平面解析几何与圆锥曲线

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高中数学平面解析几何——圆锥曲线与方程

高中数学平面解析几何——圆锥曲线与方程一、单选题1．若双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线方程y =√3x ，则该双曲线的离心率为（）A ．√3B ．2C ．12D ．2√332．已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线C 1与曲线C 2：x 2+y 2−b 2=0在第二象限的交点为M ，且|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13，则双曲线C 1的离心率为( ) A ．√32B ．3C ．√3D ．323．抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的焦点为 F ，点 A(6,y 0) 是 C 上一点， |AF|=2p ,则 p =（） A ．4B ．3C ．2D ．14．经过点 M(2√3,2√2) 且与双曲线 y 24−x 23=1 有共同渐近线的双曲线方程为（）A ．x 26−y 28=1B ．y 26−x 28=1C ．x 28−y 26=1D ．y 28−x 26=15．过双曲线 E ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线 E 交于A ，B 两点，与双曲线 E 的渐近线交于C ，D 两点，若 |AB|=√32|CD| ，则双曲线 E 的渐近线方程为（） A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y =±2xD ．y =±2√3x6．若双曲线 x 2a 2−y 2b2=1 的一条渐近线经过点 (3,4) ,则此双曲线的离心率为( )A ．√73B ．54C ．43D ．537．双曲线x 2a 2−y 2b2=1的离心率为√3，则它的渐近线方程是（）A ．y =±√2xB ．y =±√22xC ．y =±2xD ．y =±12x8．已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，射线FM 与y 轴交于点A(0，2)，与抛物线C 的准线交于点N ，FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√55MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则p 的值等于（）A ．18B ．2C ．14D ．49．椭圆x 29+y 24−k =1的离心率为45，则k 的值为（）A．－21B．21C．−925或21D．925或2110．曲线x 210−m+y26−m=1(m<6)与曲线x25−m+y29−m=1(5<m<9)的（）A．焦距相等B．离心率相等C．焦点相同D．准线相同11．已知双曲线Γ过点M(3,4)且其渐近线方程为y=±2√33x，ΔABC的顶点A,B恰为Γ的两焦点，顶点C在Γ上且|AC|>|BC|，则sin∠BAC−sin∠ABCsin∠ACB=（）A．−2√77B．2√77C．−2D．212．如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到形状为四边形区域A1A2A3A4的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线13．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（）A．4.25米B．4.5米C．3.9米D．4.05米14．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，以OF2为直径的圆M与双曲线C相交于A，B两点，其中O为坐标原点，若AF1与圆M相切，则双曲线C的离心率为 A ．√2+3√62B ．√2+√62C ．3√2+√62D ．3√2+2√6215．已知椭圆 y 2a 2 + x 2b2 =1(a>b>0)与直线 y a −x b =1 交于A ，B 两点，焦点F(0，-c)，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（） A ．√5−12B ．√3−12C ．√3+14D ．√5+1416．设双曲线 C ： x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，点 P 在 C 上，且满足 |PF 1|=3a .若满足条件的点 P 只在 C 的左支上，则 C 的离心率的取值范围是（） A ．(1,2]B ．(2,+∞)C ．(2,4]D ．(4,+∞)17．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若|MN|=|F 1F 2|，2√2|MF 2|=|NF 2|，则C 的离心率为（） A ．√24B ．12C ．6√2−37D ．3√2−37二、填空题18．双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)上一点P （点P 在第一象限），过双曲线C 中心O 且与坐标轴不平行的直线l 交双曲线C 左右两支于A ，B 两点（点A ，B 异于点P ），设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1k 2=14，则双曲线C 的离心率为 .19．过点(2√3，√3)且渐近线与双曲线C ：y 2−x 22=1的渐近线相同的双曲线方程为 .20．已知 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点， P 为 C 上的一点，若 |PF|=3 ，则点 P 的坐标为 21．已知点 (1,2) 在抛物线 y 2=2px 上，则该抛物线的焦点坐标为． 22．已知抛物线 y 2=2ax 的准线方程为 x =−2 ，则 a = ． 23．抛物线x 2=−2y 的焦点到准线的距离为．24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2=8x 上一点P 到点A （4，0）的距离等于它到准线的距离，则PA= ．25．椭圆 x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 上的任意一点 P (短轴端点除外)与短轴上、下两个端点 B 1,B 2的连线交 x 轴于点 M 和 N ，则 |OM|+|ON| 的最小值是．26．已知抛物线y 2=2px 的焦点F 与双曲线x 27﹣Y 29=1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的焦点为K ，点A 在抛物线上，且|AK|=√2|AF|，则△AFK 的面积为27．如图从双曲线 x 2a 2−y 2b2=1 （其中 b >a >0 ）的左焦点F 引圆 x 2+y 2=a 2 的切线，切点为T ，延长 FT ，交双曲线右支于P ，若M 为线段 FP 的中点，O 为原点，则 |MO|−|MT| 的值为（用 a 、b 表示）．28．设F 为抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的焦点，过F 作倾斜角为 60° 的直线交C 于A ，B 两点，若 |AF|−|BF|=4 ，则 |AB|= .29．已知椭圆E ： x 2a 2+y 2b2 =1（a ＞b ＞0）的焦距为2c （c ＞0），左焦点为F ，点M 的坐标为（﹣2c ，0）．若椭圆E 上存在点P ，使得PM= √2 PF ，则椭圆E 离心率的取值范围是．30．已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：(x −3)2+y 2=4相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为．31．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C ： y 2=4x 的焦点为 F ．过点 M(−1，0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，若 FA ⊥FB ，则直线 l 的斜率为．32．过双曲线x 2- y 215=1的右支上一点P ，分别向圆C 1：（x+4）2+y 2=4和圆C 2：（x-4）2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM|2-|PN|2的最小值为．33．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0) ， B(1,√3) ，动点 P 满足 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 |x|+|y|=1 ，则动点 P 形成的轨迹长度为 .34．已知F 是抛物线 C ：y 2=2px(p >0) 的焦点，抛物线C 上的点 A ，B 满足 AF⃗⃗⃗⃗⃗ =4FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 A ，B 在准线上的射影分别为 M ，N ，且 △MFN 的面积为5，则 |AB|=三、解答题35．某海域有 A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是 A 、B 两岛．曾有渔船在距A 岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在 A 、B 两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同）， A 、B两岛收到鱼群反射信号的时间比为 5：3 ．你能否确定鱼群此时分别与 A 、B 两岛的距离？ 36．已知直线l 的参数方程为 {x =2+ty =√3t (t 为参数)， P(2,0) ，曲线C 的极坐标方程为 ρ2cos2θ=1 .（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 中点为Q ，求弦长 |AB| 以及 |PQ| .37．已知 F 1 ， F 2 分别是椭圆 E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左，右焦点， |F 1F 2|=6 ，当 P在 E 上且 PF 1 垂直 x 轴时， |PF 2|=7|PF 1| .（1）求 E 的标准方程；（2）A 为 E 的左顶点， B 为 E 的上顶点， M 是 E 上第四象限内一点， AM 与 y 轴交于点 C ， BM 与 x 轴交于点 D . 求证：四边形 ABDC 的面积是定值.38．已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b2=1(a >0，b >0)的离心率为√174，抛物线D ：y 2=2px （p >0）的焦点为F ，准线为l ，l 交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，ΔMNF 的面积为8. （1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）求抛物线D 的方程.39．已知B ，C 是两个定点，|BC|＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．40．已知函数 y =2x 2 ，函数图象上有两动点 A(x 1,y 1) 、 B(x 2,y 2) .（1）用 x 1 表示在点 A 处的切线方程；（2）若动直线 AB 在 y 轴上的截距恒等于 1 ，函数在 A 、 B 两点处的切线交于点 P ，求证：点 P 的纵坐标为定值.41．已知双曲线 x 2−y 23=1 ，抛物线 y 2=2px(p >0) 的焦点与双曲线的一个焦点相同，点 P(x 0,y 0) 为抛物线上一点. （1）求双曲线的焦点坐标；（2）若点 P 到抛物线的焦点的距离是5，求 x 0 的值.42．已知圆C 的方程为：x 2+(y +1)2=r 2(r >0)（1）已知过点M(12，−52)的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若r =1，|AB|=√3，求直线l 的方程；（2）如图，过点N(−1，1)作两条直线分别交抛物线y =x 2于点P ，Q ，并且都与动圆C 相切，求证：直线PQ 经过定点，并求出定点坐标.43．已知椭圆 C ： x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的左､右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，且 |F 1F 2|=2 ，点M(√3，√32) 在椭圆 C 上.（1）求椭圆 C 的标准方程.（2）P 为椭圆 C 上一点，射线 PF 1 ， PF 2 分别交椭圆 C 于点 A ， B ，试问 |PF 1||AF 1|+|PF 2||BF 2| 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 44．已知双曲线C ： x 2a 2−y 2b2 ＝1(a ，b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，其中c>0，M(c ，3)在C 上，且C 的离心率为2. （1）求C 的标准方程；（2）若O 为坐标原点，△F1MF2的角平分线l 与曲线D ： x 2c 2+y 2b2 ＝1的交点为P ，Q ，试判断OP 与OQ 是否垂直，并说明理由.45．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）分别是椭圆C ： x 2a2+y 23 =1（a ＞0）的左、右焦点．（△）求椭圆C 的方程；（△）若A ，B 分别在直线x=﹣2和x=2上，且AF 1△BF 1．（△）当△ABF 1为等腰三角形时，求△ABF 1的面积；（△）求点F 1，F 2到直线AB 距离之和的最小值．46．已知椭圆 C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的离心率为 √33 ，且经过点 (32,√22) .（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过点M(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若△OAB的面积为4√617，求直线l的方程.47．已知抛物线E:y2=2px的焦点F恰好是椭圆C:x2+2y2=2的右焦点.（1）求实数p的值及抛物线E的准线方程；（2）过点F任作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A、B和M、N点，求两条弦的弦长之和|AB|+|MN|的最小值．48．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，点P为椭圆上异于A、B的点，且直线PA和PB的斜率之积为−3 4 .（1）求C的方程；（2）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作OM//AP交椭圆于点M，试探究|AP|⋅|AQ||OM|2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.49．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个顶点分别为点A(−2,0)，B(2,0)，离心率为√32.（1）求椭圆C的方程；（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.证明：△BDE与△BDN的面积之比为定值.50．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为2√55，且|BF|=√5．（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP//BF，求直线l的方程．答案解析部分1．【答案】B【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线方程y =√3x ，所以b a=√3，所以该双曲线的离心率为e =c a =√1+(b a )2=2。

