高考数学复习 角的概念的推广与弧度制

角的概念的推广与弧度制

A 组

1．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向

运动π

3

弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．

运动

π3解析：由于点P 从(－1,0)出发，顺时针方向弧长到达Q 点，如图，因此Q 点的坐标为(cos 2π3，sin 2π3)，即Q (－12，3

2

)．答案：(－12，3

2

)

2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．

①tan

α2

②sin

α2

③cos

α2

④cos2α

解析：α为第四象限角，则

α2

为第二、四象限角，因此tan

α2

<0恒成立，

应填①，其余三个符号可正可负．答案：①

3．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角． 答案：三

4．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |

tan x

的值域为________．

解析：当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，tan x >0，y ＝3； 当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，tan x <0，y ＝－1； 当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，tan x >0，y ＝－1；

当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，tan x <0，y ＝－1.答案：{－1,3} 5．(原创题)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α²cos α＝3

4

，则a 的值为________．

解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α²cos α＝

34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－4

3

3.答案：－43

或－43

3

6．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝2

4

y ，求cos α，tan α的值．

解：因为sin α＝

24y ＝y (－3)2＋y

2，所以y 2＝5， 当y ＝5时，cos α＝－64，tan α＝－15

3；

当y ＝－5时，cos α＝－

64，tan α＝15

3

. B 组

1．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．

解析：当a >0时，点P (a ，a )在第一象限，sin α＝2

2

； 当a <0时，点P (a ，－a )在第二象限，sin α＝

22.答案：22

2．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2

，则扇形的圆心角的弧度数是_____．

解析：设扇形的圆心角为α rad ，半径为R ，则

⎩⎨⎧

2R ＋α²R ＝6

12

R 2

²α＝2，解得α＝1或α＝4.答案：1或4

3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm ，则扇形的面积为________．

解析：S ＝12|α|r 2＝12³23π³100＝1003π(cm 2)．答案：100

3π cm 2

4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3

角的终边

相同的角的集合为__________．答案：{56°，176°，296°} 5．若α＝k ²180°＋45°(k ∈Z)，则α是第________象限．

解析：当k ＝2m ＋1(m ∈Z)时，α＝2m ²180°＋225°＝m ²360°＋225°，故α为第三象限角；当k ＝2m (m ∈Z)时，α＝m ²360°＋45°，故α为第一象限角．

答案：一或三

6．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值是________．

解析：∵x ＝－6a ，y ＝－8a ，∴r ＝(－6a )2＋(－8a )2＝10|a |， ∴sin α－cos α＝y r －x r ＝

－8a ＋6a 10|a |＝－a 5|a |＝±15.答案：±1

5

7．(2010年北京东城区质检)若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y

x

的值为________．

解析：y x

＝tan300°＝－tan60°＝－ 3.答案：－ 3 8．(2010年深圳调研)已知点P (sin

3π4，cos 3π

4

)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．

解析：由sin 3π4>0，cos 3π

4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos

3π4sin

3π

4

＝－1，

θ∈[0,2π)，∴θ＝

7π4.答案：7π4

9．已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝2

5

，且cos α<0，则k 的值为________．

解析：设α终边上任一点P (x ，y )，且|OP |≠0，∴y ＝kx ， ∴r ＝x 2＋(kx )2＝1＋k 2|x |.又sin α>0，cos α<0.∴x <0，y >0，

∴r ＝－1＋k 2

x ，且k <0.∴sin α＝y r ＝kx －1＋k 2x ＝－k

1＋k 2

，又sin α＝

2

5

. ∴－

k 1＋k

2

＝2

5

，∴k ＝－2.答案：－2 10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．