假设检验的习题及详解包括典型考研真题

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假设检验习题和答案

假设检验习题和答案

第三章 假设检验3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000(小时),现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950(小时)。

已知这种元件寿命服从标准差100σ=(小时)的正态分布,试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。

{}01001:1000, H :1000X 950 100 n=25 10002.5V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设:构造统计量:此问题情形属于u 检验,故用统计量:此题中:代入上式得:拒绝域:本题中:0.950.950u 1.64u 0.0u H =>∴即,拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。

3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为(%): 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值服从正态分布,问在0.01α=下能否接受假设,这批矿砂的镍含量为0101102: 3.25 H :t 3.252, S=0.0117, n=50.3419H x μμμμσ==≠==提出假设:构造统计量:本题属于未知的情形,可用检验,即取检验统计量为:本题中,代入上式得:否定域为:1-20.995120 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t tH ααα-⎧⎫-⎨⎬⎩⎭==<∴本题中,接受认为这批矿砂的镍含量为。

3.5确定某种溶液中的水分,它的10个测定值0.452%,0.035%,X S ==2N(,),μσ设总体为正态分布试在水平5%检验假设:0101() H :0.5% H :0.5%() H :0.04% H :0.0.4%i ii μμσσ≥<≥<{}0.95()0.452% S=0.035%-4.1143(1)0.05 n=10 t (9) 1.833i t X n ασα==-==1-构造统计量:本文中未知,可用检验。

取检验统计量为X 本题中,代入上式得:0.452%-0.5%拒绝域为:V=t >t 本题中,01 4.1143H <=∴t 拒绝{}22200222212210.952()nS S 0.035% n=10 0.04%100.035%7.65630.04% V=(1)(1)(9)16.919ii n n ααμχσσχχχχχχ--===*==>--==2构造统计量:未知,可选择统计量本题中,代入上式得:()()否定域为:本题中, 210(1)n H αχ-<-∴接受3.9设总体116(,4),,,XN X X μ为样本,考虑如下检验问题:{}{}01123:0 H :1() =0.05 V ={2X -1.645}V = 1.502X 2.125V =2X 1.962X 1.96(ii)H i μμα==-≤≤≤≤-≥试证下述三个检验(否定域)犯第一类错误的概率同为或通过计算他们犯第二类错误的概率,说明哪个检验最好?解:{}{}{}{}00.97512012()0.050.05:02*1.960.052 1.64502 1.645 1.645( 1.645)1(1.645)=1-0.95=0.05V 1.502 2.i P x V H X U U H X V X X P X P X ααμσμσ-=∈=⎧⎫-⎪⎪=>==⎨⎬⎪⎪⎩⎭=∴>==≤-⎧⎫⎪⎪-⎪⎪≤-=≤-=Φ-=-Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=≤≤即,P U 这里P {}{}{}{}{}{}203301110125 1.50 2.120(2.215)(1.50)0.980.930.052 1.962 1.962 1.96 1.96P(V H )=1-P 2 1.962(1(1.96))0.05ii :2 1.645X P V H V X X X X H V X σββ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=≤≤⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=Φ-Φ=-=⎫⎪⎪=≤-≥=≥=≥⎬⎪⎪⎭<=-Φ=X ≥-或()犯第二类错误的概率 =P -V =P {}1μ=-{}{}223310.3551(0.355)0.36:1 1.502 2.12511 4.125:2 1.96110.04 3.96V P X V P X σβμσβμσ⎧⎫⎪⎪+⎪⎪≥=-Φ=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=-≤≤=-⎧⎫⎪⎪+⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭ΦΦ=≤=-⎧⎫⎪⎪+⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎪⎩⎭X =P X =1-P 3.50 =1-(4.125)+(3.50)=1X =P ⎪ΦΦ∴11 =(3.96)-(0.04)=0.99996092-0.516=0.48396092V 出现第二类错误的概率最小,即V 最好。

假设检验考试试题及答案解析

假设检验考试试题及答案解析

假设检验考试试题及答案解析一、单选题(本大题9小题.每题1.0分,共9.0分。

请从以下每一道考题下面备选答案中选择一个最佳答案,并在答题卡上将相应题号的相应字母所属的方框涂黑。

)第1题假设检验中的显著性水平α是( )。

A 推断时犯第Ⅱ类错误的概率B 推断时犯第Ⅰ和第Ⅱ类错误的概率C 推断时犯第Ⅰ类错误的概率D 推断时犯第Ⅲ类错误的概率【正确答案】:C【本题分数】:1.0分【答案解析】[解析] 显著性水平α是犯第Ⅰ类错误的概率,也就是原假设H0为真,却拒绝H的概率。

第2题当总体服从正态分布,但总体方差未知的情况下,H0:μ=μ,H1:μ<μ则H的拒绝域为( )。

A t≤tα(n-1)B t≤-tα(n-1)C t>-tα(n-1)D t≤(n-1)【正确答案】:B【本题分数】:1.0分第3题从一批零件中抽出100个测量其直径,测得平均直径为5.2cm,标准差为1.6cm,想知道这批零件的直径是否服从标准直径5cm,因此采用t检验法,那么在显著性水平α下,接受域为( )。

模考吧网提供最优质的模拟试题,最全的历年真题,最精准的预测押题!A |t|≥tα/2(99)B |t|<tα/2(100)C |t|<tα/2(99)D |t|≤tα/2(99)【正确答案】:C【本题分数】:1.0分【答案解析】[解析] 采用t检验法进行双边检验时,因为,所以在显著性水平α下,接受域为|t|≤tα/2(99)。

第4题在假设检验中,若抽样单位数不变,显著性水平从0.01提高到0.1,则犯第二类错误的概率( )。

A 也将提高B 不变C 将会下降D 可能提高,也可能不变【正确答案】:C【本题分数】:1.0分【答案解析】[解析] 原假设H0非真时作出接受H的选择,这种错误称为第二类错误。

在一定样本容量下,减少α会引起β增大,减少β会引起α的增大。

第5题机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中,分别抽取两个样本,检验两台机床的加工精度是否相同,则提出假设( )。

考研数学一(参数估计与假设检验)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学一(参数估计与假设检验)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学一(参数估计与假设检验)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.[2018年] 设总体X服从正态分布X~N(μ,σ2)其中σ2已知.X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,对总体均值μ进行检验,假设H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0.则( ).A.若显著性水平α=0.05时拒绝H0,则在检验水平α=0.01时也拒绝H0B.若显著性水平α=0.05时接受H0,则在检验水平α=0.01时拒绝H0 C.若显著性水平α=0.05时拒绝H0,则在检验水平α=0.01时接受H0 D.若显著性水平α=0.05时接受H0,则在检验水平α=0.01时也接受H0正确答案:D解析:如图所示,Zα/2表示标准正态分布的上分位数,即图中阴影部分的面积为.区间(一Zα/2,Zα/2)是在显著性水平α下的接受域.若显著性水平α=0.05时接受H0,即表示检验统计量的观察值落在接受域(一Z0.025,Z0.025)内.区间(一Z0.005,Z0.005)包含(一Z0.025,Z0.025),因此其观察值也落在区间(一Z0.005,Z0.005)内,即落在接受域内,所以选项D正确,B错误.α=0.05时拒绝H0,即Z的观察值落在拒绝域(一∞,一Z0.025]∪[Z0.025,+∞)内;但区间(一∞,一Z0.005]∪[Z0.005,+∞)包含于(一∞,一Z0.025]∪[Z0.025,+∞),因此无法判断观察值是否落在区间(一∞,一Z0.005]∪[Z0.005,+∞)内,选项A、C无法确定.故选D.知识模块:参数估计与假设检验填空题2.[2009年] 设X1,X2,…,Xm为来自-N分布总体B(n,p)的简单随机样本,和S2分别为样本均值和样本方差,若+kS2为np2的无偏估计量,则k=______.正确答案:一1解析:由题设有E(+kS2)=np2,而E(X2+kS2)=E()+kE(S2)=E(X)+kD(X)=np+knp(1一p),故np+kn(1-p)=np2,即k(1一p)=p-1,亦即k=一1.知识模块:参数估计与假设检验3.[2014年] 设总体X的概率密度为其中θ是未知参数,X1,X2,…,Xn为来自总体的简单样本,若是θ2的无偏估计,则c=______.正确答案:解析:由无偏估计的定义得到,因而故知识模块:参数估计与假设检验4.[2016年] 设x1,x2,…,xn为来自总体N(μ,σ2)的简单随机样本,样本均值.=9.5,参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8,则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.正确答案:(8.2,10.8)解析:因,则故其中α=0.05,故μ的置信度为0.95的双侧置信区间为因μ的置信区间的置信上限为10.8,且,则所以μ的双侧置信区间为(9.5—1.3,9.5+1.3)=(8.2,10.8).知识模块:参数估计与假设检验5.[2003年] 已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(μ,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40(cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是______.(注:标准正态分布函数值ф(1.96)=0.975,ф(1.645)=0.95)正确答案:(39.51,40.49)解析:因1一α=0.95,即α=0.05,故uα/2=u0.025,1—0.025=0.975=ф(1.96),则uσ/2=1.96.于是由,得到将=40,σ=1,n=16代入上式,即得μ的置信度为0.95的置信区间(40一(1/4)×1.96,40+(1/4)×1.96)=(39.51,40.49).知识模块:参数估计与假设检验解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(完整版)假设检验习题及答案

(完整版)假设检验习题及答案

第三章 假设检验3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000(小时),现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950(小时)。

已知这种元件寿命服从标准差100σ=(小时)的正态分布,试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。

{}01001:1000, H :1000X 950 100 n=25 10002.5V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设:构造统计量:此问题情形属于u 检验,故用统计量:此题中:代入上式得:拒绝域:本题中:0.950.950u 1.64u 0.0u H =>∴即,拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。

3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为(%): 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值服从正态分布,问在0.01α=下能否接受假设,这批矿砂的镍含量为0101102: 3.25 H :t X 3.252, S=0.0117, n=50.3419H x μμμμσ==≠==提出假设:构造统计量:本题属于未知的情形,可用检验,即取检验统计量为:本题中,代入上式得:否定域为:1-20.995120 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t tH ααα-⎧⎫-⎨⎬⎩⎭==<∴Q 本题中,接受认为这批矿砂的镍含量为。

3.5确定某种溶液中的水分,它的10个测定值0.452%,0.035%,X S ==2N(,),μσ设总体为正态分布试在水平5%检验假设:0101() H :0.5% H :0.5%() H :0.04% H :0.0.4%i ii μμσσ≥<≥<{}0.95()0.452% S=0.035%-4.1143(1)0.05 n=10 t (9) 1.833i t X n ασα==-==1-构造统计量:本文中未知,可用检验。

取检验统计量为X 本题中,代入上式得: 0.452%-0.5%拒绝域为:V=t >t 本题中,01 4.1143H <=∴t 拒绝{}22200222212210.952()nS S 0.035% n=10 0.04%100.035%7.65630.04% V=(1)(1)(9)16.919ii n n ααμχσσχχχχχχ--===*==>--==Q 2构造统计量:未知,可选择统计量本题中,代入上式得:()()否定域为:本题中, 210(1)n H αχ-<-∴接受3.9设总体116(,4),,,X N X X μ:K 为样本,考虑如下检验问题:{}{}01123:0 H :1() =0.05 V ={2X -1.645}V = 1.502X 2.125V =2X 1.962X 1.96(ii)H i μμα==-≤≤≤≤-≥试证下述三个检验(否定域)犯第一类错误的概率同为或通过计算他们犯第二类错误的概率,说明哪个检验最好?解:{}{}{}{}00.97512012()0.050.05:02*1.960.052 1.64502 1.645 1.645( 1.645)1(1.645)=1-0.95=0.05V 1.502 2.i P x V H X U U H X V X X P X P X ααμσμσ-=∈=⎧⎫-⎪⎪=>==⎨⎬⎪⎪⎩⎭=∴>==≤-⎧⎫⎪⎪-⎪⎪≤-=≤-=Φ-=-Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=≤≤即,P U 这里P {}{}{}{}{}{}203301110125 1.50 2.120(2.215)(1.50)0.980.930.052 1.962 1.962 1.96 1.96P(V H )=1-P 2 1.962(1(1.96))0.05ii :2 1.645X P V H V X X X X H V X σββ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=≤≤⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=Φ-Φ=-=⎫⎪⎪=≤-≥=≥=≥⎬⎪⎪⎭<=-Φ=X ≥-或()犯第二类错误的概率 =P -V =P {}1μ=-{}{}223310.3551(0.355)0.36:1 1.502 2.12511 4.125:2 1.96110.04 3.96V P X V P X σβμσβμσ⎧⎫⎪⎪+⎪⎪≥=-Φ=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=-≤≤=-⎧⎫⎪⎪+⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭ΦΦ=≤=-⎧⎫⎪⎪+⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎪⎩⎭X =P X =1-P 3.50 =1-(4.125)+(3.50)=1X =P ⎪ΦΦ∴11 =(3.96)-(0.04)=0.99996092-0.516=0.48396092V 出现第二类错误的概率最小,即V 最好。

概率论部分习题解答与提示、典型例题选讲

概率论部分习题解答与提示、典型例题选讲

/ n
200
由于 u 1.875u1 1.645, 从而否定原假设 H 0 , 接受备择假设 H1, 即认为新工艺事
实上提高了灯管的平均寿命.
11
2.方差 2 未知情形 例 3 水泥厂用自动包装机包装水泥, 每袋额定重量是 50kg, 某日开工后随机抽查了 9 袋, 称得重量如下:
49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2 设每袋重量服从正态分布,问包装机工作是否正常 ( 0.05)?
解 (1) 建立假设 H0 : 50, H1 : 50.
(2) 选择统计量T X 0 ~ t(n 1). Sn / n 1
(3) 对于给定的显著性水平 , 确定 k, 使 P{| T |k} 查 t 分布表得 k t1 /2 t0.975 (8) 2.306, 从而拒绝域为 | t | 2.306.
570, 2 82 ; 今换了一批材料, 从性能上看估计折断力的方差 2 不会有什么变化 (即
仍有 2 82 ), 但不知折断力的均值 和原先有无差别. 现抽得样本, 测得其折断力为:
578 572 570 568 572 570 570 572 596 584
取 0.05, 试检验折断力均值有无变化?
本例中 0 21.5, n 6, 对于给定的显著性水平 0.05, 查附表得
t1 (n 1) t0.95 (5) 2.015.
再据测得的 6 个寿命小时数算得: x 20, sn*2 10.
由此计算 t x 0 20 21.5 6 1.162.
sn* / n
10
因为 t 1.162 2.015 t0.95 (5), 所以不能否定原假设 H 0 , 从而认为这种类型电池的

假设检验练习试题-答案解析

假设检验练习试题-答案解析

假设检验练习题1. 简单回答下列问题:1)假设检验的基本步骤?答:第一步建立假设 (通常建立两个假设,原假设H0 不需证明的命题,一般是相等、无差别的结论,备择假设H1,与H0对立的命题,一般是不相等,有差别的结论)有三类假设第二步选择检验统计量给出拒绝域的形式。

