第二章：弹性力学基本理论及变分原理

第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。

它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。

本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。

§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。

现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。

§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。

平衡方程的矩阵形式为0A f σ+= （在V 内） (2.1.4)其中A 是微分算子000000000x y z A y x z z y x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂=⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎣⎦体积力向量Txyz f f f f ⎡⎤=⎣⎦2 几何方程——位移~应变关系在小变形情况下，几何关系为x u x ε∂=∂ y v y ε∂=∂ z wzε∂=∂xy yx u v y x γγ∂∂=+=∂∂ yz zy v w z y γγ∂∂=+=∂∂ zx xz u wz xγγ∂∂=+=∂∂ (2.1.5)几何关系矩阵形式为Lu ε= （在V 内） (2.1.6)其中算子L 为000000000Tx y z L A y x z y zx ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂==⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦3 物理方程——应力~应变关系对于各向同性的线弹性材料，应力通过应变的表达式可以用矩阵形式表达D σε= (2.1.7)其中100011100011000(1)1200(1)(12)2(1)1202(1)122(1)v v v v v v E v v D v v v v v v v ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-==⎢⎥+--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦D 称为弹性矩阵，它取决于弹性体的弹性模量E 和泊松系数v ，D 也可以采用拉梅（Lam ’e ）常数G 和λ表示2(1)E G v =+， (1)(12)Evv v λ=+-对称注意到(1)2(1)(12)E v G v v λ-+=+-，则独立的弹性常数只有两个。

物理方程的另一表达式为C εσ= (2.1.8)C 为柔度矩阵，1CD -=。

4 边界条件弹性体V 的全部边界条件为S ，边界1S 上的位移已知，而2S 上的作用力是已知，且12S S S +=。

在1S 上，弹性体的位移已知，为u 、v 、w ，则有u u v v w w === v v = w w =用矩阵形式表示u u = （在1S 上） (2.1.9) 在2S 上，x x y xy z zx xx xy y y z zy y x xz y zy z z zn n n T n n n T n n n T στττστττσ++=++=++= (2.1.10)采用矩阵形式，则为n T σ= (2.1.11)其中边界外法线n r用矩阵表示为000000000x y z y x z zy z n n n n n n n n n n ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Tx y z T T T T ⎡⎤=⎣⎦综上所述，弹性力学方程记作矩阵形式为平衡方程 0A f σ+= （在V 内） 几何方程 Lu ε= （在V 内） 物理方程 D σε= （在V 内） 力边界条件 n T σ= （在2S 上） 位移边界条件 u u = （在1S 上） 并且12S S S +=，S 为弹性全的全部边界条件。

5 弹性体的应变能和余能单位体积的应变能（应变能密度）1()2T U D εεε= (2.1.12)应变能是个正定函数。

单位体积的余能（余能密度）为1()2T V C σσσ= (2.1.13)余能也是个正定函数，在线弹性体中()()U V εσ=。

§2.1.2 弹性力学基本方程的张量形式弹性力学基本方程均可用张量表示，笛卡尔张量是广义曲线坐标系张量中最简单的特例，本文采用笛卡尔张量符号表示，有关张量的知识可参阅本文附录A 。

