几个典型的代数系统

第六章几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．6.1 半群定义 6.1称代数结构〈S,＊>为半群（semigroups）,如果＊运算满足结合律．当半群〈S，＊>含有关于*运算的么元，则称它为独异点（monoid)，或含么半群．例6。

1〈I+，＋〉,<N,·〉，〈∑＊，并置〉都是半群,后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理6。

1设〈S，＊>为一半群，那么（1）<S，＊>的任一子代数都是半群，称为<S，＊〉的子半群．(2)若独异点〈S，＊,e〉的子代数含有么元e，那么它必为一独异点，称为〈S，＊，e〉的子独异点．证明简单，不赘述．定理6。

2设〈S，*>,〈S'，＊’〉是半群，h为S到S'的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有(1）同态象<h（S）,＊'〉为一半群．(2）当<S，*〉为独异点时,则<h（S)，*’>为一独异点。

定理6。

3设<S,*〉为一半群，那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算． (2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a∈Sh(a）= f af a：S→S 定义如下：对任意x∈S，f a（x）= a＊x现证h为一同态．对任何元素a，b∈S．h(a＊b）＝f a*b （l1－1) 而对任何x∈S，f a*b（x）= a＊b*x = f a（f b(x））= f a○f b (x)故f a＊b = f a○f b，由此及式（l1－1)即得h（a＊b）= f a*b = f a○f b ＝h(a）○h（b)本定理称半群表示定理。

它表明，任一半群都可以表示为(同态于)一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。

这里〈S,*〉同构于〈h（S)，○> -——— <S S，○〉的一个子代数．6。

2 群群是最重要的代数结构类，也是应用最为广泛的代数结构类。

我们以后要深入研究的代数结构环和域也都是以群为基础的。

6。

2.1 群及其基本性质定义6。

6称代数结构〈G，＊>为群(groups），如果（1）<G，＊>为一半群．(2）<G,*〉中有么元e.（3）〈G,*〉中每一元素都有逆元．或者说，群是每个元素都可逆的独异点．群的载体常用字母G表示，因而字母G也常用于表示群．定义 6.7设〈G,*>为一群．(1）若＊运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abel group）．阿贝尔群又称加群,常表示为<G，+ 〉（这里的 + 不是数加，而泛指可交换二元运算．回忆:*常被称为乘)．加群的么元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元.(2） G为有限集时，称G为有限群（finite group）,此时G的元素个数也称G的阶（order）；否则，称G为无限群（infinite group)．例6。

6(1）〈I， + >（整数集与数加运算)为一阿贝尔群（加群），数0为其么元.< N,+ 〉不是群．因为所有非零自然数都没有逆元。

（2)〈Q+ ,·〉（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1为其么元。

<Q，·>不是群，因为数0无逆元．（3)<N k,＋k>为一k阶阿贝尔群, 数0为其么元。

（4）设P为集合A上全体双射函数的集合，○为函数合成运算。

那麽〈 P,○〉为一群．A上恒等函数E A为其么元.〈 P，○〉一般不是阿贝尔群。

群的下列基本性质是明显的。

定理1l.9设〈G，＊〉为群，那麽（1）G有唯一的么元，G的每个元素恰有一个逆元．（2）关于x的方程a＊x＝b，x*a＝b都有唯一解．(3）G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：对任意a,x，y∈S a*x = a＊y 蕴涵 x = y ； x＊a = y＊a 蕴涵 x = y（4）当G ¹｛e}时， G无零元．（5）么元e是G的唯一的等幂元素.证（1）,（2）,(3）是十分明显的．（4)若G有零元,那么它没有逆元，与G为群矛盾。

(注意,G = {e｝时，e既是么元，又是零元。

）（5)设G中有等幂元x，那么 x*x = x 又 x = x＊e 所以 x＊x = x＊e由（3）得x = e 。

由（3）我们得知，特别地，当G为有限群时，＊运算的运算表的每一行（列）都是G 中元素的一个全排列．从而有限群<G,*〉的运算表中没有一行(列）上有两个元素是相同的．因此，当G分别为1,2,3阶群时，＊运算都只有一个定义方式（即，不计元素记号的不同，只有一张定义＊运算的运算表，如表6.2所示），于是可以说，1，2，3阶的群都只有一个.定理6。

10对群〈G，＊〉的任意元素 a,b,（1)（a-1)-1＝a．（2)（a＊b） -1＝b—1＊a—1(3）（a r）—1 = （a–1）r(记为a–r)（r为整数）．证（2)（a＊b）＊(b—1*a-1） = a*（b＊b—1）＊a—1 = e（b—1＊a-1)＊(a*b) = b-1＊（a-1＊a）＊b = e因此a*b的逆元为b-1*a—1，即（a*b） -1＝b—1*a-1．（3）对r归纳。

