现代控制理论讲义(1,2.4)

第一章绪言

1－1 自动控制发展历史简介

自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的发展和科学水平的进步而不断发展。早在公元前300年，古希腊就运用反馈控制原理设计了浮子调节器，并应用于水钟和油灯中。在如图1－1所示的水钟原理图中，最上面的蓄水池提供水源，中间蓄水池浮动水塞保证恒定水位，以确保其流出的水滴速度均匀，从而保证最下面水池中的带有指针的浮子均匀上升，并指示出时间信息。

同样早在1000多年前，我国古代先人们也发明了铜壶滴漏计时器、指南车等控制装置。首次应用于工业的自控器是瓦特（J.Watt）于1769年发明的用来控制蒸汽机转速的飞球控制器，如图1－2所示。而前苏联则认为1765年珀尔朱诺夫（I.Polzunov）的浮子水位调节器最有历史意义。

图1－1 水钟原理图图图 1－2 飞球转速调节器原理图

1868年以前，自控装置和系统的设计还处于直觉阶段，没有系统的理论指导，因此在控制系统的各项性能（如稳、准、快）的协调控制方面经常出现问题。十九世纪后半叶，许多科学家开始基于数学理论的自控理论的研究，并对控制系统的性能改善产生了积极的影响。1868年，麦克斯威尔（J.C.Maxwell）建立了飞球控制器的微分方程数学模型，并根据微分方程的解来分析系统的稳定性。1877年，罗斯（E.J.Routh）提出了不求系统微分方程根的稳定性判据。1895年，霍尔维茨（A.Hurwitz）也独立提出了类似的霍尔维茨稳定性判据。第二次世界大战前后，由于自动武器的需要，为控制理论的研究和实践提出了更大的需求，从而大大推动了自控理论的发展。1948年，数学家维纳(N.Wiener)的<<控制论>>(CYBERNETICS)一书的出版，标志着控制论的正式诞生。这个“关于在动物和机器中的控制和通讯的科学”(Wiener所下的经典定义)经过了半个多世纪的不断发展，其研究内容及其研究方法都有了很大的变化。图1－3所示为控制理论的主要发展历史。

图1－3 控制理论发展简史

概括地说，控制论发展经过了三个时期：

第一阶段是四十年代末到五十年代的经典控制论时期，着重研究单机自动化，解决单输入单输出（SISO-Single Input Single Output）系统的控制问题；它的主要数学工具是微分方程、拉普拉斯变换和传递函数；主要研究方法是时域法、频域法和根轨迹法；主要问题是控制系统的快速性、稳定性及其精度。

第二阶段是六十年代的现代控制理论时期，着重解决机组自动化和生物系统的多输入多输出

（MIMO-Multi-Input Multi-Output）系统的控制问题；主要数学工具是一次微分方程组、矩阵论、状态空间法等等；主要方法是变分法、极大值原理、动态规划理论等；重点是最优控制、随机控制和自适应控制；核心控制装置是电子计算机；

第三阶段是七十年代的大系统理论时期，着重解决生物系统、社会系统这样一些众多变量的大系统的综合自动化问题；方法是时域法为主；重点是大系统多级递阶控制；核心装置是网络化的电子计算机。

从控制论的观点看，人是最巧妙，最灵活的控制系统。它善于根据条件的变化而作出正确的处理。如何将人的智能应用于实际的自动控制系统中，这是个有重要意义的问题。七十年代开始，人们不仅解决社会、经济、管理、生态环境等系统问题，而且为解决模拟人脑功能，形成了新的学科----人工智能科学，这是控制论的发展前沿。计算机技术的发展为人工智能的发展提供了坚实的基础。人们通过计算机的强大的信息处理能力来开发人工智能，并用它来模仿人脑。在没有人的干预下，人工智能系统能够进行自我调节、自我学习和自我组织，以适应外界环境的变化，并作出相应的决策和控制。

1－2 现代控制理论的基本内容

科学在发展，控制论也在不断发展。所以“现代”两个字加在“控制理论”前面，其含义会给人误解的。实际上，我们讲的现代控制理论指的是五六十年代所产生的一些控制理论，主要包括：

用状态空间法对多输入多输出复杂系统建模，并进一步通过状态方程求解分析，研究系统的可控性、可观性及其稳定性，分析系统的实现问题；

用变分法、最大（最小）值原理、动态规划原理等求解系统的最优控制问题；其中常见的最优控制包括时间最短、能耗最少等等，以及它们的组合优化问题；相应的有状态调节器、输出调节器、跟踪器等综合设计问题；

最优控制往往要求系统的状态反馈控制，但在许多情况下系统的状态是很难求得的，往往需要一些专门的处理方法，如卡尔曼滤波技术来求得。这些都是现代控制理论的范畴。

六十年代以来，现代控制理论各方面有了很大的发展，而且形成几个重要的分支课程，如线性系统理论，最优控制理论，自适应控制理论，系统辩识理论，等等。

对控制系统一定要进行定量分析，否则就没有控制论；而要进行定量分析，就必须用数学模型来刻划描述系统，也即建立系统的数学模型，这是一个很重要的问题。

经典控制论中常用一个高阶微分方程来描述系统的运动规律，而现代控制论中采用的是状态空间法，就是用一组状态变量的一阶微分方程组作为系统的数学模型。这是现代控制理论与经典控制理论的一个重要区别。从某种意义上说，经典控制中的微分方程只能描述系统的输入与输出的关系，却不能描述系统内部的结构及其状态变量，它描述的只是一个‘黑箱’系统。而现代控制论中的状态空间法不但能描述系统输入与输出的关系，而且还能完全描述内部的结构及其状态变量的关系，它描述的是一个‘白箱’系统。由于能够描述更多的系统信息，所以可以实现更好的系统控制。

第二章状态空间分析法

2－1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程

任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组(一个或多个)独立的状态变量来描述。

设系统有n个状态变量x1，x2，…，x n，它们都是时间t的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由x1，x2，…，x n为轴的n维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:X = (x1，x2，…，x n)T，X称作系统的状态向量。

设系统的控制输入为：u1，u2，...，u r，它们也是时间t的函数。记：U = (u1，u2，...，u r)T，那么表示系统状态变量X(t)随系统输入U(t)以及时间t变化的规律的方程就是控制系统的状态方程，如式（2－1）所示。

………………………………………………………………（2－1）其中 F = (f1，f2，...，f n)T是一个函数矢量。

设系统的输出变量为y1，y2，...，y m，则Y = (y1，y2，...，y m)T 称为系统的输出向量。表示输出变量Y(t)