根据原假设的参数检验统计量:对于给定的显著水平样本空间可分为两部分:拒绝域W 非拒绝域A拒绝域的形式由备择假设的形式决定H1: W为双边H1: W为单边H1: W为单边第三步:给出假设检验的显著水平第四步给出零界值C,确定拒绝域W有了显著水平按照统计量的分布可查表得到临界值,确定拒绝域。

例如:对于=0.05有的双边 W为的右单边 W为的右单边 W为第五步根据样本观测值,计算和判断计算统计量 Z 、 t 、当检验统计量的值落在W内时能拒绝,否则接受(计算P值 227页 p值由统计软件直接得出时拒绝,否则接受计算1-a的置信区间置信区间由统计软件直接得出统计量落入置信区间接受,否则接受)2)假设检验的两类错误及其发生的概率?答:第一类错误:当为真时拒绝,发生的概率为第二类错误:当为假时,接受发生的概率为3)假设检验结果判定的3种方式?答:1.计算统计量 Z 、 t 、当检验统计量的值落在W内时能拒绝,否则接受2.计算P值 227页 p值由统计软件直接得出时拒绝,否则接受3.计算1-a的置信区间置信区间由统计软件直接得出,落入置信区间接受,否则接受4)在六西格玛A阶段常用的假设检验有那几种?应用的对象是什么?答:连续型(测量的数据):单样本t检验 -----比较目标均值双样本t检验 -----比较两个均值方差分析 -----比较两个以上均值等方差检验 -----比较多个方差离散型(区分或数的数据):卡方检验 -----比较离散数2.设某种产品的指标服从正态分布,它的标准差σ=150,今抽取一个容量为26 的样本,计算得平均值为1 637。

