扭转00
材料力学 第三章 扭转
d T dx GI p
d t r Gr dx
Tr tr Ip
Tr tr Ip
上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切 应力的计算公式。
Tr tr Ip
2
b z
t'
dx
c c'
3.4 圆轴扭转时的应力 3.4.1 横截面上的应力 1) 变形几何关系 在小变形条件下, 等直圆杆在扭转时横截面上也 只有切应力。为求得此应力, 需从几何关系、物 理关系和静力关系三个方面着手。 为研究横截面上任一点处切应变随点的位臵而 变化的规律, 先观察一个实验。
3.4 圆轴扭转时的应力 实验:预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相 邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外 力偶矩Me。
3.3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒扭转时, 横截面上 任一点处的切应力t都是相 等的, 而其方向与圆周相切。 横截面上的内力与应力间 的静力关系为:
n
r0 x
t dA
Me
n
t dA r
A
0
t r0 dA t r0 2 r d T
A
对于薄壁圆筒, r可由平均半径r0代替。
M x 0, T M e 0
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图 扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果 以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离 开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
M2
M3
M1 n
A
M4
B
C
D
M2
M3
M1
扭转
119第十九章 扭转一 内容提要(一) 扭转的概念、扭转的计算1． 扭转及扭转角杆件在垂直于杆轴平面的一对大小相等、转向相反的力偶（受力特征）作用下，其横截面绕轴作相对转动（变形特征），这种变形称为扭转。
任意两截面间的相对转角φ，称为扭转角。
受扭转的圆截面杆称为圆轴。
2． 外力偶矩、扭矩及扭矩正负号规定当圆轴作匀角速转动时，主动轮、从动轮上各个外力偶矩之和应为零，即主动轮上的外力偶矩与各从动轮上的外力偶矩反向。
圆轴在外力偶矩作用下，横截面上产生的内力偶矩称为扭矩T 。
扭矩正负号规定：按右手螺旋法则，拇指离开截面的扭矩为正。
计算扭矩时截面上的扭矩总设为正。
3． 扭矩的计算仍采用截面法，或采用由截面法演变出来的简化方法直接计算扭矩T=∑m i即任意截面的扭矩等于该截面一侧脱离体上所有外力偶矩的代数和，总和号内的外力偶矩仍按右手法则，拇指离开截面的外力偶矩取正，反之取负。
(二) 纯剪切应力状态、剪应变单元体四个侧面上，只有剪应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状态。
扭矩在圆轴横截面上只产生剪应力。
用横截面、纵截面从受扭圆轴中取出的单元体属于纯剪切应力状态。
在剪应力作用下，单元体直角的改变量称为剪应变。
(三) 剪应力互等定理在单元体的两个互相垂直的截面上的剪应力总是数值相等，其方向均指向（或背离）此二垂直截面的交线，这就是剪应力互等定理。
注意 这个定理与材料性质、应力是否超过比例极限都无关。
(四) 剪切虎克定律剪应力在比例极限γρ内（或弹性范围内），剪应力与剪应变成正比，即 τ=G γ此即剪切虎克定律。
它是根据薄壁圆筒的扭转试验得出的（其形式与拉压虎克定律相似）。
剪切弹性模量G 表示材料抵抗剪切变形的能力；剪应变γ是直角的改变量，以弧度表示。
(五) 圆轴扭转时的应力、变形实心圆轴扭转时，横截面上的剪应力和变形（扭转角）公式都是在应用了平面假设和虎克定律之后，综合几何、物理、静力学三方面分析而导出的。
材料力学课件 扭转
x ＝ y
2020/3/22
17
5.3 纯剪切
剪应力互等定理：
