扭转00

4 扭转

4.1概述

在工程中扭转变形最典型的例子是传动轴。传动轴在转动平衡中将主动轮的输入功率通过轴的扭转变形传输给从动轮。另外，土木结构中带有挑治的边梁，也会承受扭转力偶矩的作用而发生扭转变形，如图4-1所示。

图4-2所示的是钻操时的钻杆。钻杆底端的时钻头，用来切割岩石，岩石被切割时对钻头的作用合力是一力偶，该力偶矩将使钻杆发生扭转变形，同时钻杆工作时，井壁的阻力构成作用在钻杆上延长线分布的力偶矩。

第一个要讨论的问题是，发生扭转变形的杆件，通常被称为轴。由于扭转变形受力的轴对称性，因此，传动轴、钻杆等以扭转变形为主的杆件常常采用圆形截面或空心圆形的截面形式。

第二个要讨论的问题是受扭转的杆件其受力性状不同，可以划分为自由扭转和约束扭转。所谓约束扭转是通过固定在杆两端的刚性平板而对杆件施加扭转力偶矩的作用，即在杆的两端有刚性平面的约束。而自由扭转则反之。对于圆形或空心圆形截面的轴而言，约束扭转和自由扭转的结果没有区别，而其他截面的杆，例如矩形截面或T 形截面，自由扭转和约束扭转的结果就有显著的区别。图4-3所示的是矩形截面杆自由扭转和约束扭转两者发生扭转变形的比较。

传动轴在传动过程中能量损失不计，即主动轮的输入功率完全由从动轮输出。根据机械能的转化和守恒原理有

t n m t P ⋅⋅=⋅602π （4-1） 这里，P 是轮子的输入或输出功率，其单位为)/(s m N W ⋅，m 是作用在该轮的外力偶矩，单位是m N ⋅。 4.2扭矩和扭矩图

当作用在轴的所有的外力偶矩为已知时，可以用截面法来分析轴横截面的内力，很容易知道该内力为内力偶矩。我们称之为扭矩，用T 表示。扭矩的符号规定采用右手法则，即四指指向为扭矩的转动方向，当拇指指向截面外法线方向时，扭矩为正，反之为负。如图4-4所示。

截面上的扭矩可以是随截面位置而变化的，用图形反应这种变化，那么该图形叫做扭矩图。

例 4.1计算图示传动轴上作用在各轮处的外力偶矩，分析各段扭矩并做扭矩图其次用截面法分析

CD BC AB 和,各段轴截面的扭矩。

m 1=100N •m

m 2=200N •m m 3=150N •m m 4=150N •m

(a)

m 1

(b)

2

m 1

m 2

(c) (d)

m 4

在AB 段取一个截面1-1的左侧一部分轴为研究对象，如图（b ），根据研究对象的转动平衡条件，

m N m T ⋅==10011

在BC 段取一个截面2-2的左侧一部分轴为研究对象，如图（c ），根据研究对象的转动平衡条件，

m N m m T ⋅=+=300212

在CD 段取一个截面3-3的右侧一部分轴为研究对象，如图（d ），根据研究对象的转动平衡条件，

m N m T ⋅==15043

第三，做扭矩图。由于1-1截面是AB 段的任意一截面，从而AB 段各截面的扭矩应该都等于1T ，同样BC 段各截面的扭矩应该都等于2T ，而CD 各截面的扭矩应该都等于3T 。于是可以做该轴的扭矩图，如图（e ）所示。

由该轴扭矩图我们可以知道，m N T T

⋅==3002max

如图将主动轮0P 与从动轮2P 调换一下位置，重复以上工作，CD BC AB 和,各段的扭矩分别为

m N T ⋅=1001 m N T ⋅-=502 m N T ⋅=1503，如图（f ）所示，可以知道m N T ⋅=150max

从以上这个讨论中，我们知道，如果可以合理地布置主动轮和从动轮的位置。即就可以降低轮上绝对值最大的扭矩，后面还可以知道，使轴的绝对值最大的扭矩值降低，就可以提高轴的强度和刚度。 4.3.薄壁圆筒的扭转