r = 1时命题显然真。

设（a r）—1 = (a–1)r，即(a–1）r是a r的逆元.那么a r+1＊（a–1)r+1 = a r＊(a＊a-1）*(a–1)r＝a r＊(a–1）r = e（a–1）r+1＊ a r+1 = （a–1)r＊（a-1*a)＊ a r＝（a–1）r＊ a r = e 故a r+1的逆元为(a–1）r+1，即(a r+1） -1 = (a–1)r+1．归纳完成, （2）得证.对群〈G，*〉的任意元素 a，我们可以定义它的幂：a0=e,对任何正整数m,am+1=am*a,又据定理6.1O,在群中可引入”负指数幂”'的概念：a-m= （a-1)m，且容易证明：定理6.11对群<G，*>的任意元素 a,b，及任何整数m，n，（l)a m*a n = a m+n（2)（a m） n = a mn如果我们用aG和Ga分别表示下列集合aG = ｛a＊g |g∈G｝， Ga = ｛g＊a ｜g∈G}那么我们有以下定理．定理 6.12设〈G，*〉为一群,a为 G中任意元素，那么aG = G = Ga特别地,当G为有限群时，＊运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列．证 aG ⊆G是显然的．设 g∈G，那么a–1*g∈G,从而a＊(a–1＊g）∈aG,即 g∈aG．因此 G⊆Ga．aG = G得证．Ga = G同理可证．这一事实的一个明显推论是:当G为有限群时，*运算的运算表的每一行(列）都是G 中元素的一个全排列。

从而有限群〈G，＊〉的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的．因此，当G为1,2,3阶群时,＊运算都只有一个定义方式（即，不计元素记号的不同，只有一张定义＊运算的运算表,如表6.2所示),于是可以说，1,2，3阶的群都只有一个。

表6.2定义6。

8设〈G，＊〉为群,a∈G,称 a 的阶（order）为n，如果a n = e,且n为满足此式的最小正整数。

上述n不存在时，称a有无限阶。

例6.7(1)任何群G的幺元e的阶为1，且只有幺元e的阶为1.(2)<I，+〉中幺元0的阶为1，而整数a 1 0时,a有无限阶。

(3)〈N6 ，+ 6〉中1的阶是6，2的阶是3，3的阶是2，4的阶是3，5的阶是6。

关于元素的阶有以下性质.定理6。

13有限群G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群G的阶数｜G ｜。

证设a为G的任一元素，考虑 e = a0 ，a1 ，a2 ，…，a│G│这|G ｜+1个G中元素。

由于G中只有｜G ｜个元素，因此它们中至少有两个是同一元素，不妨设a r = a s（0 ≤ r < s ≤ |G |)于是a s-r = e，因此a有有限阶,且其阶数至多是s-r，不超过群G的阶数｜G |。

定理6.14设<G，＊〉为群，G中元素a的阶为k，那么,a n = e当且仅当k整除n .证先证充分性．设 a k ＝ e,k整除n，那么n = kr（r为整数），因为a k ＝ e，所以a n = a kr = （a k）r = e r = e 。

再证必要性．设 a n ＝ e,n = mk＋ r，其中m为n除以 k的商，r为余数，因此0≤ r＜k .于是e＝a n＝a mk+r＝a mk＊a r＝a r因此，由k的最小性得r = 0，k整除n ．定理6。

15设〈G,＊〉为群，a为G中任一元素，那么a与a—1具有相同的阶．证只要证 a具有阶n当且仅当a—1具有阶n .由于逆元是相互的，即(a—1）—1＝a,同此只需证：当a具有阶n时,a-1也具有阶n .设a的阶是n，a—1的阶是m 。

由于（a-1）n＝（a n）—1＝e -1＝ e故m≤n 。

又因为a m＝（（a—1）m）-1＝ e -1＝ e故n≤m 。

因此，n＝m 。

6.2。

2 子群、陪集和拉格朗日定理定义6.9设〈G，*〉为群．称〈H，*>为G的子群（subgroups），如果<H，＊>为G 的子代数，且<H，*>为一群．子群有下列特征性(判别法）．定理6。

16设〈G,＊〉为群，那么〈H，*>为〈G,*〉子群的充分必要条件是（l)G的么元e∈H ．（2）若a,b∈H ,则a＊b∈H ．（3）若a∈H，则a-1∈H．证先证必要性．设H为子群．那么（2）是显然的(因H为子代数）．为证（l)，设<H，＊〉的么元为e',那么e’*e’= e’。

由于在G中只有e是等幂元，故e'= e ， e∈H得证。

为证（3)设〈H，＊>中任一元素a的H中逆元为b，那么a*b = b*a = e,由逆元的唯一性，b就是a在G中的逆元，即b = a-1∈H。

充分性是明显的。

事实上只要条件(2），（3）便可使<H，＊〉为〈G，*〉子群，因为H 不空时条件（2)(3)蕴涵条件（l)。

因此，可用（2）,（3)来判别非空子集H是否构成G的子群<H，＊〉。

显然，对任何群G , 〈{e｝，＊〉及〈G，＊〉均为其子群，它们被称为平凡子群，其它子群则称为非平凡子群或真子群．例6.8(l）群〈N6 ,+ 6〉有非平凡子群<｛0，3｝，+ 6〉和〈｛0,2,4｝，+ 6>(2)设E⊆I，E为偶数集。

那么<E，+〉为<I，+〉的子群，但<N,+〉不是〈I,+>的子群.对于有限群，子群的判别更为简单。