第八章、非平稳时间序列分析
第八章时间序列分析
第⼋章时间序列分析第⼋章时间序列分析与预测【课时】6学时【本章内容】§ 时间序列的描述性分析时间序列的含义、时间序列的图形描述、时间序列的速度分析§ 时间序列及其构成分析时间序列的构成因素、时间序列构成因素的组合模型§ 时间序列趋势变动分析移动平均法、指数平滑法、模型法§ 时间序列季节变动分析[原始资料平均法、趋势-循环剔除法、季节变动的调整§ 时间序列循环变动分析循环变动及其测定⽬的、测定⽅法本章⼩结【教学⽬标与要求】1.掌握时间序列的四种速度分析2.掌握时间序列的四种构成因素3.掌握时间序列构成因素的两种常⽤模型4.掌握测定长期趋势的移动平均法5.了解测定长期趋势的指数平滑法6.；7.掌握测定长期趋势的线性趋势模型法8.了解测定长期趋势的⾮线性趋势模型法9.掌握分析季节变动的原始资料平均法10.掌握分析季节变动的循环剔出法11.掌握测定循环变动的直接法和剩余法【教学重点与难点】1.对统计数据进⾏趋势变动分析，利⽤移动平均法、指数平滑法、线性模型法求得数据的长期趋势；2.对统计数据进⾏季节变动分析，利⽤原始资料平均法、趋势－循环剔除法求得数据的季节变动；3.对统计数据进⾏循环变动分析，利⽤直接法、剩余法求得循环变动。
【导⼊】；很多社会经济现象总是随着时间的推移不断发展变化，为了探索现象随时间⽽发展变化的规律，不仅要从静态上分析现象的特征、内部结构以及相互关联的数量关系，⽽且应着眼于现象随时间演变的过程，从动态上去研究其发展变动的过程和规律。
这时需要⼀些专门研究按照时间顺序观测的序列数据的统计分析⽅法，这就是统计学中的时间序列分析。
通过介绍⼀些时间序列分析的例⼦，让同学们了解时间序列的应⽤，并激发学⽣学习本章知识的兴趣。
1.为了表现中国经济的发展状况，把中国经济发展的数据按年度顺序排列起来，据此来研究。
2.公司对未来的销售量作出预测。
这种预测对公司的⽣产进度安排、原材料采购、存货策略、资⾦计划等都⾄关重要。
第八章非平稳和季节时间序列模型分析方法
第八章非平稳和季节时间序列模型分析方法时间序列是指观测值按照时间顺序排列的一组数据，其中具有季节性和非平稳性的时间序列数据具有特殊的分析需求。
本文将介绍非平稳和季节时间序列的分析方法。
一、非平稳时间序列分析方法非平稳时间序列是指其统计特征在时间上发生了变化，无法满足平稳性的要求。
非平稳时间序列具有趋势性、周期性、季节性和不规则性等特征。
对于非平稳时间序列的分析，我们可以采用以下方法：1.差分法：差分法是通过对时间序列取一阶或多阶差分来消除趋势性的影响。
通过差分后的时间序列进行分析，我们可以得到一个稳定的时间序列，并进行后续的建模和预测。
2.移动平均法：移动平均法是通过计算一定窗口范围内的观测值的平均值来消除短期波动的影响，从而得到一个平滑的时间序列。
通过移动平均后的时间序列进行分析，我们可以在一定程度上消除非平稳性的影响。
3.分解法：分解法是将非平稳时间序列分解为趋势项、季节项和随机项三个部分。
通过分解后的各个部分进行分析，我们可以了解趋势、季节和随机成分在时间序列中的作用，从而更好地进行建模和预测。
二、季节时间序列分析方法季节时间序列是指具有明显季节性的时间序列数据。
对于季节时间序列的分析，我们可以采用以下方法：1.季节性指数：季节性指数是用来描述季节性的强度和方向的指标。
通过计算每个季节的平均值与总平均值之比，可以得到季节性指数。
根据季节性指数的变化趋势，我们可以判断时间序列的季节性变化情况，并进行后续的建模和预测。
2.季节性趋势模型：季节性趋势模型是一种常用的季节时间序列建模方法。
该模型将时间序列分解为趋势项、季节项和随机项三个部分，并通过对这三个部分进行建模来分析季节性时间序列。
常用的季节性趋势模型包括季节性自回归移动平均模型（SARIMA）、季节性指数平滑模型等。
总结起来，非平稳和季节时间序列模型的分析方法主要包括差分法、移动平均法和分解法等对非平稳时间序列进行分析，以及季节性指数和季节性趋势模型等对季节性时间序列进行分析。
时间序列分析实验4-非平稳序列的确定性分析
趋势分析
目的
有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分 析的目的就是要找到序列中的这种趋势，并 利用这种趋势对序列的发展作出合理的预测
常用方法
趋势拟合法 平滑法
趋势拟合法
趋势拟合法就是把时间作为自变量，相 应的序列观察值作为因变量，建立序列 值随时间变化的回归模型的方法
分类
线性拟合 非线性拟合（曲线拟合）
线t a bt It E(It ) 0,Var(It )
式中，{I t }为随机波动； Tt a bt就是消除随机波动的影响之后该序列的长期趋势。
例4.1:拟合澳大利亚政府1981—— 1990年每季度的消费支出序列
非线性拟合模型SAS结果
非线性拟合模型SAS结果
拟合效果图
综合分析
常用综合分析模型
加法模型 xt Tt St It
乘法模型
xt Tt St I t
混合模型
a) xt St Tt It b) xt St (Tt It )
例4.7
对1993年——2000年中国社会消费品零 售总额序列（数据见附录1.11）进行确 定性时序分析。
对原始数
据集a画 时序图，
对应书46图
例4.7的SAS过程
data bb; input xx@@; t=intnx('month','1jan1993'd,_n_-1); format t year4.; cards; 剔除季节效应后的数据 ; proc gplot data=bb; plot xx*t; symbol c=black i=none v=star; run;
线性拟合
非平稳时间序列解析
动态乘子的比较
趋势平稳过程 动态乘子:
xt t+( B) t
xt s t
2 趋势平稳过程满足 j 0 j , 所以
xt s lims 0. t
单整序列
差分一次变为平稳过程，记为I(1) 平稳过程记为I(0) 如果差分n-1次不平稳，差分n次平稳，称 为n阶单整的，记为I(n)
趋势平稳过程和单位根过程比较
预测比较
H 0 : xt xt 1 t H1 : xt t ( xt 1 t ) t ,| | 1
包含一个确定性趋势和一个随机趋势
单位根过程
满足下面表达式的过程成为单位根过程
(1 B) xt t 1 t 1
其中
(B) t
(1) 0, j 0 2 j , (u ) 0根在单位圆外.