单元体两个相互垂直的平面 上，垂至于两平面交线的剪 应力总是同时存在，且大小 相等，都指相（或都背离） 两平面的交线。
纯剪应力状态：
y
τy
d
a
τx
τx
x
dy
b
τy
z
dx
c
单元体平面上只有剪应力而无正应力，则称该单元
体为纯剪应力状态。
2020/3/22
4、扭矩图——扭转变形的内力图
➢扭矩图的作图步骤：
①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线； ②画纵坐标， “正在上，负在下”； ③标注正负号、值的大小及图形名称。
➢扭矩图的注意事项：
①多力偶作用时要分段求解，一律先假定为正方向；
②基线‖轴线，“正在上，负在下”，比例一致，封闭图形
③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力
19
思考题
指出下面图形的剪应变
剪应变为 α
2020/3/22
剪应变为 0
20
5.4 圆轴扭转时的应力和变形
前面推导得到：薄壁圆筒横截面 剪应力与扭矩之间的关系：
T 2R 2t
t——壁厚 R ——平均半径
τ
T
τ
剪应力沿壁厚均匀分布
2020/3/22
21
5.4 圆轴扭转时的应力和变形
一、圆截面杆受扭时横截面上的应力
值的大小，不带正负号；
④202阴0/3/2影2 线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。
8
例题：
例5-1： 已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别 为15、15、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。
《扭转》PPT课件
T
O
O
其中： A0 r02
Gg
……剪切胡克定律 （线弹性范围适用）
G为材料的剪切弹性模量
另外有：
G
E （2 1
）
扭转时的应力 强度条件
一、横截面上的应力 a
b
Me
1、变形几何关 系g
Me
T
g
O2
g
dj
T
dx
a
dx
b
g
dj
dx
2、物理关系(剪切虎克定律)
Gg
Gg
G
dj
dx
3、力学关系
mA
mB
mC
l
l
解： 1．扭转变形分析
AB段BC段的扭矩分别为：T1＝180 N·m， T2＝-140 N·m
设其扭转角分别为φAB和φBC，则：
AB
T1l GI
(180 N m)(2m)
(80 109 Pa)(3.0 105 10 12 m4 )
1.50 10 2 rad
BC
T2l GI
AB段的扭矩最大，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：
d
dx
T1 GI
(80
10 9
180 N m Pa)(3.0 105
10 12
m4
)
180 π
0.430 /m θ
该轴的扭转刚度符合要求。
圆轴扭转时横截面上的剪应力
例2:
已知：N＝7.5kW, n=100r/min,许用切应力＝
32ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Wp
d 3
16
Ip
32
D4 d 4
D4 (1 4 )
材料力学课件扭转
用率。所以空心轴的重量比实心轴轻。
但应注意过薄的圆筒受扭时容易发生皱折，
还要注意加上成本和构造上的要求等因素。
§3-5 扭转变形 扭转刚度计算
Ⅰ. 扭转时的变形
等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭
转角(相对角位移) 来度量。
Me
AD BC
Me
由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单 位长度扭转角)为 d T 可知，杆的相距 l
Wp1
πd13 16
,
Wp2
πD23 16
14
1,max
T1 Wp1
Me Wp1
16Me πd13
2,max
T2 Wp2
Me Wp2
16Me
πD23 1 4
2. 求D2/d1和二轴重量之比。
由1,max=2,max，并将 ＝0.8代入得
D2 d1
3
1 1 0.84
1.194