在直角坐标系(1,2,3)i x i =中，应力张量和应变张量都是对称的二阶张量，分别表示为ij σ和ij ε，且有ij ji σσ=，ij ji εε=。

体积张量、面积张量和位移张量都是一阶张量，用i f 、i T 和i u 表示。

1 平衡方程,0ji j i f σ+= (在V 内) (2.1.14)其中()(),j jx ∂=∂。

2 几何方程1(,,)2ij i j j i u u ε=+ (在V 内) (2.1.15)其展开形式为1111u x ε∂=∂ 2222ux ε∂=∂ 3333u x ε∂=∂1212212112u u x x εε⎛⎫∂∂=+=⎪∂∂⎝⎭ 3223323212u u x x εε⎛⎫∂∂=+= ⎪∂∂⎝⎭ 3131131312u u x x εε⎛⎫∂∂=+= ⎪∂∂⎝⎭此处应注意的是：11x εε= 22y εε= 33z εε=1212xy εγ= 2312yz εγ= 3112zx εγ=3 物理方程广义虎克定律可表示为ij ijkl kl D σε= (在V 内) (2.1.16)ijkl D 是四阶张量，代表了81个弹性常数，由于ij σ和kl ε的对称性，则ijkl D 的前面和后面两个指标分别是对称的，即ijkl jikl D D = ijkl jilk D D =在考虑了对称性后，对于各向异性弹性体，81个弹性常数中仅有21个是独立的；而对于各向同性弹性材料，独立的弹性常数仅有两个，即Lam ’e 常数G 和λ或E 和v ，此时可以简化为2ijkl ik jl ij kl D G δδλδδ=+ (2.1.17)广义虎克定律也可表示为2ij ij ij kk G σελδε=+ (2.1.18)其中ij δ为Kroneeker 符号10ij i ji j δ=⎧=⎨≠⎩(2.1.18)的展开式为11111122332()G σελεεε=+++22221122332()G σελεεε=+++ 33331122332()G σελεεε=+++12122G σε= 23232G σε= 31312G σε=物理方程也可写为ij ijkl kl C εσ=4 边界条件 力边界条件i ij j T n σ= (在2S 上) (2.1.19)位移边界条件i i u u = (在1S 上) (2.1.20)5 应变能和余能 1()2mn ijkl ij kl U D εεε=(2.1.21) 和1()2mn ijkl ij kl V C σσσ= (2.1.22)§2.1.3平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式——虚功原理变形体的虚功原理：变形体中满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即系统外力的虚功与内力的虚功之和等于零。

虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称，虚位移原理是平衡方程和力的边界 条件的等效积分弱形式；虚功原理则是几何方程和位移边界条件的等效积分弱形式。

1 虚位移原理平衡方程和力的边界条件为,0ij j i f σ+= (在V 内)0ij j i n T σ-= (在2S 上)取权函数W u δ=，则有()()2,0iji i ijj i i VS j f u dV n T u dS σδσδ+--=⎰⎰(2.1.23)对上式体积积分中的第一项进行分部积分，并注意到ij ji σσ=，以及在1S 上0i u δ=和()1,,2i j j i ij u u δδδε+=则有 ()221,,,2i ij j i ij j i j j i ij V S V i ij j ij ij S Vu dV u n dS u u dV u n dS dVδσδσδδσδσδεσ=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰ (2.1.24)将上式代回(2.1.23)中，就得到它经分部积分后的弱形式。

()20ijiji i i VS u f dV u TdS δεσδδ-++=⎰⎰ (2.1.25)上式积分中的第一项是变形体内的应力在虚应变上所作的功，即内力的虚功；第二项及第三项积分分别是体积力和面积力在虚位移上所作的功，即外力的虚功。

内力的虚功和外力的虚功总和为零，这就是虚功原理。

此虚功原理是外力和内力分别在虚位移和与之相协调的虚应变上所作的功。

故此为虚功原理中的虚位移原理。

它是平衡方程和力的边界条件的等效弱形式。

对此虚位移原理有必要进一步作以下几点说明： （1）在物理意义上，如果力系(ij σ、i f 和i T )是平衡的(即在内部满足,0ij j i f σ+=，在2S 上满足ij j i n T σ=)，则它们在给定的虚位移(在1S 上满足0i u δ=)和虚应变上(()1,,2ij i j j i u u δεδδ=+)所作的功的总和为零。

反之，如果力系在虚位移(及虚应变)上所作的功之和等于零，则它们一定满足平衡，所以虚位移原理表达了力系平衡的必要充分条件。

（2） 作为平衡方程和力边界条件的等效积分弱形式，虚功原理的建立是从选择在1S 上满足边界条件和几何关系的函数为条件的。