常见曲面

目录

第三章常见曲面 (51)

本章内容简介 (51)

§1 球面和旋转曲面 (52)

1.1球面的一般方程 (52)

1.2 球面的参数方程. 空间中点的球面坐标 (52)

1.3曲面、曲线的一般方程和参数方程 (53)

1.4 旋转面 (54)

§2 柱面和锥面 (57)

2.1柱面的定义和方程 (57)

2.2圆柱面. 空间中点的柱面坐标 (58)

2.3 母线平行于坐标轴的柱面 (60)

2.4锥面的定义和方程 (61)

2.5圆锥面 (62)

2.6锥面与齐次方程 (63)

§3 二次曲面 (63)

3.1椭球面 (63)

3.2-1 单叶双曲面 (64)

3.2-2双叶双曲面 (66)

3.3-1 椭圆抛物面 (68)

3.3-2双曲抛物面 (69)

3.4二次曲面的种类 (70)

§4 直纹面 (70)

§5 曲面的交线，曲面所围成的区域 (74)

5.1 画空间图形常用的三种方法 (74)

5.2空间曲线的射影柱面 (75)

5.3 曲面围成的区域 (77)

第三章 常 见 曲 面

本章内容简介

内容：介绍一些在多元微积分中常常遇到的曲面：柱面；锥面；旋转面；二次曲面；直纹面 难点：单叶双曲面和双曲抛物面上的直母线 计划学时：16学时，其中习题课4学时

这一章介绍一些在多元微积分中常常遇到的曲面，了解这些曲面的名称，方程和形状. 在图形与方程中提到，空间曲面S 一般都可以被描述为一个3元函数(,,)F x y z 的零点集，即

{(,,)|(,,)0}S x y z F x y z ==. 这个方程称为曲面S 的一般方程. 也就是说，0000(,,)M x y z S ∀∈，有000(,,)0F x y z =；反之，若三元有序数组000(,,)x y z 满足方程000(,,)0F x y z =，则0000(,,)M x y z S ∈. 简而言之，曲面上的点都满足方

程，满足方程的点都在曲面上. 自然，先要取定一个坐标系[;,,]O i j k

.

如果函数(,,)F x y z 是多项式，那么由方程(,,)0F x y z =定义的曲面称为代数曲面(algebraic surface)，否则称为超越曲面(transcendental surface). 多项式(,,)F x y z 的次数称为代数曲面的次数(degree). 解析几何研究的是一次与二次代数曲面. 高次代数曲面是代数几何的研究对象，而超越曲面则是微分几何的研究对象.

本章第1，2节是从曲面的形状特点出发，导出这些曲面的方程. 第3节是从已知的二次方程出发，去研究曲面的形状. 第4节研究二次曲面中由直线组成的曲面，即二次直纹面. 所谓直纹面就是一个单参数直线族{|}t L t I ∈构成的曲面t t I S L ∈= ，其中I 是一个区间(有限或无限区间，开或闭区间).

为了保证图形不失真，本章所用到的坐标系都是右手直角坐标系.

§1 球面和旋转曲面

1.1 球面的一般方程

根据两点距离公式可知球心在0000(,,)M x y z ，半径为R 的球面(sphere)方程为

2222000()()()x x y y z z R -+-+-=. (3.1)

展开后得到一个三元二次代数方程

2221232220x y z b x b y b z c ++++++=. (3.2)

其中222

21020300002,2,2,b x b y b z c x y z R =-=-=-=++-. 上面两个方程都是球面的一般方程. 它的特点是没有交叉项(即,,xy xz yz 项)，平方项的系数相等(非零).

反之，三元二次方程(3.2)的左边通过配方化为同解的方程

22222

2123123()()()x b y b z b b b b c +++++=++-.

当22

21230b b b c ++->时，它是一个球心在123(,,)b b b ---

当22

21230b b b c ++-=时，它是一个点(,,)a b c ---，可看作半径为0的球面，叫做点球面；

当22

21230b b b c ++-<时，

原方程没有实数解，不表示实图形.

的虚球面(imaginary sphere).

1.2 球面的参数方程. 空间中点的球面坐标

现在求球心在原点，半径为R 的球面2S 的参数方程. 除了南极S 和北极N 之外，球面2S 上每一点M 可以

用经纬度(,)ϕθ作为参数．

设(,,)M x y z 是球面2S 上任意一点，则M 的坐标满足22222()z R x y R =-+≤．当z R ≠±即(0,0,)M R ≠±时，

2

2

2

2

0x y R z +=->． 令(,,0)P x y 为M 在xOy 平面上的正投影．则{,,0}0OP x y =≠ ．设(,)i OP ϕ= 是xOy 平面上由x 轴正

向到OP

的有向角(相对于xOy 平面上的右手系)．再设(/2)(,)OM k θπ=-∠

．则/2/2πθπ-<<. 于是

cos (cos sin )OP R i j θϕϕ=+ ，sin PM R k θ= ． 由此得

:cos cos cos sin sin r OM OP PM R i R j R k θϕθϕθ==+=++

，

即

{cos cos ,cos sin ,sin }r R R R θϕθϕθ=

，(,)[,)(/2,/2)ϕθππππ∈-⨯-． (3.3)

这就是球面的向量式参数方程．坐标式参数方程为

cos cos ,(,)[,)(/2,/2)cos sin ,sin ,x r y r z r θϕϕθππππθϕθ=⎧⎪

∈-⨯-=⎨⎪=⎩

. (3.3) 当(,)[,)(/2,/2)ϕθππππ∈-⨯-时，球面2S 上的点集2\{,}S S N 一一对应于参数定义域中的点(,)ϕθ. 所以(,)ϕθ也称为2\{,}S S N 上的曲纹坐标.

除了原点之外，空间的每一点(,,)M x y z

都在某个以原点为球心，半径ρ=的球面上．于是除了z 轴上的点之外，点M 通过下面的关系式一一对应于有序三元实数组3{(,,)}ρϕθ= 的一个子集3[0,)[,)(/2,/2)ππππ∞⨯-⨯-⊂ ：