向量的线性运算

向量的概念

[新知初探]

1．向量的概念及表示

印刷时，用黑体小写字母，手写时，小写字母要带箭头[点睛]向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．与向量有关的概念

长度等于

向量的基线互相平行或重合

[点睛] 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量能比较大小．( )

(2)向量的模是一个正实数．( )

(3)向量AB 与向量BA 是相等向量．( )

答案：(1)× (2)× (3)×

2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速． 其中可以看成是向量的个数

( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案：B

3．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )

A ．也可以用MN 表示

B ．方向是由M 指向N

C ．始点是M

D ．终点是M 答案：D

4.如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，则

与ED 相等的向量有______．

答案：AB，DC

向量的有关

概念

[典例]有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．

[解析]对于①，|AB|＝|BA|＝AB，故①正确；

对于②，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误；

对于③，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故③错误；

对于④，0是一个向量，而0是一个数量，故④错误．

[答案]①

(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手

①是否有大小；②是否有方向．

(2)理解零向量应注意的问题

零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．

[活学活用]

有下列说法：

①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；

②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；

③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；

④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．

其中正确说法的个数是()

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选A对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．

[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；

②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；

③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.

[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．

(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．

(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．

用有向线段表示向量的方法

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向

量模的大小确定向量的终点．

必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．

[活学活用]

一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，

向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.

解：如图所示．

共线向量或相等

向量

[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，

且OA＝a，OB＝b，OC＝c.

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)与a共线的向量有哪些？

(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．

[解](1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.

(2)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.

(3)与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，EA；与c相等的向量有FO，ED，AB.

[一题多变]

1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．

解：与向量BC相等的向量有OD，AO，FE.

2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，求正六边形的边长．解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.

寻找共线向量或相等向量的方法

(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．