常见曲面

目录第三章常见曲面 (51)本章内容简介 (51)§1 球面和旋转曲面 (52)1.1球面的一般方程 (52)1.2 球面的参数方程. 空间中点的球面坐标 (52)1.3曲面、曲线的一般方程和参数方程 (53)1.4 旋转面 (54)§2 柱面和锥面 (57)2.1柱面的定义和方程 (57)2.2圆柱面. 空间中点的柱面坐标 (58)2.3 母线平行于坐标轴的柱面 (60)2.4锥面的定义和方程 (61)2.5圆锥面 (62)2.6锥面与齐次方程 (63)§3 二次曲面 (63)3.1椭球面 (63)3.2-1 单叶双曲面 (64)3.2-2双叶双曲面 (66)3.3-1 椭圆抛物面 (68)3.3-2双曲抛物面 (69)3.4二次曲面的种类 (70)§4 直纹面 (70)§5 曲面的交线，曲面所围成的区域 (74)5.1 画空间图形常用的三种方法 (74)5.2空间曲线的射影柱面 (75)5.3 曲面围成的区域 (77)第三章 常 见 曲 面本章内容简介内容：介绍一些在多元微积分中常常遇到的曲面：柱面；锥面；旋转面；二次曲面；直纹面 难点：单叶双曲面和双曲抛物面上的直母线 计划学时：16学时，其中习题课4学时这一章介绍一些在多元微积分中常常遇到的曲面，了解这些曲面的名称，方程和形状. 在图形与方程中提到，空间曲面S 一般都可以被描述为一个3元函数(,,)F x y z 的零点集，即{(,,)|(,,)0}S x y z F x y z ==. 这个方程称为曲面S 的一般方程. 也就是说，0000(,,)M x y z S ∀∈，有000(,,)0F x y z =；反之，若三元有序数组000(,,)x y z 满足方程000(,,)0F x y z =，则0000(,,)M x y z S ∈. 简而言之，曲面上的点都满足方程，满足方程的点都在曲面上. 自然，先要取定一个坐标系[;,,]O i j k.如果函数(,,)F x y z 是多项式，那么由方程(,,)0F x y z =定义的曲面称为代数曲面(algebraic surface)，否则称为超越曲面(transcendental surface). 多项式(,,)F x y z 的次数称为代数曲面的次数(degree). 解析几何研究的是一次与二次代数曲面. 高次代数曲面是代数几何的研究对象，而超越曲面则是微分几何的研究对象.本章第1，2节是从曲面的形状特点出发，导出这些曲面的方程. 第3节是从已知的二次方程出发，去研究曲面的形状. 第4节研究二次曲面中由直线组成的曲面，即二次直纹面. 所谓直纹面就是一个单参数直线族{|}t L t I ∈构成的曲面t t I S L ∈= ，其中I 是一个区间(有限或无限区间，开或闭区间).为了保证图形不失真，本章所用到的坐标系都是右手直角坐标系.§1 球面和旋转曲面1.1 球面的一般方程根据两点距离公式可知球心在0000(,,)M x y z ，半径为R 的球面(sphere)方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=. (3.1)展开后得到一个三元二次代数方程2221232220x y z b x b y b z c ++++++=. (3.2)其中22221020300002,2,2,b x b y b z c x y z R =-=-=-=++-. 上面两个方程都是球面的一般方程. 它的特点是没有交叉项(即,,xy xz yz 项)，平方项的系数相等(非零).反之，三元二次方程(3.2)的左边通过配方化为同解的方程222222123123()()()x b y b z b b b b c +++++=++-.当2221230b b b c ++->时，它是一个球心在123(,,)b b b ---当2221230b b b c ++-=时，它是一个点(,,)a b c ---，可看作半径为0的球面，叫做点球面；当2221230b b b c ++-<时，原方程没有实数解，不表示实图形.的虚球面(imaginary sphere).1.2 球面的参数方程. 空间中点的球面坐标现在求球心在原点，半径为R 的球面2S 的参数方程. 除了南极S 和北极N 之外，球面2S 上每一点M 可以用经纬度(,)ϕθ作为参数．设(,,)M x y z 是球面2S 上任意一点，则M 的坐标满足22222()z R x y R =-+≤．当z R ≠±即(0,0,)M R ≠±时，22220x y R z +=->． 令(,,0)P x y 为M 在xOy 平面上的正投影．则{,,0}0OP x y =≠ ．设(,)i OP ϕ= 是xOy 平面上由x 轴正向到OP的有向角(相对于xOy 平面上的右手系)．再设(/2)(,)OM k θπ=-∠．则/2/2πθπ-<<. 于是cos (cos sin )OP R i j θϕϕ=+ ，sin PM R k θ= ． 由此得:cos cos cos sin sin r OM OP PM R i R j R k θϕθϕθ==+=++，即{cos cos ,cos sin ,sin }r R R R θϕθϕθ=，(,)[,)(/2,/2)ϕθππππ∈-⨯-． (3.3)这就是球面的向量式参数方程．坐标式参数方程为cos cos ,(,)[,)(/2,/2)cos sin ,sin ,x r y r z r θϕϕθππππθϕθ=⎧⎪∈-⨯-=⎨⎪=⎩. (3.3) 当(,)[,)(/2,/2)ϕθππππ∈-⨯-时，球面2S 上的点集2\{,}S S N 一一对应于参数定义域中的点(,)ϕθ. 所以(,)ϕθ也称为2\{,}S S N 上的曲纹坐标.除了原点之外，空间的每一点(,,)M x y z都在某个以原点为球心，半径ρ=的球面上．