高中物理公式大全(全集) 八、动量与能量

八、动量与能量

1．动量 2．机械能

1．两个“定理”

（1）动量定理：F ·t =Δp 矢量式 (力F 在时间t 上积累，影响物体的动量p )

（2）动能定理：F ·s =ΔE k 标量式 (力F 在空间s 上积累，影响物体的动能E k )

动量定理与动能定理一样，都是以单个物体为研究对象．但所描述的物理内容差别极大．动量定理数学表达式：F 合·t =Δp ，是描述力的时间积累作用效果——使动量变化；该式是矢量式，即在冲量方向上产生动量的变化．

例如，质量为m 的小球以速度v 0与竖直方向成θ角

打在光滑的水平面上，与水平面的接触时间为Δt ，弹起

时速度大小仍为v 0且与竖直方向仍成θ角，如图所示．则

在Δt 内：

以小球为研究对象，其受力情况如图所示．可见小球

所受冲量是在竖直方向上，因此，小球的动量变化只能在

竖直方向上．有如下的方程：

F ′击·Δt -mg Δt =mv 0cos θ-（-mv 0cos θ）

小球水平方向上无冲量作用，从图中可见小球水平方向动量不变．

综上所述，在应用动量定理时一定要特别注意其矢量性．应用动能定理时就无需作这方

面考虑了．Δt 内应用动能定理列方程：W 合=m υ02/2－m υ02 /2 =0

2．两个“定律”

（1）动量守恒定律：适用条件——系统不受外力或所受外力之和为零

公式：m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1′+m 2v 2 ′或 p =p ′

（2）机械能守恒定律：适用条件——只有重力（或弹簧的弹力）做功

公式：E k2+E p2=E k1+E p1 或 ΔE p = －ΔE k

3．动量守恒定律与动量定理的关系

一、知识网络

二、画龙点睛 规律

动量守恒定律的数学表达式为：m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1′＋m 2v 2′

，可由动量定理推导得出． 如图所示，分别以m 1和m 2为研究对象，根据动量定理：

F 1Δt = m 1v 1′- m 1v 1 ①

F 2Δt = m 2v 2′- m 2v 2 ②

F 1=-F 2 ③

∴ m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1′＋m 2v 2

′ 可见，动量守恒定律数学表达式是动量定理的综合解．动

量定理可以解决动量守恒问题，只是较麻烦一些．因此，不能

将这两个物理规律孤立起来．

4．动能定理与能量守恒定律关系——理解“摩擦生热”(Q =f ·Δs )

设质量为m 2的板在光滑水平面上以速度υ2运动，质量为m 1的物块以速度υ1在板上同向运动，且υ1＞υ2，它们之间相互作用的滑动摩擦力大小为f ，经过一段时间，物块的位移为s 1，板的位移s 2，此时两物体的速度变为υ′1和υ′2由动能定理得：

-fs 1=m 1υ1′2/2－m 1υ12/2 ①

fs 2=m 2υ2′2/2－m 2υ22/2 ②

在这个过程中，通过滑动摩擦力做功，机械能不断

转化为内能，即不断“生热”，由能量守恒定律及①②

式可得：

Q =(m 1υ12/2+m 2υ22/2)－(m 1υ1′2/2－m 2υ2′2/2)=f (s 1－s 2)= f ·Δs ③ 由此可见，在两物体相互摩擦的过程中，损失的机械能（“生热”）等于摩擦力与相对位移的乘积。

特别要指出，在用Q = f ·Δs 计算摩擦生热时，正确理解是关键。这里分两种情况：

（1）若一个物体相对于另一个物体作单向运动，Δs 为相对位移；

（2）若一个物体相对于另一个物体作往返运动，Δs 为相对路程。

5.

相互作用中的动量与能量，三类碰撞中能量的变化： (1)

(2) 设两物体发生完全弹性碰撞，其中m 1以v 1匀速运动，m 2静止。 据⎪⎩⎪⎨⎧++=+=''''22221121122111121212

1v m v m v m v m v m v m 可得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+='+-='2112121212m m m v m m m m v 讨论：(a)当m 1＞m 2时，v 1′与v 1方向一致；

(b)当m 1=m 2时，v 1′=0,v 2′=v 1，即m 1与m 2交换速度

(c)当m 1＜m 2时，v 1′反向，v 2′与v 1同向。

(3)非完全弹性碰撞：为一般情况，只有动量守恒，机械能有损失，损失量不最大，亦不最小。

6． 功和能的关系

例题： 质量为M 的楔形物块上有圆弧轨道，静止在水平面上。质量为m 的小球以速度v 1向物块运动。不计一切摩擦，圆弧小于90°且足够长。求小球能上升到的最大高度H 和物块的最终速度v 。解析：

解析：系统水平方向动量守恒，全过程机械能也守恒。

在小球上升过程中，由水平方向系统动量守恒得：()v m M mv '+=1

由系统机械能守恒得：()mgH v m M mv +'+=2212121 解得()g

m M Mv H +=221 全过程系统水平动量守恒，机械能守恒，得1

2v m M m v += 本题和上面分析的弹性碰撞基本相同，唯一的不同点仅在于重力势能代替了弹性势能。

例题：动量分别为5kg ∙m/s 和6kg ∙m/s 的小球A 、B 沿光滑平面上的同一条直线同向运动，A 追上B 并发生碰撞后。若已知碰撞后A 的动量减小了2kg ∙m/s ，而方向不变，那么A 、B 质量之比的可能范围是什么？

解析：A 能追上B ，说明碰前v A >v B ,∴B

A m m 65>；碰后A 的速度不大于

B 的速度，

B A m m 83≤；又因为碰撞过程系统动能不会增加， B

A B A m m m m 282326252222+≥+，由以上不等式组解得：7

483≤≤B A m m 此类碰撞问题要考虑三个因素：①碰撞中系统动量守恒；②碰撞过程中系统动能不增加；③碰前、碰后两个物体的位置关系（不穿越）和速度大小应保证其顺序合理。

例题：设质量为m 的子弹以初速度v 0射向静止在光滑水平面上的质量为M 的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d 。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。

解析：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。

从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：

()v m M mv +=0

从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f ，设子弹、木块的位移大小分别为s 1、s 2，如图所示，显然有s 1-s 2=d 对子弹用动能定理：22012

121mv mv s f -=⋅ ……① 对木块用动能定理：2221Mv s f =

⋅ ……② ①、②相减得：()()

2022022121v m M Mm v m M mv d f +=+-=⋅ ……③ 这个式子的物理意义是：f ∙d 恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见Q d f =⋅，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积（由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位移）。

由上式不难求得平均阻力的大小：()d

m M Mmv f +=220 至于木块前进的距离s 2，可以由以上②、③相比得出：d m

M m s +=2 从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。由于子弹和木块都在恒力