单位根过程对时间序列的增量进行刻画，增 量平稳，但水平变量不平稳。
2.方差有界并且不随时间变化,是常数. 称为方差齐性
平稳ARMA模型, 可表示为
xt t 1 t 1
,
i 0
| i |
t WN (0, )
2
此类模型的特点 3. 长期预测趋于无条件均值 4. 预测误差的方差有界
序列分解
xt l t l 1 t l 1 et (l )
预测误差
l 1 t 1 l t l 1 t 1 ˆt (l ) x
预测值
ˆ (l ) E ( xt l xt , xt 1 , ) x Var ( xt l xt , xt 1 , ) Var[et (l )]
SAS分析非平稳时间序列
运用SAS对谷物产量进行分析—、摘要利用SAS软件（程序见附录）判断谷物产量数据为平稳序列且为非白噪声序列，然后先后通过模型的识别、参数的估计、模型的优化、残差白噪声检验，确定AR（1）模型拟合时间序列显著有效。
由于时间序列之间的相关关系，且历史数据对未来数据有一定的影响，对未来5期的谷物生产量进行预测。
二、理论准备首先判断序列的随机性和平稳性。
通过随机性检验，判断该序列是否为白噪声序列，如果是白噪声序列，就认为该随机事件没有包含任何值得提取的有用信息，我们就应该终止分析。
通过平稳性检验，序列可以分为平稳序列和非平稳序列。
如果序列平稳，通过相关计算进行模型拟合，并利用过去行为对将来行为进行预测，达到预测效果。
如果序列为非平稳，再确定模型为非平稳序列中四大类模型中的哪种种模型或者几种模型对序列的综合影响，通过把序列转化为平稳序列，再进一步分析。
三、数据选取本实验采用某地区连续74年的谷物产量（单位：千吨），如下所示：0.97 0.45 1.61 1.26 1.371.43 1.321.23 0.84 0.89 1.18 1.33 1.21 0.98 0.91 0.61 1.23 0.97 1.10 0.74 0.80 0.810.80 0.600.59 0.63 0.87 0.36 0.81 0.91 0.77 0.96 0.93 0.95 0.65 0.98 0.70 0.86 1.320.88 0.680.78 1.25 0.79 1.19 0.69 0.92 0.86 0.86 0.85 0.90 0.54 0.32 1.40 1.14 0.690.91 0.680.57 0.94 0.35 0.39 0.45 0.99 0.84 0.62 0.85 0.730.66 0.76 0.63 0.32 0.170.46四、数据进行平稳性与纯随机性的检验与判别（一）序列的纯随机性检验tutocorrelation Check for Uhite NoiseTo Chi-Fr)Lag Square OF ChiSq ........ ......... ........... A utocorrelations ....................629川 6 t.lltl 0.3630.26t 0.227 9.21! 0.20?图1序列延迟6阶LB检验结果序列纯随机性检验结果显示延迟6阶LB检验统计量的P值小于1%勺显著性水平0.0001，说明序列之间蕴含着很强的相关信息，即该序列是非随机性序列，为非白噪声。
第八章、非平稳时间序列分析
第八章、非平稳时间序列分析很多时间序列表现出非平稳的特性：随机变量的数学期望和方差随时间的变化而变化。
宏观经济数据形成的时间序列中有很多是非平稳时间序列。
非平稳时间序列与平稳时间序列具有截然不同的特征，研究的方法也很不一样。
因此，在对时间序列建立模型时，必须首先进行平稳性检验，对于平稳时间序列，可采用第七章的方法进行分析，对于非平稳时间序列，可以将采用差分方法得到平稳时间序列，然后采用平稳时间序列方法对差分数据进行研究，对于多个非平稳时间序列则可以采用协整方法对其关系进行研究。
8.1 随机游动和单位根8.1.1随机游动和单位根如果时间序列t y 满足模型t t t y y ε+=-1 （8.1）其中t ε为独立同分布的白噪声序列， ,2,1,)(2==t Var t σε，则称t y 为标准随机游动（standard random walk ）。
随机游动表明，时间序列在t 处的值等于1-t 时的值加上一个新息。
如果将t y 看作一个质点在直线上的位置，当前位置为1-t y ，则下一个时刻质点将向那个方向运动、运动多少（t ε）是完全随机的，既与当前所处的位置无关（t ε与1-t y 不相关），也与以前的运动历史无关（t ε与 ,,32--t t y y 不相关），由质点的运动历史和当前位置不能得出下一步运动方向的任何信息。
这便是 “随机游动”的由来。
随机游动时间序列是典型的非平稳时间序列。
将（8.1）进行递归，可以得出010211y y y y t s s t t t t t t t +==++=+=∑-=----εεεε （8.2）。