于是除了z 轴上的点之外，点M 通过下面的关系式一一对应于有序三元实数组3{(,,)}ρϕθ= 的一个子集3[0,)[,)(/2,/2)ππππ∞⨯-⨯-⊂ ：cos cos ,cos sin ,sin ,x y z ρθϕρθϕρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩3(,,)[0,)[,)(/2,/2)ρϕθππππ∈∞⨯-⨯-⊂ . (3.4)这种一一对应关系称为空间中点的球面坐标(或空间极坐标)．注 当0ρ=时不是一一对应. 所以球面坐标的定义域应该是3(0,)(,)(/2,/2)D ππππ=∞⨯-⨯-⊂ .1.3 曲面、曲线的一般方程和参数方程这一小节的内容在《附录：图形与方程》中已经接触过. 曲面S 的一般方程(或称普通方程)是(,,)0F x y z =，意指作为集合{}(,,)|(,,)0S x y z F x y z ==.曲面S 的参数方程是(,),(,)(,),(,),x x u v u v D y y u v z z u v =⎧⎪∈=⎨⎪=⎩， (3.5) 意指作为集合(){}(,),(,),(,)(,)S x u v y u v z u v u v D =∈.其中的(,)u v 称为曲面S 的参数. 通常要求曲面S 上的点M 与它的参数(,)u v 之间一一对应，从而(,)u v 也称为曲面S 上的点M 的曲纹坐标.曲线C 的一般方程(或称普通方程)是(,,)0,(,,)0,F x y z G x y z =⎧⎨=⎩意指作为集合{}(,,)|(,,)0,(,,)0S x y z F x y z G x y z ===.即曲线C 被看成两个曲面1:(,,)0S F x y z =与2:(,,)0S G x y z =的交线.曲线C 的参数方程是(),(),(),x x t t I y y t z z t =⎧⎪∈=⎨⎪=⎩， (3.6) 意指作为集合(){}(),(),()C x t y t z t t I =∈.其中t 称为曲线C 的参数，I 是一个区间，可以是开区间或闭区间，也可以是半开闭的；可以是有限区间，也可以是无限区间.例如，在空间，xO y 平面上的一个圆C (圆心在原点、半径是R )，可以用一般方程2222,0x y z R z ⎧++=⎨=⎩来表示，也可以用222,x y R z ⎧+=⎨=⎩ 来表示. 它的参数方程可以写成cos ,[0,2)sin ,0,x R t t y R t z π=⎧⎪∈=⎨⎪=⎩. 1.4 旋转面球面可以看成是半个圆周绕它的直径旋转一周得到的曲面.定义4.3.1 空间一条曲线C 绕一条直线L 旋转所得曲面称为旋转面(surface of revolution)，C 称为旋转面的母线(generating curve)，L 称为旋转面的轴(axis of rotation). 母线C 上任意一点绕L 旋转的轨迹是一个圆，称为纬圆(纬线). 纬圆在垂直于轴L 的平面上.过L 的半平面与旋转曲面的交线称为经线. 任何一条经线都可作为母线，但母线不一定是经线.现在来求旋转面∑的方程. 如图，设母线C 的方程为(,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =⎧⎨=⎩ (1)旋转轴L 的方程为000,x x y y z z X Y Z---== (2)其中0000(,,)M x y z L ∈，L 的方向向量{,,}v X Y Z =设(,,)P x y z 是旋转面∑上的任意点. 过P 的纬圆与母线C 交于(,,)M x y z '''点. 这个纬圆可以看成是过M 且垂直于L 的平面:()()()0X x x Y y y Z z z π'''-+-+-=与以0M 为球心，半径为0||M M的球面222222000000:()()()()()()S x x y y z z x x y y z z '''-+-+-=-+-+-的交线. 再加上条件(,,)M x y z C '''∈，就能导出以下的方程组：222222000000()()()0,()()()()()(),(,,)0,(,,)0.X x x Y y y Z z z x x y y z z x x y y z z F x y z G x y z '''-+-+-=⎧⎪'''-+-+-=-+-+-⎪⎨'''=⎪⎪'''=⎩(1) 从这个方程组中消去参数,,x y z '''，得到,,x y z 的一个方程，它就是所求旋转面∑的一般方程.注 方程组(1)中有6个变量,,,,,x y z x y z '''，其中(,,)x y z 是旋转面∑上的动点P ，(,,)x y z '''是母线C 上的动点M . 对每个固定的(,,)M x y z C '''∈，也就是方程组(1)的后2个方程的公共解,,x y z '''，(1)中前2个方程表示旋转面上的一个纬圆. 让M 在C 上变动，就得到旋转面∑上所有的纬圆. 旋转面∑也可以看成圆心在一条直线上变动，同时半径也在变动的圆的轨迹.如果旋转轴是z 轴001x y z==，母线C 在yOz 坐标平面上，其方程为(,)0,0,f y z x =⎧⎨=⎩则由(1)式，点(,,)P x y z 在旋转面上的充分必要条件是2222220,,(,)0,0.z z x y z x y z f y z x '-=⎧⎪'''++=++⎪⎨''=⎪⎪'=⎩由第1，2，4三个方程得0x '=，z z '=，y'=代入第3个方程得旋转曲面方程为()0.f z=由此可见，为了得到yOz 平面上的曲线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程，只要把母线方程中的y 改成，让z 保持不变即可. 类似的结果可以推广到绕其它轴旋转的情形.例3.1 将yOz 平面上的抛物线 22,:0y pz C x ⎧=⎨=⎩ 绕z 轴旋转所得的旋转面方程为222x y pz +=.这个曲面称为旋转抛曲面.例3.2 将yOz 平面上的双曲线 (返回):C 22221,0y z b c x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕虚轴(z 轴)旋转得到的旋转曲面方程为2222221x y z b b c +-=. 