数学一轮复习第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题第1课时最值范围证明问题学案含解析

第九节圆锥曲线的综合问题最新考纲考情分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点．2．考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题．3．题型主要以解答题的形式出现,属中高档题。

知识点一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x(或变量y）的一元方程．即错误!消去y，得ax2＋bx＋c＝0。

（1）当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．（2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1，y1），B（x2,y2),则|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!·错误!＝错误!·|y1－y2|＝错误!·错误!.知识点二圆锥曲线中的最值与取值范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广,归纳起来常见的命题角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值；2．利用三角函数有界性求最值；3．数形结合利用几何性质求最值．知识点三圆锥曲线中的定值与定点问题1．这类问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系,一元二次方程的根与系数之间的关系，考查斜率、向量的运算以及运算能力．2．解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）（1）直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(√)（2）直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(×)（3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C 只有一个公共点．（×)（4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1）,B(x2，y2)两点,则弦长｜AB|＝错误!｜y1－y2|.(√）解析：(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时,也只有一个公共点，是相交，但并不相切．（3）因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点，是相交，但不相切．2．小题热身（1)过点（0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(C)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点（0,1)且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0)．（2)（2020·浙江八校联考）抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0）交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(B）A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0解析：由错误!消去y得ax2－kx－b＝0,可知x1＋x2＝错误!，x1x2＝－错误!，令kx＋b＝0得x3＝－错误!，所以x1x2＝x1x3＋x2x3.(3)已知抛物线y＝ax2(a>0)的准线为l,l与双曲线x24－y2＝1的两条渐近线分别交于A,B两点，若｜AB｜＝4，则a＝错误!.解析：抛物线y＝ax2(a〉0）的准线l：y＝－错误!,双曲线错误!－y2＝1的两条渐近线分别为y＝错误!x，y＝－错误!x，可得x A＝－错误!，x B＝错误!，可得｜AB|＝错误!－错误!＝4，解得a＝错误!。

高中数学圆锥曲线(平面解析几何)基础

圆锥曲线基础1.椭圆的有关公式(1)定义性质:|PF ₃|+|PF ₂|=2aa²=b²+c²(2)离心率:e =c a ,e <1(3)焦半径:|PF ₁|=a+ex ₀,|PF ₂|=a-ex 。

