带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题

带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值及多解问题

突破有界磁场中临界问题的处理方法

考向1 “放缩法”解决有界磁场中的临界问题

1.适用条件

(1)速度方向一定，大小不同

粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化

(2)轨迹圆圆心一一共线

如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度V。越大，运动半径也越大可以发现这

些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP,上.

2.方法界定

以入射点P为定点，圆心位于PP,直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，

这种方法称为“放缩法”.

［典例1］如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd 边的中点.一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t。刚好从c点射出磁场.

现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向，以大小不同的速率射入正方

形内，粒子重力不计.那么下列说法中正确的是()

A.若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t。

5t

B.若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为十

3

C.若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间号

2t

D.若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为4

3

［解析］作出从ab边射出的轨迹①、从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和从ad边射出的轨迹④.由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t o刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t o.由

图可知，从ab边射出经历的时间一定不大片；从bc边射出经历的时间一定不大于不从cd

边射

...... . 5t t

出经历的时间一定是丁；从ad边射出经历的时间一定不大于可，C正确.

3 3

［答案］C

考向2 “旋转法”解决有界磁场中的临界问题

1.适用条件

(1)速度大小一定，方向不同

带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为

一.一一、 ,.一.一 mv __ _____

v,则圆周运动半径为区=”0.如图所示.

o qB

(2)轨迹圆圆心一一共圆

mv 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=京的圆上. qB

2.方法界定

mv

将一半径为R=氤的圆绕着入射点旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”.

qB

［典例2］如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的

大小B=0.60 T.磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行.

在距ab为l = 16 cm处，有一个点状的a粒子放射源S,它向各个方向发射a粒子，a

...................... . .. ....... q . .. ...... . . 粒子的速度都是v=3.0X106 m/s.已知a 粒子的比何m=5.0X107 C/kg,现只考虑在纸面内 运动的a 粒子，求ab 板上被a 粒子打中区域的长度.

［解题指导］过S 点作ab 的垂线，根据左侧最值相切和右侧最值相交计算即可.

［解析］a 粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R 表示轨迹半径， 4 c V 2

有 qvB=mR

由此得R 瑞

代入数值得R=10 cm,可见2R>l>R

因朝不同方向发射的a 粒子的圆轨迹都过S,由此可知，某一圆轨迹在下图中N 左侧与 ab 相切，则此切点、就是a 粒子能打中的左侧最远点为确定、点的位置，可作平行于ab 的直线cd, cd 到ab 的距离为R,以S 为圆心，R 为半径，作圆弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的 垂线，它与ab 的交点即为，即：NP=R 2—(1—R) 2 = 8 cm

再考虑N 的右侧.任何a 粒子在运动中离S 的距离不可能超过2R,在N 点右侧取一点P 2, 取SP=20 cm,此即右侧能打到的最远点

由图中几何关系得NP 2=M (2R) 2 — 12=12 cm

所求长度为P 1P 2=NP 1+NP 2

代入数值得P 1P 2 = 20 cm.

［答案］20 cm

考向1带电粒子电性不确定形成多解

受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件 下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.

［典例3］如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B, MM,和NN’是磁场左 右的两条边界线.现有一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入.要使粒子 不能从右边界NN,射出，求粒子入射速率的最大值为多少？

突破 带电粒子在磁场中运动的多解问题

fl 兄 乂尹। x x J V X y K P 2 x b

［解题指导］由于粒子电性不确定，所以分成正、负粒子讨论，不从NN,射出的临界条 件是轨迹与NN,相切.

［解析］题目中只给出粒子”电荷量为q”，未说明是带哪种电荷，所以分情况讨论. 若q 为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN,相切的（圆弧，则轨道半径

R \12 （2+ 2） Bqd ............... 一 一 一一 一 ..

....3 一 ........... 若q 为负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN,相切的工圆弧，则轨道半径

又—全

解得『=（2

-'⑵刎 m

…… （2+ 2） Bqd （2— 2） Bqd,

［答案］ --- 玄 ---- （q 为正电何）或 -- m ----- （q 为负电何）

考向2磁场方向不确定形成多解

有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考 虑磁感应强度方向不确定而形成的多解.

［典例4］（多选）一质量为m 、电荷量为q 的负电荷在磁感应强度为B 的匀强磁场中

绕固

mv

Bq

又d=R 解得v=

R,

mv' Bq M N

।■乂 ।

1 ।

*