问在5%的显著水平下,能否认为这批产品的指标的期望值μ = 1600。

假设检验的习题及详解包括典型考研真题

假设检验的习题及详解包括典型考研真题

§假设检验基本题型Ⅰ 有关检验统计量和两类错误的题型【例8.1】u 检验、t 检验都是关于 的假设检验.当 已知时,用u 检验;当 未知时,用t 检验.【分析】 由u 检验、t 检验的概念可知,u 检验、t 检验都是关于均值的假设检验,当方差2σ为已知时,用u 检验;当方差2σ为未知时,用t 检验. 【例8.2】设总体2(,)XN u σ,2,u σ未知,12,,,n x x x 是来自该总体的样本,记11ni i x x n ==∑,21()ni i Q x x ==-∑,则对假设检验0010::H u u H u u =↔≠使用的t 统计量t = (用,x Q 表示);其拒绝域w = . 【分析】2σ未知,对u 的检验使用t 检验,检验统计量为(1)x t t n ==-对双边检验0010::H u u H u u =↔≠,其拒绝域为2{||(1)}w t t n α=>-.【例8.3】设总体211(,)XN u σ,总体222(,)Y N u σ,其中2212,σσ未知,设112,,,n x x x 是来自总体X 的样本,212,,,n y y y 是来自总体Y 的样本,两样本独立,则对于假设检验012112::H u u H u u =↔≠,使用的统计量为 ,它服从的分布为 .【分析】记1111n i i x x n ==∑,2121n i i y y n ==∑,因两样本独立,故,x y 相互独立,从而在0H 成立下,()0E x y -=,221212()()()D x y D x D y n n σσ+=+=+,故构造检验统计量(0,1)x yu N =.【例8.4】设总体2(,)XN u σ,u 未知,12,,,n x x x 是来自该总体的样本,样本方差为2S ,对2201:16:16H H σσ≥↔<,其检验统计量为 ,拒绝域为 .【分析】u 未知,对2σ的检验使用2χ检验,又由题设知,假设为单边检验,故统计量为222(1)(1)16n S n χχ-=-,从而拒绝域为221{(1)}n αχχ-<-.【例8.5】某青工以往的记录是:平均每加工100个零件,由60个是一等品,今年考核他,在他加工零件中随机抽取100件,发现有70个是一等品,这个成绩是否说明该青工的技术水平有了显著性的提高(取0.05α=)?对此问题,假设检验问题应设为 【 】()A 01:0.6:0.6H p H p ≥↔<. ()B 01:0.6:0.6H p H p ≤↔>. ()C 01:0.6:0.6H p H p =↔≠. ()D 01:0.6:0.6H p H p ≠↔=.【分析】一般地,选取问题的对立事件为原假设.在本题中,需考察青工的技术水平是否有了显著性的提高,故选取原假设为0:0.6H p ≤,相应的,对立假设为1:0.6H p >,故选()B .【例8.6】某厂生产一种螺钉,标准要求长度是68mm ,实际生产的产品,其长度服从2(,3.6)N u ,考察假设检验问题01:68:68H u H u =↔≠.设x 为样本均值,按下列方式进行假设检验:当|68|1x ->时,拒绝原假设0H ;当|68|1x -≤时,接受原假设0H . (1)当样本容量36n =时,求犯第一类错误的概率α; (2)当样本容量64n =时,求犯第一类错误的概率α;(3)当0H 不成立时(设70u =),又64n =时,按上述检验法,求犯第二类错误的概率β. 【解】(1)当36n =时,223.6(,)(,0.6)36xN u N u =,000{|68|1|}{67|}{69|}P x H P x H P x H α=->=<+>成立成立成立67686968()[1()]( 1.67)[1(1.67)]0.60.6--=Φ+-Φ=Φ-+-Φ 2[1(1.67)]2[10.99575]0.095=-Φ=-=.(2)当64n =时,223.6(,)(,0.45)64xN u N u =000{|68|1|}{67|}{69|}P x H P x H P x H α=->=<+>成立成立成立67686968()[1()]0.450.45--=Φ+-Φ 2[1(2.22)]2[10.9868]0.0264=-Φ=-=.(3)当64n =,又70u =时,2(70,0.45)xN ,这时犯第二类错误的概率(70){|68|1|70}{6769|70}P x u P x u β=-≤==≤≤=69706770()()( 2.22)( 6.67)0.450.45--=Φ-Φ=Φ--Φ- (6.67)(2.22)10.98680.0132=Φ-Φ=-=.【评注】01(1)(2)的计算结果表明:当n 增大时,可减小犯第一类错误的概率α;02 当64n =,66u =时,同样可计算得到(66)0.0132β=.03 当64n =,68.5u =时,2(68.5,0.45)xN ,则(68.5){6769|68.5}P x u β=≤≤= 6968.56768.5()()(1.11)( 3.33)0.450.45--=Φ-Φ=Φ-Φ-0.8665[10.9995]0.8660=--=.这表明:当原假设0H 不成立时,参数真值越接近于原假设下的值时,β的值就越大. 【例8.7】设总体2(,)XN u σ,12,,,n x x x 是来自该总体的样本,对于检验01:0:0H u H u ≤↔>,取显著性水平α,拒绝域为:{}w u u α=>,其中u =,求:(1)当0H 成立时,求犯第一类错误的概率()u α; (2)当0H 不成立时,求犯第二类错误的概率()u β. 【解】(1)当0H 成立时,0u ≤,则(){|0}|0}u P u u u P u u ααα=>≤=>≤()|0}1()(0)P x u u u u u αα=->≤=-Φ≤因0u ≤,故()()1u u αααΦ≥Φ=-,从而()1()1(1)u u αααα≤-Φ=--=,即犯第一类错误的概率不大于α.(2)(){|0}()|0}u P u u u P x u u u ααβ=≤>=-≤>()(0)u u α=Φ>因0u >,故当u →+∞时,()0u β→,即u 与假设0H 偏离越大,犯第二类错误的概率越小;而当0u +→时,()1u βα→-,即当u 为正值且接近0时,犯第二类错误的概率接近1α-.基本题型Ⅱ 单个正态总体的假设检验【例8.8】某天开工时,需检验自动包装机工作是否正常,根据以往的经验,其包装的质量在正常情况下服从正态分布2(100,1.5)N (单位:kg ),先抽测了9包,其质量为: 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.0,100.5 问这天包装机工作是否正常?【分析】 关键是将这一问题转化为假设检验问题.因检验包装机工作是否正常,化为数学问题应为双边检验01:100:100H u H u =↔≠.【解】由题意,提出假设检验问题:01:100:100H u H u =↔≠, 选取检验统计量(0,1)x u N =当0.05α=时,0.02521.96u u α==,又20.04 1.96u u α==<=,即接受原假设0H ,认为包装机工作正常.【例8.9】已知某种元件的寿命服从正态分布,要求该元件的平均寿命不低于1000h ,现从这批元件中随机抽取25知,测得平均寿命980X h =,标准差65S h =,试在水平0.05α=下,确定这批元件是否合格.【解】由题意,2σ未知,在水平0.05α=下检验假设0010:1000:1000H u u H u u ==↔<=属于单边(左边)t 检验.构造检验统计量 (1)x t t n =-,其中25,65,980n S X h ===,查t 分布表可得:0.05(1)(251) 1.7109t n t α-=-=,又0.05|| 1.538(24) 1.7109x t t ===<=.即接受原假设0H ,认为这批元件是合格的.【例8.10】某厂生产的一中电池,其寿命长期以来服从方差225000()σ=小时的正态分布,现有一批这种电池,从生产的情况来看,寿命的波动性有所改变,现随机地抽取26只电池,测得寿命的样本方差229200()S =小时,问根据这一数据能否推断这批电池寿命的波动性较以往有显著性的变化(取0.02α=).【解】 检验假设2201:5000:5000H H σσ=↔≠,选取统计量2222(1)(1)n S n χχσ-=-,由0.02α=,26n =,查2χ分布表可得220.012(1)(25)44.314n αχχ-==,220.0912(1)(25)11.524n αχχ--==, 又统计量2220.012(1)46(25)44.314n S χχσ-==>=,故拒绝原假设0H ,即认为这批电池寿命的波动性较以往有显著性的变化.【例8.11】 某种导线,要求其电阻的标准不得超过0.005(欧姆),今在生产的一批导线中取样品9根,测得0.007S =(欧姆),设总体为正态分布,问在水平0.05α=下,能否认为这批导线的标准差显著性地偏大?【解】本题属于总体均值未知,正态总体方差的单边检验问题0010:0.005:0.005H H σσσσ==↔>=选取统计量2222(1)(1)n S n χχσ-=-当0.05α=,9n =时,查2χ分布表可得:220.05(1)(8)15.507n αχχ-==,又题设0.007S =,则统计量22220.0522(1)80.00715.68(8)15.5070.005n S χχσ-⨯===>=. 故拒绝原假设0H ,认为这批导线的标准差显著性地偏大.【例8.12】 机器自动包装食盐,设每袋盐的净重服从正态分布,规定每袋盐的标准重量为500克,标准差不超过10克.某天开工以后,为了检查机器工作是否正常,从已包装好的食盐中随机抽取9袋,测得其重量(克)为:497,507,510,475,484,488,524,491,515问这天自动包装机工作是否正常(显著性水平0.05α=)? 【解】 设每袋盐重量为随机变量X ,则2(,)XN u σ,为了检查机器是否工作正常,需检验假设:01:500H u =及202:100H σ≤.下面现检验假设0111:500:500H u H u =↔≠ 由于2σ未知,故构造统计量(1)x t t n =-由于0.05α=,查t 分布表可得0.0252(1)(8) 2.306t n t α-==,又由题设计算可得499,16.03X S ==,故统计量取值0.025||0.187(8) 2.306x t t ===<=即接受原假设01H ,认为机器包装食盐的均值为500克,没产生系统误差.下面在检验假设220212:100:100H H σσ≤↔>选取统计量2222(1)(1)n S n χχσ-=-,由于0.05α=,查2χ分布表可得220.05(1)(8)15.5n αχχ-==,而统计量2220.052(1)20.56(8)15.5n S χχσ-==>=,故拒绝原假设02H ,接受12H ,即认为其标准差超过了10克.由上可知,这天机器自动包装食盐,虽没有产生系统误差,但生产不够稳定(方差偏大),从而认为这天自动包装机工作不正常.基本题型Ⅲ 两个正态总体的假设检验【例8.13】 下表给出了两个文学家马克·吐温(Mark Twain )的8偏小品文以及斯诺·特格拉斯(Snodgrass )的10偏小品文中由3格字母组成的词比例.马克·吐温: 0.225,0.262,0.217,0.240,0.230,0.229,0.235,0.217斯诺·特格拉斯:0.209,0.205,0.196,0.210,0.202,0.207,0.224,0.223,0.220,0.201 设两组数据分别来自正态分布,且两总体方差相等,两样本相互独立,问两个作家所写的小品文中包含由3格字母组成的词的比例是否有显著性的差异(0.05α=)?【分析】首先应注意题中的“比例”即“均值”的含义,因而本题应属于未知方差,却知其相等的两正态母体,考虑它们的均值是否相等的问题.【解】设题中两正态母体分别记为,X Y ,其均值分别为12,u u ,因而检验问题如下:012112::H u u H u u =↔≠选取统计量(2)X Y T t n m =+-,其中8,10n m ==,()()22122112wn S m S Sn m -+-=+-,在0.05α=时,查t 分布表可得()()/20.025216 2.1199t n m t α+-==由题设样本数据计算可得22120.2319,0.2097,0.00021,0.00009X Y S S ====,0.119w S ===.从而t统计量值为()0.025|| 3.964316 2.1199X Y T t ===>=,因而拒绝原假设0H ,认为两个作家所写的小品文中包含由3格字母组成的词的比例有显著性的差异.【例8.14】据专家推测:矮个子的人比高个子的人的寿命要长一些,下面给出了美国31个自然死亡的总统的寿命.矮个子(身高小于5英尺8英寸)总统 Modison Van Buren B.Harrison J.Adams J.Q.Adams 身高 5’4” 5’6” 5’6” 5’7” 5’7” 寿命 85 79 67 90 80高个子(身高大于5英尺8英寸)总统 W.Harrison Plok Tayler Crant Hayes Truman Fillmore Pierce A.Johson 身高 5’8” 5’8” 5’8”5’8.5” 5’8.5” 5’9” 5’9” 5’10” 5’10” 寿命 68 53 65 63 70 88 74 64 66 总统 T.Roosevelt Coolidge Eisenhower Cleveland Wilson Hoover Monroe Tyler 身高 5’10” 5’10” 5’10” 5’11” 5’11” 5’11” 6’ 6’ 寿命 60 60 78 71 67 90 73 71 总统 Buchanan Taft Harding Jaskon Washington Arthur F.Roosevelt 身高 6’ 6’ 6’ 6’1” 6’2” 6’2” 6’2” 寿命77 72 57 78 67 56 63设两个寿命总体均为正态分布且方差相等,试问以上数据是否符合上述推测(0.05α=)? 【解】设矮个子总统寿命为X ,高个子总统寿命为Y ,需检验012112::H u u H u u =↔>.由于22212σσσ==未知,故选用统计量(2)X Y T t n m =+-,其中5,26n m ==,()()22122112wn S m S Sn m -+-=+-.由题设样本数据可得80.2,69.15,X Y ==22124294.8,252183.215S S ==,故()()221221185.4492wn S m S Sn m -+-==+-,从而统计量|| 2.448X Y T ==,又当0.05α=时,查t 分布表可得()()0.05229 1.6991t n m t α+-==,即()0.05|| 2.44829 1.6991T t =>=,故拒绝原假设0H ,即推测是正确的,认为矮个子的人比高个子的人的寿命要长一些 【例8.15】总体21(,)XN u σ,22(,)Y N u σ,112,,,n x x x 与212,,,n y y y 分别时来自总体,X Y 的样本,试讨论检验问题012112::H u u H u u δδ-≤↔->.【解】取统计量12(2)X Y T t n n =+-,其中()()221122212112wn S n S S n n -+-=+-, 则检验统计量为X Y T =,当1H 成立时,t 有偏大的趋势,故取拒绝域为12{(2)}w t t n n α=>+-.【例8.16】甲乙相邻地段各取了50块和25块岩心进行磁化率测定,算出两样本标准差分别是210.0139S =,220.0053S =,问甲乙两段的标准差是否有显著性差异(0.05α=)?【解】作假设001:H σσ=,由题设有250211501500.0139()0.01425014949i i S X X =⨯⨯-===-∑, 252221521520.0053()0.00545215151ii S Y Y =⨯⨯-===-∑ 从而统计量21112222(1)0.01422.630.0054(1)n S n F n S n -===-,当0.05α=,查F 分布表可得0.0252(501,521)(501,521) 1.7494F F α--=--=,0.97512(501,521)(501,521)0.5698FF α---=--=,因为0.0252.63(49,51) 1.7494F F =>=,故拒绝原假设0H ,即认为甲乙两段的标准差有显著性差异.【例8.17】在集中教育开课前对学员进行了测试,过来一段时间后,又对学员进行了与前一次同样程度的考查,目的是了解上次的学员与这次学员的考试分类是否有显著性差别(0.05α=),从上次与这次学员的考试中随机抽取12份考试成绩,如下表考试次数 考分 合计平均分 (1) 80.5,91.0,81.0,85.0,70.0,86.0,69.5,74.0,72.5,83.0,69.0,78.5940 78.5 (2)76.0,90.0,91.5,73.0,64.5,77.5,81.0,83.5,86.0,78.5,85.0,96080.073.5【解】此为双正态总体的假设检验,两总体均值未知,先检验假设2222012112::H H σσσσ=↔≠.选取统计量211222(1,1)S F F n n S =--,由题设可计算得221253.15,60.23S S ==,则统计量212253.150.882560.23S F S ===,取0.05α=,查F 分布表可得0.0252(11,11)(11,11) 3.43F F α==,0.97510.02521(11,11)(11,11)0.2915(11,11)FF F α-===.由于122(11,11)0.8825(11,11) 3.43FF F αα-<=<=,故在0.05α=下,接受0H ,即认为两次考试中学员的成绩的方差相等. 再假设012112::H u u H u u =↔≠.构造统计量12(2)X YT t n n =+-,其中()()221122212112wn S n S S n n -+-=+-,1212,12n n ==.由样本数据可得78.5,80.0,X Y ==221253.1515,60.2273S S ==,故()()2211222121156.68942wn S n S Sn n -+-==+-,从而统计量||0.488X Y T ==,在0.05α=下,查t 分布表可得()()120.0252222 2.0739t n n t α+-==.由于()0.025||0.48822 2.0739T t =<=,即认为两次考试中学员的平均成绩相等,从而认为两次考试中学员的成绩无显著性差异.基本题型Ⅳ 非正态总体参数假设检验【例8.18】某产品的次品率为0.17,现对此产品进行了新工艺试验,从中抽取400件检查,发现次品56间,能否认为这项新工艺显著性地影响产品质量(0.05α=)? 【解】检验问题01:0.17:0.17H p H p =↔≠由题设可知56ˆ0.14400m pn ===,构造统计量 1.597u ===-,当0.05α=时,查正态分布表可得0.025 1.96u =,因为0.025|| 1.96u u <=,故接受原假设0H ,认为新工艺显著性地影响产品质量.【评注】本题的理论依据时中心极限定理:当n 充分大时,在0H 成立时,u =(0,1)N 分布.【例8.19】 已知某种电子元件的使用寿命X 服从指数分布()E λ,现抽查100个元件,得样本均值950()x h =,能否认为参数0.01λ=(0.05α=)? 【解】由题设()XE λ,故211,EX DX λλ==,当n 充分大时,1((0,1)1x u x N λλ-==-,现在检验问题01:0.001:0.001H H λλ=↔≠,则((0.0019501)0.5u x λ=-=⨯-=,当0.05α=时,查正态分布表可得0.025 1.96u =,因为0.025|| 1.96u u <=,故接受原假设0H ,认为参数0.01λ=.【评注】总体()X F x ,2,EX u DX σ==,则当n充分大时,u =从(0,1)N 分布.【例8.20】对某干洗公司去除污点的比例做下列假设检验01:0.7:0.9H p H p =↔=,选出100个污点,设其中去除的污点数为x ,拒绝域为{82}w x =>. (1)当0.7p =时,求犯第一类错误的概率α; (2)当0.9p =时,求犯第二类错误的概率β. 【解】(1)由题设有{82|0.7}1P x p α=>==-Φ1(2.62)10.99560.0044=-Φ=-=.(2){82|0.9}P x p β=≤==Φ( 2.67)1(2.67)10.99620.0038=Φ-=-Φ=-=.【评注】从计算分析,这一检验法的α,β皆很小,是较好的检验.§历年考研真题评析1、【98.1.4】设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,计算得到平均成绩为66.5,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生平均成绩为70分?并给出检验过程.【解】设该次考试的考生成绩为X ,则2(,)XN ,设X 为从总体X 抽取的样本容量为n 的样本均值,S 为样本标准差,根据题意建立假设001:70;:70H H .选取统计量 07036X X TnSS在70时,2(70,),(35)X T t .选取拒绝域{||}R T ,其中满足{||}0.05P T ,即{||}0.95P T .即0.975(35) 2.0301t . 由036,66.5,70,15n xs 可以计算得统计量T 的值|66.570|||361.42.030115T .因此不能拒绝0H ,即在显著性水平0.05下可以认为全体考生的平均成绩为70分.§习题全解1、在正常情况下,某炼钢厂的铁水含碳量(%)2(4.55,)XN σ.一日测得5炉铁水含碳量如下:4.48,4.40,4.42,4.45,4.47在显著性水平0.05α=下,试问该日铁水含碳量得均值是否有明显变化. 【解】设铁水含碳量作为总体X ,则2(4.55,)XN σ,从中选取容量为5的样本,测得24.444,0.0011X S ==.由题意,设原假设为0: 4.55H u = 构造检验统计量 ||(4)X u t t S -=,则7.051t ==在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(4)(4) 2.77647.051tt α-==<,拒绝原假设0H ,即认为有显著性变化.2、根据某地环境保护法规定,倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm.该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为:115,,x x .经计算得15148ii x==∑, 1521156.26i i x ==∑.试判断该厂是否符合环保法的规定.(该有毒化学物质含量X 服从正态分布)【解】设有毒化学物质含量作为总体X ,则2(,)XN u σ,从中选取容量为15的样本,测得1511 3.215i i X x ===∑,22221111()()0.1911n ni i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑.由题意,设原假设为0:3H u <,备择假设为1:3H u >.构造检验统计量(14)X t t =,则 1.777t ==,在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95(14)(14) 1.7613 1.777t t α-==<,即拒绝原假设0H ,接受备择假设1H ,认为该厂不符合环保的规定.3、某厂生产需用玻璃纸作包装,按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不应低于65.已知该指标服从正态分布2(,)N μσ, 5.5σ=.从近期来货中抽查了100个样品,得样本均值55.06x =,试问在0.05α=水平上能否接受这批玻璃纸? 【解】设玻璃纸的横向延伸率为总体X ,则2(,5.5)XN u ,从中选取容量为100的样本,测得55.06x =.由题意,设原假设为0:65H u >,备择假设为1:65H u <.构造检验统计量||(0,1)X u U N σ-=,则|55.0665|18.07275.5U -==在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95 1.644918.0727U U α-==<,即拒绝原假设0H ,接受备择假设1H ,不能接受该批玻璃纸..4、某纺织厂进行轻浆试验,根据长期正常生产的累积资料,知道该厂单台布机的经纱断头率(每小时平均断经根数)的数学期望为9.73根,标准差为1.60根.现在把经纱上浆率降低20%,抽取200台布机进行试验,结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根,如果认为上浆率降低后均方差不变,问断头率是否受到显著影响(显著水平α=0.05)?【解】设经纱断头率为总体X ,则9.73u EX ==, 1.6σ==,从中选取容量为200的样本,测得9.89x =.由题意,设原假设为0:9.73H u =,备择假设为1:9.73H u ≠. 构造检验统计量(0,1)X U N =,则 1.4142U ==在显著性水平0.05α=下,查表可得0.975121.96 1.4142UU α-==>,即接受原假设0H ,认为断头率没有受到显著影响.5、某厂用自动包装机装箱,在正常情况下,每箱重量服从正态分布2(100,)N σ.某日开工后,随机抽查10箱,重量如下(单位:斤):99.3,98.9,100.5,100.1,99.9,99.7,100.0,100.2,99.5,100.9.问包装机工作是否正常,即该日每箱重量的数学期望与100是否有显著差异?(显著性水平α=0.05) 【解】设每箱重量为总体X ,则2(100,)XN σ,从中选取容量为10的样本,测得99.9x =,20.34S =.由题意,设原假设为0:100H u =,备择假设为1:100H u ≠.构造检验统计量||(9)X u t t S -=,则0.5423t ==,在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(9)(9) 2.26220.5423tt α-==>,即接受原假设0H ,认为每箱重量无显著差异.6、某自动机床加工套筒的直径X 服从正态分布.现从加工的这批套筒中任取5个,测得直径分别为15,,x x (单位m μ:),经计算得到51124ii x==∑, 5213139i i x ==∑.试问这批套筒直径的方差与规定的27σ=有无显著差别?(显著性水平0.01α=) 【解】设这批套筒直径为总体X ,则2(,)XN u σ,从中选取容量为5的样本,测得151124.815i i X x ===∑,22221111()()15.9511n ni i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑. 由题意,设原假设为20:7H σ=,备择假设为21:7H σ≠.构造检验统计量2222(1)(4)n S χχσ-=,则2415.959.11437χ⨯==,在显著性水平0.01α=下,查表可得220.99512(4)(4)14.86αχχ-==,220.0052(4)(4)0.2070αχχ==,从而222122(4)(4)ααχχχ-<<. 即接受原假设0H ,认为这批套筒直径的方差与规定的27σ=无显著差别.7、甲、乙两台机床同时独立地加工某种轴,轴的直径分别服从正态分布211(,)N μσ、222(,)N μσ(12,μμ未知).今从甲机床加工的轴中随机地任取6根,测量它们的直径为16,,x x ,从乙机床加工的轴中随机地任取9根,测量它们的直径为19,,y y ,经计算得知:61204.6ii x==∑, 6216978.9i i x ==∑,91370.8i i y ==∑,92115280.2i i y ==∑.问在显著性水平0.05α=下,两台机床加工的轴的直径方差是否有显著差异? 【解】设两台机床加工的轴的直径分别为总体,X Y ,则211(,)XN μσ、222(,)YN μσ,从总体X 中选取容量为6的样本,测得61134.16i i X x ===∑222211111()()0.40811n ni i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑. 从总体Y 中选取容量为9的样本,测得91141.29i i Y y ===∑222221111()()0.40511n ni i i i S y y y ny n n ===-=-=--∑∑ 由题意,设原假设为22012:H σσ=,备择假设为22112:H σσ≠.构造检验统计量2122(5,8)S F F S =,则0.4081.0070.405F ==,在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(5,8)(5,8) 6.76FF α-==,0.0252(5,8)(5,8)0.1479F F α==,从而122(5,8)(5,8)F F Fαα-<<.即接受原假设0H ,认为两台机床加工的轴的直径方差无显著差异.8、某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从正态分布,它的标准差为0.048.某日随机抽取5根纤维,测得其纤度为1.32,1.55,1.36,1.40,1.44.问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化(显著性水平α=0.1)? 【解】设维尼龙纤度为总体X ,则2(,0.048)XN u ,从中选取容量为5的样本,测得511 1.4145i i X x ===∑,2211()0.00781n i i S x x n ==-=-∑.由题意,设原假设为0:0.048H σ=,备择假设为1:0.048H σ≠.构造检验统计量2222(1)(4)n S χχσ-=,则2240.007813.542(0.048)χ⨯==在显著性水平0.1α=下,查表可得220.9512(4)(4)9.487713.542αχχ-==<.即拒绝原假设0H ,认为维尼龙纤度的均方差有显著变化.9、某项考试要求成绩的标准差为12,先从考试成绩单中任意抽出15份,计算样本标准差为16,设成绩服从正态分布,问此次考试的标准差是否符合要求(显著性水平α=0.05)? 【解】 设考试成绩为总体X ,则2(,12)XN u ,从中选取容量为15的样本,测得16S =.由题意,设原假设为0:12H σ=,备择假设为1:12H σ≠. 构造检验统计量2222(1)(14)n S χχσ-=,则222141619.055612χ⨯==.在显著性水平0.05α=下,查表可得220.97512(14)(14)26.1189αχχ-==,220.0252(14)(14) 5.6287αχχ==,从而222122(14)(14)ααχχχ-<<.即接受原假设0H ,认为此次考试的标准差符合要求.10、某卷烟厂生产甲、乙两种香烟,分别对他们的尼古丁含量(单位:毫克)作了六次测定,获得样本观察值为:甲:25,28,23,26,29,22; 乙:28,23,30,25,21,27.假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布,且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异(显著性水平α=0.05,)?对这两种香烟的尼古丁含量,检验它们的方差有无显著差异(显著性水平α=0.1)?【解】设这两种烟的尼古丁含量分别为总体,X Y ,则211(,)X N μσ、222(,)Y N μσ,从中均选取容量为6的样本,测得61125.56i i X x ===∑,22111()7.51n i i S x x n ==-=-∑, 61125.66676i i Y y ===∑,22211()11.06671n i i S y y n ==-=-∑, 由题意,在方差相等时,设原假设为012:H u u =,备择假设为112:H u u ≠.构造检验统计量12(2)X Y t t n n =+-,其中222112212(1)(1)9.2834(2)wn S n S S n n -+-==+-.则0.0948t ==,在显著性水平0.05α=下,查表可得120.97512(2)(10) 2.22810.0948tn n t α-+-==>.即接受原假设0H ,认为这两种香烟的尼古丁平均含量无显著差异.由题意,在方差待定时,设原假设为22012:H σσ=,备择假设为22112:H σσ≠.构造检验统计量2122(5,5)S F F S =,则7.50.677711.0667F ==,在显著性水平0.1α=下,查表可得0.9512(5,8)(5,5) 5.0503FF α-==,0.052(5,8)(5,5)0.1980F F α==,由122(5,5)(5,5)F F Fαα-<<.即接受原假设0H ,认为它们的方差无显著差异.§同步自测题及参考答案一、选择题1、关于检验水平α的设定,下列叙述错误的是 【 】()A α的选取本质上是个实际问题,而非数学问题. ()B 在检验实施之前, α应是事先给定的,不可擅自改动.()C α即为检验结果犯第一类错误的最大概率. ()D 为了得到所希望的结论,可随时对α的值进行修正.2、关于检验的拒绝域W,置信水平a ,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是 【 】()A a 的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述. ()B 事件021|),,,{(H W X X X n ∈ 为真}即为一个小概率事件.()C 设W 是样本空间的某个子集,指事件}|),,,{(021为真H W X X X n ∈ . ()D 确定恰当的W 是任何检验的本质问题.3、设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,此问题拒绝域形式为 【 】()A }C >. ()B }/100{C n S X <-. ()C }10/100{C S X >- . ()D }{C X >.4、设n X X X ,,,21 为来自总体2(,)N μσ的样本,若μ未知, 100:20≤σH ,21:100,H 0.05a ,关于此检验问题,下列不正确的是 【 】()A 检验统计量为100)(12∑=-ni iX X. ()B 在0H 成立时,)1(~100)1(22--n x S n . ()C 拒绝域不是双边的. ()D 拒绝域可以形如})({12∑=>-ni i k X X .5、设总体服从正态分布2(,3)XN μ,12,,,n x x x 是X 的一组样本,在显著性水平0.05α=下,假设“总体均值等于75”拒绝域为12{,,,:74.0275.98}n w x x x x x =<⋃>,则样本容量n = 【 】()A 36. ()B 64. ()C 25. ()D 81.二、填空题1、为了校正试用的普通天平,把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量,得如下结果:99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.399.7 99.5 102.1 100.5, 99.2 假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,0H为 .2、设样本2521,,,X X X 来自总体μμ),9,(N 未知,对于检验0010::H H μμμμ=↔= 取拒绝域形如k X ≥-0μ,若取05.0=a ,则k 值为 .3、设12,,,n x x x 是正态总体2(,)XN μσ的一组样本.现在需要在显著性水平0.05α=下检验假设2200:H σσ=.如果已知常数u ,则0H 的拒绝域1w =______________;如果未知常数u ,则0H 的拒绝域2w =______________.4、在一个假设检验问题中令0H 是原假设,1H 时备择假设,则犯第一类错误的概率{______________}P ,犯第二类错误的概率{______________}P .三、解答题1、某批矿砂的5个样本中的镍含量,经测定为(%)3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值总体服从正态分布,问在0.01α=下,能否接受假设:这批矿砂的含量的均值为3.25.2、已知精料养鸡时,经若干天鸡的平均重量为4公斤.今对一批鸡改用粗料饲养,同时改善饲养方法,经同样长的饲养期后随机抽取10只,的其数据如下:3.7,3.8,4.1,3.9,4.6,4.7,5.0,4.5,4.3,3.8已知同一批鸡的重量X 服从正态分布,试推断:这一批鸡的平均重量是否显著性提高.试就0.01α=和0.05α=分别推断.3、测定某种溶液中的水份,它的10个测定值给出0.037%S =,设测定值总体为正态分布,2σ为总体方差,试在水平0.05α=下检验假设01:0.04%:0.04%H H σσ=↔<.4、在70年代后期,人们发现在酿造啤酒时,在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA ).到了80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程,下面给出了在新老两种干燥过程中形成的NDMA 的含量(以10亿份中的份数计)老过程 6,4,5,5,6,5,5,6,4,6,7,4 新过程2,1,2,2,1,0,3,2,1,0,1,3设两样本分别来自正态总体,且两总体的方差相等,两样本独立,分别以12,u u 记对应于老、新过程的总体均值,试检验假设(0.05α=)0111:2:2H u u H u u -=↔->.5、检验了26匹马,测得每100毫升的血清中,所含的无机磷平均为3.29毫升,标准差为0.27毫升;又检验了18头羊,每100毫升血清中汗无机磷平均值为3.96毫升,标准差为0.40毫升.设马和羊的血清中含无机磷的量均服从正态分布,试问在显著性水平0.05α=条件下,马和羊的血清中无机磷的含量有无显著性差异?6、某种产品的次品率原为0.1,对这种产品进行新工艺试验,抽取200件发现了13件次品,能否认为这项新工艺显著性地降低了产品的次品率(0.05α=)?7、设n X X X ,,,21 为总体(,4)XN a 的样本,已知对假设01:1: 2.5H a H a =↔=,0H 的拒绝域为{2}w X =>.(1)当9u =时,求犯两类错误的概率α和β; (2)证明:当n →∞时,0α→,0β→.同步自测题参考答案 一、选择题1.()D .2. ()C .3. ()C .4. ()B .5. ()A . 二、填空题1.100=μ.2. 1.176.3. 222210.0250.97522110011{()()()()}nniii i w x u n x u n χχσσ===->⋃-<∑∑;222220.0250.975220(1)(1){(1)(1)}n S n S w n n χχσσ--=>-⋃<- .4.10{|}P H H 接受成立,01{|}P H H 接受成立.三、解答题 1、接受0H .2、0.01α=时,显著性提高;0.05α=时,没有显著性提高 .3、 接受0H .4、拒绝0H ,接受1H .5、方差无显著性差异,均值有显著性差异,故有显著性差异.6、 拒绝0H .7、(1)0.0668α=,0.2266β=,(2)102α=-Φ→,(04β=Φ-→()n →∞.。