这个曲面称为旋转单叶双曲面(hyperboloid of one sheet of revolution).将双曲线C 绕实轴(y 轴)旋转得到的旋转曲面方程为2222221x y z c b c -+=-. 这个曲面称为旋转双叶双曲面(hyperboloid of two sheets of revolution).例3.3 将yOz 平面上的圆222(),y a z r x ⎧-+=⎨=⎩ (0)r a << 绕z 轴旋转所得的曲面为222(),a z r +=展开后得222222222()4(),x y z a r a x y +++-=+这个曲面称为环面(torus)，它是一个4次代数曲面.例3.4 设12,L L 是两条不垂直的异面直线，求2L 绕1L 旋转所得曲面的方程.解 在预先给定的坐标系中，方程比较复杂. 为了简化方程，取旋转轴1L 为z 轴，再取这2条直线的公垂线为x 轴，建立右手直角坐标系，使得2L 与公垂线x 轴的交点为(,0,0)A a ，其中0a ≠. 设2L 方向向量为{,,}v X Y Z =. 由{1,0,0}v i ⊥= 得0X =. 由于12,L L 异面，//v k ，可知0Y ≠. 故可取{0,1,}v b = . 因为12,L L 不垂直，0v k b ⋅=≠. 于是2L 的方程为,001x a y zab b-==≠. 根据(1)，写出方程组2222220,,,.z z x y z x y z x a z by '-=⎧⎪'''++=++⎨⎪'''==⎩ 将,x a z by z '''===代入第2个方程得到22222z x y a b+=+，即2222221x y z a a b+-=. 这是一个旋转单叶双曲面.例1 (旋转椭球面) 将yOz 平面上的椭圆22221,:0y z C a b x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩()a b > 分别绕长轴(y 轴)和短轴(z 轴)旋转，求所得旋转曲面的方程.解 由上面的分析，这2个旋转曲面的方程分别为222221y x z a b ++=和222221x y z a b++=， 即长形旋转椭球面2222221x y z b a b++= 和扁形旋转椭球面2222221x y z a a b++=. 注. 这个例子说明例1中的曲面也是旋转单叶双曲面. 课外作业：2，4，9(1,5,10) 思考题：10，11§2 柱面和锥面2.1 柱面的定义和方程柱面是常见的由直线“生成”的曲面. 定义3.2 一条直线L 沿着一条空间曲线C 平行移动所得到的曲面∑叫做柱面(cylinder). 线L 称为柱面∑的母线(generating line). 曲线C 称为柱面∑的准线(directrix). 柱面∑的方向.直线L (生成线).根据定义，平面也是柱面. 的母线方向是唯一的，但柱面的准线不是唯一的，线. 线.设柱面∑的方向为{,,}v X Y Z =，准线为(,,)0,:(,,)0.F x y z C G x y z =⎧⎨=⎩我们来求柱面的方程. 点(,,)P x y z ∈∑的充要条件是存在111(,,)M x y z C ∈使得//MP v ，即MP u v =，亦即有1x x uX =-，1y y uY =-，1z z uZ =-. 代入准线C 的方程可得(,,)0,(,,)0.F x uX y uY z uZ G x uX y uY z uZ ---=⎧⎨---=⎩(回到例4.3) (1) 从上述方程组消去参数u 就得到柱面的方程.如果柱面的方向是{,,}X Y Z ，准线C 的方程是参数方程 1111(){(),(),()}r t x t y t z t =，[,]t a b ∈， (3.8) 则可得柱面的参数方程为(由1x x uX =-，1y y uY =-，1z z uZ =-得到)111(,){(),(),()},(,)[,]r t u x t uX y t uY z t uZ t u a b =+++∈⨯R . (3.9)例2 设柱面的准线方程为2222221,222,x y z x y z ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩母线的方向数为1,0,1-，求柱面的方程.解. 设(,,)P x y z 是柱面上的点，(,,)M x y z '''是准线上的点. 则x x u '=+，y y '=，z z u '=-. 准线方程可改写为221,0.x y z ''⎧+=⎨'=⎩ 所以u z =，从而,x x z '=+y y '=. 于是所求柱面方程为22()1x z y ++=(椭圆柱面)，即222210x y z xz +++-=. (返回)2.2 圆柱面. 空间中点的柱面坐标圆柱面(circular cylinder)是到一条定直线L 距离为常数r 的点的轨迹. 定直线L 称为圆柱面的轴，常数r 称为圆柱面的半径. 设0000(,,)M x y z 是轴L 上一个定点，轴L 的方向向量为{,,}v X Y Z =. 根据点到直线的距离公式可以得到圆柱面∑的方程22020M M v r r M M v v v⨯=⇔=⨯， 其中(,,)M x y z ∈∑. 用坐标写出来就是220000[()()][()()]Y z z Z y y Z x x X z z ---+---2222200[()()]()X y y Y x x r X Y Z +---=++.上式展开后整理可得一个关于,,x y z 的二次代数方程(,,)0F x y z =. 特别，如果圆柱面∑的轴是z 轴，则圆柱面的方程为(注意{0,0,1}v =，0(0,0,0)M .) 222x y r +=. (3.10)圆柱面也可以看作旋转曲面. 如果知道了圆柱面∑上一个纬圆C 的方程，就可以用上一小节的方法，以C 为准线圆，以垂直于C 所在平面的方向为柱面的母线方向，得到圆柱面∑的方程.