因为两轴的长度l 和材料密度 分别相同，所
斜截面 ef (如图)上的应力。
分离体上作用力的平衡方程为
F 0,
d A d Acos sin d Asin cos 0
F 0,
d A d Acos cos d Asin sin 0
利用 = '，经整理得
sin 2 , cos 2
sin 2 , cos 2
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得
r0 即
03扭转
第三章 扭转
Me
m
Me
Me
T
−M e
8
受扭杆件内力计算的例题
例3： ： 如图杆件，已知转速n=100r/min，输入功率 A=40kW， 如图杆件，已知转速 ，输入功率P ， 输出功率P 输出功率 B=PC=20kW，试绘制扭矩图。 ，试绘制扭矩图。 解： d A 1. 计算外力偶： 计算外力偶： B
T >0 T >0
T <0
T <0
第三章
扭转
4
受扭杆件内力计算的例题
M 例1： ： 如图杆件，已知M。 如图杆件，已知 。 试绘制扭矩图。 试绘制扭矩图。 注意： 注意： 图中各力偶都是外力偶； 图中各力偶都是外力偶； 各外力偶也可以用矢量表示： 各外力偶也可以用矢量表示： M M M 4M 2M
第三章
扭转
扭转的概念和实例 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 纯剪切 圆轴扭转时的应力 圆轴扭转时的变形 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 非圆截面杆扭转的概念 扭转超静定
第三章
扭转
1
第一节
扭转的概念和实例
γ ϕ
Me
扭转是杆件的基本变形之一。 扭转是杆件的基本变形之一。 M e 是杆件的基本变形之一
A
受力特点： 受力特点： 杆件受绕轴线旋转的力偶或力偶系的作用， 杆件受绕轴线旋转的力偶或力偶系的作用，这些力 偶的旋转平面都垂直于杆件的轴线。 偶的旋转平面都垂直于杆件的轴线。 变形特点： 变形特点： 横截面绕轴线旋转， 横截面绕轴线旋转，两截面间的相对角位移称扭转 角φ，杆件表面的纵向线段变形为螺旋线，与变形前 ，杆件表面的纵向线段变形为螺旋线， 平行于轴线）的夹角称为剪切角γ。 （平行于轴线）的夹角称为剪切角c'
扭转的概念和实例
第三章 扭 转§3.1 扭转的概念和实例§3.2 外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切§3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形§3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 非圆截面杆扭转的概念§3.1 扭转的概念和实例1．实例如：车床的光杆 反应釜的搅拌轴 汽车转向轴2．扭转：在杆件的两端作用等值，反向且作用面垂直于杆件轴线的一对力偶时，杆的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这种变形称为扭转变形。
§3.2 外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图1．M e 、m 、 P 之间的关系 M e ——外力偶矩（N ∙m ） n ——转速（r/min ）P ——功率（kW ）（1kW=1000N ∙m/s ）（马力）（1马力=735.5W ） 每秒钟内完成的功力P nM e 1000602 ·=π或P nM e 5.735602 ·=π{}{}{}{}{}{}min/7024min/kW9549..r n P M r n P M mN e m N e 马力==2．扭矩和扭矩图（1）截面法、平衡方程 ΣM x =0T-M e =0T =M e（2）扭矩符号规定：为无论用部分I 或部分II 求出的同一截面上的扭矩不但数值相同且符号相同、扭矩用右手螺旋定则确定正负号。