第8章假设检验含答案

第8章假设检验含答案

第8章假设检验含答案第8章假设检验一、单项选择题1.设样本是来自正态总体,其中未知,那么大样本时检验假设时,用的是()。

A 、 Z 检验法B 、检验法C 、检验法D 、检验法答案:A2.在假设检验中,由于抽样的偶然性,拒绝了实际上成立的H 0假设,则()。

A 、犯第I 类错误B 、犯第II 类错误C 、推断正确D 、 A,B 都有可能答案:A3.在假设检验中,由于抽样偶然性,接受了实际上不成立的H 0假设,则()。

A 、犯第I 类错误B 、犯第II 类错误C 、推断正确D 、 A,B 都有可能答案:B4.在假设检验中,接受了实际上成立的H 0假设,则()。

A 、犯第I 类错误B 、犯第II 类错误C 、推断正确D 、 A,B 都有可能答案:C5.在假设检验中,拒绝实际上不成立的H 0假设是()。

A 、犯第I 类错误B 、犯第II 类错误C 、推断正确D 、 A,B 都有可能答案:C6.α=0.05, t>t 0.05,ν,统计上可认为( )。

A 、两总体均数差别无显著意义B 、两样本均数差别无显著意义C 、两总体均数差别有显著意义D 、两样本均数差别有显著意义答案:C7.假设检验时,是否拒绝H 。

,取决于( )。

A 、被研究总体有无本质差别B 、选用α的大小C 、抽样误差的大小D 、以上都是答案:D8.设总体服从N(μ,σ2)分布,σ2已知,若样本容量n 和置信度1-α均保持不变,则对于不同的样本观测值,总体均值μ的置信区间长度()。

A 、变长B 、变短C 、不变D 、不能确定答案:C9.假设检验中,显著性水平α表示()。

A 、P{接受0H |0H 为假}B 、P{拒绝0H |0H 为真}C 、置信度为αD 、无具体含义答案:B11.在对总体参数的假设检验中,若给定显著性水平α(0<α<1),则犯第一类错误的概率为()。

A .1-αB 、αC 、α/2D 、不能确定答案:B12.对某批产品的合格率进行假设检验,如果在显著性水平α=0.05下接受了零假设,则在显著性水平α=0.01下()。

假设检验例题与习题

假设检验例题与习题
H0: = 14.7% H1: 14.7% = 0.05 n = 400 临界值(s):
检验统计量:
在 = 0.05的水平上不拒绝H0
该市老年人口比重为14.7%
决策:
结论:
Z
0
1.96
-1.96
.025
拒绝 H0
拒绝 H0
.025
一个总体比例的检验 (例题分析)
总体方差的检验 (2 检验)
0.3
-0.4
-0.7
1.4
-0.6
-0.3
-1.5
0.6
-0.9
1.3
-1.3
0.7
1
-0.5
0
-0.6
0.7
-1.5
-0.2
-1.9
-0.5
1
-0.2
-0.6
1.1
绿色 健康饮品
绿色 健康饮品
双侧检验
方差的卡方 (2) 检验 (例题分析)
H0: 2 = 1 H1: 2 1 = 0.05 df = 25 - 1 = 24 临界值(s):
H0: 40000 H1: < 40000 = 0.05 df = 20 - 1 = 19 临界值(s):
检验统计量:
在 = 0.05的水平上不拒绝H0
不能认为制造商的产品同他所说的标准不相符
决策:
结论:
-1.7291
t
0
拒绝域
.05
均值的单尾 t 检验 (计算结果)
总体比例的检验 (Z 检验)
用置信区间进行检验 (例题分析)
【例】一种袋装食品每包的标准重量应为1000克。现从生产的一批产品中随机抽取16袋,测得其平均重量为991克。已知这种产品重量服从标准差为50克的正态分布。试确定这批产品的包装重量是否合格?( = 0.05) 双侧检验! 香脆蛋卷

概率统计第八章假设检验参考答案

概率统计第八章假设检验参考答案

概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师第八章 假设检验教学要求:一、理解假设检验的基本思想,掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生的两类错误;二、了解一个正态总体均值与方差的假设检验,了解两个正态总体均值差与方差比的假设检验;三、了解总体分布假设的2χ检验法,会应用该方法进行分布拟合优度检验(选学).重点:假设检验的基本思想、假设检验的基本步骤、单个正态总体均值和方差的假设检验. 难点:正态总体均值和方差的假设检验.一、基本计算题1.某灯泡厂生产一种节能灯泡,其使用寿命(单位:小时)长期以来服从正态分布)(2150,1600N .现从一批灯泡中随意抽取25只,测得它们的平均寿命为1636小时.假定灯泡寿命的标准差稳定不变,问这批灯泡的平均寿命是否等于1600小时(取显著性水平05.0=α)?解:(1) 依题意,检验假设1600:00==μμH ,(1600:01=≠μμH ); (2) 由于标准差σ已知,在0H 成立时,采用U 检验法.选择统计量:nX U σμ0-=~()1,0N(3) 对于给定的显著性水平05.0=α,当25=n 时,查正态分布表得临界点96.1025.02==z z α(4)由25=n ,,1636=x ,150=σ,计算统计值:2.125150160016360=-=-=nx u σμ(5) 由于96.12.1025.02==<=z z u α落在拒绝域⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥-==20ασμz n x u W之外,所以在显著性水平05.0=α下,接受1600:0=μH .即认为这批灯泡的平均寿命等于1600.2.正常人的脉搏平均为72(次/min ),检查10例四乙基铅中毒患者,测的他们的脉搏(次/min )为: 54 67 68 78 70 66 67 70 65 69已知脉搏服从正态分布,在显著性水平05.0=α下,问四乙基铅中毒患者与正常人的脉搏有无显著差异?解:(1) 依题意,检验假设72:00==μμH ,(72:01=≠μμH ); (2) 由于标准差σ未知,在0H 成立时,采用T 检验法.选择统计量:nS X T 0μ-=~()1-n t (3) 对于给定的显著性水平05.0=α,当10=n 时,查t 分布表得临界点 :()2622.2)9(1025.02==-t n t α,(4) 由10=n ,,4.67=x ,9292.5=s 计算统计值:4534.2109292.5724.670=-=-=n s x t μ (5) 由于>=4534.2t ()2622.2)9(1025.02==-t n t α,t 落在拒绝域 :)}1(/{2-≥-==n t ns x t W αμ之内,故拒绝72:00==μμH ,即四乙基铅中毒患者与正常人的脉搏有显著差异.3.某食品厂生产一种食品罐头,每罐食品的标准重量为500克.今从刚生产的一批罐头中随机抽取10罐,称得其重量为(单位:克)495 510 505 498 503 492 502 512 497 506假定罐头重量服从正态分布,问这批罐头的平均重量是否合乎标准(取05.0=α)?解:(1) 依题意,检验假设500:00==μμH ,(500:01=≠μμH ); (2) 由于标准差σ未知,在0H 成立时,T 检验法.选择统计量:nS X T 0μ-=~()1-n t (3) 对于给定的显著性水平05.0=α,当10=n 时,查t 分布表得临界点 :()2622.2)9(1025.02==-t n t α,(4) 由10=n ,,502101101==∑=i ix x ,∑==--=1012225.6)(1101i i x x s ,计算统计值: 9730.0105.65005020=-=-=n s x t μ (5) 由于<=9730.0t ()2622.2)9(1025.02==-t n t α,t 落在拒绝域 :)}1(/{2-≥-==n t ns x t W αμ之外,故接受500:00==μμH ,即认为这批罐头的平均重量合乎标准.4.在10块田地上同时试种,A B 两种谷物,根据亩产量(单位:kg )算得30.97A x =,79.21=B y ,26.7As =,21.1B s =.问这两种谷物的平均亩产量有无显著差异(05.0=α)? 假定两种谷物的亩产量都服从正态分布,且方差相等.解:(1)设A X ~()211,σμN ,BY~()222,σμN,依题意,检验假设210:μμ=H,(211:μμ≠H );(2)由于2221,σσ未知但2221σσ=,在0H 成立时,选择统计量:2111n n S Y X T w+-=~()221-+n n t其中 ()()2112122212-+-+-=n n S n S n S BA w;(3) 对于给定的显著性水平05.0=α,当1021==n n 时,查t 分布表得临界点()1009.2)18(2025.0212==-+t n n t α,(4)由1021==n n , 97.30=x ,7.26=A s ,79.21=B y ,1.21=B s 计算统计值:8465.01011010635.2479.2197.301121=+-=+-=n n s y x t wB A其中 ()()05.5792112122212=-+-+-=n n s n s n s BA w,0635.24=w s ;(5)由于<=8465.0t ()1009.2)18(2025.0212==-+t n n t α,t 没有落在接受域中,故应接受210:μμ=H ,即这两种谷物的平均亩产没有明显差异.5.按两种不同配方生产橡胶,测的伸长率(%)如下:配方Ⅰ: 540 533 525 520 544 531 536 529 534配方Ⅱ: 565 577 580 575 556 542 560 532 570 561 设橡胶伸长率服从正态分布,检验按两种配方生产的橡胶伸长率的方差是否相同(取05.0=α)?解:(1) 设Y X ,分别表示配方Ⅰ、配方Ⅱ的总体,则X ~()211,σμN,Y ~()222,σμN . 依题意,检验假设22210:σσ=H ,22211:σσ≠H ;(2)在0H 成立时,选择统计量:222122212221S S S S F ==σσ~()1,121--n n F (3)对于给定的显著性水平05.0=α,当10,921==n n 时,查F 分布的双侧临界值: ()()10.49,82,1025.0212==--F n n F α,()()()2294.036.418,919,81,1025.0975.02121≈===---F F n n Fα (4) 由于4444.5329191==∑=i i x x ,()778.5319129121=--=∑=i i x x s ,8.561101101∑-==i i y y ,()8444.2381101101222∑==--=i i y y s ;得统计值:2271.08444.2367778.532221≈==s s F(5) 由于()2294.09,82271.0975.0=<≈F F .则F 落在拒绝域中,故应拒绝22210:σσ=H (或接受22211:σσ≠H )。