(4)通径:2b 2a(5)焦点三角形:周长=2a+2c,面积=b 2tan θ2(∠F 1PF 2=θ)当P 为短轴的端点时，θ最大，越向两侧，θ越小.(6)椭圆的第二定义:设椭圆上任意一点M(x,y)F(c,0)直线l:x =a 2c ,由|MF|d =c a (a ⟩c >0),其中d =a 2c −x化简，得：x 2a 2+y 2b 2=1(b 2=a 2−c 2)平面内到定点距离与到定直线距离比等于常数e(0圆的焦点，定直线为椭圆的准线.(7)弦长公式:|AB|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|点差法可以解决直线与椭圆相交时，与弦中点有关的问题.(8)椭圆的参数方程：(θ为参数)(9)点差法:设,A(x ₁,y ₁),B(x ₂,y ₂)在x 2a 2+y 2b 2=1上,(1)-(2)得:(x 1−x 2)(x 1+x 2)a 2=−(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2为AB 中点坐标2.双曲线的有关公式(1)定义性质:||PF₁|-|PF₂||=2a<|F₁F₂|=2c,a²+b²=c²(2)离心率:e=ca =√1+(ba)2,e>1(3)渐近线：焦点在x轴上，渐近线y=±bxa焦点在y轴上，渐近线y=±axb(4)渐近线常用结论①求渐近线：令常数“1”等于0时，解出y即为渐近线方程②双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线为矩形(x=±a,y=±b)的对角线③等轴双曲线：即a=b时，渐近线方程y=±x；离心率(e=√2如:y=1x,焦点(−√2,−√2),(√2,√2),a=b=√2,c=2.④与x2a2−y2b2=1共渐近线的双曲线方程：x2a2−y2b2=λ(λ≠0)⑤共轭双曲线：x2a2−y2b2=1与y2b2−x2a2=1互为共轭双曲线它们渐近线相同；四个焦点共圆；1e12+1e22=1(5)通径:|AB|=2b 2a(6)焦点三角形：三角形面积(7)焦半径:①双曲线的第二定义：平面内到定点距离和它到定直线距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹.定点为焦点，定直线为准线x=±a 2c②焦半径：∴|PF₁|=|a+ex₀||PF₂|=|a-ex₀|3.抛物线有关公式(1)平面内到定点F与到定直线L(L不经过F)距离相等的点的轨迹叫抛物线，F叫焦点，L叫准线.(2)离心率:e=1(3)通径:2P(4)焦半径:|PF|=x0+P2(5)过焦点倾斜角为α的直线AB，|AB|=2Psin2α,且x1⋅x2=P24,y1⋅y2=−P2.4.平面解析几何公式直线与圆的公式(1)两点间距离公式：|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2.(2)点到直线的距离：d=00√22(3)圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²(r>0)圆心:(a,b)半径:r(4)圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0D²+E²-4F>0圆心坐标：(−D2,−E2)半径长：√D2+E2−4F2。

高中数学圆锥曲线知识点

高中数学知识点—圆锥曲线部分一、平面解析几何的知识结构：二、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。

用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。

其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e 是离心率。

用集合表示为：；e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁（2）标准方程和性质：①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，22221x y a b+=||x a ≤||y b ≤x a =±所围成的矩形里；y b =±②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点y -y (,)x y 也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于(,)x y -x x -x 轴对称。

若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

y x -x y -y 所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，x y 椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。

在椭x y 圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。

0x =y b =±1(0,)B b -2(0,)B b y 同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

0y =x a =±1(,0)A a -2(,0)A a x 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和21A A 21B B 2a 2b a 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

b 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，a 22Rt OB F ∆2||OBb =，，且，即；2||OF c =22||B F a =2222222||||||OF B F OB =-222c a b =-④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

高考数学第八篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题(第3课时)定点、定值、存在性专题文

＋1)，
由x82＋y42＝1，
得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.
y＋2＝k（x＋1），
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－4k（1＋k－2k22），
y1)，B(x2，y2)．
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第7节圆锥曲线的综合问题第二十二页，共四十二页。
由x42＋y2＝1，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. y＝kx＋m
则 Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2 ＝－1＋8km4k2，x1x2＝41m＋2－4k42 ，则 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝m12＋－44kk22，
且 x1＋x2＝4k82k＋2 3，x1x2＝44kk22－＋132.
直线 AE 的方程为 y＝x1y－1 2(x－2)，
令 x＝4，得点 M4，x12－y12，
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第7节圆锥曲线的综合问题第十七页，共四十二页。
直线 AF 的方程为 y＝x2y－2 2(x－2)，令 x＝4，得点 N4，x22－y22，所以点 P 的坐标为4，x1y－1 2＋x2y－2 2. 所以直线 PF2 的斜率为 k′＝x1y－1 2＋4－x21y－2 2－0 ＝13x1y－1 2＋x2y－2 2＝13·y2xx11x＋2－x22y（1－x12＋（xy21）＋＋y24）
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第7节圆锥曲线的综合问题第十一页，共四十二页。
(2)由(1)知 F(1，0)，设 A(x0，y0)(x0＞0)，D(xD，0)(xD＞0)，因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，由 xD＞0 得 xD＝x0＋2，故 D(x0＋2，0)，故直线 AB 的斜率为 kAB＝－y20，因为直线 l1 和直线 AB 平行，故可设直线 l1 的方程为 y＝－y20x＋b，

解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与方程

解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与方程解析几何是数学的一个分支，研究几何图形的性质和方程。

在解析几何中，曲线是一个重要的概念，而圆锥曲线则是曲线的一种特殊类型。

本文将探讨曲线与圆锥曲线的性质与方程。

一、曲线的基本概念在解析几何中，曲线是由一组点构成，这些点满足一定的几何条件。

曲线可以是一条直线，也可以是一条弧线。

曲线有很多重要的性质，比如长度、弧度等。

曲线的方程是将曲线上的点与坐标系中的数值进行对应的数学表达式。

二、圆锥曲线的定义圆锥曲线是解析几何中的一类曲线，其定义是通过一个点（焦点）和一个直线（准线）来确定的。

圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线三种类型。

这三种曲线都具有独特的性质和方程。

1. 椭圆的性质与方程椭圆是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离之和等于常数。

椭圆的中心是焦点所在的点，长轴和短轴是椭圆的两个重要参数。

椭圆的方程可以表示为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b是椭圆的长轴和短轴长度。

2. 抛物线的性质与方程抛物线也是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离等于准线到点的距离。

抛物线具有对称性，焦点所在的直线称为对称轴。

抛物线的方程可以表示为y² = 4ax，其中a是抛物线的参数，代表焦点到准线的距离。

3. 双曲线的性质与方程双曲线是圆锥曲线中的一种，其定义是焦点到点的距离之差等于准线到点的距离。

双曲线具有两个分支，每个分支都有一个焦点和一个准线。

双曲线的方程可以表示为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b是双曲线的参数。

三、曲线与圆锥曲线的联系曲线可以包含圆锥曲线作为其特例。

例如，当圆锥曲线的焦点与准线重合时，圆锥曲线成为一条直线。

当圆锥曲线的参数满足一定条件时，圆锥曲线可以退化为点或者不存在任何实数解。

解析几何中的圆锥曲线

解析几何中的圆锥曲线解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了几何图形的性质和变换，其中圆锥曲线是解析几何中的重要概念之一。

