几个典型的代数系统

第六章几个典型的代数系统

本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．

6.1 半群

定义 6.1称代数结构〈S,＊>为半群（semigroups）,如果＊运算满足结合律．当半群〈S，＊>含有关于*运算的么元，则称它为独异点（monoid)，或含么半群．例6。1〈I+，＋〉,

半群及独异点的下列性质是明显的．

定理6。1设〈S，＊>为一半群，那么

（1）的任一子代数都是半群，称为

(2)若独异点〈S，＊,e〉的子代数含有么元e，那么它必为一独异点，称为〈S，＊，e〉的子独异点．

证明简单，不赘述．

定理6。2设〈S，*>,〈S'，＊’〉是半群，h为S到S'的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有

(1）同态象

(2）当为一独异点。

定理6。3设

（1）为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算． (2）存在S到S S的半群同态．

证（l）是显然的．

为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a∈S

h(a）= f a

f a：S→S 定义如下：对任意x∈S，

f a（x）= a＊x

现证h为一同态．对任何元素a，b∈S．

h(a＊b）＝f a*b （l1－1) 而对任何x∈S，

f a*b（x）= a＊b*x = f a（f b(x））= f a○f b (x)

故f a＊b = f a○f b，由此及式（l1－1)即得

h（a＊b）= f a*b = f a○f b ＝h(a）○h（b)

本定理称半群表示定理。它表明，任一半群都可以表示为(同态于)一个由其载体上的函数的

集合及函数合成运算所构成的半群。这里〈S,*〉同构于〈h（S)，○> -———

6。2 群

群是最重要的代数结构类，也是应用最为广泛的代数结构类。我们以后要深入研究的代数结构环和域也都是以群为基础的。

6。2.1 群及其基本性质

定义6。6称代数结构〈G，＊>为群(groups），如果

（1）为一半群．

(2）

（3）〈G,*〉中每一元素都有逆元．

或者说，群是每个元素都可逆的独异点．群的载体常用字母G表示，因而字母G也常用于表示群．

定义 6.7设〈G,*>为一群．

(1）若＊运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abel group）．阿贝尔群又称加群,常表示为

(2） G为有限集时，称G为有限群（finite group）,此时G的元素个数也称G的阶（order）；否则，称G为无限群（infinite group)．

例6。6

(1）〈I， + >（整数集与数加运算)为一阿贝尔群（加群），数0为其么元.< N,+ 〉不是群．因为所有非零自然数都没有逆元。

（2)〈Q+ ,·〉（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1为其么元。 不是群，因为数0无逆元．

（3)为一k阶阿贝尔群, 数0为其么元。

（4）设P为集合A上全体双射函数的集合，○为函数合成运算。那麽〈 P,○〉为一群．A上恒等函数E A为其么元.〈 P，○〉一般不是阿贝尔群。

群的下列基本性质是明显的。

定理1l.9设〈G，＊〉为群，那麽

（1）G有唯一的么元，G的每个元素恰有一个逆元．

（2）关于x的方程a＊x＝b，x*a＝b都有唯一解．

(3）G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：对任意a,x，y∈S a*x = a＊y 蕴涵 x = y ； x＊a = y＊a 蕴涵 x = y

（4）当G ¹｛e}时， G无零元．

（5）么元e是G的唯一的等幂元素.

证（1）,（2）,(3）是十分明显的．

（4)若G有零元,那么它没有逆元，与G为群矛盾。(注意,G = {e｝时，e既是么元，又是零元。）

（5)设G中有等幂元x，那么 x*x = x 又 x = x＊e 所以 x＊x = x＊e

由（3）得x = e 。

由（3）我们得知，特别地，当G为有限群时，＊运算的运算表的每一行（列）都是G 中元素的一个全排列．从而有限群

定理6。10对群〈G，＊〉的任意元素 a,b,

（1)（a-1)-1＝a．

（2)（a＊b） -1＝b—1＊a—1

(3）（a r）—1 = （a–1）r(记为a–r)（r为整数）．

证（2)（a＊b）＊(b—1*a-1） = a*（b＊b—1）＊a—1 = e

（b—1＊a-1)＊(a*b) = b-1＊（a-1＊a）＊b = e

因此a*b的逆元为b-1*a—1，即（a*b） -1＝b—1*a-1．

（3）对r归纳。

r = 1时命题显然真。设（a r）—1 = (a–1)r，即(a–1）r是a r的逆元.那么

a r+1＊（a–1)r+1 = a r＊(a＊a-1）*(a–1)r＝a r＊(a–1）r = e

（a–1）r+1＊ a r+1 = （a–1)r＊（a-1*a)＊ a r＝（a–1）r＊ a r = e 故a r+1的逆元为(a–1）r+1，即(a r+1） -1 = (a–1)r+1．归纳完成, （2）得证.

对群〈G，*〉的任意元素 a，我们可以定义它的幂：a0=e,对任何正整数m,am+1=am*a,又据定理6.1O,在群中可引入”负指数幂”'的概念：a-m= （a-1)m，且容易证明：定理6.11对群的任意元素 a,b，及任何整数m，n，

（l)a m*a n = a m+n

（2)（a m） n = a mn

如果我们用aG和Ga分别表示下列集合

aG = ｛a＊g |g∈G｝， Ga = ｛g＊a ｜g∈G}

那么我们有以下定理．

定理 6.12设〈G，*〉为一群,a为 G中任意元素，那么aG = G = Ga

特别地,当G为有限群时，＊运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列．证 aG ⊆G是显然的．