如果初始值0y 已知，则可以计算出t y 的方差为2)(σt y Var t =。
由此看出随机游动在不同时点的方差与时间t 成正比，不是常数，因此随机游动是非平稳时间序列。
下图给出了随12机游动时间序列图：图8.1 随机游动时间序列图将随机游动（8.1）用滞后算子表示为t t y L ε=-)1( （8.3），滞后多项式为L L -=Φ1)(。
非平稳时间序列的预测方法研究
非平稳时间序列的预测方法研究在现实世界中，许多现象都可以用时间序列来描述。
这些时间序列可能受到各种内部和外部因素的影响，表现出复杂的动态特征。
非平稳时间序列是指那些不能通过简单的参数化方式来描述的时间序列，其预测方法研究具有重要的实际意义和应用价值。
本文将介绍非平稳时间序列的预测方法，包括数据预处理、特征提取、模型建立和参数选择等，并对其应用场景和未来发展方向进行探讨。
对于非平稳时间序列的预测，首先需要对数据进行预处理。
数据预处理主要包括以下几个步骤：（1）数据清洗：消除异常值、缺失值和离群值，避免对预测结果产生负面影响。
（2）数据平滑：采用适当的方法对数据进行平滑处理，以去除噪声和随机波动，提取出潜在的规律和趋势。
（3）季节性调整：对于含有季节性因素的时间序列，需要将其中的季节性成分提取出来，以便进行后续的特征提取和模型建立。
特征提取是非平稳时间序列预测的关键步骤之一。
通过对时间序列进行特征提取，能够将原始时间序列转化为具有代表性的特征向量，供模型学习和预测使用。
常见的特征提取方法包括：（1）时域特征：如均值、方差、峰值、过阈值等。
（2）频域特征：如傅里叶变换、小波变换等。
（3）时频域特征：如短时傅里叶变换、小波变换等。
非平稳时间序列的预测模型有很多种，包括传统的时间序列模型（如ARIMA、SARIMA等）和现代机器学习模型（如LSTM、VAR、SVR等）。
选择合适的模型对于非平稳时间序列的预测至关重要。
一般来说，需要根据问题的实际情况来选择最合适的模型。
例如，对于长期依赖的数据，可以选择使用长短期记忆网络（LSTM）模型；对于多变量时间序列预测，可以使用向量自回归（VAR）模型等。
在模型建立后，需要选择合适的参数以进行模型训练和预测。
参数的选择通常根据模型的复杂度和数据的特性来确定。
例如，对于ARIMA 模型，需要选择合适的p、d、q值来描述时间序列的平稳性和季节性；对于LSTM模型，需要选择合适的隐藏层大小和激活函数等。
计量经济学第八章非平稳时间序列和协整模型PPT培训课件
以ADF检验为例，通过实际数据的应用，可以判断该序列是否具有单位根，进而判断其是否平稳。如果该序列不 平稳，可以通过差分或其他变换方法使其平稳，以便进行后续分析。
05 非平稳时间序列的差分模 型
差分模型的建立与原理
差分模型的基本概念
非平稳时间序列是指时间序列数据的统计特 性随时间而变化，无法通过简单的数学变换 使其稳定。差分模型是处理非平稳时间序列 的一种常用方法，通过差分操作消除时间序 列的非平稳特性。
差分模型的参数估计与检验
参数估计
差分模型的参数可以采用最小二乘法、最大似然法等统计方法进行估计。通过最小化残差平方和或最 大化似然函数，求解出模型参数的值。
参数检验
在估计出参数后，需要对参数进行检验，以判断模型是否符合实际数据。常见的检验方法包括残差检 验、异方差性检验、自相关性检验等。通过检验可以判断模型的有效性和适用性。
单位根检验的方法与步骤
01
02
单位根检验的方法：常 单位根检验的步骤 见的单位根检验方法包 括ADF (Augmented Dickey-Fuller) 检验、 PP (Phillips-Perron) 检 验和KPSS (Kwiatkowski-PhillipsSchmidt-Shin) 检验等。
单位根检验的定义与原理
单位根检验的定义
单位根检验是一种用于检验时间序列数据是否具有平稳性的 统计方法。如果一个时间序列数据存在单位根，则该序列是 非平稳的。
单位根检验的原理
单位根检验基于随机游走模型，即一个随机过程，其中每个 观测值都是前一个观测值加上一个随机扰动。如果一个时间 序列数据符合随机游走模型，那么它就具有单位根。
03 非平稳时间序列与协整模 型的关系
平稳性和非平稳时间序列分析
“单积”（Integrated）的，并记I为(d) 。
14
四、时间序列的协积性 （一）定义 如果一组时间序列都 X1, , X n 是同阶单积
的（I (d) ），并且存在向量 (1, , n )
使加权组合1X1 n X n 为平稳序列 （I (0)），则称这组时间序列为“协积的”
（Cointegrated），其中 (1, , n ) 称为
“协积向量”。
15
具有协积性的非平稳序列各自的非平稳 趋势和波动有相互抵消的作用，因此虽 然非平稳本身有导致回归分析失效的影 响，但如果模型中的几个非平稳时间序 列具有协积性，回归分析仍然可以是有 效的，不需要担心非平稳性会造成问题。