圆锥曲线由平面与一个双曲面或者一个抛物面相交而产生，包括椭圆、双曲线和抛物线。

本文将对这些圆锥曲线的性质和应用进行一些解析。

椭圆是一种非常常见的圆锥曲线。

它的定义是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。

椭圆有很多有趣的性质，比如它的离心率小于1，离心率等于0时，椭圆就变成了一个圆。

椭圆也是一种对称图形，它的两个焦点和中心都在同一条直线上。

椭圆还有一些重要的应用，比如在天文学中，行星的轨道就可以近似看作是椭圆。

双曲线是另一种常见的圆锥曲线。

它的定义是平面上到两个给定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。

这两个给定点同样称为焦点，而常数则是离心率。

与椭圆不同的是，双曲线的离心率大于1。

双曲线也有很多有趣的性质，比如它的两个焦点和中心不在同一条直线上。

双曲线在物理学和工程学中也有广泛的应用，比如电磁波的传播就可以用双曲线来描述。

抛物线是圆锥曲线中的最后一种形式。

它的定义是平面上到一个给定点的距离等于到一个给定直线的距离的点的集合。

这个给定点称为焦点，给定直线称为准线。

抛物线有很多有趣的性质，比如它是一种对称图形，焦点和准线都在对称轴上。

抛物线在物理学中也有重要的应用，比如抛物线的形状可以用来描述物体的抛射运动。

除了上述三种基本形式的圆锥曲线，解析几何还研究了它们的性质和变换。

例如，圆锥曲线的方程可以用代数的方法来表示，这样就可以通过方程来研究它们的性质。

此外，圆锥曲线还可以进行平移、旋转和缩放等变换，这些变换可以改变圆锥曲线的形状和位置。

在实际应用中，圆锥曲线有着广泛的应用。

比如在工程学中，圆锥曲线可以用来描述光的反射和折射现象，从而帮助设计光学器件。

在航天领域，圆锥曲线可以用来描述行星和卫星的轨道，从而帮助计算它们的运动轨迹。

在计算机图形学中，圆锥曲线可以用来描述曲线和曲面的形状，从而帮助生成逼真的图像。

韦达定理的分类应用

韦达定理的分类应用引言韦达定理，也被称为平面解析几何的圆锥曲线定理，是数学中重要的定理之一。

它揭示了平面上一条直线与一个圆锥曲线的关系，具有广泛的应用价值。

本文将介绍韦达定理的分类应用，包括判断直线与圆锥曲线的位置关系，求解直线与圆锥曲线的交点等。

定理表述韦达定理的一般表述为：平面上一条直线与一个圆锥曲线相交点的数量等于该直线与曲线的方程的次数之和。

应用场景1. 判断直线与圆锥曲线的位置关系利用韦达定理，可以通过判断直线与圆锥曲线的交点数量来确定它们的位置关系。

如果交点数量为零，则说明直线与圆锥曲线没有交点，两者不相交；如果交点数量为一个，则说明直线与圆锥曲线相切；如果交点数量为两个，则说明直线穿过圆锥曲线。

2. 求解直线与圆锥曲线的交点除了判断位置关系，韦达定理还可以帮助求解直线与圆锥曲线的交点坐标。

首先，根据直线与曲线的方程构成一个方程组，然后通过解方程组可以求得交点的坐标。

案例分析下面通过一个简单的案例来说明韦达定理的应用。

案例：求解直线与椭圆的交点坐标。

已知椭圆的方程为：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$直线的方程为：$y = mx + c$将直线的方程代入椭圆的方程，得到：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(mx + c)^2}{b^2} = 1$$整理后可得二次方程：$$(a^2m^2 + b^2)x^2 + 2a^2mcx + (a^2c^2 - a^2b^2) = 0$$利用韦达定理，可以求解该二次方程的解，即直线与椭圆的交点坐标。

结论韦达定理是一项重要的数学工具，可以方便地判断直线与圆锥曲线的位置关系，以及求解它们的交点坐标。

在实际问题中，对于涉及圆锥曲线的分析和计算，韦达定理具有广泛的应用价值。

解析几何与圆锥曲线

解析几何与圆锥曲线解析几何是数学中的一个分支，研究的是几何图形在坐标系中的性质和关系。

而圆锥曲线是解析几何中的一个重要概念，指的是在平面上由一个定点(焦点)和一个定直线(直角平分线)确定的几何图形。

本文将详细解析解析几何与圆锥曲线之间的关系。

一、解析几何基础解析几何的基础是坐标系，通常使用直角坐标系来描述平面上的点和几何图形。

在直角坐标系中，每个点都可以用两个坐标表示，分别表示该点在横轴和纵轴上的位置。

我们可以利用坐标系来描述线段、直线、曲线等几何图形，并通过代数的方法来研究它们的性质和关系。

二、圆锥曲线的定义与分类圆锥曲线是指在平面上由一个定点(焦点)和一个定直线(直角平分线)确定的几何图形。

根据焦点和直角平分线的相对位置，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

1. 椭圆：焦点到直角平分线的距离之和是一个常数，称为椭圆的离心率。

当离心率小于1时，椭圆是闭合曲线，当离心率等于1时，椭圆是一个线段，当离心率大于1时，椭圆是两个分离的曲线。

2. 双曲线：焦点到直角平分线的距离之差是一个常数，称为双曲线的离心率。

当离心率小于1时，双曲线是两个分离的曲线，当离心率等于1时，双曲线是两条渐进线，当离心率大于1时，双曲线是两个分离的曲线。

3. 抛物线：焦点到直角平分线的距离等于一个常数，称为抛物线的离心率。

抛物线有两种形式，一种是开口向上的抛物线，一种是开口向下的抛物线。

三、解析几何与圆锥曲线的关系解析几何主要研究的是几何图形在坐标系中的性质和关系，而圆锥曲线可以通过解析几何的方法进行研究和描述。

通过引入坐标系，我们可以将焦点和直角平分线的位置用代数的方式表示，从而推导出圆锥曲线的方程和各种性质。

以椭圆为例，假设焦点为F(a,0)，直角平分线为x=k，其中a和k为常数。

根据椭圆的定义，点P(x,y)到焦点和直角平分线的距离之和等于常数，即PF1+PF2=2a，可以得到以下方程：(x-a)^2+y^2+(x-a)^2+y^2=4a^2化简后即为椭圆的标准方程。

