向量的数量积》PPT课件
精选ppt
17
3.1.3
跟踪训练 3 如图所示，已知线段 AB 在平面 α 内，线段 AC⊥α，线段 BD⊥AB，线段 DD′⊥α 于 D′，如果∠DBD′＝30°，AB＝a，AC＝ BD＝b，求 CD 的长．
解 由 AC⊥α，可知 AC⊥AB.
由∠DBD′＝30°，可知〈C→A，B→D〉＝60°，
＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0， ∴C→C1⊥B→D，即 CC1⊥BD.
3.1.3
精选ppt
14
3.1.3
探究点三 利用数量积求向量的模
问题 类比平面向量，说出利用数量积求长度或距离的方法．
答案 利用数量积 a·b＝|a||b|cos θ 知 a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
精选ppt
19
3.1.3
2．已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么|a＋3b|等
于
(C )
A. 7 B. 10 C. 13 D．4
解析 |a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2 ＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝ 13.
精选ppt
20
3．如图所示，已知 PA⊥平面 ABC，∠ABC ＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则 PC 等于
精选ppt17313小结求向量的模可以转化为求向量的数量积求两点间的距离或某条线段的长度可以转化为求对应向量的模其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来
3.1.3
3.1.3 两个向量的数量积
【学习要求】 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量
积的概念、性质和计算方法及运算规律． 2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中
向量的数量积课件
详细描述
向量数量积在计算机图形学中也有着广可以用 来计算光照和阴影的方向和强度，或者用来 实现物理模拟和动画效果。此外，向量数量 积还可以用于实现碰撞检测和运动控制等算 法。
05
总结与展望
向量数量积的重要性和意义
数学基础
，数量积为ab。
几何意义
向量数量积的几何意义是表示一个向量在另一个向量上的投 影长度。
当两个向量的夹角为锐角时，数量积为正，表示两向量方向 相同；当夹角为钝角时，数量积为负，表示两向量方向相反 ；当夹角为直角时，数量积为0。
向量数量积的运算性质
向量数量积满足交换律和分配 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积的模的性质
总结词
两个向量的数量积的值等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
详细描述
向量的数量积的模的性质表明，两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们 夹角的余弦值的乘积。这个性质对于计算两个向量的数量积非常重要，因为它 提供了一个公式来直接计算数量积的值。
向量数量积的交换律和结合律
向量的数量积ppt课件
目录
• 向量数量积的定义 • 向量数量积的性质 • 向量数量积的运算 • 向量数量积的应用 • 总结与展望
01
向量数量积的定义
定义
向量数量积定义为两个向量的模 长之积与夹角的余弦值的乘积，
记作a·b=abcosθ。
其中，a和b分别为两个向量，θ 为两向量的夹角。
当两个向量的夹角为90°时，数 量积为0；当夹角为0°或180°时
理论价值
向量的数量积是向量代数中的基本概 念之一，是研究向量关系和进行数学 分析的重要工具。
向量数量积的概念是线性代数和解析 几何理论体系的重要组成部分，对于 理解空间几何和线性变换的本质具有 重要意义。
6.2.4向量的数量积 课件【共48张PPT】
5×3×4×cos 120°-2×4 =25.
[例 3] 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量 a,b 的夹角是 120°,a,c 的夹角是
45°.求:
(3)a·(a-4b+ c).
2
2
解:(3)a·(a-4b+ c)=a -4a·b+ a·c=|a| -4|a||b|cos 120°+ |a|
向量运算的相互转化.
2
2
(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2b2等.
即时训练 4-1:已知|a|=1,|b|=3,且|a-b|=2,求 |a+b|.
解:法一
2
2
2
2
因为|a-b| =(a-b) =a -2a·b+b =1+9-2a·b=4,
→
→
(2)如图(2),在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 M 作直线 ON 的垂线,
→
垂足为 M1,则 就是向量 a 在向量 b 上的 投影向量
.
(3)设与 b 方向相同的单位向量为 e,a 与 b 的夹角为θ,对任意的θ∈[0,π],
→
都有 = |a|cos θ e .
||
cos
||
θ=cos
答案:-2e -a
· a=- a.
方法总结
向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法
将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向
)中计算即可.
||
相同的单位向量,且 e=
即时训练 2-1:已知|a|=4,|b|=6,a 与 b 的夹角为 60°,则向量 a 在向量 b
[例 3] 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量 a,b 的夹角是 120°,a,c 的夹角是
45°.求:
(3)a·(a-4b+ c).