16
11
不少非平稳时间序列作差分变换得到的差分序 列都是平稳序列。对于这种非平稳时间序列的 差分序列，基于平稳数据的计量分析就是有效 的。
由于时间序列的差分序列与时间序列本身包含 许多一致的信息，差分与原变量之间常常可以 相互转换，因此利用差分数据进行计量分析也 是有意义的。
并不是所有非平稳时间序列的差分序列都是平 稳的。利用差分数据进行分析之前，必须对差 分序列进行平稳性检验。检验的方法是把单位 根检验用于时间序列的差分序列。
Yt Yt1 t ，其中 t 为白噪声过程。
（2）检验思路 首先 Yt 服从如下的自回归模型
Yt Yt 1 t
6
如果其中 1 ，或者变换成如下的回归 模型 Yt Yt 1 t
中的 0 ，那么时间序列{Yt }就是最基
本的单位根过程 Yt Yt1 t ，肯定是非平 稳的。 对上述差分模型中的显著性检验，就是 检验时间序列是否存在上述单位根问题。
时间序列的平稳非平稳协整格兰杰因果关系
时间序列的平稳、非平稳、协整、格兰杰因果关系步骤：先做单位根检验，看变量序列是否平稳序列，若平稳，可构造回归模型等经典计量经济学模型；若非平稳，进行差分，当进行到第i次差分时序列平稳，则服从i阶单整（注意趋势、截距不同情况选择，根据P值和原假设判定）。
若所有检验序列均服从同阶单整，可构造VAR模型，做协整检验（注意滞后期的选择），判断模型内部变量间是否存在协整关系，即是否存在长期均衡关系。
如果有，则可以构造VEC模型或者进行Granger因果检验，检验变量之间“谁引起谁变化”，即因果关系。
1.单位根检验是序列的平稳性检验，如果不检验序列的平稳性直接OLS容易导致伪回归。
常用的ADF检验包括三个模型方程。
在李子奈的《高级计量经济学》上有该方法的全部步骤，即从含趋势项、截距项的方程开始，若接受原假设，则对模型中的趋势项参数进行t 检验，若接受则进行对只含截距项的方程进行检验，若接受，则对一阶滞后项的系数参数进行t检验，若接受，则进行差分后再ADF检验；若拒绝，则序列为平稳序列。
2.当检验的数据是平稳的（即不存在单位根），要想进一步考察变量的因果联系，可以采用格兰杰因果检验，但要做格兰杰检验的前提是数据必须是平稳的，否则不能做。
3.当检验的数据是非平稳（即存在单位根），并且各个序列是同阶单整（协整检验的前提），想进一步确定变量之间是否存在协整关系，可以进行协整检验，协整检验主要有EG两步法和JJ检验：(1)EG两步法是基于回归残差的检验，可以通过建立OLS模型检验其残差平稳性；(2)JJ检验是基于回归系数的检验，前提是建立VAR模型（即模型符合ADL模式）。
4.当变量之间存在协整关系时，可以建立ECM进一步考察短期关系，Eviews这里还提供了一个Wald－Granger检验，但此时的格兰杰已经不是因果关系检验，而是变量外生性检验，请注意识别。
5.格兰杰检验只能用于平稳序列！这是格兰杰检验的前提，而其因果关系并非我们通常理解的因与果的关系，而是说x的前期变化能有效地解释y的变化，所以称其为“格兰杰原因”。
非平稳和季节时间序列模型分析方法
非平稳和季节时间序列模型分析方法时间序列分析是指对时间序列数据进行建模和预测的统计方法。
根据数据的特点，时间序列可以分为平稳序列和非平稳序列。
在实际应用中，很多时间序列数据并不满足平稳性的假设，因此需要对非平稳序列进行处理和分析。
非平稳序列分析的方法之一是差分法。
差分法的基本思想是通过对原始序列进行差分，得到一个新的序列，使其成为平稳序列。
差分法可以通过一阶差分、二阶差分等方法来实现。
一般来说，一阶差分可以用来处理线性趋势，而二阶差分可以用来处理二次趋势。
另一种非平稳序列分析的方法是趋势-季节分解法。
这种方法首先对时间序列进行趋势分解，将原始序列拆分为趋势、季节和残差三个部分。
然后对残差序列进行平稳性检验，判断是否需要进一步进行差分。
最后，可以利用拆分后的趋势和季节序列进行预测。
对于带有季节性的时间序列数据，还可以采用季节时间序列模型进行分析。
常见的季节时间序列模型包括季节自回归移动平均模型（SARIMA）和季节指数平滑模型。
这些模型可以对季节性进行建模，并利用历史数据进行预测。
总结起来，非平稳和季节时间序列的分析方法可以包括差分法、趋势-季节分解法和季节时间序列模型。
这些方法能够有效地处理和分析非平稳和带有季节性的时间序列数据，为实际应用提供了重要的参考。
时间序列分析是一种广泛应用于金融、经济、气象、销售、股票市场等领域的数据分析方法，它的目标是根据过去的数据模式，预测未来的趋势和行为。
在时间序列分析中，平稳性是一个重要的概念，指的是在时间序列的整个时间范围内，序列的统计特性不会随着时间的推移而发生显著的变化。
然而，在实际应用中，很多时间序列数据并不满足平稳性的假设，因此需要对非平稳序列进行处理和分析。