平面解析几何中的圆锥曲线和旋转曲面的性质

平面解析几何中的圆锥曲线和旋转曲面的性质在平面解析几何中，圆锥曲线和旋转曲面是两个重要的概念。

它们在数学和物理学中都有广泛的应用。

本文将探讨圆锥曲线和旋转曲面的性质，以及它们在实际问题中的应用。

一、圆锥曲线的性质圆锥曲线是一个平面和一个圆锥的交点所形成的曲线。

根据交点的位置和角度，圆锥曲线可以分为圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。

1. 圆当平面与圆锥的底面相交于一个圆时，圆锥曲线就是一个圆。

圆是一种特殊的圆锥曲线，具有以下性质：- 圆上的所有点到圆心的距离都相等。

- 圆的内角和为360度。

- 圆的半径和直径之间的关系为：直径是半径的两倍。

2. 椭圆当平面与圆锥的底面相交于两个圆时，圆锥曲线就是一个椭圆。

椭圆具有以下性质：- 椭圆上的所有点到两个焦点的距离之和是一个常数，称为椭圆的长轴。

- 椭圆上的所有点到两个焦点的距离之差的绝对值是一个常数，称为椭圆的短轴。

- 椭圆的长轴与短轴之间的关系为：长轴是短轴的两倍。

3. 双曲线当平面与圆锥的底面相交于两个不相交的曲线时，圆锥曲线就是一个双曲线。

双曲线具有以下性质：- 双曲线上的所有点到两个焦点的距离之差是一个常数，称为双曲线的离心率。

- 双曲线的离心率大于1。

- 双曲线有两条渐近线，渐近线是双曲线的对称轴。

4. 抛物线当平面与圆锥的底面相交于一个曲线时，圆锥曲线就是一个抛物线。

抛物线具有以下性质：- 抛物线上的所有点到焦点的距离与到准线的距离相等。

- 抛物线有对称轴，对称轴与准线垂直，并通过焦点。

二、旋转曲面的性质旋转曲面是由旋转曲线沿某个轴旋转一周形成的曲面。

根据旋转曲线的类型和旋转轴的位置，旋转曲面可以分为圆锥曲线、圆柱面和旋转抛物面等。

1. 圆锥曲线当旋转曲线为圆且旋转轴不与旋转曲线相交时，形成的旋转曲面是一个圆锥曲线。

圆锥曲线具有与平面圆锥曲线相似的性质。

2. 圆柱面当旋转曲线为直线且旋转轴平行于旋转曲线时，形成的旋转曲面是一个圆柱面。

圆柱面具有以下性质：- 圆柱面上的所有点到旋转轴的距离都相等。

解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与关系

解析几何中的曲线与圆锥曲线的性质与关系解析几何是数学中重要的一个分支，研究几何图形在坐标系中的表示和性质。

其中，曲线和圆锥曲线是解析几何的重要内容。

本文将对曲线和圆锥曲线的性质与关系进行分析和解读。

一、曲线的定义与性质曲线在解析几何中被定义为由平面中的点组成的连续集合。

曲线可以是直线、抛物线、椭圆、双曲线等。

不同曲线的性质各异，但它们都有一些共同的特点。

首先，曲线上的任意两点之间的直线称为切线。

在曲线上的任意一点，切线的斜率等于曲线在该点的导数。

这意味着通过求导可以确定曲线上每一点的切线，从而揭示曲线的变化趋势。

其次，曲线可以分为开曲线和闭曲线两种类型。

开曲线在坐标平面中的两个无限远点处不相交，如直线和双曲线；闭曲线形成一个封闭形状，如圆和椭圆。

闭曲线的特点是它们的切线在每个点上都与曲线相切。

曲线的性质还与其方程的形式相关。

例如，一次方程代表一条直线，二次方程代表抛物线，而椭圆和双曲线则对应于二次方程的变形形式。

通过分析曲线方程，我们可以得出关于曲线的更多信息。

二、圆锥曲线的定义与性质圆锥曲线是一类通过圆锥切割方式得到的曲线。

根据切割位置和角度的不同，圆锥曲线可以分为椭圆、抛物线和双曲线三种类型。

这三种曲线都有其独特的性质和特点。

首先，椭圆是圆锥切割后形成的曲线。

椭圆具有两个焦点和同一条长轴上的两个顶点。

椭圆的性质包括：焦点处的反射定律、离心率和焦距的关系、椭圆的离心角等。

椭圆在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。

其次，抛物线是圆锥切割时圆锥轴与圆锥表面平行的情况下形成的曲线。

抛物线的性质包括：焦点与直角的关系、抛物线的对称性、顶点位置等。

抛物线以其特殊的形状和性质在自然界和人造结构中得到广泛应用。

最后，双曲线是圆锥切割时圆锥轴与圆锥表面夹角大于圆锥表面开口角的情况下形成的曲线。

双曲线的性质包括：焦点与直角的关系、双曲线的对称性、渐近线等。

双曲线在物理学、光学、电子等领域中有重要的应用价值。

三、曲线与圆锥曲线的关系曲线和圆锥曲线之间存在着密切的联系和关系。

高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系课件

x=- ,分别过
2

F( ,0),
2
A,B 作准线的垂线,垂足为点 A',B',
过A作BB'的垂线,垂足为M,设|AA'|=|AF|=t,
∵|BF|=3|FA|,∴|BB'|=|BF|=3t,则|BM|=2t,|AB|=4t,
∴∠ABM=60°.
即直线l的倾斜角∠AFx=120°,可得直线l的斜率为
k=tan 120°= - 3 ,故选A.
考点二
弦长问题
典例突破
例2.(多选)(2023新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线 y=- 3(x-1) 过抛物线
C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(
A.p=2
B.|MN|=
8
3
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
21
22
(2 -1 )(2 +1 )
2
2
+1 =1, +2 =1,两式作差,得
+(y2-y1)(y2+y1)=0.因为
2
2
2
2 -1
0
x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, - =kAB,所以 kAB=-2 .
2 1
0
(1)设弦中点为 M(x,y),由①式, 得

2=-2,所以
= 16 2 -4 × (1- 2 ) × (-10) > 0,
4
A(x1,y1),B(x2,y2),则 1 + 2 =
1 2 =
解得-
15
<k<-1.故选
3

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第9节第1课时直线与圆锥曲线课件理新人教B版

基础诊断
考点突破
第1课时直线与圆锥曲线
@《创新设计》
考点一直线与圆锥曲线的位置关系【例 1】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点为
F1(－1，0)，且点 P(0，1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程； (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2：y2＝4x 相切，求直线 l 的方程.
考点突破
@《创新设计》
2.直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系为( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又
点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
答案 A
基础诊断
考点突破
@《创新设计》
3.(教材习题改编)已知与向量 v＝(1，0)平行的直线 l 与双曲线x42－y2＝1 相交于 A， B 两点，则|AB|的最小值为________. 解析由题意可设直线 l 的方程为 y＝m，代入x42－y2＝1 得 x2＝4(1＋m2)，所以 x1＝ 4（1＋m2）＝2 1＋m2，
@《创新设计》
第9节圆锥曲线的综合问题
基础诊断
考点突破
@《创新设计》
最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.
基础诊断
考点突破
@《创新设计》
知识梳 1.直线与圆锥曲线的位置关系理
判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A， B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程，即AFx（＋xB，yy＋）C＝＝00，消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0.

