数学-8年级-第16讲-一次函数与四边形综合

1对3辅导教案
1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题；
2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系．
（此环节设计时间在10-15分钟）
教法说明：回顾上次课的预习思考内容，要求学生在函数图像中找出符合要求的点。

1．已知点A、B、C、D可以构成平行四边形，且点A（－1，0），点B（0，3），点C（3，0），则第四个顶点D的坐标为_________________________；
参考答案：（4，3）或（—4，3）或（2，—3）；
2．已知一次函数
3
3
4
y x
=-+的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，如果点C在y轴上，存在点D使以
x
y
B
C A O
x
y
D2
D3
D1
B
C
A O
A 、
B 、
C 、
D 为顶点的四边形是菱形，则D 的坐标为 ．
参考答案：123(4,0),(4,5),(4,5)D D D --；
（此环节设计时间在50-60分钟）
例题1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 为菱形，点A 的坐标为（0，1），点D 在y 轴上，经过点B 的直线4+-=x y 与AC 相交于横坐标为2的点E ． （1）求直线AC 的表达式； （2）求点B 、C 、D 的坐标．
参考答案：（1）∵点直线4y x =-+经过横坐标为2的点E ，∴E （2，2）． 由点A （0，1）,设直线AC 的表达式为1y kx =+，
∴1221,2k k =+=
；∴直线AC 的表达式为1
12
y x =+． （2）设点C 的坐标为（2,1m m +），
∵在菱形ABCD 中，BC //AD ，∴点B 的坐标为（2,24m m -+）．
∵BA ＝BC ，∴22BA BC =； ∴2
2
2
(20)(241)(124)m m m m -+-+-=++-．
∴2
1260,0(),6m m m m -===舍去． ∴点B 、C 的坐标分别为（12,8-）、（12,7）．
∵AD ＝BC ＝15，∴OD ＝16，∴D （0，16）．
例题2：已知：直线3
64
y x =-
+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 。

点C 的坐标为（0，—2），线段AB 上有一动点P ，过点C 、P 作直线l 。

（1）如图，当PB ＝PC 时，求点P 的坐标；
（2）在（1）的条件下，平面直角坐标系内是否存在这样的点Q ，使以P 、B 、C 、Q 四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

x
y B
A
O
E A O
x
y
B
C
D
综上所述，x 轴上方的点N 有三个，分别为()
()12352554852N N N ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
，，，
，，.
此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。

1．如图，一次函数24y x =+的图像与x 、y 轴分别相交于点A 、B ，以AB 为边作正方形ABCD ． （1）求点A 、B 、D 的坐标；
（2）设点M 在x 轴上，如果△ABM 为等腰三角形，求点M 的坐标．
参考答案：（1）过点D 作x 轴的垂线，垂足为点E ．
由函数24y x =+，当y = 0时，得x = -2， 即得点A 的坐标为A （-2，0）． 当x = 0时，得y = 4，即得点B 的坐标为B （0，4）． 由正方形ABCD ，可证得△ADE ≌△BAO ．
∴DE = OA = 2，AD = BO = 4，即得OE = 2． ∴点D 的坐标为D （2，-2）．
（2）由A （-2，0），B （0，4），得22
2425AB =+=．
当△ABM 为等腰三角形时，得AB = AM 或AB = BM 或AM = BM ．
当AB = AM 时，得25AM =，
所以点M 的坐标为M 1（252-，0）、M 2（252--，0）． 当AB = BM 时，由OB ⊥AM ，得OM = OA = 2． 所以点M 的坐标为M 3（2，0）． 当AM = BM 时，即得 AM 2 = BM 2． 设点M 的坐标为（x ，0）．
利用两点间的距离公式，得 2
2
2
(2)4x x +=+． 解得 x = 3．得点M 的坐标为M 4（3，0）．
x
y
C
D
B
A
O
所以，所求点M 的坐标为M 1（252-，0）、M 2（252--，0）、 M 3（2，0）、M 4（3，0）．
2．如图，一次函数3
3
y x b =
+的图像与x 轴相交于点A （53，0）、与y 轴相交于点B ． （1）求点B 的坐标及∠ABO 的度数；
（2）如果点C 的坐标为（0，3），四边形ABCD 是直角梯形，求点D 的坐标．
参考答案：（1）∵点A （53，0）在一次函数3
3
y x b =
+的图像上， ∴3
053,53
b b =
⨯+=-； ∴点B 的坐标为(0,5)-． ∵∠AOB =90º，OB =5，OA =53， ∴AB =22752510AO OB +=+=，
∴∠OAB =30º，∠ABO =60º．
（2）当AD //BC 时，∠BCD =∠ADC =90º，点D （53,3）．
当CD //AB 时，∠BAD =∠ADC =90º，
过点D 作DH ⊥OA ，DH 与OA 、AB 分别交于点HE ，∴DE //BC ，∴DE =BC =8． ∴∠AED =∠ABC =60º，∠ADE =30º，∴AE =4，AD =43， ∴AH =23，OH =33，DH =6，∴点D （33,6）． ∴点D 的坐标为（53,3）或（33,6）．
（此环节设计时间在5-10分钟内）
让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾
x
y A
C B
O
【巩固练习】 1．如图，一次函数1
3
y x b =+的图像与x 轴相交于点A （6，0）
、与y 轴相交于点B ，点C 在y 轴的正半轴上，BC =5．
（1）求一次函数的解析式和点B 、C 的坐标；
（2）如果四边形ABCD 是等腰梯形，求点D 的坐标．
参考答案：（1）解：∵一次函数1
3
y x b =
+的图像与x 轴相交于点A （6，0）
， ∴160,23b b ⨯+==-；∴一次函数解析式为1
23
y x =-，点B （0，–2）． ∵BC =5，OB =2，∴OC =3，∴点C 为（0，3）．
（2）解：当AD //BC 时，CD =AB ，过点D 作DE ⊥y 轴，垂足为E ，
∵DE =AO =6，∴Rt △DCE ≌Rt △ABO ； ∴CE =OB =2,∴OE =1 ∴点D （6，1）． 当CD //AB 时，直线CD 的表达式为1
33
y x =
+，设点D （3a ，3a +）． ∵AD =BC =5，∴225AD =，∴2
2
(36)(3)25a a -++=． 解得121,2a a ==（不符合题意），∴点D 的坐标为（3，4）
2．如图所示，直线b kx y +=的截距为6，该直线分别交x 轴、y 轴于E 、F ，点E 的坐标为（－4，0）．
x
y A
C B
O
-=___ +=_____________AB AD
AB AD
向量加法满足交换律，即：。