第二章：弹性力学基本理论及变分原理

第二章 弹性力学基本理论及变分原理

弹性力学是固体力学的一个分支。它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）

作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。

§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理

在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。

§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式

弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量

11

121314151622

23

24252633

34353644

454655

5666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫

⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪

=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪

⎩⎭⎣

⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为

[]T u u v u v w w ⎧⎫

⎪⎪

==⎨⎬⎪⎪⎩⎭

(2.1.2)

弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为

x y T

z x

y z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭

(2.1.3)

对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程

0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f x

y

z

τστ∂∂∂+++=∂∂∂

0yz zx z

z f x y z

ττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。

平衡方程的矩阵形式为

0A f σ+= （在V 内） (2.1.4)

其中A 是微分算子

00

00

0000

0x y z A y x z z y x ⎡⎤

∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥

⎢⎥∂

∂∂

=⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥

∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣

⎦

体积力向量T

x

y

z f f f f ⎡⎤=⎣⎦

2 几何方程——位移~应变关系

在小变形情况下，几何关系为

x u x ε∂=∂ y v y ε∂=∂ z w

z

ε∂=∂

xy yx u v y x γγ∂∂=

+=∂∂ yz zy v w z y γγ∂∂=+=∂∂ zx xz u w

z x

γγ∂∂=+=∂∂ (2.1.5)

几何关系矩阵形式为

Lu ε= （在V 内） (2.1.6)

其中算子L 为

000000000

T

x y z L A y x z y z

x ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂==⎢

⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣

⎦

3 物理方程——应力~应变关系

对于各向同性的线弹性材料，应力通过应变的表达式可以用矩阵形式表达

D σε= (2.1.7)

其中

1000

111

00011

000(1)1200(1)(12)2(1)

1202(1)

122(1)v v v v v v E v v D v v v v v v v ⎡

⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥-⎢⎥⎢

⎥

-⎢

⎥-==⎢

⎥+--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥

-⎢⎥⎢⎥

-⎢⎥-⎣

⎦

D 称为弹性矩阵，它取决于弹性体的弹性模量

E 和泊松系数v ，D 也可以采用拉梅（Lam ’e ）常数G 和λ表示

2(1)

E G v =

+， (1)(12)Ev

v v λ=+-

对称

注意到(1)

2(1)(12)

E v G v v λ-+=

+-，则独立的弹性常数只有两个。

物理方程的另一表达式为

C εσ= (2.1.8)

C 为柔度矩阵，1C

D -=。 4 边界条件

弹性体V 的全部边界条件为S ，边界1S 上的位移已知，而2S 上的作用力是已知，且12S S S +=。在1S 上，弹性体的位移已知，为u 、v 、w ，则有

u u v v w w === v v = w w =

用矩阵形式表示

u u = （在1S 上） (2.1.9) 在2S 上，x x y xy z zx x

x xy y y z zy y x xz y zy z z z

n n n T n n n T n n n T στττστττσ++=++=++= (2.1.10)

采用矩阵形式，则为

n T σ= (2.1.11)

其中边界外法线n r

用矩阵表示为

0000

0000

0x y z y x z z

y z n n n n n n n n n n ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

T

x y z T T T T ⎡⎤=⎣⎦

综上所述，弹性力学方程记作矩阵形式为

平衡方程 0A f σ+= （在V 内） 几何方程 Lu ε= （在V 内） 物理方程 D σε= （在V 内） 力边界条件 n T σ= （在2S 上） 位移边界条件 u u = （在1S 上） 并且12S S S +=，S 为弹性全的全部边界条件。