统计学第六章 假设检验课后答案

统计学第六章  假设检验课后答案

第六章假设检验一、单项选择题二、多项选择题三、判断题四、填空题1、原假设(零假设)备择假设(对立假设)2、双侧检验Z Z =xn︱Z︱<︱︱(或1-α)23、左单侧检验Z <-(或α)4、右单侧检验Z Z =xnZ >(或α)5、t t =︱t︱>︱︱(或α)sx2n6、弃真错误(或第一类错误)存伪错误(或第二类错误)7、越大越小8、临界值五、简答题(略)六、计算题1、已知:σx = 12 n = 400 x= 21 建立假设H0:X≤20H1:X>20右单侧检验,当α= 0.05时,Z0.05 = 1.645 构造统计量ZxZ =1.667>Z0.05 = 1.645,所以拒绝原假设,说明总体平均数会超过20。

2、已知:P0 = 2% n = 500 p = 建立假设H0:P ≥ 2%H1:P <2%左单侧检验,当α= 0.05时,Z0.05 = -1.645 构造统计量Z-1.597∣Z∣=1.597<∣Z0.05∣= 1.645,所以接受原假设,说明该产品不合格率没有明显降低。

3、已知:σx = 2.5 cm n = 100 X0 =12 cm x= 11.3 cm 建立假设H0:X≥12H1:X<12左单侧检验,当α= 0.01时,Z0.01 = -2.33 构造统计量Zx-2.8 2.5 ∣Z∣= 2.8>∣Z0.01∣= 2.33,所以拒绝原假设,说明所伐木头违反规定。

4、已知:P0 = 40% n = 60 p = 建立假设H0:P ≥ 40%H1:P <40% 21= 35% 60左单侧检验,当α= 0.05时,Z0.05 = -1.645 构造统计量Z-0.791∣Z∣= 0.791<∣Z0.05∣= 1.645,所以接受原假设,说明学生的近视率没有明显降低。

5、已知:X0 =5600 kg/cm2 σx = 280 kg/cm2 n = 100 x= 5570 kg/cm2 建立假设H0:X= 5600 H1:X≠5600双侧检验,当α= 0.05时,∣Z0.025∣= 1.96 构造统计量Z∣Z∣∣Z∣=1.07<∣Z0.025∣= 1.96,所以接受原假设,说明这批车轴符合要求。

假设检验习题及答案

假设检验习题及答案

第8章 假设检验一、填空题1、 对正态总体的数学期望μ进行假设检验,如果在显著性水平0.05下,接受假设00:μμ=H ,那么在显著性水平0.01下,必然接受0H 。

2、在对总体参数的假设检验中,若给定显著性水平为α,则犯第一类错误的概率是α。

3、设总体),(N ~X 2σμ,样本n 21X ,X ,X ,2σ未知,则00:H μ=μ,01:H μ<μ的拒绝域为 )}1(/{0--<-n t n S X αμ,其中显著性水平为α。

4、设n 21X ,X ,X 是来自正态总体),(N 2σμ的简单随机样本,其中2,σμ未知,记∑==n 1i i X n 1X ,则假设0:H 0=μ的t 检验使用统计量=T Qn n X )1(- .二、计算题1、某食品厂用自动装罐机装罐头食品,规定标准重量为250克,标准差不超过3克时机器工作 为正常,每天定时检验机器情况,现抽取16罐,测得平均重量252=X 克,样本标准差4=S 克,假定罐头重量服从正态分布,试问该机器工作是否正常?解:设重量),(~2σμN X 05.016==αn 4252==S X(1)检验假设250:0=μH 250:1≠μH ,因为2σ未知,在0H 成立下,)15(~/250t n S X T -=拒绝域为)}15(|{|025.0t T >,查表得1315.2)5(025.0=≠t由样本值算得1315.22<=T ,故接受0H(2)检验假设9:20=σH 9:201>σH 因为μ未知,选统计量2022)1(σS n x -= 在0H 成立条件下,2x 服从)15(2x 分布,拒绝域为)}15({205.02x x >,查表得996.24)15(205.0=x , 现算得966.24667.26916152>=⨯=x ?拒绝0H ,综合(1)和(2)得,以为机器工作不正常2、一种电子元件,要求其使用寿命不得低于1000小时,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950小时,已知该种元件寿命服从标准差100=σ小时正态分布,试在显著性水平0.05下确定这批产品是否合格.解:设元件寿命),(~2σμN X ,2σ已知10002=σ,05.0,950,25===αX n检验假设1000:0=μH 1000:1<μH在2σ已知条件下,设统计量)1,0(~/1000N n X σμ-=拒绝域为}{05.0μμ<,查表得645.195.005.0-=-=μμ 而645.15.2205025/1001000950-<-=-=-=μ 拒绝假设0H 选择备择假设1H ,所以以为这批产品不合格.3. 对 显 著 水 平 α, 检 验假 设 H 0 ; μ = μ0, H 1 ; μ ≠ μ0, 问当 μ0, μ, α一 定 时 , 增大样本量 n 必 能 使 犯 第 二 类 错 误 概 率 β 减 少 对 吗 ?并 说 明 理由 。

完整版假设检验习题及答案

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第二章假设检验3.2 —种元件,要求其使用寿命不低于1000 (小时),现在从一批这种元件中随机 抽取25件,测得其寿命平均值为950 (小时)。

已知这种元件寿命服从标准差100(小时)的正态分布,试在显著水平 0.05下确定这批元件是否合格。

提出假设:H 0: 1000, H 1: 1000构造统计量:此问题情形属于u 检验,故用统计量:V= u U 1本题中:0.05 u 0.95 1.64即, u u 0.95拒绝原假设H 0认为在置信水平0.05下这批元件不合格。

3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为(%):3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布,问在 0.01下能否接受假设,这批矿砂的镍含量为提出假设: H° :13.25 H 1 :1 0构造统计量:本题属于 2未知的情形,可用t 检验,即取检验统计量为:t=—S .n 1本题中,x 3.252, S=0.0117, n=5代入上式得:t =3.252-3.25 0.0117 .5 1否定域为:V= t>^_(n 1)2本题中, 0.01,t 0.995(4) 4.6041Qt t12接受H 0,认为这批矿砂的镍含量为 3.25。

Xu=—— 00 此题中:x 950 代入上式得:950-1000 u= 2.5 100 25拒绝域:0 100 n=25 0 10000.34193.5确定某种溶液中的水分,它的10个测定值X 0.452%, S 0.035%,0.452%-0.5% t= -4.1143 0.035%拒绝域为: V 二t >t i. (n 1)本题中, 0.05 n=10t °.95(9)1.8331 t 4.1143拒绝H 0 (ii)构造统计量: 未知,可选择统计量2nS 22"本题中,S 0.035% n=100.04%代入上式得:否定域为:接受H 。

关于假设检验的详细总结与典型例题

关于假设检验的详细总结与典型例题

关于假设检验的详细总结与典型例题假设检验是数一考生普遍反映非常头疼的一块内容,因为它入门较难,其思想在初次复习时理解起来较难。

虽然这一部分在历年真题中考查次数很少,但为了做到万无一失,我们也应该准备充分,何况相对来说这一部分内容的难度和变化并不大。

为了让各位考生对假设检验有一个全面深入的理解和掌握,我们给出如下总结与例题。

对于假设检验,首先要理解其基本原理,即小概率原理,假设检验的方法即是从此原理衍生而来;其次,要掌握其步骤,会根据显著性水平α,即第一类心理学考研错误,来求拒绝域与接收域,其求法要根据不同的条件来套用公式,能根据理解推导公式是上策,如果时间不够,可以选择记忆各种不同条件下的求拒绝域的公式。

最后,相比之下两个正态总体参数的假设检验的考查可能性要低于一个正态总体参数的假设检验。

假设检验的基本概念数理统计的基本任务是根据样本推断总体,对总体的分布律或者分布参数作某种假设,然后根据抽得的样本,运用统计分析的方法来检验这一假设是否正确,从而作出接受假设或者拒绝假设的决定,这就是假设检验.根据实际问题提出的假设0H 称为原假设,其对立假设1H 称为备择假设. 假设检验中推理的依据是小概率原理:小概率事件在一次试验中实际上不会发生. 假设检验中的小概率α称为显著性水平,通常取0.05α=或者0.01α=.假设检验中使用的推理方法是:为了检验原假设0H 是否成立,我医学考研论坛们先假定原假设0H 成立. 如果抽样的结果导致小概率事件在一次试验中发生了,根据小概率原理,有理由怀疑0H 的正确性,从而拒绝0H ,否则接受0H .假设检验的步骤⑴根据实际问题提出原假设0H 和备择假设1H ; ⑵确定检验统计量T ;⑶根据给定的显著水平α,查概率分布表,确定拒绝域W ;⑷利用样本值计算统计量T 的值t ,若t W ∈,则拒绝0H ,否则接受0H .假设检验中可能犯的两类错误由于小概率事件还是可能发生的,根据小概率作出的判断可能是错误的. 事件0H 真而拒绝0H ,称为第一类(弃真)错误,犯第一类错误的概率为{}0P t W H α∈≤,因此显著性水平α是用来控制犯第一类错误的概率的. 0H 假而接受0H ,称为第二类(纳伪)错误,犯第二类错误的概率为{}1P t W H ∉,记作β.典型例题1.136,,X X 是取自正态总体(,0.04)N μ的简单随机样本,检验假设0:0.5H μ=,备择假设11:0.5H μμ=>,检验的显著水平0.05α=,取否医学考研论坛定域为X c >,则c = ,若10.65μ=,则犯第二类错误的概率β= .解 ⑴0H 成立时,0.04~(0.5,)36X N , {}00.50.051()0.1/3c P X c H αΦ-==>=-,0.5()0.95(1.645)0.1/3c ΦΦ-==,0.51.6450.1/3c -=,得0.5548c =.⑵1H 成立时,0.04~(0.65,)36X N{}10.55480.65()( 2.856)0.1/3P X c H βΦΦ-=≤==-.1(2.856)10.99790.0021Φ=-=-=2.设总体20~(,)X N μσ,20σ已知,检验假设00:H μμ=,备择假设10:H μμ>,取否定域为X c >,则对固定的样本容量n ,犯第一类错误的概率α随c 的增大而 .(减小)解 0H 成立时,200~(,)X N nσμ,犯第一类(弃真)错误的概率{}001(/P X c H nαΦσ=>=-,故犯第一类错误的概率α随c 的增大而减小.一个正态总体2(,)N μσ参数的假设检验 ⑴ 2σ已知,关于μ的检海文考研验(u 检验) 检验假设00:H μμ= 统计量X U =拒绝域2U u α>检验假设00:H μμ>统计量X U =拒绝域U u α<-检验假设00:H μμ<统计量X U =拒绝域U u α>⑵2σ未知,关于μ的检验(t 检验) 检验假设00:H μμ=统计量X t =拒绝域2(1)t t n α>-检验假设00:H μμ> 统计量0/X t S n = 拒绝域(1)t t n α<--检验假设00:H μμ< 统计量0/X t S n=拒绝域(1)t t n α>-⑶μ未知,关于2σ的检验(2χ检验) 检验假设2200:H σσ=统计量2220(1)n S χσ-=拒绝域222(1)n αχχ>-或者2212(1)n αχχ-<-检验假设2200:H σσ>统计量2220(1)n S χσ-=拒绝域221(1)n αχχ-<-检验假设2200:H σσ< 统计量2220(1)n S χσ-= 拒绝域22(1)n αχχ>-▲拒绝域均采用上侧分位数.两个正态总体21(,)N μσ、22(,)N μσ参数的假设检验.⑴两个正态总体21(,)N μσ、22(,)N μσ均值的假设检验(t 检验) 检验假设012:H μμ=统计量X Yt =拒绝域122(2)t t n n α>+-检验假设012:H μμ>统计量X Yt =拒绝域12(2)t t n n α<-+-检验假设012:H μμ<统计量X Yt =拒绝域12(2)t t n n α>+-⑵两个正态总体211(,)N μσ、222(,)N μσ方差的假设检验(F 检验) 检验假设22012:H σσ=统计量2122S F S = 拒绝域122(1,1)F F n n α>--或者1212(1,1)F F n n α-<--检验假设22012:H σσ>统计量2122S F S = 拒绝域112(1,1)F F n n α-<--检验假设22012:H σσ< 统计量2122S F S = 拒绝域12(1,1)F F n n α>--▲拒绝域均采用上侧分位数. 典型例题1.设n X X X ,,,21 是来自正态总海文考研体2(,)N μσ的简单随机样本,其中参数2,μσ未知,记22111,(),n ni i i i X X Q X X n ====-∑∑则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量t = .解 统计量2(1)//(1)n n XX nXt S n Q n -===-2.某酒厂用自动装瓶机装酒,每瓶规定重500克,标准差不超过10克,每天定时检查,某天抽取9瓶,测得平均重X =499克,标准差S =16.03克. 假设瓶装酒的重量X 服从正态分布.问这台机器是否工作正常?(05.0=α).解 先检验0H :500μ=,统计量X t =, 拒绝域0.025(8) 2.3060t t >=,4995000.18716.03/3X t -===-,接受0H ;再检验0H ':2210σ≤,统计量222(1)10n S χ-=, 拒绝域220.05(8)15.507χχ>=, 22222(1)816.0320.5571010n S χ-⨯===,拒绝220:10H σ'≤, 故该机器工作无系统误差,但不稳定3.设127,,,X X X 是来自正态总体211(,)N μσ的简单随机样本,设128,,,Y Y Y 是来自正态总体222(,)N μσ的简单随机样本,且两个样本相互独立,它们的样本均值分别为13.8,17.8X Y ==,样本标准差123.9, 4.7S S ==,问在显著性水平0.05下,是否可以认为12μμ<?解 先检验0H :2212σσ=,检验统计量2122S F S =,拒绝域0.025(6,7) 5.12F F >=或者0.9750.02511(6,7)(7,6) 5.70F F F <==,221222 3.90.68854.7S F S ===,接受0H ; 再检验0H ':12μμ<,统计量1211w X Yt S n n =+, 拒绝域0.05(13) 1.7709t t >=,1.7773X Yt ==-,接受0H ',即可以认为12μμ<. ▲检验两个正态总体均值相等时,应先检验它们的方差相等.。

假设检验习题及答案

假设检验习题及答案

第三章 假设检验3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000(小时),现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950(小时)。

已知这种元件寿命服从标准差100σ=(小时)的正态分布,试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。

