假设检验的习题及详解包括典型考研真题

§假设检验

基本题型Ⅰ 有关检验统计量和两类错误的题型

【例8.1】u 检验、t 检验都是关于 的假设检验.当 已知时，用u 检验；当 未知时，用t 检验.

【分析】 由u 检验、t 检验的概念可知，u 检验、t 检验都是关于均值的假设检验，当方差2

σ为已知时，用u 检验；当方差2

σ为未知时，用t 检验. 【例8.2】设总体2(,)X

N u σ，2,u σ未知，12,,

,n x x x 是来自该总体的样本，记

11n

i i x x n ==∑，21

()n

i i Q x x ==-∑，则对假设检验0010::H u u H u u =↔≠使用的t 统计量

t = （用,x Q 表示）

；其拒绝域w = . 【分析】2

σ未知，对u 的检验使用t 检验，检验统计量为

(1)x t t n =

=-

对双边检验0010::H u u H u u =↔≠，其拒绝域为2

{||(1)}w t t n α=>-.

【例8.3】设总体211(,)X

N u σ，总体222(,)Y N u σ，其中22

12,σσ未知，设

112,,

,n x x x 是来自总体X 的样本，212,,,n y y y 是来自总体Y 的样本，两样本独立，则

对于假设检验012112::H u u H u u =↔≠，使用的统计量为 ，它服从的分布为 .

【分析】记1111n i i x x n ==∑，2

1

21n i i y y n ==∑,因两样本独立，故,x y 相互独立，从而在0H 成立下，()0E x y -=，2

2

12

1

2

()()()D x y D x D y n n σσ+=+=

+

，故构造检验统计量

(0,1)x y

u N =

.

【例8.4】设总体2(,)X

N u σ，u 未知，12,,

,n x x x 是来自该总体的样本，样本方

差为2

S ，对2201:16:16H H σσ≥↔<，其检验统计量为 ，拒绝域为 .

【分析】u 未知，对2σ的检验使用2

χ检验，又由题设知，假设为单边检验，故统计量

为2

2

2(1)(1)16

n S n χχ-=

-，从而拒绝域为221{(1)}n αχχ-<-.

【例8.5】某青工以往的记录是：平均每加工100个零件，由60个是一等品，今年考核他，在他加工零件中随机抽取100件，发现有70个是一等品，这个成绩是否说明该青工的技术水平有了显著性的提高（取0.05α=）？对此问题，假设检验问题应设为 【 】

()A 01:0.6:0.6H p H p ≥↔<. ()B 01:0.6:0.6H p H p ≤↔>. ()C 01:0.6:0.6H p H p =↔≠. ()D 01:0.6:0.6H p H p ≠↔=.

【分析】一般地，选取问题的对立事件为原假设.在本题中，需考察青工的技术水平是否有了显著性的提高，故选取原假设为0:0.6H p ≤，相应的，对立假设为1:0.6H p >，故选()B .

【例8.6】某厂生产一种螺钉，标准要求长度是68mm ，实际生产的产品，其长度服从

2(,3.6)N u ，考察假设检验问题01:68:68H u H u =↔≠.设x 为样本均值，按下列方式

进行假设检验：当|68|1x ->时，拒绝原假设0H ；当|68|1x -≤时，接受原假设0H . （1）当样本容量36n =时，求犯第一类错误的概率α； （2）当样本容量64n =时，求犯第一类错误的概率α；

（3）当0H 不成立时（设70u =），又64n =时，按上述检验法，求犯第二类错误的概率β. 【解】（1）当36n =时，2

23.6(,)(,0.6)36

x

N u N u =，

000{|68|1|}{67|}{69|}P x H P x H P x H α=->=<+>成立成立成立

67686968

(

)[1()]( 1.67)[1(1.67)]0.60.6

--=Φ+-Φ=Φ-+-Φ 2[1(1.67)]2[10.99575]0.095=-Φ=-=.

（2）当64n =时，2

23.6(,)(,0.45)64

x

N u N u =

000{|68|1|}{67|}{69|}P x H P x H P x H α=->=<+>成立成立成立

67686968

(

)[1()]0.450.45

--=Φ+-Φ 2[1(2.22)]2[10.9868]0.0264=-Φ=-=.

（3）当64n =，又70u =时，2(70,0.45)x

N ，这时犯第二类错误的概率

(70){|68|1|70}{6769|70}P x u P x u β=-≤==≤≤=

69706770

(

)()( 2.22)( 6.67)0.450.45

--=Φ-Φ=Φ--Φ- (6.67)(2.22)10.98680.0132=Φ-Φ=-=.

【评注】01（1）（2）的计算结果表明：当n 增大时，可减小犯第一类错误的概率α；

02 当64n =，66u =时，同样可计算得到(66)0.0132β=.

03 当64n =，68.5u =时，2(68.5,0.45)x

N ，则

(68.5){6769|68.5}P x u β=≤≤= 6968.56768.5(

)()(1.11)( 3.33)0.450.45

--=Φ-Φ=Φ-Φ-

0.8665[10.9995]0.8660=--=.

这表明：当原假设0H 不成立时，参数真值越接近于原假设下的值时，β的值就越大. 【例8.7】设总体2(,)X

N u σ，12,,

,n x x x 是来自该总体的样本，对于检验

01:0:0H u H u ≤↔>，取显著性水平α，拒绝域为：{}w u u α=>，其中u =，求：

（1）当0H 成立时，求犯第一类错误的概率()u α； （2）当0H 不成立时，求犯第二类错误的概率()u β. 【解】（1）当0H 成立时，0u ≤，则

(){|0}|0}u P u u u P u u ααα=>≤=>≤

()|0}1()

(0)P x u u u u u αα=->≤=-Φ≤

因0u ≤，故()()1u u αααΦ≥Φ=-，从而()1()1(1)u u αααα≤-Φ=--=，即犯第一类错误的概率不大于α.

（2）(){|0}()|0}u P u u u P x u u u ααβ=≤>=-≤>

()

(0)u u α=Φ>

因0u >，故当u →+∞时，()0u β→，即u 与假设0H 偏离越大，犯第二类错误的概率越