平面解析几何的圆锥曲线性质与应用

平面解析几何的圆锥曲线性质与应用在平面解析几何中，圆锥曲线是指平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

这些曲线具有独特的性质和广泛的应用，本文将从圆锥曲线的定义、性质和应用三个方面进行论述。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个动点和一个定点（焦点）确定的，动点到焦点的距离与动点到一定长度的有向线段的距离的比值（离心率）为常量。

根据离心率的大小，圆锥曲线可分为椭圆（离心率<1）、双曲线（离心率>1）和抛物线（离心率=1）三种类型。

二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质椭圆是一个较为常见的圆锥曲线。

它具有以下性质：（1）椭圆是一个闭合曲线，其形状像一个拉伸的圆；（2）椭圆的两个焦点位于椭圆的长轴上；（3）椭圆的长轴和短轴之间的比例关系与离心率有关；（4）椭圆的周长和面积的计算公式与其长轴和短轴有关。

2. 双曲线的性质双曲线是另一种常见的圆锥曲线，它具有以下性质：（1）双曲线是一个非闭合曲线；（2）双曲线的两个焦点位于双曲线的对称轴上；（3）双曲线的离心率决定了其形状，离心率越大，曲线越尖锐；（4）双曲线的渐近线是其两支曲线的夹角的平分线。

3. 抛物线的性质抛物线是一种常见的圆锥曲线，它具有以下性质：（1）抛物线是一个非闭合曲线；（2）抛物线的焦点位于其顶点的对称轴上；（3）抛物线可以通过焦点和直线的焦点到直线的距离来定义；（4）抛物线是一条对称曲线，其顶点为对称中心。

三、圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：1. 天体运动的轨迹分析利用圆锥曲线的性质，可以研究行星和卫星的运动轨迹，预测其位置和速度等相关信息。

2. 信号传输与接收电磁波的传输和接收过程中，通常可以利用圆锥曲线的特性实现信号的聚焦和扩散，从而提高通信的效率和可靠性。

3. 工程建模与设计在建筑、航天航空和汽车工程等领域，圆锥曲线常被用于模型设计、数据分析和系统优化等方面。

4. 统计分析与数据拟合圆锥曲线可以用来拟合数据，在统计学和数据分析中广泛应用，用于预测趋势、拟合模型和作为数据分布的基础。

平面解析几何的圆锥曲线

平面解析几何的圆锥曲线圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，它研究了二次方程在平面上的各种特殊情况。

圆和椭圆、双曲线、抛物线都是圆锥曲线的具体表现形式。

本文将从定义、性质、方程及实际应用等方面综述圆锥曲线的基本知识。

一、定义及基本性质圆锥曲线是通过切割一个圆锥体而得到的曲线。

根据切割位置和角度的不同，可以得到不同类型的圆锥曲线。

1. 圆：当切割的平面与圆锥体的底面平行时，所得曲线为圆。

2. 椭圆：当切割的平面斜切圆锥体时，所得曲线为椭圆。

椭圆有两个焦点，对任意一点到两个焦点的距离之和是常数。

3. 双曲线：当切割的平面与圆锥体的底面不平行时，所得曲线为双曲线。

双曲线有两个焦点，对任意一点到两个焦点的距离之差是常数。

4. 抛物线：当切割的平面与与圆锥体的底面平行切成两半时，所得曲线为抛物线。

抛物线的焦点在无穷远处。

圆锥曲线的基本性质有：1. 对称性：椭圆、双曲线和抛物线在对应的轴上具有对称性。

2. 离心率：椭圆、双曲线和抛物线都有离心率这一重要性质。

离心率决定了曲线的形状，离心率越接近于0，曲线越接近于圆形，离心率越接近于1，曲线越拉长。

3. 弦段：圆锥曲线上的弦段在圆锥曲线内外的切线上截得的线段长度平方的比例是常数。

这个常数被称为圆锥曲线的离心率。

二、方程及参数表示圆锥曲线的方程有不同的表达形式，根据方程可以确定曲线的位置、形状和其他特征。

常见的表达形式有：1. 二次方程：圆锥曲线可以用二次方程的形式表示，如：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。

通过该方程可以确定曲线的位置和形状。

2. 参数方程：圆锥曲线也可以用参数方程的形式表示，如：x = x(t)，y = y(t)。

通过参数方程可以确定曲线上各个点的坐标。

三、实际应用圆锥曲线在众多领域中被广泛应用，下面以几个具体的实际应用为例进行说明。

1. 天体运动：椭圆轨道是行星和其他天体的运动轨迹，通过研究椭圆轨道可以预测和解释行星和卫星的运动规律。

解析几何中的圆锥曲线与相关定理

解析几何中的圆锥曲线与相关定理圆锥曲线是解析几何中重要的研究对象，它们具有广泛的应用。

本文将着重讨论圆锥曲线的基本概念与相关定理。

一、圆锥曲线的基本概念在解析几何中，圆锥曲线是由一个平面截割一个双曲面、椭球或抛物面所得到的曲线。

根据截割方式的不同，可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。

它们的定义如下：1. 椭圆：椭圆是一个平面内到两个焦点距离之和等于常数的点的轨迹。

用数学表达式表示为：(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1，其中(h, k)为椭圆的中心，a和b分别为椭圆的长短半轴。

2. 双曲线：双曲线是一个平面内到两个焦点距离之差等于常数的点的轨迹。

用数学表达式表示为：(x - h)^2 / a^2 - (y - k)^2 / b^2 = 1，其中(h, k)为双曲线的中心，a和b分别为双曲线的长短半轴。

3. 抛物线：抛物线是一个平面内到焦点距离等于相应点到准线距离的点的轨迹。

用数学表达式表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

二、圆锥曲线的性质与定理除了上述基本概念外，圆锥曲线还有一些重要的性质与定理，如下所述：1. 离心率与半通径的关系：对于椭圆和双曲线来说，离心率e与半通径r的关系可以表示为e^2 = 1 - (b^2 / a^2)，其中a和b分别为椭圆或双曲线的长短半轴。

2. 焦点和准线的关系：对于椭圆和双曲线来说，焦点到准线的距离称为焦距，其值等于半通径的一半。

这个关系可以用公式表示为f = r / 2，其中f为焦距，r为半通径。

3. 孤焦点定理：椭圆和双曲线上的每个点，其到两个焦点的距离之和等于常数。

对于椭圆来说，这个常数是2a；对于双曲线来说，这个常数是2a'，其中a和a'分别为椭圆和双曲线的长半轴。

4. 直径定理：椭圆和双曲线上的每条直径都通过中心点，并且与准线垂直。

三、圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中有广泛的应用。

平面解析几何中的圆锥曲线与参数方程

平面解析几何中的圆锥曲线与参数方程圆锥曲线是平面解析几何中非常重要的一类曲线，由参数方程描述。

本文将介绍圆锥曲线的定义、常见类型以及参数方程的应用。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上由一个动点P到两个定点F1和F2的距离之和恒定的点的轨迹。