{}01001:1000, H :1000X 950 100 n=25 10002.5V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设:构造统计量:此问题情形属于u 检验,故用统计量:此题中:代入上式得:拒绝域:本题中:0.950.950u 1.64u 0.0u H =>∴即,拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。

3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为(%): 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值服从正态分布,问在0.01α=下能否接受假设,这批矿砂的镍含量为0101102: 3.25 H :t 3.252, S=0.0117, n=5 0.3419H x μμμμσ==≠==提出假设:构造统计量:本题属于未知的情形,可用检验,即取检验统计量为:本题中,代入上式得:否定域为:1-20.995120 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t tH ααα-⎧⎫-⎨⎬⎩⎭==<∴本题中,接受认为这批矿砂的镍含量为。

3.5确定某种溶液中的水分,它的10个测定值0.452%,0.035%,X S ==2N(,),μσ设总体为正态分布试在水平5%检验假设:0101() H :0.5% H :0.5%() H :0.04% H :0.0.4%i ii μμσσ≥<≥<{}0.95()0.452% S=0.035%-4.1143(1)0.05 n=10 t (9) 1.833i t X n ασα==-==1-构造统计量:本文中未知,可用检验。

取检验统计量为X 本题中,代入上式得: 0.452%-0.5%拒绝域为:V=t >t 本题中,01 4.1143H <=∴t 拒绝{}22200222212210.952()nS S 0.035% n=10 0.04%100.035%7.65630.04% V=(1)(1)(9)16.919ii n n ααμχσσχχχχχχ--===*==>--==2构造统计量:未知,可选择统计量本题中,代入上式得:()()否定域为:本题中, 210(1)n H αχ-<-∴接受3.9设总体116(,4),,,XN X X μ为样本,考虑如下检验问题:{}{}01123:0 H :1() =0.05 V ={2X -1.645}V = 1.502X 2.125V =2X 1.962X 1.96(ii)H i μμα==-≤≤≤≤-≥试证下述三个检验(否定域)犯第一类错误的概率同为或通过计算他们犯第二类错误的概率,说明哪个检验最好?解:{}{}{}{}00.97512012()0.050.05:02*1.960.052 1.64502 1.645 1.645( 1.645)1(1.645)=1-0.95=0.05V 1.502 2.i P x V H X U U H X V X X P X P X ααμσμσ-=∈=⎧⎫-⎪⎪=>==⎨⎬⎪⎪⎩⎭=∴>==≤-⎧⎫⎪⎪-⎪⎪≤-=≤-=Φ-=-Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=≤≤即,P U 这里P {}{}{}{}{}{}203301110125 1.50 2.120(2.215)(1.50)0.980.930.052 1.962 1.962 1.96 1.96P(V H )=1-P 2 1.962(1(1.96))0.05ii :2 1.645X P V H V X X X X H V X σββ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=≤≤⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=Φ-Φ=-=⎫⎪⎪=≤-≥=≥=≥⎬⎪⎪⎭<=-Φ=X ≥-或()犯第二类错误的概率 =P -V =P {}1μ=-{}{}223310.3551(0.355)0.36:1 1.502 2.12511 4.125:2 1.96110.04 3.96V P X V P X σβμσβμσ⎧⎫⎪⎪+⎪⎪≥=-Φ=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭=-≤≤=-⎧⎫⎪⎪+⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭ΦΦ=≤=-⎧⎫⎪⎪+⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎪⎩⎭X =P X =1-P 3.50 =1-(4.125)+(3.50) =1X =P ⎪ΦΦ∴11 =(3.96)-(0.04)=0.99996092-0.516=0.48396092V 出现第二类错误的概率最小,即V 最好。

假设检验例题及解析

假设检验例题及解析

选择题在进行假设检验时,如果原假设为真,而样本数据却导致我们拒绝了原假设,这种情况被称为:A. 第一类错误(正确答案)B. 第二类错误C. 第三类错误D. 无错误假设我们要检验某种药物是否能有效降低血压,原假设应为:A. 药物能降低血压B. 药物不能降低血压(正确答案)C. 药物对血压无影响D. 药物可能升高血压在单样本t检验中,如果计算出的t值大于临界t值,我们应该:A. 接受原假设B. 拒绝原假设(正确答案)C. 无法判断D. 重新进行试验假设检验中的P值表示的是:A. 原假设为真的概率B. 备择假设为真的概率C. 在原假设为真的条件下,观察到当前或更极端结果的概率(正确答案)D. 犯第二类错误的概率在进行两个独立样本的均值比较时,如果两个样本的方差未知且不相等,我们应使用:A. 单样本t检验B. 配对t检验C. Welch's t检验(正确答案)D. 方差分析假设检验中的显著性水平α通常设定为:A. 0.01B. 0.05(正确答案)C. 0.10D. 0.20在进行卡方检验时,如果计算出的卡方值小于临界卡方值,我们应该:A. 接受原假设(正确答案)B. 拒绝原假设C. 无法判断D. 需要更多数据假设我们要检验某种食品中是否含有某种有害物质,原假设应为:A. 食品中含有有害物质B. 食品中不含有害物质(正确答案)C. 食品中可能含有有害物质D. 食品中一定不含有害物质在进行假设检验时,如果犯第二类错误的成本远高于犯第一类错误的成本,我们应该:A. 提高显著性水平αB. 降低显著性水平α(正确答案)C. 保持显著性水平α不变D. 无法确定如何调整显著性水平α。

第8章假设检验习题及答案

第8章假设检验习题及答案

第8章 假设检验一、填空题1、 对正态总体的数学期望μ进行假设检验,如果在显著性水平0.05下,接受假设00:μμ=H ,那么在显著性水平0.01下,必然接受0H 。

2、在对总体参数的假设检验中,若给定显著性水平为α,则犯第一类错误的概率是α。

3、设总体),(N ~X 2σμ,样本n 21X ,X ,X ,2σ未知,则00:H μ=μ,01:H μ<μ的拒绝域为 )}1(/{0--<-n t nS X αμ,其中显著性水平为α。

4、设n 21X ,X ,X 是来自正态总体),(N 2σμ的简单随机样本,其中2,σμ未知,记∑==n1i i X n 1X ,则假设0:H 0=μ的t 检验使用统计量=T Q n n X )1(- .二、计算题1、某食品厂用自动装罐机装罐头食品,规定标准重量为250克,标准差不超过3克时机器工作 为正常,每天定时检验机器情况,现抽取16罐,测得平均重量252=X 克,样本标准差4=S 克,假定罐头重量服从正态分布,试问该机器工作是否正常?解:设重量),(~2σμN X05.016==αn 4252==S X (1)检验假设250:0=μH 250:1≠μH ,因为2σ未知,在0H 成立下,)15(~/250t n S X T -=拒绝域为)}15(|{|025.0t T >,查表得1315.2)5(025.0=≠t由样本值算得1315.22<=T ,故接受0H(2)检验假设9:20=σH 9:201>σH 因为μ未知,选统计量2022)1(σS n x -= 在0H 成立条件下,2x 服从)15(2x 分布,拒绝域为)}15({205.02x x >,查表得996.24)15(205.0=x , 现算得966.24667.26916152>=⨯=x ?拒绝0H , 综合(1)和(2)得,以为机器工作不正常2、一种电子元件,要求其使用寿命不得低于1000小时,现在从一批这种元件中随机抽取25 件,测得其寿命平均值为950小时,已知该种元件寿命服从标准差100=σ小时正态分布, 试在显著性水平0.05下确定这批产品是否合格.解:设元件寿命),(~2σμN X ,2σ已知10002=σ,05.0,950,25===αX n检验假设1000:0=μH 1000:1<μH在2σ已知条件下,设统计量)1,0(~/1000N n X σμ-=拒绝域为}{05.0μμ<,查表得645.195.005.0-=-=μμ 而645.15.2205025/1001000950-<-=-=-=μ 拒绝假设0H 选择备择假设1H ,所以以为这批产品不合格.3. 对 显 著 水 平 α, 检 验假 设 H 0 ; μ = μ0, H 1 ; μ ≠ μ0, 问当 μ0, μ, α一 定 时 ,增大样本量 n 必 能 使 犯 第 二 类 错 误 概 率 β 减 少 对 吗 ?并 说 明 理由 。

假设检验例题.

假设检验例题.
=0.01
总体均值的检验(σ2未知(例题分析
【例】某一小麦品种的平均产量为5200kg/hm2。一家研究机构对小麦品种进行了改良以期提高产量。为检验改良后的新品种产量是否有显著提高,随机抽取了36个地块进行试种,得到的样本平均产量为5275kg/hm2,标准差为120/hm2。试检验改良后的新品种产量是否有显著提高? (α=0.05
假设检验
总体均值的检验(σ2已知(例题分析
【例】一种罐装饮料采用自动生产线生产,每罐的容量是255ml ,标准差为5ml。为检验每罐容量是否符合要求,质检人员在某天生产的饮料中随机抽取了40罐进行检验,测得每罐平均容量为255.8ml。取显著性水平α=0.05 ,检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求?
H 0 : π = 80% H 1 : π ≠ 80% α = 0.05 n = 200检验统计量:
H 0 : π = 80%
H 1 : π ≠ 80%
α = 0.01
n = 200
检验统计量:
7035. 0. 01289. 11-=-7035. 0. 01289. 11-=-=t决策:不拒绝H 0结论:该供货商提供的零件符合要求
475. 2200 80. 01(80. 0-=--475. 220080. 073. 0-=-=z 475. 2200 80. 01(80. 080. 0-=-⨯-475. 220080. 073. 0-=-=z决策:拒绝H 0 (P = 0.013328 < α = 0.05结论:该杂志的说法并不属实决策:拒绝H 0 (P = 0.013328 < α = 0.05结论:该杂志的说法并不属实
H 0 :μ≤ 5200
H 1 :μ > 5200
α = 0.05 n = 36临界值(c :检验统计量:决策:

假设检验与指数练习题讲解

假设检验与指数练习题讲解
假设检验案例分析1
某机床厂加工一种零件,根据经验知道,该厂加工 零件的椭圆度近似服从正态分布,其总体均值为 0=0.081mm,总体标准差为=0.025 。今换一种新机床 进行加工,抽取n=200个零件进行检验,得到的椭圆 度为0.076mm。试问新机床加工零件的椭圆度的均值 与以前有无显著差异?(=0.05)
分析:1.双侧检验; 2.大样本且方差2已知,使用z检验。
z
x 0