（3）扭矩图例1 主动轮A 输入功率P A =50kW ，从动轮输出功率P B =P C =15kW ，P D =20kW ，n =300r/min ，试求扭矩图. 解：（1）15913005095499549=⨯==n P M eA m N ⋅ mN 637mN 477300159549⋅=⋅=⨯==eD eC eB M M M （2）求TΣM x =0 T 1+M eB =0 T 1=-M eB =-477T 2-M eA +M eB =0 T 2=1115NT 3-M eD =0 T 3=M ed =63T例2 主动轮与从动轮布置合理性的讨论主动轮一般应放在两个从动轮的中间，这样会使整个轴的扭矩图分布比较均匀。
4 扭转 武汉理工大学 材料力学课件
O
dA
d GI p dx
Ip为横截面的极惯性矩 。
d T dx GI pBiblioteka T Ip33
应力分布
T Ip
（实心截面）
（空心截面）
34
[例4.4] 判别下面截面上剪应力分布是否正确。
T
T
T
T
a
√
b
c
d
×
×
×
35
三、等直圆杆扭转时的变形 1. 相对扭转角 ：
d t dx
z
在单元体相互垂直的两个截面上，剪应力必然成对 出现，且数值相等，两者都垂直于两个面的交线， 其方向则共同指向或共同背离该交线。 纯剪切应力状态——单元体的四个侧面上只有剪应 力而无正应力。
26
三、剪切虎克定律： 剪切虎克定律：当剪应力不超过材
料的剪切比例极限时（ ≤p)，剪
应力与剪应变成正比。
CD段 :
T3 m1 m2 m3 30 20 15 5kN m
4
15kNm
DE段 :
T4 m1 m2 m3 m4
T
30 20 15 10 15kN m
10kNm 30kNm
17
（2）画扭矩图
画熟后可不画坐标轴，但需注意以下几点：
定标出参考正向
参考正向
A
B
C
2kN· m
D
1kN· m
2kN· m
19
[练习1] 已知m0, 试求各段扭矩并画扭矩图。
D C B A 解：（1）求各段扭矩
2m0
m0 4m0 2m 2m00
m0
m m00
扭转
扭转
一.横截面上的应力
1.变形几何关系
Me dx a T
a
Me
dj
T
dx b dx
dj dx
dj dx
：切应变 ：横截面半径上任一点处的切应变。 ：表示相对扭转角沿杆长长度的变化率。
在同一半径的圆周上各点处的切应变均相同，且与半径成正比。
2. 物理关系(剪切虎克定律)
MB MC MA MD
B
C A
D
解：计算外力偶矩
M
A
9550 M
PA n
1592 N m PB n 477 . 5 N m
M
B
C
9550 PD n
M
D
9550
637 N m
二、扭矩及扭矩图
扭转
1.横截面上的内力：扭矩(T ) 2.扭矩确定方法：截面法(计算方法同轴力) 3.扭矩图：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。 例2
+
T CA M T AD M
955 N m M
A
637 N m
637N· m
作扭矩图如左图示。
扭转
第四节 等直圆杆在扭转时的应力 强度条件
一.横截面上的应力 平面假定 物性关系
变
形
应变分布
应力分布
静力方程
应力公式
第四节
等直圆杆在扭转时的应力 强度条件
b O2
dj
4 4
D
4 4
由强度条件：
max
T max WP
97 . 5 M Pa [ ]
故轴的强度满足要求。 若将空心轴改成实心轴，仍使 max
扭转
d
BB R dx Rd
R
bb dx d
d dx
d R dx
R
B
B
D
C
C
d 对同一横截面 dx 为一常量,单位长度上的相对 d
扭转角,用θ表示，即：
θ＝
dx
２、物理关系
G (b)沿周向
d G dx
一般机械
Tmax 180o o GI P
o
o m
精密机械
0.5 ~ 1.0o m o 0.25 ~ 0.5o m
例：已知：mc 4.5KNm
o 60MPa
d1 70mm d 2 55mm l1 1m l2 1.5m G 80GPa
s
R
R
s
残余应力： τ (0)= τs τ (R)= -τs/3
2 3 R s 扭矩的塑性极限： Tp 2ds 3 0
R
mA
mc
mB
3.59
T ( KN m)
0.91
m I l A P 1 2 m Al1 mB l2 则 GI P1 GI P 2 0 mB I p 2 l1 解得： mA 3.59KNm mB 0.91KNm