非平稳序列的特点是随着时间的推移，其均值、方差和协方差等统计特性会发生显著的变化。
这使得对其进行建模和预测变得困难。
因此，我们需要采取一些方法来处理非平稳序列，使其满足平稳性的假设。
差分法是一种常用的处理非平稳序列的方法。
非平稳时序数据时间序列分析方法研究
非平稳时序数据时间序列分析方法研究时间序列分析是一种重要的数据分析方法，它可以对时间序列数据进行建模、预测和分析。
然而在实际应用中，我们往往会遇到非平稳的时间序列数据。
非平稳时间序列数据的特点是其均值、方差等统计特征会随时间变化而变化，这给分析和预测带来了一定的困难。
本文将介绍非平稳时间序列数据的常见特征、分析方法和预测方法。
一、非平稳时间序列数据的常见特征1. 长期趋势：非平稳时间序列数据在较长时间范围内往往具有明显的上升或下降趋势。
2. 季节性变化：非平稳时间序列数据往往具有周期性的季节性变化，如气温、雨量等。
3. 波动性变化：非平稳时间序列数据在短期内往往呈现出较大的波动性，如股票价格、汇率等。
二、非平稳时间序列数据的分析方法1. 差分法：差分法是最常用的处理非平稳时间序列数据的方法，其思想在于将时间序列数据的差分转换为平稳时间序列数据再进行建模和分析。
差分法有一阶差分法、二阶差分法等多种，根据具体问题选择不同的差分方法。
2. 增长率法：增长率法是将时间序列数据的增长率序列作为新的时间序列数据来建模和分析，常用于处理长期趋势明显的非平稳时间序列数据。
3. 滑动平均法：滑动平均法是通过计算一定时间范围内数据的平均值来平滑时间序列数据并去除噪声干扰，常用于处理周期性和波动性明显的非平稳时间序列数据。
三、非平稳时间序列数据的预测方法1. ARIMA模型：ARIMA模型是传统的时间序列建模技术之一，其通过差分法将非平稳时间序列数据转化为平稳时间序列数据后建立自回归模型、移动平均模型和差分模型，用于进行预测。
2. GARCH模型：GARCH模型是通过对时间序列数据的方差进行建模并考虑异方差性差异来进行预测的一种方法，常用于处理波动性明显的非平稳时间序列数据。
3. ARCH模型：ARCH模型是GARCH模型的前身，其只考虑时间序列数据的方差进行建模，适用于处理时间序列数据的波动性变化。
总而言之，非平稳时间序列数据分析方法和预测方法的选择需要根据具体问题来确定。
时间序列、动态计量与非平稳性
时间序列、动态计量与非平稳性时间序列分析是一种统计学方法，用于处理按时间顺序排列的数据。
时间序列数据通常包含某个特定经济指标、社会现象或其他变量在不同时间点上的观测值。
时间序列通常具有趋势、季节性和随机性等特征，因此需要通过时间序列分析方法来进行预测和解释。
动态计量是时间序列分析的一个重要分支，它主要关注变量之间的相互关系和变动。
动态计量方法通常使用回归模型或协整模型来分析变量之间的长期关系和短期关系。
回归模型可以用来预测一个变量的值，而协整模型则可以用来分析两个或更多变量之间的长期稳定关系。
非平稳性是时间序列分析中的一个重要概念，它指的是数据在时间上的变动趋势不稳定，并且呈现出明显的趋势或季节性等特征。
非平稳性数据在进行分析时，可能会出现错误的预测结果或误导性的统计推断。
因此，在进行时间序列分析之前，需要首先对数据进行平稳性检验和处理，以确保分析结果的准确性和有效性。
在时间序列分析中，常用的方法包括移动平均法、指数平滑法、ARIMA模型等。
移动平均法是一种通过计算一定时间段内观测值的平均值来平滑数据的方法，它可以减少随机因素对数据的影响，揭示数据的长期趋势。
指数平滑法是一种通过赋予不同权重来平滑数据的方法，它可以更好地反映近期观测值对数据的影响。
ARIMA模型是一种结合自回归（AR）和滑动平均（MA）的模型，它可以描述时间序列数据中的长期趋势、季节性和随机性。
在动态计量中，常用的方法包括向量自回归（VAR）模型和向量错误修正模型（VECM）。
VAR模型是一种多变量时间序列模型，它可以同时分析多个变量之间的长期关系和短期关系。
VECM模型是在VAR模型的基础上引入了协整关系，它可以分析不同变量之间的长期稳定关系。
最后，为了解决非平稳性问题，常用的方法包括差分法和单位根检验。
差分法是一种通过对数据进行差分来消除非平稳性的方法，它可以将非平稳序列转化为平稳序列。
单位根检验是一种用来判断数据是否具有单位根（非平稳性）的方法，常用的单位根检验方法包括ADF检验和PP检验。
平稳性和非平稳时间序列分析
β1 + β 3 Xt 如果我们作下列变换 ecmt = Yt − 1− β2 α = β2 − 1 ，那么模型变为：
，
∆Yt = β 0 + β1∆X t + αecmt −1 + ε t
误差修正模型的自动调整机制类似于适应性预 期模型。如果误差修正项的系数 α 在统计上 是显著的，它将告诉我们 Y 在一个时期里的失 衡，有多大一个比例部分可在下一期得到纠正。 或者更应该说“失衡”对下一期 水平变化的 Y 影响的大小）。