下面求以z 轴为对称轴，半径为R 的圆柱面的参数方程．设(,,)M x y z 是球面上任意一点，(,,0)P x y 为M 在xOy 平面上的正投影．令(,)i OP ϕ=是xOy 平面上由x 轴正向到OP的有向角．则(cos sin ){cos ,sin ,0}OP R i j R R ϕϕϕϕ=+=．因为//PM k，所以{0,0,}PM u k u ==．于是圆柱面的向量式参数方程为{cos ,sin ,}r OM OP PM R R u ϕϕ==+=，(,)(,]u ϕππ∈-⨯ ． (3.11)坐标式参数方程为cos ,(,)(,]sin ,,x R u y R z u ϕϕππϕ=⎧⎪∈-⨯=⎨⎪=⎩. (3.11) 从上式中消去参数(,)u ϕ，可得圆柱面的普通方程222x y R +=． (3.10)空间中除了z 轴上的点之外，点(,,)Mx y z 一定在一个半径为r =. 下面的关系式给出了点(,,)M x y z 与有序三元实数组(,,)r u ϕ的一个子集3(0,)(,]ππ∞⨯-⨯⊂ 间的一一对应： cos ,sin ,,x r y r z u ϕϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩(,,)(0,)(,]r u ϕππ∈∞⨯-⨯ . (3.9) 这种一一对应关系称为空间中点的柱面坐标．例2 已知圆柱面的轴是11:122x y z L -+==--，点(1,2,1)-在圆柱面上，求它的方程.解法一 已知柱面的方向数是1:2:2--，只要找出它的一条准线C 就可写出它的方程. 取一个过(1,2,1)A -点、垂直于轴L 的平面π，和一个球心在轴上、过A 点的球面S ，以它们的交线作为准线C .显然，π的方程是(1)2(2)2(1)0x y z --+--=，即:2230x y z π---=.取球心为(0,1,1)B -，则过A 点的球面为2222:(1)(1)14S x y z +-++=.于是准线为222111111(1)(1)14,:2230.x y z C x y z ⎧+-++=⎨---=⎩ (2)将1x x u =-，12y y u =+，12z z u =+代入(4)的第二式得9223u x y z =---. 于是198223x x y z =+++，192546y x y z =+--，192456z x y z =-+-.将上式代入(2)的第一式得圆柱面的一般方程2222(8223)(25415)(2453)149x y z x y z x y z +++++--+-++=⋅.化简得2228554481818990x y z xy xz yz y z ++++--+-=.解法二 将圆柱面看作到一条定直线L 距离为常数的点的轨迹.柱面的方向向量{1,2,2}v =--，(1,2,1)A -是柱面上一个定点，(0,1,1)B -是轴L 上一个定点. 则点(,,)P x y z 是柱面上的点当且仅当(,)(,)d P L d A L =. 根据点到直线的距离公式，这等价于22BP v BA v ⨯=⨯ ，即222222()()BP v BP v BA v BA v ⋅-⋅=⋅-⋅ . (Lagrange 恒等式)由于{,1,1}BP x y z =-+ ，{1,3,2}BA =-- ，29v =，2()9BA v ⋅= ，214BA = ，上式化为22229[(1)(1)](22)139x y z x y z +-++---=⋅.化简得2228554481818990x y z xy xz yz y z ++++--+-=.2.3 母线平行于坐标轴的柱面如果把柱面的母线方向取成坐标轴的方向，例如{0,0,1}v =. 则柱面的每条母线都与z 轴平行，从而必与xOy 平面相交. 因此这个柱面与xOy 平面的交线C 可以作为柱面的准线. 设准线方程为 111(,)0,:0.F x y C z =⎧⎨=⎩ 根据前面的讨论，将1x x =，1y y =，1z z u =-代入准线C 的方程可得 (,)0,.F x y z u =⎧⎨=⎩消去u (就是将u z =代入(,)0F x y =)，得到这个柱面的方程(,)0.F x y =反之，如果一个曲面的方程(,,)0F x y z =中不含变量z ，即(,,)(,)0.F x y z G x y ≡=则以(,)0,:0,G x y C z =⎧⎨=⎩为准线，以z 轴方向为母线方向的柱面方程就是(,)0.G x y = 因此方程(,)0G x y =表示一个母线平行与z 轴的柱面.对于母线平行于x 轴或y 轴的柱面也有类似的结果. 这样我们就证明了下面的定理.定理3.1 一个曲面:(,,)0F x y z ∑=是母线与z 轴(或x 轴，或y 轴)平行的柱面，当且仅当方程左端(,,)F x y z 中不含变量z (或x ,或y ).注. 因此当问到方程0x y +=表示什么图形时，答案与人们考虑问题的范围有关. 在2维空间中生活的蚂蚁会说它是一条直线，但是在3维空间，它是一个平面.例3 方程222210x y a b +-= (在平面解析几何中是什么？) 表示一个母线平行于z 轴的柱面，其准线可取为22221,0.x y ab z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩这是xO y 平面上的椭圆，因此这个曲面称为椭圆柱面(elliptic cylinder).类似地，方程222210,x y a b--= 220,y px -= 分别表示母线平行于z 轴的双曲柱面(hyperbolic cylinder)及抛物柱面(parabolic cylinder). 椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面统称二次柱面(quadratic cylinder).2.4 锥面的定义和方程锥面也是一种常见的由直线生成的曲面.