2、强度
A
3.59
C T1 mA 53.3MPa AC段： max 1 W p1 d 3 1 16 BC段： max 2 T2 mB 27.9MPa max 2 1 WP 2 3 d 2 16 安全
[ N ] [m] 1KW 1000 [ s] , n m 2 P 1000 60
扭转
max C
T3 16 185.7 21.98MPa 3 -9 WP 3 π 35 10
2、计算各轴的扭矩 T1 1114 Nm T2 557 Nm
T3 185.7 Nm
T IP
max
Tr IP T WP
IP WP r
扭转截面系数
max
I p与 Wt 的计算
实心轴
T Ip
max
T Wt
Wt I p / R
1 D3 16
空心轴
则 令
Wt I p /( D / 2)
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
纯剪切
采用截面法将圆筒截开，横截面 上分布有与截面平行的切应力。由于 壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀 分布。
切应力互等定理
由平衡方程
Me 2 r r
，得 0 M
z
Me 2 r 2
'
切应力互等定理：
在相互垂直 的两个平面上， 切应力必然成对 存在，且数值相 等；两者都垂直 于两个平面的交 线，方向则共同 指向或共同背离 这一交线。
工 程 力 学
(Engineering Mechanics)
六盘水师范学院
矿业工程系
第七章
扭 转
本章主要内容
一、扭转的概念及外力偶矩的计算
二、扭转时的内力
三、圆轴扭转时的应力和强度计算
四、圆轴扭转时的变形和刚度计算
7.1 扭转的概念及外力偶矩的计算
工 程 实 例
实例
汽车传动轴
实例
汽车方向盘
扭转共22页
扭矩一致。
d
T
Ip
4. 外圆周处剪应力达到最大，
max
T m a x
Ip
TR Ip
T Ip / R
T Wp
扭转截面系数
max
T Wp
d
O
dA2πd
d
Ip
2dA
A
22(2πd)
0
矩图。
功率守恒
解： 1) 计算作用在各轮上的外力偶矩
M2
M3
M1
M4
A
B
C
D
M1
9.55
P1 n
9.55
500 300
=15.92kN·m
4.78 1
4.78
15.92
2
3
6.36
A
1B
2C
3
D
4.78
A
1
T1 x 1 扭矩
Mx 0 4.78 +T1 = 0
T14.7k 8N m
符号：力偶矢离开截面为正
纵向线倾斜了同一个角度g ，表面上所有矩形
均变成平行四边形。
(a)
Me
Me
(b)
平面假设
等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一 样绕杆的轴线转动。
推论： 横截面上没有正应力产生 杆的横截面上只有作用在横截面内的切应力
Me
Me
切应力互等定理
g
τ
即 p时 Eg
剪切胡克定律： g
G
3
1
1 4
3
03扭转
解得： sin2 ; cos2
31
分析：
sin2 ; cos2
当 = 0°时， 0 0 , 0 max 当 = 45°时， 45 min , 45 0
当 = – 45°时， 45 max , 45 0
当 = 90°时， 90 0 , 90 max
d
dx
T GI p
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角为
d
l
0
T GIp
dx
Tl GIp
(若T 值不变）
35
二、单位长度扭转角 ：
d
dx
T GI p
(rad/m)
或
d
dx
T GI p
180
(/m)
GIp 反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称
为圆轴的抗扭刚度。
三、刚度条件
或
T
max
max
WP
② 设计截面尺寸：
WP
Tmax
[ ]
([] 称为许用剪应力。)
WP
实空：：1DD63（3 116
4）
③ 计算许可载荷： Tmax WP[ ]
33
