第6章多因子定价模型

第6章 多因子定价模型

黄万阳

（根据肖俊喜译稿整理）

在第5章结束部分，我们总结了CAPM 贝塔不能完全解释资产期望收益截面部分的经验证据。该证据意味着可能需要1或多个其它因子刻画期望收益行为，自然考虑多因子定价模型。理论争论也表明：由于仅在强假设下CAPM 才被逐期应用，需要多因子定价模型。有两个主要的理论方法：罗斯（Ross,1976）提出的以套利为基础的套利定价理论（APT ）。默顿（Merton,1973a ）提出的以均衡为基础的跨期资本资产定价模型。在这一章，我们考虑多因子模型计量经济分析。

这章安排如下。第6.1节简短地讨论多因子方法理论背景。在第6.2节中我们考虑已知因子模型的估计与检验。而在第6.3节中我们给出风险溢价（PREMIA ）与期望收益的估计量。既然因子不总是由理论提供，那么在第6.4节我们讨论构造因子的方法。第6.5节给出了实证结论。由于缺乏模型设定，离差总能被其余因子解释。因此，这就产生了解释违背模型问题。在第6.6节我们将讨论这个问题。

6.1 理论背景

作为资本资产定价模型可供选择的模型，罗斯（Ross,1976）引入了套利定价理论。APT 比CAPM 更一般，由于它考虑多个风险因子。不像CAPM ，APT 也不要求识别市场投资组合。然而，这种一般性不是无成本的。在其一般形式中，APT 给出了资产期望收益与个数不确定的未识别因子之间近似关系。在这种情况下，否定该理论是不可能的（除非套利机会存在）。因此，模型可检验性依赖于额外假设的引入1。

套利定价理论假设市场是竞争的、无摩擦的；所考虑的资产收益生成过程为

i i i i a R ε+'+=f b （6.1.1）

0][=f i E ε （6.1.2）

∞<≤=222][σσεi i E （6.1.3）

其中i R 是资产i 的收益，i a 是因子模型截距，i b 是资产i 因子敏感度)1(⨯K 向量，f 是共同

因子实现（realization ）)1(⨯K 向量，i ε是扰动项。对N 个资产系统而言，

ε++=Bf a R （6.1.4） 0][=f εE （6.1.5） ∑='][εεE （6.1.6） 在这个系统方程中，R 是)1(⨯N 向量即],,,[21'=N R R R R ，a 是)1(⨯N 向量即

1 关于APT 可检验性有大量的争论。Shanken(1982)和Dybvig 与Ross(1985)给出了一个有趣的交流。Dhrymes , Friend 与Gultekin 和Gultekin(1984)也怀疑该模型经验上的相关性。

],,,[21'=N a a a a ，B 是)(K N ⨯矩阵即],,,['=N b b b B 21 ，ε是)1(⨯N 向量即],,,[21'=N εεεε 。我们进一步地假设因子能解释资产收益共同变化，以致（组合规模）大的、充分多样化投资组合扰动项就消失了2。但这要求资产的扰动项之间充分不相关。 给定这1结构，罗斯（Ross,1976）说明在（规模）大的（large ）经济中无套利就意味着

K λιλμB +≈0 （6.1.7）

其中μ是期望收益)1(⨯N 向量，0λ是零—贝塔模型参数，如果无风险资产存在，0λ就等于无风险收益，K λ是因子风险溢价)1(⨯K 向量。在这里及整章中，假设ι表示元素全为1的

向量。有限个资产可能由于套利被错误定价，因此（6.1.7）式关系是近似的。因为（6.1.7）式仅是个近似，所以它不会导出直接可检验的资产收益的约束。为了获得（可检验的资产收益）约束条件，我们必须施加额外结构使近似变为精确。

Connor （1984）提出了具有精确因子定价特征的APT 竞争均衡形式。在Connor 模型中，额外要求为市场投资组合充分多样化且因子是遍及的（pervasive ）。如果经济中没有单个资产占有总财富重要的比例，那么市场投资组合将是充分多样化的。没有对投资者因子风险暴露选择的限制，要求因子遍及允许投资者分散特有的风险。