这个恒定的距离称为焦距，定点F1和F2称为焦点，直线F1F2称为焦点连线，称为焦线。

圆、椭圆、双曲线和抛物线是四类常见的圆锥曲线。

二、圆圆是一种特殊的圆锥曲线，它的焦点和焦线重合。

圆的参数方程为：x = a*cosθ, y = a*sinθ，其中a为半径。

三、椭圆椭圆是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离之和恒定。

椭圆可以通过参数方程来描述，参数方程为：x = a*cosθ, y = b*sinθ，其中a 和b分别为椭圆的长半轴和短半轴的长度。

四、双曲线双曲线是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离之差恒定。

双曲线的参数方程有两种形式：x = a*secθ, y = b*tanθ和x = a*coshθ, y =b*sinhθ。

五、抛物线抛物线是一类圆锥曲线，它的焦点到任意一点的距离等于焦点到该点的垂直距离的平方。

抛物线的参数方程为：x = a*t, y = b*t^2，其中a 和b分别为抛物线的形状参数。

六、参数方程在圆锥曲线中的应用参数方程在解析几何中有广泛的应用，特别是在描述曲线的轨迹时非常有用。

在圆锥曲线中，参数方程可以帮助我们精确描述曲线的形状和位置。

通过改变参数a和b的值，我们可以获得不同形状和大小的圆锥曲线。

例如，改变参数a可以使椭圆的长半轴变长或变短，改变参数b可以使椭圆的短半轴变长或变短。

参数方程的灵活性使得我们能够根据需要绘制各种各样的曲线。

此外，参数方程还可以用来求解圆锥曲线上的点的坐标。

给定一个参数值，我们可以通过代入参数方程中求出对应的点的坐标。

这在计算机图形学和物理学等领域有着广泛的应用。

结束语圆锥曲线与参数方程是平面解析几何中的重要内容，了解它们的定义和应用对于深入理解曲线的性质和特征具有重要意义。

高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第8节直线与圆锥曲线的位置关系第2课时范围最值问题教师用书