定义锥面(cone). (4) 1,)z C ∈使得,,A M P 010010010(),(),()x x t x x y y t y y z z t z z -=--=--=-.当0t =时P 就是顶点A . 设0t ≠，并且令1/u t =. 则由上式得100100100(),(),()x x u x x y y u y y z z u z z =+-=+-=+-. (5)由于111(,,)M x y z C ∈，满足准线C 的方程(4)，有000000000000((),(),())0,((),(),())0.F x u x x y u y y z u z z G x u x x y u y y z u z z +-+-+-=⎧⎨+-+-+-=⎩(6) 消去u 后可得锥面的方程，可能不包括锥面的顶点.如果锥面顶点是0000(,,)M x y z ，准线C 的方程是参数方程 1111(){(),(),()}r u x u y u z u =，[,]u a b ∈，则锥面的参数方程为(由010()x x t x x -=-，010()y y t y y -=-，010()z z t z z -=-得到)010010010(,){(()),(()),(())},(,)[,]r u v x t x u x y t y u y z t z u z u t a b =+-+-+-∈⨯R .例4 锥面的顶点在原点，准线为22221,:.x y C a b z c ⎧+=⎪⎨⎪=⎩求锥面的方程.解 根据(6)，将准线方程中的,,x y z 分别换成,,ux uy uz ，得222221,.x y u ab uzc ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩当常数0c ≠时，由第二式得/u c z =. 代入第一式可消去参数u ，得锥面方程2222221c x y z a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即 2222220x y z a b c+-=. 这个锥面称为二次锥面. 它的方程左端是一个二次齐次多项式，这种方程称为2次齐次方程. 当常数0c =时，准线C 是xOy 平面上的椭圆，此时锥面方程实际上是平面方程0z =.2.5 圆锥面圆锥面(circular cone)是与一条定直线L 交于定点0M 且与L 成定角(0,/2)απ∈的直线族轨迹.定直线L 称为圆锥面∑的轴，定点0M 称为圆锥面∑的顶点，定角α称为圆锥面∑的半顶角，构成圆锥面的直线族中的每一条直线都称为圆锥面的母线. 圆锥面也可以看作旋转面：它是用一条母线绕轴旋转而成的曲面. 因此可以有三种不同的方法来导出圆锥面的方程.1. 作为锥面，如果知道它的顶点0000(,,)M x y z ，再找一条准线C ，就可以用前面的公式(6)得到圆锥面的方程. 一般是用一个垂直于轴L 但是不经过顶点的平面与圆锥面的交线圆C 作为准线.2. 作为旋转面，如果知道它的轴000:x x y y z z L X Y Z---==和圆锥面上的另一点1111(,,)M x y z ，那么可以写出它的一条母线的方程，然后用第一节1.4中的方法得到圆锥面的方程.3. 如果知道它的轴L 的方程000x x y y z z X Y Z---==和圆锥面的半顶角α，则可用下面的方法得出它的方程. 点(,,)M x y z 在圆锥面∑上的充要条件是()0,M M v α∠= 或 ()0,M M v πα∠=-()0cos cos ,M M v α⇔∠=(常数)22200a M M vM M ⇔=⋅ ， (3.12) 其中常数222cos a v α= . 将坐标代入上式得圆锥面的方程22222000000[()()()][()()()]X x x Y y y Z z z a x x y y z z -+-+-=-+-+-. (7)例3.5 求以三根坐标轴为母线的圆锥面方程.解 显然圆锥面的顶点是原点O . 设圆锥面的轴方向向量是{,,}v X Y Z =. 则v 与三根坐标轴夹角相等或互补. 因此有v j v iv k ==⋅⋅⋅ ，即X Y Z ==. 故可设12{1,,}v εε= ，其中11ε=或1-，21ε=或1-. 于是半顶角α满足cosv i v iα⋅==因为v= ，由(7)得所求圆锥面的方程为 222212()x y z x y z εε++=++，即121212200xy xz yz xy xz yz εεεεεεε++=⇔++=. (3.13)因此共有4个满足条件的圆锥面：0xy xz yz +±=或0xy xz yz -±=.例5 已知圆锥面的顶点为(1,2,3)A ，轴垂直于平面2220100x y z +-+=，母线与轴成30 角. 求此圆锥面的方程.解 由于圆锥面的轴方向向量是{2,2,1}ν=- ，所以3v = . 又cos α=由(7)得所求圆锥面的方程为22224[2(1)2(2)(3)]27[(1)(2)(3)]x y z x y z -+---=-+-+-.整理得22211(1)11(2)23(3)32(1)(2)16(1)(3)16(2)(3)0x y z x y x z y z -+-+----+--+--=.这是一个关于1,2,3x y z ---的2次齐次方程.2.6 锥面与齐次方程定义3.4 如果一个函数(,,)F x y z 满足(,,)(,,),\{0}n F t x t y t z t F x y z t =∀∈ ，则称(,,)F x y z 是一个n 次齐次函数. 方程(,,)0F x y z =称为n 次齐次方程. (注意n 不必是正整数)定理3.2 一个关于,,x y z 的齐次方程总是表示顶点在原点的一个锥面(可能不包括顶点). 证 设n 次齐次方程为(,,)0F x y z =. 则根据齐次方程的定义有(,,)(,,).n F tx ty tz t F x y z =设000(,,)M x y z O ≠是曲面上的任一点. 