Dybvig （1985）和Grinblatt 与Titman （1985）采用了不同方法。他们研究了给定代表性的代理商偏好结构，精确因子定价离差潜在的大小。两篇论文得出结论对经济参数合理设定，精确因子定价理论离差可能微不足道。因此，以精确定价关系为基础的实证研究是合理的。

在跨期资产定价框架下也能得到精确因子定价。将默顿（Merton,1973a ）提出的跨期资本资产定价模型与收益条件分布假设结合起来得出1个合并形成了多因子模型。在这个模型中，市场投资组合作为一个因子，状态变量作为其余因子。其余因子来自投资者对冲未来投资机会不确定性风险的需要。Breeden （1979）、Campell （1993a,1996）与Fama （1993）研究了这个模型。我们将在第8章中讨论它。

在这1章，一般我们不区分APT 与ICAPM 。我们将分析精确因子定价模型，也就是，

K λιλμB +=0 （6.1.8）

在因子设定方面有些灵活性。大多数实证研究选择市场投资组合的1个替代变量作为一个因子。然而，可利用不同技巧处理其余因子。我们将考虑几种情形。在一种情形下，APT 因子与ICAPM 状态变量不必是交易投资组合。在其他情形下，因子是投资组合收益。这些因子投资组合之所以被称为摹拟投资组合，是因为它们联合与因子是最相关的。精确因子定价这样的投资组合是一致的。(Huberman 、(Kendel 与Stambaugh （1987）和Breeden （1979）在APT 与ICAPM 文中各自讨论了这个问题。

6.2 估计与检验

在这一节，我们考虑不同形式精确因子定价关系的估计与检验。模型的经济计量分析起

2 一个大的、充分多样化投资组合是具有阶权重为N 1

大量股票的投资组合。

点是关于收益时间序列行为的1个假设。我们假设因子条件收益是IID 且联合多元正态的。虽然这是个强假设，但它允许因子时间序列收益的有限依赖性。此外，根据附录中广义矩法处理估计与检验问题，可以放宽这个假设。多因子模型的GMM 方法正好是在第5章中所提出的检验CAPM 的GMM 方法的一般化。

如上所述，多因子模型既没有设定因子个数，也没有设定因子的识别。这样，为了估计与检验模型，我们必须确定因子——在第6.4节，我们将谈论这个问题。在这一部分，我们将继续探讨因子数及其识别。

我们考虑精确因子定价模型四种形式：（1）因子为可交易资产的投资组合，存在无风险资产；（2）因子为可交易资产的投资组合，不存在无风险资产；（3）因子不是可交易资产的投资组合；（4）因子为可交易资产的投资组合，且因子投资组合跨越了（SPAN ）风险资产均值—方差的边界。我们利用最大似然估计来处理这四种情形。请见Shanken(1992b)利用截面回归方法处理这同样的四种情形。

给定因子条件收益的联合正态假设，我们能利用似然比构造这四种情形中任意一种情形的检验。由于检验统计量推导类似于在第5章中所给出的CAPM 似然比检验统计量推导，在此不再重复。所有情形似然比检验统计量都采用同样的一般形式。定义J 为检验统计量，我们有

]ˆlog ˆ)[log 12(*∑-∑---

-=K N T J （6.2.1） 其中，∑

ˆ和*ˆ∑分别为无约束模型与有约束模型残差协方差矩阵最大似然估计量。T 为时间序列观测期数，N 为包含的投资组合个数，K 为因子个数。如第5章中所讨论的，用)12

(---K N T 而不是用通常的T 来标度统计量以改善有限样本零分布对大样本分布收敛性3。在零假设下，统计量J 的大样本分布是自由度等于零假设下约束的个数2χ分布。

6.2.1 具有无风险资产的投资组合作为因子

我们首先考虑因子为可交易投资组合且存在无风险资产的这一情形。无约束模型将是以超额收益表示的K —因子模型。对N 个资产（或资产投资组合）而言，定义t Z 为超额收益)1(⨯N 向量。对超额收益而言，K —因子线性模型为

t Kt t ε++=BZ a Z （6.2.2）

0][=t E ε （6.2.3）

∑='][t t E εε （6.2.4）

K Kt E μ=][Z ，K K Kt K Kt E Ω='--]))([(μμZ Z （6.2.5） O Z ='],[t Kt Cov ε （6.2.6）

3 请参见方程(5.3.41)和Jobson 与Korkie(1982)。