图示4-6，平均半径为0R ，壁厚度为t ，当0R >>t 时的空心圆截面，我们就定义为薄壁圆筒。薄壁圆 筒的计算结果是近似的，其误差取决于0R 和t 的比值。（理论上t R /0越大计算精度越高）当8/0≥t R 时，通常P 应满足工程计算中精度的要求。

x

(e)

T 3

(f)

τ

分析薄壁圆筒横截面上的应力时，由于其受力和变形的轴对称性质，首先可以假定横截面上没有正应力。这是因为在扭转变形发生过程中，薄壁圆筒表面没有变化。如果横截面存在正应力，则必使薄壁圆筒面一定变化。

其次，假定横截面上的剪应力方向与径向垂直，如果横截面上的剪应力与径向不垂直，即有径向剪应力分量。其作用结果必然使变形失去轴对称性质，这与实验结果不相符。

第三，由于t 很小,可以假定横截面上的剪应力在厚度方向上均匀分布而无变化．

以上三个假定，前两个得到了的理论和实验的证明，第三个假定是与实际不相符合的．主要是为计算方便，在后面的内容里也讨论了按薄壁圆筒面计算时带来的误差．

根据以上假定很容易得出,从而

t

R T

202πτ=

（４－３） 在薄壁圆筒中取出一单元体，根据剪应力互等定理，其应力情况如图4-7所示。在剪应力τ的作用下，单元体发生了变形，如图4-7（b ）所示.后来的直角改变了,直角的改变量就是单元体的剪应变.

通常薄壁圆筒的扭转实验,我们可以得到各种材料的剪应力τ和相应剪应变γ方向的关系.γτ-的关系曲线如图4-8所示,对于大多数材料而言.τ不是很大时,即p ττ≤时,τ和γ之间是线性的关系,这个极限剪应力p τ叫做剪切比例极限,γτ-的线性关系可以写成

(4-4)

式中,τ和γ的比例常数G 3个弹性常数,即弹性模量E.剪切弹性模量G 和泊松比υ. (4-5)

4.4圆轴扭转时横截面上的应力

为了研究圆轴扭转时横截面上的应力，首先要对圆轴试件进行扭转实验。

为了观察圆轴扭转时受变形的规律，在试件受扭前,在试件的表面上画出相等的矩形网格，即在试件的表面画一些和轴线平行的纵向线和横向线，这些横向线和纵向线将试件表面划分成若干个网格。如果横向线的间距相等，而纵向线间的距离也相等，那么这些矩形网格就是相等的。

扭转实验的现象可以归结为如下 1. 原来相互平行的纵向线扭曲成螺旋曲线且始终保持平行,相对于原来的位置有一个共同的倾斜

角度. 2. 横向线即横截面的轮廓线发生了相对转动.单一一条横截面的轮廓线始终在同一平面内,在扭转

变形的过程中,横向线间的距离保持不变. 3. 矩形网格成为平行四边形网格.如果将试件表面展开的话,原来相等的矩形网格有相同的变化. 4. 圆轴试件的材料、几何尺寸和受到扭力偶矩确定后,扭转变形的程度量是确定的. 几何分析

根据前述的实验现象,可以做如下的假定和结论.

第一,圆轴扭转变形沿轴线和圆周线两个方向上是均匀的,这也是圆轴扭转受力和变形的轴对称性, 第二,圆轴扭转变形过程中横截面上不会发生正应力,这一点很容易从实验现象中得到证明.

第三,横截面上有剪应力,但剪应力的方向是与径向垂直的,即横截面上的剪应力没有径向方向的分量.这一点是与圆轴扭转变形的轴对称性质相一致.

第四,圆轴扭转过程中,可以认为各横截面始终保持平面.各横截面间的相对转动现象如中性面之间的相