第2课时范围、最值问题考点1 范围问题——综合性(2021·梅州二模)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 距离的取值范围．解：(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 2(c,0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆：(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ．又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)设B (m ，n )，设M ，N 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点．因为O 为△BMN 的重心，则BO ＝2OD ＝OA ，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－n 2，即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时B 在长轴的端点处．由|OB |＝2，得|OD |＝1，则O 到直线MN 的距离为1，B 到直线MN 的距离为3．当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y223＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0．因为D 为M ，N 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m4n，所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m264n 2＋36m2．因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2，所以d ＝4n 2＋3m264n 2＋36m2＝12144＋16n2＝39＋n2．因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23，所以123≤19＋n 2<13，所以332≤3d <3．综上所述，332≤3d ≤3，即点B 到直线MN 距离的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤332，3．圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的点到右焦点F (c,0)的最大距离是2＋1，且1，2a,4c成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M (m,0)，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a ＋c ＝2＋1，1×4c ＝2a 2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1．(2)由题意得F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，y ＝k (x －1)，消去y 可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝(－4k 2)2－4(2k 2－2)(1＋2k 2)＝8k 2＋8>0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k21＋2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k1＋2k2．可得线段AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2．当k ＝0时，直线MN 为x 轴，此时m ＝0；当k ≠0时，直线MN 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，化简得ky ＋x －k 21＋2k2＝0．令y ＝0，得x ＝k 21＋2k2，所以m ＝k 21＋2k 2＝11k2＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12．综上所述，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12．考点2 最值问题——应用性考向1 利用几何性质求最值在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为___________．22解析：双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线间的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22，由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22．考向2 利用函数、导数求最值(2022·江门市高三一模)如图，抛物线C ：y 2＝8x 与动圆M ：(x －8)2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B ，C ，D 四个不同点．(1)求r 的取值范围；(2)求四边形ABCD 面积S 的最大值及相应r 的值．解：(1)联立抛物线与圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，(x －8)2＋y 2＝r 2，消去y ，得x 2－8x ＋64－r 2＝0．若圆与抛物线有四个不同交点，则方程有两个不等正根．所以⎩⎪⎨⎪⎧64－r 2>0，64－4(64－r 2)>0，解得43<r <8，所以r 的取值范围为(43，8)．(2)设A (x 1,22x 1)，B (x 2,22x 2)，其中x 2>x 1>0，则x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝64－r 2，S ＝12(42x 1＋42x 2)(x 2－x 1)＝(22x 1＋22x 2)(x 2－x 1)， S 2＝8(x 1＋x 2＋2x 1x 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2]， S 2＝64(4＋64－r 2)[16－(64－r 2)]．令x ＝64－r 2(0<x <4)，令f (x )＝(4＋x )(16－x 2)(0<x <4)，f ′(x )＝16－8x －3x 2＝(4－3x )(x ＋4)．当0<x <43时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当43<x <4时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2 04827，S ＝8f (x )≤25669．当x ＝43时，S 取得最大值，取64－r 2＝43，r ＝4353．考向3 利用基本不等式求最值(2022·唐山三模)在直角坐标系xOy 中，A (－1,0)，B (1,0)，C 为动点，设△ABC的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于P ，Q ，R ，且|CP |＝1，记点C 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程；(2)不过原点O 的直线l 与曲线E 交于M ，N ，且直线y ＝－12x 经过MN 的中点T ，求△OMN的面积的最大值．解：(1)依题意可知，|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4>|AB |，所以曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点)，因此曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，代入x 24＋y 23＝1整理，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，(*)Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)>0．则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2＋3，故MN 的中点T ⎝⎛⎭⎪⎫－4km 4k 2＋3，3m 4k 2＋3．而直线y ＝－12x 经过MN 的中点T ，得3m 4k 2＋3＝－12×－4km4k 2＋3，又m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝32．故(*)式可化简为3x 2＋3mx ＋m 2－3＝0，故x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－33．由Δ＝36－3m 2>0且m ≠0，得－23<m <23且m ≠0．又|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝132×36－3m 23＝1323×12－m 2，而点O 到直线l 的距离d ＝2|m |13，则△OMN 的面积为S ＝12×2|m |13×1323×12－m 2＝123|m |×12－m 2≤123×m 2＋12－m 22＝3，当且仅当m ＝±6时，等号成立，此时满足－23<m <23且m ≠0，所以△OMN 的面积的最大值为3．最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决(一般方法、基本不等式法、导数法等)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过点T (0，p )作两条互相垂直的直线l 1和l 2，l 1交抛物线C 于A ，B 两点，l 2交抛物线C 于E ，F 两点，当点A 的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，线段AB 的中点为M ，线段EF 的中点为N ，求△OMN 面积的最小值．解：(1)因为x 2＝2py 可化为y ＝x 22p ，所以y ′＝xp．因为当点A 的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12，所以1p ＝12，所以p ＝2，所以，抛物线C 的标准方程为x 2＝4y ． (2)由(1)知点T 坐标为(0,2)，由题意可知，直线l 1和l 2斜率都存在且均不为0．设直线l 1方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＝4y ，联立消去y 并整理，得x 2－4kx －8＝0，Δ＝(－4k )2＋32＝16k 2＋32>0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－8，所以，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4．因为M 为AB 中点，所以M (2k,2k 2＋2)．因为l 1⊥l 2，N 为EF 中点，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，2k2＋2，所以直线MN 的方程为y －(2k 2＋2)＝2k 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋22k ＋2k·(x －2k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ·(x －2k )，整理得y ＝⎝⎛⎭⎪⎫k －1k x ＋4，所以，直线MN 恒过定点(0,4)．所以△OMN 面积S ＝12×4×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ＋1k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫|k |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ≥4·2|k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k＝8，当且仅当|k |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k即k ＝±1时，△OMN 面积取得最小值为8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆C 的右顶点，过原点且异于x 轴的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，M 在x 轴的上方，直线AM 与圆O 的另一交点为P ，直线AN 与圆O 的另一交点为Q ．(1)若AP →＝3AM →，求直线AM 的斜率；(2)设△AMN 与△APQ 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最大值．[四字程序]读想算思已知圆的方程和椭圆的方程，直线与圆、椭圆都相交 1．向量AP →＝3AM →如何转化？2．如何表示三角形的面积把S 1S 2用直线AM 的斜率k 来表示转化与化归求直线AM 的斜率，求△AMN 与△APQ 的面1．用A ，P ，M 的坐标表示．S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |，进把面积之比的最大值转化为一个变量的不积之比2．利用公式S ＝12ab ·sin C 表示并转化而用基本不等式求其最大值等式思路参考：设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，利用y P ＝3y M 求解．解：(1)设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，将y ＝k (x －2)与椭圆方程x 24＋y 2＝1联立，(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0，得x A ＋x M ＝16k21＋4k2，求得点M 的横坐标为x M ＝8k 2－24k 2＋1，纵坐标为y M ＝－4k4k 2＋1．将y ＝k (x －2)与圆方程x 2＋y 2＝4联立，得(1＋k 2)·x 2－4k 2x ＋4k 2－4＝0，得x A ＋x P ＝4k21＋k2，求得点P 的横坐标为x P ＝2k 2－2k 2＋1，纵坐标为y P ＝－4kk 2＋1．由AP →＝3AM →得y P ＝3y M ，即－4k k 2＋1＝－12k4k 2＋1．又k <0，解得k ＝－2．(2)由M ，N 关于原点对称，得点N 的坐标为x N ＝－8k 2＋24k 2＋1，y N ＝4k4k 2＋1，所以直线AN 的斜率为k AN ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－2＝－14k．于是|AM ||AP |＝y M y P ＝k 2＋14k 2＋1，同理|AN ||AQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k 2＋1＝16k 2＋116k 2＋4．所以S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |＝k 2＋14k 2＋1·16k 2＋116k 2＋4＝16k 4＋17k 2＋14(16k 4＋8k 2＋1) ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9k 216k 4＋8k 2＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋916k 2＋1k2＋8 ≤14⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋9216k 2·1k 2＋8＝2564，当且仅当16k 2＝1k 2，即k ＝－12时等号成立，所以S 1S 2的最大值为2564．思路参考：设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，由AP →＝3AM →转化为x P －x A ＝3(x M －x A )求解．解：(1)设直线AM 的方程为y ＝k (x －2)，k <0，代入椭圆方程，整理得(4k 2＋1)x 2－16k 2x ＋4(4k 2－1)＝0．由根与系数的关系得x A x M ＝4(4k 2－1)4k 2＋1，而x A ＝2，所以x M ＝2(4k 2－1)4k 2＋1．将y ＝k (x －2)代入圆的方程，整理得(k 2＋1)x 2－4k 2x ＋4(k 2－1)＝0．由根与系数的关系得x A x P ＝4(k 2－1)k 2＋1，而x A ＝2，所以x P ＝2(k 2－1)k 2＋1．由AP →＝3AM →，得x P －x A ＝3(x M －x A )，即2(k 2－1)k 2＋1－2＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(4k 2－1)4k 2＋1－2，解得k 2＝2．又k <0，所以k ＝－2．(2)因为MN 是椭圆的直径，直线AM ，AN 斜率均存在，所以k AM k AN ＝－14，即kk AN ＝－14，所以k AN ＝－14k．下同解法1(略)．思路参考：设直线AM 的方程为x ＝my ＋2，利用y P ＝3y M 求解．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋2(m ≠0)，将其代入椭圆方程，整理得(m 2＋4)y 2＋4my ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－4mm 2＋4．将x ＝my ＋2代入圆的方程，整理得(m 2＋1)y 2＋4my ＝0，得点P 的纵坐标为y P ＝－4mm 2＋1．由AP →＝3AM →，得y P ＝3y M ，即m m 2＋1＝3m m 2＋4．因为m ≠0，解得m 2＝12，即m ＝±12．又直线AM 的斜率k ＝1m<0，所以k ＝－2．(2)因为MN 是椭圆的直径，直线AM ，AN 斜率均存在，又k AM k AN ＝－14，由(1)知k AM ＝1m ，所以有1m k AN ＝－14，则k AN ＝－m4．又y M ＝－4m m 2＋4，y P ＝－4mm 2＋1，所以|AM ||AP |＝y M y P ＝m 2＋1m 2＋4．同理|AN ||AQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 42＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 42＋1＝m 2＋164(m 2＋4)．所以S 1S 2＝|AM |·|AN ||AP |·|AQ |＝m 2＋1m 2＋4·m 2＋164(m 2＋4)．下同解法1(略)．1．本题考查三角形面积之比的最大值，解法较为灵活，其基本策略是把面积的比值表示为斜率k 的函数，从而求其最大值．2．基于新课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力．本题的解答体现了数学运算的核心素养．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由题意知2c ＝233，解得c ＝3．因为e ＝ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)(方法一)显然直线l 的斜率存在．设直线l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且P 在线段AQ 上．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＋4y 2－4＝0得(4k 2＋1)x 2－16kx ＋12＝0，所以x 1＋x 2＝16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1．由Δ＝(16k )2－48(4k 2＋1)>0，得k 2>34．则S △OPQ ＝S △AOQ －S △AOP＝12×2×|x 2－x 1|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝44k 2－34k 2＋1．令4k 2－3＝t (t >0)，则4k 2＝t 2＋3，于是S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，所以l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2． (方法二)依题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将直线l 的方程代入椭圆方程，整理得(4k 2＋1)x 2－16kx ＋12＝0，则Δ＝(16k )2－48(4k 2＋1)＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34．x 1＋x 2＝16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1．由弦长公式得|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·44k 2－34k 2＋1．由点到直线的距离公式得点O 到直线l 的距离d ＝21＋k2，所以S △OPQ ＝12|PQ |×d ＝121＋k 2×44k 2－34k 2＋1×21＋k 2＝44k 2－34k 2＋1．设4k 2－3＝t (t >0)，则4k 2＝t 2＋3，所以S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立．7 2x－2或y＝－72x－2．故所求直线l的方程为y＝。