[例2] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，
许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。
m
m
解：①求扭矩及扭矩图
A T
石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线
垂直，杆发生的变形为扭转变形。
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
剪应变（）：直角的改变量。
A
B
O
A
O
B
m
m
扭转
R
= τ
max
Tn ⋅ R = Ip
令 Wp =
代入，得：
τ max
T = Wp
截面抗扭系数
求解截面极惯性矩 I p 1 实心圆轴
ρ
dρ dA = 2πρ d ρ
I p = ∫ ρ 2 ⋅ dA
A
= 2π ∫ ρ 3d ρ
0
R
=
πR
2
4
=
πD
32
4
Ip =
Wp =
πD
32
Ip R
4
≈ 0.1D 4
3、扭矩的计算 、 例2、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 、 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各段轴上所受的扭矩。
MB
1
MC
2
MA
3
MD
1
B C
2
A
3
D
解： 根据例1的计算结果可知各轮上的外力偶矩分别为：
M M M
20kN.m
10kN.m
30kN.m
10kN.m
30kN.m
20kN.m
20kN.m
10kN.m 20kN.m 30kN.m
扭矩图
5kN.m 5kN.m A B C
10kN.m
扭矩 5kN.m
5kN.m
扭矩图
X轴 轴
15kN 25kN A B C
10kN
15kN 15kN A B
10kN C
10kN
式中： 式中： α = d
d和D分别为空心圆截面的外径和内径。
二、强度条件 同拉伸和压缩的强度计算类似，圆轴扭转时的强度要求仍 然是：
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4 扭转4.1概述在工程中扭转变形最典型的例子是传动轴。
传动轴在转动平衡中将主动轮的输入功率通过轴的扭转变形传输给从动轮。
另外，土木结构中带有挑治的边梁，也会承受扭转力偶矩的作用而发生扭转变形，如图4-1所示。
图4-2所示的是钻操时的钻杆。
钻杆底端的时钻头，用来切割岩石，岩石被切割时对钻头的作用合力是一力偶，该力偶矩将使钻杆发生扭转变形，同时钻杆工作时，井壁的阻力构成作用在钻杆上延长线分布的力偶矩。
第一个要讨论的问题是，发生扭转变形的杆件，通常被称为轴。
由于扭转变形受力的轴对称性，因此，传动轴、钻杆等以扭转变形为主的杆件常常采用圆形截面或空心圆形的截面形式。
第二个要讨论的问题是受扭转的杆件其受力性状不同，可以划分为自由扭转和约束扭转。
所谓约束扭转是通过固定在杆两端的刚性平板而对杆件施加扭转力偶矩的作用，即在杆的两端有刚性平面的约束。
而自由扭转则反之。
对于圆形或空心圆形截面的轴而言，约束扭转和自由扭转的结果没有区别，而其他截面的杆，例如矩形截面或T 形截面，自由扭转和约束扭转的结果就有显著的区别。
图4-3所示的是矩形截面杆自由扭转和约束扭转两者发生扭转变形的比较。
传动轴在传动过程中能量损失不计，即主动轮的输入功率完全由从动轮输出。
根据机械能的转化和守恒原理有t n m t P ⋅⋅=⋅602π （4-1） 这里，P 是轮子的输入或输出功率，其单位为)/(s m N W ⋅，m 是作用在该轮的外力偶矩，单位是m N ⋅。
4.2扭矩和扭矩图当作用在轴的所有的外力偶矩为已知时，可以用截面法来分析轴横截面的内力，很容易知道该内力为内力偶矩。
我们称之为扭矩，用T 表示。
扭矩的符号规定采用右手法则，即四指指向为扭矩的转动方向，当拇指指向截面外法线方向时，扭矩为正，反之为负。
如图4-4所示。
截面上的扭矩可以是随截面位置而变化的，用图形反应这种变化，那么该图形叫做扭矩图。
例 4.1计算图示传动轴上作用在各轮处的外力偶矩，分析各段扭矩并做扭矩图其次用截面法分析CD BC AB 和,各段轴截面的扭矩。