2
2
解:(3)a·(a-4b+ c)=a -4a·b+ a·c=|a| -4|a||b|cos 120°+ |a|
向量运算的相互转化.
2
2
(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2b2等.
即时训练 4-1:已知|a|=1,|b|=3,且|a-b|=2,求 |a+b|.
解:法一
2
2
2
2
因为|a-b| =(a-b) =a -2a·b+b =1+9-2a·b=4,
→
→
(2)如图(2),在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 M 作直线 ON 的垂线,
→
垂足为 M1,则 就是向量 a 在向量 b 上的 投影向量
.
(3)设与 b 方向相同的单位向量为 e,a 与 b 的夹角为θ,对任意的θ∈[0,π],
→
都有 = |a|cos θ e .
||
cos
||
θ=cos
答案:-2e -a
· a=- a.
方法总结
向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法
将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向
)中计算即可.
||
相同的单位向量,且 e=
即时训练 2-1:已知|a|=4,|b|=6,a 与 b 的夹角为 60°,则向量 a 在向量 b
向量的数量积PPT(课件)
2
(×)
(×)
(3)若a b | a || b |,则a // b ( √ )
( 4) a a a | a |
2
(√)
(5)若a b 0, 则a与b 中至少有一个为 0.
(×)
2、在ABC中， AB BC 0，则ABC的形状是
A、 锐角三角形
C、 钝角三角形
B、
D、
(2)已知ABC， AB a , AC b ,
直角 三角形。 当a b 0时， ABC为_______
2 2 (3) 已知向量 a满足 a 8，则 | a | _______
2
1、已知 a, b, c 均为非零向量,试 判断下列说法是否正确？
(1)0 a 0 (2)0 a 0
另一个向量 b 在向量 a 方向上的投影 b cos 的乘积。
用向量的几何意义验证
（ 3 ）分配律： ( a b ) c a c b c
向量a、b、a + b 在c上的投影分别是 a OM、MN、 ON, 则 (a + b ) · c = ON |c| O = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.
b a
A
θ
┐ θ B1 O
b θ ┓ O(B ) 1
a
Hale Waihona Puke A 2 b cos OB1
(2)
2 b cos 0
（3）
│ b│cosθ叫做向量 b在向量 a 上的投影， │a │cosθ叫做向量 a 在向量 b 上的投影.
5、向量的数量积的几何意义
(×)
(×)
(3)若a b | a || b |,则a // b ( √ )
( 4) a a a | a |
2
(√)
(5)若a b 0, 则a与b 中至少有一个为 0.
(×)
2、在ABC中， AB BC 0，则ABC的形状是
A、 锐角三角形
C、 钝角三角形
B、
D、
(2)已知ABC， AB a , AC b ,
直角 三角形。 当a b 0时， ABC为_______
2 2 (3) 已知向量 a满足 a 8，则 | a | _______
2
1、已知 a, b, c 均为非零向量,试 判断下列说法是否正确？
(1)0 a 0 (2)0 a 0
另一个向量 b 在向量 a 方向上的投影 b cos 的乘积。
用向量的几何意义验证
（ 3 ）分配律： ( a b ) c a c b c
向量a、b、a + b 在c上的投影分别是 a OM、MN、 ON, 则 (a + b ) · c = ON |c| O = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.
b a
A
θ
┐ θ B1 O
b θ ┓ O(B ) 1
a
Hale Waihona Puke A 2 b cos OB1
(2)
2 b cos 0
（3）
│ b│cosθ叫做向量 b在向量 a 上的投影， │a │cosθ叫做向量 a 在向量 b 上的投影.
