十色定理 四色定理

十色定理四色定理

四色定理的尝试证明

0引言

百度上是这么说的：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边

界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为

不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”目前只有通过计算机经

过百亿次计算得以证明，还没有可信服的书面证明方式，下面我们来尝试

书面证明。

1证明思路

1.1证明范围及限制条件

平面或球面地图，不考虑“飞地”。

1.2思路

将平面任意地细分为不相重叠的区域，选取任一区域A0，如果我们

能够证明与A0直接或间接相关联的所有区域及其所有相邻情况的集合均

四色足够，则命题得证。

1.3证明步骤

步骤一：将平面任意地细分为不相重叠的区域，选取任一区域A0及

其相邻区域A1……An组成系统，证明此系统中任何相邻关系均四色足够。

步骤二：在A0及其相邻区域A1……An组成的系统中，加入任意数量

区域并对其可能存在的所有相邻关系进行分析，证明依然四色足够。

2证明步骤一

2.1建模

第一种情况：当A0不处于有限平面边界时，则A0必然被均与A0相邻的n个区域所包围。n=任意非0正整数。

第二种情况：当A0处于有限平面边界时，则A0必然被均与A0相邻的n个区域所半包围。n=任意非0正整数。

显然，当处于第二种情况时，我们只需要在有限平面外增加任意数量区域与A0相邻并将其包围，就会变成第一种情况，所以第二种情况仅是第一种情况的特例；四色足够问题上，如果第一种情况成立，则第二种情况必然成立。球面上仅存在第一种情况，所以下面我们仅针对第一种情况进行论证。

下面我们来建立模型，由于我们本着把问题从简单到复杂逐步演化来证明的原则，我们先加上两个限制条件，这两个限制条件我们后面会逐步去除。

条件1：暂不考虑与A0不相邻的区域加入进来，也就是说我们只考虑A0与A1……An组成的系统，且A1……An均与A0相邻；

当n=1、2、3时，图中最多4个区域，显然四色足够，不再累述;

我们接下来继续证明n>3时的情况：

因n只可能是偶数或奇数，那么在以上两个限制条件没有去除的情况下，我们以A0为中心的基本模型显然是遵循4色足够的。

2.3证明步骤一构建的系统内四色足够

下面我们来尝试先去除条件2，也就是在原模型基础上增加A1……An 之间除依次相邻之外的相邻情况。由于当n为偶数时3色足够，所以后面的证明我们将只考虑n为奇数的情况。

a：A1与A2……An之间均发生相邻关系。

b：A1与A2……An之间的部分依次相邻区域（如A5、A6、A7、A8、A9等）发生相邻关系。

c：A1与A2……An之间的一个区域发生相邻关系。

d：b、c情况同时存在，且同一种情况多处存在。

由于a情况不会发生更复杂的结果，而b、c两种情况均被包含在d 情况之中，所以我们我们直接证明d情况，如下图6：

图6:a情况

图6：d情况

我们来分析图6（d情况）：

（1）在A2……An之间，已经与A1建立相邻关系区域中属于上文b 情况且处于当中位置的，如Aj+1、Aj+2、

Aj+3、Aj+4及Aj+5区域，显然已无法再与其它区域建立相邻关系，4色足够，无需再证明。

（2）会出现有限多个像图中a空间、b空间及c空间等大小不等的被分割空间，这些空间内还有自由度可以建立新的相邻关系。

（3）以a空间为例，A1……Am中间的A2……Am-1这些区域已无法与Am+1……An这些区域建立相邻关系，只可以在A1……Am之间建立相邻

关系，b空间、c空间雷同。所以，以a空间建立模型时，可以不考虑Am+1……An区域。

（4）被分割出来的a、b、c等空间存在三种情况：如a空间，A1与一不同颜色区域直接相邻构成；如b空间，A1与两种不同颜色区域直接相邻构成；如c空间，A1与两种同一颜色区域直接相邻构成。

经过针对图6的以上分析，以a空间为例，我们要证明的是：在图6（d情况）基础上，A1……Am区域之间随机建立原有相邻关系之外的任何相邻关系，则都遵序4色足够。由此我们可以建立如下图7所示模型：a空间建模：图7

以此类推，则b空间建模如图8：

图8

C空间我建模后，发现与图7雷同，不在累述。

由图6（d情况）我们可以得知：m显然是偶数，而j是奇数，图7中被A0包围的区域个数为m个（不包含空白空间），是偶数；图8中被A0包围的区域个数为A1、Am……Aj，显然是一个奇数。

图9

显而易见，图9是4个区域之间两两相邻，必须4色且4色足够。

综上所述，我们现在可以得到第一个重要的结论。

结论1：将平面任意地细分为不相重叠的区域，选取任一区域A0，必将存在与A0相邻的n（n=非0正整数，涵盖所有与A0直接相邻的区域个数）个区域，在不考虑新区域加入进来的情况下，不管A1……An之间存

在何种相邻关系，在A0与A1……An区域组成系统中，都遵循四色足够定理。

3证明步骤二

那么，接下来我们在结论1成立的基础上，去除限制条件1，也就是

我们让结论一所构建的系统之外的区域加入进来。

将平面任意地细分为不相重叠的区域，我们继续选取任一区域A0，

构建结论1所描述的系统，那么让新的区域加入进来后有两种情况：一种

与A0相邻，一种与A0不相邻。与A0不相邻又分两种情况：（1）新加入

进来的区域互不相邻；（2）新加入进来的区域互相存在相邻关系。

3.1证明新加入区域与A0相邻时四色足够：

那我们现在选择一区域A0’加入到结论1所构建的系统中，一旦A0’与A0相邻，则A0’将直接进入结论1所构建的系统中，只不过与A0相

邻区域个数增加1个而已，此时显然4色足够；以此类推我们可以加入任

意数量m个与A0相邻的区域，将依然四色足够。

3.2证明新加入区域与A0不相邻且互不相邻时四色足够：

在结论1所构建的系统中，我们知道A0是与A1……An均存在相邻关系，所以如以上各图中，当A0是红色时，A1……An只能选用其它3色，

且3色足够。

如果新加入m个区域不与A0相邻且互不相邻，那么我们可以直接为

这m个区域填充上与A0相同的颜色，此时已然四色足够。

3.3证明新加入区域与A0不相邻且存在相互相邻关系时四色足够：