m 1=100N •mm 2=200N •m m 3=150N •m m 4=150N •m(a)m 1(b)2m 1m 2(c) (d)m 4在AB 段取一个截面1-1的左侧一部分轴为研究对象，如图（b ），根据研究对象的转动平衡条件，m N m T ⋅==10011在BC 段取一个截面2-2的左侧一部分轴为研究对象，如图（c ），根据研究对象的转动平衡条件，m N m m T ⋅=+=300212在CD 段取一个截面3-3的右侧一部分轴为研究对象，如图（d ），根据研究对象的转动平衡条件，m N m T ⋅==15043第三，做扭矩图。
由于1-1截面是AB 段的任意一截面，从而AB 段各截面的扭矩应该都等于1T ，同样BC 段各截面的扭矩应该都等于2T ，而CD 各截面的扭矩应该都等于3T 。
于是可以做该轴的扭矩图，如图（e ）所示。
由该轴扭矩图我们可以知道，m N T T⋅==3002max如图将主动轮0P 与从动轮2P 调换一下位置，重复以上工作，CD BC AB 和,各段的扭矩分别为m N T ⋅=1001 m N T ⋅-=502 m N T ⋅=1503，如图（f ）所示，可以知道m N T ⋅=150max从以上这个讨论中，我们知道，如果可以合理地布置主动轮和从动轮的位置。
即就可以降低轮上绝对值最大的扭矩，后面还可以知道，使轴的绝对值最大的扭矩值降低，就可以提高轴的强度和刚度。
4.3.薄壁圆筒的扭转图示4-6，平均半径为0R ，壁厚度为t ，当0R >>t 时的空心圆截面，我们就定义为薄壁圆筒。
薄壁圆 筒的计算结果是近似的，其误差取决于0R 和t 的比值。
（理论上t R /0越大计算精度越高）当8/0≥t R 时，通常P 应满足工程计算中精度的要求。
x(e)T 3(f)τ分析薄壁圆筒横截面上的应力时，由于其受力和变形的轴对称性质，首先可以假定横截面上没有正应力。
这是因为在扭转变形发生过程中，薄壁圆筒表面没有变化。
如果横截面存在正应力，则必使薄壁圆筒面一定变化。
其次，假定横截面上的剪应力方向与径向垂直，如果横截面上的剪应力与径向不垂直，即有径向剪应力分量。
其作用结果必然使变形失去轴对称性质，这与实验结果不相符。
第三，由于t 很小,可以假定横截面上的剪应力在厚度方向上均匀分布而无变化．以上三个假定，前两个得到了的理论和实验的证明，第三个假定是与实际不相符合的．主要是为计算方便，在后面的内容里也讨论了按薄壁圆筒面计算时带来的误差．根据以上假定很容易得出,从而tR T202πτ=（４－３） 在薄壁圆筒中取出一单元体，根据剪应力互等定理，其应力情况如图4-7所示。
在剪应力τ的作用下，单元体发生了变形，如图4-7（b ）所示.后来的直角改变了,直角的改变量就是单元体的剪应变.通常薄壁圆筒的扭转实验,我们可以得到各种材料的剪应力τ和相应剪应变γ方向的关系.γτ-的关系曲线如图4-8所示,对于大多数材料而言.τ不是很大时,即p ττ≤时,τ和γ之间是线性的关系,这个极限剪应力p τ叫做剪切比例极限,γτ-的线性关系可以写成(4-4)式中,τ和γ的比例常数G 3个弹性常数,即弹性模量E.剪切弹性模量G 和泊松比υ. (4-5)4.4圆轴扭转时横截面上的应力为了研究圆轴扭转时横截面上的应力，首先要对圆轴试件进行扭转实验。
为了观察圆轴扭转时受变形的规律，在试件受扭前,在试件的表面上画出相等的矩形网格，即在试件的表面画一些和轴线平行的纵向线和横向线，这些横向线和纵向线将试件表面划分成若干个网格。
如果横向线的间距相等，而纵向线间的距离也相等，那么这些矩形网格就是相等的。