n
~ N (0,1)
1
1
题解1
H0: = 0.081 H1: 0.081 = 0.05 n = 200
临界值(如下图):
拒绝 H0
.025
选择并计算检验统计量: x 0 0.076 0.081 z 2.83 n 0.025 200 决策:
拒绝 H0
0.025
检验统计量:
t
11.89 12 0.4932 10
0.7035
决策:
不拒绝H0
拒绝 H0
0.025
结论:
该供货商提供的零件符合要求
-2.262
0
2.262
t
10
10
不同显著性水平的检验结果比较
11
11
练题解答
12
12
指数体系练习题
表2. 某商店三种商品销售资料
销售量 价格(元) 商品 计量 名称 单位 2011年 2012年 2011年 2012年 甲 公斤 300 360 0.42 0.45 乙 件 200 200 0.30 0.36 丙 套 1400 1600 0.20 0.28
在 = 0.05的水平上拒绝H0
拒绝 H0
.025
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§假设检验基本题型Ⅰ 有关检验统计量和两类错误的题型【例8.1】u 检验、t 检验都是关于 的假设检验.当 已知时,用u 检验;当 未知时,用t 检验.【分析】 由u 检验、t 检验的概念可知,u 检验、t 检验都是关于均值的假设检验,当方差2σ为已知时,用u 检验;当方差2σ为未知时,用t 检验. 【例8.2】设总体2(,)XN u σ,2,u σ未知,12,,,n x x x 是来自该总体的样本,记11ni i x x n ==∑,21()ni i Q x x ==-∑,则对假设检验0010::H u u H u u =↔≠使用的t 统计量t = (用,x Q 表示);其拒绝域w = . 【分析】2σ未知,对u 的检验使用t 检验,检验统计量为(1)x t t n ==-对双边检验0010::H u u H u u =↔≠,其拒绝域为2{||(1)}w t t n α=>-.【例8.3】设总体211(,)XN u σ,总体222(,)Y N u σ,其中2212,σσ未知,设112,,,n x x x 是来自总体X 的样本,212,,,n y y y 是来自总体Y 的样本,两样本独立,则对于假设检验012112::H u u H u u =↔≠,使用的统计量为 ,它服从的分布为 .【分析】记1111n i i x x n ==∑,2121n i i y y n ==∑,因两样本独立,故,x y 相互独立,从而在0H 成立下,()0E x y -=,221212()()()D x y D x D y n n σσ+=+=+,故构造检验统计量(0,1)x yu N =.【例8.4】设总体2(,)XN u σ,u 未知,12,,,n x x x 是来自该总体的样本,样本方差为2S ,对2201:16:16H H σσ≥↔<,其检验统计量为 ,拒绝域为 .【分析】u 未知,对2σ的检验使用2χ检验,又由题设知,假设为单边检验,故统计量为222(1)(1)16n S n χχ-=-,从而拒绝域为221{(1)}n αχχ-<-.【例8.5】某青工以往的记录是:平均每加工100个零件,由60个是一等品,今年考核他,在他加工零件中随机抽取100件,发现有70个是一等品,这个成绩是否说明该青工的技术水平有了显著性的提高(取0.05α=)?对此问题,假设检验问题应设为 【 】()A 01:0.6:0.6H p H p ≥↔<. ()B 01:0.6:0.6H p H p ≤↔>. ()C 01:0.6:0.6H p H p =↔≠. ()D 01:0.6:0.6H p H p ≠↔=.【分析】一般地,选取问题的对立事件为原假设.在本题中,需考察青工的技术水平是否有了显著性的提高,故选取原假设为0:0.6H p ≤,相应的,对立假设为1:0.6H p >,故选()B .【例8.6】某厂生产一种螺钉,标准要求长度是68mm ,实际生产的产品,其长度服从2(,3.6)N u ,考察假设检验问题01:68:68H u H u =↔≠.设x 为样本均值,按下列方式进行假设检验:当|68|1x ->时,拒绝原假设0H ;当|68|1x -≤时,接受原假设0H . (1)当样本容量36n =时,求犯第一类错误的概率α; (2)当样本容量64n =时,求犯第一类错误的概率α;(3)当0H 不成立时(设70u =),又64n =时,按上述检验法,求犯第二类错误的概率β. 【解】(1)当36n =时,223.6(,)(,0.6)36xN u N u =,000{|68|1|}{67|}{69|}P x H P x H P x H α=->=<+>成立成立成立67686968()[1()]( 1.67)[1(1.67)]0.60.6--=Φ+-Φ=Φ-+-Φ 2[1(1.67)]2[10.99575]0.095=-Φ=-=.(2)当64n =时,223.6(,)(,0.45)64xN u N u =000{|68|1|}{67|}{69|}P x H P x H P x H α=->=<+>成立成立成立67686968()[1()]0.450.45--=Φ+-Φ 2[1(2.22)]2[10.9868]0.0264=-Φ=-=.(3)当64n =,又70u =时,2(70,0.45)xN ,这时犯第二类错误的概率(70){|68|1|70}{6769|70}P x u P x u β=-≤==≤≤=69706770()()( 2.22)( 6.67)0.450.45--=Φ-Φ=Φ--Φ- (6.67)(2.22)10.98680.0132=Φ-Φ=-=.【评注】01(1)(2)的计算结果表明:当n 增大时,可减小犯第一类错误的概率α;02 当64n =,66u =时,同样可计算得到(66)0.0132β=.03 当64n =,68.5u =时,2(68.5,0.45)xN ,则(68.5){6769|68.5}P x u β=≤≤= 6968.56768.5()()(1.11)( 3.33)0.450.45--=Φ-Φ=Φ-Φ-0.8665[10.9995]0.8660=--=.这表明:当原假设0H 不成立时,参数真值越接近于原假设下的值时,β的值就越大. 【例8.7】设总体2(,)XN u σ,12,,,n x x x 是来自该总体的样本,对于检验01:0:0H u H u ≤↔>,取显著性水平α,拒绝域为:{}w u u α=>,其中u =,求:(1)当0H 成立时,求犯第一类错误的概率()u α; (2)当0H 不成立时,求犯第二类错误的概率()u β. 【解】(1)当0H 成立时,0u ≤,则(){|0}|0}u P u u u P u u ααα=>≤=>≤()|0}1()(0)P x u u u u u αα=->≤=-Φ≤因0u ≤,故()()1u u αααΦ≥Φ=-,从而()1()1(1)u u αααα≤-Φ=--=,即犯第一类错误的概率不大于α.(2)(){|0}()|0}u P u u u P x u u u ααβ=≤>=-≤>()(0)u u α=Φ>因0u >,故当u →+∞时,()0u β→,即u 与假设0H 偏离越大,犯第二类错误的概率越小;而当0u +→时,()1u βα→-,即当u 为正值且接近0时,犯第二类错误的概率接近1α-.基本题型Ⅱ 单个正态总体的假设检验【例8.8】某天开工时,需检验自动包装机工作是否正常,根据以往的经验,其包装的质量在正常情况下服从正态分布2(100,1.5)N (单位:kg ),先抽测了9包,其质量为: 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.0,100.5 问这天包装机工作是否正常?【分析】 关键是将这一问题转化为假设检验问题.因检验包装机工作是否正常,化为数学问题应为双边检验01:100:100H u H u =↔≠.【解】由题意,提出假设检验问题:01:100:100H u H u =↔≠, 选取检验统计量(0,1)x u N =当0.05α=时,0.02521.96u u α==,又20.04 1.96u u α==<=,即接受原假设0H ,认为包装机工作正常.【例8.9】已知某种元件的寿命服从正态分布,要求该元件的平均寿命不低于1000h ,现从这批元件中随机抽取25知,测得平均寿命980X h =,标准差65S h =,试在水平0.05α=下,确定这批元件是否合格.【解】由题意,2σ未知,在水平0.05α=下检验假设0010:1000:1000H u u H u u ==↔<=属于单边(左边)t 检验.构造检验统计量 (1)x t t n =-,其中25,65,980n S X h ===,查t 分布表可得:0.05(1)(251) 1.7109t n t α-=-=,又0.05|| 1.538(24) 1.7109x t t ===<=.即接受原假设0H ,认为这批元件是合格的.【例8.10】某厂生产的一中电池,其寿命长期以来服从方差225000()σ=小时的正态分布,现有一批这种电池,从生产的情况来看,寿命的波动性有所改变,现随机地抽取26只电池,测得寿命的样本方差229200()S =小时,问根据这一数据能否推断这批电池寿命的波动性较以往有显著性的变化(取0.02α=).【解】 检验假设2201:5000:5000H H σσ=↔≠,选取统计量2222(1)(1)n S n χχσ-=-,由0.02α=,26n =,查2χ分布表可得220.012(1)(25)44.314n αχχ-==,220.0912(1)(25)11.524n αχχ--==, 又统计量2220.012(1)46(25)44.314n S χχσ-==>=,故拒绝原假设0H ,即认为这批电池寿命的波动性较以往有显著性的变化.【例8.11】 某种导线,要求其电阻的标准不得超过0.005(欧姆),今在生产的一批导线中取样品9根,测得0.007S =(欧姆),设总体为正态分布,问在水平0.05α=下,能否认为这批导线的标准差显著性地偏大?【解】本题属于总体均值未知,正态总体方差的单边检验问题0010:0.005:0.005H H σσσσ==↔>=选取统计量2222(1)(1)n S n χχσ-=-当0.05α=,9n =时,查2χ分布表可得:220.05(1)(8)15.507n αχχ-==,又题设0.007S =,则统计量22220.0522(1)80.00715.68(8)15.5070.005n S χχσ-⨯===>=. 故拒绝原假设0H ,认为这批导线的标准差显著性地偏大.【例8.12】 机器自动包装食盐,设每袋盐的净重服从正态分布,规定每袋盐的标准重量为500克,标准差不超过10克.某天开工以后,为了检查机器工作是否正常,从已包装好的食盐中随机抽取9袋,测得其重量(克)为:497,507,510,475,484,488,524,491,515问这天自动包装机工作是否正常(显著性水平0.05α=)? 【解】 设每袋盐重量为随机变量X ,则2(,)XN u σ,为了检查机器是否工作正常,需检验假设:01:500H u =及202:100H σ≤.下面现检验假设0111:500:500H u H u =↔≠ 由于2σ未知,故构造统计量(1)x t t n =-由于0.05α=,查t 分布表可得0.0252(1)(8) 2.306t n t α-==,又由题设计算可得499,16.03X S ==,故统计量取值0.025||0.187(8) 2.306x t t ===<=即接受原假设01H ,认为机器包装食盐的均值为500克,没产生系统误差.下面在检验假设220212:100:100H H σσ≤↔>选取统计量2222(1)(1)n S n χχσ-=-,由于0.05α=,查2χ分布表可得220.05(1)(8)15.5n αχχ-==,而统计量2220.052(1)20.56(8)15.5n S χχσ-==>=,故拒绝原假设02H ,接受12H ,即认为其标准差超过了10克.由上可知,这天机器自动包装食盐,虽没有产生系统误差,但生产不够稳定(方差偏大),从而认为这天自动包装机工作不正常.基本题型Ⅲ 两个正态总体的假设检验【例8.13】 下表给出了两个文学家马克·吐温(Mark Twain )的8偏小品文以及斯诺·特格拉斯(Snodgrass )的10偏小品文中由3格字母组成的词比例.马克·吐温: 0.225,0.262,0.217,0.240,0.230,0.229,0.235,0.217斯诺·特格拉斯:0.209,0.205,0.196,0.210,0.202,0.207,0.224,0.223,0.220,0.201 设两组数据分别来自正态分布,且两总体方差相等,两样本相互独立,问两个作家所写的小品文中包含由3格字母组成的词的比例是否有显著性的差异(0.05α=)?【分析】首先应注意题中的“比例”即“均值”的含义,因而本题应属于未知方差,却知其相等的两正态母体,考虑它们的均值是否相等的问题.【解】设题中两正态母体分别记为,X Y ,其均值分别为12,u u ,因而检验问题如下:012112::H u u H u u =↔≠选取统计量(2)X Y T t n m =+-,其中8,10n m ==,()()22122112wn S m S Sn m -+-=+-,在0.05α=时,查t 分布表可得()()/20.025216 2.1199t n m t α+-==由题设样本数据计算可得22120.2319,0.2097,0.00021,0.00009X Y S S ====,0.119w S ===.从而t统计量值为()0.025|| 3.964316 2.1199X Y T t ===>=,因而拒绝原假设0H ,认为两个作家所写的小品文中包含由3格字母组成的词的比例有显著性的差异.【例8.14】据专家推测:矮个子的人比高个子的人的寿命要长一些,下面给出了美国31个自然死亡的总统的寿命.矮个子(身高小于5英尺8英寸)总统 Modison Van Buren B.Harrison J.Adams J.Q.Adams 身高 5’4” 5’6” 5’6” 5’7” 5’7” 寿命 85 79 67 90 80高个子(身高大于5英尺8英寸)总统 W.Harrison Plok Tayler Crant Hayes Truman Fillmore Pierce A.Johson 身高 5’8” 5’8” 5’8”5’8.5” 5’8.5” 5’9” 5’9” 5’10” 5’10” 寿命 68 53 65 63 70 88 74 64 66 总统 T.Roosevelt Coolidge Eisenhower Cleveland Wilson Hoover Monroe Tyler 身高 5’10” 5’10” 5’10” 5’11” 5’11” 5’11” 6’ 6’ 寿命 60 60 78 71 67 90 73 71 总统 Buchanan Taft Harding Jaskon Washington Arthur F.Roosevelt 身高 6’ 6’ 6’ 6’1” 6’2” 6’2” 6’2” 寿命77 72 57 78 67 56 63设两个寿命总体均为正态分布且方差相等,试问以上数据是否符合上述推测(0.05α=)? 【解】设矮个子总统寿命为X ,高个子总统寿命为Y ,需检验012112::H u u H u u =↔>.由于22212σσσ==未知,故选用统计量(2)X Y T t n m =+-,其中5,26n m ==,()()22122112wn S m S Sn m -+-=+-.由题设样本数据可得80.2,69.15,X Y ==22124294.8,252183.215S S ==,故()()221221185.4492wn S m S Sn m -+-==+-,从而统计量|| 2.448X Y T ==,又当0.05α=时,查t 分布表可得()()0.05229 1.6991t n m t α+-==,即()0.05|| 2.44829 1.6991T t =>=,故拒绝原假设0H ,即推测是正确的,认为矮个子的人比高个子的人的寿命要长一些 【例8.15】总体21(,)XN u σ,22(,)Y N u σ,112,,,n x x x 与212,,,n y y y 分别时来自总体,X Y 的样本,试讨论检验问题012112::H u u H u u δδ-≤↔->.【解】取统计量12(2)X Y T t n n =+-,其中()()221122212112wn S n S S n n -+-=+-, 则检验统计量为X Y T =,当1H 成立时,t 有偏大的趋势,故取拒绝域为12{(2)}w t t n n α=>+-.【例8.16】甲乙相邻地段各取了50块和25块岩心进行磁化率测定,算出两样本标准差分别是210.0139S =,220.0053S =,问甲乙两段的标准差是否有显著性差异(0.05α=)?【解】作假设001:H σσ=,由题设有250211501500.0139()0.01425014949i i S X X =⨯⨯-===-∑, 252221521520.0053()0.00545215151ii S Y Y =⨯⨯-===-∑ 从而统计量21112222(1)0.01422.630.0054(1)n S n F n S n -===-,当0.05α=,查F 分布表可得0.0252(501,521)(501,521) 1.7494F F α--=--=,0.97512(501,521)(501,521)0.5698FF α---=--=,因为0.0252.63(49,51) 1.7494F F =>=,故拒绝原假设0H ,即认为甲乙两段的标准差有显著性差异.【例8.17】在集中教育开课前对学员进行了测试,过来一段时间后,又对学员进行了与前一次同样程度的考查,目的是了解上次的学员与这次学员的考试分类是否有显著性差别(0.05α=),从上次与这次学员的考试中随机抽取12份考试成绩,如下表考试次数 考分 合计平均分 (1) 80.5,91.0,81.0,85.0,70.0,86.0,69.5,74.0,72.5,83.0,69.0,78.5940 78.5 (2)76.0,90.0,91.5,73.0,64.5,77.5,81.0,83.5,86.0,78.5,85.0,96080.073.5【解】此为双正态总体的假设检验,两总体均值未知,先检验假设2222012112::H H σσσσ=↔≠.选取统计量211222(1,1)S F F n n S =--,由题设可计算得221253.15,60.23S S ==,则统计量212253.150.882560.23S F S ===,取0.05α=,查F 分布表可得0.0252(11,11)(11,11) 3.43F F α==,0.97510.02521(11,11)(11,11)0.2915(11,11)FF F α-===.由于122(11,11)0.8825(11,11) 3.43FF F αα-<=<=,故在0.05α=下,接受0H ,即认为两次考试中学员的成绩的方差相等. 再假设012112::H u u H u u =↔≠.构造统计量12(2)X YT t n n =+-,其中()()221122212112wn S n S S n n -+-=+-,1212,12n n ==.由样本数据可得78.5,80.0,X Y ==221253.1515,60.2273S S ==,故()()2211222121156.68942wn S n S Sn n -+-==+-,从而统计量||0.488X Y T ==,在0.05α=下,查t 分布表可得()()120.0252222 2.0739t n n t α+-==.由于()0.025||0.48822 2.0739T t =<=,即认为两次考试中学员的平均成绩相等,从而认为两次考试中学员的成绩无显著性差异.基本题型Ⅳ 非正态总体参数假设检验【例8.18】某产品的次品率为0.17,现对此产品进行了新工艺试验,从中抽取400件检查,发现次品56间,能否认为这项新工艺显著性地影响产品质量(0.05α=)? 【解】检验问题01:0.17:0.17H p H p =↔≠由题设可知56ˆ0.14400m pn ===,构造统计量 1.597u ===-,当0.05α=时,查正态分布表可得0.025 1.96u =,因为0.025|| 1.96u u <=,故接受原假设0H ,认为新工艺显著性地影响产品质量.【评注】本题的理论依据时中心极限定理:当n 充分大时,在0H 成立时,u =(0,1)N 分布.【例8.19】 已知某种电子元件的使用寿命X 服从指数分布()E λ,现抽查100个元件,得样本均值950()x h =,能否认为参数0.01λ=(0.05α=)? 