则有000(,,)0.F x y z = 设(,,)P x y z 是直线OM 上的点，则000,,x x t y y t z z t ===.代入方程得000000(,,)(,,)(,,)0.n F x y z F x t y t z t t F x y z ===于是P 点在曲面上. 这说明整条直线OM (除原点外)都在曲面上. 因此这个曲面是由过原点的直线族构成，即它是以原点为顶点的锥面. □这个定理的逆命题也正确，即以原点为顶点的锥面方程一定是齐次方程，见定理3.3. 推论 关于000,,x x y y z z ---的齐次方程表示一个顶点在000(,,)A x y z 的锥面. □ 课外作业：3，4(2,4)，7，9(3)，10 思考题：5，11，12§3 二 次 曲 面二次曲面就是,,x y z 的2次方程定义的曲面. 如球面，圆柱面，旋转椭球面、旋转双曲面、旋转抛物面，二次柱面和二次锥面等. 在这一节再介绍3种二次曲面.3.1 椭球面定义 由方程2222221x y z a b c ++= (,,0a b c >) (3.17) 所定义的曲面称为椭球面(ellipsoid). 方程(3.17)称为椭球面的标准方程，通常假定0a b c ≥≥>.椭球面有以下性质.(1) 对称性. 有对称中心O ，称为(二次曲面的)中心；有对称轴：3条坐标轴，称为主轴；有对称(2) 顶点与半轴. 椭球面与对称轴的交点称为顶点，6个顶点为(,0,0),a ±(0,,0),b ±(0,0,)c ±；每条对称轴上2个顶点间的线段(或其长度)称为椭球面的轴；轴的一半称为半轴. 当a b c >>时，,,a b c 分别称为长半轴，中半轴和短半轴. (三轴椭球面. 特殊情形：球面，旋转椭球面)(3) 范围. 由方程(3.17)可以看出||x a ≤，||y b ≤，||z c ≤. 椭球面夹在以O 为中心，边长分别为2,2,2a b c 的长方体内.(4) 截口形状. 用一些平面去截曲面，得到的每一条平面曲线就称为曲面的截口. 所有截口的形状都清楚了，曲面的形状也就清楚了.椭球面(3.17)在三个坐标平面上的截口都是椭圆：22221,0,x y ab z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 22221,0,x z ac y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 22221,0.y z b c x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 它们称为椭球面的主截线(主平面与二次曲面的交线)，或主椭圆.用平行于xOy 坐标平面的平面z h =去截椭球面(3.17)，得到的截口是2222221,.x y h a b c z h ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩当||h c >时没有截口，此时平面z h =不与椭球面相交；当||h c =时截口是一个点；当||h c <时截口是一个椭圆，它的两个半轴分别是可见这两个半轴随着h 的增大而减少.因此椭球面是由一族与xOy 平面平行的椭圆{|[,]}h C h c c ∈-构成的，这些椭圆的中心在z 轴上的一个线段内变动，同时它的长、短半轴按以上规律变动.类似地可以研究与其它2个坐标平面平行的截口. (5) 参数方程：sin cos ,sin sin ,cos .x a y b z c ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩(,)[0,2)[0,]θφππ∈⨯. 例6已知椭球面的轴与坐标轴重合，并且点A 和椭圆221,:0y x C z ⎧⎪+=⎨⎪=⎩在椭球面上，求椭球面的方程. (习题3.3第1题)解 依题意，可设椭球面的方程为2222221x y z a b c ++=. 由于椭圆C 在椭球面上，所以C 上的点(3,0,0),(0,4,0)B C 也在椭球面上. 将,,A B C 三点的坐标代入上面的方程，得222111949,16,23(1)36a b c -===--=. 故所求的方程为222191636x y z ++=. 3.2-1 单叶双曲面定义 由方程2222221x y z a b c +-= (,,0a b c >) (3.18) 所定义的曲面称为单叶双曲面(hyperboloid of one sheet). 方程(3.18)称为单叶双曲面的标准方程.单叶双曲面有以下性质. (见图3.5)(1) 对称性. 对称中心O ；对称轴：3条坐标轴；对称平面：3个坐标平面. (2) 顶点. 与z 轴不相交，4个顶点为(,0,0)a ±，(0,,0)b ±. (3) 范围. 由方程(3.18)可以看出22222211,x y z a b c+=+≥ 所以单叶双曲面的点全在椭圆柱面22221x y+=的外部或柱面上. 图形是无界的.(4) 截口形状. 单叶双曲面在xOy 平面上的截口是椭圆22221,0,x y a b z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩称为单叶双曲面的腰椭圆.单叶双曲面与xOz 平面以及yOz 平面的交线(主截线)分别是22221,0,x z ac y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 22221,0.y z b c x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩它们都是双曲线.单叶双曲面(3.18)的平行于xOy 平面的截口是椭圆2222221,.x y h a b c z h ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩其长、短半轴分别为h 的增大而增大. 