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具有协积性的非平稳序列各自的非平稳 趋势和波动有相互抵消的作用，因此虽 然非平稳本身有导致回归分析失效的影 响，但如果模型中的几个非平稳时间序 列具有协积性，回归分析仍然可以是有 效的，不需要担心非平稳性会造成问题。
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（二）以两变量线性回归 Yt = β 0 + β1 X t + ε t 为例。 因为 ε t = Yt − β 0 − β1 X t，因此{ ε t }平稳就 是{ Yt − β 0 − β1 X t } { }平稳，这就意味着要 么 Yt 和 X t 本身都是平稳的，要么 Yt 和 X t 都是同阶单积并有协积关系。这两种 情况下模型的回归分析都是有效的。因 此只要误差序列{ ε t }平稳该模型就是有 效的。
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对于经过差分变换仍然非平稳的时间序列，还可 以对差分序列再作差分变换，也就是对原序列 作两次差分变换。 如果两次差分变换得到的二次差分序列是平稳 的，则二次差分序列可用于计量分析。 如果二次差分序列仍然是非平稳的，还可以进 行三次差分，并根据三次差分序列的平稳性分 别处理。
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依次类推，一个非平稳时间序列可以在 进行了d次差分才变为平稳序列。这种经 过d次差分才平稳的时间序列，称为d阶 “单积”（Integrated）的，并记为) 。 Integrated I (d
非平稳和季节时间序列模型分析方法
非平稳和季节时间序列模型分析方法非平稳时间序列是指在时间序列数据中，均值、方差、自相关函数等统计性质随时间变化的数据。
这种时间序列模型常常由于其自身的特性而较难进行分析和预测。
不过，季节时间序列是非平稳时间序列的一种特殊类型，其特点是在数据中存在明显的季节性变化。
对于这种时间序列，可以采用不同的分析方法进行预测和建模。
一、非平稳时间序列分析方法：1.差分法：差分法是通过对序列数据进行相邻时间点的差分，使得序列转变为平稳时间序列。
差分法有一阶差分、二阶差分等。
通过差分法可以使得序列的单位根等统计性质得到稳定。
2.滑动平均法：滑动平均法基于序列的平均值，将序列转化为平稳时间序列。
该方法通过计算序列的滑动平均值来消除序列的变化趋势。
3.指数平滑法：指数平滑法是一种通过加权平均的方法来消除序列的变化趋势。
指数平滑法可以根据实际情况选择不同的权重系数来进行计算。
4.回归分析：对于非平稳时间序列，通过引入自变量，建立回归模型来描述序列的变化。
回归分析可以通过多个变量的关系来解释序列的变动。
二、季节时间序列分析方法：1.季节分解法：季节分解法是将季节时间序列分解为长期趋势、季节性和随机成分的组合。
这种方法可以将季节性的变动独立出来，从而更好地进行建模和预测。
2.季节移动平均法：季节移动平均法通过计算时间序列在相邻季节的平均值，消除序列的季节性变动。
这种方法可以降低季节时间序列的变化趋势。
3.季节差分法：季节差分法是将季节时间序列转化为其相邻时间点的差分。
通过差分法可以去除序列的季节性变化，使得序列更为平稳。
4.季节ARIMA模型：季节ARIMA模型是一种结合了季节差分和ARIMA 模型的方法。
该方法可以同时考虑序列的季节性变化和非平稳性，通过建立ARIMA模型来进行预测和分析。
以上所述是常用的非平稳和季节时间序列模型分析方法。
根据实际情况，我们可以选择合适的方法来分析和预测时间序列数据，以提高分析的准确性。
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第八章、非平稳时间序列分析很多时间序列表现出非平稳的特性：随机变量的数学期望和方差随时间的变化而变化。
宏观经济数据形成的时间序列中有很多是非平稳时间序列。
非平稳时间序列与平稳时间序列具有截然不同的特征，研究的方法也很不一样。
因此，在对时间序列建立模型时，必须首先进行平稳性检验，对于平稳时间序列，可采用第七章的方法进行分析，对于非平稳时间序列，可以将采用差分方法得到平稳时间序列，然后采用平稳时间序列方法对差分数据进行研究，对于多个非平稳时间序列则可以采用协整方法对其关系进行研究。
8.1 随机游动和单位根8.1.1随机游动和单位根如果时间序列t y 满足模型t t t y y ε+=-1 （8.1）其中t ε为独立同分布的白噪声序列， ,2,1,)(2==t Var t σε，则称t y 为标准随机游动（standard random walk ）。