【解】由题设()XE λ,故211,EX DX λλ==,当n 充分大时,1((0,1)1x u x N λλ-==-,现在检验问题01:0.001:0.001H H λλ=↔≠,则((0.0019501)0.5u x λ=-=⨯-=,当0.05α=时,查正态分布表可得0.025 1.96u =,因为0.025|| 1.96u u <=,故接受原假设0H ,认为参数0.01λ=.【评注】总体()X F x ,2,EX u DX σ==,则当n充分大时,u =从(0,1)N 分布.【例8.20】对某干洗公司去除污点的比例做下列假设检验01:0.7:0.9H p H p =↔=,选出100个污点,设其中去除的污点数为x ,拒绝域为{82}w x =>. (1)当0.7p =时,求犯第一类错误的概率α; (2)当0.9p =时,求犯第二类错误的概率β. 【解】(1)由题设有{82|0.7}1P x p α=>==-Φ1(2.62)10.99560.0044=-Φ=-=.(2){82|0.9}P x p β=≤==Φ( 2.67)1(2.67)10.99620.0038=Φ-=-Φ=-=.【评注】从计算分析,这一检验法的α,β皆很小,是较好的检验.§历年考研真题评析1、【98.1.4】设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,计算得到平均成绩为66.5,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生平均成绩为70分?并给出检验过程.【解】设该次考试的考生成绩为X ,则2(,)XN ,设X 为从总体X 抽取的样本容量为n 的样本均值,S 为样本标准差,根据题意建立假设001:70;:70H H .选取统计量 07036X X TnSS在70时,2(70,),(35)X T t .选取拒绝域{||}R T ,其中满足{||}0.05P T ,即{||}0.95P T .即0.975(35) 2.0301t . 由036,66.5,70,15n xs 可以计算得统计量T 的值|66.570|||361.42.030115T .因此不能拒绝0H ,即在显著性水平0.05下可以认为全体考生的平均成绩为70分.§习题全解1、在正常情况下,某炼钢厂的铁水含碳量(%)2(4.55,)XN σ.一日测得5炉铁水含碳量如下:4.48,4.40,4.42,4.45,4.47在显著性水平0.05α=下,试问该日铁水含碳量得均值是否有明显变化. 【解】设铁水含碳量作为总体X ,则2(4.55,)XN σ,从中选取容量为5的样本,测得24.444,0.0011X S ==.由题意,设原假设为0: 4.55H u = 构造检验统计量 ||(4)X u t t S -=,则7.051t ==在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(4)(4) 2.77647.051tt α-==<,拒绝原假设0H ,即认为有显著性变化.2、根据某地环境保护法规定,倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm.该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为:115,,x x .经计算得15148ii x==∑, 1521156.26i i x ==∑.试判断该厂是否符合环保法的规定.(该有毒化学物质含量X 服从正态分布)【解】设有毒化学物质含量作为总体X ,则2(,)XN u σ,从中选取容量为15的样本,测得1511 3.215i i X x ===∑,22221111()()0.1911n ni i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑.由题意,设原假设为0:3H u <,备择假设为1:3H u >.构造检验统计量(14)X t t =,则 1.777t ==,在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95(14)(14) 1.7613 1.777t t α-==<,即拒绝原假设0H ,接受备择假设1H ,认为该厂不符合环保的规定.3、某厂生产需用玻璃纸作包装,按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不应低于65.已知该指标服从正态分布2(,)N μσ, 5.5σ=.从近期来货中抽查了100个样品,得样本均值55.06x =,试问在0.05α=水平上能否接受这批玻璃纸? 【解】设玻璃纸的横向延伸率为总体X ,则2(,5.5)XN u ,从中选取容量为100的样本,测得55.06x =.由题意,设原假设为0:65H u >,备择假设为1:65H u <.构造检验统计量||(0,1)X u U N σ-=,则|55.0665|18.07275.5U -==在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95 1.644918.0727U U α-==<,即拒绝原假设0H ,接受备择假设1H ,不能接受该批玻璃纸..4、某纺织厂进行轻浆试验,根据长期正常生产的累积资料,知道该厂单台布机的经纱断头率(每小时平均断经根数)的数学期望为9.73根,标准差为1.60根.现在把经纱上浆率降低20%,抽取200台布机进行试验,结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根,如果认为上浆率降低后均方差不变,问断头率是否受到显著影响(显著水平α=0.05)?【解】设经纱断头率为总体X ,则9.73u EX ==, 1.6σ==,从中选取容量为200的样本,测得9.89x =.由题意,设原假设为0:9.73H u =,备择假设为1:9.73H u ≠. 构造检验统计量(0,1)X U N =,则 1.4142U ==在显著性水平0.05α=下,查表可得0.975121.96 1.4142UU α-==>,即接受原假设0H ,认为断头率没有受到显著影响.5、某厂用自动包装机装箱,在正常情况下,每箱重量服从正态分布2(100,)N σ.某日开工后,随机抽查10箱,重量如下(单位:斤):99.3,98.9,100.5,100.1,99.9,99.7,100.0,100.2,99.5,100.9.问包装机工作是否正常,即该日每箱重量的数学期望与100是否有显著差异?(显著性水平α=0.05) 【解】设每箱重量为总体X ,则2(100,)XN σ,从中选取容量为10的样本,测得99.9x =,20.34S =.由题意,设原假设为0:100H u =,备择假设为1:100H u ≠.构造检验统计量||(9)X u t t S -=,则0.5423t ==,在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(9)(9) 2.26220.5423tt α-==>,即接受原假设0H ,认为每箱重量无显著差异.6、某自动机床加工套筒的直径X 服从正态分布.现从加工的这批套筒中任取5个,测得直径分别为15,,x x (单位m μ:),经计算得到51124ii x==∑, 5213139i i x ==∑.试问这批套筒直径的方差与规定的27σ=有无显著差别?(显著性水平0.01α=) 【解】设这批套筒直径为总体X ,则2(,)XN u σ,从中选取容量为5的样本,测得151124.815i i X x ===∑,22221111()()15.9511n ni i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑. 由题意,设原假设为20:7H σ=,备择假设为21:7H σ≠.构造检验统计量2222(1)(4)n S χχσ-=,则2415.959.11437χ⨯==,在显著性水平0.01α=下,查表可得220.99512(4)(4)14.86αχχ-==,220.0052(4)(4)0.2070αχχ==,从而222122(4)(4)ααχχχ-<<. 即接受原假设0H ,认为这批套筒直径的方差与规定的27σ=无显著差别.7、甲、乙两台机床同时独立地加工某种轴,轴的直径分别服从正态分布211(,)N μσ、222(,)N μσ(12,μμ未知).今从甲机床加工的轴中随机地任取6根,测量它们的直径为16,,x x ,从乙机床加工的轴中随机地任取9根,测量它们的直径为19,,y y ,经计算得知:61204.6ii x==∑, 6216978.9i i x ==∑,91370.8i i y ==∑,92115280.2i i y ==∑.问在显著性水平0.05α=下,两台机床加工的轴的直径方差是否有显著差异? 【解】设两台机床加工的轴的直径分别为总体,X Y ,则211(,)XN μσ、222(,)YN μσ,从总体X 中选取容量为6的样本,测得61134.16i i X x ===∑222211111()()0.40811n ni i i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑. 从总体Y 中选取容量为9的样本,测得91141.29i i Y y ===∑222221111()()0.40511n ni i i i S y y y ny n n ===-=-=--∑∑ 由题意,设原假设为22012:H σσ=,备择假设为22112:H σσ≠.构造检验统计量2122(5,8)S F F S =,则0.4081.0070.405F ==,在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(5,8)(5,8) 6.76FF α-==,0.0252(5,8)(5,8)0.1479F F α==,从而122(5,8)(5,8)F F Fαα-<<.即接受原假设0H ,认为两台机床加工的轴的直径方差无显著差异.8、某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从正态分布,它的标准差为0.048.某日随机抽取5根纤维,测得其纤度为1.32,1.55,1.36,1.40,1.44.问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化(显著性水平α=0.1)? 【解】设维尼龙纤度为总体X ,则2(,0.048)XN u ,从中选取容量为5的样本,测得511 1.4145i i X x ===∑,2211()0.00781n i i S x x n ==-=-∑.由题意,设原假设为0:0.048H σ=,备择假设为1:0.048H σ≠.构造检验统计量2222(1)(4)n S χχσ-=,则2240.007813.542(0.048)χ⨯==在显著性水平0.1α=下,查表可得220.9512(4)(4)9.487713.542αχχ-==<.即拒绝原假设0H ,认为维尼龙纤度的均方差有显著变化.9、某项考试要求成绩的标准差为12,先从考试成绩单中任意抽出15份,计算样本标准差为16,设成绩服从正态分布,问此次考试的标准差是否符合要求(显著性水平α=0.05)? 【解】 设考试成绩为总体X ,则2(,12)XN u ,从中选取容量为15的样本,测得16S =.由题意,设原假设为0:12H σ=,备择假设为1:12H σ≠. 构造检验统计量2222(1)(14)n S χχσ-=,则222141619.055612χ⨯==.在显著性水平0.05α=下,查表可得220.97512(14)(14)26.1189αχχ-==,220.0252(14)(14) 5.6287αχχ==,从而222122(14)(14)ααχχχ-<<.即接受原假设0H ,认为此次考试的标准差符合要求.10、某卷烟厂生产甲、乙两种香烟,分别对他们的尼古丁含量(单位:毫克)作了六次测定,获得样本观察值为:甲:25,28,23,26,29,22; 乙:28,23,30,25,21,27.假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布,且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异(显著性水平α=0.05,)?对这两种香烟的尼古丁含量,检验它们的方差有无显著差异(显著性水平α=0.1)?【解】设这两种烟的尼古丁含量分别为总体,X Y ,则211(,)X N μσ、222(,)Y N μσ,从中均选取容量为6的样本,测得61125.56i i X x ===∑,22111()7.51n i i S x x n ==-=-∑, 61125.66676i i Y y ===∑,22211()11.06671n i i S y y n ==-=-∑, 由题意,在方差相等时,设原假设为012:H u u =,备择假设为112:H u u ≠.构造检验统计量12(2)X Y t t n n =+-,其中222112212(1)(1)9.2834(2)wn S n S S n n -+-==+-.则0.0948t ==,在显著性水平0.05α=下,查表可得120.97512(2)(10) 2.22810.0948tn n t α-+-==>.即接受原假设0H ,认为这两种香烟的尼古丁平均含量无显著差异.由题意,在方差待定时,设原假设为22012:H σσ=,备择假设为22112:H σσ≠.构造检验统计量2122(5,5)S F F S =,则7.50.677711.0667F ==,在显著性水平0.1α=下,查表可得0.9512(5,8)(5,5) 5.0503FF α-==,0.052(5,8)(5,5)0.1980F F α==,由122(5,5)(5,5)F F Fαα-<<.即接受原假设0H ,认为它们的方差无显著差异.§同步自测题及参考答案一、选择题1、关于检验水平α的设定,下列叙述错误的是 【 】()A α的选取本质上是个实际问题,而非数学问题. ()B 在检验实施之前, α应是事先给定的,不可擅自改动.()C α即为检验结果犯第一类错误的最大概率. ()D 为了得到所希望的结论,可随时对α的值进行修正.2、关于检验的拒绝域W,置信水平a ,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是 【 】()A a 的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述. ()B 事件021|),,,{(H W X X X n ∈ 为真}即为一个小概率事件.()C 设W 是样本空间的某个子集,指事件}|),,,{(021为真H W X X X n ∈ . ()D 确定恰当的W 是任何检验的本质问题.3、设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,此问题拒绝域形式为 【 】()A }C >. ()B }/100{C n S X <-. ()C }10/100{C S X >- . ()D }{C X >.4、设n X X X ,,,21 为来自总体2(,)N μσ的样本,若μ未知, 100:20≤σH ,21:100,H 0.05a ,关于此检验问题,下列不正确的是 【 】()A 检验统计量为100)(12∑=-ni iX X. ()B 在0H 成立时,)1(~100)1(22--n x S n . ()C 拒绝域不是双边的. ()D 拒绝域可以形如})({12∑=>-ni i k X X .5、设总体服从正态分布2(,3)XN μ,12,,,n x x x 是X 的一组样本,在显著性水平0.05α=下,假设“总体均值等于75”拒绝域为12{,,,:74.0275.98}n w x x x x x =<⋃>,则样本容量n = 【 】()A 36. ()B 64. ()C 25. ()D 81.二、填空题1、为了校正试用的普通天平,把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量,得如下结果:99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.399.7 99.5 102.1 100.5, 99.2 假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,0H为 .2、设样本2521,,,X X X 来自总体μμ),9,(N 未知,对于检验0010::H H μμμμ=↔= 取拒绝域形如k X ≥-0μ,若取05.0=a ,则k 值为 .3、设12,,,n x x x 是正态总体2(,)XN μσ的一组样本.现在需要在显著性水平0.05α=下检验假设2200:H σσ=.如果已知常数u ,则0H 的拒绝域1w =______________;如果未知常数u ,则0H 的拒绝域2w =______________.4、在一个假设检验问题中令0H 是原假设,1H 时备择假设,则犯第一类错误的概率{______________}P ,犯第二类错误的概率{______________}P .三、解答题1、某批矿砂的5个样本中的镍含量,经测定为(%)3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值总体服从正态分布,问在0.01α=下,能否接受假设:这批矿砂的含量的均值为3.25.2、已知精料养鸡时,经若干天鸡的平均重量为4公斤.今对一批鸡改用粗料饲养,同时改善饲养方法,经同样长的饲养期后随机抽取10只,的其数据如下:3.7,3.8,4.1,3.9,4.6,4.7,5.0,4.5,4.3,3.8已知同一批鸡的重量X 服从正态分布,试推断:这一批鸡的平均重量是否显著性提高.试就0.01α=和0.05α=分别推断.3、测定某种溶液中的水份,它的10个测定值给出0.037%S =,设测定值总体为正态分布,2σ为总体方差,试在水平0.05α=下检验假设01:0.04%:0.04%H H σσ=↔<.4、在70年代后期,人们发现在酿造啤酒时,在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA ).到了80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程,下面给出了在新老两种干燥过程中形成的NDMA 的含量(以10亿份中的份数计)老过程 6,4,5,5,6,5,5,6,4,6,7,4 新过程2,1,2,2,1,0,3,2,1,0,1,3设两样本分别来自正态总体,且两总体的方差相等,两样本独立,分别以12,u u 记对应于老、新过程的总体均值,试检验假设(0.05α=)0111:2:2H u u H u u -=↔->.5、检验了26匹马,测得每100毫升的血清中,所含的无机磷平均为3.29毫升,标准差为0.27毫升;又检验了18头羊,每100毫升血清中汗无机磷平均值为3.96毫升,标准差为0.40毫升.设马和羊的血清中含无机磷的量均服从正态分布,试问在显著性水平0.05α=条件下,马和羊的血清中无机磷的含量有无显著性差异?6、某种产品的次品率原为0.1,对这种产品进行新工艺试验,抽取200件发现了13件次品,能否认为这项新工艺显著性地降低了产品的次品率(0.05α=)?7、设n X X X ,,,21 为总体(,4)XN a 的样本,已知对假设01:1: 2.5H a H a =↔=,0H 的拒绝域为{2}w X =>.(1)当9u =时,求犯两类错误的概率α和β; (2)证明:当n →∞时,0α→,0β→.同步自测题参考答案 一、选择题1.()D .2. ()C .3. ()C .4. ()B .5. ()A . 二、填空题1.100=μ.2. 1.176.3. 222210.0250.97522110011{()()()()}nniii i w x u n x u n χχσσ===->⋃-<∑∑;222220.0250.975220(1)(1){(1)(1)}n S n S w n n χχσσ--=>-⋃<- .4.10{|}P H H 接受成立,01{|}P H H 接受成立.三、解答题 1、接受0H .2、0.01α=时,显著性提高;0.05α=时,没有显著性提高 .3、 接受0H .4、拒绝0H ,接受1H .5、方差无显著性差异,均值有显著性差异,故有显著性差异.6、 拒绝0H .7、(1)0.0668α=,0.2266β=,(2)102α=-Φ→,(04β=Φ-→()n →∞.。

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