这些椭圆的顶点在主截线上.单叶双曲面(3.18)的平行于yOz 平面的截口是2222221,.y z u b c a x u ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩(5)||u a <时，截线(5)是双曲线，它的实轴平行于y ，虚轴平行于z 轴，，且顶点在腰椭圆上. 当||u a >时，截线(5)仍为双曲线，但它的实轴平行于z 轴，，虚轴平行于y xOz 平面的截口双曲线上. 当||u a =时，(5)式变成22220,,y z bc x a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 或 22220,.y z b c x a ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩这是两条相交直线0,,y z b cx a ⎧±=⎪⎨⎪=⎩ 或 0,.y z b c x a ⎧±=⎪⎨⎪=-⎩ 如果u a =，那么两直线交于点(,0,0)a (图3.16)；如果u a =-，那么两条直线交于点(,0,0)a -.用平行于xOz 的平面来截割单叶双曲面(3.18)，所得结果是相似的.特别，当a b =时，单叶双曲面(3.18)就是旋转单叶双曲面. 另外，下面的2个方程也表示单叶双曲面.2222221x y z a b c -+=，2222221x y z a b c--=-. (5) 参数方程sec cos ,sec sin ,tan .x a y b z c ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩(,)[0,2)(/2,/2)θφπππ∈⨯-. 3.2-2 双叶双曲面定义 由方程2222221x y z a b c+-=- (,,0a b c >) (3.20)所定义的曲面称为双叶双曲面(hyperboloid of two sheets)方程(3.20)称为双叶双曲面的标准方程.单叶双曲面和双叶双曲面统称双曲面(hyperboloid). 双叶双曲面有以下性质.(1) 对称性. 对称中心O ；对称轴：3条坐标轴；对称平面：3个坐标平面.(2) 顶点. 与x 轴和y 轴无交点，2个顶点(0,0,)c ±. (3) 范围. 由方程(3.20)可以看出||z c ≥，因此曲面按z c ≥与z c ≤-分为两叶.(4) 截口形状. 双叶双曲面与xOy 平面没有交点，而与其它两个坐标平面xOz 与yOz 的交线(主截线)都是双曲线：22221,0,z x ca y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 22221,0.z y c b x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩如果用平行于坐标平面xOy 的平面z h =(||h c ≥)截割曲面，截线方程是2222221,.x y h ab c z h ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩这是一个点(当||h c =时)或一个椭圆(当||h c >时).这些椭圆的顶点在主截线上，长、短半轴分别为h 的增大而增大.如果用平行于坐标平面xOz 的平面来截割曲面，截线方程是2222221,.z x u ca b y u ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩ 这是一条实轴与z 轴平行的双曲线.特别，当a b =时，双叶双曲面(3.20)就是旋转双叶双曲面. 另外，下面的2个方程也表示双叶双曲面.2222221x y z a b c -+=-，2222221x y z a b c--=. (5) 参数方程tan cos ,tan sin ,sec .x a y b z c ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩(,)[0,2){(/2,/2)(/2,3/3)}θϕπππππ∈⨯-⋃. (6) 渐近锥面. 考虑以下的二次锥面2222220x y z a b c +-=. (3.19) 这个二次锥面与(3.18)式定义的单叶双曲面以及(3.20)式定义的双叶双曲面有相同的,,a b c . 如果用平面z h = (||h c >)截割这三个曲面，得到的截线是3个椭圆：222222,,x y h ab c z h ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 2222221,,x y h a b c z h ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩ 2222221,.x y h a b c z h ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩它们的半轴依次为渐近锥面： 1||,a a h c=1||,b b h c =单叶双曲面：2a =2b =双叶双曲面：3a =3b =这些椭圆的长短轴之比相等，因此是相似椭圆. 它们的半轴之间满足312,a a a << 312b b b <<.因此双叶双曲面的截口椭圆最小，单叶双曲面的截口椭圆最大，锥面的截口椭圆则介于两者之间，并且这三个曲面没有公共点，但是当||h →∞时，又有2323||||lim ()lim ()0.h h a a b b →∞→∞-=-=可见当||h 增大时3个曲面相互无限地逼近. 所以称锥面(3.19)为双曲面(3.18)与(3.20)的渐近锥面(asymptotic cone). 