5、向量的数量积的几何意义
高二数学选修2 两个向量的数量积 课件
9.5 空间向量及其运算
两个向量的数量积
教学过程
一、几个概念
1） 两个向量的夹角的定义
a b
O
A
a
B
b
注意：（ 1 ）范围： 0 a, b
(2)a, b b, a
夹 角 的 顶 点 为 两 个 向 量 的 起 点
(3)OA, OB AO, OB
注意：（ 1 ）范围： 0 a, b
D
C
A B
例３、如图所示，已知线段AB在平面α内，线段 AC⊥α，线段BD⊥AB，线段DD' 交于 D',DBD’=30.如果AB＝a，AC＝BD＝b， （1）求C、D间的距离; （2）求异面直线DC,BD' 所成的角．
C
D
E
F
D'
A
B
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
5) p q p q p 2 q 2
例4
已知在平行六面体 ABCD ABC D中，AB 4 ,
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60,
求对角线 AC 的长。
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
（3）公式变形： cos a, b
a b ab
3）射影
A1 B1叫做向量AB在轴l上的 或在e方向上的正射影，简称 射影。 A1 B1 AB cos a, e a e
e
A1
A
B
B1
l
注意： AB 在轴L上的正射影A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 AB 与L的方向的相对关系，大小代表 在Ｌ上射 b, a (3)OA, OB AO, OB
两个向量的数量积
教学过程
一、几个概念
1） 两个向量的夹角的定义
a b
O
A
a
B
b
注意：（ 1 ）范围： 0 a, b
(2)a, b b, a
夹 角 的 顶 点 为 两 个 向 量 的 起 点
(3)OA, OB AO, OB
注意：（ 1 ）范围： 0 a, b
D
C
A B
例３、如图所示，已知线段AB在平面α内，线段 AC⊥α，线段BD⊥AB，线段DD' 交于 D',DBD’=30.如果AB＝a，AC＝BD＝b， （1）求C、D间的距离; （2）求异面直线DC,BD' 所成的角．
C
D
E
F
D'
A
B
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
5) p q p q p 2 q 2
例4
已知在平行六面体 ABCD ABC D中，AB 4 ,
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60,
求对角线 AC 的长。
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
（3）公式变形： cos a, b
a b ab
3）射影
A1 B1叫做向量AB在轴l上的 或在e方向上的正射影，简称 射影。 A1 B1 AB cos a, e a e
e
A1
A
B
B1
l
注意： AB 在轴L上的正射影A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 AB 与L的方向的相对关系，大小代表 在Ｌ上射 b, a (3)OA, OB AO, OB
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作<a,b>
a
aA
O bB
b
0≤<a,b>≤
<a,b>=<b,a>
向量的垂直
如果<a,b>=
2
，则称a与b互相直，
记作a⊥b注：AAOOB
B
向量的长度（模） 设OA=a，则有向线段OA的长度叫
做向量a的长度（模），记作|a|
A a
O
向量的数量积 a b
ababco a s ,b
注 ： 0a0
向量运算在几何证明与计算中的应用
思考过程：
1、如何把已知的几何条件转化为向量表示； 2、考虑一些未知的向量能否用基向量或其 他已知向量表示； 3、如何对已经表示出来的向量进行运算， 才能获得需要的结论
例1、已知在平行六面体ABCD-A′B′C′D′ 中，AB=4，AD=3，AA′=5，
∠BAD=90O,∠BAA′=∠DAA′=60O 求AC′的长
（2） a b a b 0
（3）
a2
aa
数量积的运算律
（1） (a )b (a b )
（2） abba(交换律） （3）a (b c)a b a c(分配
练(a 习 ：b 请 推c 导)2 ( a b c ) ( a b c )
a 2 b 2 c 2 2 a b 2 b c 2 c a
当 < a , b > = 0 , 即 a 与 b 同 向 时 , a b | a | | b | 当 < a , b > 为 锐 角 时 , a b 0
当 < a , b > 为 直 角 ， 即 a b 时 , a b 0
当 < a , b > 为 钝 角 时 , a b 0
当 < a , b > = 时 , a b | a | | b |
9.5.4 两个向量的数量积
由于空间任意两个向量都可转化为 共面向量，所以空间两个向量的夹角的 定义、取值范围、两个向量垂直的定义 和表示符号及向量的模的概念和表示符 号等，都与平面向量相同
向量的夹角
非零向量 a, b.在空间任取一点O，作OA=a
OB=b ,则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记
D’
C’
A’
B’
5 3D
A4
C B
例2、已知线段AB在平面α内，线 段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所 成角是30O，如果AB=a， AC=BD=b。求C、D间的距离
C D
b
b D′
α
A aB
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角， 叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)
例3、已知：m、n是平面α内的两条相交
直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，
l⊥n
l
求证：l ⊥α
m g
n
例4、已知：在空间四边形OABC中， OA⊥BC，OB⊥AC 求证：OC ⊥AB
O
A
C
B
THANKS FOR WATCHING
谢谢大家观看
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汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/02/24
16
特 别 ， a 2 a a = | a | 2 . 因 此 ， | a | = a 2
A
向量的数量积的几何意义
a
l
Oe B
向量a在轴l上或在e方向（e是l上
同方向的单位向量）上的射影: O B
向量a在轴l上或在e方向上的投影:
O B a c o s a ,e a e
数量积的性质
（1）a e a c o a ,e s