双曲线和抛物线的区别究竟在哪？

双曲线和抛物线的区别究竟在哪？

安徽省五河高级中学 刘瑞美（邮编：233300）

在复习圆锥曲线时，有学生提出这样的问题：“椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。从图像上看，椭圆和双曲线与抛物线图像有着明显的差别，容易区分，但双曲线和抛物线图像都是无限延展的，其形状差不多，如何区分？怎样区分” ？带着这样的疑惑，我们从如下几个方面探讨了两者之间的差别。 1.从用平面截圆锥的角度比较

大家知道，双曲线和抛物线都属于圆锥曲线——也就是空间圆锥曲面与平面相交产生的曲线。当平面与旋转轴间的夹角等于圆锥半顶角（平面与圆锥顶点不共面）时，交线为抛物线（如图1）；

（ 图1） （图2）

当平面与旋转轴间的夹角小于半顶角且大于等于0︒时，交线为双曲线（如图2）。

在我们教材的章头部分有这样一句话，当我们用平面去截圆锥，根据截面与圆锥轴的夹角不同，所得到截面周界分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线。到底当截面与圆锥轴的夹角为多大时，得到的周界才是椭圆、双曲线和抛物线呢？

下面我们来证明上述结论。为研究问题的方便，我们特作如下的约定：

设圆锥AEF 的轴截面AEF 顶角2(0)2

EAF π

αα∠=<<

，平面π与圆锥轴线AC 所成的角

(0)2

π

θθ≤≤。设平面π过母线AE 上的点D ，又C π∈，.AC m =不

妨设平面AEF ⊥平面.πA 在平面π上的射影为O ，B 为平面π截圆锥

面所得图形上任一动点。

以O 为原点，,CO OA 分别为,y z 轴建立空间直角坐标系(如图3)，

则cos ,sin CO m OA m θθ==，因而(0,cos ,0),(0,0,sin ).C m A m θθ-

再设(,,0),B x y 则(0,cos ,sin ),AC m m θθ=--(,,sin )AB x y m θ=-，

222222cos sin sin cos .

AC AB my m m x y m θθθα⋅=-+=⋅++⋅两边平方整理可得：

2222222222cos (cos cos )2sin cos sin (cos sin )0

()x y m y m ααθθθθαθ⋅+-+⋅+-=*

1、 当2

π

θ=

时，()*式变为222222cos cos (cos 1)0,x y m ααα⋅+⋅+-=即22

2

2

tan x y m α+= ，

图3

y

Z

x

O E

A

B

F

C

D

π

得到一个圆。

2、 当0θ=时，()*式变为2

2

2

2

cos sin 0,x y αα⋅-⋅=显然是两条直线。 3、当(0,

)2

π

θα=∈时，()*式变为2222222cos 2sin cos sin (cos sin )0,x m y m αααααα⋅+⋅+-=

显然是一条抛物线。 4、当θα≠且02

π

θ<<

时，()*式可变为

22422

2

2

2

222222222

sin cos sin cos cos (cos cos )()sin (cos sin )0cos cos cos cos m m x y m θθθθααθθαθαθαθ⋅+-+-+-=--24422

2

2

2

22222sin cos sin cos cos (cos cos )()()cos cos cos cos m m x y θθθα

ααθαθαθ

⇒⋅+-+=

**--，

此时若0,2

π

αθ<<<因为22cos cos 0αθ->，则()**式显然表示椭圆；

若0,2

π

θα<<<

因为22cos cos 0αθ-<，则()**式显然表示双曲线。

很显然，当(0,

)2

π

θα=∈时，所得截面周界是抛物线；当02

π

θα<<<

时，所得截面周界是双曲线。

椭圆、双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。古希

腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。 2.从圆锥曲线第二定义比较

通过上面的研究我们发现，圆锥曲线是用平面截圆锥面得到平面曲线，因此它们之间存在着千丝万缕的联系，但又有着本质的区别。

圆锥曲线是平面内动点到定点与到定直线距离的比为常数e 的点的轨迹（定点不在定直线上）。 这个常数e 叫圆锥曲线的离心率，定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫圆锥曲线的准线。当1e >时，其轨迹是双曲线，此时它有两个焦点、两条准线、两条渐近线；当01e <<时，其轨迹是椭圆，此时它也有两个焦点、两条准线；当1e =时，其轨迹是抛物线，此时它只有一个焦点和一条准线，没有渐近线。实际上离心率的几何意义就是曲线上的动点到焦点和准线距离之比。

离心率e 是圆锥曲线概念的重要组成部分。揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础，而且在很多数学问题的求解过程中，具有不可低估的特殊功能。

双曲线的离心率e 是用来刻画双曲线“张口”的大小的量。从直观上看，双曲线的两支是向外无限延伸的，但始终在渐近线形成的一组对顶角中，不会越过这两条直线（通常称渐近线）。而抛物线只向外无限延伸，不受任何条件的约束，它是没有渐近线的。因此从离心率的大小、焦点个数、准线条数来看，双曲线和抛物线是属于两类不同性质的问题。

3.从有无渐近线比较

要从有无渐近线比较，就必须首先了解什么是渐近线。从仿射几何的角度，二次曲线的渐近线就是二次曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称此直线为二次曲线的渐近线。从中学教材中渐近线可以理解为：当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，若这一点到一条直线的距离无线趋近于零，则这条直线就称为这条曲线的渐近线。换一句话说，渐近线就是一条曲线和一条直线无线靠近，但永远不相交。因而双曲线有两条渐近线b

y x a

=±

，抛物线没有渐近线。下面我们来证明上面的问题。