双曲面(3.18)与(3.20)称为一对相互共轭的双曲面(conjugate hyperboloids).3.3-1 椭圆抛物面定义 由方程22222x y z a b += (,0)a b > (3.21) 所定义的曲面称为椭圆抛物面(elliptic paraboloid). 方程(3.21)称为椭圆抛物面的标准方程.椭圆抛物面有以下性质.(1) 对称性. 无对称中心；1条对称轴：z 轴；2个对称平面：xOz 和yOz 坐标平面. (2) 范围. 由方程可以看出0z ≥，所以曲面全在xOy 平面的一侧. (3) 顶点. 1个顶点O .(4) 截口形状. 椭圆抛物面与xOz 坐标平面和yOz 坐标平面的交线都是抛物线： 222,0,x a z y ⎧=⎨=⎩ 222,0.y b z x ⎧=⎨=⎩这两条抛物线称为椭圆抛物面的主抛物线. 它们分别位于两个相互垂直的平面上，有公共的顶点和对称轴，并且开口方向相同.如果用平行于xOy 平面的平面z h =(0)h ≥截割曲面，截线方程是22222,.x y h ab z h ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 这些截线是椭圆(当0h >时)或一个点(当0h =时)这些椭圆的顶点()h ±，(0,)h ±在主抛物线上，长、短半轴分别为着h 的增大而增大.如果用平行于坐标平面xOz 的平面y u =截割曲面，截线方程是22222(),2.u x a z b y u ⎧=-⎪⎨⎪=⎩这是抛物线. 所有这些抛物线都是全等的.因此椭圆抛物面可以看成是将一条抛物线222,0x a z y ⎧=⎨=⎩沿着另一条抛物线222,0y b z x ⎧=⎨=⎩平行移动得到的曲面，这两条抛物线分别位于两个相互垂直的平面上，有公共的顶点和对称轴，开口方向相同，并且移动时保持一条抛物线的顶点222(0,,u b u 在另一条抛物线上.特别，当a b =时，椭圆抛物面(3.21)就是旋转抛物面2222xy a z +=. (5) 参数方程2cos ,sin ,,x y z u θθ⎧=⎪⎨=⎪=⎩ 02,(,)[0,2)[0,)u θπθπ≤<∈⨯∞.3.3-2 双曲抛物面定义 由方程22222x y z a b -= (,0)a b > (3.22) 所定义的曲面称为双曲抛物面(hyperbolic paraboloid). 方程(3.22)称为双曲抛物面的标准方程.双曲抛物面有以下性质.(1) 对称性. 无对称中心；1条对称轴：z 轴；2个对称平面：xOz 和yOz 坐标平面. (2) 范围.曲面是无界的. (3) 顶点. 1个顶点O .(4) 截口形状. 双曲抛物面与xOz 坐标平面和yOz 坐标平面的交线都是抛物线：222,0,x a z y ⎧=⎨=⎩222,0.y b z x ⎧=-⎨=⎩ 这两条抛物线称为双曲抛物面的主抛物线. 它们分别位于两个相互垂直的平面上，有公共的顶点和对称轴，但是开口方向相反.双曲抛物面与xOy 坐标平面的交线是一对相交于原点的直线：22220,0.x y ab z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩如果用平行于xO y 的平面z h =(0)h ≠截此曲面，就可以得到双曲线22221,22.x y a h b hz h ⎧-=⎪⎨⎪=⎩当0h >时实轴与x 轴平行，当0h <时实轴与y 轴平行.如果用平行于yO z 平面的平面x u =截此曲面，就得到抛物线22222(),2.u y b z a x u ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩可以看出不论u 取什么值，这些抛物线都与yO z 平面的主抛物线全等，抛物线的顶点则在xO z 平面的主抛物线上. 因此只要平行移动一条主抛物线，使它的顶点沿另一条主抛物线移动，就能得到双曲抛物面(3.22).双曲抛物面形如马鞍，故又称为马鞍面. 双曲面抛物面与椭圆抛物面统称抛物面(paraboloid). 由于它们都没有对称中心，所以又称为无心二次曲面.3.4 二次曲面的种类学过了高等代数的有关知识后，可以证明下面的二次曲面分类定理.定理 空间二次曲面经过直角坐标变换可化为下列五大类17种二次曲面之一，或等价地，可以通过直角坐标变换把方程化成以下17种之一.（一）椭球面[1] 椭球面： 2222221y x z a b c ++=； [2] 虚椭球面： 2222221y x z a b c ++=-； [3] 点： 2222220y x z a b c++=. （二）双曲面[4] 单叶双曲面： 2222221y x z a b c +-=； [5] 双叶双曲面： 2222221y x z a b c+-=-. （三）二次锥面[6] 二次锥面： 2222220y x z a b c+-=. （四）抛物面[7] 椭圆抛物面: 22222y x z a b +=； [8] 双曲抛物面: 22222y x z a b-=. （五）二次柱面[9] 椭圆柱面： 22221y x a b +=； [10] 虚椭圆柱面：22221y x a b+=-； [11] 直线： 22220y x a b+=； [12] 双曲柱面： 22221y x a b -=； [13] 相交平面： 22220y x a b-=； [14] 抛物柱面： 22x p y =； [15] 平行平面: 22x a =； [16] 虚平行平面: 22x a =-；[17] 重合平面: 20x =. 课外作业：3，7，9 思考题：4，8求过三条平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z +==-，3:112L x y z -=+=-的圆柱面方程.§4 直 纹 面定义3.4 设S 是一个曲面. 如果存在一族直线，使得这族直线中每条直线都在曲面S 上，并且S 上的每一个点在这族直线中的某一条直线上，则称曲面S 为直纹面(ruled surface). 这族直线称为直纹面S 的一族直母线. 简单地说，直纹面就是由一族直线构成的曲面.。