随机游动表明，时间序列在t 处的值等于1-t 时的值加上一个新息。
如果将t y 看作一个质点在直线上的位置，当前位置为1-t y ，则下一个时刻质点将向那个方向运动、运动多少（t ε）是完全随机的，既与当前所处的位置无关（t ε与1-t y 不相关），也与以前的运动历史无关（t ε与 ,,32--t t y y 不相关），由质点的运动历史和当前位置不能得出下一步运动方向的任何信息。
这便是 “随机游动”的由来。
随机游动时间序列是典型的非平稳时间序列。
将（8.1）进行递归，可以得出010211y y y y t s s t t t t t t t +==++=+=∑-=----εεεε （8.2）。
如果初始值0y 已知，则可以计算出t y 的方差为2)(σt y Var t =。
由此看出随机游动在不同时点的方差与时间t 成正比，不是常数，因此随机游动是非平稳时间序列。
下图给出了随12机游动时间序列图：图8.1 随机游动时间序列图将随机游动（8.1）用滞后算子表示为t t y L ε=-)1( （8.3），滞后多项式为L L -=Φ1)(。
显然1=L 是滞后多项式的根，因此随机游动是一个单位根过程（unit root process ）。
随机游动是最简单的单位根过程。
随机游动的概念可以进行推广。
如果时间序列t y 满足t t t y c y ε++=-1 （8.4），其中t ε为白噪声序列，c 为常数，称t y 为带漂移项的随机游动，c 称为漂移参数。
将（8.4）进行递归，得出012112y ct y c y c y t s s t t t t t t t ++==+++=++=∑-=----εεεε，设∑-=-+=100t s s t t y w ε，则t w 为标准随机游动，且t t w ct y += （8.5）。
由此看出，带漂移的随机游动可以表示为标准随机游动加上一个时间t 的线性函数ct 。
ct 称为时间序列的趋势项（trend ）。
由于ct Ew ct Ey t t =+=，由此看出，带漂移项的随机游动不仅方差是随时间变化的，数学期望也是随时间变化的。
下图给出的是带漂移随机游动t t t y y ε++=-15.0的时间序列图：102030405060147101316192225283134374043464952555861646770737679828588图8.2 带漂移随机游动时间序列图 将图8.2和图8.1相比可以看出，带漂移随机游动具有明显的时间趋势。
8.1.2 伪回归伪回归（spurious regression ）是指对事实上不存在任何相关关系的两个变量进行回归得出的能够通过显著性检验的回归模型。
在对两个非平稳时间序列变量进行回归时，便会出现伪回归。
下面通过简单的例子说明伪回归的表现形式及其发生的原因。
设t x 和t y 是完全独立的时间序列，并且均为随机游动，为非平稳时间序列。
现将y 对x 进行回归，回归模型为t t t v x y ++=10ββ （8.6），t v 为误差项。
由于y 和x 没有任何相关关系，回归系数1β等于0。
如果采用OLS 方法对（8.6）进行估计，估计量1ˆβ应该接近0，相应的t 检验也应该不显著。
但实际回归结果却常常相反：t 检验表明1ˆβ显著不为0，回归拟合优度2R 也不接近0，即使在样本量很大时仍然如此。
如果仅从一般的检验判断，会得出y 和x 有显著线性关系的错误结论。
造成伪回归的原因有很多，主要是时间序列本身的高度自相关造成的。
在（8.6）中，1β的实际值等于0，误差项t v 等于t y 减去常数项0β，t y 为随机游动，存在高度自相关，因此t v 也存在高度自相关，不符合OLS 回归误差项的不相关假设，t 检验不再有效。
需要特别注意的是，伪回归是指当时间序列存在单位根时，采用传统的t 检验方法来判断1β是否的等于0的结果是“伪”的，并不是说采用OLS 估计得出的1β的估计量1ˆβ是“伪”的。
实际上，此时的1ˆβ不仅仍然是1β的一致估计，而且是超一致估计（super-consistent estimation ），因此1ˆβ收敛到1β的速度比平稳情况下的收敛速度高一个阶数，由此计算的1ˆβ的标准误将随样本量的增加迅速较小，采用原来的t 检验统计量计算方法会得出很大的t 值，而此时的统计量已经不服从（或者渐进服从）t 分布，以t 分布的临界值得出的检验结果也是错误的。
这才是伪回归中“伪”的真正含义。
大量的研究表明，不仅非平稳时间序列会出现伪回归，就连平稳时间序列之间也会出现伪回归，并且时间序列自相关程度越高，伪回归出现的可能性越大。
因此，在对时间序列进行回归时，要十分小心。
首先对时间序列进行单位根检验，如果不能拒绝单位根过程，则对数据进行差分，直到数据平稳，然后用差分数据进行回归。