扭转实验的现象可以归结为如下 1. 原来相互平行的纵向线扭曲成螺旋曲线且始终保持平行,相对于原来的位置有一个共同的倾斜角度. 2. 横向线即横截面的轮廓线发生了相对转动.单一一条横截面的轮廓线始终在同一平面内,在扭转变形的过程中,横向线间的距离保持不变. 3. 矩形网格成为平行四边形网格.如果将试件表面展开的话,原来相等的矩形网格有相同的变化. 4. 圆轴试件的材料、几何尺寸和受到扭力偶矩确定后,扭转变形的程度量是确定的. 几何分析根据前述的实验现象,可以做如下的假定和结论.第一,圆轴扭转变形沿轴线和圆周线两个方向上是均匀的,这也是圆轴扭转受力和变形的轴对称性, 第二,圆轴扭转变形过程中横截面上不会发生正应力,这一点很容易从实验现象中得到证明.第三,横截面上有剪应力,但剪应力的方向是与径向垂直的,即横截面上的剪应力没有径向方向的分量.这一点是与圆轴扭转变形的轴对称性质相一致.第四,圆轴扭转过程中,可以认为各横截面始终保持平面.各横截面间的相对转动现象如中性面之间的相对转动一样.这一点很容易定性地给以证明.圆轴扭转时,首先我们实验中可以观察到两端截面始终保持为平面.由于变形的轴对称性.平分两段轴的截面是对称面,也就一定保持为平面.弹性力学可以进一步从理论上对圆轴扭转的平面假设给予证明.根据以上的分析,现在我们从圆轴中截取出一微段长度的楔形体,如图4-9所示.图中1OO 是圆轴的轴 线段,长度取为dx,1AA 和1BB 是轴心角为d α的两段纵向线,图4-9(b)为截面相对OAB 截面发生相对转动后的情况. 设两截面间相对转动角度为φd .现在考察OAB 截面OA 半径上到形心O 为ρ的一点C,为了研究C 点的剪应变,我们取C CDD 1这个矩形单元的变化.很容易知道,该矩形变化后成为''11C CDD .'11C C =φρd ⋅于是C 点处于直角CD C 1的改变为=ρr dxC C '11=dx d φρ=ρdx d φ. 由于扭转变形沿长线方向的均匀性有dx d φ=lφ=常量. 式中φ为两端截面相对的转动角度.l 是两端截面的距离,即轴的长度.由实验现象可知=dxd φl φ且为常量.再根据扭转变形的轴对称性, 我们得到横截面上的剪应变的分布规律,即剪应变沿半径方向是线性的,形心处的剪应为零而最外边的剪应变最大.圆轴扭转基本公式考虑到受扭圆轴正常工作时,轴内最大剪应力不会超过剪切比例极限.即有ρτ=G ρr （4-6）我们就很容易知道剪应力在圆轴横截面上的分布规律(如图4-10所示).剪应力沿半径方向线性变化.形心处剪应力为零而最外边缘各点有最大剪应力.就是ρτ=G ργ=ρGdxd φ. 截面内的剪应力的合成结果是截面上的扭矩,在距形心为ρ处取微小面积dA ,则dA 上的剪应力合力为ρτdA =ρGdA dxd φ. 该合力对形心的力矩为dA dxd GdA dT φρρτρ2=⋅=. 进而 ⎰=AdT T =dA dx d G Aφρ⎰2=G dA dx d A⎰2ρφ. （4-7） 我们dA I A⎰=2ρρ,则有dx d φ=ρGI T这里,ρI 叫做截面的极惯性矩.有时简称为极惯矩是由截面的几何尺寸决定的,是截面常量.我们将式(4-7)称为圆轴扭转时的基本公式.将式(4-7)代入到剪应力和剪应变的分布规律中,有ρτρρ⋅=I T. （4-8）ργρρ⋅=GI T（4-9） 这里我们将ρGI 叫做截面的抗扭截面系数,从而我们有0=ρρτ=0.ρρρρττW TD I T D =⋅===2max 2/ (4-10) 这里我们将2D I W ρρ=,叫做截面抗扭系数,也是由截面几何尺寸所决定的一个常量. 这里考虑最一般的情形,即空心圆截面.设外径为D 内径为d,外径和内径之比为α,即dD =α.如图(4-11)所示.取面积微小之dA 为圆环,于是)1(32)(32244442222αππρπρρρρ-=-===⎰⎰D d D d dA I DDA进而,抗扭截面系数为,)1(16243απρρ-==D D I W ; (4-11) 对于实心圆,就是相当于d=0或0=α的情况. 图4-11圆轴扭转时的强度计算我们可以通过实验确定各种材料的极限剪应力n τ,对于有些材料,n τ可以是剪切比例极限ρτ.为了强度方面的等效性.我们建立如下强度条件[]τττ=≤nnmax 式中,n 是大于是1的函数,[]τ叫做许用剪应力.对于安全系数n,由轴的工作性质,材料等多方面综合确定.对于特定的轴，安全系数通常为已知. 根据强度条件.我们可以做3个方面的强度计算.第一,强度校核,已知圆轴,即已知圆轴的材料,内外直径和许用剪应力,又已知圆轴的扭矩,我们就可以通过计算确定轴内的max τ.进而对圆轴的强度进行校核.第二,截面设计.已知圆轴材料的许用应力,也已知圆轴的扭矩,设计计算圆轴的截面,即公式[]τρTW ≥,进而由ρW 确定内外直径.第三,确定承载力。