如果能够拒绝单位根过程，但回归的D-W 值很小，则回归结果仍然不可信。
此时不宜用Cochrane-Orcutt 广义差分法来降低残差中的自相关，正确的方法是将解释变量和被解释变量的滞后变量引入模型，形成滞后模型进行回归，对不同滞后阶数的模型进行尝试，直到回归残差为白噪声为止。
8.2 时间序列的趋势和去势许多时间序列数据，尤其是宏观经济数据，常常表现出明显的时间趋势（time trend ），即序列的期望值是时间t 的函数。
这种趋势会导致时间序列的非平稳性。
去掉序列中时间趋势的过程和方法称为去势（de-trend ）。
时间序列进行去势后可以进行有关的统计分析。
时间趋势可以分为带趋势项平稳序列中的时间趋势和带漂移项单位根序列中的时间趋势。
带趋势项的平稳时间序列可以表示为1||,1<+++=-ρερδt t t y t c y （8.8），其中t ε为白噪声。
显然，带趋势项的时间序列的数学期望随时间t 的变化而变化，是不平稳时间序列。
但是由于1||<ρ，去掉趋势项t δ后，时间序列t t t y c y ερ++=-1是平稳的。
这样的趋势称为确定性趋势（deterministic trend ）。
如果能够确认时间序列中的趋势为确定性趋势，可以将序列对时间t （或者t 的多项式）进行回归，回归残差便是去势后的平稳时间序列。
另一种时间趋势是带漂移的单位根中的趋势，即形如（8.4）模型中隐含的趋势，亦即（8.6）中的趋势项ct ，这种趋势是由单位根序列的漂移项积累而形成的。
尽管两种时间趋势形式上是一样的，并且在数据上的表现也很相似，但含有不同时间趋势的时间序列的统计性质却大不相同，处理方法也不一样。
对带确定趋势的时间序列，经去势后成为平稳时间序列，可以采用平稳时间序列的方法进行研究，而带漂移项的单位根是真正的非平稳时间序列，要么进行差分转换为平稳时间序列进行研究，要么采用其他方法（例如协整）进行研究。
由此看出，严格区分两种序列十分重要。
下图给出了具有两种不同趋势时间序列图：图8.3 带趋势平稳时间序列y1和带漂移随机游动时间序列y2从图中可以看出，y2序列y1序列都表现出明显的时间趋势，y1序列的波动比y2序列要剧烈一些，除此之外，另个序列的变化规律十分接近。
因此，仅凭图形直觉很难确定实际数据到底符合哪个模型，必须进行严格的统计检验。
从表面上看，对模型（8.8）可以通过检验假设0:,0:10≠=δδH H （8.9）确定时间序列是否含有确定性趋势：对模型（8.8）进行回归，对参数估计δˆ进行t 检验。
在不能确定时间序列是否平稳的情况下，这种做法是不合适的，如果序列是非平稳的单位根过程，用OLS 进行回归很容易出现伪回归，对应的检验也没有任何意义。
因此，要确定时间序列是否包含趋势，包含哪种类型的趋势，首先要对序列进行单位根检验，以确定是否平稳。
如果序列平稳，则可以采用t 检验确定是否包含确定性趋势，若包含则可用OLS 回归进行去势。
8.3 单位根检验8.3.1 单位根假设从上面的分析知道，确定性趋势和单位根过程都可以使时间序列成为非平稳序列，因此，在检验单位根时要考虑如下两种情况：t t t y y ερ+=-1 （8.10）和t t t y c y ερ++=-1 （8.11）。
在（8.10）中时间序列t y 的均值为0，检验的内容是ρ是否等于1，如果等于1，则为单位根序列，否则为平稳序列。
在（8.11）中，如果1||<ρ，则t y 为平稳序列，均值为常数，如果1=ρ，则t y 为带漂移的单位根序列，期望值随t 的变化而变化。
由（8.10）生成和由（8.11）生成的数据，检验单位根的统计量具有不同的分布，因此对单位根的检验分下面四种情况进行。
情况一（既不带常数项也不带时间趋势项）：假设数据由t t t y y ερ+=-1生成，对模型进行回归，检验假设1:;1:10<=ρρH H 。
情况二（带常数项但不带时间趋势项）：假设数据由t t t y y ερ+=-1生成，对模型t t t y c y ερ++=-1进行回归，检验假设 0,1:;0,1:10≠<==c H c H ρρ。
情况三（带常数项但不带时间趋势项）：假设数据由t t t y c y ερ++=-1生成，对模型t t t y c y ερ++=-1进行回归，检验假设1:;1:10<=ρρH H 。
情况四（既带常数项又带时间趋势项）：假设数据由t t t y c y ερ++=-1生成，对模型t t t t y c y εδρ+++=-1进行回归，检验假设0,1:;0,1:10≠<==δρδρH H 。
情况一和情况二适合没有明显趋势的数据。
情况一适合均值明显为0的数据，因为在原假设和备选假设下，t y 的数学期望都是0。
情况二适合均值是否为0不很明显的数据，如果原假设成立，则为标准单位根过程，均值为0，如果备选假设成立，则为平稳过程，均值不为0。